初中数学 等腰三角形存在性问题

等腰三角形存在性问题

几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．

等腰三角形存在性问题

【问题描述】

如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．

【几何法】“两圆一线”得坐标

（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．

【注意】若有三点共线的情况，则需排除．

作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．

C 21+23,0()

C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=13

34C C 、同理可求，下求5C ．

显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：

故C 5坐标为（

196,0）

解得：x =

136

3-x ()2+22=x 2

设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3，

BH =2

而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．

【代数法】表示线段构相等

（1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3）

， （2）表示线段：5AC =

5BC

（3）分类讨论：根据

55AC BC =

，

（4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06⎛⎫

⎪⎝⎭

． 【小结】

几何法：（1）“两圆一线”作出点；

（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．

代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；

（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ； （4）列出方程求解．

问题总结：

（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；

（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．

【2018泰安中考】

如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点(4,0)A -、(2,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ，在y 轴上有一点(0,2)E -，连接AE ． （1）求二次函数的表达式；

（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点

的坐标，若不存在请说明理由．

【分析】

（1）233

642

y x x =--+；

（2）可用铅垂法，当点D 坐标为()2,6-时，△ADE 面积最大，最大值为14； （3）这个问题只涉及到A 、E 两点及直线x =-1（对称轴）

①当AE =AP 时，以A 为圆心，AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求P 点． ∵AE

=

1AP AH =3

，∴1

PH

故(1P -

、(21,P

-． ②当EA =EP 时，以E 点为圆心，EA 为半径画圆，与对称轴交点即为所求P 点． 过点E 作EM 垂直对称轴于M 点，则EM =1，

34P M P M ===

，

故(31,2P --

、(41,2P --．

③当P A =PE 时，作AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P 点． 设()51,P m -，()()2

2

25140P A m =-++-，()()2

2

25=102P E m --++ ∴()2

2921m m +=++，解得：m =1． 故()51,1P -．

综上所述，P 点坐标为(1

P -、(21,P -

、(31,2P -

-+、(41,2P --、()51,1P -．

【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．

【2019白银中考（删减）】

如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，

是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；

【分析】

（1）211

433

y x x =-++；

（2）①当CA =CQ 时，∵CA =5，∴CQ =5，

考虑到CB 与y 轴夹角为45°，故过点Q 作y 轴的垂线，垂足记为H ，

则CH QH ==

，故Q

点坐标为-⎝⎭

． ②当AC =AQ 时，考虑直线BC 解析式为y =-x +4，可设Q 点坐标为（m ，-m +4），

AQ =

5=，解得：m =1或0（舍），

故Q 点坐标为（1，3）．

③当QA =QC 时，作AC 的垂直平分线，显然与线段BC

无交点，故不存在． 综上所述，Q

点坐标为⎝⎭

或（1，3）．