4-7能态密度和费米面解析
(完整版)费米能级理解
能带结构是目前采用第一性原理(从头算abinitio)计算所得到的常用信息，可用来结合解释金属、半导体和绝缘体的区别。
能带可分为价带、禁带和导带三部分，导带和价带之间的空隙称为能隙，基本概念如图1所示。
1. 如果能隙很小或为0,则固体为金属材料，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电；而绝缘材料则因为能隙很大（通常大于9电子伏特），电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。
一般半导体材料的能隙约为1至3电子伏特，介于导体和绝缘体之间。
因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其能隙之间距，此材料就能导电。
2. 能带用来定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点。
价带（valence band），或称价电带，通常指绝对零度时，固体材料里电子的最高能量。
在导带（conduction band）中，电子的能量的范围高于价带（v alence band），而所有在传导带中的电子均可经由外在的电场加速而形成电流。
对于半导体以及绝缘体而言，价带的上方有一个能隙（b andgap），能隙上方的能带则是传导带，电子进入传导带后才能再固体材料内自由移动，形成电流。
对金属而言，则没有能隙介于价带与传导带之间，因此价带是特指半导体与绝缘体的状况。
3. 费米能级(Fermi level)是绝对零度下电子的最高能级。
根据泡利不相容原理，一个量子态不能容纳两个或两个以上的费米子(电子)，所以在绝对零度下，电子将从低到高依次填充各能级，除最高能级外均被填满，形成电子能态的“费米海”。
“费米海”中每个电子的平均能量为（绝对零度下）为费米能级的3/5。
海平面即是费米能级。
一般来说，费米能级对应态密度为0的地方，但对于绝缘体而言，费米能级就位于价带顶。
成为优良电子导体的先决条件是费米能级与一个或更多的能带相交。
4. 能量色散（dispersion of energy）。
同一个能带内之所以会有不同能量的量子态，原因是能带的电子具有不同波向量（wave vector），或是k-向量。
费米面上的能态密度
费米面上的能态密度物理学家费米（EnricoFermi）的名字被用在关于粒子物理的许多领域中。
最著名的是他在原子核理论上的发现，他发现原子核中存在被称为“费米”的粒子，这些粒子在粒子物理学中起到了重要的作用。
费米还发现了另一个重要的概念，即费米面上的能态密度（Fermi surface density of states）。
这个概念对于帮助我们理解半导体、超导体和金属表面的性质非常有用。
费米面上的能态密度是指在金属表面上，费米粒子被收缩到空间量子中，形成的能态的密度，它代表了金属表面的电子的能态的密度。
费米面上的能态密度包括了金属表面电子的表示、电子结构、电子-核结构间的相互作用、电子激发状态和结构变化等，这些都能左右金属表面电子的性质。
费米面上的能态密度与金属表面电子的性质有关，它可以用来测量金属表面电子的能态密度，以及金属表面电子在外力作用下的性质变化。
当电子能态的密度大于一定的数值时，说明金属表面电子的能态发生了变化，造成了金属表面的性质发生变化。
这就为我们研究半导体、超导体和金属表面的性质提供了一个重要的参考。
费米面上的能态密度的量化通常是通过量子力学理论来实现的。
它通过量子力学方法，可以计算金属表面电子在某一能量水平上的能态密度，可以把所有金属表面电子的能态都统一放到能态密度图上，从而可以准确计算出金属表面电子的能态密度。
费米面上的能态密度可以用来估算金属表面电子性质的变化，从而更有效地研究半导体、超导体和金属表面的性质。
费米面上的能态密度的研究也可以为我们研究半导体、超导体等新型材料的构造提供重要的参考意见。
费米面上的能态密度也可以用来探索金属表面电子在外力作用下的性质变化，例如金属表面电子在温度变化、磁场作用、压力等情况下的能态变化，这些都可以从费米面上的能态密度中研究出来，从而更好地了解金属表面电子的性质变化。
综上所述，费米面上的能态密度越来越受到研究者的关注，不仅可以用来研究半导体、超导体和金属表面的性质，而且也可以用来探索金属表面电子在外力作用下的性质变化，为我们研究粒子物理提供了重要的参考依据。
4.7 无序系统中的电子态、第四章总结
设想 En 有带中心附近的能量值, 则 (En'－En) 取值在 [－W/2, W/2] 范围内, 典型值 |En’－En| = W/4。如果有 z 个近邻, 粗略估计当满足
4 zV 1 或 W W 4 zV
条件时, 波函数 ψ 可以写成
V2 V | | n | n ' O 2 | n '' En ' En W
非对角元只在带区内不为零而且相等对于无序系统根据紧束缚近似模型零级近似下仍看成各个原子附近的束缚态而把原子之间的相互作用看成微扰由于没有了周期性每个原子及其周围的情况有着随机的变化使得哈密顿矩阵中的对角元不尽相等分别称为对角无序和非对角无序若只计入近邻相互作用与晶态情况相似表象中哈密顿矩阵也是带型矩阵这给无序系统电子态的计算带来相当大的困难anderson在他的论文中假定格点的几何排列仍然是规则的而每个格点的势场是随机变化的anderson模型中格点位置有关假定它围绕平均值变化范围为表示不同格点之间的相互影响称为转移矩阵这里只考虑近邻相互作用而且假定它是一个常量因此anderson模型实际上只计入了对角无序而没有讨论非对角无序的影响anderson证明了当起伏足够大时能带中所有状态都将是定域态即存在临界值电子运动状态全部是定域态anderson所采用的基本上是微扰论扰论的观点当相互作用大于零级近似下能量差时应为简并微扰反之为非简并微扰讨论强无序的情况很大确切的说法或者看成v趋于零的极限thouless的定性说明考虑一个电子定域在格点上的电子波函数混入态的振幅取决于设想范围内典型值个近邻粗略估计当满足条件时波函数表示次近邻格点电子态可以证明这时波函数随距离增大而指数衰减这就是定域态相反如果格点波函数之间相互混合这是波函数延展在整个空间这就是扩展态很多人试图分析临界值由于不同作者采取的方法不同所得结果也不尽相同mott基于anderson的理论结果加上在研究高掺杂半导体时提出的杂质带和带尾的理论提出当小于临界值时能带中的状态将是部分定域化的每个能带中心的态是扩展态带顶和带尾存在有带尾定域态它们之间的分界称为迁移率边对于一个给定的能量波函数只能是局域态和扩展态两者中的一个而不能是两种态同时存在原因是扩展态在全空间具有有限的振幅值假定两种状态同时存在那么扩展态就会与定域态混合而将定域态也变成扩展态因而在定域态与扩展态之间必然有一分界存在称其为迁移率边迁移率边的位置依赖于无序程度的比值无序程度越大顶带底迁移率边相连时就意味着全部是定域态这就是anderson讨论的情况由于定域态中的电子被束缚在空间的某个局域区域电子由一个定域态转移到另一个需要靠声子的协助进行跳跃式导电这种跳跃式导电迁移率很低当温度趋向0k时迁移率也就是说在扩展态与定域态分界处有迁移率的突变这就是为什么称其为迁移率边的原因当势场的无规起伏超过一定临界值固体中
4-7能态密度和费米面
2mE 2
2π3
VC
4π k 2 d k
dZ 2
2π3
VC
4π k d k
2
E dE
m dE 2mE
ky
VC 2 mE dZ 2 4π 3 2 2π
E
2
kx
2k dE dk m 2mE 2 k 2
4πVC (2 m ) 3 2 E 1 2 dE 3 3 2π
2.画出自由电子费米球(面)(费米面的
广延区图)； 3.将落在各个布里渊区的费米球片断平移适当的倒格矢进 入简约布里渊区中等价部位(费米面的简约区图)。
第一区
=1
第一区
第二区
=2，3
第三区 第四区
=4，5，6
2、近自由电子费米面
根据以上说明，构造费米面应按如下步骤：
1.画出布里渊区的广延区图形；
L2 m L2 m 考虑电子自旋，有 dZ 2 2 dE 2 dE N ( E )dE 2
( 2) N
0 EF
0
N ( E )dE
0 EF
0
L2 m mL2 0 dE 2 E F 2
2 N 0 EF mL2
V N (E) 3 4
ds k E
VC m 4π 2 ( 2π)3 2
2mE
VC m 4π 2 ( 2π)3 2
2mE
dZ dE
( 2m ) 3 2 1 2 4πVC E 3 h
E
CE 1 2
法2. 金属中自由电子的能量
2k 2 E 2m
dZ 2
k2
3 2
Vc 2mE 2 2 3π
(完整word版)能带理论
能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带"中，因此，这方面的理论称为能带理论。
对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的,因而其能量与波失间的关系E （k ）较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容.本章采用一些近似讨论能带的形成,并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。
一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时,可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。
平均场近似:让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。
周期场近似: 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。
原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型(1）近自由电子模型1、模型概述 在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的.因此,我们可以把自由电子看成是它的零级近似，(222U m ∇+)()(r U R r U n=+而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
（也称为弱周期场近似）2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E （K ）是连续的能级。
由于周期性势场的微扰 E （K ）在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带,连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。
3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式.由于周期势场的微扰，E （k ）函数将在 处断开，本征能量发生突变,出现能量间隔2︱V n ︱,间隔内不存在允许的电子能级，称禁带；其余区域仍基本保持自由电子时的数值。
费米面上的能态密度
费米面上的能态密度费米面上的能态密度是一个重要的物理概念，它是1926年由美国物理学家爱因斯坦提出的。
它代表了系统里具有恒定能量的粒子的最大密度。
这一概念可以用于研究物理、化学和其他复杂的科学系统，也可以用于理解空间、时间和质量的联系。
费米面上的能态密度的最初定义是，它是指一个平面上一点的能量，该能量能在其上容纳的粒子的最大数量。
水平的，它可以被认为是一个物理限制，它限制了物质体系里的粒子的数量及其能量分布模式。
例如，费米面上的能态密度可以用来解释为什么动能会在费米面上截断，以及加热等运动会使粒子的能量间隔发生变化等现象。
费米面上的能态密度的重要性不容小觑，它为众多科学系统的研究提供了令人满意的解释。
举例来说，它已经被用于研究量子力学模型、热力学体系、摩擦系统等。
此外，它也被广泛应用于物理学领域，如空气动力学、流体力学、激光物理学、电磁学等，从而为现代技术打下坚实基础。
费米面上的能态密度还可以用于探测温度及能量之间的关系。
研究表明，费米面上的能态密度与温度之间存在一种恒定的关系，即费米能态密度的大小越高，温度越高。
由此可以间接测量温度，在某些情况下可以代替温度计。
同时，费米面上的能态密度还可以用于探测质量和时间之间的关系，这是研究物质空间结构和动态行为的基础。
此外，费米面上的能态密度在研究粒子物理学中也发挥着重要的作用。
它可以帮助人们更好地理解粒子的行为及其物理性质，为物质的宏观结构和小观性质的研究提供依据。
费米面上的能态密度还可以为研究粒子的相互作用提供参考，从而有助于弄清他们的行为特征。
总之，费米面上的能态密度是一个重要的物理概念，它在众多科学领域均发挥着重要作用，无论是探测温度、能量、质量、时间或研究粒子物理学，它都提供了有价值的参考。
此外，费米面上的能态密度也为现代技术打下了坚实的基础，它使科学研究成为可能，并且有助于人类更好地理解自然界的物质世界。
固体物理第四章能带理论5(新疆大学李强老师课件)模板
Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
Xinjiang University
§4.6 晶体能带的对称性
能带的3种表示方法
① 扩展能区图式
Xinjiang University
Solid State Physics, Dr. Q. Li
2018/10/24
当k落在布里渊区边界上，N(E)出现奇点，对应能量 在此处断开。
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面
能态密度以及范霍夫奇点
E s (k ) E0 2 J1 (cos kx a cos k y a cos k z a)
§4.7 能态密度和费密面
等能面 等能面垂直于布里渊边界, ∵此处 k E (k ) 0
E E0 2 J1 E X
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
E E0
2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面
能态密度以及范霍夫奇点
在等能面上为常数
V dS V 1 能态密度函数 N ( E ) 2 2 3 (2 ) k E (2 )3 k E V m 2 V mk 2 4 k 2 2 (2 )3 2 k V 2m 3/2 ( 2) E 2 2
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
固体物理 04-07能态密度和费密面
费米速度 vFpF/m
西
南
科 技
费米温度 TF EF /kB
大
学
Solid State Physics
固 体
费米能量的估算
物
理 —— 自由电子球半径
V N
1 n
43rs3
—— 电子密度
n
—— 费米半径
3
4 rs3
rs
(3
4 n
1
)3
kF
2(3n)1/3 8
西
kF
1 .9 2 rs
vF
pF m
南
—— 费米速度
N2(2V)3 43kF3
球的半径
kF
2( 3)1/3(N)1/3 8 V
n N 电子密度 V
西
南 科 技 大
kF
2(3n)1/3 8
学
Solid State Physics
固
体 物
费米波矢 费米动量 费米速度 费米温度
理
费米能量 EF 2kF 2/2m
费米球半径 kF 2mEF / 费米动量 p Fk F
V
Z (2)3 dSdk
西
南 应用关系
科
技
大 学
dk kE E
Solid State Physics
固
体
物 理
Z
V
(2)3
dSdk
dk kE E
Z(2V)3
dS kE
E
dk E kE
能态密度
N(E)(2V)3
dS kE
西 南
考虑到电子的自旋，能态密度
科 技 大 学
N(E)2(2V)3
—— 晶体中8N个电子全部填充成键态的4个能带形成 满带
能带理论(5)
空带
带隙
非导体
价带：由价电子能级分裂而形成的能带。
★通常情况下，价带为能量最高的 能带； ★价带可能被电子填满，成为满带； ★也可能未被电子填满，形成不满 带或半满带。
空带
带隙
价 带
在绝缘体中，价电子刚好填满 最低的一系列能带，最上边的 满带 —— 价带
绝缘体
再高的各能带全部都是空的 —— 空带
导体中，一部分价电子存在于不满带中，这种能 带称为导带
V 2m 1 V m 1 2 3 2 4 k E 2 CE 2 4 k 2 23
3 2
在近自由电子情况下，周期场的影响主要表现在布 里渊区边界附近，而离布里渊区边界较远处，周期场对
电子运动的影响很小。
二、费米面
1）自由电子 如果固体中有N个自由电子，按照泡利原理它们基态是由
（1）导体：能带结构有三种形式 形式1：价带中只填充了部分电子，在外加电场作用 下，这些电子很容易在该能带中从低能级跃迁到较 高能级 —— 从而形成电流
导带中电子的转移
例如：
金属Li
电子排布1s22s1
每个原子只有一个价电子，整个晶体中的价电子只 能添满半个价带 —— 实际参与导电的是不满带 中的电子 —— 电子导电型导体
导带
满带
导体
空带：若一个能带中所有的能级都没有被电子填入，
这样的能带称为空带。
空带：每一个能级上都没有 电子的能带
★与各原子的激发态能级相对应 的能带，在未被激发的正常情况 下就发的电子进入，
则空带就变成了导带。 非导体
禁带：两个相邻能带间的间隔
★禁带中不存在电子的定态； ★禁带的宽度对晶体的导电性起着 重要的作用。
带宽度比较大，不能导电。
能带结构分析、态密度和电荷密度的分析
电荷密度图、能带结构、态密度的分析能带图的横坐标是在模型对称性基础上取的K点。
为什么要取K点呢？因为晶体的周期性使得薛定谔方程的解也具有了周期性。
按照对称性取K点，可以保证以最小的计算量获得最全的能量特征解。
能带图横坐标是K点，其实就是倒格空间中的几何点。
纵坐标是能量。
那么能带图应该就是表示了研究体系中，各个具有对称性位置的点的能量。
我们所得到的体系总能量，应该就是整个体系各个点能量的加和。
主要是从以下三个方面进行定性/定量的讨论：1、电荷密度图（charge density）；2、能带结构（Energy Band Structure）；3、态密度（Density of States，简称DOS）。
电荷密度图是以图的形式出现在文章中，非常直观，因此对于一般的入门级研究人员来讲不会有任何的疑问。
唯一需要注意的就是这种分析的种种衍生形式，比如差分电荷密图（def-ormation charge density）和二次差分图（difference charge density）等等，加自旋极化的工作还可能有自旋极化电荷密度图（spin-polarized charge density）。
所谓“差分”是指原子组成体系（团簇）之后电荷的重新分布，“二次”是指同一个体系化学成分或者几何构型改变之后电荷的重新分布，因此通过这种差分图可以很直观地看出体系中个原子的成键情况。
通过电荷聚集（accumulation）/损失（depletion）的具体空间分布，看成键的极性强弱；通过某格点附近的电荷分布形状判断成键的轨道（这个主要是对d轨道的分析，对于s或者p轨道的形状分析我还没有见过）。
分析总电荷密度图的方法类似，不过相对而言，这种图所携带的信息量较小。
成键前后电荷转移的电荷密度差。
此时电荷密度差定义为：delta_RHO = RHO_sc - RHO_atom其中RHO_sc 为自洽的面电荷密度，而RHO_atom 为相应的非自洽的面电荷密度，是由理想的原子周围电荷分布堆彻得到的，即为原子电荷密度的叠加(a superposition of atomic charge densities)。
能态密度和费米面
，求g(E)。
例三、简立方晶格的s带对应的能态密度N(E)。
6
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)
2 k 解：自由电子的能量本征值： E k 2m
2
2 2 k k E 2m
2mE 自由电子等能面为球面，其半径为： k
2V ds 2V 4k 2 V 2m N E 3 3 2 2 2 2 k E 2 2 k 2 2m
VA +++ + + A VB --B VA VB
+ + + + -
+ + + +
-
A
B
功函数：WA，WB；
27
0 EF
WA
WB EF 接触电势差： VA-VB=(WB-WA)/q -eVB
EF
WA
-eVA
WB
EF
28
例：自由电子费米能级EF
V 2m N E 2 2 2
2V dsdk 3 dZ 2 2V ds N E dE dk k E 2 3 k E
5
关于能态密度的计算
公式：
dZ 2V ds N E dE 2 3 k E
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)。
2 2 2 2 kx ky k z 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3
ds
dk
2V Z V等 能 面E和E E之 间 3 2 2V dsdk 3 2
kx
(1)dk表示两等能面之间的垂直距离; (2)ds表示面积元。
4
Ⅱ.关于ΔE
金属中的元激发：费米面与能态密度研究
金属中的元激发：费米面与能态密度研究引言：金属是一类具有良好导电性质的物质，其中的电子在金属中存在自由运动的状态。
在金属中，电子的运动特性受费米面和能态密度的影响。
费米面是一种描述金属电子状态的概念，它决定了金属中电子的分布规律和运动行为。
能态密度则描述了在能量空间中单位能量范围内的电子态的数目。
这篇文章将介绍金属中费米面与能态密度的研究以及相关的实验准备和过程，并探讨这些研究的应用和其他专业性角度。
一、费米面与能态密度的基本概念费米面是描述金属中电子分布的一个关键概念，它由能量空间中能量等于费米能级的平面构成。
费米能级是电子能量的一个特殊值，与温度有关。
当温度接近绝对零度时，费米能级处于最低能量状态，称为费米能量。
费米面将能量空间分为两个区域，其中一个区域被称为价带（空带），另一个被称为导带（填充带）。
费米面的形状和位置对金属的导电性、热导性等性质有重要影响。
能态密度描述了在能量空间中单位能量范围内的电子态的数目。
对于金属而言，能态密度通常是指单位体积中单位能量范围内的电子态数目。
能态密度与费米面的形状和位置密切相关，它对金属的电子能级布局以及其他物性参数（如电导率、热导率等）提供了重要信息。
因此，研究费米面和能态密度对于理解金属的电子结构和性质具有重要意义。
二、实验准备进行费米面与能态密度的研究需要一些实验准备。
首先，需要使用合适的金属样品。
常用的金属样品有铜、银、铝等。
接下来，需要对样品进行制备和处理，以确保样品的纯净性和均匀性。
通常，可通过电子束蒸发、磁控溅射等方法制备金属样品。
在实验中还需要使用一系列仪器设备，例如电子能谱仪（如XPS、UPS等），扫描隧道显微镜（STM）、拉曼光谱仪等。
这些仪器设备能够通过测量样品的电子能谱、原子排列等物理量来获取关于费米面和能态密度的信息。
三、实验过程1. 电子能谱测量：使用电子能谱仪（如XPS）对金属样品进行测量。
该仪器能够通过测量样品表面电子能谱来分析费米面和能态密度。
4-7贾 能态密度和费米面
准连续分布 特点：异常密集
分布情况描述 “能态密度函数N(E)” 或“单位体积能态密度g(E)”
4
1、能态密度函数定义：
在E—E+ ΔE能量范围内的能态数目用ΔZ表示， 则能态密度函数定义为：
N(E) lim Z E0 E
或N (E) dZ dE
单位体积能态密度g(E)： g(E) 1 N (E) V
28
费米能级EF
费米面
费米能级数值由电子密度决定。当T=0k时，从E=0到 E=EF范围内对g(E)积分值应等于电子密度n，即：
EF N E dE N 0
费米球半径kF
N个电子在k空间填充半径为kF的费米球，费米球内包 括的状态数恰好等于N，即
V
2 2 3
4
3
kF 3 kF
N
2
3
8
1
例三
(1)能带底E=E0-6J1； (2)当E=E0-2J1时，出现微商不连续奇点，这时恰好等能面 与布里渊区界面相交，等能面如P219图4-42所示； (3)E=E0时，为能带的中点，N(E)函数以E0为中心，上下 对称，等能面如P219图4-43所示。
24
例三
能态密度的临界点（范霍夫奇点）
由公式
布里渊区的高对称点处。
25
例三
以简立方晶格为例，说明紧束缚近似下的s能带的 能态密度的临界点恰为布区的高对称点。
k E s (k ) 0的点 :
Γ点[
k
0,0,0
]是极小值点；E
(
k)
E0
6J1;
R点[
k
a
,
a
,
a
]是极大值点；E
R (k )
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2V dsdk 3 dZ 2 2V ds N E 态密度的计算
公式：
dZ 2V ds N E dE 2 3 k E
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)。
2 2 2 2 kx ky k z 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3
EC
EB EA
N(E)
自由电子情况 近自由电子情况
12
例二
2 2 2 2 kx ky k z 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3 解：等能面方程：E k E ,即
，求g(E)。
2 2 ky k z2 kx 1 2m1 E 2m 2 E 2m3 E 2 2 2 2m1 E 2 2m 2 E 2 2m3 E 令a 2 ,b ,c ,则 2 2 2 2 2 ky k z2 kx 等 能 面 方 程 可 化 为2 2 2 1 a b c
晶体中电子状态的基本认识
（1）晶体中电子状态由能带描述；
（2）一般情况下，原子能级与能带有一一对应的关系；
（3）能带宽度决定于波函数的重叠程度；
（4）禁带宽度决定于周期势场变化的剧烈程度；
（5）晶体中电子波函数是布洛赫函数，它反映晶体电子 共有化运动和围绕原子核运动两者兼有的特征；
1
§4-7能态密度和费米面
ds
dk
2V Z V等 能 面E和E E之 间 3 2 2V dsdk 3 2
kx
(1)dk表示两等能面之间的垂直距离; (2)ds表示面积元。
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Ⅱ.关于ΔE
一、能态密度函数
由 k E 的含义（表示沿法线方向能量的改变率）可知：
dk k E E
Ⅲ.由此得能态密度N(E)一般表达式：
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例二
dZ 2V ds N E dE 2 3 k E
能量为E的等能面内的状态数记作Z：
2V 4 2V 4 Z abc 3 3 2 3 2 3
m1m2 m3 2 E 3
3 2
dZ 2V 4 N(E) 3 dE 2 3
1 m1m2 m3 3 2 E 2 2 3 2
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例二
V m1m2 m3 N(E) 2 2
2 2
3 2
E
3 2
m1m2 m3 N (E) g( E ) V 2 2
2 2
E
引申情况：当m1=m2=m3时，等能面为球面；
当m1=m2≠m3时，等能面为椭球面。
一、能态密度函数
原子中电子的本征态 固体中的电子能级
分立的能级
准连续分布 特点：异常密集 分布情况描述 “能态密度函数N(E)” 或“单位体积能态密度g(E)”
2
分布情况描述 具体标明各能级能量
一、能态密度函数
1、能态密度函数定义：
在E—E+ ΔE能量范围内的能态数目用ΔZ表示，则 能态密度函数定义为： Z dZ N ( E ) lim 或N ( E ) E dE
，求g(E)。
例三、简立方晶格的s带对应的能态密度N(E)。
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例一、自由电子能态密度Ｎ(E)
2 k 解：自由电子的能量本征值： E k 2m
2
2 2 k k E 2m
2mE 自由电子等能面为球面，其半径为： k
2V ds 2V 4k 2 V 2m N E 3 3 2 2 2 2 k E 2 2 k 2 2m
单位体积能态密度g(E)：
1 g( E ) N ( E ) V
3
一、能态密度函数
Ⅰ.ΔZ的确定
在 k 空间中作 E k E 和 E k E E 等能面，在 两等能面之间状态数即为ΔZ。而 k 空间中分布是均匀
V 的，密度为 ，即： 3 2
ky
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例三
计算简立方晶格的s带对应的能态密度N(E)
解：简立方晶格的s带能带函数
E (k ) E0 2J1(cosk x a cosk y a coskz a)
s
dZ 2V ds 计算公式： N E dE 2 3 k E
E E E k E i j k k x k y k z 2aJ1(i sink x a j sink y a k sinkz a)
EB EC EA
N(E)
自由电子情况
近自由电子情况
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近自由电子能态密度Ｎ(E)
E
(4)当E达到并超过第二布里渊 区的最低能量EB时，能态密 度N(E)将从EB开始，由0迅速 增大。
注：右图为能带无交叠的情况。
EB EC EA
N(E)
自由电子情况 近自由电子情况
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近自由电子能态密度Ｎ(E)
能带有交叠情况 E
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例三
所以能态密度可表示为：
2V ds N E 2 3 k E 2V ds 面 sin 2 k a sin 2 k a sin 2 k a 2 3 等 能 x y z
3 2
E
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例一、自由电子能态密度Ｎ(E) 分析Ｅ～Ｎ(Ｅ)关系
8 E [ N E ] V2
2
4
2m
2
3
E N (E)
E
2
自由电子情况
近自由电子近似的能态密度
2V ds N E 2 3 k E
N(E)
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近自由电子近似的等能面
第一布里渊区内：
认为从原点向外，等能面应该 基本上保持为球面 接近于布里渊区边界： 等能面将向外凸出 当EA<E<EC时：
等能面将不再是完整的闭合面， 而是分割在各个顶角附近的曲面。
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近自由电子能态密度Ｎ(E)
Ｅ～Ｎ(E)关系可表示如下： E (1)E<EA时，N(E)自由电子结果 相差不多； (2)E接近EA时，由于等能面向外 凸，导致体积增大，使N(E)大于 自由电子情况； (3)E>EA时，由于等能面开始残 破，面积下降，尤其是到达EC时， 等能面缩小为几个顶角点，所以 由EA到EC过程，N(E)将不断下降 到零。