2009年上海中考数学试卷分析2

以几何图形为背景的压轴题

闵行中心

马德岩

近年中考试题或模拟考题能反映命题风格、命题热点、命题形式（特别是新题型）的新动向、新导向，以近年中考题为基本素材，有利于考生适应中考情境，提高中考复习的针对性。中考题型的创新形式主要有：情景题、应用题、开放题、操作题、探索题等，体现出“经历、体验、探索”的过程性目标。此类题目是学生得分的薄弱环节，主要涉及到的题目为：图形翻折、平移、旋转的运动变化、函数思想的形成、方程思想的建立等等。应对此类问题学生应该要用数学的眼光观察世界，用数学知识、数学思想方法去分析问题、解决问题。这类试题往往情景较为新颖，问题也较为灵活，每年的分值在25分左右。下面以2009年上海中考最后一题为点来分析这类问题解决的方法。

已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足

PQ AD

PC AB

=（如图8所示）． （1）当2AD =，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段PC 的长；

（2）在图8中，联结AP ．当3

2AD =

，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBC

S y S =△△，其中APQ S △表示APQ △的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图10所示），求QPC ∠的大小．

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，在重点考查最基本、通用的数学规律和数学技能

的同时，这道试题突出考查学生对数学思想方法的领悟。

解：（1）AD=2，且Q 点与B 点重合，根据题意，∠

PDA ，因为∠A=90。

PQ/PC=AD/AB=1,所以：△PQC 为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,

（2）如图：根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2， 高分别是H ，h ，则：S1=（2-x ）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2

S2=3*h/2 因为两S1/S2=y ，消去H,h,得：Y=-(1/4)*x+(1/2),

定义域：当点P 运动到与D 点重合时，X 的取值就是最大值，当PC 垂直BD 时，这时X=0，连接DC,作QD

A

D

P

C

B

Q 图8

D

A

P

C

B

（Q ） 图9

图10

C

A

D

P

B

Q

垂直DC，由已知条件得：B、Q、D、C四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形QDC相似于三角形ABD则QD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，（t>0）由勾股定理得：直角三角形AQD中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2直角三角形QBC中：3^2+x^2=(5t)^2整理得：(8x-7)(8x-43)=0得x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数:

Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为[0，7/8]

(3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ′垂直于PC，与AB交于Q′点，则：Q′，B，P，C四点共圆，由圆周角定理推知，三角形P Q′C相似于三角形ABD，根据相似三角形的性质得：PQ′/PC=AD/AB,又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q′与点Q重合，所以角∠QPC=90。

近三年以来，上海中考对数学这个科目的考察越来越重视加强对探究能力、获取信息和处理信息能力、空间观念操作能力和综合运用数学知识解决问题能力的考查力度，加强对学生数学思维过程和思维方法的考查；如有关图形运动变换试题，重点对空间观念和动态图形处理能力的考查，从对静态图形的想象、简单动态图形的想象、复杂动态图形的想象等几个不同层次对考生能力作恰当要求。而这样的题目对考生来说乍一看来是无从下手的，即使有的考生有能力完成，但限于时间上的要求往往不能全面的分析这类问题。想要有条理的分析解决这类问题应该注重以下技能的培养

①深刻理解基础知识，熟练掌握解题基本方法，努力形成解题基本技能。

②合理安排考试时间，书写做到数学语言是通用、精确、简约的科学语言。

③平时进行速度训练。以此来加快书写速度，降低思维难度，提高解题质量。

而对于即将步入初三的学生来说，如何学会有效的学习，把学习效率发挥到及至，以下是几点建议：

①中考试题或模拟考题经过考生的实践检验和广大教师的深入研讨，科学性强（漏洞也清楚），解题思路明朗，解题书写规范，评分标准清晰，是优质的训练素材。

②中考试题或模拟考题都努力抓课程的重点内容和重要方法，并且每套中考试题或模拟考题能覆盖全部知识点的60%～80%，几套试题一交叉，既保证了全面覆盖，又体现了重点突出。

以下是今年来涉及到得以几何图形为背景的压轴题目

1、正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点（不与点D重合），直线AE交直线BC于点G，∠BAE

的平分线交射线BC于点O．（1）如图8，当CE= 时，求线段BG的长；

（2）当点O在线段BC上时，设，BO=y，求y关于x的函数解析式；

（3）当CE=2ED时，求线段BO的长．（2008年中考真题25题）

2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．

（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；