函数的偏导数word版

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(完整word版)偏导数与全导数-偏微分与全微分的关系

1。

偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导，另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数,描述的是y方向上的变化率几何意义对x求偏导是曲面z=f(x，y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f（x,y）在x方向上的切线这里在补充点。

就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况,但是我们要了解各个方向上的情况,所以后面有方向导数的概念。

2。

微分偏增量：x增加时f（x,y)增量或y增加时f（x,y）偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分detaz=fx（x，y)detax+o(detax)右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分全增量：x，y都增加时f（x，y）的增量全微分：根号（detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导,B就是对y求偏导希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。

概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式,公式同时也指明了求微分的方法。

3。

全导数全导数是在复合函数中的概念,和上面的概念不是一个系统，要分开。

u=a（t)，v=b(t）z=f[a（t）,b（t）］dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。

dz/dt=(偏z/偏u）（du/dt）+(偏z/偏v）(dv/dt）建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。

1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。

2。

中间变量有多元，只能求偏导3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。

对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数如果z=f（x^2，2^x) 只有这种情况下dz/dx才是全导数！偏导数就是在一个范围里导数，如在(x0，y0)处导数.全导数就是定义域为R的导数，如在实数内都是可导的在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数,而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）.偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的.函数f关于变量x的偏导数写为或。

偏导数公式大全范文

偏导数公式大全范文一元函数的偏导数公式：1.对于一元函数f(x)，它的偏导数是函数f(x)对自变量x的变化率。

偏导数通常用∂f/∂x表示。

2. 常数的导数为零，即 d(c)/dx = 0 ，其中 c 为常数。

3. 幂函数的导数 d(x^n)/dx = nx^(n-1) ，其中 n 为常数。

4. 对数函数的导数 d(ln(x))/dx = 1/x ，其中 ln(x) 表示以自然对数为底的对数函数。

5. 指数函数的导数 d(e^x)/dx = e^x ，其中 e 是自然对数的底。

6. 三角函数的导数： d(sin(x))/dx = cos(x)，d(cos(x))/dx = -sin(x)，d(tan(x))/dx = sec^2(x)，其中 sec(x) 表示 secant 函数。

7. 反三角函数的导数：d(arcsin(x))/dx = 1/√(1-x^2)，d(arccos(x))/dx = -1/√(1-x^2)，d(arctan(x))/dx = 1/(1+x^2)。

多元函数的偏导数公式：1. 多元函数 f(x1, x2, ..., xn) 的偏导数∂f/∂xi 表示函数 f 对变量 xi 的变化率。

2. 偏导数的定义是通过将其他自变量固定而对其中一个自变量进行微分，即∂f/∂xi = lim(h→0)(f(x1, ..., xi+h, ..., xn) -f(x1, ..., xi, ..., xn))/h。

3.二元函数的偏导数：∂f/∂x表示函数f对变量x的变化率，将y视为常数；∂f/∂y表示函数f对变量y的变化率，将x视为常数。

4.常见的二元函数的偏导数公式：对数函数的偏导数：∂(ln(x))/∂x = 1/x ，其中 ln(x) 表示以自然对数为底的对数函数。

幂函数的偏导数：∂(x^n)/∂x = nx^(n-1) ，其中 n 为常数。

三角函数的偏导数：∂(sin(x))/∂x = cos(x)，∂(cos(x))/∂x = -sin(x)，∂(tan(x))/∂x = sec^2(x)，其中 sec(x) 表示 secant 函数。

偏导数文档

偏导数简介在数学中，偏导数是多元函数中的导数的一种推广。

对于多元函数，其可以有多个自变量，因此其导数也相应的可以有多个。

偏导数即是在这种情况下求取的一种导数。

定义偏导数可以理解为多元函数对其中一个自变量的导数。

在具体的定义上，对于一个多元函数f(x1, x2, …, xn)，其中xi为自变量，其偏导数可以表示为对某个自变量求导，其他自变量保持不变。

假设f对x1的偏导数表示为∂f/∂x1，则其定义为：∂f/∂x1 = lim(h->0)(f(x1+h, x2, …, xn) - f(x1, x2, …, xn))/h计算方法根据偏导数的定义，可以通过求取对某个自变量的导数来计算偏导数。

计算偏导数时，其他自变量都视为常数，只考虑对某一个自变量求导。

下面介绍计算偏导数的一般方法：1.针对多元函数f，确定需要求偏导数的自变量。

2.将其他自变量视为常数，只考虑对指定自变量求导。

3.利用基本导数法则求取该自变量对应的导数。

4.将导数结果作为偏导数的值。

举例说明考虑一个简单的例子：f(x, y) = x^2 + 3y + 4xy在这个例子中，f(x, y)是一个关于两个自变量x和y的多元函数。

我们来计算偏导数。

对x求偏导数要计算∂f/∂x，需要将y视为常数，只考虑对x求导。

首先，利用基本导数法则，对于x2和4xy分别有： d(x2)/dx = 2x d(4xy)/dx = 4y因此，∂f/∂x = 2x + 4y。

对y求偏导数要计算∂f/∂y，需要将x视为常数，只考虑对y求导。

由于3y与y无关，所以∂(3y)/∂y = 3。

而对于4xy，根据基本导数法则，有： d(4xy)/dy = 4x因此，∂f/∂y = 3 + 4x。

性质偏导数具有一些特性，其中一些常见的性质如下：1.偏导数是对应自变量的函数。

偏导数是多元函数中某个自变量的导函数，因此它本身也是一个关于对应自变量的函数。

2.偏导数可以为0。

某个自变量的偏导数为0意味着函数在该自变量方向上的增长或减少趋势不明显，也可能表示达到极值的点。

第六章第2节偏导数

即
x z f( x 0 x ,y 0 ) f( x 0 ,y 0 )
称之为函数z在点 (x0, y0 )处对x的偏增量
如z=果f(xli,xmy0)在xx点z 存(x在0, y，0 )则对称x的此偏极导限数值为函数
lim 类似对y的偏导数
lim y 0
yz y
f(x0,y0y)f(x0,y0)
二、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导多元函数中在某点偏导数存在
偏导数存在连续.
连续，连续，
例如,函数
f
(
x,
y)

x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依定义，在(0,0)处:
f(0+ x,0)-f(0,0)
fx (0, 0)

lim
x0
y 0
y
如果函数z f ( x, y)在区域D 内任一点 ( x, y)处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x 、y 的函数，它就称为函数z f ( x, y)对自变量x 的偏导数，
记作z x
，f x
，z x
或
f
x
(
x,
y).
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y 的偏
第二节偏导数
一、偏导数的定义二、偏导数的计算
第六章
一、偏导数的概念
一元函数y=f(x)的导数
偏导数
二元函数z=f(x,y)的导数
视其中一个量为变量，其余量为常数讨论导数
偏导数定义
设z=f(x,y)在点 (x0, y0)的某邻域有定义，固定 y y0

第二节偏导数

x y
x y x y
x
2
y
2
解
z arcsin x e
z 1 1 1 e arcsin x e x y 1 x 2 x
x z arcsin x e 2 y y
x y
7
例1
求下列多元函数的偏导数
3
解
z 1 xy
即函数在点
f 0 x, 0 f 0, 0
0, 0 处可导。
由此知，偏导数存在，函数在该点 11 未必连续。
连续连续
偏导数存在。偏导数存在。
不同！
对比一元函数，我们有：可导但：可导
连续，
连续，
12
偏导数的几何意义（演示）
z x2 y 2 1 5 例4 求曲线在点 ,1, 2 4 y 1
y
z x y 1 xy
y 1
y y 1 xy
2
y 1
ln z y ln 1 xy
1 x z y ln 1 xy y z 1 xy xy y z y 1 xy ln 1 xy 1 xy
0 0
它的几何意义就是函数曲线上点
x , f x 处的切线的斜率。
对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，以二元函数
z f x, y 为例，我们分别讨论：
z 相对于 x 以及 z 相对于 y 的瞬时变化率——偏导数
3
F x, y , z 0 z f x , y
9
例2 理想气体的状态方程pV RT R为常数，求证： p V T 1 V T p

03第三节偏导数共8页word资料

第三节偏导数分布图示★ 偏导数的定义 ★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 有关偏导数的几点说明 ★ 例5 ★ 偏导数的几何意义 ★ 偏导数的经济意义 ★ 例6 ★ 高阶偏导数★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 混合偏导数相等的条件 ★ 例12 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-3内容提要：一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如，有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000.类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之. 二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆yy f y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续. 三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =，)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点，过点0M 作平面0y y =，截此曲面得一条曲线，其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆易见，pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称Qp p Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而yQ y Qy y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Qy y Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim 0为需求Q 对收入y 的偏弹性. 五、高阶偏导数设函数),(y x f z =在区域D 内具有偏导数),,(y x f xzx =∂∂ ),,(y x f y z y =∂∂ 则在D 内),(y x f x 和),(y x f y 都是x 、y 的函数. 如果这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数),(y x f z =的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数：),,(),,(222y x f yx zx z y y x f x zx z x xy xx =∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ),,(),,(222y x f y z y z y y x f x y z y z x yy yx =∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ 其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数.类似地，可以定义三阶、四阶、n 以及阶偏导数. 我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.定理1 如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及y x z∂∂∂2在区域D 内连续, 则在该区域内有yx zx y z ∂∂∂=∂∂∂22.例题选讲：偏导数的定义及其计算法例1（E01）求223),(y xy x y x f z ++==在点(1, 2)处的偏导数. 解把y 看作常数,对x 求导得到),(y x f x ,32y x +=把x 看作常数,对y 求导得到),(y x f y ,23y x +=故所求偏导数)2,1(x f 2312⨯+⨯=,8= )2,1(y f 2213⨯+⨯=.7=例2（E02）求yx z =的偏导数. 解xz∂∂,1-=y yx y z ∂∂.ln x x y =例3求三元函数)sin(2ze y x u -+=的偏导数. 解把y 和x 看作常数,对x 求导得);cos(2z e y x xu-+=∂∂ 把x 和z 看作常数,对y 求导得);cos(22z e y x y yu-+=∂∂ 把x 和y 看作常数,对z 求导得).cos(2z z e y x e zu-+-=∂∂ 例4（E03）求222z y x r ++=的偏导数.解把y 和z 看作常数,对x 求导得xr ∂∂222z y x x ++=,rx =利用函数关于自变量的对称性,可得y r ∂∂,r y =z r ∂∂.rz = 例 5 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 的偏导数)0,0(),0,0(y x f f 存在, 但),(y x f 在)0,0(点不连续.证 )0,0(x f x f x f x ∆-∆+=→∆)0,0()0,0(l i m0x x ∆-=→∆00lim0,1= yf y f f y y ∆-∆+=→∆)0,0()0,0(lim )0,0(0y y ∆-=→∆00lim 0.0=即偏导数),0,0(x f )0,0(y f 存在.但由上节的例 8知道,极限2200lim y x xyy x +→→不存在,故),(y x f 在)0,0(点不连续.例6（E04）某体育用品公司的某种产品有下列的生产函数 6.04.0240),(y xy x p =，其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产出的产品数量。

偏导数

[ f ( x, y ) ] |' x= x , f y ( x, y ) = [ f ( x, y ) ] |' f x ( x, y ) = y= y
常数 = [ f ( x, y ) ] ' x 常数
f ( x, y ) ] ' = [ y
注意： ∂z ∂z 偏导数的符号和应看成一个整体，不能 ∂x ∂y 将它们看成 ∂z 与 ∂x 或 ∂y 的商. 例1 解：求 z = x 2 sin 2 y 的偏导数.
∂r = ∂z
y y2 + x2 + z 2
z z 2 + y2 + x2
y = r z = r
例5 已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常量)，求证： ∂p ⋅ ∂V ⋅ ∂T = −1. ∂V ∂T ∂p 证:
∵ ∵ ∵
RT p= V
RT V= p
∴ ∴ ∴
∂p RT =− ∂V V2 ∂V R = ∂T p
偏导数的几何意义
z = f ( x, y)
∂z ∂x
x= x 0 y= y 0
复习一元函数导数
z
Tx
L
= [ f ( x , y0 )]'| x = x
曲面z = f (x,y)
0
M
平面 y =y0
固定 y =y0 得交线
⎧ z = f ( x , y０) ⎧ z = f ( x, y) 即⎨ L： ⎨ ⎩ y = y0 ⎩ y = y0
∂z = 2 x sin 2 y ∂x
∂z = x 2 cos 2 y ⋅ 2 ∂y
= 2 x 2 cos 2 y
x ∂z 1 ∂z + = 2 z. 例2 设 z = x ( x > 0, x ≠ 1) ，求证： y ∂x ln x ∂y

偏导数

fx(x0, y0) = fx(x, y) x=x0 , fx(x0, y0) =[ d f (x, y0)] x=x ; 0 y=y0 dx
d f (x , y)] f y(x0, y0) = f y(x, y) x=x0 , f y(x0, y0) =[ 0 y=y0 . dy y=y0
z = x 2 + 3 xy + y 2 在点(1, 2) 处的偏导数．处的偏导数．例1 求
∂z 不存在．不存在． 0 ∂y x ≠ 0 y=
例4 求r = x2 + y2 + z2 的偏导 4 数.
x ∂r = x x2 + y2 + z2 ∂x
x; = r
y y ∂r = . 2 2 2 = r ∂yy x + y + z
例 4
已知理想气体的状态方程 pV = RT
∂p ∂V ∂T ⋅ ⋅ = −1. 为常数）求证：，求证（ R 为常数）求证：， ∂ V ∂ T ∂p
解
∂u = ae ax cosby , ∂x ∂ 2u = a 2e ax cos by , 2 ∂x ∂ u = − abe ax sin by , ∂ x∂ y
2
∂u = − be ax sin by; ∂y ∂ 2u = − b 2e ax cos by , ∂y 2 ∂ u = − abe ax sin by . ∂y∂x
= x y + x y = 2z .
原结论成立．原结论成立．
x ∂z ∂z 例 3 设 z = arcsin ，求， . 2 2 ∂x ∂ y x +y
解
∂z = ∂x
1 x 1− 2 2 x +y

第二节偏导数及其在经济分析中的应用word精品文档7页

4、偏导数的计算法 (1)二元函数情况① 将),(y x f 中的y 看作常量而对x 求导可得x f ∂∂. ② 将),(y x f 中的x 看作常量而对y 求导可得yf∂∂.例1(1) 求 223y xy x z ++=在点)2,1(处的偏导数．解:y x xz32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂．∴8231221=⨯+⨯=∂∂==y x xz,7221321=⨯+⨯=∂∂==y x yz ．(2 )求 2sin z x y =在点(2,)6π的偏导数．解: (2,)62sin ,|2z zx y x x π∂∂==∂∂所以, 2(2,)6cos ,|23z z x y y y π∂∂==∂∂所以．例2求下列函数的偏导数（注意理解复合函数求导数:层层求导，导数相乘的含义） (1)求 )2sin(2y x z =．解:)2sin(2y x xz=∂∂ , )2cos(22y x y z =∂∂．（2）322(,)2ln()f x y x y x x y =-++解：222(,)3ln()x x f x y x x y x y =++++22(,)4y xyf x y y x y=-++．（3）2(,)xy f x y e = 解：222(,),(,)2xy xy x y f x y y ef x y xye ==．（4）设2()2y z xy x φ=+，其中()u φ可微，求,x y z z 解：22(),()2x y y yz y xy z x xy x xφφ''=-+=+（5）222u x y z =++（考虑两层复合的函数）解：222222222,,x y z x y zu u u x y z x y z x y z===++++++ （6）ln tan y z x =（考虑三层复合的函数ln ,tan ,yz u u v v x===）解6、偏导数与连续的关系一元函数中在某点可导====>连续，但是多元函数中在某点偏导数存在 ==≠=>连续.例如:设⎩⎨⎧=≠=.0 ,1,0 ,0),(xy xy y x f由于=∂∂==00y x x f 011lim )0,0()0,0(lim 00=∆-=∆-∆+→∆→∆x x f x f x x , =∂∂==00y x yf011lim )0,0()0,0(lim00=∆-=∆-∆+→∆→∆y yf y f y y . 即),(y x f 在)0,0(点两个偏导数都存在,但),(y x f 在)0,0(点显然间断．因为(,)(0,0)lim (,)0(0,0)1x y f x y f →=≠=.又如，220, (,)(0,0)(,), (,)(0,0)x y f x y xy x y x y =⎧⎪=⎨≠⎪+⎩在点(0,0)处两个偏导数均存在且为0，但是),(y x f 在)0,0(点不连续，因为222222(,)(0,0)00lim(,)lim lim (1)1x y x x y kxxy kx kf x y x y x k k →→→====+++ 极限不存在.例是否存在一个函数(,)f x y ，使得4x f x y =+，3y f x y =-？（分析：21(,)4()2x f x y f dx x xy y φ==++⎰ 4()3y f x y x y φ'⇒=+≠-，所以这样的(,)f x y 不存在.）二、高阶偏导数1、高阶偏导数:设偏导函数),(y x f x 在区域D 内存在有偏导数,则称此偏导数为),(y x f z =的二阶偏导数,并记作⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∆x z x y x f x z xx ),(22,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂∆x z y y x f yx z xy),(2, 同理: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∆y z y y x f y z yy ),(22，⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂∆y z x y x f x y z yx ),(2, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∆2232x z x x z ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂∆2222x z y y x z 等等. 例9求函数22sin()z x x y =⋅+的二阶偏导数.解：22222sin()2cos()x z x y x x y =++⋅+223226cos()4sin()xx z x x y x x y =⋅+-⋅+222cos()y z xy x y =⋅+，222222cos()4sin()yy z x x y xy x y =⋅+-⋅+； 222222cos()4sin()xy yx z z y x y x y x y ==⋅+-⋅+.2.【定理】:如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导),(y x f xy ，),(y x f yx 在区域D 内连续，则在该区域内必=),(y x f xy ),(y x f yx .二阶混合偏导数在连续情况下与求导数的顺序无关.此性质可以推广到高阶混合偏导数.例13 设13323+--=xy xy y x z ,于是,6222xy x z =∂∂,6233y x z =∂∂,1223xy y x z =∂∂∂xy x y z 182322-=∂∂,y x x y z 186223-=∂∂∂, x y z 1833-=∂∂,196222--=∂∂∂y y x y x z ,xy x y x z 123=∂∂∂∂,y x y x z 186223-=∂∂∂, 196222--=∂∂∂y y x x y z .xy x y z 1223=∂∂∂,y x yx y z 18623-=∂∂∂∂. 例14设ru 1=222()()()r x a y b z c =-+-+-，证明：2222220u u ux y z ∂∂∂++=∂∂∂.证明: 22311u du r r x a x a x dr x r x r r r ∂∂∂--==-=-=-∂∂∂,22234351313()u r x a x r r x r r ∂∂-=-+=-+∂∂；同理 2223513()u y b y r r ∂-=-+∂, 2223513()u z c z r r ∂-=-+∂. 2222222223533[()()())u u u x a y b z c x y z r r ∂∂∂-+-+-++=-+∂∂∂ 33330r r=-+=.三、偏导数在经济分析中的应用——交叉弹性在一元函数微积分中我们学习了边际与弹性概念，它们分别表示经济函数在一点的变化率与相对变化率.将边际与弹性概念推广到多元函数微积分学中并被赋予经济含义,如某商品销售A Q是它的价格A P 及其它商品价格B P 的函数(,)A A B Q f P P =,称A BB AQ P P Q ∂⋅∂为A Q 对B P 的交叉弹性.交叉弹性反映了两种商品间的相关性．当交叉弹性大于零时,两商品为互为替代品；当交叉弹性小于零时,两商品为为互补品；当交叉弹性等于零时,两商品为相互独立商品.交叉弹性定义：设函数(,)z f x y =在点(,)x y 处偏导数存在，函数对x 的相对改变量(,)(,)(,)x z f x x y f x y z f x y ∆+∆-=与自变量x 的相对改变量xx∆之比x zz x x ∆∆称为函数(,)f x y 对从x 到x x +∆两点间的弹性．当0x ∆→时，x zz x x∆∆的极限值称为函数(,)f x y 在点(,)x y 处对x 的弹性，记作x Ez Ex η或，即0lim x x x z Ezx z x Ex z x x zη∆→∆∂==⋅=⋅∆∂.类似可以定义函数(,)f x y 在(,)x y 处对y 的弹性为0lim y y y z Ezy z y Ey z y y zη∆→∆∂==⋅=⋅∆∂.特别地，如果(,)z f x y =中z 表示需求量，x 表示价格，y 表示消费者收入，则x η表示需求对价格的弹性，y η表示需求对收入的弹性.例15 随着养鸡工业化程度的提高，肉鸡价格（用B P 表示）会不断下降。

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45、法律的制定是为了保证每一个人自由发挥自己的才能，而不有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
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41、实际上，我们想要的不是针对犯罪的法律，而是针对疯狂的法律。 ——马克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就像影子跟随着身体一样。— —贝卡利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进步。— —杰弗逊 44、人类受制于法律，法律受制于情理。— —托·富勒

第83节多元函数的偏导数

直接对 z ln[sin( xy ) x 2 y ]求关于两个初始变元偏导数, 所以
z 1 y cos( xy ) 2 x [cos( xy ) y 2 x ] 2 2 x sin( xy ) x y sin( xy ) x y z 1 x cos( xy ) 1 [cos( xy ) x 1 ] . 2 2 y sin( xy ) x y sin( xy ) x y
方法二将 u, v 先代入得到 z 关于 x 的一元函数 z ln(sin x x 2 )，
然后利用一元函数求导方法直接计算得
d z cos x 2 x 2 (ln(sin x x ) ) . 2 d x sin x x
例7 设 Q f ( x, xy, xyz )，且 f 的所有一阶偏导数都连续，求此
求二元函数的偏导数并不需要新的方法，这仍然是一元函数的求导问题:
f (1)求时把y 视为常数而对x求导; x f (2)求时把x视为常数而对y求导. y
例2 求 z x 2 3 xy y 2 在点 (1,2) 处的偏导数．
z z 解 x 2 y , 2 3 x3y, x y z z 所以 2 1 3 2 8 , 1 2 2 7 . x1 x 1 3 x y2 y y2
例5
z z z ln( u v ), u sin( xy ), v x y ，求， . x y
2
解方法一 u y cos( xy ) ， u x cos( xy)， v 2 x , v 1, 所以
x
y
x
y
z z u z v 1 1 y cos xy ) 2 x y cos( xy ) 2 x 2 x u x v x u v u v sin( xy ) x y

偏导数的概念

f(x0,y0).
同样还可以举出函数在(x0,y0)点连续，而在该点的偏导数不存在的例子. 例如，二元函数 f ( x, y ) x 2 y 2 ，在点(0,0)处是连续的，但在(0,0)点偏导数不存在. 事实上，f ( x, y ) x 2 y 2 是初等函数，(0,0)点是定义区域内的一点，故f(x,y)在点(0,0)点是连续的. 固定y=0，让x→0，考察在(0,0)点处对x的偏导数.此时 f ( x,0) x 2 0 | x |，已知函数|x|在x=0处是不可导的，即f(x,y)在点(0,0)处对x的偏导数不存在，同样可证f(x,y)在(0,0)点对y偏导数也不存在.
类似地，可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数
为
z f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim . y ( x0 , y0 ) y0 y
又可记为
f , f y ( x0 , y0 )或z y ( x0 , y0 ). y ( x0 , y0 )
V R , T P T V . P R
P V T RT R V RT 2 1. V T P VP V P R
偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分
母之商，否则这三个偏导数的积将是1.这一点与一元 dy 函数导数记号是不同的，dy 可看成函数的微分dy dx dx 与自变量微分dx之商.
(x) 0 0 2 (x) 0 lim lim 0 0. x0 x0 x
原点(0,0)处对y的偏导数为
f (0,0 y ) f (0,0) f y (0,0) lim y 0 y
0 (y ) 0 2 0 (y ) lim lim 0 0. y 0 y 0 y

7-2 偏导数

第二节偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量D x 时, 相应地函数有偏增量f (x 0+D x , y 0)-f (x 0, y 0).如果极限存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作, , , 或.xy x f y x x f x D -D +®D ),(),(lim 0000000y y x x x z ==¶¶00y y x x x f ==¶¶00y y x x x z ==),(00y x f x即 . 类似地, 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为, 记作, , , 或f y (x 0, y 0).x y x f y x x f y x f x x D -D +=®D ),(),(lim ),(000000000000(,)(,)lim x x f x y f x y x x ®-=-y y x f y y x f y D -D +®D ),(),(lim 0000000000(,)(,)lim y y f x y f x y y y ®-=-00y y x x y z ==¶¶00y y x x y f ==¶¶00y y x x y z ==偏导函数如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量的偏导函数, 记作, , , 或. 偏导函数的定义式: .x x z ¶¶xf ¶¶x z ),(y x f x x y x f y x x f y x f x x D -D +=®D ),(),(lim ),(0类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为, , z y , 或.偏导函数的定义式: .y z ¶¶y f¶¶),(y x f y y y x f y y x f y x f y y D -D +=®D ),(),(lim ),(0偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为 ,其中(x , y , z )是函数u =f (x , y , z )的定义域的内点.x z y x f z y x x f z y x f x x D -D +=®D ),,(),,(lim ),,(0求偏导方法：对多元函数的某变量求偏导时，多元函数的其它变量看作常数.例1 求z =x 2sin 2y 的偏导数解：， 2sin 2x z x y =22cos 2y z x y =例2 设, 求证:. )1,0(¹>=x x x z y z y z x x z y x 2ln 1=¶¶+¶¶解: , ,1y z yx x -¶=¶ln y z x x y ¶=¶122ln y x z z x z y x x y¶¶+==¶¶例3 求的偏导数.解：，，222z y x r ++=222r x x x y z ¶=¶++222r y y x y z ¶=¶++222r z z x y z ¶=¶++例4 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数),求证:.1-=¶¶×¶¶×¶¶p T T V V p 证：因为, ;, ; , ;所以VRT p =2V RT V p -=¶¶p RTV =p R T V =¶¶R pV T =R Vp T =¶¶12-=-=××-=¶¶×¶¶×¶¶pV RT R V p R V RT p T T V V p 注意：偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商.计算函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0) 处偏导数方法：（1）用定义；（2）, ；（3）, . 00),(),(00y y x x x x y x f y x f ===00),(),(00y y x x y y y x f y x f ===0]),([),(000x x x y x f dxd y x f ==0]),([),(000y y y y x f dy d y x f ==例5.已知函数，求；2ln(1),00,0xy x xy xy z xy +-ì¹ï=íï=î()0,1z x ¶¶解: ()()()00,1,10,1lim x z x z z x x®-¶=¶200ln(1)0ln(1)1lim lim 2x x x x x x x x x ®®+--+-===-例6 已知函数，求，.22(,)x yt x yf x y e dt +-=ò(2,1)x f (2,1)y f 解：，，()()222(,)x y x y x f x y ee+-=-()()222(,)2x y x y y f x y ee+-=+9(2,1)1x f e =-9(2,1)2y f e =+例7.已知函数，求；()()2232arctan 2y x e y z xy x y -+=+-()2,1zy ¶¶解：，()2,arctan 2y z y =()221122,2412d z y dy y y =×=+æö+ç÷èø()()22,111222,45y y z d z y y dy y ==¶===¶+例8. 已知,求 . 21(,,)arcsin xyzx y u x y z e y z+=+(2,1,1)x u -解：，2(,1,1)u x x -=-(,1,1)2du x x dx-=-()22(2,1,1)(,1,1)24x x x du u x x dx ==-=-=-=-例9.已知，且当时，求函数.22,0z x y x x x¶+=>¶1x =(,)sin ,z x y y =(,)z x y 解：，，，2,0z y x x x x¶=+>¶ ()222(,)ln 2y xz x y x dx y x C y x æö=+=++ç÷èøò()1(1,)sin 2z y C y y=+=Þ()1sin 2C y y =-221(,)ln sin 22x z x y y x y =++-例10 求函数的偏导数,.222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ì+¹ï+=íï+=îf x ¶¶fy ¶¶解：当时，，，当时，，，，. 220x y +¹22(,)xyf x y x y =+()22222f y x yx x y ¶-=¶+()22222f x y xy x y ¶-=¶+220x y +=()()0,00,0(0,0)lim 0x x f x f f x®-==()()00,0,0(0,0)lim 0y y f y f f y®-==()222222222,00,0y x y x y f x y x x y ì-+¹ï¶=+í¶ï+=î ()222222222,00,0x y x x y fx y y x y ì-+¹ï¶=+í¶ï+=î二元函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的偏导数的几何意义:(1)是平面y =y 0上的曲线C x :在点M (x 0, y 0, z 0)处切线T x 对x 轴的斜率tanα ;(2)是平面x =x 0上的曲线C y :在点M (x 0, y 0, z 0)处切线T y 对y 轴的斜率tanβ.0]),([),(000x x x y x f dxd y x f ==()0,z f x y y y ì=í=î0]),([),(000y y y y x f dyd y x f ==()0,z f x y x x ì=í=î例12求曲线在点处的切线与y 轴正向所成的倾角β.22112z x y x ì=--ïí=ïî 111,,222æöç÷èø解：根据偏导数的几何意义，，.11tan ,122y z b æö==-ç÷èø34b p =偏导数与连续性一元函数在某点具有导数，那么它在该点必定连续;但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P) 趋于f(P0) ，但不能保证点P按任何方式趋于P0时．函数值f(P)都趋于f(P0).对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如在点(0, 0)有, f x (0,0)=0, f y (0,0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续.ïîïíì=+¹++=0 00 ),(222222y x y x yx xy y x f例13 讨论函数在(0,0)处的连续性与可导性.22y x z +=解:由于=0=z (0,0),所以函数在(0,0)处连续;但不存在,因此z x (0,0)不存在. 同理z y (0,0)不存在; 从而函数在(0,0)处的两个偏导数不存在.2200lim y x y x +®®()()0000,00,0lim lim x x x y x z x z z xxx ®®==-¶==¶z =f (x , y ) D, , D f x (x , y ) f y (x , y ) x , y . , z =f (x , y ) .),(y x f xz x =¶¶),(y x f y z y =¶¶, ,,., .n . .),()(22y x f x z x z x xx =¶¶=¶¶¶¶),()(2y x f y x z x z y xy =¶¶¶=¶¶¶¶),()(2y x f xy z y z x yx =¶¶¶=¶¶¶¶),()(22y x f y z y z y yy=¶¶=¶¶¶¶),()(2y x f y x z x z y xy =¶¶¶=¶¶¶¶),()(2y x f x y z y z x yx =¶¶¶=¶¶¶¶0000000(,)(,)(,)limx x xy y y f x y f x y f x y y y ®-=-0000000(,)(,)(,)limy y yx x x f x y f x y f x y x x ®-=-例1 设z =x 3y 2-3xy 3-xy +1, 求偏导数、、和.22x z¶¶33x z ¶¶x y z ¶¶¶2y x z ¶¶¶2解：，, ，，，注意到：.22333z x y y y x ¶=--¶3226z x y xy x y¶=--¶2226z xy x¶=¶3236z y x ¶=¶222661z x y y y x¶=--¶¶222661z x y y x y ¶=--¶¶y x zx y z ¶¶¶=¶¶¶22例2 设, 求,;并证明.()22222222(),0,0, 0xy x y x y x yf x y x y ì-+¹ï+=íï+=îx f ¶¶y f¶¶()()0,00,0xy yx f f ¹解：当时，，，；当时，，； 220x y +¹()2222(),xy x y f x y x y -=+()()()()()()2222324224222222324x y x y x xy x f x x y yy yxx yx y-+--¶--==¶++()42242224f x x y y x y x y ¶--=¶+220x y +=()()()0,00,00,0lim 0x x f x f f x®-==()()()00,0,00,0lim 0y y f y f f y®-==所以，，， .()422422222224,00,0x x y y y x y f x y x x y ì--+¹ï¶=+í¶ï+=î ()422422222224,00,0x x y y x x y f x y y x y ì--+¹ï¶=+í¶ï+=î ()()()000,0,000,0lim lim 1x x xy y y f y f y f y y®®---===-()()()0,00,000,0limlim 1y y yx x x f x f x f xx®®--===()()0,00,0xy yx f f ¹例3 设，求.,||||(,),||||xy y x f x y xy y x ì<ï=íï-³î(0,0),(0,0)xyyx ff 解：； . 0(,0)(0,0)(0,0)lim 0x x f x f f x®-==0(0,)(0,0)(0,0)lim 0y y f y f f y ®-==00(,)(0,)0(0,)lim lim ,(0)x x x f x y f y xy f y y y x x®®---===-¹0(0,)(0,0)(0,0)lim 1x x xy y f y f f y®-==-00(,)(,0)0(,0)lim lim ,(0)y y y f x y f x xy f x x x y y®®--===¹00(,0)(0,0)(0,0)limlim 1y y yx x x f x f x f xx®®--===注意到：.()()0,00,0xy yx f f ¹例4 证明函数满足方程, 其中.r u 1=0222222=¶¶+¶¶+¶¶zu y u x u 222z y x r ++=证: ,.同理 ,.因此. 32211r xr x r x r r x u -=×-=¶¶×-=¶¶6236333223)()(r x r r x r r r x x r r x x x u ¶¶×--=¶¶×--=-¶¶=¶¶52343223131r x r x r r x r x u +-=¶¶×+-=¶¶5232231r y r y u +-=¶¶5232231r z r z u +-=¶¶)31()31()31(523523523222222r z r r y r r x r z u y u x u +-++-++-=¶¶+¶¶+¶¶033)(3352352223=+-=+++-=rr r r z y x r定理如果函数z =f (x ,y )的两个二阶混合偏导数及在区域D 内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. x y z¶¶¶2yx z ¶¶¶2对于二阶以上的混合偏导数有类似的结论!证明提示: 令，;;,; ,; .0000000(,)(,)(,)(,)(,)F x y f xx y y f x x y f x y y f x y D D =+D +D -+D -+D +00()(,)(,),x f x y y f x y j =+D -00(,)()()F x y x x x j j D D =+D -00()(,)(,),y f x x y f x y f =+D -00(,)()()F x y y y y f f D D =+D -()()010102(,),xy F x y x x x f x x y y x y j q q q ¢D D =+D D =+D +D D D 120,1q q <<()()030403(,),yx F x y y y y f x x y y x y f q q q ¢D D =+D D =+D +D D D 340,1q q <<()()()()010*********,,,,xy yx xy yx f x x y y f x x y y f x y f x y q q q q +D +D =+D +D Þ=练习：1.设，求;2．设，求; 3. 设满足，，，求; 4 设，求.sin xx z e y -=212,z x y p æöç÷èø¶¶¶2(,)sin xyx y f x y t dt -=ò2f x y ¶¶¶(,)z f x y =(,0)0f x =(,0)sin y f x x =(,)2yy f x y x =(,)f x y ()()()()322,,0,0(,)0,,0,0x yx y x y g x y x y ì¹ïï+=íï=ïî(0,0),(0,0)xy yx g g1.设，求.sin xx z e y -=212,z x y p æöç÷èø¶¶¶解：，.1sin cos xx z x x e e x y y y --¶=-+¶222211cos cos sin x x x z x x x x x e e e x y y y y y y y y ---æöæö¶=-----ç÷ç÷¶¶èøèø2212,z x y e p p æöç÷èø¶æö=ç÷¶¶èø2．设，求.2(,)sin xyx y f x y t dt -=ò2f x y ¶¶¶解：，. ()()22sin sin f y xy x y x ¶=--¶()()()()22222sin cos 2cos 2f xy y xy x y x y x y x y¶=+×+-×-¶¶3.设满足，，，求.(,)z f x y =(,0)0f x =(,0)sin y f x x =(,)2yy f x y x =(,)f x y 解：由，，,，，，.(,)2yy f x y x =()1(,)22y f x y xdy xy C x ==+ò()1(,0)sin y f x C x x ==(,)2sin y f x y xy x =+()()22(,)2sin sin f x y xy x dy xy y x C x =+=++ò()2(,0)0f x C x ==2(,)sin f x y xy y x =+4.设，求.()()()()322,,0,0(,)0,,0,0x yx y x y g x y x y ì¹ïï+=íï=ïî(0,0),(0,0)xy yx g g 解：当时，，，. 当时，，; ， . ()(),0,0x y ¹322(,)x yg x y x y =+()()()()2223422222222323(,)x x x y x x x x yg x y yyxyxy+-+==++()()()()2222332222222(,)y x y y y x yg x y xxx yx y+--==++()(),0,0x y =()()()0,00,00,0lim 0x x g x g g x®-==()()()00,0,00,0lim 0y y g y g g y®-==()()()000,0,0000,0lim lim 0x x xy y y g y g g y y®®--===()0,0yx g ()()0,00,00limlim 1y y x x g x g x xx®®--===。

【精品】第六章第三节偏导数

第四节偏导数一．增量1．自变量增量x x x -=∆y y y -=∆2．函数增量偏增量()()0000,,y x f y x x f z x -∆+=∆()()0000,,y x f y y x f z y -∆+=∆全增量()()0000,,y x f y y x x f z -∆+∆+=∆二偏导数1．函数()y x f z ,=在),(00y x 点的偏导数()xzy x f x x x ∆∆='→∆000lim,()()(xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+='→∆0000000,,lim,注：00型①()y x f ,在点),(00y x 及其附近有定义②极限存在，但∞≠③表示法：()00,y x f x '，y y x x xz =='，00y y x x xz ==∂∂，()xy x f ∂∂00,都是整体符号. 2．偏导函数()xzy x f x x x ∆∆='→∆0lim,()()()xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+='→∆,,lim ,0注:（1）表示法:()y x f x ,',x z '，x z∂∂，()x y x f ∂∂,（2）多元函数对一个变量求导时，只需将其它变量看成常数，用一元函数求导法则.例1求函数()xyyxf ln,=的偏导数及()3,1-'xf，()3,1-'yf例2求函数()yeyxf x cos,sin⋅=的偏导数三．二阶偏导数例3求函数2333xyyxz-+=的各二阶偏导数例4求函数yyexz2=的各二阶偏导数定理1：当二阶偏导数()y xfxy,''，()y x fyx ,''为连续函为y x,连续函数时,()()y xfyxfyxxy,,''=''例5P303/需求对价格的变化率需求对收入的变化率需求对价格的偏弹性需求对收入的偏弹性作业：课堂练习:P305/1、2、3习题：P115/1（1）（3)（5）（7）（9）、3、4、6第三问（2)。