人教版数学优化设计必修一答案

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高中数学必修一《优化方案》答案第一章

错误!1．1。

1集合的含义与表示［读教材·填要点]1．元素与集合(1)元素与集合的定义：一般地，把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）．(2)集合中元素的性质：①确定性：即给定的集合，它的元素是确定的．②互异性：即给定集合的元素是互不相同的．③无序性．（3）集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．（4）元素与集合的关系：a是集合A的元素，记作a∈A,a不是集合A的元素,记作a∉A.2．集合的表示方法除了用自然语言表示集合外,还可以用列举法和描述法表示集合．(1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“｛}”括起来表示集合的方法．(2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．3．常用数集及其记法1．著名数学家能否构成一个集合？提示：不能,没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合．2．一个集合能表示成｛s，k，t，k}吗？提示:不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素．3．集合{－5，－8｝和{（－5，－8)}是同一集合吗？提示:不是同一集合．集合｛－5,－8｝中元素有2个，为数．而集合{(－5，－8）}中有一个元素为坐标（－5，－8）．[例1］(1)某校2013年在校的所有高个子同学;(2）不超过20的非负数；（3)帅哥；(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点;(5）错误!的近似值的全体．［自主解答]“高个子”没有明确的标准，因此（1）不能构成集合．（2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数"，即“0≤x≤20”与“x>20或x〈0",两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3）“帅哥"没有一个明确的标准，不能构成集合;（4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；（6)“错误!的近似值"不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以（5）不能构成集合．————————-—-——————-判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．——--————-—————-—————————--——————-———————1．下列能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．2013年沈阳全运会比赛的所有项目C．2010年上海世博园中所有漂亮的展馆D．世界上的高楼答案:B[例2］a的值．[自主解答］若a＋2＝1，则a＝－1,所以A＝｛1,0，1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去;若（a＋1)2＝1,则a＝0或a＝－2，当a＝0时，A＝｛2，1,3},满足题意．当a＝－2时，A＝｛0，1,1｝，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；若a2＋3a＋3＝1,则a＝－1或a＝－2(均舍去）．综上可知,a＝0。

高中数学必修一《优化方案》答案-第一章

1．1.1集合的含义与表示[读教材·填要点]1．元素与集合(1)元素与集合的定义：一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合中元素的性质：①确定性：即给定的集合，它的元素是确定的．②互异性：即给定集合的元素是互不相同的．③无序性．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素与集合的关系：a是集合A的元素，记作a∈A，a不是集合A的元素，记作a∉A.2．集合的表示方法除了用自然语言表示集合外，还可以用列举法和描述法表示集合．(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．3．常用数集及其记法1．著名数学家能否构成一个集合？提示：不能，没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合．2．一个集合能表示成{s，k，t，k}吗？提示：不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素．3．集合{－5，－8}和{(－5，－8)}是同一集合吗？提示：不是同一集合．集合{－5，－8}中元素有2个，为数．而集合{(－5，－8)}中有一个元素为坐标(－5，－8)．[例1](1)某校2013年在校的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)帅哥；(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点；(5)3的近似值的全体．[自主解答]“高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“帅哥”没有一个明确的标准，不能构成集合；(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(5)不能构成集合．——————————————————判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．————————————————————————————————————————1．下列能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．2013年沈阳全运会比赛的所有项目C．2010年上海世博园中所有漂亮的展馆D．世界上的高楼答案：B[例2]已知集合A＝{a[自主解答]若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2，当a＝0时，A＝{2,1,3}，满足题意．当a＝－2时，A＝{0,1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2(均舍去)．综上可知，a＝0.例2中1∈A改为4∈A，则结果如何？解：若a＋2＝4，则a＝2.∴A＝{4,9,13}满足题意．若(a＋1)2＝4，则a＝1或a＝－3.当a＝1时，A＝{3,4,7}，满足题意．当a＝－3时，A＝{－1,3,4，}满足题意．若a 2＋3a ＋3＝4，则a ＝－3±132，代入后都满足题意，故a 的值为a ＝1，a ＝2，或a ＝－3或a ＝－3±132.——————————————————1.这类问题既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否.初学者解题时易忽略元素的互异性，学习中要高度重视.另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想.2.一个集合中，元素之间没有先后顺序，只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合. ————————————————————————————————————————2．含有两个实数的集合A 可以表示为{a －3,2a －1}，求实数a 的取值范围．解：∵A ＝{a －3,2a －1}，∴由集合中元素的互异性可得a －3≠2a －1. ∴a ≠－2.∴a 的取值范围为a ≠－2.[例3] (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝5的解集；(2)不等式2x －3>5的解集．[自主解答] (1)集合用描述法表示为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝5}．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1故集合用列举法表示为{(4，－1)}．(2)由2x －3>5可得x >4，所以不等式2x －3>5的解集为{x |x >4，x ∈R }． ——————————————————1．一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围． 2．方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式．————————————————————————————————————————3．有下面六种表示方法①{x ＝－1，y ＝2} ②⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝－1，y ＝2.③{－1,2} ④(－1,2) ⑤{(－1,2)} ⑥{x ，y |x ＝－1，或y ＝2}．其中，能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________(把所有正确答案的序号填在空格上)．解析：[错解] ∵x 3∈A ，故x 3＝0或x 3＝1或x 3＝x ，若x 3＝0，则x ＝0；若x 3＝1，则x ＝1；若x 3＝x ，则x ＝1或x ＝0. 综上所述：所求x 的值为0或1.[错因] 本题错误的原因有两个，一是没有考虑到元素的互异性，解出来的结果没有代入检验，得出了错误结果；二是解x 2＝x 时漏掉了x ＝－1这个答案，也导致了错误的结果．[正解] ∵x 3∈A ， ∴x 3是集合A 中的元素．又∵集合A 中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若x 3＝0，则x ＝0，此时集合A 中有两个元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去； ②若x 3＝1，则x ＝1，此时集合A 中有两个元素1，不符合集合中元素的互异性，舍去；③若x 3＝x ，则x ＝0、x ＝－1或x ＝1，当x ＝0、x ＝1时不符合集合中元素的互异性，都舍去．当x ＝－1时，此时集合A 中有三个元素1,0，－1，符合集合中元素的互异性；综上可知，x ＝－1. 1．有下列各组对象： ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数的全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体； ④正三角形的全体．其中能构成集合的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．答案：A2．下面几个命题中正确命题的个数是( ) ①集合N *中最小的数是1； ②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 最小值是2； ④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，且a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．答案：C3．已知集合M ＝{3，m ＋1}，且4∈M ，则实数m 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：∵4∈M ，∴4＝m ＋1，∴m ＝3. 答案：B4．已知①5∈R ②13∈Q ③0＝{0} ④0∉N⑤π∈Q ⑥－3∈Z .正确的个数为________．解析：①②⑥是正确的；③④⑤是错误的．答案：35．用适当的符号填空：已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z }，则有：17______A ；－5______A ；17________B .解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z . 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A .令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ，所以17∈β. 答案：∈，∉，∈6．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有非负偶数的集合； (5)所有能被3整除的数的集合； (6)方程(x －1)(x －2)＝0的解集； (7)不等式2x －1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}． (2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}． (3){x |x 是梯形}或{梯形}． (4){0,2,4,6,8，…}． (5){x |x ＝3n ，n ∈Z }． (6){1,2}． (7){x |2x －1>5}．一、选择题1．下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A ．一切很大的数 B ．高中数学的所有难题 C ．美丽的小女孩D ．方程x 2－1＝0的实数根解析：选项A ，B ，C 中的对象都没有明确的判断标准，不满足集合中元素的确定性，故A ，B ，C 中的对象都不能组成集合．答案：D2．下列命题不．正确的有( )①很小的实数可以构成集合；②集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①错的原因是元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，种类不同；③32＝64，⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④该集合还包括坐标轴上的点．答案：D3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8D ．10解析：列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案：D4．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝(0,2)，则集合A *B 的所有元素之和为( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．6解析：依题意，A *B ＝{0,2,4}，其所有元素之和为6. 答案：D 二、填空题5．集合A ＝{(2，－2)，(2,2)}中含有________个元素．解析：∵(2，－2)，(2,2)是两个点，∴有2个元素．答案：26.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，a ∈A 且a ∈B ，则a 为________．解析：∵a ∈A 且a ∈B ，∴a 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y ＝x ＋3的解．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5，∴a 为(2,5)．答案：(2,5)7．用描述法表示方程x <－x －3的解集为________．解析：∵x <－x －3， ∴x <－32.∴解集为{x |x <－32}．答案：{x |x <－32}8．{(x ，y )|(x ＋2)2＋|y －3|＝0，x ，y ∈R }＝________.解析：由(x ＋2)2＋|y －3|＝0，又(x ＋2)2≥0，|y －3|≥0，所以(x ＋2)2＝0，|y －3|＝0，所以x ＝－2，y ＝3，所以{(x ，y )|(x ＋2)2＋|y －3|＝0，x ，y ∈R }＝{(－2，3)}．答案：{(－2,3)} 三、解答题9．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1， (1)若－3∈A ，试求实数a 的值． (2)若a ∈A ，试求实数a 的值．解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1. (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1.当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立．当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a ＝1.10．已知集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A . 解：当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0，所以x ＝2，此时集合A ＝{2}；当k ≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根，需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．1．1.2集合间的基本关系[读教材·填要点]1．子集的概念2.A B(或B A)3.(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．(2)用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集．4．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.[小问题·大思维]1．若A B，则A⊆B且A≠B，对吗？提示：对．∵A B，首先A⊆B，其中B中至少有一个元素不属于A，即A≠B.2．任何集合都有真子集吗？提示：不是，空集∅就没有真子集．3．{0}和∅表示同一集合吗？它们之间有什么关系？提示：{0}和∅不是同一个集合．{0}表示含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，且∅{0}．[例1]写出集合A＝[自主解答]由0个元素构成的子集：∅；由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；由3个元素构成的子集：{1,2,3}．由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．——————————————————1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. ————————————————————————————————————————1．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}．所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.[例2]下列各式正确的是(1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,1,2}；(3)0⊆{0}；(4){1}{x|x≤5}；(5){1,3}{3,4}．[自主解答]∵1<5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}⊆{x|x≤5}．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}{x|x≤5}．∵1∈{1,3}，但1∉{3,4}，∴{1,3}{3,4}．“”是“真包含于”的意思[——————————————————集合间关系的判定的步骤：首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A B；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B A；,最后，下结论：若A⊆B，B⊆A，则A ＝B ；若A ⊆B ，B A ，则A B ；若A B ，B ⊆A ，则B A ；若上述三种情况都不成立，则A B ，B A .[注意] 有时一个集合可以看成另一个集合的元素，如{1}可以看成集合{{1}，1，2，3}中的元素，也可以看成子集，因此{1}∈{{1}，1，2，3}与{1}⊆{{1}，1，2，3}都正确.————————————————————————————————————————2．集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |2x ＋7＞0}，试判断集合M 和N 的关系．解：M ＝{－3,2}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－72.∵－3>－72，2>－72，∴－3∈N,2∈N .∴M ⊆N . 又0∈N ，但0∉M ，∴M N .[例3] 已知集合A ＝{x |－3m 的取值范围． [自主解答] ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1解得－1≤m <2，综上得m ≥－1. ——————————————————(1)利用集合之间的关系时，首先要分析、简化每个集合.(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实点表示，不含“＝”用虚点表示.(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的.————————————————————————————————————————3．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，求a 的值．解：∵A ⊇B ，而a 2－a ＋1∈B ，∴a 2－a ＋1∈A . ∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . 当a 2－a ＋1＝3时，a ＝2或a ＝－1.(1)a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，这时满足条件A ⊇B ； (2)a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，这时也满足条件A ⊇B .当a 2－a ＋1＝a 时，a ＝1，此时A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a ＝1. ∴a 的值为2或－1.[错解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，(1)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(2)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(3)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．所以，a ＝1.[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解决集合关系问题时极易忽略∅，错解中没有考虑集合N 为∅的情况．[正解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，又N ⊆M ，∴N ＝∅，或N ＝{1}，或N ＝{2}，或N ＝{1,2}． (1)当N ＝∅时，方程x 2－2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a <0，即a >1.(2)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(3)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(4)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．综上可知实数a 的取值范围是a ≥1. 1．下列命题中，正确的有( ) ①空集是任何集合的真子集； ②若A B ，B C ，则A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集； ④如果不属于B 的元素也不属于A ，则A ⊆B . A ．①② B ．②③ C ．②④D ．③④解析：①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确．答案：C2．设集合M ＝{x |x >－2}，则下列选项正确的是( ) A ．{0}⊆M B ．{0}∈M C ．∅∈MD ．0⊆M解析：选项B 、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项D 中是元素与集合之间的关系，符号错误．答案：A3．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( ) A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：选项A 错，应当是B ⊆A .选项B 对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C 错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D 错，应当是D ⊆A .答案：B 4．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________．解析：∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}．∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅. 即x 2－x ＋a ＝0有实根． ∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，得a ≤14.答案：a ≤145．若{a,0,1}＝{c ，1b ，－1}，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：∵1b ≠0，∴c ＝0，∴a ＝－1，1b ＝1.∴a ＝－1，b ＝1.答案：－1 1 06．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，求实数m 的值．解：∵B ⊆A ，∴m 2＝－1，或m 2＝2m －1，当m 2＝－1时，显然无实数根；当m 2＝2m －1时，m ＝1.∴实数m ＝1.一、选择题1．已知集合M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}，则它的真子集的个数为( ) A ．12 B ．14 C ．15D ．16解析：∵M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}＝{－2，－1,0,1}共有4个元素，∴它的真子集共有24－1＝15个．答案：C2．定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{2,4,5}，则A *B 的子集个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由题意知A *B ＝{1,3}， ∴A *B 的子集个数为22＝4个．答案：D3．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合中为集合M 子集的是( ) A ．P ＝{－3,0,1} B ．Q ＝{－1,0,1,2}C ．R ＝{y |－π<y <－1，y ∈Z }D ．S ＝{x ||x |≤3，x ∈N }解析：先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .答案：D4．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．答案：A 二、填空题5．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是________．解析：∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，a ＋2≥5，∴3≤a ≤4. 答案：3≤a ≤46．设a ，b ∈R ，集合{0，ba，b }＝{1，a ＋b ，a }，则b －a ＝________.解析：由题意可知a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，所以ba ＝－1，则a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2.答案：27．下列关系中正确的是________．①∅∈{0}； ②∅{0}； ③{0,1}⊆{(0,1)}； ④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．解析：∵∅{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确，{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a ，b )}与{(b ，a )}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②.答案：②8．已知集合P ＝{1,2}，那么满足Q ⊆P 的集合的个数是________．解析：∵P ＝{1,2}，Q ⊆P ，∴集合Q 可以是∅或{1}或{2}或{1,2}．答案：4 三、解答题9．由“2，a ，b ”三个元素构成的集合与由“2a,2，b 2”三个元素构成的集合是同一个集合，求a ，b 的值．解：根据集合相等，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.10．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}，若B ⊆A ，求a 的值．解：法一：A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，由B ⊆A 得，B ＝∅，或B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2,3}，由于Δ＝(2a ＋1)2－4a 2－4a ＝1>0，∴B ≠∅，且B 含有两个不同元素．∴B ＝{2,3}，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立， ∴a ＝2.综上所述：a ＝2.法二：A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}＝{x|(x－a)·(x－a－1)＝0}＝{a，a＋1}，∵a≠a＋1，∴当B⊆A时，只有a＝2且a＋1＝3.∴a＝2.1．1.3集合的基本运算第一课时并集与交集[读教材·填要点]1．集合的并集与交集的定义21．若A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，那么A∪B＝{1,2,3,3,4,5}对吗？如何表示A∪B和A∩B?提示：A∪B＝{1,2,3,3,4,5}是不对的，因为不符合元素的互异性；A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3}．2．你认为并集概念中的“或”与我们日常生活中“或”意义一致吗？有什么区别？提示：并集中的“或”与生活中“或”是不一样的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，如“老师让张明或李红去开会”，意思是张明去也可以，李红去也可以，但不包括张明和李红一起去这种情况；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或彼此”．3．若集合A与集合B没有公共元素，能否说集合A与集合B没有关系？提示：当两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有关系，而是A∩B＝∅.[例1] 已知集合A ＝{x |(x ∪B 是( ) A ．{－1,2,3} B ．{－1，－2,3} C ．{1，－2,3}D ．{1，－2，－3}[自主解答] A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}＝{1，－2}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}＝{－2,3}， ∴A ∪B ＝{1，－2}∪{－2,3}＝{－2,1,3}． [答案] C ——————————————————解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn 图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.————————————————————————————————————————1．已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，求A ∩B ，A ∪B .解：∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，把集合A 与B 表示在数轴上，如图． ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0或x ≥52}＝{x |－1＜x ≤0或52≤x ≤3}；A ∪B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0或x ≥52}＝R .[例2] 已知集合A ＝x 的值． [自主解答] ∵A ∪B ＝{1,3，x }，A ＝{1,3，x }，B ＝{1，x 2}， ∴A ∪B ＝A ，即B ⊆A ， ∴x 2＝3或x 2＝x .①当x 2＝3时，得x ＝±3.若x ＝3，则A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，符合题意；若x ＝－3，则A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，符合题意． ②当x 2＝x 时，则x ＝0或x ＝1.若x ＝0，则A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，符合题意；若x ＝1，则A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，不成立，舍去；综上可知，x ＝±3或x ＝0. ——————————————————(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理.(2)对于含有参数的问题要分类讨论，同时要检验，利用好集合中元素的互异性. ————————————————————————————————————————2．已知集合A ＝{4,6}，B ＝{2，m }，A ∪B ＝{2,4,6}，则m 的值为________．解析：∵A ＝{4,6}，B ＝{2，m }，而A ∪B ＝{2,4,6}， ∴m ＝4或m ＝6. 答案：4或6(1) 若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值； (2)若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．[巧思] (1)A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B ；(2)∅A ∩B ⇔A ∩B ≠∅. [妙解] 由已知，得B ＝{2,3}，C ＝{2，－4}．(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B .于是2,3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，由根与系数之间的关系知：⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝a 2－19解之得a ＝5.(2)由A ∩B ∅⇒A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，得3∈A,2∉A ，－4∉A . 由3∈A 得32－3a ＋a 2－19＝0，解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A 矛盾；当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，符合题意． ∴a ＝－2.1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( ) A ．N ⊆M B ．M ∪N ＝M C ．M ∩N ＝ND ．M ∩N ＝{2}解析：因为－2∉M ，可排除A ；M ∪N ＝{－2,1,2,3,4}，可排除B ；M ∩N ＝{2}．答案：D2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}解析：注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．答案：A3．设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是()A．k≤3 B．k≥－3C．k>6 D．k≤6解析：因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－k2}，且M∩N≠∅，所以－k2≥－3⇒k≤6.答案：D4．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，则A∩B∩C＝________. 解析：∵A∩B＝{x|x是菱形}∴A∩B∩C＝{x|x是正方形}．答案：{x|x是正方形}5．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由M＝{0,1,2}，知N＝{0,2,4}，M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}6．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a.解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.∵a2＋1≠－3，∴①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，∴a≠0.②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，综上可知a＝－1.一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |－1≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x ≥－1} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：结合数轴得A ∪B ＝{x |x ≥－1}．答案：A2．设集合M ＝{x |－3<x <2}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |1≤x <2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |2≤x ≤3} 解析：∵M ＝{x |－3<x <2}且N ＝{x |1≤x ≤3}， ∴M ∩N ＝{x |1≤x <2}．答案：A3．设A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }．若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是( ) A ．t <－3 B ．t ≤－3 C ．t >3D ．t ≥3解析：B ＝{y |y ≤t }，结合数轴可知t <－3. 答案：A4．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ＜4D ．2＜m ≤4解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7m ＋1＜2m －1即2＜m ≤4.答案：D 二、填空题5．已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________. 解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2,4,6}．答案：{1,2,4,6}6．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________. 解析：用数轴表示集合A 、B 如图所示，由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则m ＝6. 答案：67．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：如图所示，若A ∪B ＝R ，则a ≤1. 答案：a ≤18．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，A ∩B ＝{(2,5)}，则a ＝________，b ＝________. 解析：∵A ∩B ＝{(2,5)}． ∴5＝2a ＋3.∴a ＝1. ∴5＝6＋b .∴b ＝－1. 答案：1 －1 三、解答题9．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴a ＞－4.10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B . 解：解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m －1，得m <2，则B ＝{m |m <2}．用数轴表示集合A 和B ，如图所示，则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．第二课时补集及集合运算综合问题[读教材·填要点]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个集合为全集． (2)符号表示：通常记作U . 2．补集1．已知集合A、∁U A(U为全集)，则A∩(∁U A)与A∪(∁U A)各有什么特点？提示：A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.2．设U为全集，则∁U∅、∁U U、∁U(∁U A)分别表示什么集合？提示：∁U∅＝U，∁U U＝∅.∁U(∁U A)＝A.3．判断∁U(A∩B)＝(∁U A)∩∁U B，∁U(A∪B)＝(∁U A)∪(∁U B)是否正确．提示：不对．结合韦恩图可知∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[例1]设全集U＝{0,1,2,3}U m的值．[自主解答]如图，∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}．∴方程x2＋mx＝0的两根为x1＝0，x2＝3，∴0＋3＝－m.即m＝－3.——————————————————(1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素离散时，可借助V enn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．(2)解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁U A)＝U. ————————————————————————————————————————1．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B.解：借助Venn，如右图所示，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∵∁U B＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}.[例2]设U＝{x∈N|x(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁U B)．[自主解答]∵U＝{x∈N|x<10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4,5,6,9}，∴A∩B＝{1,5,7,8}∩{3,4,5,6,9}＝{5}，A ∪B ＝{1,5,7,8}∪{3,4,5,6,9}＝{1,3,4,5,6,7,8,9}． ∵∁U A ＝{0,2,3,4,6,9}，∁U B ＝{0,1,2,7,8}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{0,2}，(∁U A )∪(∁U B )＝{0,1,2,3,4,6,7,8,9}． ——————————————————1.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求出A ∪B ，再求补集.2.当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.————————————————————————————————————————2．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝( ) A ．∅ B ．{x |x ≤0}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >0，或x ≤－1}解析：∵B ＝{x |x ≤－1}，∴∁U B ＝{x |x >－1}．又∵A ＝{x |x >0}，∴A ∩(∁U B )＝{x |x >0}．又∵∁U A ＝{x |x ≤0}． ∴B ∩(∁U A )＝{x |x ≤－1}．∴[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝{x |x >0，或x ≤－1}．答案：D[例3] 设全集U ＝R ，U a 的取值范围． [自主解答]∁U P ＝{x |x ＜－2或x ＞1}， ∵M ∁U P ，∴分M ＝∅，M ≠∅，两种情况讨论． (1)M ≠∅时，如图可得或⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜2a ＋5，3a ≥1，∴a ≤－72，或13≤a ＜5.(2)M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5. 综上可知，a ≤－72，或a ≥13.——————————————————1.M⊆N，一般分两种情况讨论：①M＝∅，②M≠∅.2.解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法. ————————————————————————————————————————3．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}．(1)若A⊆B，求a的取值范围；(2)若全集U＝R，且A⊆(∁U B)，求a的取值范围．解：∵A＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x≥a}，(1)由A⊆B，结合数轴(如图所示)可知a的范围为a≤－4.(2)∵U＝R，∴∁U B＝{x|x＜a}，要使A⊆∁U B，须a＞－2.动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．[巧思]先将文字语言转化为集合语言，设U为全班学生组成的集合，A、B分别表示喜爱篮球运动的学生组成的集合、喜爱乒乓球运动的学生组成的集合，再利用Venn图可直观得出答案．[妙解]设全集U＝{全班30名学生}，A＝{喜爱篮球运动的学生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn图如图所示．设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x，则(15－x)＋x＋(10－x)＝30－8，解得x＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.[答案]121．设全集为R，A＝{x|x<3，或x>5}，B＝{x|－3<x<3}，则()A．∁R(A∪B)＝R B．A∪(∁R B)＝RC．(∁R A)∪(∁R B)＝R D．A∪B＝R解析：∵∁R A＝{x|3≤x≤5}，∁R B＝{x|x≤－3，或x≥3}，逐个验证知B正确．答案：B2.(2013·临沂一模)已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}解析：图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁U A)∩B＝{－1,2}．答案：A3．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝() A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析：因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．答案：B4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2.答案：－1或25．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________.解析：如图：由数轴可知：∁A B＝{x|0≤x<2，或x＝5}．答案：{x|0≤x<2，或x＝5}6．设全集U＝{x|0<x<10，x∈N}，若A∩B＝{3}，A∩(∁U B)＝{1,5,7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{9}，求集合A，B.解：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由题意画出Venn图，∴A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,6,8}．一、选择题1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝()A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}解析：画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩(∁U B)＝{x|0<x≤1}．答案：B2．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：画出Venn图，如图．∵U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：D3．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足()A．a≥2 B．a>2C．a<2 D．a≤2解析：∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2.答案：A4．设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是()①若A∩B＝∅，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∅；③若A∪B＝∅，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3解析：①如图，(∁S A)∪(∁S B)＝S，正确．②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∁S(A∪B)＝∅，故成立．③若A∪B＝∅，则A＝B＝∅.答案：A二、填空题5．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝________，A∩(∁N B)＝________.解析：因为集合A与集合B都有元素3和9，所以A∩B＝{3,9}，结合Venn图(如图所示)，易得A∩(∁N B)＝{1,5,7}．答案：{3,9}{1,5,7}6．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，则实数m的取值范围是________．解析：∵A＝{x|x≥－m}，∴∁U A＝{x|x<－m}．又∵(∁U A)∩B＝∅，－m≤－2.∴m≥2.答案：m≥27．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.解析：依题意得知，∁U A＝{c，d}，∁U B＝{a}，(∁U A)∪(∁U B)＝{a，c，d}．答案：{a，c，d}8．已知全集U(U≠∅)和集合A、B、D，且A＝∁U B，B＝∁U D，则A与D的关系是________．解析：A＝∁U B＝∁U(∁U D)＝D.答案：A＝D三、解答题9．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A.解：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．可知∁U A＝{x|1＜x≤4}，∁U B＝{x|3＜x≤4，或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B)∩A＝{x|－1≤x≤0}．10．2011年8月世界大学生运动会在深圳举行，大运村的50名志愿者中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？解：设全集U＝{50名志愿者}，A＝{会讲英语的志愿者}，B＝{会讲日语的志愿者}，A∩B＝{既会讲英语又会讲日语的志愿者}，画出Venn图，如图，则由Venn图知，既不会讲英语又不会讲日语的志愿者有50－22－14－6＝8(人)．1．2.1函数的概念[读教材·填要点]1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3.1．从函数的定义看，它的定义域和值域能否为空集？提示：因为定义中的A、B是非空数集，所以函数的定义域和值域都不能为空集．2．所有的数集都能用区间表示吗？提示：区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}就不能用区间表示．3．如何用区间表示下列数集？(1){x|x≥1}；(2){x|2＜x≤3}；(3){x|x＞1且x≠2}．提示：(1)[1，＋∞)(2)(2,3](3)(1,2)∪(2，＋∞)[例1]设M＝{x|0≤x≤2}M到集合N的函数关系的有()A．0个B．1个C．2个D．3个[自主解答][答案] B——————————————————判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A、B是否是非空数集，其次验证对应关系下，集合A中数x 的任意性，集合B中数y的唯一性. ————————————————————————————————————————1．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a≤1时，直线x＝a与函数的图象仅有一个交点，当a>1或a<－1时，直线x＝a与函数的图象没有交点．从而表示y 是x的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)[例2](1)f (x )＝3x ＋2；(2)f (x )＝3－x1－x －1.[自主解答] (1)使根式3x ＋2有意义的实数x 的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23，从而函数f (x )＝3x ＋2的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23.(2)要使3－x1－x －1有意义，只要⎩⎨⎧x －1≥0，3－x ≥0，x ≠2.因此函数f (x )＝3－x1－x －1的定义域为{x |1≤x ≤3且x ≠2}． ——————————————————求函数定义域的方法及注意事项：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．————————————————————————————————————————2．求下列函数的定义域： (1)y ＝(x ＋1)0|x |－x ；(2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x <0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x <0且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，需⎩⎨⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0.解得－32≤x <2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x＋1x 的定义域为⎣⎡⎭⎫－32，0∪(0,2).[例3] (1)f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2； (2)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.[自主解答] (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数．(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数． ——————————————————判断两个函数f (x )和g (x )是否是相等函数的步骤是：①先求函数f (x )和g (x )的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等，如果定义域相同，再执行下一步；②化简函数的解析式，如果化简后的函数解析式相同，那么它们相等，否则它们不相等.————————————————————————————————————————3．下列各组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－2x ＋1 B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 2xC ．f (x )＝x 与g (x )＝3x 3 D ．f (x )＝x 2－4x －2与g (x )＝x ＋2解析：A 选项中，f (x )与g (x )的对应关系不同，它们不表示同一函数；B ，D 选项中，f (x )与g (x )的定义域不同，它们不表示同一函数．答案：C求函数y ＝(x －2)(x ＋1)(x －2)(x ＋3)的定义域．[错解] 要使函数y ＝(x －2)(x ＋1)(x －2)(x ＋3)＝x ＋1x ＋3有意义，则x ≠－3.故所求函数的定义域为{x |x ≠－3}．[错因] 约分扩大了自变量的取值范围．由于同时约去了函数中分子、分母的公因式“x －2”，使原函数变形为y ＝x ＋1x ＋3，从而改变了原函数的自变量x 的取值范围，也就是说，函数y ＝(x －2)(x ＋1)(x －2)(x ＋3)与函数y ＝x ＋1x ＋3不相等． [正解] 要使函数有意义，必须使(x －2)(x ＋3)≠0，即x －2≠0且x ＋3≠0，解得x ≠2且x ≠－3，。

高一优化设计参考答案

高一优化设计参考答案高一优化设计参考答案高一是学生们迈入高中阶段的重要一年，也是他们开始接触到更加深入的学科知识和学习方法的一年。

优化设计作为高中数学的一部分，是培养学生分析问题、解决问题的能力的重要环节。

本文将为大家提供一份高一优化设计的参考答案，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

优化设计题目一：求解最大值题目描述：一块铁板长100厘米，要制作一个无盖的长方体容器，使得容器的体积最大。

求容器的最大体积。

解题思路：假设长方体的底边长为x厘米，高为h厘米，则长为100-2x厘米。

根据体积公式V=xh(100-2x)，我们可以将体积的表达式化简为V=-2x^2+100x。

为了求解最大值，我们需要对体积的表达式进行求导。

V'=-4x+100。

令V'=0，解得x=25。

将x=25代入体积的表达式，得到V=6250。

因此，容器的最大体积为6250立方厘米。

优化设计题目二：求解最小值题目描述：一个矩形花坛的周长为20米，求解花坛的最小面积。

解题思路：假设矩形的长为x米，宽为y米，则根据周长的条件可得2x+2y=20。

将该条件代入面积公式S=xy，得到S=x(10-x)。

为了求解最小值，我们需要对面积的表达式进行求导。

S'=10-2x。

令S'=0，解得x=5。

将x=5代入面积的表达式，得到S=25。

因此，花坛的最小面积为25平方米。

优化设计题目三：求解最短路径题目描述：一只蚂蚁在一条长为10米的直线上，从点A出发，要爬到点B。

蚂蚁的爬行速度为1米/分钟，但在距离点C的5米范围内，蚂蚁的速度会减慢为0.5米/分钟。

求解蚂蚁从点A到点B所需的最短时间。

解题思路：假设蚂蚁从A点到C点的距离为x米，则从C点到B点的距离为(10-x)米。

根据速度和距离的关系，我们可以得到蚂蚁从A点到C点所需的时间t1=x分钟，从C点到B点所需的时间t2=(10-x)/0.5分钟。

因此，蚂蚁从A点到B点所需的总时间为T=t1+t2=x+(10-x)/0.5分钟。

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[A 基础达标]1．下列命题中正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若两个非零空间向量AB→ 与CD → 满足AB → ＋CD → ＝0，则AB → ∥CD →D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb解析：选C.A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C 中，因为AB → ＋CD → ＝0，所以AB → ＝－CD → ，所以AB → 与CD → 共线，故AB → ∥CD →正确；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ，使a ＝λb .2．满足下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是 ( ) A ．AB→ ＋BC → ＝AC → B ．AB→ －BC → ＝AC → C ．AB→ ＝BC → D ．|AB→ |＝|BC → | 解析：选C.对于空间中的任意向量，都有AB→ ＋BC → ＝AC → ，选项A 错误；若AB→ －BC → ＝AC → ，则AC → ＋BC → ＝AB → ，而AC → ＋CB → ＝AB → ，据此可知BC → ＝CB→ ，即B ，C 两点重合，选项B 错误；AB → ＝BC → ，则A ，B ，C 三点共线，选项C 正确；|AB → |＝|BC → |，则线段AB 的长度与线段BC 的长度相等，不一定有A ，B ，C 三点共线，选项D 错误．3．如果向量AB→ ，AC → ，BC → 满足|AB → |＝|AC → |＋|BC → |，则( )A ．AB→ ＝AC → ＋BC → B ．AB→ ＝－AC → －BC → C ．AC→ 与BC → 同向 D ．AC→ 与CB → 同向解析：选D.因为|AB → |＝|AC → |＋|BC → |，所以A ，B ，C 共线且点C 在AB 之间，即AC → 与CB →同向．4.(多选)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量BD 1的是( )A ．(A 1D 1→ －A 1A → )－AB →B ．(BC → ＋BB 1→ )－D 1C 1→ C ．(AD → －AB → )＋DD 1→ D ．(B 1D 1→ －A 1A → )－DD 1→解析：选ABC.对于选项A ，(A 1D 1→ －A 1A → )－AB → ＝AD 1→ －AB → ＝BD 1→ ；对于选项B ，(BC → ＋BB 1→ )－D 1C 1→ ＝BC 1→ ＋C 1D 1→ ＝BD 1→ ；对于选项C ，(AD → －AB → )＋DD 1→ ＝BD → ＋DD 1→ ＝BD 1→ ；对于选项D ，(B 1D 1→ －A 1A → )－DD 1→ ＝(B 1D 1→ －B 1B → )－DD 1→ ＝BD 1→ ＋D 1D → ＝BD → ，故选ABC.5．已知在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E → ＝14 A 1C 1→ ，若AE → ＝xAA 1→ ＋y (AB →＋AD→ )，则( ) A ．x ＝1，y ＝12 B ．x ＝12 ，y ＝1 C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14解析：选 D.因为AE → ＝AA 1→ ＋A 1E → ＝AA 1→ ＋14 A 1C 1→ ＝AA 1→ ＋14 (AB → ＋AD→ )，所以x ＝1，y ＝14.6．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA → ＋CD → －CB → ＝________．解析：方法一：DA → ＋CD → －CB → ＝(CD → ＋DA → )－CB → ＝CA → －CB → ＝BA →. 方法二：DA → ＋CD → －CB → ＝DA → ＋(CD → －CB → )＝DA → ＋BD → ＝BA → .答案：BA→7．如图所示，在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC → 与A ′C ′→ 是________向量，AB → 与B ′A ′→是________向量．(填“相等”或“相反”)解析：由相等向量与相反向量的定义知：AC → 与A ′C ′→ 是相等向量，AB → 与B ′A ′→是相反向量．答案：相等相反8．设e 1，e 2是两个不共线的空间向量，若AB → ＝2e 1－k e 2，CB → ＝3e 1＋3e 2，CD → ＝k e 1＋e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值为________．解析：因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ使得AB→ ＝λBD → .因为AB → ＝2e 1－k e 2，BD → ＝CD → －CB →＝(k －3)e 1－2e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ（k －3），－k ＝－2λ，所以k 2－3k－4＝0，解得k ＝－1或k ＝4.答案：4或－1 9.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)CB → ＋BA 1→ ；(2)AC → ＋CB →＋12 AA 1→ ； (3)AA 1→ －AC → －CB → . 解：(1)CB → ＋BA 1→ ＝CA 1→ ． (2)因为M 是BB 1的中点，所以BM → ＝12BB 1→ ．又AA 1→ ＝BB 1→ ，所以AC → ＋CB → ＋12 AA 1→ ＝AB → ＋BM → ＝AM → . (3)AA 1→ －AC → －CB → ＝CA 1→ －CB → ＝BA 1→ ．向量CA 1→ ，AM → ，BA 1→ 如图所示． 10．已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，判断在下列各条件下的点P 与点A ，B ，M 是否共面．(1)OB→ ＋OM → ＝3OP → －OA → ； (2)OP→ ＝4OA → －OB → －OM → . 解：方法一：(1)原式可变形为OP → ＝OM → ＋(OA → －OP → )＋(OB → －OP → )＝OM → ＋P A → ＋PB→ . 所以点P 与点A ，B ，M 共面．(2)原式可变形为OP → ＝2OA → ＋(OA → －OB → )＋(OA → －OM → )＝2OA → ＋BA → ＋MA→ . 因为点P 位于平面ABM 内的充要条件是OP → ＝OA → ＋xBA → ＋yMA → .而OP→ ＝2OA → ＋BA → ＋MA → ，所以点P 与点A ，B ，M 不共面．方法二：(1)原式可变形为OB → ＝3OP → －OA → －OM → .因为3＋(－1)＋(－1)＝1，所以点B 与点P ，A ，M 共面，即点P 与点A ，B ，M 共面．(2)由OP→ ＝4OA → －OB → －OM → ，得4＋(－1)＋(－1)＝2≠1，所以点P 与点A ，B ，M 不共面．[B 能力提升]11．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP → ＝mOA → ＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈ABB ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对解析：选A.因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP→ ＝(1－n )OA → ＋nOB → ，即OP→ －OA → ＝n (OB → －OA → )，即AP→ ＝nAB → ，所以AP → 与AB → 共线．又AP→ ，AB → 有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB . 12.如图，O 为△ABC 所在平面外一点，M 为BC 的中点，若AG → ＝λAM → 与OG →＝12 OA → ＋14 OB → ＋14 OC → 同时成立，则实数λ的值为________．解析：OG→ ＝OA → ＋AG → ＝OA → ＋λAM → ＝OA → ＋λ2 (AB → ＋AC → )＝OA → ＋λ2(OB→ －OA → ＋OC → －OA → )＝(1－λ)OA → ＋λ2 OB → ＋λ2 OC → ，所以1－λ＝12 ，λ2 ＝14 ，解得λ＝12 .答案：1213．如图所示，在正六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1中．(1)化简A 1F 1→ －EF → －BA → ＋FF 1→ ＋CD → ＋F 1A 1→＝________； (2)化简DE → ＋E 1F 1→ ＋FD → ＋BB 1→ ＋A 1E 1→ ＝________．解析：(1)A 1F 1→ －EF → －BA → ＋FF 1→ ＋CD → ＋F 1A 1→ ＝AF → ＋FE → ＋AB → ＋BB 1→ ＋CD → ＋DC → ＝AE → ＋AB 1→ ＋0 ＝AE → ＋ED 1→ ＝AD 1→ ． (2)DE → ＋E 1F 1→ ＋FD → ＋BB 1→ ＋A 1E 1→ ＝DE → ＋EF → ＋FD → ＋BB 1→ ＋B 1D 1→ ＝DF → ＋FD → ＋BD 1→ ＝0＋BD 1→ ＝BD 1→ ．答案：(1)AD 1→ (2)BD 1→14．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13 BB 1，DF ＝23 DD 1.(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面； (2)试用AB → ，AD → ，AA 1→ 表示EF → .(1)证明：连接AC 1(图略).因为AC 1→ ＝AB → ＋AD → ＋AA 1→ ＝AB → ＋AD → ＋13 AA 1→ ＋23 AA 1→ ＝(AB → ＋13 AA 1→ )＋(AD → ＋23 AA 1→ )＝(AB → ＋BE → )＋(AD → ＋DF → )＝AE→ ＋AF → ，所以AC 1→ ，AE → ，AF → 共面．又AC 1→ ，AE → ，AF → 过同一点A ，所以A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)解：EF → ＝AF → －AE → ＝AD → ＋DF → －(AB → ＋BE → )＝AD → ＋23 DD 1→ －AB → －13 BB 1→ ＝－AB → ＋AD →＋13 AA 1→ ．[C 拓展探究]15．对于空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若有OP → ＝xOA → ＋yOB →＋zOC→ ，则“x ＋y ＋z ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若x ＋y ＋z ＝1，则OP → ＝(1－y －z )·OA → ＋yOB → ＋zOC → ，即AP→ ＝yAB → ＋zAC → ，由共面向量的充要条件可知向量AP → ，AB → ，AC →共面，所以P ，A ，B ，C 四点共面；反之，若P ，A ，B ，C 四点共面，当点O 与点A 重合时，OA →＝0，x 可取任意值，不一定有x ＋y ＋z ＝1，故“x ＋y ＋z ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．16．有下列命题：①若AB → ∥CD → ，则A ，B ，C ，D 四点共线；②若AB → ∥AC → ，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25 e 2，b ＝－e 1＋110 e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的是________．(填序号)解析：根据共线向量的定义，若AB→ ∥CD → ，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故①错；AB → ∥AC → 且AB → ，AC → 有公共点A ，所以②正确；由于a ＝4e1－25 e 2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 1＋110e 2 ＝－4b ，所以a ∥b ，故③正确；易知④正确．答案：②③④。

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[A 基础达标]1．与向量a ＝(1，3，－2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D ．(2 ，－3，－22 )解析：选B.对于B ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，1 ＝－12 (1，3，－2)＝－12 a ，故选B.2．(2021·安徽六安舒城中学高二(下)统考)设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到C 的距离为( )A.534 B ．532 C.532D ．132解析：选C.由题意，知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12，3＋02，1＋52 ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，CM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 －(0，1，0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，3 ，所以|CM→ |＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋32 ＝532 .故选C.3．(多选)若向量a ＝(1，2，0)，b ＝(－2，0，1)，则( ) A.cos 〈a ，b 〉＝－25 B ．a ⊥b C.a ∥bD ．|a |＝|b |解析：选AD.因为向量a ＝(1，2，0)，b ＝(－2，0，1)，所以|a |＝5 ，|b |＝5 ，a ·b ＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | ＝－25 ＝－25 .故A ，D 正确，B ，C 不正确．4．在△ABC 中，∠C ＝90°，A (1，2，－3k )，B (－2，1，0)，C (4，0，－2k )，则k 的值为( )A.10B ．－10C.25 D ．±10解析：选D.CB→ ＝(－6，1，2k )，CA → ＝(－3，2，－k )，则CB → ·CA → ＝(－6)×(－3)＋2＋2k ×(－k ) ＝－2k 2＋20＝0，所以k ＝±10 .5．已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14 ，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A.30° B ．60° C.120°D ．150°解析：选C.a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32 ＝14 ，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c | ＝－12 .所以〈a ，c 〉＝120°.6．点P (1，2，－1)在Oxz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________．解析：点P (1，2，－1)在Oxz 平面内的射影为B (1，0，－1)，所以x ＝1，y ＝0，z ＝－1，所以x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.答案：07．已知点A (λ＋1，μ－1，3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________．解析：因为AB→ ＝(λ－1，1，λ－2μ－3)， AC → ＝(2，－2，6)，由A ，B ，C 三点共线，得AB → ∥AC →，即λ－12 ＝－12 ＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0. 答案：0 08．已知A (3，5，－7)，B (－2，4，3)，则线段AB 在Oyz 平面上的射影长为________．解析：点A (3，5，－7)，B (－2，4，3)在Oyz 平面上的射影分别为A ′(0，5，－7)，B ′(0，4，3)，所以线段AB 在Oyz 平面上的射影长|A ′B ′|＝（0－0）2＋（4－5）2＋（3＋7）2 ＝101 . 答案：1019．已知a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5). (1)当(λa ＋b )∥(a －3b )时，求实数λ的值； (2)当(a －3b )⊥(λa ＋b )时，求实数λ的值．解：(1)因为a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5)，所以a －3b ＝(1，5，－1)－3(－2，3，5)＝(1，5，－1)－(－6，9，15)＝(7，－4，－16)，λa ＋b ＝λ(1，5，－1)＋(－2，3，5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2，3，5)＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5).因为(λa ＋b )∥(a －3b )，所以λ－27 ＝5λ＋3－4 ＝－λ＋5－16 ，解得λ＝－13 .(2)因为(a －3b )⊥(λa ＋b )，所以(7，－4，－16)·(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝1063 .10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 1是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，E 1在棱B 1C 1上，并且B 1E 1＝13 B 1C 1，求BE 1与CO 1所成的角的余弦值．解：不妨设AB ＝1，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，E 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，1 ，C (1，1，0)，O 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1 ，BE 1→ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，1 ， CO 1→ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1 ， BE 1→ ·CO 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，1 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1 ＝56 ，|BE 1→ |＝103 ，|CO 1→ |＝62 .所以cos 〈BE 1→ ，CO 1→ 〉＝56103×62 ＝156 .即BE 1与CO 1所成角的余弦值为156 .[B 能力提升]11．(多选)从点P (1，2，3)出发，沿着向量v ＝(－4，－1，8)的方向取点Q ，使|PQ |＝18，则Q 点的坐标为( )A.(－7，0，19) B ．(9，4，－13) C.(－1，－2，3)D ．(1，－2，－3)解析：选AB.设Q (x 0，y 0，z 0)，则PQ → ＝λv ，即(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝λ(－4，－1，8). 由|PQ |＝18得（－4λ）2＋（－λ）2＋（8λ）2 ＝18，所以λ＝±2，所以(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝±2(－4，－1，8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－7，y 0＝0，z 0＝19或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝9，y 0＝4，z 0＝－13.12．(2021·广东省惠州一中月考)已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，3c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(3，5，9)，则m 在基底{a ＋b ，a －b ，3c }下的坐标为________．解析：由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋3z c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝5，3z ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1，z ＝3，故m 在基底{a ＋b ，a －b ，3c }下的坐标为(4，－1，3).答案：(4，－1，3)13．如图，PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP→ ，AE → 〉＝33 ，若以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．解析：设PD ＝a (a >0)，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，P (0，0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，a 2 ，所以DP→ ＝(0，0，a )，AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，a 2 . 由cos 〈DP→ ，AE → 〉＝33，得a 22a ·2＋a 24＝33 ，所以a ＝2，所以E 的坐标为(1，1，1). 答案：(1，1，1) 14.如图所示，在四面体ABCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2 .(1)求线段AE 的长；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解：(1)连接OC ，由题意知BO ＝DO ，AB ＝AD . 所以AO ⊥BD .又BO ＝DO ，BC ＝CD ，所以CO ⊥BD .又由已知得．AO ＝1，OC ＝3 ，AC ＝2，AO 2＋OC 2＝AC 2，所以AO ⊥CO .以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，0，0)，C (0，3 ，0)，A (0，0，1)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0 ，所以AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，－1 ，所以|AE → | ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋（－1）2 ＝2 ，所以线段AE 的长为2 .(2)因为BA → ＝(－1，0，1)，CD → ＝(－1，－3 ，0)，BA → ·CD → ＝1＋0＋0＝1，|BA → |＝（－1）2＋02＋（－1）2 ＝2 ， |CD→ |＝（－1）2＋（－3）2＋02 ＝2，所以cos 〈BA → ，CD →〉＝BA →·CD →|BA→||CD →| ＝24 .所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24 .[C 拓展探究]15.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝2 ，∠CDA ＝45°.设AB ＝AP ，在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由．解：不存在．理由如下：因为P A ⊥平面ABCD ，且AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD .又AB ⊥AD ，所以AP ，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等．连接GB ，GC ，GP ，设AB ＝AP ＝t ，则B (t ，0，0)，G (0，m ，0)(其中0≤m ≤4－t )，P (0，0，t )，D (0，4－t ，0).因为∠CDA ＝45°，所以C (1，3－t ，0). 所以GC→ ＝(1，3－t －m ，0)，GD→ ＝(0，4－t －m ，0)，GP → ＝(0，－m ，t ). 由|GC→ |＝|GD → |，得12＋(3－t －m )2＝(4－t －m )2，即t ＝3－m .①由|GD→|＝|GP→|，得(4－t－m)2＝m2＋t2.②由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．。

人教版数学必修一优化练习：第二章 2.1 2.1.1 第1课时根式

[课时作业][A 组基础巩固] 1.3－27等于( )A ．3 B.－3C ．±3D ．－27 解析：3－27＝3－3＝－3.答案：B2．若a －1＋3a －2有意义，则a 的取值范围是( )A ．0≤a B.a ≥1C ．a ≥2D ．a ∈R解析：⎩⎨⎧ a －1≥0，a －2∈R ，∴a ≥1.答案：B3．若x <13，则 1－6x ＋9x 2等于( )A ．3x －1 B.1－3xC ．(1－3x )2D ．非以上答案解析：1－6x ＋9x 2＝－3x 2＝|1－3x |.∵x <13，∴1－3x >0，∴原式＝1－3x .答案：B4．若a ＝3－3，b ＝4－4，则a ＋b ＝() A ．1 B.5C ．－1D ．2π－5解析：∵a ＝3－3＝3－π，b ＝4－4＝π－2，∴a ＋b ＝3－π＋π－2＝1.答案：A5．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为( )A ．2x －5B.－2x －1 C ．－1 D ．5－2x解析：因为2－x 有意义则x ≤2.原式＝x －2－x －2＝2－x －(3－x )＝2－3＝－1.答案：C6．计算下列各式的值： (1) 3－53＝________； (2)设b ＜0，(－b )2＝________.解析：(1) 3－53＝－353＝－5. (2)(－b )2＝－b .答案：(1)－5 (2)－b7．若a <3b 2，化简4a 2－12ab ＋9b 22＝_ _______. 解析：4a 2－12ab ＋9b 22＝4a －3b 4＝|2a －3b |∵a <3b 2，∴2a －3b <0∴原式＝3b －2a .答案：3b －2a8．计算： 5－26＋ 5＋2 6 解析：原式＝3－22＋ 3＋22 ＝3－2＋3＋2＝2 3.答案：2 39．计算： 3－22＋ 3－23＋ 4－24.解析：∵3－22＝(2)2－22＋1＝(2－1)2， ∴原式＝－22＋ 3－23＋ 4－24＝|1－2|＋(1－2)＋|1－2| ＝2－1＋1－2＋2－1＝2－1；10．化简－a 2·41a －3. 解析：原式＝|1－a |·(a －1)34- ＝(a －1)(a －1)34-＝(a －1)14＝4a －1 [B 组能力提升]1．若n a n ＋(n ＋1a )n ＋1＝0，a ≠0且n ∈N ＋，则( )A ．a >0且n 为偶数B.a <0且n 为偶数 C ．a >0且n 为奇数D ．a <0且n 为奇数解析：由(n ＋1a )n ＋1＝a 得n a n ＝－a ，故n 为偶数且a <0. 答案：B2．三个数a ＝212，b ＝313，c ＝616的大小关系是( )A ．a <b <cB.b <a <c C ．c <a <bD ．c <b <a 解析：因为a 6＝(212)6＝23＝8，b 6＝(313)6＝32＝9，c 6＝(616)6＝6，所以c 6<a 6<b 6.而a 、b 、c 均为正数，所以c <a <b .选C.答案：C3．f (x )＝(x －5)0＋1x －2的定义域是________．解析：要使f (x )有意义则⎩⎨⎧ x －x －2>0即x >2且x ≠5.答案：{x |2<x <5或x >5} 4．设f (x )＝x 2－4，若0＜a ≤1，则f (a ＋1a )＝________.解析：f (a ＋1a )＝a ＋1a 2－4＝a 2＋1a 2－2＝a －1a 2＝|a －1a |又∵0＜a ≤1，∴a ≤1a ，∴f (a ＋1a )＝1a －a .答案：1a －a5．计算：5＋26＋ 7－43－ 6－4 2. 解析：5＋26＋ 7－43－ 6－4 2 ＝32＋23·2＋22＋ 22－2×23＋32－22－2×22＋22 ＝ 3＋22＋－32－－22＝|3＋2|＋|2－3|－|2－2|＝3＋2＋2－3－2＋ 2＝2 2.6．若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xy y ＋2xy的值．解析：∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0，∴(x )2－xy －2(y )2＝0，∴(x ＋y )(x －2y )＝0，由x >0，y >0得x ＋y >0，∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ，∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.。

2021-2022优化方案数学选择性必修第一册

1．1 空间向量及其运算 1．1.1 空间向量及其线性运算学习指导核心素养1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．2．掌握空间向量的线性运算． 1．数学抽象：空间向量的基本概念．2．直观想象、数学运算：空间向量的线性运算．3．逻辑推理：共线向量及共面向量的判定．1．空间向量的有关概念(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．(3)表示法：⎩⎪⎨⎪⎧①几何表示法：空间向量用有向线段表示．②字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB→，其模记为|a |或|AB →|．(4)几个特殊向量特殊向量定义表示法零向量长度为0的向量 0单位向量模为1的向量|a |＝1或|AB→ |＝1相反向量与a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量－a相等向量方向相同且模相等的向量 a ＝b 或AB → ＝CD →共线向量表示若干空间向量的有向线段所a ∥b 或AB→ ∥CD →或平行向量在的直线互相平行或重合2．空间向量的线性运算名称代数形式几何形式运算律加法OB→ ＝OA → ＋AB → ＝a ＋b交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c 减法CA→ ＝OA → －OC → ＝a －b 数乘当λ>0时，λa ＝λOA → ＝PQ→ ；当λ<0时，λa ＝λOA → ＝MN→ ；当λ＝0时，λa ＝0 结合律：λ(μa )＝(λμ)a ；分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb3．空间向量的共线与共面 (1)共线向量与共面向量平行(共线)向量共面向量定义位置关系表示若干空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合平行于同一个平面的向量特征方向相同或相反特例零向量与任意向量共线充要条件对任意两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb向量p 与两个不共线向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b(2)直线l 的方向向量如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP→ ＝λa .我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．1．空间向量线性运算的结果还是向量吗？提示：是向量．2．对于空间向量a ，b ，c ，若a ∥b 且b ∥c ，是否可以得到a ∥c? 提示：不能．若b ＝0，则对任意向量a ，c 都有a ∥b 且b ∥c .3．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，存在有序实数对(x ，y )，满足关系OP→ ＝OA → ＋xAB → ＋yAC → ，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？提示：共面．由OP→ ＝OA → ＋xAB → ＋yAC → ，可得AP → ＝xAB → ＋yAC → ，所以向量AP→ 与向量AB → ，AC → 共面，故点P 与点A ，B ，C 共面．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |.( ) (2)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( )(3)向量AB → 与向量CD → 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上．( )答案：(1)√ (2)√ (3)×2．化简PM→ －PN → ＋MN → 所得的结果是( )A ．PM →B ．NP →C ．0D ．MN→ 答案：C3．(多选)下列各命题正确的是( )A ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反B ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同C ．两个有公共终点的向量，不一定是共线向量D ．有向线段就是向量，向量就是有向线段答案：BC4．非零向量e 1，e 2不共线，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k 的值是________．答案：±1探究点1 空间向量的概念辨析 [问题探究]类比平面向量，理解空间向量的关键点是什么？提示：关键点是大小和方向．(多选)下列命题正确的是( ) A ．零向量没有确定的方向B ．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1→ ＝－C 1C → C ．向量a ，b 相等的充要条件是⎩⎨⎧|a |＝|b |，a ∥bD ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB → ＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件【解析】 A 正确；B 正确，因为AA 1→ 与C 1C →的大小相等方向相反，即互为相反向量，所以AA 1→ ＝－C 1C →；由a ∥b ，知a 与b 的方向相同或相反，故C 错误；因为AB→ ＝DC → ，所以|AB → |＝|DC → |且AB → ∥DC → .又A ，B ，C ，D 不共线，所以四边形ABCD 是平行四边形．反之，在▱ABCD 中，有AB → ＝DC → ，故D 正确．【答案】 ABD处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可．(2)两个关系①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．1．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．任一向量与它的相反向量不相等C ．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同D ．模为0是一个向量方向不确定的充要条件解析：选D.A 不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同．B 不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．C 不正确，两个空间向量相等，只需方向相同且模相等，与起点位置无关；D 正确．2.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与AB→ 相等的所有向量； (2)试写出AA 1→ 的所有相反向量．解：(1)与向量AB → 相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1→ ，DC → 及D 1C 1共3个．(2)向量AA 1→ 的相反向量为AA 1→ ，B 1B → ，C 1C → ，D 1D → ．探究点2 空间向量的线性运算已知平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：(1)AB→ ＋AD → ＋AA → ′； (2)DD→ ′－AB → ＋BC → ； (3)AB→ ＋AD → ＋12(DD → ′－BC → ). 【解】 (1)AB→ ＋AD → ＋AA → ′＝AB → ＋BC → ＋CC → ′＝AC → ′.(2)DD → ′－AB → ＋BC → ＝DD → ′－(AB → －AD → )＝DD → ′－DB → ＝BD → ′. (3)AB→ ＋AD → ＋12 (DD → ′－BC → )＝AC → ＋12 (CC ′→ ＋CB → )＝AC → ＋12CB → ′.设M 是线段CB ′的中点，则AB→ ＋AD → ＋12 (DD → ′－BC → )＝AC → ＋CM → ＝AM → .向量AC→ ′，BD → ′，AM → 如图所示．(变问法)若本例条件不变，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)DC → ＋A ′D ′→ ＋12 CC ′→ ； (2)AA′→ ＋12 AB → ＋12AD → . 解：(1)DC → ＋A ′D ′→ ＋12 CC ′→ ＝DC→ －DA → ＋12 CC ′→ ＝AC → ＋12CC ′→ ，设P 是线段CC ′的中点，则DC → ＋A ′D ′→ ＋12 CC ′→ ＝AC → ＋CP → ＝AP → .(2)AA′→ ＋12 AB → ＋12 AD → ＝AA ′→ ＋12 (AB → ＋AD → )＝AA ′→ ＋12 A ′C ′→ ，设Q 是线段A ′C ′的中点，则AA ′→ ＋12 AB → ＋12 AD → ＝AA ′→ ＋12 A ′C ′→ ＝AA ′→ ＋A ′Q → ＝AQ→ .向量AP→ ，AQ → 如图所示．利用线性运算进行向量化简的技巧(1)数形结合：利用线性运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量用已知向量表示．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用中点坐标公式． [注意] (1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．(2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．1．(多选)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→ 的有( )A ．(AB → ＋BC → )＋CC 1→ B ．(AA 1→ ＋A 1D 1→ )＋D 1C 1→ C ．(AB → ＋BB 1→ )＋B 1C 1→ D ．(AA 1→ ＋A 1B 1→ )＋B 1C 1→解析：选ABCD.对A ，(AB → ＋BC → )＋CC 1→ ＝AC → ＋CC 1→ ＝AC 1→ ；对B ，(AA 1→＋A 1D 1→ )＋D 1C 1→ ＝AD 1→ ＋D 1C 1→ ＝AC 1→ ；对C ，(AB → ＋BB 1→ )＋B 1C 1→ ＝AB 1→ ＋B 1C 1→ ＝AC 1→ ；对D ，(AA 1→ ＋A 1B 1→ )＋B 1C 1→ ＝AB 1→ ＋B 1C 1→ ＝AC 1→．2.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE→ ＝12 OD →＋xOB→ ＋yOA → ，求x ，y 的值．解：方法一：因为AE→ ＝OE → －OA →＝12 OC → －OA→ ＝12 (OB → ＋BC → )－OA → ＝12 (OB → ＋OD → －OA → )－OA → ＝－32 OA → ＋12 OB → ＋12 OD → ，所以x ＝12 ，y ＝－32 .方法二：因为AE→ ＝AB → ＋BC → ＋CE →＝OB → －OA → ＋OC → －OB → －12 OC → ＝－OA →＋12 OC → ＝－OA→ ＋12 (OD → ＋DC → )＝－OA → ＋12 (OD → ＋AB → ) ＝－OA→ ＋12 OD → ＋12 (OB → －OA → )＝－32 OA → ＋12 OD → ＋12 OB →，所以x ＝12 ，y ＝－32 .探究点3 空间向量的共线问题 [问题探究]空间中，怎样利用向量共线证明A ，B ，C 三点共线？提示：只需证明向量AB→ ，BC → (不唯一)共线即可．如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE→ 与MN → 是否共线．【解】 CE → 与MN →共线，理由如下：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN → ＝MA → ＋AF → ＋FN → ＝12 CA → ＋AF → ＋12FB → . 又因为MN → ＝MC → ＋CE → ＋EB → ＋BN → ＝－12 CA → ＋CE → －AF →－12 FB → ，以上两式相加得CE → ＝2MN → ，所以CE → ∥MN → ，即CE → 与MN →共线．(1)判断向量共线的方法判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb (b ≠0)成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a ＝λb (b ≠0)，从而得出a ∥b .(2)证明空间三点P ，A ，B 共线的方法 ①P A → ＝λPB→ (λ∈R ). ②对空间任一点O ，OP→ ＝OA → ＋tAB → (t ∈R ). ③对空间任一点O ，OP→ ＝xOA → ＋yOB → (x ＋y ＝1).1．已知空间向量a ，b ，且AB → ＝a ＋2b ，BC → ＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：选A.由题意可得BD→ ＝BC → ＋CD → ＝2a ＋4b ，则BD → ＝2AB → ，则A ，B ，D 三点共线；AC → ＝AB → ＋BC → ＝－4a ＋8b ，不存在实数λ满足AB → ＝λAC → ，则A ，B ，C 三点不共线；不存在实数λ满足BC→ ＝λCD → ，则B ，C ，D 三点不共线；AC → ＝－4a ＋8b ，不存在实数λ满足CD → ＝λAC → ，则A ，C ，D 三点不共线．故选A.2．已知A ，B ，C 三点共线，O 为直线外空间任意一点，若OC → ＝mOA → ＋nOB→ ，则m ＋n ＝________．解析：由于A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ，使得AC → ＝λAB → ，即OC →－OA → ＝λ(OB → －OA → )，所以OC → ＝(1－λ)OA → ＋λOB → ，所以m ＝1－λ，n ＝λ，所以m ＋n ＝1.答案：1探究点4 空间向量的共面问题已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任意一点．若OP →＝13(OA → ＋OB → ＋OC → )，试判断向量P A → ，PB → ，PC →是否共面，并判断点P 是否在平面ABC 内．【解】向量P A → ，PB → ，PC → 共面且点P 在平面ABC 内．理由如下：因为OA → ＋OB → ＋OC → ＝3OP → ，所以OA → －OP → ＝(OP → －OB → )＋(OP → －OC → )＝BP→ ＋CP → .即P A → ＝BP → ＋CP → ＝－PB → －PC → . 所以向量P A → ，PB→ ，PC → 共面．因为P A → ，PB → ，PC → 有共同的起点P ，且A ，B ，C 三点不共线，所以P ，A ，B ，C 共面，即点P 在平面ABC 内．证明空间三向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p ＝x a ＋y b ，则向量p ，a ，b 共面．(2)若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任一点O ，有OP → ＝xOA → ＋yOB → ＋zOC→ 且x ＋y ＋z ＝1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面．如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13 BD ，AN ＝13 AE .求证：向量MN → ，CD → ，DE→ 共面．证明：因为M 在BD 上，且BM ＝13 BD ，所以MB→ ＝13 DB → ＝13 DA → ＋13 AB → . 同理AN→ ＝13 AD → ＋13 DE → .所以MN→ ＝MB → ＋BA → ＋AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13DA →＋13AB → ＋BA →＋(13 AD → ＋13 DE → ) ＝23 BA → ＋13 DE → ＝23 CD → ＋13 DE → .又CD → 与DE → 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN → ，CD → ，DE → 共面．1．已知λ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．|λa |＝λ|a | B ．|λa |＝|λ|a C ．|λa |＝|λ||a | D ．|λa |>0答案：C2．下列说法正确的是( ) A ．若|a |<|b |，则a <bB ．若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0C ．空间内两平行向量相等D ．四边形ABCD 中，AB→ －AD → ＝DB → 解析：选D.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A 错；相反向量的和为0，不是0，B 错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C 错；D 正确．3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO → ＋OB → ＝DO → ＋OC → ，则四边形ABCD 是( )A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：选B.因为AO → ＋OB → ＝AB → ，DO → ＋OC → ＝DC → ，所以AB → ＝DC →，所以线段AB ，DC 平行且相等，所以四边形ABCD 是平行四边形．4．(多选)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中正确的有( )A ．OA → ＋OD → 与OB 1→ ＋OC 1→是一对相反向量 B ．OB → －OC → 与OA 1→ －OD 1→ 是一对相反向量 C ．OA → ＋OB → ＋OC → ＋OD → 与OA 1→ ＋OB 1→ ＋OC 1→ ＋OD 1→ 是一对相反向量 D ．OA 1→ －OA → 与OC → －OC 1→ 是一对相反向量解析：选ACD.因为O 为正方体的中心，所以OA → ＝－OC 1→ ，OD → ＝－OB 1→ ，故OA → ＋OD → ＝－(OB 1→ ＋OC 1→ )，同理可得OB → ＋OC → ＝－(OA 1→ ＋OD 1→ )，故OA → ＋OB → ＋OC → ＋OD → ＝－(OA 1→ ＋OB 1→ ＋OC 1→ ＋OD 1→ )，所以A 、C 正确；因为OB → －OC → ＝CB → ，OA 1→ －OD 1→ ＝D 1A 1→ ，所以OB → －OC → 与OA 1→ －OD 1→ 是两个相等的向量，所以B 不正确；因为OA 1→ －OA → ＝AA 1→ ，OC → －OC 1→ ＝C 1C → ＝－AA 1→ ，所以OA 1→ －OA → ＝－(OC → －OC 1→ )，所以D 正确． 5．如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简的结果．(1)AB→ ＋BC → －DC → ；(2)AB → －DG → －CE → . 解：(1)AB→ ＋BC → －DC → ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＝AC → ＋CD → ＝AD → ，如图中向量AD → .(2)AB→ －DG → －CE → ＝AB → ＋GD → ＋EC → ＝AB → ＋BG → ＋EC → ＝AG → ＋GF → ＝AF→ ，如图中向量AF → .[A 基础达标]1．下列命题中正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若两个非零空间向量AB→ 与CD → 满足AB → ＋CD → ＝0，则AB → ∥CD →D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb解析：选C.A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C 中，因为AB→ ＋CD → ＝0，所以AB → ＝－CD → ，所以AB → 与CD → 共线，故AB → ∥CD →正确；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ，使a ＝λb .2．满足下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是 ( ) A ．AB→ ＋BC → ＝AC → B ．AB→ －BC → ＝AC → C ．AB→ ＝BC → D ．|AB→ |＝|BC → | 解析：选C.对于空间中的任意向量，都有AB→ ＋BC → ＝AC → ，选项A 错误；若AB→ －BC → ＝AC → ，则AC → ＋BC → ＝AB → ，而AC → ＋CB → ＝AB → ，据此可知BC → ＝CB→ ，即B ，C 两点重合，选项B 错误；AB → ＝BC → ，则A ，B ，C 三点共线，选项C 正确；|AB → |＝|BC → |，则线段AB 的长度与线段BC 的长度相等，不一定有A ，B ，C 三点共线，选项D 错误．3．如果向量AB→ ，AC → ，BC → 满足|AB → |＝|AC → |＋|BC → |，则( )A ．AB → ＝AC → ＋BC →B ．AB → ＝－AC → －BC → C ．AC→ 与BC → 同向 D ．AC→ 与CB → 同向解析：选D.因为|AB → |＝|AC → |＋|BC → |，所以A ，B ，C 共线且点C 在AB 之间，即AC→ 与CB → 同向． 4.(多选)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量BD 1的是( )A ．(A 1D 1→ －A 1A → )－AB →B ．(BC → ＋BB 1→ )－D 1C 1→ C ．(AD → －AB → )＋DD 1→ D ．(B 1D 1→ －A 1A → )－DD 1→解析：选ABC.对于选项A ，(A 1D 1→ －A 1A → )－AB → ＝AD 1→ －AB → ＝BD 1→ ；对于选项B ，(BC → ＋BB 1→ )－D 1C 1→ ＝BC 1→ ＋C 1D 1→ ＝BD 1→ ；对于选项C ，(AD → －AB → )＋DD 1→ ＝BD → ＋DD 1→ ＝BD 1→ ；对于选项D ，(B 1D 1→ －A 1A → )－DD 1→ ＝(B 1D 1→ －B 1B → )－DD 1→ ＝BD 1→ ＋D 1D → ＝BD → ，故选ABC.5．已知在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E → ＝14 A 1C 1→ ，若AE → ＝xAA 1→ ＋y (AB →＋AD→ )，则( ) A ．x ＝1，y ＝12 B ．x ＝12 ，y ＝1 C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14解析：选 D.因为AE → ＝AA 1→ ＋A 1E → ＝AA 1→ ＋14 A 1C 1→ ＝AA 1→＋14(AB → ＋AD →)，所以x ＝1，y ＝14 .6．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA → ＋CD → －CB → ＝________．解析：方法一：DA→ ＋CD → －CB → ＝(CD → ＋DA → )－CB → ＝CA → －CB → ＝BA → . 方法二：DA → ＋CD → －CB → ＝DA → ＋(CD → －CB → )＝DA → ＋BD → ＝BA → .答案：BA→7．如图所示，在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC → 与A ′C ′→ 是________向量，AB → 与B ′A ′→是________向量．(填“相等”或“相反”)解析：由相等向量与相反向量的定义知：AC → 与A ′C ′→ 是相等向量，AB → 与B ′A ′→是相反向量．答案：相等相反8．设e 1，e 2是两个不共线的空间向量，若AB → ＝2e 1－k e 2，CB →＝3e 1＋3e 2，CD → ＝k e 1＋e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值为________．解析：因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ使得AB→ ＝λBD → .因为AB → ＝2e 1－k e 2，BD → ＝CD → －CB →＝(k －3)e 1－2e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ（k －3），－k ＝－2λ，所以k 2－3k－4＝0，解得k ＝－1或k ＝4.答案：4或－1 9.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)CB → ＋BA 1→ ； (2)AC → ＋CB → ＋12 AA 1→ ； (3)AA 1→ －AC → －CB → . 解：(1)CB → ＋BA 1→ ＝CA 1→ ． (2)因为M 是BB 1的中点，所以BM → ＝12BB 1→ ．又AA 1→ ＝BB 1→ ，所以AC → ＋CB → ＋12 AA 1→ ＝AB → ＋BM → ＝AM → . (3)AA 1→ －AC → －CB → ＝CA 1→ －CB → ＝BA 1→ ．向量CA 1→ ，AM → ，BA 1→ 如图所示． 10．已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，判断在下列各条件下的点P 与点A ，B ，M 是否共面．(1)OB→ ＋OM → ＝3OP → －OA → ； (2)OP→ ＝4OA → －OB → －OM → . 解：方法一：(1)原式可变形为OP → ＝OM → ＋(OA → －OP → )＋(OB → －OP → )＝OM → ＋P A → ＋PB→ . 所以点P 与点A ，B ，M 共面．(2)原式可变形为OP → ＝2OA → ＋(OA → －OB → )＋(OA → －OM → )＝2OA → ＋BA → ＋MA→ .因为点P 位于平面ABM 内的充要条件是OP → ＝OA → ＋xBA → ＋yMA →. 而OP→ ＝2OA → ＋BA → ＋MA → ，所以点P 与点A ，B ，M 不共面．方法二：(1)原式可变形为OB → ＝3OP → －OA → －OM → .因为3＋(－1)＋(－1)＝1，所以点B 与点P ，A ，M 共面，即点P 与点A ，B ，M 共面．(2)由OP→ ＝4OA → －OB → －OM → ，得4＋(－1)＋(－1)＝2≠1，所以点P 与点A ，B ，M 不共面．[B 能力提升]11．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP → ＝mOA → ＋nOB → ，其中m ＋n＝1，则( )A ．P ∈ABB ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对解析：选A.因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP→ ＝(1－n )OA → ＋nOB → ，即OP→ －OA → ＝n (OB → －OA → )，即AP→ ＝nAB → ，所以AP → 与AB → 共线．又AP→ ，AB → 有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB . 12.如图，O 为△ABC 所在平面外一点，M 为BC 的中点，若AG → ＝λAM → 与OG →＝12 OA → ＋14 OB → ＋14 OC → 同时成立，则实数λ的值为________．解析：OG→ ＝OA → ＋AG → ＝OA → ＋λAM → ＝OA → ＋λ2 (AB → ＋AC → )＝OA → ＋λ2(OB→ －OA → ＋OC → －OA → )＝(1－λ)OA → ＋λ2 OB → ＋λ2 OC → ，所以1－λ＝12 ，λ2 ＝14 ，解得λ＝12 .答案：1213．如图所示，在正六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1中．(1)化简A 1F 1→ －EF → －BA → ＋FF 1→ ＋CD → ＋F 1A 1→＝________； (2)化简DE → ＋E 1F 1→ ＋FD → ＋BB 1→ ＋A 1E 1→ ＝________．解析：(1)A 1F 1→ －EF → －BA → ＋FF 1→ ＋CD → ＋F 1A 1→ ＝AF → ＋FE → ＋AB → ＋BB 1→ ＋CD → ＋DC → ＝AE → ＋AB 1→ ＋0 ＝AE → ＋ED 1→ ＝AD 1→ ． (2)DE → ＋E 1F 1→ ＋FD → ＋BB 1→ ＋A 1E 1→ ＝DE → ＋EF → ＋FD → ＋BB 1→ ＋B 1D 1→＝DF → ＋FD → ＋BD 1→ ＝0＋BD 1→ ＝BD 1→ ．答案：(1)AD 1→ (2)BD 1→ 14．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13 BB 1，DF ＝23 DD 1.(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面； (2)试用AB → ，AD → ，AA 1→ 表示EF → .(1)证明：连接AC 1(图略).因为AC 1→ ＝AB → ＋AD → ＋AA 1→ ＝AB → ＋AD → ＋13 AA 1→ ＋23 AA 1→ ＝(AB → ＋13 AA 1→ )＋(AD → ＋23 AA 1→ )＝(AB → ＋BE → )＋(AD → ＋DF → )＝AE→ ＋AF → ，所以AC 1→ ，AE → ，AF → 共面．又AC 1→ ，AE → ，AF → 过同一点A ，所以A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)解：EF → ＝AF → －AE → ＝AD → ＋DF → －(AB → ＋BE → )＝AD → ＋23 DD 1→ －AB → －13 BB 1→ ＝－AB → ＋AD → ＋13AA 1→ ． [C 拓展探究]15．对于空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若有OP → ＝xOA → ＋yOB → ＋zOC→ ，则“x ＋y ＋z ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若x ＋y ＋z ＝1，则OP → ＝(1－y －z )·OA → ＋yOB → ＋zOC → ，即AP→ ＝yAB→ ＋zAC → ，由共面向量的充要条件可知向量AP → ，AB → ，AC → 共面，所以P ，A ，B ，C 四点共面；反之，若P ，A ，B ，C 四点共面，当点O 与点A 重合时，OA→ ＝0，x 可取任意值，不一定有x ＋y ＋z ＝1，故“x ＋y ＋z ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．16．有下列命题：①若AB → ∥CD → ，则A ，B ，C ，D 四点共线；②若AB→ ∥AC → ，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25 e 2，b ＝－e 1＋110 e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的是________．(填序号)解析：根据共线向量的定义，若AB→ ∥CD → ，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故①错；AB → ∥AC → 且AB → ，AC → 有公共点A ，所以②正确；由于a ＝4e 1－25 e 2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 1＋110e 2 ＝－4b ，所以a ∥b ，故③正确；易知④正确．答案：②③④。

12021-2022优化方案数学选择性必修第一册

[A 基础达标]1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均不对解析：选A.直线l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为(0，90°].应选A.2．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝2，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值为( )A ．0B ．37070C ．－37070 D ．7070解析：选A.以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0，0，3)，B (2，2，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0).所以BD 1→ ＝(－2，－2，3)，AC → ＝(－2，2，0).所以cos 〈BD 1→ ，AC → 〉＝BD 1→ ·AC →| BD 1→ ||AC →|＝0. 3．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A ．63 B ．265 C ．155 D ．105解析：选D.如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，所以BC 1→ ＝(－2，0，1).连接AC ，易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，所以平面BB 1D 1D 的一个法向量为a ＝AC → ＝(－2，2，0).所以所求角的正弦值为|cos 〈a ，BC 1→〉|＝|a ·BC 1→ ||a ||BC 1→ | ＝48×5 ＝105 .4．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A ．64 B ．104 C ．32 D ．34解析：选A.以A 1为原点建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB 1C 1＝60°，∠DC 1D 1＝45°，设B 1C 1＝1，则CC 1＝3 ＝DD 1.所以C 1D 1＝3 ，则有B 1(3 ，0，0)，C (3 ，1，3 )，C 1(3 ，1，0)，D (0，1，3 ).所以B 1C → ＝(0，1，3 )，C 1D →＝(－3 ，0，3 ). 所以cos 〈B 1C → ，C 1D →〉＝B 1C → ·C 1D → |B 1C → ||C 1D → | ＝326 ＝64 .5．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1和DD 1的中点，则平面ECF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为( )A ．33B ．63C ．13 D ．23解析：选B.以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A (0，0，0)，E (2，0，1)，F (0，2，1)，C (2，2，0)，所以CE→ ＝(0，－2，1)，CF→ ＝(－2，0，1).所以平面ECF 的一个法向量为n ＝(1，1，2).设平面ECF 与平面ABCD 的夹角为θ.因为m ＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量，所以cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝63 .6．若直线l 的方向向量a ＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量n ＝(4，0，1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值为________．解析：由题意，得直线l 与平面α所成角的正弦值为|a ·n ||a ||n | ＝714×17＝23834 .答案：238347．如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，E ，F 分别是BC ，A 1C 1的中点．设D 是线段B 1C 1(包括两个端点)上的动点，若直线BD 与EF 所成角的余弦值为104 ，则线段BD 的长为________．解析：以E 为原点，EA ，EC 所在直线分别为x ，y 轴，平面BCC 1B 1内垂直于BC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图．则E (0，0，0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，2 ，B (0，－1，0)，设D (0，t ，2)(－1≤t ≤1)，则EF→ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，2 ，BD → ＝(0，t ＋1，2)，设直线BD 与EF 所成的角为θ，则cos θ＝|EF →·BD →||EF →||BD →| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋12＋45·（t ＋1）2＋4 ＝104 ，解得t ＝1或t ＝－3723 (舍去)，所以|BD → |＝22＋22 ＝22 .答案：22 8.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的余弦值为________．解析：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0，0，1)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，0 ，PG → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，－1 . 易知平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，则cos 〈PG→ ，n 〉＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋（－1）2 ＝－31717 ，所以PG 与平面ABCD 所成角的余弦值为1－⎝⎛⎭⎪⎫317172＝23417 . 答案：234179．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求二面角A -BD 1C 的大小．解：连接AD 1，CD 1，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，C 1(0，1，1).由题意知DA 1→ 是平面ABD 1的一个法向量，且DA 1→＝(1，0，1)； DC 1→ 是平面BCD 1的一个法向量，且DC 1→ ＝(0，1，1)，所以cos 〈DA 1→ ，DC 1→〉＝DC 1→ ·DA 1→|DC 1→ ||DA 1→ | ＝12 .所以〈DA 1→ ，DC 1→ 〉＝60°. 结合图形知二面角A -BD 1C 为钝角，所以二面角A -BD 1C 的大小为120°. 10.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，点F 1是A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝2，CC 1＝1.(1)求异面直线AF 1与CB 1所成角的余弦值； (2)求直线AF 1与平面BCC 1B 1所成的角．解：(1)如图所示，分别以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由BC ＝CA ＝2，CC 1＝1，得A (2，0，0)，B (0，2，0)，C 1(0，0，1)，A 1(2，0，1)，B 1(0，2，1). 因为F 1为A 1C 1的中点，所以F 1(1，0，1).所以CB 1→ ＝(0，2，1)，AF 1→ ＝(－1，0，1).所以cos 〈CB 1→ ，AF 1→〉＝CB 1→ ·AF 1→ |CB 1→ ||AF 1→ |＝（0，2，1）·（－1，0，1）5×2 ＝1010 ，即异面直线AF 1与CB 1所成角的余弦值为1010 . (2)因为在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， BB 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AC . 因为∠BCA ＝90°，所以BC ⊥AC .因为BC ∩BB 1＝B ，BC ，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AC ⊥平面BCC 1B 1.所以CA →＝(2，0，0)是平面BCC 1B 1的一个法向量．设直线AF 1与平面BCC 1B 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AF 1→ ，CA → 〉|＝222 ＝22 ，所以θ＝π4 ，所以直线AF 1与平面BCC 1B 1所成的角为π4 .[B 能力提升]11.如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 的中点，则二面角C -BF -D 的正切值为( )64C ．33 D ．233解析：选D.如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为菱形，所以O 为AC 的中点，AC ⊥BD .因为F 为PC 的中点，所以OF ∥P A ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD .以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3 ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0 ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12 ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0 ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0 ，结合图形可知，OC→ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0 ，且OC → 为平面BDF 的一个法向量．由BC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0 ，FB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12 ，可求得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3 ，3 ).所以cos 〈n ，OC→ 〉＝217 ，sin 〈n ，OC → 〉＝277 ，所以tan 〈n ，OC→ 〉＝233.12.如图，已知矩形ABCD 与矩形ABEF 全等，二面角D -AB -E 为直二面角，M 为AB 的中点，FM 与BD 所成的角为θ，且cos θ＝39 ，则ABBC ＝( )A ．1B ．222解析：选C.不妨设BC ＝1，AB ＝λ，则AB BC ＝λ.记AF→ ＝a ，AB → ＝b ，AD → ＝c ，则FM → ＝12b －a ，BD → ＝c －b ，根据题意，|a |＝|c |＝1，|b |＝λ，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，所以FM → ·BD→ ＝－12 b 2＝－12 λ2，而|FM→ |＝14λ2＋1 ，|BD → |＝λ2＋1 ，所以|cos 〈FM → ，BD → 〉|＝|FM →·BD →||FM →|·|BD →| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12λ214λ2＋1·λ2＋1 ＝39 ，得λ＝22 .故选C.13．(2021·北京市朝阳区模拟)已知在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BB 1，DD 1上的动点，且BE ＝D 1F ＝λ(0<λ≤12 ).设EF 与AB 所成的角为α，EF 与BC 所成的角为β，则α＋β的最小值为( )A ．不存在B ．π3C ．π2D ．2π3解析：选C.以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系(图略)，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，E (1，1，λ)，F (0，0，1－λ)，则EF→ ＝(－1，－1，1－2λ)，AB → ＝(0，1，0)，BC →＝(－1，0，0)，所以cos α＝|EF →·AB →||EF →||AB →| ＝12＋（1－2λ）2，cos β＝|EF →·BC→||EF →||BC →|＝12＋（1－2λ）2，所以α＝β.又当λ＝12时，12＋（1－2λ）2 取得最大值22 ，所以αmin ＝βmin ＝π4 ，所以(α＋β)min ＝π2 .14.在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 的中点，求直线AD 与平面MBC 所成的角的正弦值． (1)证明：因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ，所以AB ⊥平面BCD .又因为CD ⊂平面BCD ，所以AB ⊥CD . (2)解：过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ，如图．由(1)知AB ⊥平面BCD ，因为BE ⊂平面BCD ，所以AB ⊥BE .以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得B (0，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，A (0，0，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12 ，则BC → ＝(1，1，0)，BM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12 ，AD → ＝(0，1，－1). 设平面MBC 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎨⎧x 0＋y 0＝0，12y 0＋12z 0＝0.取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1，1).设直线AD 与平面MBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AD → 〉|＝|n ·AD →||n ||AD →|＝63 .故直线AD 与平面MBC 所成的角的正弦值为63 .[C 拓展探究]15.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点．(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求平面AGE 与平面ACG 所成角的大小．解：(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP .又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP .又∠EBC ＝120°，因此∠CBP ＝30°.(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0，0，3)，E (2，0，0)，G (1, 3 ，3)，C (－1, 3 ，0)，故AE→ ＝(2，0，－3)，AG→ ＝(1，3 ，0)，CG → ＝(2，0，3)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量．由⎩⎨⎧m ·AE →＝0，m ·AG →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0.取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3 ，2). 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由⎩⎨⎧n ·AG →＝0，n ·CG →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0. 取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3 ，－2).所以cos 〈m ·n 〉＝m ·n |m |·|n | ＝12 .因此平面AGE 与平面ACG 所成的角为60°.。

2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修1习题：指数函数(强化练) Word版含答案

指数函数(强化练) [A 基础达标] 1.函数f (x )＝(x －5)0＋的定义域为( ) A ．{x |2<x <5，或x >5} B ．{x |x >2} C ．{x |x >5}D ．{x |x ≠5且x ≠2}解析：选A.要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －5≠0，x －2>0，即x >2且x ≠5.2.已知函数f (x )＝7＋a x －1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点P ，则P 点的坐标是( ) A ．(1，8) B ．(1，7) C ．(0， 8)D ．(8，0)解析：选A.由x －1＝0即x ＝1得f (1)＝7＋a 0＝8，所以f (x )的图象恒过定点(1，8)，故选A. 3．下列等式能够成立的是( )4．设函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) A ．f (－2)＜f (－1) B ．f (－1)＜f (－2) C ．f (1)＞f (2)D ．f (－2)＝f (2)解析：选A.由于f (x )＝a －x ，又f (2)＝4，所以a －2＝4，解得a ＝12.由于f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ＝2x 为增函数，所以f (－2)＜f (－1)．故选A.5．如图所示的是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( )A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．b ＜a ＜1＜d ＜cC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．d ＜c ＜1＜b ＜a解析：选B ．作直线x ＝1与四个图象交于四个点，得四个纵坐标a ，b ，c ，d ，向y 轴作投影，可在数轴上直观地比较它们的大小：b ＜a ＜1＜d ＜c.故选B ．6．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝________．解析：由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1＞0，a ＋1≠1，解得a ＝1.答案：17.若－1＜x ＜0，a ＝2－x ，b ＝2x ，c ＝0.2x ，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：由于－1＜x ＜0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x ＜1，2－x ＞1，0.2x ＞1，又由于0.5x ＜0.2x ，所以b ＜a ＜c.答案：b ＜a ＜c8.若指数函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值为________．解析：当0＜a ＜1时，f (x )＝a x 为减函数，最小值为a 2，最大值为a ，故a ＝2a 2，解得a ＝12.当a ＞1时，f (x )＝a x 为增函数，最小值为a ，最大值为a 2. 故a 2＝2a ，解得a ＝2.综上，a ＝12或a ＝2.答案：12或29．计算下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫51160.5＋(－1)－1÷(0.75)－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23； (2)44x ·(－34x )·13y÷－63y 2x .解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫811612＋1（－1）÷⎝⎛⎭⎫34－2＋⎝⎛⎭⎫6427－23＝⎝⎛⎭⎫942×12－1÷169＋⎝⎛⎭⎫43－2＝94－916＋916＝94.(2)原式＝[4×(－3)÷(－6)]·x 14·x 14·1y 13÷y23x 12＝2x 14＋14＋12y －13－23＝2xy －1＝2x y.10.已知指数函数f (x )的图象过点P(3，8)，且函数g (x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称，且g (2x －1)＜g (3x )，求x 的取值范围．解：设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，由于f (3)＝8，所以a 3＝8，即a ＝2，又由于g (x )与f (x )的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，因此g (2x －1)＜g (3x )⇔⎝⎛⎭⎫122x －1＜⎝⎛⎭⎫123x ⇔2x －1＞3x ⇔x ＜－1.[B 力量提升] 1.化简 32－6227＋⎝⎛⎭⎫－3232－3－（102）2－42的结果是( ) A .53 B ．－3 C ．3D ．9解析：选D.原式＝3－827＋⎝⎛⎭⎫－1132－3－216＝－23＋113＋6＝9. 2.若函数f (x )＝2x －a 的定义域是[1，＋∞)，则实数a ＝________．解析：由于f (x )的定义域是[1，＋∞)，所以关于x 的不等式2x －a ≥0，即2x ≥a 的解集是[1，＋∞)，所以2x ≥21＝a ，即a ＝2.答案：23．已知x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x ＜0恒成立，求实数m 的取值范围．解：原不等式变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x，由于函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(－∞，－1]上是减函数．所以⎝⎛⎭⎫12x≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x恒成立等价于m 2－m ＜2，结合f (m )＝m 2－m －2的图象解得－1＜m ＜ 2.故实数m 的取值范围为(－1，2)．4.(选做题)若函数y ＝f (x )＝a ·3x －1－a3x －1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域．解：y ＝f (x )＝a ·3x －1－a 3x －1＝a －13x －1.(1)由题意可得f (－x )＋f (x )＝0，即2a －13x －1－13－x －1＝0，所以a ＝－12.(2)由于y ＝f (x )＝－12－13x －1，所以3x －1≠0，即x ≠0，所以函数y ＝f (x )＝－12－13x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)由于x ≠0，所以3x －1≠0，又3x －1＞－1，所以－1＜3x －1＜0或3x －1＞0，所以－12－13x －1＞12或－12－13x －1＜－12.即函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＞12或y ＜－12.。

2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修1习题：章末综合检测(三) Word版含答案

章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A ．4，4B ．3，4C ．5，4D ．4，3解析：选D.图象与x 轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可用二分法求解的个数为3，故选D.2．下列函数中，没有零点的是( ) A ．f (x )＝lo g 2x －7 B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x 2＋x解析：选C.对于f (x )＝lo g 2x －7，当x ＝27时，f (27)＝lo g 227－7＝7－7＝0；对于f (x )＝x －1，当x ＝1时，f (1)＝1－1＝0；对于f (x )＝x 2＋x ；当x ＝－1时，f (－1)＝1－1＝0；由于函数f (x )＝1x 中，对任意自变量x 的值，均有1x≠0，故该函数不存在零点．3．函数y ＝(x －1)(x 2－2x －3)的零点为( ) A ．1，2，3 B ．1，－1，3 C ．1，－1，－3D ．无零点解析：选B ．令y ＝(x －1)(x 2－2x －3)＝0，则有(x －1)(x ＋1)(x －3)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－1，x 3＝3.4．函数f (x )＝3x －lo g 2(－x )的零点所在区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－52，－2 B ．(－2，－1) C ．(1，2)D.⎝⎛⎭⎫2，52 解析：选B ．f (x )＝3x －lo g 2(－x )的定义域为(－∞，0)，所以排解C ，D ；又f (－2)·f (－1)＜0，且f (x )在定义域内是单调递增函数，故零点在(－2，－1)内．5．已知函数f (x )＝a x－2(a ＞0，a ≠1)，f (x 0)＝0且x 0∈(0，1)，则( )A ．a ＝2B ．1＜a ＜2C ．a ＞2D ．a ≥2解析：选C.由于x 0∈(0，1)，所以f (0)·f (1)＜0，即(1－2)(a －2)＜0，所以a ＞2.6．若函数f (x )唯一零点同时在(0，4)，(0，2)，(1，2)，⎝⎛⎭⎫1，32内，则与f (0)符号相同的是( ) A ．f (4) B ．f (2) C ．f (1)D ．f ⎝⎛⎭⎫32解析：选C.由函数零点的推断方法可知，f (2)，f (4)与f (0)符号相反，f (1)与f (2)符号相反，故f (1)与f (0)符号相同，f (0)与f ⎝⎛⎭⎫32符号相反，故选C.7．用二分法求f (x )＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f ⎝⎛⎭⎫32＝9，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈⎝⎛⎭⎫1，32 B ．x 0＝－32C ．x 0∈⎝⎛⎭⎫32，2D ．x 0＝1解析：选C.由于f (2)·f ⎝⎛⎭⎫32＜0，所以x 0∈⎝⎛⎭⎫32，2. 8．函数f (x )＝l n x －1x 的零点的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C.令f (x )＝0，得l n x ＝1x ，在同一坐标系中作出函数y ＝l n x 与y ＝1x 的图象如图所示，得两个函数的图象只有一个交点，所以原函数只有一个零点．9．某城市为爱护环境，维护水资源，鼓舞职工节省用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；若每月超过8吨，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费20元，则该职工这个月实际用水( )A ．10吨B ．13吨C ．11吨D ．9吨解析：选D.设该职工该月实际用水为x 吨，易知x ＞8，则水费为16＋2×2(x －8)＝4x －16＝20，所以x＝9.10．某工厂2021年生产某种产品2万件，方案从2022年开头每年比上一年增长20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年年初开头超过12万件( )A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年解析：选D.设经过x 年这种产品的年产量开头超过12万件，则2(1＋20%)x ＞12，即1.2x ＞6，所以x ＞lg 6lg 1.2≈9.8，取x ＝10，故选D.11．将甲桶中的a 升水缓慢注入大小、外形都相同的空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e n t ．若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a 8升，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D.令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，由已知得12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.12．已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|lo g a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关解析：选A.设y 1＝a |x |，y 2＝|lo g a x |，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|lo g a x |有两个根．故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3只有一个零点，则实数m 的取值是________．解析：若m ≠0，则Δ＝4－12m ＝0，m ＝13，又m ＝0也符合要求，所以m ＝0或13.答案：0或1314．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．解析：区间(1，2)的中点为x 0＝32，令f (x )＝x 3－2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝278－4＜0，f (2)＝8－4－1＞0，所以根所在的区间为⎝⎛⎭⎫32，2. 答案：⎝⎛⎭⎫32，215．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________．解析：在同始终角坐标系中，画出y 1＝⎝⎛⎭⎫12|x |和y 2＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0＜m ＜1.答案：(0，1)16．某商家1月份至5月份累计销售额达3 860万元，猜测6月份销售额为500万元，7月份销售额比6月份递增x %，8月份销售额比7月份递增x %，9、10月份销售总额与7、8月份销售总额相等，若1月份至10月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析：由题意得3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000，化简得x 2＋300x －6 400≥0，解得x ≥20或x ≤－320(舍去)．所以x ≥20，即x 的最小值为20. 答案：20三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )图象是连续的，有如下表格：x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 f (x )－3.511.022.371.56－0.381.232.773.454.89解：由于函数的图象是连续不断的，由对应值表可知f (－2)·f (－1.5)<0，f (－0.5)·f (0)<0，f (0)·f (0.5)<0.所以函数f (x )在区间(－2，－1.5)，(－0.5，0)以及(0，0.5)内肯定有零点．18．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的嘉奖方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行嘉奖；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按2lo g 5(A ＋1)进行嘉奖．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；(2)假如业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解：(1)由题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.15x ，0≤x ≤10，1.5＋2log 5（x －9），x ＞10.(2)由题意知1.5＋2lo g 5(x －9)＝5.5， 2lo g 5(x －9)＝4， lo g 5(x －9)＝2，所以x －9＝52，解得x ＝34.即老江的销售利润是34万元．19．(本小题满分12分)设f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3，2. (1)求f (x )的解析式；(2)当函数f (x )的定义域为[0，1]时，求其值域．解：(1)由于f (x )的两个零点分别是－3，2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）＝0，f （2）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧9a －3（b －8）－a －ab ＝0，4a ＋2（b －8）－a －ab ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，故f (x )＝－3x 2－3x ＋18. (2)由(1)知f (x )＝－3x 2－3x ＋18，其图象的对称轴为x ＝－12，开口向下，所以f (x )在[0，1]上为减函数，则f (x )的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12.所以值域为[12，18]．20．(本小题满分12分)某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，已知该商品进价为3元/件，并规定其销售单价不低于商品进价，且不高于12元，该商品日均销售量y (件)与销售单价x (元)的关系如图所示．(1)试求y 关于x 的函数解析式；(2)当销售单价定为多少元时，该商品每天的利润最大，最大是多少？解：(1)设日均销售量y (件)与销售单价x (元)的函数关系为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把(3，600)，(5，500)代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝600，5k ＋b ＝500，解得k ＝－50，b ＝750，所以日均销售量y (件)与销售单价x (元)的函数关系为y ＝－50x ＋750，3≤x ≤12.(2)设销售单价为x 元，日均获利W 元，依据题意得， W ＝(x －3)(－50x ＋750)－300＝－50(x －9)2＋1 500，由于a ＝－50＜0，且3＜9＜12，所以当x ＝9时，W 有最大值，最大值为1 500元．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lo g a (x ＋2)－1(a >0，且a ≠1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1.(1)若函数y ＝f (x )的图象恒过定点A ，求点A 的坐标；(2)若函数F (x )＝f (x )－g (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，试证明函数F (x )在x ∈(1，2)上有唯一零点．解：(1)由于函数y ＝lo g a x 的图象恒过点(1，0)，所以函数f (x )＝lo g a (x ＋2)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点A (－1，－1)． (2)证明：F (x )＝f (x )－g (x ) ＝lo g a (x ＋2)－1－⎝⎛⎭⎫12x －1，由于函数F (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，所以F (2)＝12，即lo g a 4－1－⎝⎛⎭⎫122－1＝12，所以a ＝2.所以F (x )＝lo g 2(x ＋2)－⎝⎛⎭⎫12x －1－1.所以函数F (x )在(1，2)上是增函数．又由于F (1)＝lo g 23－2<0，F (2)＝12>0，所以函数F (x )在(1，2)上有零点，故函数F (x )在(1，2)上有唯一零点．22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x ，x <0.(1)f (x )有零点吗？(2)设g (x )＝f (x )＋k ，为了使方程g (x )＝0有且只有一个根，k 应当怎样限制？ (3)当k ＝－1时，g (x )有零点吗？假如有，把它求出来，假如没有，请说明理由．解：(1)画出f (x )的图象，如图(1)，从图象可以看出，图象与x 轴没有交点，f (x )没有零点．图(1)(2)从图(1)可以看出f(x)>0.图(2)对于g(x)＝f(x)＋k，为了使方程g(x)＝0有且只有一个根，f(x)的图象必需向下移动，但移动的幅度要小于1，否则g(x)＝0就有两个根了．如图(2)，k应当限制为－1<k<0.(3)有，当x≥0时，令2x－1＝0，求得x＝0，当x＜0时，令－x－1＝0，求得x＝－1.所以g(x)的零点为0或－1.。

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[A 基础达标]1．若直线5x ＋4y ＝2m ＋1与直线2x ＋3y ＝m 的交点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2解析：选D.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2m ＋1，2x ＋3y ＝m ，得⎩⎨⎧x ＝2m ＋37，y ＝m －27．又因为交点在第四象限，所以⎩⎨⎧2m ＋37>0，m －27<0.解得－32 <m <2.2．已知直线l 1：x ＋2y ＋1＝0与直线l 2：4x ＋ay －2＝0垂直，则l 1与l 2的交点坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－35B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－15C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35解析：选A.因为直线l 1：x ＋2y ＋1＝0与直线l 2：4x ＋ay －2＝0垂直，所以1×4＋2a ＝0，解得a ＝－2，直线l 2的方程为4x －2y －2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，4x －2y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝－35，故交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－35 .3．以A (5，5)，B (1，4)，C (4，1)为顶点的△ABC 的形状是 ( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰非直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.根据两点间的距离公式，得|AB |＝（5－1）2＋（5－4）2 ＝17 ， |AC |＝（5－4）2＋（5－1）2 ＝17 ， |BC |＝（1－4）2＋（4－1）2 ＝32 ，所以|AB |＝|AC |≠|BC |，且|AB |2＋|AC |2≠|BC |2，故△ABC 是等腰非直角三角形．4．对于任给的实数m ，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都通过一定点，则该定点的坐标为( )A ．(9，－4)B ．(－9，－4)C ．(9，4)D ．(－9，4)解析：选A.(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5即为m (x ＋2y －1)＋(－x －y ＋5)＝0，故此直线过直线x ＋2y －1＝0和－x －y ＋5＝0的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0 得定点的坐标为(9，－4).故选A.5．过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )A ．x －3y ＋7＝0B ．x －3y ＋13＝0C ．x －3y ＋6＝0D ．x －3y ＋5＝0解析：选B.直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点为(－1，4).又因为所求直线与3x ＋y －1＝0垂直，得所求直线的斜率为13 ，由点斜式，得y －4＝13 (x ＋1)，即x －3y ＋13＝0，故选B.6．已知点M (x ，－4)与点N (2，3)间的距离为72 ，则x ＝________．解析：由|MN |＝72 ，得|MN |＝（x －2）2＋（－4－3）2 ＝72 ，即x 2－4x －45＝0，解得x 1＝9或x 2＝－5. 故所求x 的值为9或－5. 答案：9或－57．已知直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________．解析：因为两直线的交点在y 轴上，且直线2x －3y ＋4＝0与y 轴的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 ，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 在直线Ax ＋3y ＋C ＝0上．则A ×0＋3×43 ＋C ＝0，解得C ＝－4.答案：－48．斜率为－2，且过两条直线3x －y ＋4＝0和x ＋y －4＝0交点的直线方程为________．解析：设所求直线方程为3x －y ＋4＋λ(x ＋y －4)＝0，即(3＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－4λ＝0，所以k ＝3＋λ1－λ ＝－2，解得λ＝5.所以所求直线方程为2x ＋y －4＝0. 答案：2x ＋y －4＝09．已知两点A (－2，1)，B (4，3)，两直线l 1：2x －3y －1＝0，l 2：x －y －1＝0，求：(1)过点A 且与直线l 1平行的直线方程；(2)过线段AB 的中点以及直线l 1与l 2的交点的直线方程．解：(1)设与直线l 1：2x －3y －1＝0平行的直线方程为2x －3y ＋c ＝0(c ≠－1)，将点A (－2，1)的坐标代入，得－4－3＋c ＝0，解得c ＝7. 所以所求直线方程是2x －3y ＋7＝0. (2)设线段AB 的中点为M .因为A (－2，1)，B (4，3)，所以M (1，2). 设直线l 1，l 2的交点为N ，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －1＝0，x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以N (2，1).所以k MN ＝2－11－2＝－1，所以所求直线的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.10．已知点A (2，3)，B (4，1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点，所以E (3，2).因为k AB ＝1－34－2 ＝－1，所以k CE ＝－1k AB＝1.所以CE 所在直线方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，所以C (4，3).又因为A (2，3)，B (4，1)，所以|EC |＝（4－3）2＋（3－2）2 ＝2 ，|AB |＝（4－2）2＋（1－3）2 ＝22 .所以S △ABC ＝12 |AB |·|EC |＝2.[B 能力提升]11．光线从点A (－3，5)射到x 轴上，经反射以后经过点B (2，10)，则光线从A 到B 经过的路程为( )A ．52B ．25C ．510D ．105解析：选C.点A (－3，5)关于x 轴的对称点为A ′(－3，－5)，则光线从A 到B 经过的路程为A ′B 的长度，|A ′B |＝（－3－2）2＋（－5－10）2 ＝510 .12．已知实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点________．解析：由a ＋2b ＝1，得a ＝1－2b ，则直线ax ＋3y ＋b ＝0可化为(1－2b )x ＋3y ＋b ＝0，整理得x ＋3y －b (2x －1)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，2x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－16．故直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16 .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16 13．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过点A 作直线l 2与直线l 1相交于点B ，且|AB |＝5，则点B 的坐标为________，直线l 2的方程为________．解析：因为点B 在直线l 1上，所以设B (x 0，6－2x 0). 因为|AB |＝5，所以（x 0－1）2＋（7－2x 0）2 ＝5.整理得x 20 －6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或x 0＝5.所以点B 的坐标为(1，4)或(5，－4).所以直线l 2的方程为x ＝1或y ＋1－4＋1 ＝x －15－1 ，整理得，x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.答案：(1，4)或(5，－4) x ＝1或3x ＋4y ＋1＝014．已知△ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE |＝|CD |.证明：如图，以B 为坐标原点，直线AC 为x 轴，建立平面直角坐标系，设△ABD 和△BCE 的边长分别为a ，c ，则A (－a ，0)，C (c ，0)， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，32a ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，则|AE |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2－（－a ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32c －02＝a 2＋ac ＋c 2 ，|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －02＝a 2＋ac ＋c 2 ，所以|AE |＝|CD |.[C 拓展探究]15．已知两直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4(0＜a ＜2)与两坐标轴的正半轴围成四边形．当a 为何值时，围成的四边形面积取最小值？并求出最小值．解：两直线l 1：a (x －2)＝2(y －2)，l 2：2(x －2)＝－a 2(y －2)都过点(2，2)，如图所示．设两直线l 1，l 2的交点为C (2，2)，且它们的斜率分别为k 1和k 2，则k 1＝a2 ∈(0，1)， k 2＝－2a 2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 .因为直线l 1与y 轴的交点A 的坐标为(0，2－a )，直线l 2与x 轴的交点B 的坐标为(2＋a 2，0).所以S OACB ＝S △OAC ＋S △OCB ＝12 (2－a )·2＋12 ·(2＋a 2)·2 ＝a 2－a ＋4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 2＋154 . 因为0<a <2，所以当a ＝12 时，四边形OACB 的面积最小，最小值为154 .。

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[A基础达标]1．(多选)下列叙述正确的是()A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B．直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°C．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则此直线的斜率为tan αD．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°解析：选BCD.根据斜率的定义，知当直线与x轴垂直时，斜率不存在，故A错误，易知其他选项正确．故选BCD.2．已知直线l1过点A(－1，－1)和B(1，1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率是()A．1B．－1C．2 D．不存在解析：选D.设直线l1的倾斜角为α，因为直线l1过点A(－1，－1)和B(1，1)，所以直线l1的斜率为1－（－1）1－（－1）＝1.又0°≤α<180°，所以α＝45°.则直线l2的倾斜角为90°，所以直线l2的斜率不存在．3．(多选)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若k AB＝4，则点B的坐标可能为()A．(0，－4) B．(4，0)C．(2，0) D．(0，－8)解析：选CD.设B(x，0)或(0，y)，因为k AB＝43－x 或k AB＝4－y3，所以43－x ＝4或4－y3＝4，所以x＝2，y＝－8，所以点B的坐标为(2，0)或(0，－8).4．若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2解析：选D.由题图可知k1<0，k2>0，k3>0，又由当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率越大，得k2>k3，所以k1<k3<k2.5．已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是()A．(－1，0] B．[0，1]C．[1，2] D．[0，2]解析：选 D.由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.6．在平面直角坐标系中，直线AB的位置如图所示，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________．解析：根据倾斜角的定义可知直线AB的倾斜角为30°，所以其斜率k＝tan 30°＝33.答案：30°3 37．已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．解析：直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k＝－3－y2－4，由－3－y2－4＝－1，得y＝－5.答案：－58.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为1 2×(90°－30°)＝30°.答案：30°9．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，求对角线AC与BD所在直线的斜率．解：在菱形ABCD中，因为∠ADC＝120°，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝120°.所以∠BAC＝30°，∠DBA＝60°，∠DBx＝120°，所以直线AC的斜率k AC＝tan 30°＝33，直线BD的斜率k BD＝tan 120°＝－3.10．已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．解：由题意可知k AB ＝5－13－1＝2， k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2.因为A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上，所以k ＝2＝6a －1 ＝b －1－2 ，解得a ＝4，b ＝－3.所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.[B 能力提升]11．(2021·江西景德镇一中高一期中)设A (1，1)，B (2，a )，C (b ，3)三点共线，且a ，b ∈N *，则a －b 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．无法确定解析：选C.因为A (1，1)，B (2，a )，C (b ，3)三点共线，所以k AB ＝k AC ，即a －12－1＝3－1b －1，化简得(a －1)(b －1)＝2.又a ，b ∈N *，所以a ＝2，b ＝3或a ＝3，b ＝2，故a －b 的值为－1或1.12．已知O (O 为坐标原点)是等腰直角三角形OAB 的直角顶点，点A 在第一象限，∠AOy ＝15°，则斜边AB 所在直线的斜率为________．解析：当点B 在第二象限时，如图，设直线AB 与x 轴的交点为C ，则∠ACO ＝180°－∠A －∠AOC ＝180°－45°－105°＝30°，所以k AB ＝tan 30°＝33 .同理，当点B 在第四象限时，k AB ＝－3 .答案：33 或－313．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4 ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π ，则k 的取值范围是________．解析：因为α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4 ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π ，当π6 ≤α<π4 时，33 ≤tan α<1，所以33 ≤k <1. 当2π3 ≤α<π时，－3 ≤tan α<0，所以－3 ≤k <0. 所以k ∈[－3 ，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 .答案：[－3 ，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，114．已知直线l 过点P (－1，2)，且与以A (－2，－3)，B (3，0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：作出直线P A ，PB 及线段AB ，如图所示．则k P A ＝2－（－3）－1－（－2）＝5，k PB ＝2－0－1－3＝－12 .当直线l 从直线P A 转到与y 轴平行的直线PC 的位置的过程中，直线l 的斜率k 从5趋向于正无穷大，即k ∈[5，＋∞).当直线l 从直线PC 转到直线PB 的位置的过程中，直线l 的斜率k 从负无穷大开始增大到－12 ，即k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 . 综上，直线l 的斜率k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 ∪[5，＋∞).[C 拓展探究]15．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2，5]时，求y ＋1x ＋1 的取值范围．解：y ＋1x ＋1 ＝y －（－1）x －（－1）的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．因为点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2，5]，所以设该线段为AB 且A (2，4)，B (5，－2)，如图．因为k NA ＝4－（－1）2－（－1）＝53 ，k NB ＝－2－（－1）5－（－1）＝－16 ，所以－16 ≤y ＋1x ＋1 ≤53 .所以y ＋1x ＋1的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53 .。

2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修1习题：章末综合检测(一) Word版含答案

章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{0，1}，则下列式子错误的是( ) A ．0∈A B ．{1}∈A C ．∅⊆AD ．{0，1}⊆A解析：选B.{1}与A 均为集合，而“∈”用于表示元素与集合的关系，所以B 错，其正确的表示应是{1}⊆A . 2．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1，2)D ．[1，2)∪(2，＋∞)解析：选D.依据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫x2－1＝2x ＋3，则f (6)的值为( ) A ．15 B ．7 C ．31D ．17解析：选C.令x2－1＝t ，则x ＝2t ＋2.将x ＝2t ＋2代入f ⎝⎛⎭⎫x2－1＝2x ＋3，得f (t )＝2(2t ＋2)＋3＝4t ＋7.所以f (x )＝4x ＋7，所以f (6)＝4×6＋7＝31.4．下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是( )解析：选C.由函数定义知，定义域内的每一个x 都有唯一函数值与之对应，A ，B ，D 选项中的图象都符合；C 项中对应大于零的x 而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．5．全集U ＝R ，A ＝{x |x <－3，或x ≥2}，B ＝{x |－1<x <5}，则集合{x |－1<x <2}是( ) A ．(∁U A )∪(∁U B ) B ．∁U (A ∪B ) C ．(∁U A )∩BD ．A ∩B解析：选C.由于∁U A ＝{x |－3≤x <2}，所以(∁U A )∩B ＝{x |－1<x <2}．6．设集合A ＝{－1，3，5}，若f ：x →2x －1是集合A 到集合B 的映射，则集合B 可以是( )A ．{0，2，3}B ．{1，2，3}C ．{－3，5}D ．{－3，5，9}解析：选D.由对应关系可知，当x ＝－1时，2x －1＝－3；当x ＝3时，2x －1＝5；当x ＝5时，2x －1＝9.故B ＝{－3，5，9}．7．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( ) A ．y ＝12xB ．y ＝24xC ．y ＝28x D ．y ＝216x 解析：选C.正方形边长为x 4，而(2y )2＝⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫x 42，所以y 2＝x 232.所以y ＝x 42＝28x . 8．二次函数f (x )＝ax 2＋2a 是区间[－a ，a 2]上的偶函数，又g (x )＝f (x －1)，则g (0)，g ⎝⎛⎭⎫32，g (3)的大小关系为( )A ．g ⎝⎛⎭⎫32<g (0)<g (3)B ．g (0)<g ⎝⎛⎭⎫32<g (3)C ．g ⎝⎛⎭⎫32<g (3)<g (0)D ．g (3)<g ⎝⎛⎭⎫32<g (0)解析：选A.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，－a ＝－a 2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2，所以g (x )＝f (x －1)＝(x －1)2＋2. 由于函数g (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以g (0)＝g (2)．又由于函数g (x )＝(x －1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，所以g ⎝⎛⎭⎫32<g (2)<g (3)，所以g ⎝⎛⎭⎫32<g (0)<g (3)． 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，1，x >0.若f (x －4)>f (2x －3)，则实数x 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1，4)D ．(－∞，1)解析：选C.f (x )的图象如图．由图知若f (x －4)>f (2x －3)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －4<0，x －4<2x －3，解得－1<x <4.故实数x 的取值范围是(－1，4)．10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2，0≤x ≤3，x 2＋6x ，－2≤x <0的值域是( )A ．RB ．[1，＋∞)C ．[－8，1]D ．[－9，1]解析：选C.设g (x )＝2x －x 2，0≤x ≤3，结合二次函数的单调性可知： g (x )m i n ＝g (3)＝－3，g (x )max ＝g (1)＝1；同理，设h (x )＝x 2＋6x ，－2≤x <0，则h (x )m i n ＝h (－2)＝－8， h (x )的最大值接近于0，所以f (x )max ＝g (1)＝1，f (x )m i n ＝h (－2)＝－8，故选C. 11．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列说法： ①f (0)＝0；②若f (x )在[0，＋∞)上有最小值－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值1； ③若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数．其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.①f (0)＝0正确；②正确；③不正确，奇函数在对称区间上具有相同的单调性．12．若f (x )满足对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，则f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋f （6）f （5）＋…＋f （2 016）f （2 015）＝( )A ．1 007B ．1 008C ．2 015D ．2 016解析：选D.由于对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，由f (2)＝f (1)·f (1)，得f （2）f （1）＝f (1)＝2，由f (4)＝f (3)·f (1)，得f （4）f （3）＝f (1)＝2，…，由f (2 016)＝f (2 015)·f (1)，得f （2 016）f （2 015）＝f (1)＝2，所以f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋f （6）f （5）＋…＋f （2 016）f （2 015）＝1 008×2＝2 016. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．用列举法表示集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪10m ＋1∈Z ，m ∈Z ＝________．解析：由10m ＋1∈Z ，且m ∈Z ，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|＝1，2，5，10，从而m 的值为－11，－6，－3，－2，0，1，4，9.答案：{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：若a >0，则2a ＋2＝0，得a ＝－1，与a >0冲突，舍去；若a ≤0，则a ＋1＋2＝0，得a ＝－3，所以实数a 的值等于－3.答案：－315．已知f (x )＝ax 3＋bx －4，其中a ，b 为常数，若f (－2)＝2，则f (2)的值等于________．解析：设g (x )＝ax 3＋bx ，明显g (x )为奇函数，则f (x )＝ax 3＋bx －4＝g (x )－4，于是f (－2)＝g (－2)－4＝－g (2)－4＝2，所以g (2)＝－6，所以f (2)＝g (2)－4＝－6－4＝－10.答案：－1016．若函数f (x )同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f (x )＋f (－x )＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0.则称函数f (x )为“抱负函数”．给出下列三个函数中：(1)f (x )＝1x ；(2)f (x )＝x 2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0.能被称为“抱负函数”的有________(填相应的序号)．解析：①要求函数f (x )为奇函数，②要求函数f (x )为减函数．函数(1)是奇函数但在整个定义域上不是减函数，函数(2)是偶函数而且也不是减函数，只有函数(3)既是奇函数又是减函数．答案：(3)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )．解：(1)由交集的概念易得2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{－5，2}．(2)由并集的概念易得U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2.由补集的概念易得∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12.所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋b ，且f (1)＝2，f (2)＝－1. (1)求f (m ＋1)的值．(2)推断函数f (x )的单调性，并用定义证明．解：(1)由f (1)＝2，f (2)＝－1，得a ＋b ＝2，2a ＋b ＝－1，即a ＝－3，b ＝5，故f (x )＝－3x ＋5， f (m ＋1)＝－3(m ＋1)＋5＝－3m ＋2.(2)函数f (x )在R 上单调递减，证明如下：任取x 1<x 2(x 1，x 2∈R)，则f (x 2)－f (x 1)＝(－3x 2＋5)－(－3x 1＋5)＝3x 1－3x 2＝3(x 1－x 2)，由于x 1<x 2，所以f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)，所以函数f (x )在R 上单调递减．19．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |0<x －m <3}，B ＝{x |x ≤0或x ≥3}，分别求满足下列条件的实数m 的取值范围：(1)A ∩B ＝∅； (2)A ∪B ＝B .解：由于A ＝{x |0<x －m <3}，所以A ＝{x |m <x <m ＋3}，(1)当A ∩B ＝∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋3≤3，解得m ＝0.(2)当A ∪B ＝B 时，有A ⊆B ，所以m ≥3或m ＋3≤0，解得m ≥3或m ≤－3.20．(本小题满分12分)函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f ⎝⎛⎭⎫x －12<0的解集．解：由于f (x )是奇函数，且f (1)＝0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．所以f (－1)＝－f (1)＝0，且f (x )在(－∞，0)上是增函数．所以不等式f ⎝⎛⎭⎫x －12<0可化为 ⎩⎨⎧x －12>0，f ⎝⎛⎭⎫x －12<f （1），或⎩⎨⎧x －12<0，f ⎝⎛⎭⎫x －12<f （－1），即0<x －12<1，或x －12<－1，解得12<x <32，或x <－12，所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12，或12<x <32. 21．(本小题满分12分)某省两相近重要城市之间人员沟通频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，假如该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．解：(1)设每天来回y 次，每次拖挂x 节车厢，由题意设y ＝kx ＋b (k ≠0)，当x ＝4时，y ＝16，当x ＝7时，y ＝10，得到16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b ，解得k ＝－2，b ＝24，所以y ＝－2x ＋24.(2)设每天来回y 次，每次拖挂x 节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S 节车厢，则S ＝xy ＝x (－2x ＋24)＝－2x 2＋24x ＝－2(x －6)2＋72，所以当x ＝6时，S max ＝72，此时y ＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7 920(人)．故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4x 2－kx －8.(1)若y ＝f (x )在区间[2，10]上具有单调性，求实数k 的取值范围； (2)若y ＝f (x )在区间(－∞，2]上有最小值，为－12，求实数k 的值．解：(1)函数f (x )图象的对称轴为x ＝k8，若y ＝f (x )在区间[2，10]上单调递增，则k8≤2，解得k ≤16；若y ＝f (x )在区间[2，10]上单调递减，则k8≥10，解得k ≥80.综上，实数k 的取值范围为(－∞，16]∪[80，＋∞)．(2)当k8≤2，即k ≤16时，f (x )m i n ＝f ⎝⎛⎭⎫k 8＝－12，解得k ＝8或k ＝－8.经检验，k ＝8或k ＝－8均符合题意．当k8>2，即k >16时，f (x )m i n ＝f (2)＝－12，解得k ＝10，不符合题意，舍去．综上，k ＝8或k ＝－8.。

优化设计习题答案

第一、填空题1.构成优化设计数学模型的三因素是设计变量、目标函数、拘束条件。

2.函数 f x1 , x2 x12x224x1x2 5 在 X02点处的梯度为12 ，海赛矩阵40为24 423.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反应，所以对它最基本的要求是能用来评论设计的好坏，，同时一定是设计变量的可计算函数。

4.成立优化设计数学模型的基来源则是切实反应工程本质问题，的基础上力争简短。

5.拘束条件的尺度变换常称规格化，这是为改良数学模型性态常用的一种方法。

6.随机方向法所用的步长一般按加快步长法来确立，此法是指挨次迭代的步长按必定的比率递加的方法。

7.最速降落法以负梯度方向作为搜寻方向，所以最速降落法又称为梯度法，其收敛速度较慢。

8.二元函数在某点处获得极值的充足条件是 f X 00 必需条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是经过增添变量将等式拘束优化问题变为无拘束优化问题，这类方法又被称为升维法。

10改变复合形形状的搜寻方法主要有反射，扩充，缩短，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量的优化问题转变为单变量的优化问题12 ．在选择拘束条件时应特别注意防止出现相互矛盾的拘束，，此外应当尽量减少不用要的拘束。

13 ．目标函数是 n 维变量的函数，它的函数图像只好在n+1,空间中描绘出来，为了在 n 维空间中反应目标函数的变化状况，常采纳目标函数等值面的方法。

14. 数学规划法的迭代公式是X k 1X k k d k，其中心是成立搜寻方向，和计算最正确步长15 协调曲线法是用来解决设计目标相互矛盾的多目标优化设计问题的。

16. 机械优化设计的一般过程中，成立优化设计数学模型是首要和重点的一步，它是获得正确结果的前提。

二、名词解说1．凸规划关于拘束优化问题min f Xst..g j X0( j1,2,3,,m)若 f X 、g j X( j1,2,3,, m) 都为凸函数，则称此问题为凸规划。

2021年数学人教版必修一优化练习：第1章1.11.1.3第1课时集合的并集、交集版含解析

[课时作业][A 组根底稳固]1．(2021· (高|考 )全国卷Ⅱ)集合A ＝{1,2,3} ,B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0 ,x ∈Z } ,那么A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0 ,x ∈Z }＝{x |－1<x <2 ,x ∈Z }＝{0,1} ,又A ＝{1, 2,3} ,所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．答案：C2．设S ＝{x |2x ＋1>0} ,T ＝{x |3x －5<0} ,那么S ∩T ＝( )A ．∅B ．{x |x <－12}C ．{x |x >53}D ．{x |－12<x <53}解析：S ＝{x |2x ＋1>0}＝{x |x >－12} ,T ＝{x |3x －5<0}＝{x |x <53} ,那么S ∩T ＝{x |－12＜x ＜53}．答案：D3．集合A ＝{(x ,y )|x ＋y ＝0 ,x ,y ∈R} ,B ＝{(x ,y )|x －y ＝0 ,x ,y ∈R} ,那么集合A ∩B 的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0 x －y ＝0⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0 y ＝0.∴A ∩B ＝{(0,0)}．答案：B4．设集合M ＝{x ∈Z|－10≤x ≤－3} ,N ＝{x ∈Z||x |≤5} ,那么M ∪N 中元素的个数为( )A ．11B ．10C ．16D ．15 解析：先用列举法分别把集合M ,N 中的元素列举出来 ,再根据并集的定义写出M ∪N .∵M ＝{x ∈Z|－10≤x ≤－3}＝{－10 ,－9 ,－8 ,－7 ,－6 ,－5 ,－4 ,－3} ,N ＝{x ∈Z||x |≤5}＝{－5 ,－4 ,－3 ,－2 ,－1,0,1,2,3,4,5} ,∴M ∪N ＝{－10 ,－9 ,－8 ,－7 ,－6 ,－5 ,－4 ,－3 ,－2 ,－1,0,1,2,3,4,5}．∴M ∪N 中元素的个数为16. 答案：C5．集合A ＝{x |－2≤x ≤7} ,B ＝{x |m ＋1<x <2m －1} ,且B ≠∅ ,假设A ∪B ＝A ,那么( )A ．－3≤m ≤4B ．－3＜m ＜4C ．2＜m ＜4D ．2＜m ≤4 解析：∵A ∪B ＝A ,∴B ⊆A .又B ≠∅ ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－ 2 2m －1≤7m ＋1＜2m －1即2＜m ≤4.答案：D6．集合M ＝{0,1,2} ,N ＝{x |x ＝2a ,a ∈M } ,那么集合M ∩N ＝________. 解析：由M ＝{0,1,2} ,知N ＝{0,2,4} ,M ∩N ＝{0,2}．答案：{0,2}7．集合A ＝{(x ,y )|y ＝ax ＋3} ,B ＝{(x ,y )|y ＝3x ＋b } ,A ∩B ＝{(2,5)} ,那么a ＝________ ,b ＝________.解析：∵A ∩B ＝{(2,5)}．∴5＝2a ＋3.∴a ＝1.∴5＝6＋b .∴b ＝－1.答案：1 －18．假设集合A ＝{1,3 ,x } ,集合B ＝{x 2,1} ,且A ∪B ＝{1,3 ,x } ,那么这样的x 值的个数为________．解析：∵A ∪B ＝A ,∴B ⊆A ,∴x 2∈A .令x2＝3 ,得x＝±3 ,符合要求．令x2＝x ,得x＝0或x＝1.当x＝1时,不满足集合中元素的互异性．∴x＝±3或x＝0.答案：39．设A＝{x|－1<x<2} ,B＝{x|1<x<3} ,求A∪B ,A∩B.解析：如下列图：A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|1<x<3}＝{x|1<x<2}．10．集合A＝{x|x2＋x－6＝0} ,B＝{x|mx＋1＝0} ,假设B⊆A,求实数m的取值范围．解析：由x2＋x－6＝0 ,得A＝{－3, 2} ,∵B⊆A ,且B中元素至||多一个,∴B＝{－3} ,或B＝{2} ,或B＝∅.(1)当B＝{－3}时,由(－3)m＋1＝0 ,得m＝1 3；(2)当B＝{2}时,由2m＋1＝0 ,得m＝－1 2；(3)当B＝∅时,由mx＋1＝0无解,得m＝0.∴m＝13或m＝－12或m＝0.[B组能力提升]1．定义A－B＝{x|x∈A且x∉B} ,假设A＝{1,2,4,6,8,10} ,B＝{1,4,8} ,那么A－B＝()A．{4,8} B．{1,2,6,10}C．{2,6,10} D．{1}解析：由题设信息知A －B ＝{2,6,10}．答案：C2．(2021· (高|考 )全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0} ,B ＝{x |2x －3>0} ,那么A ∩B ＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3 －32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3 32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32 3 解析：∵x 2－4x ＋3<0 ,∴1<x <3 ,∴A ＝{x |1<x <3}．∵2x －3>0 ,∴x >32 ,∴B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >32. ∴A ∩B ＝{x |1<x <3}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >32＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 32<x <3. 应选D.答案：D3．集合A ＝{x ||x ＋2|<3} ,集合B ＝{x |m ＜x ＜2} ,且A ∩B ＝(－1 ,n ) ,那么m ＝________ ,n ＝________.解析：A ＝{x ||x ＋2|<3}＝{x |－5＜x ＜1} ,由图形直观性可知m ＝－1 ,n ＝1.答案：－1 14．A ＝{x |－2＜x ＜a ＋1} ,B ＝{x |x ≤－a 或x ≥2－a } ,A ∪B ＝R ,那么实数a 的取值范围是________．解析：此题给出了两个待定的集合 ,且A ∪B ＝R ,结合数轴表示可求出参数a 的取值范围．如下列图 ,因为A ∪B ＝R ,所以应满足⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥－ 2 2－a ≤a ＋1 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤ 2 a ≥12 所以12≤a ≤2.答案：⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤a ≤2 5．设方程x 2＋px －12＝0的解集为A ,方程x 2＋qx ＋r ＝0的解集为B ,且A ≠B ,A ∪B ＝{－3,4} ,A ∩B ＝{－3} ,求p ,q ,r 的值．解析：∵A ∩B ＝{－3} ,∴－3∈A ,代入x 2＋px －12＝0得p ＝－1 ,∴A ＝{－3,4}∵A ≠B ,A ∪B ＝{－3,4} ,∴B ＝{－3}即方程x 2＋qx ＋r ＝0有两个相等的根x ＝－3 ,∴q ＝6 ,r ＝9.6．集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0} ,B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0} ,C ＝{x |x 2－mx ＋2＝0} ,且A ∪B ＝A ,A ∩C ＝C ,求实数a 、m 的值或范围．解析：x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或2 ,故A ＝{1,2} ,∵A ∪B ＝A ,∴B ⊆A ,B 有四种可能的情况：∅ ,{1} ,{2} ,{1,2}．∵x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]∴必有1∈B ,因而a －1＝1或a －1＝2 ,解得a ＝2或a ＝3.又∵A ∩C ＝C ,∴C ⊆A .故C 有四种可能的情况：∅ ,{1} ,{2} ,{1,2}．①假设C ＝∅ ,那么方程x 2－mx ＋2＝0(※)的判别式Δ＝m 2－8<0 ,得－22<m <22；②假设C ＝{1} ,那么方程(※)有两个等根为1 , ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝m 1×1＝2不成立；③假设C ＝{2} ,同上②也不成立；④假设C ＝{1,2} ,那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝m 1×2＝2.得m ＝3.综上所述 ,有a ＝2或a ＝3；m ＝3或－22<m <2 2.。

2021年数学人教版必修一优化练习：第1章1.21.2.2第2课时分段函数及映射版含解析

[课时作业][A 组根底稳固]1．函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2x x >0x ＋1 x ≤0.假设f (a )＋f (1)＝0 ,那么实数a 的值等于( ) A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：因为f (1)＝2 ,所以由f (a )＋f (1)＝0 ,得f (a )＝－2 ,所以a 肯定小于0 , 那么f (a )＝a ＋1＝－2 ,解得a ＝－3 ,应选A.答案：A2．给出如下列图的对应：其中构成从A 到B 的映射的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：①是映射 ,是一对一；②③是映射 ,满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射 ,是一对多；⑥不是映射 ,a 3、a 4在集合B 中没有元素与之对应．答案：A3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0≤x ≤1 2 1<x <2 3 x ≥2的值域是( ) A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0 ,＋∞)D ．[0,3]解析：f (x )图象大致如下：由图可知值域为[0,2]∪{3}．答案：B4．函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2x x ≥0x 2 x <0 那么f (f (－2))的值是( )A ． 4B ．－4C ．8D ．－8解析：∵－2<0 ,∴f (－2)＝(－2)2＝4 ,∴f (f (－2))＝f (4)；又∵4≥0 ,∴f (4)＝2×4＝8.答案：C5．以下对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )①M ＝N ＝R ,f ：x →y ＝1x ,x ∈M ,y ∈N ；②M ＝N ＝R ,f ：x →y ＝x 2 ,x ∈M ,y ∈N ；③M ＝N ＝R ,f ：x →y 1|x |＋x,x ∈M ,y ∈N ；④M ＝N ＝R ,f ：x →y ＝x 3 ,x ∈M ,y ∈N .A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④解析：根据映射的定义进行判断．对于① ,集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应 ,所以①不是映射．对于③ ,M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应 ,所以③不是映射．对于②④ ,M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应 ,所以②④是映射．应选D.答案：D6．假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 2－4 x ＞0 π x ＝0 0 x ＜0那么f (f (0))＝________. 解析：∵f (0)＝π ,∴f (f (0))＝f (π)＝3π2－4.答案：3π2－4 7．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x >0f (x ＋1) x ≤0 那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于________．解析：∵43>0 ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83；－43≤0 ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13；－13≤0 ,∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23； 23>0 ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43 , ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4.答案：48．设f ：A →B 是从A 到B 的一个映射 ,f ：(x ,y )→(x －y ,x ＋y ) ,那么A 中的元素(－1,2)的象是________ ,B 中的元素(－1,2)的原象是________．解析：(－1,2)→(－1－2 ,－1＋2)＝(－3,1)．设(－1,2)的原象为(x ,y ) ,那么⎩⎨⎧ x －y ＝－1x ＋y ＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12 y ＝32.答案：(－3,1) (12 ,32) 9．作函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|图象 ,并求出相应的函数值域．解析：因为函数y ＝|x ＋3|＋|x －5| ,y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2 (x ≤－3) 8 (－3<x <5) 2x －2 (x ≥5).所以y ＝|x ＋3|＋|x －5|的图象如下列图：由此可知 ,y ＝|x ＋3|＋|x －5|的值域为[8 ,＋∞)．10．(x ,y )在映射f 的作用下的象是(x ＋y ,xy ) ,求：(1)(3,4)的象；(2)(1 ,－6)的原象．解析：(1)∵x ＝3 ,y ＝4 ,∴x ＋y ＝7 ,xy ＝12.∴(3,4)的象为(7,12)．(2)设(1 ,－6)的原象为(x ,y ) ,那么有⎩⎨⎧ x ＋y ＝1xy ＝－6解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2 y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3 y ＝－2.故(1 ,－6)的原象为(－2,3)或(3 ,－2)．[B 组能力提升]1．假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x ≤－1x 2－1＜x ＜22xx ≥2 且f (x )＝3 ,那么x 的值是() A ．1 B ．1或32C ．±3 D. 3解析：由x ＋2＝3 ,得x ＝1>－1 ,舍去．由x 2＝3 ,得x ＝±3 ,－1＜3＜2 ,－3＜－1 ,－3舍去．由2x ＝3 ,得x ＝32<2 ,舍去．所以x 的值为 3.答案：D2．函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋2x ≤0－x ＋2x >0 ,那么不等式f (x )≥2x 的解集是( )A ．(－∞ ,23]B ．(－∞ ,0]C ．(0 ,23]D ．(－∞ ,2)解析：(1)当x >0时 ,f (x )＝－x ＋2≥2x ,得3x ≤2 ,即0<x ≤23；(2)当x ≤0时 ,f (x )＝x ＋2≥2x ,得x ≤2 ,又x ≤0 ,∴x ≤0；综上所述 ,x ≤23. 答案：A 3．集合A ＝Z ,B ＝{x |x ＝2n ＋1 ,n ∈Z} ,C ＝R ,且从A 到B 的映射是f ：x →y ＝2x －1 ,从B 到C 的映射是f ：x →y ＝13x ＋1,那么从A 到C 的映射是________．解析：根据题意 ,f ：A →B ,x →y ＝2x －1f ：B →C ,y →z ＝13y ＋1. 所以 ,从A 到C 的映射是f ：x →z ＝13(2x －1)＋1＝16x －2, 即从A 到C 的映射是f ：x →y ＝16x －2. 答案：f ：x →y ＝16x －2 4．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2(x ≤－2) x 2(－2＜x ＜2)2x (x ≥2) 假设f (a )＝8 ,那么a ＝________.解析：当a ≤－2时 ,由a ＋2＝8 ,得a ＝6.不合题意．当a ≥2时 ,由2a ＝8 ,得a ＝4 ,符合题意．当－2＜a ＜2时 ,a 2＝8 ,a ＝±2 2 ,不合题意．答案：45．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点 ,求a 的取值范围．解析：y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x ＋a x ≥0x 2＋x ＋a x <0如图 ,在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ,观图可知 ,a 的取值必须满足⎩⎨⎧ a >14a －14<1 ,解得1<a <54. 6．等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ,BC ＝a ,∠BAD ＝4 5° ,作直线MN ⊥AD 交AD 于M ,交折线ABCD 于N .设AM ＝x ,试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数．解析：作BH ⊥AD ,H 为垂足 ,CG ⊥AD ,G 为垂足 ,依题意 ,那么有AH ＝a 2 ,AG ＝32a ,∠A ＝∠D ＝45°.(1)当M 位于点H 的左侧时 ,N ∈AB ,由于AM ＝x ,∠A ＝45° ,∴MN ＝x .∴y ＝S △AMN ＝12x 2(0≤x ≤a 2)．(2)当M 位于H 、G 之间时 ,由于AM ＝x ,AH ＝a 2 ,BN ＝x －a 2 ,∴y ＝S 直角梯形AMNB ＝12·a 2[x ＋(x －a 2)]＝12ax －a 28(a 2＜x ≤32a )．(3)当M 位于点G 的右侧时 ,由于AM ＝x ,DM ＝MN ＝2a －x ,∴y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝12·a 2(2a ＋a )－12(2a －x )2＝3a 24－12(4a 2－4ax ＋x 2)＝－12x 2＋2ax －5a 24(32a ＜x ≤2a )．综上有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x 2(0≤x ≤a 2) 12ax －a 28(a 2＜x ≤32a )－12x 2＋2ax －5a 24(32a ＜x ≤2a ).。

数学优化设计参考答案

数学优化设计参考答案数学优化设计参考答案在现代科学和工程领域中，数学优化设计是一个非常重要的概念和技术。

它的目标是通过数学建模和优化算法，找到最优的设计方案，以满足特定的约束条件和目标函数。

数学优化设计可以应用于各种领域，如工程设计、物流规划、金融风险管理等。

本文将以一个简单的实例来介绍数学优化设计的基本原理和方法。

假设我们要设计一个矩形花坛，使得花坛的面积最大化，但花坛的周长不能超过一定的长度。

首先，我们需要定义问题的数学模型。

假设矩形的长为x，宽为y，则花坛的面积为A=x*y，周长为P=2x+2y。

我们的目标是找到最大的A，同时满足约束条件P≤L，其中L是给定的长度。

为了解决这个优化问题，我们可以使用数学优化算法，如线性规划、非线性规划或整数规划等。

在这个例子中，我们可以使用线性规划方法来求解。

线性规划是一种数学优化问题，其目标函数和约束条件都是线性的。

首先，我们需要将问题转化为线性规划的标准形式。

引入一个新的变量t，表示花坛的面积。

则目标函数可以表示为最大化t，即maximize t。

约束条件可以表示为2x+2y≤L，x≥0，y≥0，t=x*y。

接下来，我们可以使用线性规划算法来求解这个问题。

常见的线性规划算法有单纯形法、内点法等。

这里我们以单纯形法为例进行求解。

首先，我们将约束条件转化为等式形式。

引入一个松弛变量s，使得2x+2y+s=L。

则约束条件变为2x+2y+s=L，x≥0，y≥0，t=x*y。

然后，我们构建线性规划模型的初始表格。

表格的第一行是目标函数的系数，第一列是变量的系数。

表格的右下角是目标函数的值。

初始表格如下所示：| x | y | s | t |----|---|---|---|---|z | 0 | 0 | 0 | -1|L | 2 | 2 | 1 | 0 |t | 0 | 0 | 0 | 1 |接下来，我们使用单纯形法进行迭代计算。

在每一次迭代中，选择一个入基变量和出基变量来进行交换，以逐步优化目标函数的值。

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