弧、弦、圆心角练习题4
中考数学专项练习圆的圆心角、弧、弦的关系(含解析)
中考数学专项练习圆的圆心角、弧、弦的关系（含解析）【一】单项选择题1.如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，，那么的度数是〔〕A.B.C.D.2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC、那么与的数量关系是〔〕A.=B.＞C.＜D.无法确定3.如果所在圆的半径为3cm，它所对圆心角的度数是120°，那么的长是〔〕cm．A.6πB.3πC.2πD.π4.如下图，正六边形ABCDEF内接于圆O，那么∠ADB的度数为〔〕A.60°B.45°C.30°D.22.5°5.如图，⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且==，那么四边形ABCD的周长等于〔〕A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm6.如图，A，B是⊙O的直径，C、D在⊙O上，，假设∠DAB =58°，那么∠CAB=〔〕A.20°B.22°C.24°D.26°7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC、BD、AC，以下结论中不一定正确的选项是〔〕A.∠ACB=90° B.OE=B E C.BD=BC D.△BDE ∽△CAE8.如下图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O 的半径为4cm，MN=4 cm，那么∠ACM的度数是〔〕A.45°B.50°C.55°D.60°9.如图，AB是⊙O的直径，= = ，∠COD=34°，那么∠A EO的度数是〔〕A.51°B.56°C.68°D.78°10.如图，在⊙O中，=，那么AC与BD的关系是〔〕A.AC=BD B.AC ＜BDC.AC＞BDD.不确定【二】填空题11.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=35°，那么∠AOE =________°．12.，半径为4的圆中，弦AB把圆周分成1：3两部分，那么弦AB长是________．13.圆的一条弦分圆成4：5两部分，那么此弦所对的圆心角等于_____ ___．14.如图，⊙O中，弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，那么∠A OC=________度．15.在⊙O中，弦AB∥CD，那么∠AOC________∠BOD、16.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰△ACM，等腰△BCN，，的中点分别是P，Q．假设MP+NQ=12，AC+BC=15，那么AB的长是_ _______．17.如下图，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，那么∠DOE=36度，的度数为________度．18.如图，AB是⊙O的直径，如果∠COA=∠DOB=60°，那么与线段OA相等的线段有________，与相等的弧有________ ．【三】解答题19.：如下图，AD=BC。
《圆心角、弧、弦、弦心距间关系》习题
《圆心角、弧、弦、弦心距、间关系》习题 1．下列说法中正确的是（ ）．
A ．相等的圆心角所对的弧相等
B ．等弧所对的圆心角相等
C ．相等的弦所对的弦心距相等
D ．弦心距相等，则弦相等
2．在半径为5cm 的圆中，有一条长为6cm 的弦，则圆心到此弦的距离为（ ）．
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
3．下列说法：①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等的两条弧是等弧；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的3
1，圆的半径为4cm ，则弦AB 的长是（ ）． A ．3cm B ．2cm C ．32cm D ．34cm
5．弦AB 把⊙O 分成1∶2两部分，AB ＝8cm ，则弦AB 的弦心距等于___________．
6．直径为20cm 的圆中，有一条长为310cm 的弦，则这条弦所对的圆心角的度数是___________，这条弦的弦心距是___________．
7．在⊙O 中，AB 是弦，∠OAB ＝50°，则弦AB 所对的圆心角的度数是___________，弦AB 所对的两条弧的度数是___________．
8．在⊙O 中，OC 是半径，弦EF 过OC 的中点且垂直于OC ，则弦EF 所对的圆心角的度数是___________，弦EF 的弦心距和弦EF 的长的比是___________．
9．如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦AE ∥CD ，连结CE 、BC ，求证：BC ＝CE ．（用两种方法加以证明）
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2020年人教版九年级数学上册24.1.3《弧、弦、圆心角》同步练习 学生版
别交 BC，CD 于点 E，M，下列结论：①DM=CM；② AE=AD．其中正确的结论有 （填序号）．
；③⊙O 的直径为 2；④
23．如图，在⊙O 中，AB=DC，∠AOB=50°，则∠COD= ．
24．如图，已知 AB、CD 是⊙O 中的两条直径，且∠AOC=50°，过点 A 作 AE∥CD 交⊙O 于点 E，则 的度数为 ．
B．BE=CD
C．AC=BD
D．BE=AD
12．如图，圆心角∠AOB=25°，将 AB 旋转 n°得到 CD，则∠COD 等于（ ）
A．25°
B．25°+n°
C．50°
D．50°+n°
13．如图，⊙O 的半径为 1，动点 P 从点 A 处沿圆周以每秒 45°圆心角的速度逆时针匀速 运动，即第 1 秒点 P 位于如图所示的位置，第 2 秒中 P 点位于点 C 的位置，……，则第 2018 秒点 P 所在位置的坐标为（ ）
下列结论：①OE=OF；②AC=CD=DB；③CD∥AB；④ = ，其中正确的有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
二．填空题
16．如图，AB，CD 是⊙O 的直径，弦 CE∥AB，弧 CE 的度数为 40°，∠AOC 的度
数 ．
17．⊙O 的半径为 5，弦 AB 与弦 CD 相等，且 AB⊥CD 于 H，若 OH=3 ，则线段 BH 长 为 ． 18．如图，C 为弧 AB 的中点，CN⊥OB 于 N，CD⊥OA 于 M，CD=4cm，则 CN= cm．
A．40°
B．45°
C．55°
D．80°
4．如图，BC 为半圆 O 的直径，A、D 为半圆上的两点，若 A 为半圆弧 ADC=（ ）
人教版九年级上册数学《弧、弦、圆心角》导学案及典型题型训练(含答案)
弧、弦、圆心角学习目标：认识圆心角的观点：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧、弦心距中有一个量的两个相等就能够推出其他两个量的相对应的两个值就相等，及其他们在解题中的应用．一、导学过程：（阅读教材 P82 — 83 ,达成课前预习）1、知识准备（ 1）圆是轴图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．（ 2）垂径定理推论．2、预习导航。
（ 1）圆心角：极点在的角叫做圆心角。
（ 2）等圆：能够的圆叫做等圆，同圆或等圆的半径。
（ 3）弧、弦、弦心距、圆心角的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．相同，还能够获得：在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的相等， ?所对的弦也，所对的弦心距也。
在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的、、相等．注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其他各组量也。
二、讲堂练习。
1．假如两个圆心角相等，那么（）A ．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠ AOB=2∠ COD，则两条弧 AB与 CD的关系是（）A.AB=2CD B．AB>2CDC．AB<2CDD．不可以确立3.一条弦长恰巧为半径长，则此弦所对的弧是半圆的 _________．4．如图，在⊙O中，AB=AC，∠AOB=60°，求证 : ∠ AOB=∠ BOC=∠ AOCAOB C三、讲堂小结在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的、、相等．四、反应检测。
1．如图，⊙ O中，假如AB=2CD，那么（）．A．AB=AC B ． AB=AC C ． AB<2AC D ．AB>2ACACOB2．如图，以平行四边形 ABCD的极点 A 为圆心， AB为半径作圆，分别交BC、AD于 E、F，若∠ D=50°，求BE的度数和BF的度数．3.如图，在⊙ O中， C、D 是直径 AB上两点，且 AC=BD，MC⊥ AB，ND⊥ AB，M、N?在⊙ O上．（ 1）求证：AM=（2）若C、D分别为OA、OB中点，则建立吗？BN AM=MN=NB4．如图，∠AOB=90°，C、D 是AB三平分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证： AE=BF=CD．C5. 如图， AB 和 DE是⊙ O的直径，弦 AC∥DE，若弦 BE=3，E 求弦 CE长度。
人教版 九年级数学上册 第24章 圆的概念及弧、弦、圆心角和圆周角 专题练习(含答案)
圆的概念及弧、弦、圆心角和圆周角专题练习（含答案）例1. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°例2. 如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE CE=1．则弧BD 的长是（）B C D例3．如图，已知A，B，C在⊙O上，ACB为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（）A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C例4. 如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3巩固练习1．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．2．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________．3．⊙O中，∠AOB＝100°，若C是AB上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．120°D．130°4．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．5. 已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为AD的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数6．如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F，交BA的延长线于G，试说明弧EF和弧FG相等.7. ⊙O中，M为AB的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AM C．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定8. 如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想AD与CB之间的关系，并证明你的猜想．9. 如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在ANB上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．10．如图，若五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠BOC=______，∠ABE=______，∠ADC=______，∠ABC=______．10题图11题图12题图11．如图，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则∠AED=______，∠FAE=______，∠DAB=______，∠EFA=______．12．如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，若P是AB上一点，则∠BPC=______；若M是BC上一点，则∠BMC=______．13．在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是AB上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．130°D．140°14．在圆中，弦AB，CD相交于E．若∠ADC=46°，∠BCD=33°，则∠DEB等于( )．A．13°B．79°C．38.5°D．101°15．如图，AC 是⊙O 的直径，弦AB ∥CD ，若∠BAC =32°，则∠AOD 等于( )．A ．64°B ．48°C ．32°D ．76°16．如图，弦AB ，CD 相交于E 点，若∠BAC =27°，∠BEC =64°，则∠AOD 等于( )．A ．37°B ．74°C ．54°D ．64°17．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则x ＝ 。
2020苏教版九年级数学上册 垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习含答案
【文库独家】九年垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习1.已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。
6003. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。
你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ADBOCE4.如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。
5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。
6. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。
CA P ODCE OA D B7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。
8. 如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。
9.如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A. 3≤OM≤5B. 4≤OM≤5C. 3＜OM＜5D. 4＜OM＜510.下列说法中，正确的是（）A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内B. 圆的半径垂直于圆的切线C. 圆周角等于圆心角的一半D. 等弧所对的圆心角相等11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 270°12. 如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°13. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________； 14. 圆的半径等于cm 2，圆内一条弦长23cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________；15. 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=cm 2，求BC 的长；B16. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D 。
初三数学弧弦圆心角的练习题
初三数学弧弦圆心角的练习题1. 圆心角是90°的扇形的圆的周长为12π cm，求该扇形的面积。
解析：假设扇形的半径为r cm，则圆心角为90°的弧长为r cm。
根据圆的周长公式，可得：2πr = 12π解得：r = 6 cm扇形的面积为：(1/4)πr² = (1/4)π(6)² = 9π cm²2. 若圆心角为30°，则它所对的弧的度数是多少？解析：圆心角度数与所对弧度数相等，因此该圆心角所对的弧的度数是30°。
3. 在圆上，直径AB的长度为12 cm，弦CD的长度为8 cm。
求圆心角ACB的度数。
解析：对于圆上的任意一个圆心角，其所对的弦长是固定的。
设弦长CD = 8 cm，直径AB = 12 cm。
由于直径等于两个弦加起来的长度，可得：12 cm = 8 cm + CE解得：CE = 4 cm由于圆心角ACB所对的弦CD等于1/2的直径AB，所以CE = 1/2 AB。
因此，圆心角ACB所对的弦CD是直径AB的1/2，即圆心角ACB 的度数为180°的1/2，即90°。
4. 在圆上，弦AC的度数为60°，则对应的圆心角ABC的度数是多少？解析：对于圆上的任意一个圆心角，其度数等于所对的弦的度数的2倍。
因此，圆心角ABC的度数为60°的2倍，即120°。
5. 在圆上，弦DE的度数等于圆心角DFE的度数的4倍，并且圆心角DFE的度数比弦DE多30°。
求弦DE所对的圆心角的度数。
解析：设圆心角DFE的度数为x°。
根据题意可得：弦DE的度数 = 圆心角DFE的度数的4倍 = 4x°圆心角DFE的度数 = 弦DE的度数 + 30° = 4x° + 30°根据圆心角与所对弦的关系，可得：弦DE所对的圆心角的度数 = 圆心角DFE的度数的2倍 = 2(4x° + 30°) = 8x° + 60°综上所述，弦DE所对的圆心角的度数为8x° + 60°。
完整版)圆心角圆周角练习题
完整版)圆心角圆周角练习题知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角1.定义圆心角为顶点在圆心的角。
2.在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：两个圆心角相等，圆心角所对的弧相等（无论是优弧还是劣弧），圆心角所对的弦相等。
3.一个角是圆周角必须满足两个条件：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆有除顶点外的交点。
4.同一条弧所对的圆周角有两个。
5.圆周角定理：圆周角等于圆心角的一半。
6.圆周角定理的推论：（1）同弦或等弦所对的圆周角相等；（2）半圆或直径所对的圆周角相等；（3）90°的圆周角所对的弦是直径。
需要注意的是，“同弦或等弦”改为“同弧或等弧”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。
7.圆内接四边形定义为所有顶点都在圆上的多边形，圆心即为这个圆内接四边形的交点。
圆内接四边形的对角线相互垂直，且交点为对角线的中点。
夯实基础1.如果两个圆心角相等，则它们所对的弧相等，选项B正确。
2.不正确的语句为③，因为圆不一定是轴对称图形，只有圆上的任何一条直径所在直线才是它的对称轴。
3.错误的说法是D，相等圆心角所对的弦不一定相等。
4.根据圆心角的性质，∠A=2∠B，所以∠A=140°。
5.∠BAC与∠BCD互补，∠BCD与∠CBD相等，所以与∠BAC相等的角有2个，即∠CBD和∠ABD。
6.因为∠CAB为30°，所以∠ABC为60°，由正弦定理可得BC=5√3.7.根据圆周角定理，∠ACB=40°。
8.设∠A=3x，∠B=4x，∠C=6x，则∠D=360°-3x-4x-6x=120°。
9.∠DCE=∠A。
1、如图，AB是⊙O的直径，C，D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，求证∠COE=80°。
证明：由三等分点的性质可知，BC=CD=DE，又∠AOE=60°，所以∠AOC=120°。
圆心角、弧、弦的关系精选题38道
圆心角、弧、弦的关系精选题38道一．选择题（共18小题）1．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA 3．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（）A．80°B．70°C．60°D．40°4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．125．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°7．如图，⊙O中，如果＝2，那么（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°9．如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则∠ADB的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°10．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．120°11．下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28°B．64°C．56°D．124°13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC的度数是（）A．140°B．40°C．70°D．50°14．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（）A．54°B．55°C．56°D．57°15．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为（）A．6πB．4πC．3πD．4π16．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等17．如图，AB为半圆⊙O的直径，AB＝10，AC为⊙O的弦，AC＝8，D为的中点，DM ⊥AC于M，则DM的长为（）A．B．C．1D．18．在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（）A．90°B．60°C．30°D．15°二．填空题（共15小题）19．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为．20．如图，在⊙O中，＝，若∠AOB＝40°，则∠COD＝°．21．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为．22．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于．23．如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是．24．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为．25．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是．26．如图，AB是⊙O的弦，若∠AOB＝110°，则∠A的大小为（度）．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于度．28．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为度．29．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC ＝120°，那么OM的长为．30．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝．31．在半径为6的⊙O中，长为6的弦所对的圆心角是°．32．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC BD（填“＞”“＜”或“＝”）．33．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是度．三．解答题（共5小题）34．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．35．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．36．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．37．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．38．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．圆心角、弧、弦的关系精选题38道参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接CO，如图：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．3．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（）A．80°B．70°C．60°D．40°【分析】由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得，∠AOB＝2∠ACB，则结果即可得出．【解答】解：由题意得，∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°．故选：D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，重点是圆周角定理的应用．4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．12【分析】作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案．【解答】解：作直径CF，连接BF，如图，则∠FBC＝90°，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴＝，∴DE＝BF＝6，∴BC＝＝8．解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．∵AM⊥BC，AN⊥DE，∴CM＝MB，DN＝NE＝3，∵AC＝AB＝AD＝AE，∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，∵∠BAC+∠EAD＝180°，∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，∴∠CAM+∠DAN＝90°，∵∠ACM+∠CAM＝90°，∴∠ACM＝∠DAN，∵∠AMC＝∠AND＝90°，∴△AMC≌△DNA（AAS），∴AM＝DN＝3，∴CM＝＝＝4，∴BC＝2CM＝8．故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．5．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°【分析】根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和进行内角和定理求出即可．【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC＝×75°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠AOC＝2∠ABC是解此题的关键．6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC＝50°，利用垂径定理得到＝，然后根据圆周角定理计算∠ADC的度数．【解答】解：∵的度数为50°，∴∠BOC＝50°，∵半径OC⊥AB，∴＝，∴∠ADC＝∠BOC＝25°．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．7．如图，⊙O中，如果＝2，那么（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC【分析】取弧AB的中点D，连接AD，DB，由已知条件可知AD＝BD＝AC，在△ADB中由三角形的三边关系可知AD+BD＞AB，即2AC＞AB，问题得解．【解答】解：取弧AB的中点D，连接AD，DB，∵＝2，∴AD＝BD＝AC，在△ADB中由三角形的三边关系可知AD+BD＞AB，∴2AC＞AB，即AB＜2AC，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，题目设计新颖，是一道不错的中考题．8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．【解答】解：连接OB，如图，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝×120°＝60°，∴∠D＝∠AOB＝30°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则∠ADB的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°【分析】由正六边形ABCDEF，可求出的度数，再得到∠ADB的度数．【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于圆O∴的度数等于360°÷6＝60°∴∠ADB＝30°故选：C．【点评】理解正多边的定义；掌握圆周角定理及其推论．10．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】先求出∠BOE＝120°，根据点C、D是的三等分点求出的度数是80°，再求出答案即可．【解答】解：∵∠AOE＝60°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，∴的度数是120°，∵点C、D是的三等分点，∴的度数是×120°＝80°，∴∠BOD＝80°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，题目比较典型，难度不是很大．11．下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．故选：A．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识，解题的关键是理解基本概念，属于中考常考题型．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28°B．64°C．56°D．124°【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB ＝∠B＝64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝62°，∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴的度数为56°．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC的度数是（）A．140°B．40°C．70°D．50°【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB＝20°，∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：连接AC，∵点C为劣弧BD的中点，∠DAB＝40°，∴∠CAB＝∠DAB＝20°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．14．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（）A．54°B．55°C．56°D．57°【分析】连接O1P，O2P，如图，先根据O1P＝O1O2得到∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，然后根据三角形内角和求出∠PO1O2即可．【解答】解：连接O1P，O2P，如图，∵P在小量角器上对应的刻度为63°，即∠O1O2P＝63°，而O1P＝O1O2，∴∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，∴∠PO1O2＝180°﹣63°﹣63°＝54°，即点P在大量角器上对应的刻度为54°（只考虑小于90°的角）．故选：A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．15．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为（）A．6πB．4πC．3πD．4π【分析】连接AB，AO，DO，根据⊙O的弦AC＝BD求出＝，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC＝（180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ABD＝90°，解直角三角形求出AO，再求出答案即可．【解答】解：连接AB，AO，DO，∵⊙O的弦AC＝BD，∴＝，∴＝，∴∠BAC＝∠ABD，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABD＝∠BAC＝（180°﹣∠AEB）＝45°，∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，即△AOD是等腰直角三角形，∵AD＝3，AO2+OD2＝AD2，∴AO＝3，∴⊙O的周长是2×π×3＝6π，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．16．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【分析】根据题意画出符合已知条件的图形，再逐个判断即可．【解答】解：A．如图，弦AB＝弦AB，但是所对的两段弧不相等，故本选项不符合题意；B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意；C．如图，∠AOB＝∠COD，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项不符合题意；D．如图，弦AB＝弦AB，但是圆心角∠ADB和∠ACB不相等，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，如果其中有一对量相等，那么其余两对量也分别相等．17．如图，AB为半圆⊙O的直径，AB＝10，AC为⊙O的弦，AC＝8，D为的中点，DM ⊥AC于M，则DM的长为（）A．B．C．1D．【分析】如图，连接OD交AC于H，连接BC．利用勾股定理求出BC，再利用相似三角形的性质求出OH，AH，DH，证明△DMH∽△AOH，构建关系式即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD交AC于H，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝6，∵＝，∴OD⊥AB，∵∠OAH＝∠CAB，∠AOH＝∠ACB＝90°，∴△AOH∽△ACB，∴＝＝∴＝＝∴OH＝，AH＝，∵DH＝OD﹣OH＝5﹣＝，∵DM⊥AC，∵∠DMH＝∠AOH＝90°，∠DHM＝∠AHO，∴△DMH∽△AOH，∴＝，∴＝，∴DM＝1，故选：C．【点评】本题考查勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（）A．90°B．60°C．30°D．15°【分析】由题意可得△OAB为等边三角形，从而可求得弦AB所对的圆心角的度数．【解答】解：∵在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，∴OA＝OB＝AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴弦AB所对的圆心角的度数为60°．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．二．填空题（共15小题）19．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为y＝．【分析】连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠D，∠PBD ＝90°，求得∠P AC＝∠PBD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，∵P A⊥BC，∴∠P AC＝90°，∴∠P AC＝∠PBD，∴△P AC∽△PBD，∴＝，∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，∴＝，∴xy＝30，∴y＝，故答案为：y＝．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．20．如图，在⊙O中，＝，若∠AOB＝40°，则∠COD＝40°．【分析】先根据在⊙O中，＝，可得出＝，再由∠AOB＝40°即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，＝，∴＝，∵∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．21．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为60°．【分析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB所对的圆心角．【解答】解：如图，∵AB＝OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定和性质．22．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于2．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．23．如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是＜S≤．【分析】根据题意首先得出△AOC的面积，进而得出四边形最小值，要使四边形AODC 面积最大，则要使△COD面积最大．以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE 最长，进而得出答案．【解答】解：如图，过点C作CF垂直AO于点F，过点D作DE垂直CO于点E，∵CO＝AO＝1，∠COA＝45°，∴CF＝FO＝，∴S△AOC＝×1×＝，则面积最小的四边形面积为D无限接近点C，所以最小面积无限接近但是不能取到，∵△AOC面积确定，∴要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长．当∠COD＝90°时DE最长为半径，S四边形AODC＝S△AOC+S△COE＝+×1×1＝．∴＜S≤，故答案为：＜S≤．【点评】此题主要考查了圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，正确得出四边形的最大值是解题关键．24．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为52°．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠OBC，求出∠C，再根据圆周角定理求出∠AOB＝2∠C，再求出答案即可．【解答】解：∵∠OBC＝26°，OB＝OC，∴∠C＝∠OBC＝26°，∴∠AOB＝2∠C＝52°，故答案为：52°．【点评】本题考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，注意：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．25．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是8．【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．【解答】解：连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中，，∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝8，故答案为8．【点评】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．26．如图，AB是⊙O的弦，若∠AOB＝110°，则∠A的大小为35（度）．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵∠AOB＝110°，∴∠A＝＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于40度．【分析】由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．【解答】解：△OAB中，OA＝OB，∴∠BOA＝180°﹣2∠A＝80°；∵点C是弧AB的中点，即＝，∴∠BOC＝∠BOA＝40°．故答案为：40．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．28．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为64度．【分析】根据对顶角相等求出∠AOC＝32°，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠AOC ＝∠AOE，求出∠AOE的度数，再求出答案即可．【解答】解：∵∠BOD＝32°，∴∠AOC＝∠BOD＝32°，∵＝，∴∠AOE＝∠AOC＝32°，∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝32°+32°＝64°，故答案为：64．【点评】本题考查了对顶角相等和圆心角、弧、弦之间的关系，能根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠AOC＝∠AOE是解此题的关键．29．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为．【分析】根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，进而利用直角三角形的边角关系求解即可．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，则AE＝BE＝AB＝，CF＝DF＝CD＝，在Rt△AOE中，∵OA＝2，AE＝，∴OE＝＝1，∵AB＝CD，∴OE＝OF＝1，又∵OM＝OM，∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），∴∠OME＝∠OMF＝∠AMC＝60°，∴OM＝＝，故答案为：．【点评】本题考查圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系，勾股定理，全等三角形以及直角三角形的边角关系，掌握圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求是解决问题的关键．30．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝4﹣4．【分析】连接OC，作EF⊥OC于F，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝30°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ECF＝45°，根据正切的定义列式计算，得到答案．【解答】解：连接OC，作EF⊥OC于F，∵点A关于直线CD的对称点为E，点E落在半径OA上，∴CE＝CA，∵＝，∴∠AOC＝∠AOB＝30°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝75°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠CEA＝75°，∴∠CAE＝30°，∴∠ECF＝45°，设EF＝x，则FC＝x，在Rt△EOF中，tan∠EOF＝，∴OF＝＝x，由题意得，OF+FC＝OC，即x+x＝4，解得，x＝2﹣2，∵∠EOF＝30°，∴OE＝2EF＝4﹣4，故答案为：4﹣4．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、解直角三角形的应用、三角形内角和定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．31．在半径为6的⊙O中，长为6的弦所对的圆心角是60°．【分析】根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，得到答案．【解答】解：∵OA＝OB＝AB＝6，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、等边三角形的判定和性质，掌握圆周角的定义、等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．32．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC＝BD（填“＞”“＜”或“＝”）．【分析】根据同圆与等圆中，圆心角、弦、弧的关系得出＝即可．【解答】解：∵＝，∴+＝+，即＝，∴AC＝BD，故答案为：＝．【点评】本题考查圆心角、弦、弧的关系，掌握在同圆与等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么其余两组量也对应相等是正确解答的前提．33．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是80度．【分析】利用题目中所给的圆心角的度数之比去乘360°，从而可求得圆心角的度数．【解答】解：∵周角的度数是360°，∴这三个扇形中圆心角最小的度数是，故答案为：80．【点评】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．三．解答题（共5小题）34．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．【分析】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB ＝90°，又知CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC；（2）在直角三角形ACB中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得CE的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．又∵C是的中点，∴＝，∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：∵＝，∴BC＝CD＝6，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，∴CE＝＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用．35．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AD，通过证得△CAD≌△BAD（SAS），得出∠ACD＝∠ABD，进而根据ASA证得△CED≌△BFD（ASA），即可证得结论；（2）根据圆内接四边形的性质证得∠ABD＝90°，从而证得AD是直径，根据勾股定理求得ED，进而求得AB，然后根据勾股定理求得AD，从而求得半径．【解答】（1）证明：连接AD，∵点D是的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝BD，在△CAD和△BAD中，，∴△CAD≌△BAD（SAS），∴∠ACD＝∠ABD，∴∠DCE＝∠DBF，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DF＝DE；（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠DBF＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠ABD＝90°，∴∠ECD＝∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∵CD＝BD＝6，CE＝8，∴DE＝＝10，∴EB＝10+6＝16，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，∴AB＝12，在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，∴AD＝＝6，∴⊙O的半径为3．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理的应用以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握和灵活应用性质定理是解题的关键．36．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到＝，结合图形得到＝，进而得到∠C＝∠B，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【解答】证明：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴∠C＝∠B，∴CE＝BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．37．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．【分析】（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．【解答】解：（1）如图，连接AD．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，∴∠ACD＝70°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．又∵AD＝AE，∴．（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5．又∵•AF•BC＝•AC•AB，∴，∴．∵AC＝AD，AF⊥CD，∴．【点评】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．38．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．【分析】根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB＝AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得．【解答】证明：∵＝，∴AB＝AC∴△ABC是等腰三角形∵∠ACB＝60°∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及等边三角形的判定，正确理解圆心角、弧、弦的关系是关键．。
弧弦圆心角练习题
弧、弦、圆心角的关系同步练习一、填空题:1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是»AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是________.DCBAO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.3.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.BAA(4) (5) (6)5.如图5,AB是⊙O的直径,»»BC BD,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.二、选择题:7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( )A.50°B.100°C.130°D.200°D DCBA(7) (8) (9) (10)8.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对9.如图9,D 是»AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°1．同圆中两弦长分别为x 1和x 2它们所对的圆心角相等，那么（ ）A ．x 1 ＞x 2B ．x 1 ＜x 2 C. x 1 ＝x 2 D ．不能确定2．下列说法正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在⊙O 中同弦所对的圆周角（ ）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．以上都不对4．如图所示，如果的⊙O 半径为2弦AB= AB 的距离OE 为（ ）A． 1 B ． C ．12D 5．如图所示，⊙O 的半径为5，弧AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 的长为（ ） A．3B ．2C ．8 D ． 6．如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O 中，P 是弧AD 上任意一点，则∠ABP+∠DCP 等于（ ） A ．90° B 。
圆心角与弧弦的关系专项练习60题(有答案)ok
圆心角与弧弦的关系专项练习60题（有答案）1．如图，在⊙O中，弦AB、CD于点E，且．求证：AE=DE．2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且=．（1）求证：AC∥OD．（2）若∠AOD=110°，求的度数．3．如图，在⊙O中，AB=CD，求证：AC∥DB．4．如图，在⊙O中，，试比较AB与CD的长度，并证明你的结论．5．已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD．求证：∠OBA=∠ODC．6．如图，在⊙O中，与相等，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，且OD=OE，那么△ABC是什么三角形，为什么？7．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．求证：BE=DE．8．如图，已知在⊙O中，∠ABD=∠CDB．（1）求证：AB=CD；（2）顺次连接ACBD四点，猜想得到的四边形是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．9．如图，在⊙O中，AD=BC．（1）比较与的长度，并证明你的结论；（2）求证：DE=BE．10．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB与OC、OD分别相交于E、F，AE=BF，说明AC=BD的理由．11．已知：⊙O中，OB、OC是半径，DF⊥OC于F，AE⊥OB于E，若AB=CD，求证：AE=DF．12．如图，⊙O中，弦AB=CD．求证：∠AOC=∠BOD．13．如图四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若再增加一个条件，就可使四边形ABCD成为等腰梯形，你所增加的条件是（只写出一个条件，图中不再增加其他的字母和线段．（给出证明）14．如图，D、E分别为⊙O半径OA、OB的中点，C是的中点，CD与CE相等吗？为什么？15．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD、BC于F、G，延长BA交圆于E．求证：=．16．如图，C是的中点，D、E分别是半径OA、OB上的点，且AD=BE．求证：∠CDO=∠CEO．17．如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．（1）求证：PA•PB=PC•PD；（2）若AB=8，CD=6，求OP的长．18．如图，M为⊙O上一点，弧MA=弧MB，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD=ME．19．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．探索∠ACB与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．20．如图，C是劣弧AB的中点，过点C分别作CD⊥OA，CE⊥OB，D、E分别是垂足，试判断CD、CE的大小关系，并证明你的结论．21．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD是∠ACB的平分线，过A，C，D三点的圆与斜边BC交于点E，连接DE．（1）求证：AC=EC；（2）若AC=，△ACD外接圆的半径为1，求△ABC的面积．22．如图，已知∠APC=30°，的度数为30°，求和∠AEC的度数．23．如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．24．如图所示，M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点，AB=CD．求证：∠AMN=∠CNM．25．如图，⊙O中，C为的中点，CD⊥OA，CE⊥OB，求证：AD=BE．26．AB、CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB=CD．则以下结论中：①AE=EC、②AD=BC、③BE=EC、④AD∥BC，正确的有_________．试证明你的结论．27．如图，，C、D分别是半径OA、OB的中点，连接PC、PD交弦AB于E、F两点．求证：（1）PC=PD；（2）PE=PF．28．已知：如图，在⊙O中，弦AD=BC．求证：AB=CD．29．如图，D、E分别是⊙O的半径OA、OB的中点，点C是的中点．求证：CD=CE．30．如图，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点M，N．且AB=CD，求证：∠AMN=∠CNM．31．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：BD=DE．32．已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1=∠2，AC=3cm．（1）求证：=；（2）求BD的长．33．如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧BD的中点，AC交BD于点E，AE=2，EC=1．（1）求证：△DEC∽△ADC；（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．34．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AD∥OC．求证：．35．如图，⊙O中，=，∠C=75°，求∠A的度数．36．如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，，求证：AB=CD．37．⊙O的一条弦AB分圆周长为3：7两部分，若圆的半径为4cm，试求：（1）优弧的长；（2）弦所对的圆周角的度数．38．如图⊙O中，AB、CD是两条直径，弦CE∥AB，弧EC的度数是40°，求∠BOD的度数．39．已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC=BD．求证：AB=CD．40．已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由．41．如图，半径为2的半圆O中有两条相等的弦AC与BD相交于点P．（1）求证：PO⊥AB；（2）若BC=1，求PO的长．42．如图所示，在⊙O中，AB与CD是相交的两弦，且AB=CD，求证：．43．如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：．44．如图在⊙O中，AC=BC，OD=OE，求证：∠ACD=∠BCE．45．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上的一点，的度数为40°，过点O作OC∥BE交⊙O于点C，求∠BCO 的度数．46．如图，A、B、C都是⊙O上的点，，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：OD=OE．47．如图，在⊙O是中A、B、C、D在圆上，AD=BC．求证：BD=AC．48．如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．49．如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是弧BF的中点，AD⊥BC于点D，求证：AD=BF．50．如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠CAB=∠CBA，∠COB与∠COA相等吗？为什么？51．如图所示，⊙O中弦AB=CD，求证：．52．已知：如图，⊙O中弦AB=CD．求证：．53．如图所示，已知在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，证明：AC=BC．54．已知图所示，AB是半圆O的直径，，AB=4cm，求四边形ABCD的面积．55．如图所示，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E，判断，，之间的大小关系，并说明理由．56．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数．57．已知如图所示，P为直径AB上一点，EF，CD为过点P的两条弦，且∠DPB=∠EPB；（1）求证：；（2）求证：CE=DF．58．如图，在⊙O中弦AB⊥CD于点E，过E作AC的垂线交BD于点Q，P为垂足，求证Q为BD的中点．59．如图所示，⊙O在△ABC三边截得的弦长相等，∠A=70°，求∠BOC．60．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB的延长线交于点P，且DP=OB，若∠P=29°，求弧AC的度数．参考答案：1．方法一：连接AD，∵=∴AC=BD，∴∠BAD=∠CDA，∴AE=BE．方法二：∵=，∴﹣=﹣，=，∴AC=BD在△ACE与△DBE中，∵，∴△ACE≌△DBE（ASA），∴AE=DE．2．（1）证明：如图，连接AD．∵=，∴=2∴∠CAB=2∠DAB．又∵∠DOB=2∠DAB，∴∠CAB=∠DOB，∴AC∥OD；（2）解：如图，连接OC．∵∠AOD=110°，∴∠DOB=70°．又∵=，∴∠COD=∠DOB=70°，∴∠AOC=∠AOD﹣∠COD=110°﹣70°=40°，∴=40°．3．∵在⊙O中，AB=CD，∴=，∴﹣=﹣，即=，∴∠ACD=∠BDC，∴AC∥DB（内错角相等，两直线平行）．4．AB=CD．理由如下：∵，∴+=+，即=，∴AB=CD．5．过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．∵AB=CD，∴OE=OF．又∵BO=DO，∴Rt△BOE≌Rt△DOF（HL），∴∠OBA=∠ODC．6．△ABC为等边三角形．理由如下：连OC，∵=，∴AB=BC，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°∵在Rt△ODC和Rt△OEC中，，∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL）∴CD=CE，∴BC=AC，∴AB=AC=CB，∴△ABC为等边三角形．7．先连接BC、AD，∵AB=CD，∴=，∵=，∴BC=AD，在△BEC与△DEA中，∵，∴△BEC≌△DEA（ASA），∴BE=DE．8．（1）证明：∵∠ABD=∠CDB，∴弧AD=弧BC，∴弧AD+弧AC=弧BC+弧AC，∴弧AB=弧CD，∴AB=CD；（2）四边形ACBD是等腰梯形．理由如下：如图，连AC，CB，AD，∵弧AD=弧BC，∴AD=CB，∠1=∠2，∴AC∥BD，且AC≠BD，∴四边形ACBD是等腰梯形．9．（1）∵AD=BC，∴=，∴=；（2）∵=，∴AB=CD，在△ADE与△CBE中，∵∠DAB=∠BCD，AD=BC，∠ADC=∠ABC，∴△ADE≌△CBE，∴DE=BE，∵AB=CD，∴DE=BE10．∵OA=OB（同圆的半径相等），∴∠A=∠B（等角对等边）．在△AOE和△BOF 中，，∴△AOE≌△BOF（SAS）…（1分）∴∠AOC=∠BOD（全等三角形对应角相等）．∴AC=BD（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）．11．连接OA、OD，∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∵AE⊥OB，DF⊥OC，∴∠OEA=∠OFD=90°，又∵OA=OD，∴△AOE≌△DOF，∴AE=DF．12．∵弦AB=CD（已知），∴=；∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB﹣∠BOC=∠COD﹣∠BOC，即∠AOC=∠BOD．13．添加的条件为=；证明：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠A+∠C=180°；∵=，∴=；∴∠A=∠B；∴∠B+∠C=180°；∴AB∥CD；∵，∴AD=BC；又∵AB＞CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．14．CD=CE，理由如下：（1分）连接OC，∵D、E分别为⊙O半径OA、OB的中点，∴OD=，，∵OA=OB，∴OD=OE，（2分）∵C 是的中点，∴，∴∠AOC=∠BOC，（4分）∴△DCO≌△ECO，（5分）∴CD=CE．（6分）故答案为：CD=CE．15．连接AG．∵A为圆心，∴AB=AG，∴∠ABG=∠AGB，（2分）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠AGB=∠DAG，∠EAD=∠ABG，（4分）∴∠DAG=∠EAD，（5分）∴=．（6分）16．连接OC，∵OA=OB，又∵AD=BE，∴OD=OE，又∵∠AOC=∠BOC，∴OC=OC，∴△DOC≌△EOC（AAS）．∴∠CDO=∠CEO．17．（1）连接AD，BC，∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A=∠C，∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴，∴PA•PB=PC•PD；（2）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，由垂径定理得：OM2=（2）2﹣42=4，ON2=（2）2﹣32=11，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∴OP=．18．连接MO（1分）∵∴∠MOD=∠MOE（4分）又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E∴MD=ME（7分）19．∠ACB=2∠BAC．证明：∵∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；又∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC．20．CD=CE…（1分）理由：连接CO．∵C是弧AB 的中点，∴=，∴∠COD=∠COE…（2分），∵CD⊥AO、CE⊥BO，∴∠CDO=∠CEO=90°…（3分），又∵CO=CO…（4分），∴△COD≌△COE…（5分），∴CD=CE…（6分）．21．（1）证明：∵∠BAC=90°，∴∠DEC=∠BAC=90°，又∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠ECD．∴∠ADC=∠EDC．∴．∴AC=EC．（2）解：∵∠BAC=90°，CD=2，AC=，∴AD=1．∴∠ACD=∠ECD=30°，∴∠ACB=60°．在Rt△ABC中，AB=AC•tan60°=3，又∵AC=，∴S△ABC =×3×=22．连接AC，∵=30°，∴∠1=∠2==15°，∵∠APC=30°，∠ADC是△APD的外角，∴∠ADC=∠1+∠APC=15°+30°=45°，∴=2ADC=90°；∵∠AEC是△CDE的外角，∴∠AEC=∠ADC+∠2=45°+15°=60°．故答案为：90°，60°．23．：∵AD=BC，∴弧AD=弧BC，∴弧AD+弧BD=弧BC+弧BD，即弧AB=弧CD．∴AB=CD24．连接OM、ON，∵O为圆心，M、N分别为弦AB、CD的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD．∵AB=CD，∴OM=ON．∴∠OMN=∠ONM．∵∠AMN=90°﹣∠OMN，∵∠CNM=90°﹣∠ONM，∴∠AMN=∠CNM．25．∵点C是的中点，∴∠AOC=∠BOC；∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠ODC=∠OEC，又∵OC=OC，∴△COD≌△COE（AAS）．∴OD=OE，∵OA=OB，∴AD=BE．26．③BE=EC、④AD∥BC；∵AB=CD，∴弧AB=弧CD．∴弧AB﹣弧AD=弧CD﹣弧AD．即弧AC=弧BD．∴∠B=∠C．∴BE=EC．故③正确．由弧AC=弧BD得∠A=∠B，∴AD∥BC．故④正确．27．（1）连接PO，∵，∴∠POC=∠POD．∵C、D分别是半径OA、OB的中点，∴OC=OD．∵PO=PO，∴△PCO≌△PDO．∴PC=PD．（2）∵△PCO≌△PDO，∴∠PCO=∠PDO．∵OA=OB，∴∠A=∠B．∴∠AEC=∠BFD．∴∠PEF=∠PFE．∴PE=PF．28．∵AD=BC，∴．∴．∴．∴AB=CD．29．∵点C 是的中点，∴∠AOC=∠BOC；∵D、E分别是⊙O的半径OA、OB的中点，∴OD=OE=OA；又∵OC=OC，∴△COD≌△COE（SAS）．∴CD=CE．30．连OM，ON，如图，∵M，N分别为AB，CD的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠AMO=∠CNO=90°，∵AB=CD，∴OM=ON，∴∠OMN=∠ONM，∴∠AMN=∠CNM．31．连接OE，如图，∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，∵AE∥CD，∴∠BOD=∠A，∠DOE=∠OEA，∴∠BOD=∠DOE，∴BD=DE．32．（1）证明：∵∠1=∠2，∴=，∴+=+，∴=；（2）解：∵=，∴AC=BD，而AC=3cm，∴BD=3cm．33．（1）∵C为劣弧BD的中点，∴=，∴∠DAC=∠BAC，又∠DAC和∠BDC 对的弧都为，∴∠DAC=∠BDC．∴∠BAC=∠BDC，又∠DCA=∠DCA，∴△DEC∽△ADC．（2）由（1）知，△DEC∽△ADC，∴EC：DC=DC：AC．∴DC2=3，DC==BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°．在Rt△BCE中，CE=1，BC=，∴BE=2，∴∠CBE=30°，∴∠BAC=∠DAC=30°．∴劣弧BD的度数为2×2×30°=120°，劣弧AD的度数为60°．即∠DCA=30°=∠CAB．∴CD∥AB，且CD≠AB．∴四边形ABCD是上底为DC，下底为AB，高为直角三角形斜边AB边上的高的梯形．∵AC=AE+EC=3，BC=，根据勾股定理得AB=2，则∠CAB=30°，∴直角三角形斜边AB 边上的高为，∴S梯形ABCD ==．34．连接AC、OD．∵AD∥OC（已知），∴∠DAB=∠COB（两直线平行，同位角相等）；又∵∠CAB=∠COB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DAB=∠CAB（等量代换），∵∠DAC=∠CAB，∠DAC=∠DOC（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DOC=∠COB（等量代换）∴．35．∵⊙O 中，=，∠C=75°，∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°﹣75°×2=30°36．∵，∴，即：，∴AB=CD．37．（1）弦AB分圆周长为3：7两部分，则分圆心角也为3：7两部分．故优弧的圆心角为360×∴优弧AB==cm；（3分）（2）弦AB所对圆周角也被分成了3：7两部分．弦AB所对圆周角的度数为180°．故分别为54°或126°．38．连接DE，∵DC是圆的直径，∴∠DEC=90°．∵弧EC的度数是40°，∴∠EDC=40°．∴∠ECD=50°．∵CE∥AB，∴∠AOD=∠ECD=50°．∴∠BOD=130°39．∵AC=BD，∴．∴．∴AB=CD．40．AOBC是菱形．证明：连OC∵C 是的中点∴∠AOC=∠BOC=×120°=60°∵CO=BO（⊙O的半径），∴△OBC是等边三角形∴OB=BC同理△OCA是等边三角形∴OA=AC又∵OA=OB∴OA=AC=BC=BO∴AOBC是菱形．41．（1）证明：连接AD．∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．∵AC=BD，AB=BA，∴△ABC≌△ABD．∴∠BAC=∠ABD，从而PA=PB．∵O是AB中点，∴PO⊥AB；（4分）（2）解：∵∠AOP=∠ACB=90°，∠OAP=∠CAB，∴△AOP∽△ACB．∴．∵AB=4，BC=1，∴AC==．∴OP==．42．在⊙O中，∵AB=CD，∴．∴．∴．43．连接AF，∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF=∠AFB，∠GAE=∠ABF．∴∠GAE=∠EAF．∴．44．连接OC，∵AC=BC，∴∠AOC=∠BOC，∵在△AOC和△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴∠A=∠B，∵OD=OE，∴AD=BE，∵在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ACD=∠BCE．45．连接OE，∵的度数为40°，∴∠BOE=40°，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB=（180°﹣40°）÷2=70°，∵OC∥BE，∴∠C=∠1，∵CO=BO，∴∠2=∠C，∴∠1=∠2，∴∠BCO=∠1=∠OBE=35°46．∵，∴∠AOC=∠BOC，又∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=90°，在△ODC和△OEC中，，∴△ODC≌△OEC（AAS），∴OD=OE．47．∵AD=BC，∴=，∴+=+，∴=，∴BD=AC．48．连接OE，∵AB⊥OC，DE∥AB，∴DE⊥OC，∴∠EDO=90°，∵D为OC中点，∴OD=OC=OE，∴∠DEO=30°，∴∠EOC=90°﹣30°=60°，∵OC⊥AB，∴∠AOC=90°，∴∠AOE=90°﹣60°=30°，即∠AOE=30°，∠COE=60°，∴=2（圆心角的度数等于它所对的弧的度数）．49．连接OA，交BF于点E，∵A是弧BF的中点，O为圆心，∴OA⊥BF，∴BE=BF，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADO=∠BEO=90°，在△OAD与△OBE 中，，∴△OAD≌△OBE（AAS），∴AD=BE，∴AD=BF．50．∠COB=∠COA，理由是：∵∠CAB=∠CBA，∴AC=BC，∴弧AC=弧BC，∴∠COB=∠COA．51．连接AD，BD，CB，∵AB=CD，∴=，∴=，∴AD=BC．52．∵AB=CD，∴，∴﹣=﹣，∴．53．∵OC⊥AB，∴（垂径定理）．∴AC=BC（同圆中相等的弧所对的弦相等）54.∵，∴都为60°．连接DO，CO，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．∴△AOD≌△DOC≌△COB．∴S△AOD =AO•ODsin60°=×22=．∴四边形ABCD面积为3．55．相等．如右图所示，连接OD，OE，∵OB=OD=OE=OC，∠B=∠C=60°∴△BOD与△COE都是等边三角形∴∠BOD=∠COE=60°∠DOE=180°﹣∠BOD﹣∠COE=60°∴∠DOE=∠BOD=∠COE∴56．解法一：（用垂径定理求）如图，过点C作CE⊥AB于点E ，交于点F，∴，又∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠FCA=25°，∴的度数为25°，∴的度数为50°；解法二：（用圆周角求）如图，延长AC交⊙C于点E，连接ED，∵AE是直径，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠E=∠B=25°，∴的度数为50°；解法三：（用圆心角求）如图，连接CD，∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠A=65°，∵CA=CD，∴∠ADC=∠A=65°，∴∠ACD=50°，∴的度数为50°．圆心角与弧弦的关系--21 57．（1）作ON ⊥EF ，OM ⊥CD ，∵∠DPB=∠EPB ；∴ON=OM ，∴CD=EF ， ∴=，﹣=﹣， 即．；； （2）证明：∵∴CE=DF ．58．∵AB ⊥CD 于点E ，过E 作AC 的垂线交BD 于点Q ，∴三角形ACE 、三角形PCE 、三角形APE 、三角形BED 都是直角三角形．∴∠DEQ=∠CEP （对顶角相等）．∠CEP=∠A （同角的余角相等）．又∵∠A=∠D （同弧所对的圆周角相等），∴∠DEQ=∠D ，∴EQ=QD （等角对等边）． 又∵∠QEB=∠B （等角的余角相等），∴EQ=QB ．∴EQ=QD=QB ，即Q 为BD 的中点．59．过O 作OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，OP ⊥BC ，垂足分别为M ，N ，P ，∵DE=FG=HI∴OM=OP=ON∴O 是∠B ，∠C 平分线的交点∵∠A=70°，∴∠B+∠C=180°﹣∠A=110°，又∵O 是∠B ，∠C 平分线的交点，∴∠BOC=180°﹣（∠B+∠C ）=180°﹣×110°=125°60．作直径DE ．∵OB=OD ，OB=PD ，∴DO=DP ，∵∠P=29°，∴∠DOP=∠DOP=29°=∠AOE ，∴弧AE 的度数是29°，∠CDE=∠P+∠DOP=58°， ∴弧CAE 的度数是2×58°=116°，∴弧AC 的度数是116°﹣29°=87°．。
九上 圆心角 知识点+例题+练习 5种题型 (分类全面)
知识点、圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
题型1：圆心角性质和推论例1、如图，在△ABC中，∠A=70°，☉O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为题型2：圆心角性质和推论与综合证明例1、如图，点O在∠MPN 的平分线上，☉O 分别交P N、PM 于点A、B 和点C、D．求证：∠PCO=∠NAO．E D C B A O 题型 1：圆周角性质的综合应用例 1、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点 C 在半圆上， 点 A 、B 的读数分别为 100°、150°，则∠ACB 的大小为 度．例 2 、如图，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3 度的速度旋转，CP 与量角器 的半圆弧交于点 E ，第 24 秒，点 E 在量角器上对应的读数是 °．例3.如图,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.例4、如图，AD 是∆ABC 的高，AE 是∆ABC 的外接圆的直径．试说明弧BE=弧CFDF例5、已知：如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上的一点，⊙P 与OA 相交于E ，F 点，与OB 相交于G ，H 点，试确定线段EF 与GH 之间的大小关系，并证明你的结论．例6、已知：⊙O 的半径OA =1，弦AB 、AC 的长分别为2，3，求∠BAC 的度数．例7、已知：如图，为的直径，交于点，交于点．（1）求的度数；（2）求证：．AB O ⊙AB AC BC =，O ⊙D AC O ⊙45E BAC ∠=，°EBC ∠BD CD =，BF与AD 例8、已知：如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BA AF 交于E，•求证：AE=BE．例9．已知：如图，∠AOB=90°，C、D是AB的三等分点，AB分别交OC、•OD•于点E、F．求证：AE=BF=CD．题型2：圆中截长补短证线段间数量关系例 1、如图，△ABC 是等边三角形，D 是 B C 上任一点，请判断 BD、CD 和DA 间的关系．题型5：90O的圆周角所对的弦是直径应用例1、下列格点图中都给出了圆，只用直尺就能确定圆心的是( )A B C D例 2 、如图，A、B、E、C 四点都在圆O上，AD 是△ABC 的高，∠EAB＝∠DAC，问：AE 是⊙O 的直径吗？为什么？。
弧弦圆心角练习题
弧弦圆心角练习题弧弦圆心角是几何学中一个重要的概念。
在解决与圆相关问题时，我们经常需要计算出弧上的角度。
为了帮助大家更好地理解和应用弧弦圆心角，本文将提供一些练习题，并附上详细解答。
练习题一：在一个半径为8厘米的圆中，弧AB的长度是4.5厘米。
请计算弧AB对应的圆心角的大小。
解答一：首先根据弧长与圆的关系，计算出圆周的长度：圆周长= 2πr = 2 × 3.14 × 8 ≈ 50.24厘米然后根据弧长与圆周的比例，求得弧AB对应的圆心角的大小：设弧AB对应的圆心角为x度，那么有：4.5 / 50.24 = x / 360通过解方程，可以求得x ≈ 40.50度所以，弧AB对应的圆心角的大小约为40.50度。
练习题二：在一个半径为10厘米的圆中，弦CD的长度为12厘米。
请计算圆心角ACD的大小。
解答二：首先根据弦长与圆的关系，计算出弦CD所对应的弧的长度：弧CD = 2 × 10 × sin(ACD / 2)根据正弦定理，我们可以得到：sin(ACD / 2) = (CD / 2) / 10 = 6 / 10 = 0.6通过查表或计算器，可以得知ACD / 2的正弦值为0.6对应的角度为36.87度。
然后将角度乘以2，得到圆心角ACD的大小：ACD ≈ 36.87 × 2 ≈ 73.74度所以，圆心角ACD的大小约为73.74度。
练习题三：在一个半径为5厘米的圆中，圆心角为60度。
请计算相应弧的长度。
解答三：首先根据圆心角的定义，我们知道该角所对应的弧的长度等于圆周长乘以圆心角的比例：弧长 = 圆周长 × (圆心角 / 360)根据公式可以计算出所求的弧长：弧长= 2πr × (60 / 360) = 2 × 3.14 × 5 × (60 / 360) ≈ 5.24厘米所以，相应的弧长约为5.24厘米。
圆心角练习题6套
1•在同一个圆中，同弧所对的圖周角和圖心角的关糸是 _______________________ •2 •如图1.直径A3垂直于孩CD,垂足为E , ZAOC = 130 , 則砥AD 的度欽为 ____________________________ACAD 的度数为 ___________ > ZACD 的度数为 _____________ •3 •妇图2, CD 是半圜的直徑.O 为圖心.£是半圓上一点，且ZEOD = 93、, A 是DC 矢长线上一点. AE 与半圆相交于 &B ,如果 AB = OC, fi-J ZEAD= ___________________________________________ , ZEOE= ________________________ , ZODE = _______________ •4. 如图3,弧ACB 与砥ADB 的皮救比是5:4, flj ZAOB = __________________________ > ZACB = _________________ ,ZADB= __________________ , ZCAD+ZCBD = ._5. 如图AB = AC f ^E , F 分别疫弧 AC 和弧 BC 上，若 ZA3C = 50 ,则 ZBEC = > ZBFC= ^6 •如图 5,已知:圓 O 是△ABC 的外接 Sb ZBAC = 50 , ZABC = 4T , flj ZAOB= ____________________________________ 1. 下刃说确中的是( )A .顶点疫圖周上的角称为圆周角：B.相*的谢周角所对的砥相等C.若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这一边.必为此三角形外接圖的直徑Q ・圓周角寻于圖心角的一丰2. A 同圖中，同孩所对的而个圖周角() /!・和等 B •互补 C.相寻或互补 Z)・互余3. 心圖O 中，HAB 所对的劣砥为圖的丄，有以下结论：QMAB=60°,②ZAOB = 60 ,③△ABO 为6等边三角形> @)弦A3的长寻■于这个圖的丰後.其中正确的冇( 丿个A. 1 3.2 C. 3 Z). 4国3 图4 图54. q, B , C, D,依次是圖O上的B个点.紙AB = BC=CD・荒AB , CD的延长线交f P A,若ZABD = 60 ,则ZP 等于（丿人・40 〃• 10 C. 20 Z）• 305. 如图6, S］挂b边形ABCD的对角线AC, B£>把b边形的凹个角分成入个角.这八个角中和寻的角6. 如图7, AC是圖O的直径，AB , CD是圖O的両条弦，且AB〃CD •如果ABAC = 32，则ZAOD的度欽是（丿儿16° 3. 32° C. 48 /）• 64 7. 如图8, b边形ABCD^于圆0,若ZBOD = \00 , fl-J ZDAB的度欽（）川・50 B • 80 C. 100 /）. 1308 •如图9, D , EH以AB为瓦栓的半圖上，F , C疫A3上，CDEF为正方形，若正方形边长为1.AC = a f BC = b .则下列式子中，不正确的是（）人・a—b = 1 B・ab = 1 C. a+ b = y/5Z）. cr +b^ =51•如團，BC为團O的直役，AD丄BC 9 >足为£>> A是砥BF的中点，BF与AD交于E.（2）若A, F把丰圆三寻分，BC = 12, ^AE的长.2. 如图，S0是0O的直役，垂AD的三条弦BG BC &G杞圓周6寻分，分别求厶B\,上艮, 上鸟的度数；妇團.衣.OO 中.弦EF//直後AB,若紙AE 的度散为50° ,则砥EF 的皮数为,ZEOF= ° > ZEFO= ° o【棋拟战题】(篆题时网J 1・A 同圖戎等圓中，如果而个圆心角.而条瓠.所对应的其余各组量都分别扌目寻。
圆、垂直径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习题
CE DOF圆、垂直径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习题1、如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ） A 、CE=DE B 、BC BD = C 、∠BAC=∠BAD D 、AC >AD2、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A 、4 B 、6 C 、7 D 、83、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面到管道顶部距离为10cm ，则修理人员应准备_________cm 内径的管道（内径指内部直径）．4、如图，将半径为4cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ） A 、43cm B 、23cm C 、3cm D 、2cm5、如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ ） A 、AB ⊥CD B 、∠AOB=4∠ACD C 、AD BD = D 、PO=PD6、如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm.求：⊙O 的半径.7、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm ，水深GF=2cm.若水面上升2cm （EG=2cm ），则此时水面宽AB 为多少？8、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．9、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．10、有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=•60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．（当水面距拱顶3米以内时需要采取紧急措施）B AC E DO B A OM A BO BA CDP O BA CE DOE DC FO BA G1.下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等2.如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶43.半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF 等于( )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0 4.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.5.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.6. 如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____.7. 如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________． 8.如图，BD 是⊙O 的直径，圆周角∠A = 30︒，则∠CBD 的度数是（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．80︒9如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝30º，AD ＝CD ，则∠DAC 的度数是（ ） A ．30º B ．60º C ．45º D ．75º10．如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该 半圆的半径为（ ） A ．(45)+ cm B ．9 cm C ．45cm D ．62cm3.如图，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.4.如图所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD. 求证：OC=OD.5.如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.O B ACE D B A C E DO O 30︒D B C AO D CBA6．如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上。
人教版数学九年级上学期课时练习-弧、弦、圆心角(巩固篇)(人教版)
专题24.9 弧、弦、圆心角（巩固篇）（专项练习）一、单选题类型一、圆心角概念1．已知下列命题：①长度相等的两条弧所对的圆心角相等． ①直径是圆的最长的弦，也是圆的对称轴． ①平分弦的直径垂直于这条弦．①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等． 其中错误命题的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知①ABC 内接于①O ，若①AOB =120°，则①C 的度数是( ) A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°3．如图， AB 为①O 的直径，弦CD ①AB 于点E ，连接AC ，OC ，OD ，若①A ＝20°，则①COD 的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．80°D ．100°类型二、圆心角与它所对弧的度数4．如图，已知△ABC 是圆O 的内接三角形，AB ＝AC ，①ACB ＝65°，点C 是弧BD 的中点，连接CD ，则①ACD 的度数是（ ）A ．12°B ．15°C ．18°D ．20°5．如图，扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，半径6,OA C =是AB 的中点，//CD OA ，交AB 于点D ，则CD 的长为（ ）A．2B C．2D．66．如图，已知O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是AOB∠，COD∠∠，若AOB AB=，则弦CD的长为（）与COD∠互补，弦8A．6B．8C．D．5类型三、用弧、弦、圆心角关系求解⊥于点7．如图，在以AB为直径的①O中，点C为圆上的一点，2=，弦CD ABBC ACE，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则CBF∠的度数为（）A．18°B．21°C．22.5°D．30°8．如图，在①O中，AB是①O的直径，AB＝10，AC=CD=DB，点E是点D关于AB 的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①①BOE=30°；①①DOB=2①CED；①DM①CE；①CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，①O 的半径为9cm ，AB 是弦，OC ①AB 于点C ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，则AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明10．有一直径为AB 的圆，且圆上有C 、D 、E 、F 四点，其位置如图所示．若6AC =，8AD =，5AE =，9AF =，10AB =，则下列弧长关系何者正确？（ ）A ．AC AD AB +=，AE AF AB += B ．AC AD AB +=，AE AF AB +≠ C ．AC AD AB +≠，AE AF AB +=D ．AC AD AB +≠，AE AF AB +≠11．在锐角ABC 中，60ACB ∠=︒，①BAC 、①ABC 的角平分线AD 、BE 交于点M ，则下列结论中错误的是（ ）A ．120AMB ∠=︒ B ．ME MD =C ．AE BD AB += D ．点M 关于AC 的对称点一定在ABC 的外接圆上 12．如图，AB 、CD 分别是①O 的直径，连接BC 、BD ，如果弦DE AB ∥，且①CDE ＝62°，则下列结论错误的是（ ）A ．CB ①BD B ．①CBA ＝31°C ．AC AE =D ．BD ＝DE二、填空题类型一、圆心角概念13．在①O 中，AB 是直径，AB ＝2，C 是AB 上一点，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，M 是弦DE 的中点，则CM 的取值范围是__________________．14．把一个圆分成4个扇形，它们分别占整个圆的10%，20%，30%，40%，那么这四个扇形的圆心角分别是_______.15．已知点A 、B 、C 、D 在圆O 上，且FD 切圆O 于点D ，OE CD ⊥于点E ，对于下列说法：①圆上AbB 是优弧；①圆上AbD 是优弧；①线段AC 是弦；①CAD ∠和ADF ∠都是圆周角；①COA ∠是圆心角，其中正确的说法是________．类型二、圆心角与它所对弧的度数16．如图，在以AB 为直径的半圆中，AD =EB ，CD①AB ，EF①AB ，CD=CF=1，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是________．17．已知半径为2的①O 中，弦AC=2，弦AD ＝①AOD ＝________，①COD ＝_________．18．如图，AB 是O 的直径，弦,CD AB ⊥连接CO 并延长交O 于点,E 连接BD 交CE于点,F 若32,DBE ∠=︒则DFE ∠的度数是________________．类型三、用弧、弦、圆心角关系求解19．如图，点A 、B 、C 、D 均在O 上，若65AOD ∠=︒，AO DC ∥，则①B 的度数为______．20．如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是圆O 上的点，AC AE =，①B ＝116°，则①D 的度数为______度．21．如图，①O 的直径AB 过CD 的中点A ，若①C ＝30°，AB 、CD 交于点E ，连接AC 、BD ，则AEBE＝________________．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明22．如图，AB、CE是圆O的直径，且AB＝4，弧BD＝弧CD＝弧AC，点M是AB上一动点，下列结论：正确的数是___（写出所有正确结论的序号）①BOD；①①CED＝12①DM①CE；①CM+DM的最小值为4；①设OM为x，则S△OMC．23．在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧______;所对的弦__________, 所对弦的弦心距____________．24．如图，AB是①O的直径，CD是弦，若①ABC＝63°，则①D的度数是__．三、解答题25．如图是半径为2的圆，（1）在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圆心角为120度，扇形BOC的圆心角为90度，（2）求第三个扇形AOC的面积．26．如图，AB是①O的一条弦，OD①AB，垂足为C，交①O于点D，点E在①O上．（1）若①AOD=52°，求①DEB的度数；（2）若AB=24，CD=8，求①O的半径长．27．阅读与应用请阅读下列材料，完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．如图1，四边形ABCD内接于O．⋅+⋅=⋅．求证：AB DC AD BC AC BD∠=∠交BD于点E．证明：如图2，作BAE CAD①AD AD =，①ABE ACD ∠=∠．（依据） ①ABE ACD ∽△△．①AB BEAC CD=．AB DC AC BE ⋅=⋅． …①ABC AED ∽△△． ①AC BCAD ED=．①AD BC AC ED ⋅=⋅． ①AB DC AC BE ⋅=⋅，①()AB DC AD BC AC BE AC ED AC BE ED AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=+=⋅． ①AB DC AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅． 任务：(1)证明过程中的“依据”是______； (2)补全证明过程；(3)如图3，O 的内接五边形ABCDE 的边长都为2，求对角线BD 的长．28．如图，在①O 中，弦AB ，CD 互相垂直，垂足为M ，F 是BD 上的一点，且BF BC =，AF分别与CD，BD相交于点E，N，连接FD，MN．(1)求证：DE＝DF；(2)若①O的半径为8，①BAF＝22.5°，求线段MN的长．参考答案1．D【分析】根据圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理逐个判断即可．解：等弧所对的圆心角相等，但长度相等的两条弧不一定是等弧，则命题①错误直径是圆的最长的弦，但不是圆的对称轴，圆的对称轴是直径所在直线，则命题①错误平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题①错误在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，则命题①错误综上，错误命题的个数为4个故选：D．【点拨】本题考查了圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理，熟记各定理是解题关键．2．C【分析】根据圆周角定理可以得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，此时分两种情况进一步分析讨论即可.解：①当点C与线段AB位于圆心的两侧时，①C=12①AOB=60°；①当点C与线段AB位于同侧时，与上一种情况所得的度数互补；即此时的①C=120°．故选：C．【点拨】本题主要考查了圆周角定理的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.3．C【分析】利用圆周角与圆心角的关系得出①COB=40°，再根据垂径定理进一步可得出①DOB=①COB，最后即可得出答案.解：①①A=20°，①①COB=2①A=40°，①CD①AB，OC=OD，①①DOB=①COB=40°，①①COD=①DOB+①COB=80°.故选：C.【点拨】本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.4．B【分析】如图，连接AO，BO，CO，DO，由等腰三角形的性质可求①ABC＝①ACB＝65°，①BAC ＝50°，由圆周角定理可求①AOC＝2①ABC＝130°，①BOC＝2①BAC＝100°，可求①AOD＝30°，即可求解．解：如图，连接AO，BO，CO，DO，①AB＝AC，①ACB＝65°，①①ABC＝①ACB＝65°，①①BAC＝50°，①①AOC＝2①ABC＝130°，①BOC＝2①BAC＝100°，①点C是弧BD的中点，①BC CD，①①BOC＝①COD＝100°，①①AOD＝30°，①①AOD＝2①ACD，①①ACD＝15°，故选：B．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角、圆心角、弧的关系是解题的关键．5．D【分析】连接OC，延长CD交OB于点E，如图，易得①AOB、①COE、①BDE都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案．解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图，①90∠=︒，C是AB的中点，AOB①①COE=45°，①//∠=︒，AOBCD OA，90①CE①OB，①①OCE=①COE=45°，==6①BE=OB－OE=6-，①OA=OB，90AOB∠=︒，①①ABO=45°，①①BDE=①ABO=45°，①EB=ED=6--=．①CD=CE－DE=(66故选：D．【点拨】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键．6．A【分析】延长AO交①O于点E，连接BE，由①AOB+①BOE=①AOB+①COD知①BOE=①COD，据此可得BE=CD，在Rt①ABE中利用勾股定理求解可得．解：如图，延长AO交①O于点E，连接BE，则①AOB+①BOE=180°，又①①AOB+①COD=180°，①①BOE=①COD，①BE=CD，①AE为①O的直径，则AE=10，①①ABE=90°，；故选择：A.【点拨】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．7．D【分析】由圆周角定理可求①ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求①ABC=30°，①CAB=60°，由直角三角形的性质可求①CAH=①ACE=30°，即可求解．解：①AB是直径，①①ACB=90°，①①ABC+①CAB=90°，①2=，BC AC①①CAB=2①ABC，①①ABC=30°，①CAB=60°，①CD①AB，①①AEC=90°，①①ACE=30°，①点H是AG的中点，①ACB=90°，①AH=CH=HG，①①CAH=①ACE=30°，①①CAF=①CBF，①①CBF=30°，故选：D．【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出①CAB 的度数是本题的关键．8．B【分析】根据AC=CD=DB和点E是点D关于AB的对称点，求出①DOB=①COD=①BOE=60°，求出①CED，即可判断①①；根据圆周角定理求出当M和A重合时①MDE=60°即可判断①；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断①．解：①AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，①BD=BE，①①DOB=①BOE=①COD=13×180°=60°，①①错误；①CED=12①COD=12×60°=30°=12①DOB，即①DOB=2①CED；①①正确；①BE的度数是60°，①AE的度数是120°，①只有当M和A重合时，①MDE=60°，①①CED=30°，①只有M和A重合时，DM①CE，①①错误；作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM 的值最短，等于DF长，连接CD，①AC=CD=DB=AF，并且弧的度数都是60°，①①D=12×120°=60°，①CFD=12×60°=30°，①①FCD=180°-60°-30°=90°，①DF是①O的直径，即DF=AB=10，①CM+DM的最小值是10，①①正确；综上所述，正确的个数是2个．故选：B．【点拨】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键．9．D【分析】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；连接OA，求出OC，根据勾股定理求出AC，可得结论．解：连接OA，①将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，①OC23=r＝6（cm），OC①AB，①AC＝CB=cm），①AB＝2AC＝cm），故选：D．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．B【分析】连接BD ，BF ，先求解6AC BD ==， 可得AC BD =，AC AD AB +=，再求解19,BF可得AE BF ≠， AE AF AB +≠，从而可得答案.解：连接BD ，BF ，AB 直径，10AB =，8AD =，90,6ADB BD ∴∠=︒=，6AC =，AC BD ∴=，∴AC BD =，∴AC AD AB +=，AB 直径，10AB =，9AF =，90,AFB BF ∴∠=︒=5AE =，∴AE BF ≠，∴AE AF AB +≠，所以B 符合题意，故选：B ．【点拨】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．11．D【分析】利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出①MAB +①MBA =60°，推出①AMB =120°，可判断A ，证明C ，E ，M ，D 四点共圆，利用圆周角定理可判断B ；在AB 上取一点T ，使得AT =AE ，利用全等三角形的性质证明BD =BT ，可判断C ；无法判断M 与①ABC 互补，可判断D．解：如图，①①ACB=60°，①①CAB+①CBA=120°，①AD，BE分别是①CAB，①CBA的角平分线，①①MAB+①MBA=12（①CAB+①CBA）=60°，①①AMB=180°-（①MAB+①MBA）=120°，故A符合题意，①①EMD=①AMB=120°，①①EMD+①ECD=180°，①C，E，M，D四点共圆，①①MCE=①MCD，① EM DM，①EM=DM，故B符合题意，四边形CEMD是O的内接四边形，60,AME ACB BMD在AB上取一点T，使得AT=AE，在①AME和①AMT中，AE ATMAE MAT AM AM，①①AME①①AMT（SAS），①①AME=①AMT=60°，EM=MT，①①BMD=①BMT=60°，MT=MD，在①BMD和①BMT中，MD MTBMD BMT BM BM，①①BMD①①BMT，①BD=BT，①AB=AT+TB=AE+BD，故C符合题意，①M，M'关于AC对称，①M=①AMC，①11802AMC CAB ACB11801802ABC=90°+12①ABC，①M与①ABC不一定互补，①点M'不一定在①ABC的外接圆上，故D不符合题意，故选D．【点拨】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．D【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A，根据圆周角定理可判断B选项，根据圆周角与弧的关系可判断C，根据CDE CDB∠≠∠判断D选项．解：①AB、CD分别是①O的直径，90CBD∴∠=︒，①CB①BD，故A选项正确，如图，连接BE，DE AB∥，且①CDE＝62°，62BOD CDE∴∠=∠=︒，1312BCD BOD ∴∠=∠=︒， OC OB =，31CBO BCO ∴∠=∠=︒，62AOC ∴∠=︒，62CBE CDE ∠=∠=︒，31ABC ABE ∴∠=∠=︒，∴AC AE =，故B ，C 选项正确，31,90BCD CBD ∠=︒∠=︒，59BDC ∴∠=︒，62CDE ∠=︒，CDE CDB ∴∠≠∠，∴BD ≠DE ，故D 选项不正确，故选D ．【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．13．1CM 【分析】如图，连接OD 、OC 、OE ，先计算出①DOC +①COE ＝90°，则可判断①ODE 为等腰直角三角形，所以DE OD 则OM ＝12DE 由C 点在弧DE 上，则0≤①COM ＜45°，根据三角形的性质，①COM 越大，CM 越长，当O 、M 、C 共线时CM 最小，C 在点A 或点B 时CM 最长，即OC -OM ≤CM ＜ME ；解：如图，连接OD 、OC ，①AB 为直径，①①AOC+①BOC＝180°，①D、E分别是AC、BC的中点，①①AOD＝①COD，①COE＝①BOE，①①DOC+①COE＝1（①AOC+①BOC）＝90°，2①①ODE为等腰直角三角形，OD①DE①M是弦DE的中点，DE①OM＝12①C点在弧DE上，①0≤①COM＜45°，①OMC中，OM，OC的长度确定，①①COM越大，CM越长，①O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长；①CM≥1﹣，2当C点在A点或B点时，CM①CM的取值范围是1≤CM．【点拨】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM的长度是解题关键．14．36°，72°，108°，144°【分析】根据扇形所占的百分比乘以360°进行解答即可．解：四个扇形的圆心角分别是360°×10%=36°；360°×20%=72°；360°×30%=108°；360°×40%=144°.故答案为36°，72°，108°，144°.【点拨】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．15．①①①①【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可解：AbB ，AbD 都是大于半圆的弧，故①①正确，,A C 在圆上，则线段AC 是弦；故①正确；,,C A D 都在圆上，∴CAD ∠是圆周角而F 点不在圆上，则ADF ∠不是圆周角故①不正确；O 是圆心，,C A 在圆上∴COA ∠是圆心角故①正确故正确的有：①①①①故答案为：①①①①【点拨】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．16．0152=+-x x【分析】连接OD ，OE ，因为AD =EB ，根据等弧所对的圆心角相等可得①DOC=①EOF ，因为CD①AB ，EF①AB ，所以①DCO=①EFO=90°，又因为DO==EO ，所以Rt①DOC①Rt①EOF ，所以CO=OF=12，在Rt①DOC 中，，所以，，BC=AB -，所以以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是（x ）(x )=0，整理，得0152=+-x x ． 解：连接OE ，OD ，①AD =EB ，①①DOC=①EOF ，①CD①AB ，EF①AB ，①①DCO=①EFO=90°，又①DO=EO ，①Rt①DOC①Rt①EOF ， ①CO=OF=12，①在Rt①DOC 中，，AC=AO -，BC=AB - =，①以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是（x ）(x )=0，整理，得0152=+-x x ．故答案为：x 2．【点拨】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．17． 90° 150°或30°【分析】如图，在①AOD 中，根据勾股定理的逆定理即可求出①AOD 的度数；连接OC ，易得△AOC 是等边三角形，从而可得∠AOC ＝60°，进一步利用角的和差即可求出①COD 的度数．解：如图，在①AOD 中，∵2222228OA OD +=+=，(228AD ==，①222OA OD AD +=，∴①AOD =90°；连接OC ，∵OA ＝OC ＝AC =2，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC ＝60°．∴∠COD ＝∠AOC +∠AOD ＝60°+90°＝150°或∠COD ＝∠AOD ﹣∠AOC ＝90°－60°＝30°．故答案为：90°；150°或30°．【点拨】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定与性质以及分类的数学思想，依照题意画出图形、熟练掌握相关知识是解题的关键．18．93【分析】根据圆周角定理的推论，得①DCE=32°，由CD AB⊥结合三角形外角的性质，得①BOC 的度数，从而得①BDC的度数，进而即可求解．解：①①DCE和①DBE是同弧所对的圆周角，①①DCE=①DBE=32°，①CD AB⊥，①①BOC=90°+①DCE=90°+32°=122°，①①BDC=12①BOC=12×122°=61°，①DFE∠=①DCE+①BDC=32°+61°=93°．故答案是：93°．【点拨】本题主要考查圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，掌握“同弧或等弧所对的圆周角相等”，“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．19．57.5°【分析】根据平行线的性质得出①ODC=①AOD=65°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出①ODA=①OAD=12（180°-①AOD）=57.5°，求出①ADC的度数，根据圆内接四边形的性质得出①B+①ADC=180°，再求出答案即可．解：连接AD，①①AOD=68°，AO①DC，①①ODC=①AOD=65°，①①AOD=65°，OA=OD，①①ODA=①OAD=1（180°-①AOD）=57.5°，2①①ADC=①ODA+①ODC=57.5°+65°=122.5°，①四边形ABCD是①O的内接四边形，①①B+①ADC=180°，①①B=57.5°，故答案为：57.5°．【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出①ADC的度数是解此题的关键．20．128【分析】连接AD．首先证明①ADC=①ADE，再利用圆内接四边形的性质求出①ADC即可解决问题．解：连接AD．①AC AE，①①ADC=①ADE，①①B+①ADC=180°，①①ADC=180°-116°=64°，①①CDE=2×64°=128°，故选：128．【点拨】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．1 3【分析】根据已知条件得出①DCA=①DBA=30°，设DE=EC=x，由在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半可以得出AE和BE的长，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．解：①①O的直径AB过CD的中点A，①AC＝AD，①DE＝EC，①AB是①O的直径，①①BED＝①CEA＝90°，①①C＝30°，①①DCA＝①DBA＝30°，设DE＝EC＝x，①①C＝30°，①AE，①①DBA＝30°，①BE，①AEBE13；故答案为：13．【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，掌握在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．22．①①【分析】①由BD CD =，可得①COD =①BOD ，据此根据圆周角定理即可得结论；①由点M 是直径AB 上一动点，而CE 的位置是确定的，因此DM ①CE 不一定成立，可得结论；①由题意可得点D 和点E 关于AB 对称，因此CM +DM 的最小值是在点M 和点O 重合时取到，即CE 的长；①过点C 作CN ①AO 于点N ，利用解直角三角形可求得CN ，利用三角形面积公式求解即可．解：①BD CD =，COD BOD ∴∠=∠，12CED COD ∠=∠， 12CED BOD ∴∠=∠，故①正确； ①点M 是直径AB 上一动点，而CE 确定，∴DM ①CE 不一定成立，故①错误；①BD CD AC ==，60BOE AOC COD BOD ∠=∠=∠=∠=∴︒，①CED =30°，∴DE ①AB ，∴点D 和点E 关于AB 对称，∴CM +DM 的最小值是在点M 和点O 重合时取到，即CE 的长，AB =4，∴CE =AB =4，故①正确；①连接AC ，BD CD AC ==，∴①COA =60°，则①AOC 为等边三角形，边长为2，过点C 作CN ①AO 于N ，则sin 602CN OC =⋅︒==，在①COM 中，以OM 为底，OM 边上的高为CN ，1122COM S OM CN x ∴=⋅==△，故①错误； 综上，①①正确，故答案为：①①．【点拨】本题考查了圆周角定理，最小值问题，等边三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23． 越长 越长 越短【分析】根据圆心角定理解答即可.解：在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧越长，所对的弦越长，所对弦的弦心距越短．故答案为越长；越长；越短.【点拨】本题考查了圆心角定理及其推理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 24．27°【分析】根据题意易得①ACB ＝90°，然后根据圆的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解． 解：①AB 是①O 的直径，①①ACB ＝90°，①①A ＝90°﹣①ABC ＝90°﹣63°＝27°，①①D ＝①A ＝27°．故答案为27°．【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．25．（1）作图见分析；（2）53π 试题分析：（1）根据扇形定义及题目要求画出即可；（2）根据扇形的面积公式S=2360n rπ计算即可．解：（1）如图所示：（2）①①AOB=120°，①BOC=90°，①①AOC=150°，故S扇形AOC=2150253603ππ⨯⨯=．26．（1）26；（2）13【分析】（1）连接OB，结合OD①AB，根据垂径定理，推导得①AOD；再根据圆心角、圆周角的性质，即可得到答案；（2）结合题意，根据垂径定理性质，计算得AC；再结合OD①AB，通过勾股定理即可计算得①O的半径．解：（1）连接OB①⊥OD AB①AD BD=①52AOC BOD∠=∠=①12DEB BOD ∠=∠①26DEB∠=（2）①⊥OD AB①112412 22AC AB==⨯=设OA x =，则8OC x =-在Rt ACO 中，()222128x x =+-①13x =①O 的半径长为13．【点拨】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆心角、圆周角、勾股定理的性质，从而完成求解．27．(1)同弧所对的圆周角相等；(2)见分析；1；【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得ABE ACD ∠=∠；（2）由BAE CAD ∠=∠可得BAC EAD ∠=∠，再由ACB ADE ∠=∠可得ABC AED ∽△△； （3）连接AD ，BE ，由2AB BC CD DE EA =====可得AB BC CD DE BA ====，进而BE AD BD ==，BE =AD =BD ，再由AB DE AE BD BE AD ⋅+⋅=⋅解方程即可；(1)解：①同弧所对的圆周角相等，AD AD =，①ABE ACD ∠=∠；故答案为：同弧所对的圆周角相等；(2)解：①BAE CAD ∠=∠，①BAE EAC CAD EAC ∠+∠=∠+∠，①BAC EAD ∠=∠，①AB AB =，①ACB ADE ∠=∠；(3)解：如图，连接AD ，BE ，①2AB BC CD DE EA =====，①AB BC CD DE BA ====，①AB AE AE ED CD CB +=+=+，①BE AD BD ==，①BE =AD =BD ，①四边形ABDE 是O 的内接四边形，①AB DE AE BD BE AD ⋅+⋅=⋅，①2AB DE EA ===，①2222BD BD ⨯+=，解得：1BD =或1BD =，①对角线BD 1；【点拨】本题考查了圆内接多边形，圆心角、弧、弦关系，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识；掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题关键．28．(1)见分析(2)【分析】（1）根据AB CD ⊥得，90AME DMB ∠=∠=︒，根据等弧或同弧所对的圆周角相等可得BDC BAF ∠=∠，DBA DFA ∠=∠，根据等角的余角相等可得AEM DBM ∠=∠，进而可得DFA DEF ∠=∠，根据等角对等边即可得证；（2）连接,,,OF OC CF AC ，根据①BAF ＝22.5°，证明COF 是直角三角形，勾股定理求得CF ，进而证明MN 是ECF △的中位线，即可求解．解：(1)BF BC =，BDC BAF ∴∠=∠，AB CD ⊥，90AME DMB ∴∠=∠=︒，90,90BAF AEM CDB DBM ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，AEM DBM ∴∠=∠，AD AD =，DBA DFA ∴∠=∠，AEM DEN ∠=∠，DFA DEF ∴∠=∠，DE DF ∴=；(2)如图，连接,,,OF OC CF AC ，BF BC =，22.5CDB BDF BAF ∠=∠=∠=∴︒， 45CDF CDB BDF ∴∠=∠+∠=︒， CF CF =，290COF CDF ∴∠=∠=︒，在Rt COF △中，CF == 由（1）得，DE DF =，DEF ∴是等腰三角形， CDB BDF ∠=∠，EN FN ∴=，N ∴是EF 的中点，BF BC =，BAF BAC ∴∠=∠，AB CD ⊥，AM EC ∴⊥，EM MC ∴= ，∴12MN CF == 【点拨】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．。
小学数学圆的基础练习题
小学数学圆的基础练习题圆是我们日常生活中最常见的几何形状之一，它具有很多有趣的性质和应用。
本文将为小学生提供一些关于圆的基础练习题，帮助他们巩固和提高对圆的理解。
这些题目将涵盖圆的相关术语、性质以及计算圆的面积和周长等知识点。
练习题 1：术语应用1. 请写出下列术语的含义：a) 圆心b) 半径c) 直径d) 弧e) 弦练习题 2：计算圆的周长和面积1. 若一个圆的半径为5cm，计算其周长和面积，结果保留到小数点后两位。
练习题 3：圆的直径与半径关系1. 若一个圆的直径为12cm，求其半径的长度。
2. 若一个圆的半径为8cm，求其直径的长度。
练习题 4：弧和弦的关系1. 若一个圆的半径为6cm，一条弧长为4cm，求该弧所对应的圆心角的度数。
2. 若一个圆的半径为10cm，一条弦的长度为8cm，求该弦所对应的圆心角的度数。
练习题 5：计算扇形的面积1. 若一个扇形的半径为7cm，对应的圆心角为60度，计算该扇形的面积，结果保留到小数点后两位。
练习题 6：计算圆环的面积1. 若一个圆环的外圆半径为10cm，内圆半径为6cm，计算该圆环的面积，结果保留到小数点后两位。
练习题 7：解决实际问题1. 小明正在制作一个圆形蛋糕，蛋糕的半径为8cm。
他想在蛋糕上放一圈草莓作为装饰，每个草莓直径为2cm。
小明需要多少个草莓才能将整个蛋糕的边缘覆盖全？练习题 8：图形判断判断下列说法的正确性，正确的在括号内写“√”，错误的在括号内写“×”。
1. （）半径相等的两个圆，面积一定相等。
2. （）半径相等的两个圆，周长一定相等。
练习题 9：填空题1. 半径为4cm的圆的直径长度是__________cm。
2. 半径为6cm的圆的周长长度是__________cm。
练习题 10：解答题1. 图中是一个半径为6cm的圆，弧段AC的长度为4cm，求圆心角∠ACB的度数。
以上就是小学数学圆的基础练习题，通过这些题目的练习，相信小学生对于圆的相关知识和计算方法会有更深入的理解和掌握。
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2012——2013i 学年度第一学期九年级上册数学练习
24.1.3弧、弦、圆心角练习四
1、 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 或 中有一组是相等的，那么，所对应的其余各组量都分别相等。
2、在⊙O 中的两条弦AB 和CD ，AB>CD ，AB 和CD 的弦心距分别为OM 和ON ，则OM__________ON 。
3、在⊙O 中，直径AB 为6cm,弦BC 为4cm ，则弦BC 的弦心距为_____ cm 。
4、 如图，在⊙O 中，弦EF ∥直径AB ，若弧AE 的度数为50°，则弧EF 的度数为 ，弧BF 的度数为 ，∠EOF= °，∠EFO= °。
5 ⊙O 中，如果弧AB=2弧BC ，那么下列说法中正确的是（ ）
A. AB=BC
B. AB=2BC
C. AB ＞2BC
D. AB<2BC
6 、AB 为⊙O 的直径，C 、D 为半圆AB 上两点，且弧AC 、弧CD 、弧DB
的度数的比为3∶2∶5，则∠AOC= °，∠COD= °，
∠DOB= °。
7. 在⊙O 中，弦AB=8cm ，弦心距为cm 34，则圆心角∠AOB= 。
8. 已知：如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D 。
求证：∠OBA=∠OCD 。
9. 已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。
求证：AE=BF=CD 。
10. 在圆O 中，AC=DB ，求证：
⋂AE。