数形结合思想例题选讲

数形结合思想例题选讲

数形结合思想是“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化

（1）集合的运算及韦恩图 （2）函数及其图象

（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线

以形助数常用的有 借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方

法；

以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。

例题选讲

类型一：集合的运算及韦恩图

利用数形结合的思想解决集合问题，常用的方法有数轴法、韦恩图法等。当所给问题的数量关系比较复杂，且没有学容斥原理前，不好找线索时，用韦恩图法能达到事半功倍的效果。

例1．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） ().A M P S B 。()M P S ().I C M P S ð ().I D M P S ð 解：阴影部分是M 与P 的公共部分（转化为集合语言就是M P ），且在

S 的外部（转化为集合语言就是C I S ），故选C 。通过上述例子，我们知道：当应用题中牵

涉到集合的交集、并集、补集时，用韦恩图比用数轴法简便。

类型二：图表信息题

此类题目都有图形（或图表）作为已知条件，须联系函数的性质分析求解，解

决问题的关键是从已知图形（图表）中挖掘信息.

例2．直角梯形ABCD 如图（1），动点P 从B 点出发，由A D C B →→→沿边运动，设点P 运动的路

程为x ，ABP ∆的面积为

)(x f ．如果函数)(x f y =的图象如图（2），则ABC ∆的面积为（ ）

A ．10

B ．16

C ．

解：由)(x f y =

图象可知,当04()0x f x →由时由由4=x

及9=x 时)(x f 不变,说明P 点在DC 上,即所以AD=14-9=5,过D 作DG AB ⊥

则DG=BC=4

3=∴AG ,由此可求出AB=3+5=8.

16482

1

21=⨯⨯=⋅=∆BC DB S ABC 选B

例3．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是

A ．y =2x -2 B.y =

21(x 2

-1) C.y =log 2x D.y =log 2

1x A B C

D P

图（1）

解：解法一:把表中x 的数值取整数代入下列函数中逐一计算,近似估算,最接近y 值的一个函数为

()2

112

y x =

-.故选B. 解法二:把表中()y x ,近似描点连线,对照可得最接近的函数为

()2

112

y x =

-的图象.故选B. 类型三：解析几何中直线与曲线

例4．曲线y =1+24x - (–2≤x ≤2)与直线y =r (x –2)+4有两个交点时，实数r 的取值范围

解析 方程y =1+

24x -的曲线为半圆，

y =r (x –2)+4为过（2，4）的直线

答案 （

4

3,125］ 类型四：方程（多指二元方程）及方

程的曲线交点问题

例5．已知最小正周期为2的函数y=f(x)，当x ∈[-1,1]时，f(x)=x 2，则函数y=f(x)（x ∈R ）的图象

与y=|log 5x|的图象交点个数为（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

解：本题考查周期函数的图象和性质，对数函数的图象和性质及含有绝对的函数的图象的画法，本题考

查数形结合思想.

例6．设f (x )=x

恒成立，求

a 的取值范围 解法一 由f (x )⇔x 2–2ax +2–a 考查函数g (x )=x 2轴上方

如图两种情况

不等式的成立条件是

(1)Δ=4a 2–4(2–a )＜0⇒a ∈(–2,1)

(2)⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧>--<≥∆0)1(1

0g a a ∈(–3,–2]， 综上所述a ∈(–3,1)

解法二 由f (x )＞a ⇔x 2+2＞a (2x +1)

令y 1=x 2+2,y 2=a (2x +1),在同一坐标系中作出两个函数的图象

如图满足条件的直线l 位于l 1与l 2之间，而直线l 1、l 2对应的a 的斜率）

分别为1，–3，

故直线l 对应的a ∈(–3,1)

类型六：函数知识解应用题

函数知解应用题的题型比较丰富,一般为中档题,其中对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．

例7．某医药研究所开发一种新药.如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药

量y （毫克）与

时间t （小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线. 据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，

x

x

治疗疾病有效.则服药一次治疗该疾病有效的时间为（ ）

A. 4小时

B. 47

8 小时

C. 415

16

小时 D. 5小时

解：由已知图象可得, 01,()1(), 1.2t a kt t f x t -<≤⎧⎪

=⎨->⎪⎩将点(1,4)代入可得4k =,3a =.

∴34, 01,

()1(), 1.2

t t t f x t -<≤⎧⎪

=⎨->⎪⎩

令()0.25f x ≥可得40.25,11,0116t t t ≥⎧⇒≤≤⎨<≤⎩或3

1,

151()0.25,2

t t t ->⎧⎪

⇒<≤⎨-≥⎪⎩, ∴

1516t ≤≤, 从而得服药一次治疗该疾病有效的时间为115

5-41616=,故应选C. 类型七：创新题

例8．如图,三台机器人123,,M M M 和检测台M （M 与123,,M M M 均不能重合）位于一条直线上,

三台机器人需把各自生产的零件送交M 处进行检测,送检程序设定：当1M 把零件送达Ｍ处时，2M 即刻自动出发送检，当2M 把零件送达M 处时，3M 即刻自动出发送检，设2M 的送检的速度为v ，且送检速度是

1M 的２倍、3M 的３倍．

（１）求三台机器人123,,M M M 把各自生产的零件送达检测台M 处的时间总和；

（２）现要求三台机器人123,,M M M 送检时间总和必须最短，请你设计出检测台M 在该直线上的位置． 解：（１）由已知得检测台M 的位置坐标为0，则机器人123,,M M M 与检测台M 的距离分别为2,1,3．又

2M 的送检的速度为v ，

则1M 的送检的速度为

12v ，3M 的送检的速度为1

3

v . 故三台机器人123,,M M M 按程序把各自的生产零件送达检测台Ｍ处的时间总和为

∙

∙

∙∙∙∙1M M

2M 3

M -2 -1 0 1 2 3