第三章-一元函数积分学

第三章 一元函数积分学

§3-1 不定积分

不定积分是计算定积分、重积分、线面积分和解微分方程的基础，要求在掌握基本积分法的基础上，更要注重和提高计算的技巧。

一、基本概念与公式

1. 原函数与不定积分的概念

2. 不定积分与微分的关系（互为逆运算）

3. 不定积分的性质 4．基本积分表 2222

22

312

22

3

2max{1}d .,1

max{1,}1,11,

,

111max{1,}d d 3

11max{1,}d 1d 11

max{1,}d d .

3x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x C x x x x x x

C ⎧<-⎪

=-≤≤⎨⎪>⎩<-==+-≤≤==+>==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1求，因

当时

；当时

；

当时

例解

()()3111321

11232

31lim lim 3,1lim lim 323

,232

133

max{1,}d 1 1.2

1

33

x x x x x C x C x C x C C C C C x C x x x x C x x C x -+

-

+→-→-→→⎧⎛⎫

+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭

⎨

⎛⎫⎪+=+ ⎪⎪⎝⎭⎩⎧

=-+⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩

⎧-+<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩

⎰

由原函数的连续性,有

得

故

，，，

二、不定积分的基本方法

1. 第一类换元法（凑微分法） ()d ()[()]d []d [].f u u F u C f x x x f x x F x C ϕϕϕϕϕ=+'()=()()=()+⎰⎰⎰若，则

2. 第二类换元法

()10[]()()d []d ()[].

x t t x x t t f t t G t f x x

f t t t G t C

G x C ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-1=()

=-''=()()≠()()'()()=+()+⎰

⎰

令代回

若是单调可导函数，且，又具有原函数，则有换元公式

3. 分部积分法

()()d ()()()()d d d .

u x v x x u x v x u x v x x

u v uv v u ''=-=-⎰⎰⎰⎰或

4. 有理函数的积分法 化有理真分式为部分分式.

5. 三角函数有理式的积分

(sin cos )d ()tan

2

R x x x R u v u v x

t =⎰对于，(其中，表示关于，的有理函数)，可用“万能代换”化为有理函数的积分.

三、题解示例

(

2

2

2

2

225sin 25sin

25sin

25sin 25sin 225s .

22.sin 4d .

sin 4d 2sin 2cos 2d 1sin 2d sin 2d(5+sin 2)2

12

x

x

x

x

x

x x C e x x e

x x e x x x

e x x e x e ++++++==+===

=

⎰⎰⎰⎰⎰⎰23求求例解

例

解

2in 23

222

2

2..

ln(2

[ln()].3

1ln d .

(ln )1ln 1ln d d (ln )ln 1x

C x x x x C x

x x x x x x

x x x x x x +==++----=⋅-⎛⎫- ⎪

⎝

⎭⎰⎰⎰45求求例解

例解

2

1ln 1d 1ln ln 11.

ln x C x x x x x x

C x x

⎛⎫

=--=+ ⎪⎝

⎭⎛⎫-- ⎪⎝

⎭=

+-⎰

sin tan (d ((n n

t ax b

ax b t cx d

x a t

x a t

R x x R x x

R x x R x x

=++=+==⎛ ⎝⎰⎰⎰⎰令

令令令化为有理函数的积分.

化为有理函数的积分.

化为三角函数有第二类换元法常用来去根号

,如式.：

理的积分

sec (x a t

R x x

=⎰令化为三角函数有理式的积分.化为三角函数有理式的积分.

355323232.

1

d 6d 6d d 6d 6(1)d 6112366ln |1|1).x t x t t

t t t t t t t t t t t t t t t t C

C +====-+-+++=-+-++=+⎰⎰⎰⎰

6求令，则原式例解

2222

222222(1)1d 12d d ,11(1)12d 2d 1ln .

(1)11x x x

I x

x x

x t t t

t x x x t t t t t t t I C t t t t +=+===+---+=⋅==+---⎰

⎰⎰法一：令，则，故

解

222211ln

2ln(1).11111ln 22411221ln .

2x

x C x x C x x

I x x C

x x x x C ++=+=+++-

+⎛⎫⎛⎫ ⎪==+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭

+- ⎪ ⎪

⎝

⎭⎝⎭⎛⎫

=++++ ⎪⎝⎭⎰

法二：

22222

2222(2)413(2)(2)33tan 2

3sec d 1cos d 9tan 3sec 9sin 1413.

9sin I x x x x x x t t t t

t

t t t

x x C C t ==++++++=-==⋅++=-+=-+⎰⎰

⎰⎰8求令原式例解

2

222222222arcsin d .

1arcsin sin d cos d (1sin )d csc d d cot cot d sin 2

11cot ln |sin |arcsin ln ||(arcsin ).

22x I x x x

x t x t x t t

t t t I t t t t t t t t t t t t x t t t C x x x C =⋅-===+==+=-++

-=-+++=-+++⎰

⎰⎰⎰⎰9求令，，例解 ()d ()sin d ()cos d ()()d sin d cos d d ()ln ()d ()(arcsin )d ()arctan d ln ()(arcsin )arctan (ax

m m m ax m m n n m m n n m P x e x P x ax x P x bx x P x m P x u e x ax x bx x v P x ax b x P x x x P x x x ax b x x u P ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰一般地，形如，，的积分(其中

为次多项式),选取为，，，为应用分部积分降幂；

形如，，的积分，选取，，为，)d d x x v 为应用分部积分超越函数代数化.