浙江概率论与数理统计第三章习题
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y 4 2 2 x
求分布函数 F ( x, y)
y x
f ( x, y)dxdy
y 4
(1)Hale Waihona Puke Baidu
y 4
(2) (x,y)
(5) (x,y)
F ( x, y)
F ( x , y ) (10 y y 2 16) / 8, (6 x x 2 ) / 8, (5) x2,y4时, 1, 1
2
c 1 2 1 ) x 2 dx 1 ( x 2
x 6 )dx c
1 2 (x 0
3 7 x x 4 6 1 x )dx c( ) 0 c 3 7 21
0,
其它
fY ( y)
f ( x, y)dx
0,
y y
21 2 7 x ydy y 5 2 ,0 y 1 4 2 其它
X 0
1 4
X 0 1 2
Y
0 1 2 3
P{X=i}
1 4 2 4 1 4
1
2 4
2
1 4
Y
0
1 8
1
3 8
2
3 8
3
1 8
pk
pk
1 P{Y=j} 8
1 1 0 0 8 8 2 2 0 0 8 8 1 1 0 0 8 8
3 8 3 8
1 8
1
7. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
4.8 y( 2 x ),0 x 1,0 y x f ( x, y) 其它 0,
2 4 dx 2 0
x 2,2 y 4 x 2, y 4
y 4,0 x 2
8 (6 x y )dy 1
6. 将一枚硬币掷3次,以X表示前2次中出现H的次数,以Y表示3次 中出现H的次数.求X,Y的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律. 解 先将试验的样本空间和X,Y的取值情况列表如下: 由表中可知,X 样本点e HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT 所有可能取的 X 2 2 1 1 1 1 0 0 值为0,1,2, Y 3 2 2 2 1 1 1 0 Y所有可能取 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 p 的值为0,1,2,3. X,Y的联合分布律如右表所示. (X,Y)关于X的边缘分布律可用X= i时 Y取所有可能取的值的概率相加而得; (X,Y)关于Y的边缘分布律可用Y= j时 X取所有可能取的值的概率相加而得. 也可以单独列表如下:
求边缘概率密度.
解 f(x,y)0的区域G如右图所示
y
x=y G 0 1
x
f X ( x)
0x 4.8 y( 2 x )dy 2.4 x 2 ( 2 x ),0 x 1 f ( x, y)dy 其它 0,
fY ( y) f ( x, y )dx
m0
e 14 n n! m ( 7 . 14 ) (6.86) n! m 0 m!( n m )!
m0 14 e n m
e 14 (7.14)m (6.86)n m (2)P{Y=m} P{ X n,Y m } n m m!( n m )! n m e 14 (7.14)m (6.86)n m k=n-m e 14 (7.14)m (6.86)k m! m! k! n m ( n m )! k 0 7.14 m 14 m e ( 7 . 14 ) e (7.14) 6.86 e (m=0,1,2,…,n) m! m!
X和Y的联合分布律列表如下 (1) Y X 0 1 P{Y=j}
0 1 25/36 5/36 5/6 5/36 1/36 1/6 1/6 1
X和Y的边缘分布如下所示 (2) Y X 0 1 P{Y=j}
0 1 45/66 10/66 5/6 10/66 1/66 1/6 1/6 1
P{X=i} 5/6
cx 2 y , x 2 y 1 f ( x, y) 其它 0,
y y=1 y=x2 1 x
D
-1
cx ydxdy
2
c
1 2 y x ( 1
D
1 1 2 dx cx ydxdy 1 x2
o
2
21 x 2 y / 4, x 2 y 1 故 c=21/4. f ( x , y ) 其它 0, (2) 21 2 1 21 2 6 x ydy ( x x ), 1 x 1 2 x 4 8 f X ( x ) f ( x, y )dy
P{ X 51, Y 51} 0.06 6 P{Y 51} 0.28 28 P{ X 52, Y 51} 0.07 7 P{ X 52Y 51} 0.28 28 P{Y 51} P{ X 53, Y 51} 0.05 5 P{ X 53Y 51} 0.28 28 P{Y 51} P{ X 54, Y 51} 0.05 5 P{ X 54Y 51} 0 . 28 28 P{Y 51} 55 5 P{ X 55, Y 51} 0.05 5 P{ X 55Y 51} 0.28 28 28 P{Y 51}
k (6 x y ),0 x 2,2 y 4 3. 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f ( x, y ) 0, 其它
(1)y<2,-<x<,或x<0,-<y<时,F(x,y)=0 . 2 (x,y) 2 x y1 (2)0x<2,2y<4时, F ( x , y ) 0 dx 2 (6 x y )dy x x 2 2 8 2 1 x y 1 0 (6 y xy 2 x 10)dx ( 2 x 2 x 2 y 12 xy xy 2 20 x ) 8 2 16 (x,y) (4) y y (3) 2 y1 (x,y) 4 (3) x2,2y<4时, F ( x , y ) 0 dx 2 (6 x y )dy 4 8 2 2 2 1 2 y 1 0 (6 y xy 2 x 10)dx (10 y y 2 16) x x 2 2 8 2 8 4 x1 总之 (4)0x<2,y4时,F ( x , y ) 2 dy 0 (6 x y )dx 8 2 1 4 x 1 0, y 2, x 或x 0, y 2 [( 6 y ) x ]dy (6 x x 2 ) ( 2 x 2 x 2 y 12 xy xy 2 20 x ) / 16,0 x 2,2 y 4 8 2 8
11. 以X记某医院一天出生的婴儿的个数,Y记其中男婴的个数,设X和 Y的联合分布律为 m=0,1,2,…,n ; e 14 (7.14)m (6.86)n m P{ X n,Y m} n=0,1,2,… . m!( n m )! (1)求边缘分布律;(2)求条件分布律;(3)特别,写出当X=20时,Y的条 件分布律. n n e 14 (7.14) m (6.86) n m 解 (1) P{X=n} P{ X n,Y m }
P{X=i} 5/6
16(1)问第1题中的随机变量X和Y是否相互独立?(需说明理由) 解 (1)P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}对(X,Y)所有可能取值 (i,j)( i ,j =0,1)都成立,故放回抽样X和Y相互独立. (2)P{X=1,Y=0}=10/66 P{X=1}P{Y=0}=(1/6)(5/6)=5/36 故不放回抽样X和Y不相互独立.
(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1,5}; (4)求P{X+Y4}. 2 4 解 (1)由归一性 1 f ( x, y)dxdy k 0 dx2 (6 x y)dy y (4) (5) y2 4 2 2 2 8k k 0 (6 y xy ) 2 dx k 0 (6 2 x )dx k(6 x x 2 ) 0 4 2 (2) (3) 故 k=1/8. 2 1 3 1 31 (2) P{X<1,Y<3} f ( x , y )dxdy 0 dx 2 (6 x y )dy (1) 8 2 x 2 2 1 1 y 3 1 17 1 7 x 1 3 y 0 (6 y xy ) 2 dx 0 ( 2 x )dx ( x ) 0 8 2 8 2 8 2 2 8 4 1.5 1.5 41 (3)P{X<1,5} f ( x , y )dxdy 0 dx 2 (6 x y )dy 2 D x+y=4 8 G 1 1 1.5 2 1.5 27 4 4 y x 2 0 (6 2 x )dx (6 x x ) 0 dy ( 6 x y ) / 8 dx 8 8 32 2 0 2 4 x 1 1 (6 x y )dy (4)P{X+Y4}= f ( x , y )dxdy (6 x y )dxdy 0 dx 2 8 G: x y 4 D8 3 1 x 2 1 2 y 2 4 x 1 2 x2 2 2 0 (6 y xy ) 2 dx 0 (6 4 x )dx (6 x 2 x ) 0 8 6 3 8 2 8 2
X 51 52 53 54 55
(2) P{ X 51Y 51}
pk
Y pk
0.18 0.15 0.35 0.12 0.20 51 52 53 54 55
0.28 0.28 0.22 0.09 0.13 X=i 51 52
7 28
列表如下
53
5 28
54
5 28
6 P{X=i|Y=51} 28
2 1 4 . 8 y ( 2 x ) dx 2 . 4 y ( 3 4 y y ),0 y 1 y 其它 0,
9. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
(1)试确定常数c;(2)求边缘概率密度. 解 如图,阴影部份是f(x,y)不为零的区域D (1)由归一性 1 f ( x, y)dxdy
10.将某一医药公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分 别记为X和Y.据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为 Y (1)求边缘分布律; P{X=i} 51 52 53 54 55 X (2)求8月份的订单数为 51 0.06 0.05 0.05 0.01 0.01 0.18 0.15 51时, 9月份订单数的条件 52 0.07 0.05 0.01 0.01 0.01 53 0.05 0.10 0.10 0.05 0.05 0.35 分布律. 0.12 解 (1)关于X的边缘分布律 54 0.05 0.02 0.01 0.01 0.03 55 0.05 0.06 0.05 0.01 0.03 0.20 见表右, 关于Y的边缘分布 1.00 律见表下, 也可以单独列表 P{Y=j} 0.28 0.28 0.22 0.09 0.13
10 9 45 (2)不放回抽样 P{X=0,Y=0}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1)
P{X=0,Y=1}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) 10 2 10
12 11 66
12 11 66 2 10 10 P{X=1,Y=0}=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1) 12 11 66 2 1 1 P{X=1,Y=1}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) 12 11 66
求分布函数 F ( x, y)
y x
f ( x, y)dxdy
y 4
(1)Hale Waihona Puke Baidu
y 4
(2) (x,y)
(5) (x,y)
F ( x, y)
F ( x , y ) (10 y y 2 16) / 8, (6 x x 2 ) / 8, (5) x2,y4时, 1, 1
2
c 1 2 1 ) x 2 dx 1 ( x 2
x 6 )dx c
1 2 (x 0
3 7 x x 4 6 1 x )dx c( ) 0 c 3 7 21
0,
其它
fY ( y)
f ( x, y)dx
0,
y y
21 2 7 x ydy y 5 2 ,0 y 1 4 2 其它
X 0
1 4
X 0 1 2
Y
0 1 2 3
P{X=i}
1 4 2 4 1 4
1
2 4
2
1 4
Y
0
1 8
1
3 8
2
3 8
3
1 8
pk
pk
1 P{Y=j} 8
1 1 0 0 8 8 2 2 0 0 8 8 1 1 0 0 8 8
3 8 3 8
1 8
1
7. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
4.8 y( 2 x ),0 x 1,0 y x f ( x, y) 其它 0,
2 4 dx 2 0
x 2,2 y 4 x 2, y 4
y 4,0 x 2
8 (6 x y )dy 1
6. 将一枚硬币掷3次,以X表示前2次中出现H的次数,以Y表示3次 中出现H的次数.求X,Y的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律. 解 先将试验的样本空间和X,Y的取值情况列表如下: 由表中可知,X 样本点e HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT 所有可能取的 X 2 2 1 1 1 1 0 0 值为0,1,2, Y 3 2 2 2 1 1 1 0 Y所有可能取 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 p 的值为0,1,2,3. X,Y的联合分布律如右表所示. (X,Y)关于X的边缘分布律可用X= i时 Y取所有可能取的值的概率相加而得; (X,Y)关于Y的边缘分布律可用Y= j时 X取所有可能取的值的概率相加而得. 也可以单独列表如下:
求边缘概率密度.
解 f(x,y)0的区域G如右图所示
y
x=y G 0 1
x
f X ( x)
0x 4.8 y( 2 x )dy 2.4 x 2 ( 2 x ),0 x 1 f ( x, y)dy 其它 0,
fY ( y) f ( x, y )dx
m0
e 14 n n! m ( 7 . 14 ) (6.86) n! m 0 m!( n m )!
m0 14 e n m
e 14 (7.14)m (6.86)n m (2)P{Y=m} P{ X n,Y m } n m m!( n m )! n m e 14 (7.14)m (6.86)n m k=n-m e 14 (7.14)m (6.86)k m! m! k! n m ( n m )! k 0 7.14 m 14 m e ( 7 . 14 ) e (7.14) 6.86 e (m=0,1,2,…,n) m! m!
X和Y的联合分布律列表如下 (1) Y X 0 1 P{Y=j}
0 1 25/36 5/36 5/6 5/36 1/36 1/6 1/6 1
X和Y的边缘分布如下所示 (2) Y X 0 1 P{Y=j}
0 1 45/66 10/66 5/6 10/66 1/66 1/6 1/6 1
P{X=i} 5/6
cx 2 y , x 2 y 1 f ( x, y) 其它 0,
y y=1 y=x2 1 x
D
-1
cx ydxdy
2
c
1 2 y x ( 1
D
1 1 2 dx cx ydxdy 1 x2
o
2
21 x 2 y / 4, x 2 y 1 故 c=21/4. f ( x , y ) 其它 0, (2) 21 2 1 21 2 6 x ydy ( x x ), 1 x 1 2 x 4 8 f X ( x ) f ( x, y )dy
P{ X 51, Y 51} 0.06 6 P{Y 51} 0.28 28 P{ X 52, Y 51} 0.07 7 P{ X 52Y 51} 0.28 28 P{Y 51} P{ X 53, Y 51} 0.05 5 P{ X 53Y 51} 0.28 28 P{Y 51} P{ X 54, Y 51} 0.05 5 P{ X 54Y 51} 0 . 28 28 P{Y 51} 55 5 P{ X 55, Y 51} 0.05 5 P{ X 55Y 51} 0.28 28 28 P{Y 51}
k (6 x y ),0 x 2,2 y 4 3. 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f ( x, y ) 0, 其它
(1)y<2,-<x<,或x<0,-<y<时,F(x,y)=0 . 2 (x,y) 2 x y1 (2)0x<2,2y<4时, F ( x , y ) 0 dx 2 (6 x y )dy x x 2 2 8 2 1 x y 1 0 (6 y xy 2 x 10)dx ( 2 x 2 x 2 y 12 xy xy 2 20 x ) 8 2 16 (x,y) (4) y y (3) 2 y1 (x,y) 4 (3) x2,2y<4时, F ( x , y ) 0 dx 2 (6 x y )dy 4 8 2 2 2 1 2 y 1 0 (6 y xy 2 x 10)dx (10 y y 2 16) x x 2 2 8 2 8 4 x1 总之 (4)0x<2,y4时,F ( x , y ) 2 dy 0 (6 x y )dx 8 2 1 4 x 1 0, y 2, x 或x 0, y 2 [( 6 y ) x ]dy (6 x x 2 ) ( 2 x 2 x 2 y 12 xy xy 2 20 x ) / 16,0 x 2,2 y 4 8 2 8
11. 以X记某医院一天出生的婴儿的个数,Y记其中男婴的个数,设X和 Y的联合分布律为 m=0,1,2,…,n ; e 14 (7.14)m (6.86)n m P{ X n,Y m} n=0,1,2,… . m!( n m )! (1)求边缘分布律;(2)求条件分布律;(3)特别,写出当X=20时,Y的条 件分布律. n n e 14 (7.14) m (6.86) n m 解 (1) P{X=n} P{ X n,Y m }
P{X=i} 5/6
16(1)问第1题中的随机变量X和Y是否相互独立?(需说明理由) 解 (1)P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}对(X,Y)所有可能取值 (i,j)( i ,j =0,1)都成立,故放回抽样X和Y相互独立. (2)P{X=1,Y=0}=10/66 P{X=1}P{Y=0}=(1/6)(5/6)=5/36 故不放回抽样X和Y不相互独立.
(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1,5}; (4)求P{X+Y4}. 2 4 解 (1)由归一性 1 f ( x, y)dxdy k 0 dx2 (6 x y)dy y (4) (5) y2 4 2 2 2 8k k 0 (6 y xy ) 2 dx k 0 (6 2 x )dx k(6 x x 2 ) 0 4 2 (2) (3) 故 k=1/8. 2 1 3 1 31 (2) P{X<1,Y<3} f ( x , y )dxdy 0 dx 2 (6 x y )dy (1) 8 2 x 2 2 1 1 y 3 1 17 1 7 x 1 3 y 0 (6 y xy ) 2 dx 0 ( 2 x )dx ( x ) 0 8 2 8 2 8 2 2 8 4 1.5 1.5 41 (3)P{X<1,5} f ( x , y )dxdy 0 dx 2 (6 x y )dy 2 D x+y=4 8 G 1 1 1.5 2 1.5 27 4 4 y x 2 0 (6 2 x )dx (6 x x ) 0 dy ( 6 x y ) / 8 dx 8 8 32 2 0 2 4 x 1 1 (6 x y )dy (4)P{X+Y4}= f ( x , y )dxdy (6 x y )dxdy 0 dx 2 8 G: x y 4 D8 3 1 x 2 1 2 y 2 4 x 1 2 x2 2 2 0 (6 y xy ) 2 dx 0 (6 4 x )dx (6 x 2 x ) 0 8 6 3 8 2 8 2
X 51 52 53 54 55
(2) P{ X 51Y 51}
pk
Y pk
0.18 0.15 0.35 0.12 0.20 51 52 53 54 55
0.28 0.28 0.22 0.09 0.13 X=i 51 52
7 28
列表如下
53
5 28
54
5 28
6 P{X=i|Y=51} 28
2 1 4 . 8 y ( 2 x ) dx 2 . 4 y ( 3 4 y y ),0 y 1 y 其它 0,
9. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
(1)试确定常数c;(2)求边缘概率密度. 解 如图,阴影部份是f(x,y)不为零的区域D (1)由归一性 1 f ( x, y)dxdy
10.将某一医药公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分 别记为X和Y.据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为 Y (1)求边缘分布律; P{X=i} 51 52 53 54 55 X (2)求8月份的订单数为 51 0.06 0.05 0.05 0.01 0.01 0.18 0.15 51时, 9月份订单数的条件 52 0.07 0.05 0.01 0.01 0.01 53 0.05 0.10 0.10 0.05 0.05 0.35 分布律. 0.12 解 (1)关于X的边缘分布律 54 0.05 0.02 0.01 0.01 0.03 55 0.05 0.06 0.05 0.01 0.03 0.20 见表右, 关于Y的边缘分布 1.00 律见表下, 也可以单独列表 P{Y=j} 0.28 0.28 0.22 0.09 0.13
10 9 45 (2)不放回抽样 P{X=0,Y=0}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1)
P{X=0,Y=1}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) 10 2 10
12 11 66
12 11 66 2 10 10 P{X=1,Y=0}=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1) 12 11 66 2 1 1 P{X=1,Y=1}=P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) 12 11 66