2021届高三高考数学文科一轮复习知识点专题4-6 正弦定理和余弦定理【含答案】

2021届高三高考数学文科一轮复习知识点
专题4.6 正弦定理和余弦定理【考情分析】
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
【重点知识梳理】
知识点一正弦定理和余弦定理
1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理正弦定理余弦定理
公式
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C＝2R
a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2
＋a2－2ca cos B；
c2＝a2＋b2－2ab cos C
常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
(2)sin A＝
a
2R，sin B＝
b
2R，sin C＝
c
2R；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A
cos A＝
b2＋c2－a2
2bc；
cos B＝
c2＋a2－b2
2ac；
cos C＝
a2＋b2－c2
2ab
2.S△ABC＝1
2ab sin C＝
1
2bc sin A＝
1
2ac sin B＝
abc
4R＝
1
2(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，
r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角A为钝角或直角图形
关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数一解两解一解一解无解知识点二三角函数关系和射影定理
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2.
2.三角形中的射影定理
在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B . 【典型题分析】
高频考点一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】【2020·江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒． （1）求sin C 的值；
（2）在边BC 上取一点D ，使得4
cos 5
ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．
【解析】（1）在ABC △中，因为3,2,45a c B ===︒，
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2922325b =+-⨯︒=， 所以5b =
在ABC △中，由正弦定理sin sin b c
B C
=
， 52
， 所以5sin C =
（2）在ADC △中，因为4
cos 5
ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，
而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角. 故225cos 1sin C C =-则sin 1
tan cos 2
C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=，sin 3
tan cos 4
ADC ADC ADC ∠∠==-∠.
从而
31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+
∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠--
-∠⨯∠--⨯. 【举一反三】(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则b
c
＝( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
【答案】A 【解析】∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－（4c 2＋b 2）2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴b
c ＝6.
故选A 。

(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C. ①求A ；
②若2a ＋b ＝2c ，求sin C.
【解析】①由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2.
因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.
②由①知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋1
2
sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－
2
2
. 由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22
， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)
＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝
6＋2
4
. 【方法技巧】解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．
【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝5
5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )
A ．4 2
B.30
C.29 D ．25
【答案】A
【解析】∵cos C 2＝5
5
，
∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭
⎫5
52－1＝－35.
在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－3
5＝32， ∴AB ＝4 2.
【方法技巧】正、余弦定理的应用技巧
1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数。

【举一反三】(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π
6. ①求角B 的大小；
②设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 【解析】①在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b
sin B ，
可得b sin A ＝a sin B .
又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π
6，可得tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π
3
.
②在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π
3，
得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝37
. 因为a ＜c ，所以cos A ＝2
7
.
因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝1
7.
所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B
＝
437×12－17×32＝33
14
. 高频考点二 与三角形面积有关的问题
【例2】【2020·北京卷】在ABC △中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：
（Ⅱ）sin C 和ABC △的面积．
条件①：1
7,cos 7
c A ==-
； 条件②：19
cos ,cos 816
A B ==．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【解析】选择条件①（Ⅰ）
1
7,cos 7
c A ==-，11a b +=
2222221
2cos (11)72(11)7()7
a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-
8a ∴=
（Ⅱ）
2143
cos (0,)sin 1cos 7A A A A π=-∈∴=-=
，由正弦定理得：73sin sin sin sin 43a c C A C C ==∴=
113sin (118)86322S ba C =
=-⨯=选择条件②（Ⅰ）
19
cos ,cos ,(0,)816
A B A B π==∈，
223757
sin 1cos 1cos A A B B ∴=-=
=-=
由正弦定理得：6
sin sin 3757
a b a A B === （Ⅱ）3795717
sin sin()sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+=
+=
117157
sin (116)622S ba C =
=-⨯=
【举一反三】(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，
则△ABC 的面积为____________．
【答案】63
【解析】法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π
3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－
2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π
3
＝6 3.
法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π
3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos
π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC 的面积S ＝1
2
×23×6＝6 3. 【方法技巧】 1.求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
【举一反三】(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C
2
＝b sin A 。

(1)求B ；
(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围。

【解析】(1)由题设及正弦定理得 sin A sin A ＋C
2
＝sin B sin A .
因为sin A ≠0，所以sin A ＋C
2
＝sin B .
由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B
2.
因为cos B 2≠0，故sin B 2＝1
2
，因此B ＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝
34
a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋1
2.
由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，
所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <3
2.
因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛
⎭⎫
38
，32。

高频考点三 判断三角形的形状
【例3】（2020·山东实验中学模拟）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定 【答案】B
【解析】由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，
即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1， 即A ＝π
2
，∴△ABC 为直角三角形．
【方法技巧】在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．
【变式探究】（2020·河北衡水中学调研）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a
c ，
(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状是( )
A ．直角三角形
B ．等腰非等边三角形
C ．等边三角形
D ．钝角三角形 【答案】C
【解析】因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝a
c .所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos
A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π
3
，所以△ABC 是等边三角形。