利用三角函数测高

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利用三角函数解决实际问题的方法

利用三角函数解决实际问题的方法三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于实际问题的解决中。

无论是在物理、工程还是日常生活中，三角函数都能提供有效的数学工具，帮助我们解决各种实际问题。

本文将介绍一些利用三角函数解决实际问题的方法，并举例说明其应用。

一、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量物体的高度，如建筑物、树木等。

利用三角函数的正弦定理，我们可以通过测量物体的底边与其顶端的角度，以及观察者与物体的距离，计算出物体的高度。

假设观察者离物体的距离为d，底边与顶端的角度为θ，物体的高度为h，则有以下公式：h = d * sin(θ)通过测量角度和距离，我们就可以准确地计算出物体的高度。

二、解决航海导航问题在航海导航中，我们常常需要计算船只的位置和航向。

利用三角函数的正切定理，我们可以通过测量船只与目标点之间的角度和距离，计算出船只需要调整的航向角度。

假设船只与目标点之间的角度为α，距离为d，船只需要调整的航向角度为β，则有以下公式：β = α - tan⁻¹(d)通过测量角度和距离，我们可以确定船只需要调整的航向角度，从而准确导航。

三、计算力的合成在力学中，我们常常需要计算多个力的合成。

利用三角函数的正弦和余弦定理，我们可以将多个力的大小和方向进行合成。

假设有两个力F1和F2，夹角为θ，合成后的力为F，则有以下公式：F = √(F1² + F2² + 2F1F2cosθ)通过计算多个力的合成，我们可以得到最终的力大小和方向，为力学问题的解决提供便利。

四、计算角度和距离在工程测量中，我们经常需要计算两点之间的角度和距离。

利用三角函数的反正弦和反余弦定理，我们可以通过已知的两点坐标，计算出两点之间的角度和距离。

假设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，两点之间的角度为α，距离为d，则有以下公式：α = atan2(y2 - y1, x2 - x1)d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)通过计算角度和距离，我们可以准确测量两点之间的位置和距离。

北师大版九年级数学下册：1.6《利用三角函数测高》教学设计

北师大版九年级数学下册：1.6《利用三角函数测高》教学设计一. 教材分析《利用三角函数测高》是北师大版九年级数学下册第1.6节的内容，主要介绍了利用三角函数测量物体高度的方法。

这一节内容是学生在学习了三角函数基础知识后的进一步应用，对于培养学生的实际问题解决能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的三角函数基础知识，能够理解并运用三角函数解决一些实际问题。

但是，对于如何运用三角函数测量物体高度，可能还比较陌生，需要通过实例讲解和操作练习来进一步掌握。

三. 教学目标1.理解利用三角函数测量物体高度的原理和方法。

2.能够运用三角函数解决实际问题，提高学生的应用能力。

3.培养学生的合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.利用三角函数测量物体高度的原理理解。

2.如何根据实际情况选择合适的测量方法和计算公式。

五. 教学方法1.实例讲解：通过具体案例，讲解利用三角函数测量物体高度的方法和步骤。

2.小组讨论：学生分组讨论，总结测量物体高度的原理和注意事项。

3.操作练习：学生分组进行实际操作，巩固所学知识。

4.问题解决：引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作详细的PPT，内容包括知识点、案例、练习题等。

2.测量工具：准备一些测量工具，如测高仪、绳子等，用于实际操作。

3.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如测量旗杆高度、树木高度等，引导学生思考如何利用三角函数解决这些问题。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现三角函数测量物体高度的原理和方法，结合具体案例进行讲解，让学生理解并掌握相关知识。

3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，使用测量工具（如测高仪、绳子等）进行测量，巩固所学知识。

教师巡回指导，解答学生在操作过程中遇到的问题。

4.巩固（5分钟）学生分组讨论，总结测量物体高度的原理和注意事项。

北师大版九年级数学下册利用三角函数测高测试题

1.6 利用三角函数测高1.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC 的高度为A. 40 3mB. 803mC. 1203mD. 160 3m2.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）．A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m3.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为米（用含α的代数式表示）．4.如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC= 米．第4题图第5题图第6题图5.如图,在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为300，底部D 处的俯角为何450，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）6.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为600，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为300，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB的高度为米．7.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为300,然后沿AD方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角高度为600（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度．8.如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C 点观测F点的俯角为530,老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米？M E N C A9.在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：（1）在测点A 处安置测倾器，测得旗杆顶部M 的仰角∠MCE ＝α ；（2）量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离AN ＝m;（3）量出测倾器的高度AC ＝h 。

利用三角函数测高

3. 如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ 的高度．他们采取的方法是：先在地面上的点A处测得电线杆顶端点P的仰角是45°，再向前走到B点，测得电线杆顶端点P和电线杆底端点Q的仰角分别是60° 和30°，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出电线杆PQ的高度．若测出AB的长度为1 m， 3＋ 3 则电线杆PQ的高度是___6____m_.
解：若选择条件①，由题意得CCDE＝BACB，∴11..28＝A9B，解得 AB＝13.5 m，∴旗杆 AB 的高度为 13.5 m. 若选择条件②，如图，过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F，则易得四边形 BCDF 是矩形，∴BF＝CD＝1.8 m，DF＝BC＝9 m，在 Rt△ADF 中，∠ADF＝52.46°， ∴AF＝DF·tan 52.46°≈9×1.30＝11.7(m)， ∴AB＝AF＋BF≈11.7＋1.8＝13.5(m)， ∴旗杆 AB 的高度约为 13.5 m.
(参考数据：sin 67.38°≈1123，cos 67.38°≈153，tABC 中，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝67.38°，∴BC＝tan∠ABACB≈1x2＝152x(米)， 5
∴BD＝BC＋CD≈152x＋11米．由题意得 AD∥EF，则∠FED＝∠ADB，∴tan∠FED＝tan∠ADB，即DDEF＝BADB， ∴21..48≈152x＋x 11，解得 x≈12，经检验，符合题意．
变式3 [2024西安高新一中模拟]如图，小明想测量城墙AB的高度，他在围栏点C处测量城墙顶点A的仰角为67.38°，在阳光的照射下，他发现城墙上点A的影子落在了他身后11米的点D处，于是他站在D点发现他的影子落在地上的点E处，测量得ED长为2.4米，小明身高为1.8米，E，D，C，B在一条直线上，且 FD⊥ED，AB⊥BE，请你根据以上数据帮助小明算出城墙AB的高．

【北师大版】九年级数学下册优秀教案：1.6 利用三角函数测高1

1.6 利用三角函数测高1．经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程，能够对所得到的数据进行分析；(重点)2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题．(难点)一、情境导入如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？实际上，我们利用图①中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系(即勾股定理)，那么它的边与角又有什么关系？这就是本节要探究的内容．二、合作探究探究点：利用三角函数测高【类型一】测量底部可以到达的物体的高度如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部B处6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB 的高度(结果精确到0.1米，3≈1.732)．解析：由题意可得四边形BCED是矩形，所以BC＝DE，然后在Rt△ACE中，根据tan∠AEC＝ACEC，即可求出AC的长．解：∵BD＝CE＝6m，∠AEC＝60°，∴AC＝CE·tan60°＝6×3≈6×1.732≈10.4(米)，∴AB＝AC＋DE＝10.4＋1.5＝11.9(米)．所以，旗杆AB的高度约为11.9米．方法总结：本题借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】测量底部不可到达的物体的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少厘米(结果精确到0.1cm，参考数据：3≈1.732)?解析：首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G.∴四边形BFDG矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×12＝10(cm)．在Rt△ABG 中，∠BAG＝60°，∴BG ＝AB·sin60°＝30×32＝153(cm)．∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋153＋2＝12＋153≈37.98≈38.0(cm)．所以，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】利用三角板测量物体的高度如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离CD是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上)．求出旗杆MN的高度(参考数据：3≈1.7，结果保留整数)．解析：过点A作AE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，由△AEM是等腰直角三角形得出AE＝ME，设AE＝ME＝x m，根据三角函数列方程求出x的值即可求解．解：过点A作AE⊥MN于点E，过点C 作CF⊥MN于点F，则EF＝AB－CD＝1.7－1.5＝0.2(m)，在Rt△AEM中，∵∠AEM ＝90°，∠MAE＝45°，∴AE＝ME.设AE ＝ME＝x m，则MF＝(x＋0.2)m，FC＝(28－x)m.在Rt△MFC中，∵∠MFC＝90°，∠MCF＝30°，∴MF＝CF·tan∠MCF，∴x＋0.2＝33(28－x)，解得x≈10.1，∴MN＝ME＋EN＝10.1＋1.7≈12(米)．所以，旗杆MN的高度约为12米．方法总结：解决问题的关键是作出辅助线构造直角三角形，设出未知数列出方程．三、板书设计利用三角函数测高1．测量底部可以到达的物体的高度2．测量底部不可到达的物体的高度3．利用三角板测量物体的高度本节课为了充分发挥学生的主观能动性，学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高了学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形，并通过解直角三角形解决实际问题，这本身是一个质的飞跃．在教学过程中，注重引导学生运用方程思想解决实际问题，数学思想方法的渗透使学生的能力发展先于知识能力，从而促进学生知识能力的提高.。

北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案

北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案一. 教材分析《利用三角函数测高》这一节主要让学生了解和掌握利用三角函数测量物体高度的方法。

通过前面的学习，学生已经掌握了锐角三角函数的概念和性质，本节内容是在此基础上进一步应用三角函数解决实际问题。

利用三角函数测高是初中数学中重要的应用题类型，也是中考的热点题型，对于培养学生的数学应用能力和解决实际问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的基本概念和性质，对于运用三角函数解决实际问题有一定的基础。

但学生在解决实际问题时，往往因为对实际情况理解不深，而导致解题思路不清晰。

因此，在教学本节内容时，要注重让学生理解实际问题的背景，引导学生运用三角函数解决实际问题。

三. 教学目标1.让学生了解和掌握利用三角函数测高的方法。

2.培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。

3.培养学生的合作交流能力和创新思维能力。

四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测高的方法。

2.难点：如何引导学生运用三角函数解决实际问题，特别是对于复杂问题的解决。

五. 教学方法采用问题驱动法，情境教学法，合作交流法，引导发现法等。

通过设置具体的问题情境，引导学生运用已学的三角函数知识解决实际问题，培养学生的应用能力和解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的问题情境和案例，用于引导学生进行实际问题的解决。

2.准备多媒体教学设备，用于展示问题和案例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学的三角函数知识，如：什么是锐角三角函数？它们之间有什么关系？然后提出本节课的主题：如何利用三角函数测高？2.呈现（15分钟）教师通过多媒体展示一些实际问题，如：如何测量电视塔的高度？如何测量树的高度？让学生思考如何利用三角函数解决这些问题。

3.操练（20分钟）教师学生进行小组合作，让学生通过实际操作，运用三角函数解决呈现的问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

利用三角函数测高优秀教案

利用三角函数测高优秀教案课题名称：利用三角函数测高教学目标：1.理解正弦、余弦和正切的概念及其在三角函数测高中的应用；2.掌握使用正弦定理和余弦定理测量不可直接测量的高度；3.能够灵活运用三角函数测高的方法解决实际问题。

教学重点：1.正弦、余弦和正切的概念及其在三角函数测高中的应用；2.正弦定理和余弦定理的应用。

教学难点：教学准备：教具：直尺、测量工具、投影仪；课件：包含三角函数和其应用的相关知识点。

教学过程：一、导入（5分钟）1.引入三角函数的概念，复习正弦、余弦和正切的定义和计算方法。

2.提问学生：在实际生活中，我们如何使用三角函数来测量高度？二、讲解（15分钟）1.三角函数测高的原理：利用正弦、余弦和正切的性质通过测量已知边长和角度的方式求解未知高度。

2.正弦定理的应用：利用三角形中任意两边的长度和它们夹角的正弦比，求解不可直接测量的高度。

3.余弦定理的应用：利用三角形中三边的长度和它们之间的夹角余弦，求解不可直接测量的高度。

三、示范（15分钟）1.示范测量不可直接测量的高度的步骤，例如使用正弦定理：a.给出一个实际问题，如：如何测量一栋建筑物的高度？b.画出相应的示意图，标注已知边长和角度。

c.利用正弦定理的公式，求解未知的高度。

d.明确解题思路和计算步骤，进行计算。

2.呈现示范的解题过程，详细讲解每一步骤的计算方法和答案。

四、练习（20分钟）1.分发练习题，让学生独立完成。

2.讲解练习题答案，帮助学生纠正错误，巩固和理解三角函数测高的方法。

五、应用（15分钟）1.提供一些实际问题，要求学生运用三角函数测高的方法解决。

2.分组讨论并呈现解决方案，交流思路和讨论结果。

六、总结（10分钟）1.对本节课的要点进行总结，强调正弦、余弦和正切的应用。

2.核对课程目标，评估学生的学习情况。

七、作业（5分钟）布置作业：完成课后练习题，巩固三角函数测高的知识。

教学延伸：可以引导学生使用三角函数测高解决其他实际问题，并探究其他测高方法的应用。

九年级数学：利用三角函数测高

九年级数学：利用三角函数测高三角函数是函数学习的重点内容，下面是小编给大家带来的九年级数学：利用三角函数测高，希望能够帮助到大家!九年级数学：利用三角函数测高一、单选题1、一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高( )米.A、B、3C、D、以上的答案都不对2、如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为( )A、20米B、米C、米D、米3、如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45º，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A 的高度AB为( )A、3米B、4.5米C、6米D、8米4、如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长为10米，斜坡AB的坡度i=1：，则河堤高BE等于( )米A、B、C、4D、55、.某铁路路基的横断面是一个等腰梯形(如图)，若腰的坡比为2：3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为( )A、7mB、9mC、12mD、15m6、某地区准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为( )A、8B、9C、10D、127、如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30度的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为( )A、米B、C、40米D、10米8、如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为( )A、5cosaB、C、5sinaD、9、如图, 山坡AC与水平面AB成30°的角，沿山坡AC每往上爬100米，则竖直高度上升( )米A、50B、50C、50D、3010、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是( )A、10mB、10 mC、15mD、5 m11、在寻找马航MH370航班过程中，某搜寻飞机在空中A处发现海面上一块疑似漂浮目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=1500米，= ，则飞机距疑似目标B的水平距离BC 为( )A、2400 米B、2400 米C、2500 米D、2500 米12、如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为( )米.A、7tanαB、C、7sinαD、7cosα13、如图，C.D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB的长为( )A、2 kmB、3 kmC、 kmD、3km14、如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC 的坡比为1：2，大坝高DE=20m，坝顶宽CD=10m，则下底AB的长为( )A、55mB、60mC、65mD、70m15、济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为( )A、47mB、51mC、53mD、54m二、填空题16、如图，点G是Rt△ABC的重心，过点G作矩形GECF，当GF：GE=1：2时，则∠ B的正切值为________.17、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为________ 海里.(结果保留根号)18、如图，机器人从A点出发，沿着西南方向行了4 m到达B点，在点B处观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则OA=________ m(结果保留根号).19、如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD的高度为________ m .( ≈1.7)20、活动楼梯如图所示，∠B=90°，斜坡AC的坡度为1：1，斜坡AC的坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为________三、解答题21、水坝的横断面为梯形ABCD，迎水坡BC的坡角B为30°，背水坡AD坡比为1:1.5，坝顶宽DC=2米，坝高4米，求：(1)坝底AB的长;(2)迎水坡BC的坡比.22、小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E ，此时的仰角为60°，求旗杆的高度 .23、如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB ，坡面AC的倾斜角为45° . 为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i= ：3 . 若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角(A点处)10米的建筑物是否需要拆除?(参考数据：≈1.414，≈1.732)24、如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0.5的迎水坡AB，已知AB=4 米，则河床面的宽减少了多少米.(即求AC的长)25、在升旗结束后，小铭想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C 处且与地面成60°角，小铭从绳子末端C处拿起绳子后退至E点，求旗杆AB的高度和小铭后退的距离.(单位：米，参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留一位小数)答案部分一、单选题1、【答案】B2、【答案】A 3、【答案】B 4、【答案】A 5、【答案】D 6、【答案】C 7、【答案】C 8、【答案】B 9、【答案】C 10、【答案】A 11、【答案】D 12、【答案】A 13、【答案】B 14、【答案】C 15、【答案】B二、填空题16、【答案】17、【答案】4018、【答案】(4+ )19、【答案】32.420、【答案】三、解答题21、【答案】解：(1)如图，作CF⊥AB，DE⊥AD，垂足分别为点F，E.∴四边形CDEF是矩形.∴CF=DE=4，EF=CD=2.∴BF=CFcot30°= ，AE=1.5DE=6.∴AB=BF+EF+AE= +2+6= +8(2)∵CF=4，BF= ，∴迎水坡BC的坡比为：CF/BF= .22、【答案】解：如图，∵∠ADG=30°，AFG=60°，∴∠DAF=30°，∴AF=DF=10，在Rt△FGA中，AG=AF•sin∠AFG=10× =5 ，∴AB=1.5+5 .答：旗杆AB的高度为(1.5+5 )米 .23、【答案】解：需要拆除，理由为：∵CB⊥AB ，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=10米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i= ：3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=20米，BD= 米，∴AD=BD-AB=(10 -10)米≈7.32米，∵3+7.32=10.32>10，∴需要拆除 .24、【答案】解：设AC的长为x，那么BC的长就为2x.x2+(2x)2=AB2 ，x2+(2x)2=(4 )2 ，x=4.答：河床面的宽减少了4米.25、【答案】解：设绳子AC的长为x米;在△ABC中，AB=AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图所示：∵∠ADF=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF=DF=x•sin45°，∵AB﹣AF=BF=1.6，则x•sin60°﹣x•sin45°=1.6，解得：x=10，∴AB=10×sin60°≈8.7(m)，EC=EB﹣CB=x•cos45°﹣x×cos60°=10× ﹣10× ≈2.1(m);答：旗杆AB的高度为8.7m，小铭后退的距离为2.1m.。

北师大版九年级下册1.6利用三角函数测高课件

C
b
a
B
A
MtE taana n tM antEaa nb
ME (tantana)b tanatan
MEbtanatan tantana
MNtbat加油，你是最棒的！
下表是小明所填实习报告的部分内容：
课题
在平面上测量某大厦的高AB
A
测量示意图测得数据
Eα F β
讨与同伴交流一下，谈谈你的想法？测量底部可以到达的物体的高度.
732AG-AG=60 732AG-AG=60
论（2）如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离？
：
通过本节课的学习，你有哪些收
获？有何感想？你有那些测量物体高度的方法？需要注意什么？
一、学习侧倾器的使用二、学习测量物体的高度的方法： 1.测量底部可以到达的物体的高度.
枣庄市峄城区阴平中学苏增产
3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B 在测点A处安置测倾器,
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离.
之间的距离AB=b. MN=ME+EN=ME+AC=L tanα+ a
义务教育教科书（北师大版）数学九年级下册习题1.
2.测量底部不可以到达的物体的高度. 三、目前我们学习的测量物体高度的方法有相似法、全等法、三角函数法. 需要特别注意的是：误差的解决办法---用平均值.
达标检测提升自我
A组：
1.如图1-16，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角
为60° ，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB = 米；
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离.（如图）

初中数学_2.6 利用三角函数测高教学设计学情分析教材分析课后反思

2.6利用三角函数测高教学内容：教育出版社·五四学制初中数学，九年级上册第51页—53页。

教学目标：1.会利用三角函数的知识测量物体的高度.2.在制作仪器、设计方案、测量计算、撰写报告的过程中，分析问题，解决问题，发展数学思维.3.培养学生认真、细致、严谨的科学态度.教学准备：学生自制测倾器，皮尺等测量工具，测量报告教学过程：一、复习回顾，引入新课我们学习了利用全等三角形测高，利用相似三角形测高，今天我们来学习利用三角函数测高。

1.仰角、俯角；2.直角三角形边角间的关系；3.特殊角的三角函数值。

二、探究活动活动一：展示自制的测倾器支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则测出的角度就不准确．度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ的交点．当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下．活动二：测量倾斜角（1）把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置M，记下此时铅垂线指的度数．那么这个度数就是较高目标M的仰角．它的依据是什么？如图，要测点M的仰角，我们将支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．我们转动度盘，使度盘的直径对准目标M，此时铅垂线指向一个度数．即∠CAD的度数．根据图形我们不难发现∠BAD+∠CAD=90°，而∠BAD+∠PAB=90°，即∠CAD、∠PAB都是∠BAD的余角，根据同角的余角相等，得∠CAD =∠PAB．因此读出∠CAD的度数，也就读出了仰角∠PAB的度数．活动三：测量底部可以到达的物体的高度．“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离．要测旗杆MN的高度，可按下列步骤进行：（如下图）（1）在测点A处安置测倾器（即测角仪），测得M的仰角∠MCE=α．（2）量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN =l ．（3）量出测倾器（即测角仪）的高度AC =a （即顶线PQ 成水平位置时，它与地面的距离）．根据测量数据，就能求出物体MN 的高度．在Rt△MEC 中，∠MCE =α，AN =EC =l ，所以tan α=ECME ，即ME =tan a·EC =l ·tan α．又因为NE =AC =a ，所以MN =ME +EN =l ·tan α+a ．活动四：测量底部不可以到达的物体的高度．所为“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．例如测量一个山峰的高度．可按下面的步骤进行（如图所示）：（1）在测点A 处安置测角仪，测得此时物体MN 的顶端M 的仰角∠MCE =α．（2）在测点A 与物体之间的B 处安置测角仪（A 、B 与N 都在同一条直线上），此时测得M 的仰角∠MDE =β．（3）量出测角仪的高度AC =BD =a ，以及测点A ，B 之间的距离AB =b 根据测量的AB 的长度，AC 、BD 的高度以及∠MCE 、∠MDE 的大小，根据直角三角形的边角关系．即可求出MN 的高度.在Rt△MEC 中，∠MCE =α，则tan α=ECME ，EC =a ME tan ；在Rt△MED 中，∠MDE =β则tan β=ED ME ，ED =βtanME ；根据CD =AB =b ，且CD =EC -ED =b ．所以a ME tan -βtan ME =b ，ME =βαtan 1tan 1-bMN =βαtan 1tan 1-b+a 即为所求物体MN 的高度．二、巩固练习1.以测“围墙内东原阁的高度”为例，若测得∠α和∠β的度数分别人300和600，AB 的长度为14米，求阁楼的高度MN.2.如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，求建筑物MN 的高度.（保留根号）第2题图第3题图3.变式练习将问题分解为： ①我们在建筑物前方的热气球A 处，利用所学知识说明，需要测出哪几个数据，便可计算出BC高度?②从热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A处与高楼的水平距离为60m，这栋高楼有多高？三、课堂小结我们这节课学习了什么？有什么收获? 给同学分享一下。

北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教学设计

北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》这一节主要介绍了利用三角函数测量物体高度的方法。

通过本节课的学习，学生能够理解利用三角函数测高的原理，掌握用三角板和尺子测量物体高度的方法，并能够运用到实际生活中。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的三角函数知识，对三角板和尺子的使用也有一定的了解。

但是，学生可能对实际应用三角函数测量高度的方法还不够熟悉，需要通过实例的讲解和操作来加深理解。

三. 教学目标1.理解利用三角函数测高的原理。

2.学会使用三角板和尺子测量物体高度的方法。

3.能够将三角函数知识应用到实际生活中。

四. 教学重难点1.教学重点：利用三角函数测高的原理和方法。

2.教学难点：如何将三角函数知识应用到实际测量中。

五. 教学方法采用讲授法、演示法、实践法、讨论法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备三角板、尺子等测量工具。

2.准备相关的多媒体教学课件。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的内容：如何测量学校旗杆的高度？让学生思考如何利用三角函数来解决这个问题。

2.呈现（10分钟）讲解利用三角函数测高的原理，并通过多媒体课件展示具体的测量方法和步骤。

同时，引导学生理解三角函数在测量中的作用。

3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，使用三角板和尺子测量教室内的物体高度。

教师巡回指导，解答学生遇到的问题。

4.巩固（10分钟）学生汇报测量结果，并交流在操作过程中遇到的问题和解决方法。

教师总结测量的高度计算公式，并强调注意事项。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了测量物体高度，三角函数还可以应用到哪些实际问题中？让学生举例说明，并进行讨论。

6.小结（5分钟）教师总结本节课的主要内容，强调利用三角函数测高的方法和注意事项。

7.家庭作业（5分钟）布置一道实际问题作业：测量家里电视的高度。

06-第一章6利用三角函数测高

6 利用三角函数测高
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发挥直观想象,构造直角三角形素养解读直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路. 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础. 直观想象主要表现为:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几何直观理解问题,运用空间想象认识事物.
知识点二测量底部不可以到达的物体的高度
工具
步骤
图例
测量底部不可以到达的物体的高度
测倾器、皮尺(卷尺)
如图,测量物体MN的高度:(1)在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α.(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A、B与N 在同一条直线上),测得此时M的仰角∠MDE= β.(3)量出测倾器的高度 AC=BD=a,以及测点A、B之间的距离AB =b.(4)根据三角函数求出物体MN的高度,MN=
在Rt△CDE中, CD =tan∠CED,即
x
= 3,
DE
30 3- 3x-10 3
图1-6-5
解得x=15-
5
3 3
.答:立柱CD的高为15-
5
3 3
米.
6 利用三角函数测高
栏目索引
素养呈现 (1)了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,作CH ⊥AB于H,得到Rt△AHC和矩形BDCH. (2)由矩形BDCH得到BD=CH,设CD=x米,根据正切的定义用x表示出HC,根据题意用x表示出ED. (3)在△CDE中,根据正切的定义列出方程,解方程即可.

三角函数的应用及利用三角函数测高

第03讲三角函数的应用及利用三角函数测高1.会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．2.理解用三角函数解决实际问题的有关概念；3.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。

知识点01锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【知识拓展1】利用同角三角函数关系求值计算：（1）2tan452sin30cos 30-+o o o ；（2）22tan1tan89sin 1sin 89o o o o ×++．【答案】（1）34；（2）2.【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；(2)根据直角三角形中tanA=1tanB，sin 2A+cos 2A=1，.解：()1原式21331211244=-´+=-+=；()2原式()221tan1sin 1cos 1tan1=´++o o o o 11=+2=.故答案为：（1）34；（2）2.【点拨】本题考查了三角函数值的计算.【即学即练1】已知∠A 为锐角且sinA=12，则4sin 2A －4sinAcosA ＋cos 2A的值是多少。

【答案】74【分析】先求出A Ð的度数，再求出cos A 的值，最后代入计算即可.解：A Q Ð为锐角，且1sin 2A =30A \Ð=°cos cos30A \=°2222411744()4224sin A sinAcos A A cos \-+´-´==【点拨】本题考查了锐角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.【即学即练2】.如图，在ABCD Y 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且90AEB CFD Ð=Ð=°．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）当5AB =，3tan 4ABE Ð=，CBE EAF Ð=Ð时，求BD 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB =CD ，ABE CDF Ð=Ð，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论；（2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到CBE ECF Ð=Ð，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果．解：（1）证明Q ，∴//AE CF ，在中，//AB CD ，=AB CD ，∴ABE CDF Ð=Ð，∴ABE △≌CDF V ()AAS ，∴AE CF =，∴四边形AECF 是平行四边形．（2）解：∵ABE △≌CDF V ，∴BE =DF ，∵四边形AECF 是平行四边形，∴，在Rt ABE △中5AB =，3tan 4ABE Ð=，∴AE =3，BE =4．∵BE =DF ，AE =CF ，∴BE =DF =4，AE =CF =3，Q，CBE EAF Ð=Ð，∴CBE ECF Ð=Ð，∴tan ∠CBF =34CF BE EF EF=++，tan ∠ECF =3EF EF CF =，∴343EFEF =+，得到EF 2，或EF =2（舍去），∴BD 2=6，即BD =6．【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题．【即学即练3】求值：(1)260453456cos sin tan tan +-×o o o o ； ()2已知2tanA =，求245sinA cosAsinA cosA-+的值．【答案】（1）0；（2）313.【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．解：（1）原式12=+2﹣11122=+-1=0；（2）∵tan A =2，∴sin cos A A=2，∴sin A =2cos A ，∴原式=22cos 42cos 5A cosA A cosA ´-´+=3cos 13cos A A =313．【点拨】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【知识拓展2】求证同角三角函数关系式已知：1sin15cos15sin302o o o ×=，1sin20cos20sin402×=o o o ，1sin30cos30sin602×=o o o，请你根据上式写出你发现的规律________．【答案】1sin cos sin22a a a×=【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．解：根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半，规律为：1sin cos sin22a a a ×=.故答案为1sin cos sin22a a a ×=.【点拨】本题考点：同角三角函数的关系.【即学即练1】已知：实常数a b c d 、、、同时满足下列两个等式：⑴sin cos 0a b c q q +-=；⑵cos sin 0a b d q q -+=（其中q 为任意锐角），则a b c d 、、、之间的关系式是：___________【答案】a 2+b 2=c 2+d 2【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin 2θ+cos 2θ=1，即可找到这四个数的关系．解：由①得asinθ+bcosθ=c ，两边平方，a 2sin 2θ+b 2cos 2θ+2absinθcosθ=c 2③，由②得acosθ-bsinθ=-d ，两边平方，a 2cos 2θ+b 2sin 2θ-2absinθcosθ=d 2④，③+④得a 2（sin 2θ+cos 2θ）+b 2（sin 2θ+cos 2θ）=c 2+d 2，∴a 2+b 2=c 2+d 2．【点拨】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin 2θ+bcos 2θ=1的应用是解题的关键，属于基础题．【即学即练2】.①sin 2A+cos 2A=________，②tanA•cotA=________．【答案】11【解析】如图，设Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a b c 、、，则sinA=a c，cosA=bc ，tanA=a b ，cotA=b a ，222+=a b c ，∴（1）sin 2A+cos 2A=2222222()()1a b a b c c c c c++===；（2）tanA•cotA=1a bb a×=.点睛：解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理进行推理计算即可得到答案.【知识拓展3】互余两角的三角函数的关系在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝35，求cos A 、tan A 以及∠B 的三个三角函数值．【分析】根据已知角A 的正弦设BC ＝3k ,得出AB ＝5k ,由勾股定理求出AC ＝4k ,根据锐角三角函数的定义求出即可.解：∵sin A ＝35＝BCAB，∴设BC ＝3k ，AB ＝5k ，由勾股定理得：AC ＝4k ，则cos A ＝4554AC k AB k ==，tan A ＝3344BC k AC k ==，sin B ＝45AC AB =，cos B ＝35BC AB =，tan B ＝43AC BC =.【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义的应用,熟练掌握定义是关键.【即学即练1】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝35，求cos A 的值．【答案】cos A ＝35.【分析】先根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解．解：：在△ABC 中，∵∠C ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°，∴cos A ＝sin B ＝35.故答案为：35.【点拨】本题考查直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系及三角形内角和定理．解题关键是一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，一个角的余弦值等于它的余角的正弦值；三角形内角和是180°．【即学即练2】在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=34，求cosA ，sinB ，cosB ，tanA ，tanB 的值．；34【分析】已知直角三角形中一个锐角的某个三角函数值，求这个锐角的其他三角函数值和它的余角的各三角函数值，可以先画出直角三角形，结合图形和已知条件，利用设“k”法，将直角三角形的各边长用含“k”的代数式表示出来，其中k ＞0，然后根据锐角三角函数的定义，求得锐角的各三角函数值．解：:如图因为Rt △ABC 中，∠C=90°，3sin 4A =，所以34BC AB =，设BC ＝3k(k ＞0)，则AB ＝4k ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ===．所以cos A =，sin AC B AB =33cos 44BCk B AB k ===，tan BC A AC ===tan AC B BC ===【知识拓展4】三角函数综合如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝45，BC ＝8，D 是AB 中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为点E.(1)求线段CD 的长；(2)求cos ∠ABE 的值．【答案】（1）5；（2）2425.解：试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB =10，然后由已知D 为斜边AB 上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos ∠ABE =BEBD，则求余弦值即求BE ，BD 的长，易求得BD =5.再利用等面积法求BE 的长.试题解析：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，sin A ＝45BC AB =，而BC ＝8，∴AB ＝10.∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8，∴AC ＝6.∵D 是AB 中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，∴S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，∴BE ＝6824255´=´.在Rt △BDE 中，cos ∠DBE ＝BE BD＝ 2455＝2425，即cos ∠ABE 的值为2425.点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.【即学即练1】如图，海中一渔船在A 处且与小岛C 相距70nmile ，若该渔船由西向东航行30nmile 到达B 处，此时测得小岛C 位于B 的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C 之间的距离．【答案】渔船此时与C 岛之间的距离为50海里．【分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x ，解直角三角形即可得到结论．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x ，则：在Rt △BCD 中，BD=BC•sin30°=12x ，；∴AD=30+12x ，∵AD 2+CD 2=AC 2，即：（30+12x ）2+）2=702，解得：x=50（负值舍去），【点拨】注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．【即学即练2】.如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ．（1）若∠A=60°，求BC 的长；（2）若sinA=45，求AD 的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【答案】（1）8；（2）143．【分析】（1）根据锐角三角函数求得BE 和CE 的长，根据BC=BE ﹣CE 即可求得BC 的长；（2）根据题意求得AE 和DE 的长，由AD=AE ﹣DE 即可求得AD 的长．解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE ﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x ，则AE=5x ，得AB=3x ，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE ﹣DE=10﹣=，即AD 的长是．考点：解直角三角形．【即学即练3】.如图，在Rt ABC D 中，0090,30,B A AC Ð=Ð==.（1）利用尺规作线段AC 的垂直平分线DE ，垂足为E ，交AB 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若ADE D 的周长为a ，先化简()()211T a a a =+--，再求T 的值．【答案】（1）作图见解析；（2）10.【解析】（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度.解：（1）如图所示：（2）2(1)(1)31T a a a a =+--=+，∵1122AE AC ==´=∴2cos cos30AE AEAD A ====°,∴1sin sin30=212DE AD A AD ==°´= ，∴123a=++=，3110T a \=+=.知识点02 利用三角函数测高解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.特别说明： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解. 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【知识拓展5】直接求三角形的高数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求灯塔CF的高（结果保留整数）．（参考数据：tan28°≈0.53，cos28°≈0.88，sin28°≈0.47）【答案】55米【分析】延长BE交CD于点G，交CF于点H，设CH＝xm，利用锐角三角函数的含义分别GH BH，再列方程求解即可．表示,解：延长BE交CD于点G，交CF于点H，△中，∠EDG＝45°，在Rt DEG∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°设CH ＝xm ，在Rt CGH V 中，CGH Ð=∠EGD ＝45°，∴GH ＝xm在Rt CBH V 中，∠CBH ＝28°，∴tan ∠CBH ＝CH BH ，即：3010x x++＝tan28°解这个方程得：x≈45.1，经检验：x≈45.1符合题意．∴灯塔的高CF ＝55.1≈55（m ）答：灯塔的高为55米．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数在解直角三角形中的应用是解题的关键．【即学即练1】.如图，为测量建筑物CD 的高度，在点A 测得建筑物顶部D 点的仰角是22°，再向建筑物CD 前进30米到达B 点，测得建筑物顶部D 点的仰角为58°（A ，B ，C 在同一直线上），求建筑物CD 的高度．（结果保留整数.参考数据：sin 220.37cos 220.93tan 220.40sin 580.85cos580.53tan 58 1.60°°°°°°»»»»»»，，，，，）【答案】CD 的高度是16米．【分析】设建筑物CD 的高度为xm ，在Rt △CBD 中，由于∠CBD=58°，用含x 的代数式表示BC ，在Rt △ACD 中，利用22°的锐角三角函数求出x ，即可得到答案．解：设建筑物CD 的高度为xm ；由tan 58,DC BC °= ,1.60x BC \= 由tan 22,DC AC°= 0.40,DC AC \=0.40(30)1.60x x \=+ 解得：16.x =答：CD 的高度是16米．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的含义及应用是解题的关键．【即学即练2】.如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（AB ）的高度：将一根5米高的标杆（CD ）竖在某一位置，有一名同学站在一处与标杆、旗杆成一条直线，此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学离标杆3米，离旗杆30米．如果站立的同学的眼睛距地面（EF ）1.6米，求旗杆的高度AB ．【答案】35.6【分析】过点E 作CG ⊥AH 于点H ，交CD 于点G 得出△EGC ∽△EHA ，进而求出AH 的长，进而求出AB 的长．解：过点E 作EH ⊥AB 于点H ，交CD 于点G ．由题意可得四边形EFDG 、GDHB 都是矩形，AB ∥CD ∥EF ．∴△AECG ∽△EAH ．∴AH EH CG EG．由题意可得EG=FD=3，GH=BD=30，CG=CD-GD=CD-EF=5-1.6=3.4．∴303.43AH ．∴AH=34米．∴AH=AH+HB=34+1.6=35.6米．答：旗杆高ED 为35.6米．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，根据相似三角形判定得出△ECG ∽△EAH 是解题关键．【即学即练3】. “永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在A 点测得顶端D 的仰角∠DAC=30°，向前走了46米到达B 点后，在B 点测得顶端D 的仰角∠DBC=45°．求永定楼的高度CD ．（结果保留根号）【答案】23【分析】根据题意得出DC=BC ，进而利用tan30°=DC AC 求出答案．解：试题分析：解：由题意可得：AB=46m ，∠DBC=45°，则DC=BC ，故tan30°=46==+DC DC AC DC解得：DC=23答：永定楼的高度CD 为23+m ．【知识拓展6】由两个直角三角形求高在一次课外综合实践活动中，甲、乙两位同学测量校园内的一棵大树的高度，他们分别在A ，B 两处用高度为1.5m 的测角仪（AE 和BD ）测得大树顶部C 的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离()AB 为20m ，已知点A ，E ，F ，C ，B ，D 在同一竖直平面内，且FC AB ^，求大树的高度CF ．（结果保留根号）【答案】17m 2æöç÷èø【分析】连接ED ，交FC 于点G ，在Rt △CDG 和Rt △CEG 中，求出公共边CG 的长度，然后可求得CF ＝CG +GF ．解：如答图，连接ED ，交FC 于点G ，由题可知四边形AEGF ，四边形BDGF ，四边形ABDG 是矩形，20m ED AB \==， 1.5m GF AE ==．在Rt CDG V 中，45CDG Ð=°Q ，tan 45CG DG CG \==°，在Rt CEG △中，30CEG Ð=°Q ，tan 30CG EG \==°，EG DG ED +=Q ，20CG \=．解，得10CG =．()1710 1.5m 2CF CG GF \=+=+=æöç÷èø．答：大树CF 的高度为17m 2æö-ç÷èø．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．【即学即练1】.如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知BC ＝1米，∠MBC ＝37°．从水平地面点D 处看点C 的仰角∠ADC ＝45°，从点E 处看点B 的仰角∠AEB ＝53°，且DE ＝2.4米．（1）求点C 到墙壁AM 的距离；（2）求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）【答案】（1）点C 到墙壁AM 的距离为35米；（2）匾额悬挂的高度是4米．【分析】（1）过C 作CF ⊥AM 于F ，由1,37,BC MBC =Ð=°结合sin sin 37,CF MBC BCÐ=°= 从而可得答案；（2）过C 作CH ⊥AD 于H ，又,,CF AM MA AD ^^ 则四边形AHCF 是矩形，所以AF=CH ，CF=AH ．在Rt △BCF 中，先求解4,5BF = 再在Rt △BAE 中，∠BEA=53°，求解3,4AE AB = 再表示34,55AD AH DH AB =+=++ 或3 2.4,4AD AE DE AB =+=+列方程，解方程可得答案．解：（1）过C 作CF ⊥AM 于F ，在Rt △BCF 中，1,37,BC MBC =Ð=°由sin sin 37,CF MBC BCÐ=°= 31sin 37,5CF \=´°= 所以：点C 到墙壁AM 的距离为35米．（2）过C 作CH ⊥AD 于H ，又,,CF AM MA AD ^^则四边形AHCF 是矩形，所以AF=CH ，CF=AH ．在Rt △BCF 中，1,37,BC MBC =Ð=°由cos cos37,BF MBC BCÐ=°= 441,55BF \=´= 在Rt △BAE 中，∠BEA=53°，905337,ABE \Ð=°-°=° 由3tan tan 37,4AE ABE AB Ð=°== 3,4AE AB \= 在Rt △CDH 中，∠CDH=45°， ∴4,5CH DH FA AB ===+∴347,555AD AH DH AB AB =+=++=+ ∵3 2.4,4AD AE DE AB =+=+ ∴73 2.4,54AB AB +=+ 4.AB \=答：匾额悬挂的高度是4米．【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键．【即学即练2】.数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点E 处测得旗杆顶部A 的仰角a 为45°，旗杆底部B 的俯角b 为60°．室外测量组测得BF 的长度为5米，求旗杆AB 的高度．【答案】(5+米【分析】此题根据题意作PE AB ^，利用tan AP EP a =´Ð和 tan 60PB EP =´Ð°分别求出PB ，AP 即可求出AB 的长．解：过点E 作PE AB ^于点P ，在Rt APE V 中，90APE Ð=°，tan AP EPa Ð=，45a Ð=°，5PE BF ==，tan 5tan 455AP EP a \=´Ð=´°=在Rt PEB △中，60b Ð=°，tan PB EPb Ð=，tan 605PB EP \=´Ð°==(5AB AP BP \=+=+米．【点拨】此题考查解直角三角形应用中利用锐角三角函数求高，利用图示找出相关量根据题意列式求解是关键．【即学即练3】.如图，在坡角为20°的山坡上有一铁塔AB 、其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD＝10米，落在广告牌上的影子CD＝5米，已知AB，CD均与水平面垂直，请根据相关测量信息，求铁塔AB的高．（sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】铁塔AB的高约为11米．【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BN⊥CD于N，在Rt△BND中，分别求出DN、BN 的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度．解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BN⊥CD于N，在Rt△BND中，∵∠DBN=20°，BD=10，∴DN=BD×sin∠DBN≈10×0.34=3.4，BN=BD×cos∠DBN≈10×0.94=9.4，∵AB∥CD，CE⊥AB，BN⊥CD，∴四边形BNCE为矩形，∴BN=CE=9.4，CN=BE=CD﹣DN=1.6，在Rt△ACE中，∠ACE=45°，∴AE=CE=9.4，∴AB=9.4+1.6=11（米）．答：铁塔AB的高约为11米．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目所给的坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．【知识拓展7】由多个直角三角形求高小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面旋转的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度为多少米？【答案】树高为(米【分析】延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，如下图所示：在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，o m，∴CE=2m，4cos304EF==´=在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴CE:ED=1:2，且CE=2m，∴DE=4m，∴8412BD BF EF DF=++=+=+米，再由同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米可知，1(62AB BD ==米，故答案为：树高(米．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作出辅助线即可得到AB 的影长．【即学即练1】.如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D 处测得楼房顶部A 的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C 处，然后在地面上沿CB 向楼房方向继续行走10米到达E 处，测得楼房顶部A 的仰角为60°．已知坡面CD ＝10米，山坡的坡度i ＝1．求楼房AB 高度．（结果保留根式）【答案】（【分析】过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，设AB=x ，AG=x-5，则tan 60AB BE ==o ，tan 30AG DG ==o，根据DG ＝FC+CE+BE ，列出方程，即可求解.解：过D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，∵i ＝1∴DF ：FC ＝1CD ＝10，∴DF ＝5，CF ＝过点D 作DG ⊥AB ，垂足为G ，设AB ＝x ，则AG ＝x ﹣5，在Rt △ABE 中， tan 60AB BE ==o ，在Rt △ADG 中，tan 30AG DG ==o ，由DG ＝FC+CE+BE 得，x ﹣5）＝，解得，x ＝答：AB 的高度为（【点拨】本题主要考查解直角三角形的实际应用，根据特殊角的三角函数的定义，列出方程是解题的关键．【即学即练2】..如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度，AB=10米，AE=21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈43，cos53°≈0.60）【答案】2【分析】过B作DE的垂线，设垂足为G，BH⊥AE．在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，Rt△ABH中，i=tan∠BAH∴∠BAH=30°，∴BH=12AB=5米；∴AH∴BG=HE=AH+AE=（）米，Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=（）米．Rt△ADE中，∠DAE=53°，AE=21米，∴DE=43AE=28米，∴CD=CG+GE﹣DE28=（2）m.答：宣传牌CD高为（2-）米．【点拨】本题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．【即学即练3】.如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，沿坡度i＝1：3的斜坡向上走100米，到达观景台C，在C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（1）观景台的高度CE为米（结果保留准确值）；（2）求瀑布的落差AB（结果保留整数）．【答案】（1）；（2）瀑布的落差约为411米．【分析】（1）通过解直角△CDE得到：CE＝CD•sin37°．（2）作CF ⊥AB 于F ，构造矩形CEBF ．由矩形的性质和解直角△ADB 得到DE 的长度，最后通过解直角△ACF 求得答案．解：（1）∵tan ∠CDE ＝13CE CD =∴CD ＝3CE ．又CD ＝100米，∴100==∴CE ＝．故答案是：．（2）作CF ⊥AB 于F ，则四边形CEBF 是矩形．∴CE ＝BF ＝，CF ＝BE ．在直角△ADB 中，∠DB ＝45°．设AB ＝BD ＝x 米．∵C E C D ＝13，∴DE ＝．在直角△ACF 中，∠ACF ＝37°，tan ∠ACF 0.75AF CF ==»解得x ≈411．答：瀑布的落差约为411米．【点拨】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．【知识拓展8】其他运用2017年9月8日—10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面1000米高的A 点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC.【答案】分析：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据题意得到∠ADE=30°，∠CDF=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AE=12AD=700，BE=300，所以DF=300，Rt△CDF中计算出CF，然后计算BF和CF的和即可．解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，在Rt△ADE中，AE=12AD=12×1400=700，∴BE=AB-AE=1000-700=300，∴DF=300，在Rt△CDF中，∴BC为．点睛：本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．【即学即练1】.如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，求该电线杆PQ 的高度(精确到0.1 m)．【答案】电线杆PQ的高约是9.5 m.解：试题分析：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE 中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，米，∵AB=AE-BE=6米，则，解得：则BE=（）米．在直角△BEQ中，+3）=（∴（（米）．答：电线杆PQ 的高度是考点：解直角三角形的应用—俯角仰角问题.【即学即练2】.图1所示的是某景区的“关帝圣像”，它从2007年1月开始铸造，共用铜500吨，铁2000吨，甚是伟岸壮观．其侧面示意图如图2所示．在B 处测得圣像顶A 的仰角为52.8o ，在点E 处测得圣像顶A 的仰角为63.4°．已知AC BC ^于点,C EG BC ^于点,//,30G EF BC BG =米，19FC =米，求圣像的高度AF ． (结果保留整数．参考数据：52.80.80,52.80.60sin cos »°»o ，52.8 1.32,63.40.89tan sin °»°»，63.40.45,63.4 2.00cos tan »°»o )【答案】圣像的高度AF 约为61米【分析】设圣像的高度AF 约为x 米，根据已知Rt AEF D 中tan AEF Ð的值用x 表示EF 的长，根据EF GC =进而可求出BC 的长，从而利用Rt ACB D 中tan ABC Ð列出关于x 的方程，解得x 的值，即为圣象的高度．解：设AF x =米，∵,,//AC BC EG BC EF BC ^^，∴四边形FCGE 为矩形，∴EF GC =，在Rt AEF D 中，AF tan AEF EF Ð=，∴63.42AF x x EF tan AEF tan ==»Ð°，∴2x GC =，∵30BG =米，∴302(x BC =+米，在Rt ACB D 中，AC tan ABC BCÐ=，1952.8302x tan x +°=+，∴19 1.32302x x +»+，解得61x »，答：圣像的高度AF 约为61米．【点拨】本题主要考查三角函数．解题的关键在于在直角三角形中，根据三角函数的定义，结合已知条件，列出关于x 的方程，求解方程即可得解．【即学即练3】.如图，在河流的右岸边有一高楼AB ，左岸边有一坡度1:2i =的山坡CF ，点C 与点B 在同一水平面上，CF 与AB 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB 的高度，在坡底C 处测得楼顶A 的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了（即CD =到达点D 处，此时在D 处测得楼顶A 的仰角为26.7°．（参考数据：sin 26.70.45°»，cos26.70.89°»，tan 26.70.50°»）（1）求点C 到点D 的水平距离CE 的长；（2）求楼AB 的高度．【答案】（1）40米；（2）楼AB 的高度为80米．【分析】（1）由CF 的坡度1:2i =，,DE CE ^可得1,2DE CE = 设,DE x = 则2,CE x = 由勾股定理可得,CD === 解方程可得答案；（2）如图，过D 作DH AB ^于,H 先证明四边形DEBH 是矩形，可得2040,BH DE DH BE CE BC BC ====+=+，设,AB m = 证明,BC AB m == 可得20,40,AH m DH m =-=+ 由26.7,ADH Ð=°建立方程，再解方程检验即可得到答案．解：（1）Q CF 的坡度1:2i =，,DE CE ^1,2DE CE \= 设,DE x = 则2,CE x =,CD \===20,x \=240.CE x \== （2）如图，过D 作DH AB ^于,H,,DE BE AB BE ^^Q\ 四边形DEBH 是矩形，2040,BH DE DH BE CE BC BC \====+=+，设,AB m =45,ACB AB BE Ð=°^Q ，45,ACB BAC \Ð=Ð=°,BC AB m \== 20,40,AH m DH m \=-=+由26.7,ADH Ð=°tan 26.7,AH DH \°= 200.5,40m m -\=+ 解得：80.m =经检验：80m =符合题意，所以：建筑物AB 的高为：80米．【点拨】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键1.如图，有一个晾衣架放置在水平地面上，在其示意图中，支架OA 、OB 的长均为108cm ，支架OA 与水平晾衣杆OC 的夹角∠AOC 为59°，求支架两个着地点之间的距离AB ．（结果精确到0.1cm ）(参考数据：sin 59°=0.86，cos 59°=0.52，tan 59°=1.66)．【答案】112.3cm【解析】解：作OD ⊥AB 于点D ，∵OA =OB ，∴AD =BD 。

6利用三角函数测高

MN b tan a
2、测量底部不可以直接到达的物体的高度:
MN b tan tan a tan tan
北师大版初中数学九年级下册Leabharlann 测量底部可以直接到M
达的物体的高度:
MN b tan a
Cα
a
E
a
A
b
N
1、在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
2、量出测点A到物体底部N的水平距离AN=b；
3、量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度。
测量底部不可以直接到
M
达的物体的高度:
C αD β
E
A
B
N
1、在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
tan tan ME tan ME tan b tan tan ME(tan tan ) b tan tan ME b tan tan
tan tan MN ME a b tan tan a
tan tan
小结课堂
1、测量底部可以直接到达的物体的高度：
2、在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
3、量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A,B之间的距离AB=b. 根据测量数据,可求出物体MN的高度.
测量底部不可以直接到达的物体的高度:
M
MN b tan tan a tan tan
C αD β
A
B
E
N
ME ME b,

2024北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案

2024北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案一. 教材分析《利用三角函数测高》这一节主要让学生了解三角函数在实际生活中的应用，学会利用三角函数测量物体的高度。

通过这一节的学习，学生能够理解直角三角形的性质，掌握正弦、余弦函数的定义，并能运用它们解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对直角三角形有一定的了解。

但是，他们可能还没有真正意识到三角函数在实际生活中的应用，对于如何利用三角函数测量物体的高度可能比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的实践能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法，理解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。

2.过程与方法：通过实际操作，培养学生解决问题的能力，提高他们的实际动手能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，让他们感受到数学在生活中的重要性。

四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法。

2.难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的实践能力。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过设置实际问题，引导学生运用三角函数进行解答，培养他们的实践能力。

同时，学生进行小组合作，让学生在讨论中巩固知识，提高他们的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关案例，用于讲解和引导学生实践。

2.准备测量工具，如尺子、测量仪等，供学生实际操作使用。

3.准备多媒体教学资源，如PPT、视频等，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：如何测量旗杆的高度？引导学生思考如何解决这个问题，激发他们的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解利用三角函数测量物体高度的方法，引导学生理解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。

以旗杆测量为例，讲解步骤：（1）建立直角坐标系，确定观测点和旗杆的位置。

（2）测量观测点到旗杆的距离（底边长度）。

北师大版数学九年级下册1.6利用三角函数测高教学设计

-提供充足的实践操作机会，让学生在动手实践中掌握三角函数的测量方法。
-教师在学生探究过程中进行巡回指导，及时解答学生疑问，帮助学生突破难点。
3.例题解析：选择具有代表性的例题，展示解题思路和步骤，强化学生对三学生关注解题过程中的关键步骤和易错点。
-鼓励学生多角度思考问题，培养思维的灵活性和创新性。
-提醒学生关注作业的完成质量，鼓励学生在实际操作中运用所学知识。
五、作业布置
为了巩固本章节所学知识，特布置以下作业：
1.完成课本第1.6节后的练习题，包括基础题和拓展题，基础题要求全体学生完成，拓展题鼓励学有余力的学生尝试。
-基础题主要涉及三角函数的定义、计算和应用，帮助学生巩固课堂所学知识。
-拓展题则侧重于提高学生运用三角函数解决实际问题的能力，激发学生的思维潜能。
2.教学内容：小组展示讨论成果，分享解决问题的方法和经验。
教学过程：
-各小组派代表展示讨论成果，讲解解题过程和关键步骤。
-教师点评，强调正确性和创新性，引导学生相互学习、交流。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计具有代表性的课堂练习题，让学生独立完成。
教学过程：
-提供不同难度的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生巩固所学知识。
4.学会使用计算器计算三角函数值，并运用到实际测量中。
5.能够运用三角函数知识，分析和解决生活中的高度测量问题，如测量建筑物、树木等的高度。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，采用以下过程与方法：
1.通过情境导入，激发学生的学习兴趣，引导学生从实际问题中发现三角函数的应用价值。
2.采用探究式教学方法，让学生在小组合作中，通过实际操作、讨论、分析，掌握三角函数测高的方法。
北师大版数学九年级下册1.6利用三角函数测高教学设计