初一数学不等式培优习题(难点分析题)
【教师卷】初中七年级数学下册第九单元《不等式与不等式组》经典习题(课后培优)(3)
一、选择题1．若a b >，则下列结论不一定成立的是（ ） A ．a c b c ->- B ．22ac ab >C ．c a c b -<-D ．a c b c +>+ B解析：B 【分析】根据不等式的性质逐一分析四个选项的正误即可得出结论． 【详解】 解：A 、∵a ＞b ， ∴a-c ＞b-c ，选项A 成立； B 、22ac ab >不一定成立； C 、∵a ＞b ， ∴a b -<-∴c a c b -<-，选项C 成立； D 、∵a ＞b ，∴a c b c +>+，选项D 成立． 故选：B ． 【点睛】本题考查了不等式的性质，牢记不等式的性质是解题的关键． 2．不等式()2533x x ->-的解集为（ ） A ．4x <- B ．4x >C ．4x <D ．4x >- C解析：C 【分析】根据解一元一次不等式的方法解答即可． 【详解】解：去括号，得2539x x ->-， 移项、合并同类项，得4x ->-， 不等式两边同时除以﹣1，得4x <． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，属于基础题目，熟练掌握解一元一次不等式的方法是关键．3．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ） A ．6折 B ．7折 C ．8折 D ．9折B解析：B 【详解】设可打x 折，则有1200×10x-800≥800×5%， 解得x≥7． 即最多打7折． 故选B ． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．4．不等式组10,{360x x -≤-<的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． D解析：D 【解析】 试题分析：10{360x x -≤-<①②，由①得：x≥1，由②得：x ＜2，在数轴上表示不等式的解集是：，故选D ．考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组．5．不等式组3213,23251223x x x x ++⎧≤+⎪⎨⎪->-⎩的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．C解析：C 【分析】分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”取解集，即可得到答案． 【详解】解：321323251223x x x x ++⎧≤+⎪⎨⎪->-⎩①②，解不等式①得：2x ≥-； 解不等式②得：3x >； 将解集在数轴上表示为：，故选：C ． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，掌握不等式组取解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键．6．若关于x 的不等式32x a +≤只有2个正整数解，则a 的取值范围为（ ） A ．74a -<<- B ．74a -≤≤-C ．74a -≤<-D ．74a -<≤- D解析：D 【分析】先解不等式得出23ax -≤，然后根据不等式只有2个正整数解可知正整数解为1和2，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：32x a +，32x a ∴-，则23ax-， ∵不等式只有2个正整数解， ∴不等式的正整数解为1、2，则2233a-≤<， 解得：74a -<-， 故答案为D ． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，正确求解不等式并根据不等式的整数解的情况列出关于某一字母的不等式组是解答本题的关键．7．若关于x 的方程 332x a += 的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．23a <B ．23a >C ．a 为任何实数D ．a 为大于0的数A解析：A 【分析】先解方程，再结合题意列出不等式，解之即可得出答案. 【详解】 解：∵3x+3a=2，3又∵方程的解为正数， ∴233a-＞0， ∴a ＜23. 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式与一元一次方程的综合运用，正确理解一元一次方程解的意义及熟练求解一元一次不等式是解题关键．8．小圆想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分为4组，第n 组有n x 首，1,2,3,4n =；②对于第n 组诗词，第n 天背诵第一遍，第(1)n +天背诵第二遍，第(3)n +天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1,2,3,4n =； ③每天最多背诵8首，最少背诵2首，A ．10首B ．11首C ．12首D ．13首D解析：D 【分析】根据表格及题意可得第2天、第3天、第4天、第5天的背诵最多的诗词，然后根据不等式的关系可进行求解． 【详解】解：由表格及题可得：∵每天最多背诵8首，最少背诵2首， ∴由第2天、第3天、第4天、第5天可得：128x x +≤①，238x x +≤②，1348x x x ++≤③，248x x +≤④，①+②+④-③得：2316x ≤，23∴123416181333x x x x +++≤+=， ∴7天后，小圆背诵的诗词最多为13首； 故选D ． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握不等式的性质与求法是解题的关键． 9．下列是一元一次不等式的是（ ） A ．21x > B ．22x y -<-C ．23<D ．29x < A解析：A 【分析】根据一元一次不等式的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A 、21x >中含有一个未知数，并且未知数的最高次数等于1，是一元一次不等式，故本选项正确；B 、22x y -<-中含有两个未知数，故本选项错误；C 、23<中不含有未知数，故本选项错误；D 、29x <中含有一个未知数，但未知数的最高次数等于1，不是一元一次不等式，故本选项错误． 故选：A ． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的定义，即含有一个未知数，未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．10．若关于 x?的不等式组2x 1x 3x a +<-⎧⎨>⎩无解，则实数 a?的取值范围是（ ）A ．a 4<-B ．a 4=-C ．a 4?≥-D ． a 4>- C解析：C 【分析】先解出第一个不等式的解集，再根据题意确定a 的取值范围即可． 【详解】 解：2x 1x 3x a +<-⎧⎨>⎩①②解①的：x ﹤﹣4， ∵此不等式组无解， ∴a≥﹣4， 故选：C ． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，熟知不等式组解集应遵循的原则“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”是解答的关键．二、填空题11．若0a b c ++=，且a b c >>，以下结论： ①0a >，0c >；②关于x 的方程0ax b c ++=的解为1x =； ③22()a b c =+ ④||||||||a b c abc a b c abc +++的值为0或2； ⑤在数轴上点A ．B ．C 表示数a 、b 、c ，若0b <，则线段AB 与线段BC 的大小关系是AB BC >．其中正确的结论是______（填写正确结论的序号）．②③⑤【分析】①根据a+b+c=0且a ＞b ＞c 推出a ＞0c ＜0即可判断；②根据a+b+c=0求出a=-（b+c ）又ax+b+c=0时ax=-（b+c ）方程两边都除以a 即可判断；③根据a=-（b+c ）解析：②③⑤ 【分析】①根据a +b +c =0，且a ＞b ＞c 推出a ＞0，c ＜0，即可判断；②根据a +b +c =0求出a =-（b +c ），又ax +b +c =0时ax =-（b +c ），方程两边都除以a 即可判断；③根据a =-（b +c ）两边平方即可判断；④分为两种情况：当b ＞0，a ＞0，c ＜0时，去掉绝对值符号得出a a +b b +c c -+abc abc-，求出结果，当b ＜0，a ＞0，c ＜0时，去掉绝对值符号得出a a +b b -+c c -+abc abc，求出结果，即可判断；⑤求出AB =a -b =-b -c -b =-2b -c =-3b +b -c ，BC =b -c ，根据b ＜0利用不等式的性质即可判断． 【详解】解：（1）∵a +b +c =0，且a ＞b ＞c ， ∴a ＞0，c ＜0， ∴①错误； ∵a +b +c =0，a ＞b ＞c ， ∴a ＞0，a =-（b +c ）， ∵ax +b +c =0， ∴ax =-（b +c ）， ∴x =1， ∴②正确； ∵a =-（b +c ），∴两边平方得：a 2=（b +c ）2，∴③正确；∵a＞0，c＜0，∴分为两种情况：当b＞0时，aa+bb+cc+abcabc=aa+bb+cc-+abcabc-=1+1+（-1）+（-1）=0；当b＜0时，aa+bb+cc+abcabc=aa+bb-+cc-+abcabc=1+（-1）+（-1）+1=0；∴④错误；∵a+b+c=0，且a＞b＞c，b＜0，∴a＞0，c＜0，a=-b-c，∴AB=a-b=-b-c-b=-2b-c=-3b+b-c，BC=b-c，∵b＜0，∴-3b＞0，∴-3b+b-c＞b-c，∴AB＞BC，∴⑤正确；即正确的结论有②③⑤．故答案为：②③⑤．【点睛】本题考查了比较两线段的长，数轴，有理数的加法、除法、乘方，一元一次方程的解，绝对值等知识点的综合运用，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．12．对任意四个整数a、b、c、d定义新运算：a bc dad bc=-，若1＜241xx-＜12，则x的取值范围是____．【分析】根据新定义列不等式组并求解集即可【详解】解：由题意得：1＜2x-（-4）x＜12即1＜6x＜12解得故答案为【点睛】本题主要考查了新定义运用解不等式组等知识点正确理解新运算法则是解答本题的关键解析：12 6x＜＜【分析】根据新定义列不等式组并求解集即可．【详解】解：由题意得：1＜2x-（-4）x＜12，即1＜6x＜12，解得126x＜＜．故答案为12 6x＜＜．【点睛】本题主要考查了新定义运用、解不等式组等知识点，正确理解新运算法则是解答本题的关键．13．若||1(2)3m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是___________．-2【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组求解即可【详解】解：∵∴解得m=-2故答案为-2【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义和不等式组的解法根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组成解析：-2 【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组求解即可． 【详解】解：∵||1(2)3m m x --=∴2011m m -≠⎧⎨-=⎩，解得m=-2．故答案为-2． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义和不等式组的解法，根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组成为解答本题的关键．14．若不等式2(x+3)>1的最小整数解是方程2x-ax=3的解，则a 的值为__________________.5【解析】解不等式2（x+3）＞1得x ＞-则最小整数解是-2把x=-2代入方程得-4+2a=3解得：a=35点睛：本题考查了不等式的解法和方程的解的定义正确解不等式求出解集是解答本题的关键解不等式应解析：5 【解析】解不等式2（x+3）＞1得x ＞-52，则最小整数解是-2，把x=-2代入方程得-4+2a=3，解得：a=3.5．点睛：本题考查了不等式的解法和方程的解的定义，正确解不等式求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 15．己知不等式组1x x a≤⎧⎨≤⎩的解集是1x ≤，则a 的取值范围是______．a≥1【分析】已知不等式组的解集为再根据不等式组解集的口诀：同大取大得到a 的范围【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为∴a≥1故答案为：a≥1【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法将不等式组解解析：a≥1 【分析】已知不等式组的解集为1x ≤，再根据不等式组解集的口诀：同大取大，得到a 的范围． 【详解】解：∵一元一次不等式组1x x a ≤⎧⎨≤⎩的解集为1x ≤，∴a≥1，故答案为：a≥1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求a 的范围．16．关于x 的不等式组0821x m x -≥⎧⎨->⎩有3个整数解，则m 的取值范围是______．0＜m≤1【分析】不等式组整理后表示出不等式组的解集由不等式组有3个整数解确定出m 的范围即可【详解】解：不等式组整理得：解得：由不等式组有3个整数解即整数解为123则m 的取值范围是0＜m≤1故答案为解析：0＜m≤1 【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，由不等式组有3个整数解，确定出m 的范围即可． 【详解】解：不等式组整理得：72x m x ≥⎧⎪⎨<⎪⎩，解得：72m x ≤<， 由不等式组有3个整数解，即整数解为1，2，3， 则m 的取值范围是0＜m≤1． 故答案为：0＜m≤1． 【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 17．若不等式25123x x +-≤-的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式3(1)552()x x m x -+>++成立，则m 的取值范围是__________．【分析】首先通过解不等式得出的解集和的解集然后根据题意建立一个关于m 的不等式从而确定m 的范围即可【详解】解得解得∵不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立解得【点睛】本题主要考查不等式的解集掌解析：35m <-【分析】首先通过解不等式得出25123x x +-≤-的解集和3(1)552()x x m x -+>++的解集，然后根据题意建立一个关于m 的不等式，从而确定m 的范围即可． 【详解】25123x x +-≤-， 解得45x ≤． 3(1)552()x x m x -+>++，解得12mx -<． ∵不等式25123x x +-≤-的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式3(1)552()x x m x -+>++成立，1425m -∴>， 解得35m <-． 【点睛】本题主要考查不等式的解集，掌握解不等式的方法是解题的关键． 18．若不等式组30x ax >⎧⎨-≤⎩只有三个正整数解，则a 的取值范围为__________．【分析】先确定不等式组的整数解再求出的取值范围即可【详解】∵不等式组只有三个正整数解∴故答案为：【点睛】本题考查了解不等式组的整数解的问题掌握解不等式组的整数解的方法是解题的关键 解析：01a ≤<【分析】先确定不等式组的整数解，再求出a 的取值范围即可． 【详解】30x ax >⎧⎨-≤⎩30x -≤ 3x ≤∵不等式组只有三个正整数解 ∴01a ≤<故答案为：01a ≤<． 【点睛】本题考查了解不等式组的整数解的问题，掌握解不等式组的整数解的方法是解题的关键．19．不等式组()2x 15x 742x 31x 33⎧+>-⎪⎨+>-⎪⎩的解集为______【分析】先求出每个不等式的解集再求出不等式组的解集即可【详解】解不等式得：解不等式得：不等式组的解集为故答案为【点睛】本题考查了解一元一次不等式组能根据不等式的解集根据同大取大同小取小大小小大中间找解析：1x 3-<<【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【详解】()2x 15x 742x 31x 33⎧+>-⎪⎨+>-⎪⎩①②， 解不等式①得：x<3，解不等式②得：x 1>-，∴不等式组的解集为1x 3-<<，故答案为1x<3-<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”找出不等式组的解集是解此题的关键．20．在实数范围内规定一种新的运算“☆”，其规则是：a ☆b=3a+b ，已知关于x 的不等式：x ☆m>1的解集在数轴上表示出来如图所示．则m 的值是________ ．-2【分析】根据新运算法则得到不等式3通过解不等式即可求的取值范围结合图象可以求得的值【详解】∵☆∴根据图示知已知不等式的解集是∴故答案为：【点睛】本题主要考查了数轴上表示不等式的解集及解不等式本题解析：-2【分析】根据新运算法则得到不等式31x m +>，通过解不等式即可求m 的取值范围，结合图象可以求得m 的值．【详解】∵x ☆ 31m x m =+>，∴13m x ->， 根据图示知，已知不等式的解集是1x >，∴113m -=， 故答案为：2m =-．【点睛】本题主要考查了数轴上表示不等式的解集及解不等式，本题的关键是理解新的运算方法．三、解答题21．（1）解方程组：43220x y x y +=⎧⎨+=⎩ （2）解不等式组：3(2)211124x x x x -<-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 解析：（1）12x y =-⎧⎨=⎩；（2）25x ≤<． 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得；（2）先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解．【详解】（1）43220x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， 由①2-⨯②得：322y y -=，解得2y =，将2y =代入②得：220x +=，解得1x =-，则方程组的解为12x y =-⎧⎨=⎩； （2）3(2)211124x x x x -<-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩①②， 解不等式①得：5x <，解不等式②得：2x ≥，则不等式组的解为25x ≤<．【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题关键．22．解不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来．（1）432136x x -+>-；（2）2(1)0210x x +<⎧⎨-⎩． 解析：（1） 2.4x <，数轴见解析；（2）1x <-，数轴见解析【分析】（1）根据去分母、去括号、移项、合并、系数化为1求出不等式的解集即可；（2）分别解两个不等式得到1x <-和12x，然后根据同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解确定不等式组的解集，再用数轴表示解集．【详解】解：（1）去分母得：2(4)326x x ->+-， 82326x x ->+-，23268x x -->--，512x ->-，2.4x <，在数轴上表示为：；（2）()210210x x ⎧+<⎨-⎩①②，解不等式①得：1x <-， 解不等式②得：12x， 所以不等式组的解集是1x <-， 在数轴上表示为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组）：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集． 23．解不等式（组），并在数轴上表示解集： （1）解不等式：4x 1x 13-->； （2）解不等式组：3x x 2,12x x 1.3-≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩ 解析：（1）x 4>，在数轴上表示不等式的解集如图见解析；（2）1x 4≤<；在数轴上表示不等式组的解集如图见解析．【分析】（1）去分母，移项，合并同类项，最后在数轴上表示出不等式的解集即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，最后在数轴上表示出不等式的解集即可．【详解】解：（1）解不等式：4x1x1 3-->去分母，得：4x13x3-->，移项，得：4x3x31->+，合并同类项，得：x4>.在数轴上表示不等式的解集如下：（2）3x x2, 12xx1, 3-≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②解不等式①得：x1≥，解不等式②得：x4<，所以不等式组的解集为1x4≤<．在数轴上表示不等式组的解集如下：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．24．某校购买了A型课桌椅100套和B型课桌椅150套供学生使用，共付款53000元．已知每套A型课桌椅比每套B型课桌椅多花30元．（1）求该校购买每套A型课桌椅和每套B型课桌椅的钱数．（2）因学生人数增加，该校需再购买A、B型课桌椅共100套，只有资金22000元，求最多能购买A型课桌椅的套数．解析：（1）该校购买每套A型课桌椅需230元，购买每套B型课桌椅需200元．（2）最多能购买A型课桌椅66套．【分析】（1）设该校购买每套B型课桌椅需x元，则购买每套A型课桌椅需（x+30）元，根据购买A型课桌椅100套和B型课桌椅150套共需53000元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设可以购买A 型课桌椅m 套，则购买B 型课桌椅（100-m ）套，根据总价=单价×数量结合总价不超过22000元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．【详解】解：（1）设该校购买每套B 型课桌椅需x 元，则购买每套A 型课桌椅需(30)x +元， 依题意得：100(30)15053000x x ++=，解得：200x =，30230x ∴+=．答：该校购买每套A 型课桌椅需230元，购买每套B 型课桌椅需200元．（2）设可以购买A 型课桌椅m 套，则购买B 型课桌椅(100)m -套，依题意得：230200(100)22000m m +-， 解得：2003m． 又m 为整数，m ∴可以取的最大值为66．答：最多能购买A 型课桌椅66套．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25．解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来．（1）6327x x ->-；（2）21123x x -+-≤． 解析：（1）1x >-，在数轴上表示见解析；（2）2x ≥，在数轴上表示见解析【分析】（1）先按照移项、合并同类项和系数化为1的步骤求出不等式的解集，进一步即可将不等式的解集在数轴上进行表示；（2）先按照去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1的步骤求出不等式的解集，进一步即可将不等式的解集在数轴上进行表示．【详解】解：（1）移项，得6237x x ->-，合并同类项，得44x >-，系数化为1，得1x >-；不等式的解集在数轴上表示如下：（2）去分母，得()()63221x x --≤+，去括号，得63622x x -+≤+，移项，32266x x --≤--，合并同类项，得510x --≤，系数化为1，得2x ≥．不等式的解集在数轴上表示如下：【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，属于基础题目，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．26．若关于x 的方程23244x m m x -=-+的解不小于7183m --，求m 的取值范围． 解析：14m ≥- 【分析】先解方程2x−3m ＝2m−4x ＋4求得x ，然后再根据方程的解不小于7183m --列出关于m 的不等式组，最后求解即可．【详解】解：解方程23244x m m x -=-+ 得546m x +=由题意得5471683m m +-≥-，解得14m ≥- 所以m 的取值范围为14m ≥-． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和解不等式组，掌握一元一次方程和一元一次不等式组的解法成为解答本题的关键．27．（1）解方程组26m n m n =⎧⎨+=⎩ （2）解不等式组26015a a +<⎧⎨-≤⎩（3）计算：()33532a a a a ⋅⋅+ （4）计算：()()34++x x解析：（1）42n m =⎧⎨=⎩；（2）-43a ≤<-；（3）99a ；（4）2712x x ++； 【分析】（1）根据代入消元法解方程组即可；（2）解不等式组即可；（3）根据幂的运算性质计算即可；（4）根据多项式乘以多项式计算即可；【详解】（1）26m n m n =⎧⎨+=⎩， 把2=m n 代入6+=m n 中，得到：26m m +=，解得：2m =，∴4n =，∴方程组的解为42n m =⎧⎨=⎩． （2）26015a a +<⎧⎨-≤⎩， 由260a +<得：3a <-，由15-≤a 得：4a ≥-，∴不等式组的解集为：-43a ≤<-．（3）原式99989a a a =+=． （4）原式224312712x x x x x =+++=++．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组求解，不等式组求解，整式乘法的应用，准确计算是解题的关键． 28．解不等式组：()324112x x x ⎧+≥+⎪⎨-<⎪⎩． 解析：﹣1≤x ＜3．【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．【详解】 解：不等式组3(2)4?11? 2x x x +≥+⎧⎪⎨-<⎪⎩①②， 由①得：x ≥﹣1，由②得：x ＜3，故不等式组的解集是：﹣1≤x ＜3．【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，属于基础题．求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．。
（完整版）(人教版)初一数学下册不等式测试题及答案培优试卷
一、选择题1．如果关于x 的不等式组2030x m n x -≥⎧⎨-≥⎩仅有四个整数解：-1，0，1，2，那么适合这个为等式组的整数m n 、组成的有序实数对(),m n 最多共有（ ） A ．2个B ．4个C ．6个D ．9个2．运行程序如图所示，从“输入整数x ”到“结果是否＞18”为一次程序操作，若输入整数x 后程序操作仅进行了两次就停止，则x 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在数轴上，已知点A ，B 分别表示数1，23x -+，那么数轴上表示数2x -+的点应落在( )A ．点A 的左边B ．线段AB 上C ．点B 的右边D ．数轴的任意位置4．若关于x ，y 的二元一次方程组128x y a x y +=+⎧⎨+=⎩的解为正数，则满足条件的所有整数a 的和为（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 5．若a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．ac bc <B ．21a b ->-C ．11a b -<-D ．||||a b >6．如果关于x 的不等式组3021x a x b -≥⎧⎨+<⎩的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a ，b 组成的有序数对(),a b 共有（ ）A ．4个B ．6个C ．8个D ．9个7．若关于x 的不等式0ax b ->的解集是12x <，则关于x 的不等式bx a <的解集是（ ） A ．2x <-B ．2x <C ．2x >-D ．2x >8．如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若某运算进行了3次才停止，则x 的取值范围是（ ）A ．393342x <≤B ．513984x ≤≤ C ．393342x ≤< D ．513984x <≤ 9．不等式组443x x a >⎧⎨-≤-⎩只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．5433a -<≤-B ．5433a -≤≤-C ．5433a -<<-D ．5433a -≤<-10．对于任意实数m ，n ，我们把这两个中较小的数记作min {m ，n }，如min {1，2}＝1．若关于x 的不等式min {1－2x ，－3}＞m 无解，则m 的取值范围是（ ）． A ．m ≤－3．B ．m ≤2．C ． m ≥－3．D ．m ≥2．二、填空题11．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗．某超市准备了515个豆沙粽，525个火腿粽和若干个腊肉棕，将这些粽子分成了A ,B ,C 三类礼品盒进行包装．A 类礼品盒里有4个豆沙粽，4个火腿粽和6个腊肉粽；B 类礼品盒里有3个豆沙粽，5个火腿粽和6个腊肉粽；C 类礼品盒里有6个豆沙粽，4个火腿粽和4个腊肉粽．已知A ,B ,C 三类礼品盒的数量都为正整数，并且A 类礼品盒少于44盒，B 类礼品盒少于49盒．如果所有礼品盒里的腊肉粽的总个数为m ，则m =_______________12．对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为x <>，即：当n 为非负整数时，如果1122n x n -<+，则x n <>=．如：0.480<>=， 3.54<>=．如果43x x <>=，则x =___________．13．已知不等式组32,152,33x a x x x +<⎧⎪⎨-<+⎪⎩有解但没有整数解，则a 的取值范围为________． 14．当常数m =____时，式子3x m x ++-的最小值是5．15．若不等式组22x ax a <⎧⎨+>⎩无解，则a 的取值范围是_________．16．不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为2x <，则k 的取值范围为_____．17．定义运算22a b a ab ⊗=-，下列给出了关于这种运算的几个结论：（1）2516⊗=-；（23）方程0x y ⊗=不是二元一次方程；（4）不等式组(3)10250x x -⊗+>⎧⎨⊗->⎩的解集是5134x -<<-．其中正确的是________（填序号）． 18．运行程序如图所示,规定:从“输入一个值x"”到“结果是否19≥为次程序如果程序操作进行了三次才停止，那么x 的取值范围是______________19．已知点P(x ，y)位于第二象限，并且y≤2x+6，x 、y 为整数，则点P 的个数是____. 20．已知不等式30x a -<的正整数解恰好是1、2、3，则a 的取值范围是______．三、解答题21．中国传统节日“端午节”期间，某商场开展了“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌的粽子进行了打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需520元．（1）打折前，每盒甲、乙品牌粽子分别为多少元？（2）在商场让利促销活动期间，某敬老院准备购买甲、乙两种品牌粽子共40盒，总费用不超过2300元，问敬老院最多可购买多少盒乙品牌粽子？22．对x ，y 定义一种新的运算P ，规定：,()(,),()mx ny x y P x y nx my x y +≥⎧=⎨+<⎩（其中0mn ≠）．已知(2,1)7P =，(1,1)1P -=-． （1）求m 、n 的值；（2）若0a >，解不等式组(2,1)4111,523P a a P a a -<⎧⎪⎨⎛⎫---≤- ⎪⎪⎝⎭⎩．23．阅读理解：例1．解方程|x |＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x |＝2的解为x ＝±2．例2．解不等式|x ﹣1|＞2，在数轴上找出|x ﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x ﹣1|＝2的解为x ＝﹣1或x ＝3，因此不等式|x ﹣1|＞2的解集为x ＜﹣1或x ＞3．参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x ﹣2|＝3的解为 ； （2）解不等式：|x ﹣2|≤1． （3）解不等式：|x ﹣4|+|x +2|＞8．（4）对于任意数x ，若不等式|x +2|+|x ﹣4|＞a 恒成立，求a 的取值范围．24．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(),0a ，()2,4-，(),0c ，且a ，c 满足方程()243240c aa x y ---+=为二元一次方程．（1）求A ，C 的坐标．（2）若点D 为y 轴正半轴上的一个动点．①如图1，当//AD BC 时，ADO ∠与ACB ∠的平分线交于点P ，求P ∠的度数；②如图2，连接BD ，交x 轴于点E ．若ADE BCE S S ≤△△成立．设动点D 的坐标为()0,d ，求d 的取值范围．25．小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．（1）若小语用长40cm ，宽34cm 的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒200元购进一批茶叶，按进价增加18%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了6元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利1800元，求这批茶叶共进了多少盒？26．在平面直角坐标系xOy 中．点A ，B ，P 不在同一条直线上．对于点P 和线段AB 给出如下定义：过点P 向线段AB 所在直线作垂线，若垂足Q 落在线段AB 上，则称点P 为线段AB 的内垂点．若垂足Q 满足|AQ -BQ |最小，则称点P 为线段AB 的最佳内垂点．已知点A（﹣2，1），B （1，1），C （﹣4，3）．（1）在点P 1（2，3）、P 2（﹣5，0）、P 3（﹣1，﹣2），P 4（﹣12，4）中，线段AB 的内垂点为 ；（2）点M 是线段AB 的最佳内垂点且到线段AB 的距离是2，则点M 的坐标为 ； （3）点N 在y 轴上且为线段AC 的内垂点，则点N 的纵坐标n 的取值范围是 ； （4）已知点D （m ，0），E （m +4，0），F （2m ，3）．若线段CF 上存在线段DE 的最佳内垂点，求m 的取值范围．27．如图，在平面直角坐标系中，////AB CD x 轴，////BC DE y 轴，且4cm,5cm,2cm AB CD OA DE ====，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿ABC 路线向点C 运动；动点Q 从点O 出发，以每秒2cm 的速度，沿OED 路线向点D 运动．若,P Q 两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．（Ⅰ）直接写出,,B C D 三个点的坐标；（Ⅱ）设两点运动的时间为t 秒，用含t 的式子表示运动过程中三角形OPQ 的面积； （Ⅲ）当三角形OPQ 的面积的范围小于16时，求运动的时间t 的范围．28．某工厂准备用图甲所示的A 型正方形板材和B 型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．（1）若现有A 型板材150张，B 型板材300张，可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？（2）若该工厂准备用不超过24000元资金去购买A 、B 两种型号板材，制作竖式、横式箱子共100个，已知A 型板材每张20元，B 型板材每张60元，问最多可以制作竖式箱子多少个？（3）若该工厂新购得65张规格为3m 3m ⨯的C 型正方形板材，将其全部切割成A 型或B 型板材（不计损耗），用切割的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于10个，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式箱子多少个？ 29．阅读材料：关于x ，y 的二元一次方程ax+by=c 有一组整数解00x x y y =⎧⎨=⎩，则方程ax+by=c 的全部整数解可表示为00x x bty y at =-⎧⎨=+⎩（t 为整数）．问题：求方程7x+19y=213的所有正整数解．小明参考阅读材料，解决该问题如下：解：该方程一组整数解为0069x y =⎧⎨=⎩，则全部整数解可表示为61997x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为整数）．因为61909+70.t t ->⎧⎨>⎩，解得96719t -<<．因为t 为整数，所以t =0或-1．所以该方程的正整数解为69x y =⎧⎨=⎩和252x y =⎧⎨=⎩． （1）方程3x-5y=11的全部整数解表示为：253x ty t θ=+⎧⎨=+⎩（t 为整数），则θ= ；（2）请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解； （3）方程19x+8y=1908的正整数解有多少组? 请直接写出答案．30．某校为了丰富同学们的课外活动，决定给全校20个班每班配4副乒乓球拍和若干乒乓球，两家体育用品商店对同一款乒乓球拍和乒乓球推出让利活动，甲商店买一副乒乓球拍送10个乒乓球，乙商店所有商品均打九折（按标价的90％）销售，已知2副乒乓球拍和10个乒乓球110元，3副乒乓球拍和20个乒乓球170元。
部编数学七年级下册专题9.8不等式(组)的新定义问题大题专练(重难点培优30题)【拔尖特训】2023
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题9.8不等式（组）的新定义问题大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022春•庐阳区校级期中）对于任意实数m、n，定义一种新运算：m*n＝m﹣3n+7，等式右边是通常的加减运算，例如：2*3＝2﹣3×3+7＝0．（1）（8*2）的平方根为 ±3 ；（2）若关于x的不等式组3t＜2*x＜7解集中恰有3个整数解，求t的取值范围．【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，求出平方根即可；（2）已知不等式利用题中的新定义化简，根据解集中恰有3个整数解，确定出t的范围即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：8*2＝8﹣3×2+7＝8﹣6+7＝9，则9的平方根是±3；故答案为：±3；（2）根据题中的新定义化简得：3t＜2﹣3x+7＜7，解得：23＜x＜﹣t+3，∵该不等式的解集有3个整数解，∴该整数解为1，2，3，∴3＜﹣t+3≤4，解得：﹣1≤t＜0．2．（2021春•嘉鱼县期末）定义一种新运算“a△b”：当a≥b时，a△b＝a+2b；当a＜b时，a△b＝a﹣2b．例如：3△（﹣4）＝3+2×（﹣4）＝﹣5，1△2＝1﹣2×2＝﹣3．（1）填空：（﹣4）△3＝ ﹣10 ；（直接写结果）（2）若（3m﹣4）△（m+6）＝（3m﹣4）+2（m+6），求m的取值范围；（3）已知（3x﹣7）△（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．【分析】（1）根据新定义计算可得；（2）根据新定义结合已知条件知3m﹣4≥m+6，解之可得；（3）由题意可得3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，分别求解可得．【解答】解：（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣10，故答案为：﹣10；（2）∵（3m﹣4）△（m+6）＝（3m﹣4）+2（m+6），∴3m﹣4≥m+6，解得：m≥5；（3）由题意知，3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，解得：x＞5或x＜1．3．阅读下面材料：对于实数p，q，我们定义符号max{p，q}的意义为：当p≤q时，max{p，q}＝q；当p＞q时，max{p，q}＝p，如：max{2．﹣1}＝2；max{3，3}＝3．根据上面的材料回答下列问题：（1）max{﹣1，3}＝ 3 ；（2）当max{3x−12，2x13}=2x13时，求x的取值范围．【分析】（1）根据定义即可求得；（2）根据题意得出3x−12≤2x13，解不等式即可求得结论．【解答】解：（1）max{﹣1，3}＝3，故答案为3；（2）由定义得，3x−12≤2x13，9x﹣3≤4x+2，5x≤5，x≤1，故的取值范围是x≤1．4．（2020春•朝阳区校级期中）请你根据右框内所给的内容，完成下列各小题．（1）若m⊕n＝1，m⊕2n＝﹣2，分别求出m和n的值；（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．【分析】（1）根据新定义列出关于m、n的方程组，解之可得；（2）根据新定义列出关于m、n的不等式组，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：4m−3n=14m−6n=−2，解得：m=1 n=1；（2）根据题意，得：4m−6≤012m+24＞0，解得：﹣2＜m≤3 2．故m的取值范围是﹣2＜m≤3 2．5．（2022春•如皋市期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算：m◎n＝m+n﹣5，其中，等式右边是通常的加减运算．如：2◎3＝2+3﹣5＝0．若关于x的不等式组t＜2◎x＜7恰有3个整数解，求t的取值范围．【分析】已知不等式利用题中的新定义化简，根据解集中恰有3个整数解，确定出t的范围即可．【解答】解：由题意得：t＜2+x﹣5＜7．即t＜x﹣3＜7，∴t+3＜x＜10，∵该不等式组恰有3个整数解，即整数解x＝7，8，9，∴6≤t+3＜7，解得3≤t＜4．故t的取值范围是3≤t＜4．6．（2022春•新郑市期末）对于任意实数x，y定义一种新运算“#”：x#y＝xy+x﹣y．例如，3#5＝3×5+3﹣5＝13．（1）解不等式：3#x＜4；（2）若m＜2#x＜9，且该不等式组的解集中恰有两个整数解，请直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据新定义列出不等式3x+3﹣x＜4，解之即可；（2）由新定义得出2x+2−x＞m①2x+2−x＜9②，解之得出x＞m﹣2且x＜7，结合不等式组的整数解个数得出4≤m﹣2＜5，解之即可．【解答】解：（1）∵3#x＜4，∴3x+3﹣x＜4，解得x＜0.5；（2）∵m＜2#x＜9，∴2x+2−x＞m①2x+2−x＜9②，解不等式①，得：x＞m﹣2，解不等式②，得：x＜7，∵不等式组有2个整数解，∴4≤m﹣2＜5，∴6≤m＜7．7．（2018春•房山区期中）定义：对于任何有理数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣1.5]＝﹣2．（1）[﹣π]＝ ﹣4 ；（2）如果[x−12]＝﹣5，求满足条件的所有整数x；（3）直接写出方程6x﹣3[x]+7＝0的解 x=−83或x=−196 ．【分析】（1）由定义直接得出即可；（2）根据题意得出﹣5≤x−12＜−4，求出x的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解；（3）整理得出[x]=76x3，方程右边式子为整数，表示出x只能为负数，得出x﹣1＜76x3＜x，求出x的取值范围，确定出方程的解即可．【解答】解：（1）由题可得，[﹣π]＝﹣4；故答案为：﹣4；（2）﹣5≤x−12＜−4，解得﹣9≤x＜﹣7整数解为﹣9，﹣8；（3）由6x﹣3[x]+7＝0，得[x]=76x 3，所以76x3为整数，则（7+6x）为3的倍数，即x=3n−76（n为整数），又x﹣1＜76x3＜x，解得−206＜x＜−146；易知n＝﹣3时，3n﹣7＝﹣16符合要求，n＝﹣4时，3n﹣7＝﹣19符合要求，所以x=−83或x=−196．故答案为：x=−83或x=−196．8．（2022春•唐县期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数），例如：min{3，﹣1}＝﹣1，min=（1）min{﹣2，﹣3}＝ ﹣3 ；（2）若min{3x﹣1，2}＝2，求x的取值范围；【分析】（1）根据题中的新定义确定出所求即可；（2）根据题中的新定义得到3x﹣1与2的大小，求出x的范围即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：min{﹣2，﹣3}＝﹣3；故答案为：﹣3；（2）∵min{3x﹣1，2}＝2，∴3x﹣1≥2，解得：x≥1．9．（2022春•大观区校级期中）在实数范围内定义一种新运算“⊕”其运算规则为：a⊕b＝2a−32（a+b），如1⊕5＝2×1−32（1+5）＝﹣7．（1）若x⊕4＝0，则x＝ 12 ．（2）若关于x的方程x⊕m＝﹣2⊕（x+4）的解为非负数，求m的取值范围．【分析】（1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可．（2）根据所给的运算列出关于x的一元一次方程，解方程后得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：（1）∵a⊕b＝2a−32（a+b），∴x⊕4＝2x−32（x+4）=12x﹣6，∵x⊕4＝0，∴12x﹣6＝0，解得x＝12，故答案为：12；（2）∵a⊕b＝2a−32（a+b），∴x⊕m＝2x−32（x+m）=12x−32m，﹣2⊕（x+4）＝2×（﹣2）−32（﹣2+x+4）＝﹣4+3−32x﹣6=−32x﹣7，∴12x−32m=−32x﹣7，解得x=34m−72，∵关于x的方程（x⊕m）＝[﹣2⊕（x+4）]的解为非负数，∴34m−72≥0，∴m≥14 3，∴m的取值范围为m≥14 3．10．（2022春•三水区校级期中）定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2a ﹣b．例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．（1）填空；（﹣3）※2＝ ﹣8 ；（2x2+2x+2）※（x2﹣4）＝ 5x2+4x ；（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为 x≥7 ．（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围．【分析】（1）根据新运算公式计算可得；（2）结合新运算公式知3x﹣4≥2x+3，解之可得；（3）分两种情况得到关于x的不等式组，分别求解可得．【解答】解：（1）（﹣3）※2＝2×（﹣3）﹣2＝﹣8；∵（2x2+2x+2）﹣（x2﹣4）＝x2+2x+6＝（x+1）2+5＞0，∴（2x2+2x+2）※（x2﹣4）＝2（2x2+2x+2）+（x2﹣4）＝5x2+4x；故答案为：﹣8，5x2+4x；（2）∵（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），∴3x﹣4≥2x+3，解得：x≥7，故答案为：x≥7．（3）当2x﹣6≥9﹣3x时，则2（2x﹣6）+（9﹣3x）＜7，解得3≤x＜10；当2x﹣6＜9﹣3x时，则2（2x﹣6）﹣（9﹣3x）＜7，解得x＜3；综上，x的取值范围为：x＜10．11．（2018•余姚市模拟）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．（1）若x⊕y＝1，x⊕2y＝﹣2，分别求出x和y的值；（2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围．【分析】（1）根据定义新运算得到二元一次方程组，再解方程组即可求解；（2）根据定义新运算得到一元一次不等式组，再解不等式组即可求解．【解答】解：（1）根据题意得4x−3y=14x−3×2y=−2，解得x=1 y=1；（2）根据题意得4x−3×2≤04×3x−3×(−8)＞0，解得﹣2＜x≤3 2．故x的取值范围是﹣2＜x≤3 2．12．（2022•南京模拟）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．（1）填空：（﹣4）*3＝ ﹣10 ．（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为 x≥5 ；（3）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围；（4）计算（2x2+4x+8）*（x2+4x﹣2）．【分析】（1）根据新定义计算可得；（2）结合新定义知3x﹣4≥x+6，解之可得；（3）由题意可得3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，分别求解可得；（4）先利用作差法判断出2x2+4x+8＞x2+4x﹣2，再根据新定义计算（2x2+4x+8）*（x2+4x﹣2）即可求解．【解答】解：（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣8﹣6＝﹣10．故答案为：﹣10；（2）∵（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），∴3x﹣4≥x+6，解得：x≥5．故答案为：x≥5；（3）由题意知3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，解得：x＞5或x＜1．故x的取值范围是x＞5或x＜1；（4）∵2x2+4x+8﹣（x2+4x﹣2）＝2x2+4x+8﹣x2﹣4x+2＝x2+10＞0；∴2x2+4x+8＞x2+4x﹣2，原式＝2x2+4x+8+2（x2+4x﹣2）＝2x2+4x+8+2x2+8x﹣4＝4x2+12x+4．13．（2020•张家界）阅读下面的材料：对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．根据上面的材料回答下列问题：（1）min{﹣1，3}＝ ﹣1 ；（2）当min{2x−32，x23}=x23时，求x的取值范围．【分析】（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出2x−32≥x23，解不等式即可判断x的取值范围．【解答】解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）由题意得：2x−32≥x233（2x﹣3）≥2（x+2）6x﹣9≥2x+44x≥13x≥13 4，∴x的取值范围为x≥13 4．14．（2021春•罗湖区校级期末）已知关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m．（1）当m＝2时，请解关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m；（2）若关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m中，x为非负数、y为负数，①试求m的取值范围；②当m取何整数时，不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1．【分析】（1）把m＝2代入原方程组，再利用加减法解方程组即可；（2）①把m看作常数，解方程组，根据x为非负数、y为负数，列不等式组解出即可；②根据不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1，求出m的取值范围，综合①即可解答．【解答】解：（1）把m＝2代入方程组x−y=11−mx+y=7−3m中得：x−y=9①x+y=1②，①+②得：2x＝10，x＝5，①﹣②得：﹣2y＝8，y＝﹣4，∴方程组的解为：x=5y=−4；（2）①x−y=11−m①x+y=7−3m②，①+②得：2x＝18﹣4m，x＝9﹣2m，①﹣②得：﹣2y＝4+2m，y＝﹣2﹣m，∵x为非负数、y为负数，∴9−2m≥0−2−m＜0，解得：﹣2＜m≤92；②3mx+2x＞3m+2，（3m+2）x＞3m+2，∵不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1，∴3m+2＜0，∴m＜−2 3，由①得：﹣2＜m≤9 2，∴﹣2＜m＜−2 3，∵m整数，∴m＝﹣1；即当m＝﹣1时，不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1．15．（2020春•海淀区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①3x﹣1＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2关联方程是 ③ （填序号）．（2）若不等式组x−12＜11+x＞−3x+2的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 2x﹣2＝0 （写出一个即可）．（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m的关联方程，试求出m的取值范围．【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；（2）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可；（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．【解答】解：（1）①解方程3x﹣1＝0得：x=1 3，②解方程23x+1＝0得：x=−32，③解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，解不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2得：34＜x＜72，所以不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2的关联方程是③，故答案为：③；（2）解不等式x−12＜1得：x＜1.5，解不等式1+x＞﹣3x+2得：x＞0.25，则不等式组的解集为0.25＜x＜1.5，∴其整数解为1，则该不等式组的关联方程为2x﹣2＝0．故答案为：2x﹣2＝0．（3）解方程9﹣x＝2x得x＝3，解方程3+x＝2（x+12）得x＝2，解不等式组x＜2x−mx−2≤m得m＜x≤m+2，∵方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m的关联方程，∴1≤m ＜2．16．（2019春•宜宾期末）定义：对于任何有理数m ，符号[m ]表示不大于m 的最大整数．例如：[4.5]＝4，[8]＝8，[﹣3.2]＝﹣4．（1）填空：[π]＝ 3 ，[﹣2.1]+5＝ 2 ；（2）如果[5−2x 3]＝﹣4，求满足条件的x 的取值范围；（3）求方程4x ﹣3[x ]+5＝0的整数解．【分析】（1）根据题目所给信息求解；（2）根据题意得出：﹣4≤5−2x 3＜−3，求出x 的取值范围；（3）整理方程得[x ]=4x 53，根据定义得出x ﹣1＜4x 53≤x ，解不等式组求得x 的取值范围，即可求得整数x 为﹣7，﹣6，﹣5，由[x ]是整数，则满足4x 53为整数，即可求得x ＝﹣5．【解答】解：（1）由题意得：[π]＝3，[﹣2.1]+5＝﹣3+5＝2，故答案为3，2；（2）根据题意得：﹣4≤5−2x 3＜−3，解得：7＜x ≤172，则满足条件的x 的取值范围为7＜x ≤172；（3）整理得：[x ]=4x 53，∴x ﹣1＜4x 53≤x 解得不等式组的解集为：﹣8＜x ≤﹣5，∴整数x 为﹣7，﹣6，﹣5，∵[x ]是整数，∴4x 53为整数，∴x ＝﹣5，∴方程的整数解为x ＝﹣5．17．（2020春•西城区校级期中）阅读理解：我们把对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为《x 》，即当n为非负整数时，若n −12≤x ＜n +12，则《x 》＝n ．例如：《0.67》＝1，《2.49》＝2，…．请解决下列问题：（1）》＝ 1 ；（2）若《2x ﹣1》＝5，则实数x 的取值范围是 114≤x ＜134 ；（3）①《2x 》＝2《x 》；②当m 为非负整数时，《m +2x 》＝m +《2x 》；③满足《x 》=32x 的非负实数x 只有两个，其中结论正确的是 ②③ ．（填序号）【分析】（1）根据题意判断即可；（2）我们可以根据题意所述利用不等式解答；（3）根据题意可以判断题目中各个结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：（1）1．（2）若《2x ﹣1》＝5，则5−12≤2x ﹣1＜5+12，解得114≤x ＜134．（3）《2x 》＝2《x 》，例如当x ＝0.3时，《2x 》＝1，2《x 》＝0，故①错误；当m 为非负整数时，不影响“四舍五入”，故《m +2x 》＝m +《2x 》，故②正确；《x 》=32x ，则32x −12≤x ＜32x +12，解得﹣1＜x ≤1，∵32x 为非负整数，∴x ＝0或23，故③正确．故答案为：1；114≤x ＜134；②③．18．（2022春•定远县期末）阅读材料：如果x 是一个有理数，我们把不超过x 的最大整数记作[x ]．例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3，那么，x ＝[x ]+a ，其中0≤a ＜1．例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．请你解决下列问题：（1）[4.8]＝ 4 ，[﹣6.5]＝ ﹣7 ；（2）如果[x ]＝5，那么x 的取值范围是 5≤x ＜6 ；（3）如果[5x ﹣2]＝3x +1，那么x 的值是 53 ；（4）如果x ＝[x ]+a ，其中0≤a ＜1，且4a ＝[x ]+1，求x 的值．【分析】（1）根据新定义直接求解；（2）根据[x ]表示不超过x 的最大整数的定义即可求解；（3）根据[x ]表示不超过x 的最大整数的定义得：3x +1≤5x ﹣2＜3x +2，且3x +1是整数，计算可得结论；（4）根据4a ＝[x ]+1，表示a ，再根据a 的范围建立不等式x 值．【解答】解：（1）[4.8]＝4，[﹣6.5]＝﹣7．故答案为：4，﹣7．（2）如果[x ]＝5．那么x 的取值范围是5≤x ＜6．故答案为：5≤x ＜6．（3）如果[5x ﹣2]＝3x +1，那么3x +1≤5x ﹣2＜3x +2．解得：32≤x ＜2，∵3x +1是整数．∴x =53．故答案为：53．（4）∵x ＝[x ]+a ，其中0≤a ＜1，∴[x ]＝x ﹣a ，∵4a ＝[x ]+1，∴a =[x]14．∵0≤a ＜1，∴0≤[x]14＜1，∴﹣1≤[x ]＜3，∴[x ]＝﹣1，0，1，2．当[x ]＝﹣1时，a ＝0，x ＝﹣1；当[x ]＝0时，a =14，x =14；当[x ]＝1时，a =12，x =112；当[x ]＝2时，a =34，x =234；∴x ＝﹣1或14或112或234．19．（2021春•镇江期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．即当n为非负整数时，若n−1 2≤x＜n+12，则＜x＞＝n．如：＜3.2＞＝3，＜3.5＞＝4，＜3.8＞＝4．根据以上材料，解决下列问题：（1）填空：＜3.45＞＝ 3 ；（2）若＜2x+1＞＝3，求x满足的条件；（3）下面两个命题：①如果x≥0，m为非负整数，那么＜x+m＞＝m+＜x＞；②如果x≥0，k为非负整数，那么＜kx＞＝k＜x＞；请判断在这两个命题中属于假命题的是 ② ，并举反例说明；（4）满足＜x＞=23x+1的所有非负实数x的值为 32或3 ．【分析】（1）根据定义即可求解；（2）根据定义列出不等式即可求解；（3）通过举反例即可判断；（4）根据定义列出不等式即可求解．【解答】解：（1）∵3−12＜3.45＜3+12，∴＜3.45＞＝3，故答案为：3；（2）∵＜2x+1＞＝3，∴52≤2x+1＜72，解得：34≤x＜54；（3）②是假命题；反例为：x＝1.4，k＝2，＜kx＞＝＜2.8＞＝3，而k＜x＞＝2×＜1.4＞＝2×1＝2，＜kx＞≠k＜x＞；故答案为：②；（4）设23x+1=m，m为整数，则x=3m−32，∴[x]＝[3m−32]＝m，∴m−12≤3m−32＜m+12，∴2≤m＜4，∵m为整数，∴m＝2，或m＝3，∴x=32或x＝3．20．（2020春•崇川区校级期末）若x为实数，定义：[x]表示不大于x的最大整数．（1）例如[1.6]＝1，[π]＝ 3 ，[﹣2.82]＝ ﹣3 ．（请填空）（2）[x]+1是大于x的最小整数，对于任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，利用这个不等式，求出满足[x]＝2x﹣1的所有解．【分析】（1）根据[x]表示不大于x的最大整数即可求解；（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．【解答】解：（1）[π]＝3，[﹣2.82]＝﹣3．故答案为：3，﹣3．（2）∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]＝2x﹣1，∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，解得0＜x≤1，∵2x﹣1是整数，∴x＝0.5或x＝1，21．（2018春•开州区期末）设x是实数，现在我们用{x}表示不小于x的最小整数，如{3.2}＝4，{﹣2.6}＝﹣2，{4}＝4，{﹣5}＝5．在此规定下任一实数都能写出如下形式：x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1．（1）直接写出{x}与x，x+1的大小关系是 x≤{x}＜x+1 （由小到大）；（2）根据（1）中的关系式解决下列问题：①求满足{3x+11}＝6的x的取值范围；②解方程：{3.5x+2}＝2x−1 4．【分析】（1）x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1，b＝{x}﹣x，即0≤{x}﹣x＜1，即可判断三者的大小关系，（2）根据（1）中的关系得到关于x的一元一次不等式组，解之即可，②根据（1）中的关系得到关于x的一元一次不等式组，且2x−14为整数，即可求解．【解答】解：（1）∵x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1，∴b＝{x}﹣x，即0≤{x}﹣x＜1，∴x≤{x}＜x+1，故答案为：x≤{x}＜x+1，（2）①∵{3x+11}＝6，∴3x+11≤6＜（3x+11）+1，解得：﹣2＜x≤−5 3，即满足{3x+11}＝6的x的取值范围为：﹣2＜x≤−5 3，②∵{3.5x+2}＝2x−1 4，∴3.5x+2≤2x−14＜（3.5x+2）+1，且2x−14为整数，解不等式组得：−136＜x≤−32，∴−5512＜2x−14≤−314，整数2x−14为﹣4，解得：x=−15 8，即原方程的解为：x=−15 8．22．（2022•南京模拟）阅读材料：我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．完成下列各小题．（1）若a⊕b＝1，a⊕2b＝﹣5，分别求出a和b的值；（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．【分析】（1）根据新运算，得到方程组，解方程组即可求解；（2）根据新运算，得到不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）根据题意，得4a−3b=14a−3×2b=−5，解得：a=74 b=2，∴a和b的值分别为a=74，b＝2；（2）根据题意，得4m−3×2≤04×3m−3×(−8)＞0，解得：−2＜m≤3 2．∴m的取值范围−2＜m≤3 2．23．（2020春•长沙期末）对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数）．例如：F （2，3）＝2a +3b ．（1）已知F （2，﹣1）＝﹣1，F （3，0）＝3．①求a ，b 的值．②已知关于p 的不等式组F(3−2p ，3)≥4F(2，2−3p)＜−1求p 的取值范围；（2）若运算F 满足−2＜F(1，2)≤4−1＜F(2，1)≤5，请你求出F （k ，k ）的取值范围（用含k 的代数式表示，这里k 为常数且k ＞0）．【分析】（1）①根据F （2，﹣1）＝﹣1，F （3，0）＝3列出关于a 、b 的方程组，解之可得；②由F(3−2p ，3)≥4F(2，2−3p)＜−1列出关于p 的不等式组，解之可得；（2）根据−2＜F(1，2)≤4−1＜F(2，1)≤5列出关于a 、b 的不等式组，相加得出a +b 的取值范围，再进一步求解可得．【解答】解：（1）①由题意知2a−b =−13a =3，解得a =1b =3；②由题意知3−2p +9≥42+6−9p ＜−1，解得1＜p ≤4；（2）由题意知−2＜a +2b ≤4−1＜2a+b ≤5，∴﹣3＜3a +3b ≤9，∴﹣1＜a +b ≤3，∵F （k ，k ）＝ka +kb ，且﹣k ＜k （a +b ）≤3k ，∴﹣k ＜F （k ，k ）≤3k ．24．（2021春•朝阳区校级期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．问题：在关于x ，y 的二元一次方程组x−y =2x +y =a 中，x ＞1，y ＜0，求a 的取值范围．分析：在关于x 、y 的二元一次方程组中，利用参数a 的代数式表示x ，y ，然后根据x ＞1，y ＜0列出关于参数a 的不等式组即可求得a 的取值范围．解：由x−y =2x +y =a 解得x =a 22y =a−22，又因为x ＞1，y ＜010解得 0＜a ＜2 ．（2）请你按照上述方法，完成下列问题：①已知x ﹣y ＝4，且x ＞3，y ＜1，求x +y 的取值范围；②已知a ﹣b ＝m ，在关于x ，y 的二元一次方程组2x−y =−1x +2y =5a−8中，x ＜0，y ＞0，请直接写出a +b 的取值范围 3﹣m ＜a +b ＜4﹣m （结果用含m 的式子表示）．【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；（2）①根据（1）阅读中的方法解题即可求解；②解方程组2x−y =−1x +2y =5a−8得：x =a−2y =2a−3，根据x ＜0，y ＞0可得1.5＜a ＜2，进一步得到a +b 的取值范围．【解答】解：（11①＜0②，∵解不等式①得：a ＞0，解不等式②得：a ＜2，∴不等式组的解集为0＜a ＜2，故答案为：0＜a ＜2；（2）①设x +y ＝a ，则x−y =4x +y =a ，解得：x =y =a−42，∵x ＞3，y ＜1，＞3＜1，解得：2＜a ＜6，即2＜x +y ＜6；②解方程组2x−y =−1x +2y =5a−8得：x =a−2y =2a−3，∵x ＜0，y ＞0，∴a−2＜02a−3＞0，解得：1.5＜a ＜2，∵a ﹣b ＝m ，∴b ＝a ﹣m ，a +b ＝a +a ﹣m ，∵1.5＜a＜2，∴3﹣m＜a+a﹣m＜4﹣m，∴3﹣m＜a+b＜4﹣m．故答案为：3﹣m＜a+b＜4﹣m．25．（2021•椒江区校级开学）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a⊕b＝a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算，例如：3⊕5＝3﹣3×5+7＝﹣5．（1）7⊕4＝ 2 ；⊕10 ．（2）若2x⊕y＝12，x⊕3＝2y，求xy的平方根；（3）若3m＜2⊕x＜7，且解集中恰有3个整数解，求m的取值范围．【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算求出x与y的值，计算出xy的值，求出平方根即可；（3）已知不等式利用题中的新定义化简，根据解集中恰有3个整数解，确定出m的范围即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：7⊕4＝7﹣3×4+7＝2；1）31）+7=+3+7＝﹣10；故答案为：2；﹣10；（2）∵2x⊕y＝12，x⊕3＝2y，∴2x−3y+7=12 x−9+7=2y，解得：x=4 y=1，则xy＝4，4的平方根是±2；（3）由题意得：2−3x+7＜7①2−3x+7＞3m②，由①得：x＞2 3，由②得：x＜3﹣m，∴不等式组的解集为23＜x＜3﹣m，∵该不等式组有3个整数解，整数解为1，2，3，∴3＜3﹣m≤4，解得：﹣1≤m＜0．26．（2020春•微山县期末）阅读新知现对x，y进行定义一种运算，规定f（x，y）=mx ny2（其中m，n为常数且mn≠0），等式的右边就是加、减、乘、除四则运算．例如：f（2，0）=m×2n×02=m应用新知（1）若f（1，1）＝5，f（2，1）＝8，求m，n的值；拓展应用（2）已知f（﹣3，0）＞﹣3，f（3，0）＞−92，且m+n＝16，请你求出符合条件的m，n的整数值．【分析】（1）根据题中的新定义列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；（2）根据题中的新定义列出不等式组，求得不等式组的解，根据m+n＝16确定出m、n的整数值．【解答】解：（15=8，解得：m=6 n=4；（2＞−3−92，解得：﹣3＜m＜2，∵m、n是整数，且m+n＝16，∴m=−2n=18或m=−1n=17或m=1n=15．27．（2020春•邗江区期末）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．（1）填空：（﹣4）*3＝ ﹣10 ．（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为 x≥5 ．（3）计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x﹣2）＝ 4x2+3 ．（4）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．【分析】（1）根据公式计算可得；（2）结合公式知3x﹣4≥x+6，解之可得；（3）先利用作差法判断出2x2﹣4x+7＞x2+2x﹣2，再根据公式计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x﹣2）即可得；（4）由题意可得3x−7≥3−2x 3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x 3x−7−2(3−2x)＜−6，分别求解可得；【解答】解：（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣10，故答案为：﹣10；（2）∵（3x ﹣4）*（x +6）＝（3x ﹣4）+2（x +6），∴3x ﹣4≥x +6，解得：x ≥5，故答案为：x ≥5．（3）∵2x 2﹣4x +7﹣（x 2+2x ﹣2）＝x 2﹣6x +9＝（x ﹣3）2≥0；∴2x 2﹣4x +7≥x 2+2x ﹣2，原式＝2x 2﹣4x +7+2（x 2+2x ﹣2）＝2x 2﹣4x +7+2x 2+4x ﹣4＝4x 2+3；（4）由题意知3x−7≥3−2x 3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x 3x−7−2(3−2x)＜−6，解得：x ＞5或x ＜1；28．（2020•河北模拟）定义新运算：对于任意实数m 、n 都有m ☆n ＝mn ﹣3n ．例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：（1）x ☆12＞4，求x 取值范围；（2）若|x ☆（−14）|＝3，求x 的值；（3）若方程x ☆□x ＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x ＝1，求□中的常数．【分析】（1）根据已知公式得出12x −32＞4，解之可得答案；（2）根据公式得出|−14x +34|＝3，即可得出−14x +34=3或−14x +34=−3，解之可得答案；（3）根据公式得到□x 2﹣3•□x ＝6，把x ＝1代入得到□﹣3□＝6，即可求得□＝﹣3．【解答】解：（1）∵x ☆12＞4，∴12x −32＞4，解得：x ＞11；（2）∵|x ☆（−14）|＝3，∴|−14x +34|＝3，∴−14x +34=3或−14x +34=−3，解得：x ＝﹣9或x ＝15；（3）∵方程x ☆□x ＝6，∴□x 2﹣3•□x ＝6，∵方程的一个解为x ＝1，∴□﹣3□＝6，∴□＝﹣3．29．（2021春•海州区期末）对x ，y 定义一种新运算F ，规定：F （x ，y ）＝（mx +ny ）（3x ﹣y ）（其中m ，n 均为非零常数）．例如：F （1，1）＝2m +2n ，F （﹣1，0）＝3m ．（1）已知F （1，﹣1）＝﹣8，F （1，2）＝13．①求m ，n 的值；②关于a 的不等式组F(a ，3a +1)＞−95F(5a ，2−3a)≥340，求a 的取值范围；（2）当x 2≠y 2时，F （x ，y ）＝F （y ，x ）对任意有理数x ，y 都成立，请直接写出m ，n 满足的关系式．【分析】（1）①根据定义的新运算F ，将F （1，﹣1）＝﹣8，F （1，2）＝13代入F （x ，y ）＝（mx +ny ）（3x ﹣y ），得到关于m 、n 的二元一次方程组，求解即可；②根据题中新定义化简已知不等式组，再求出不等式组的解集即可；（2）由F （x ，y ）＝F （y ，x ）列出关系式，整理后即可确定出m 与n 的关系式．【解答】解：（1）①根据题意得：F （1，﹣1）＝（m ﹣n ）（3×1+1）＝﹣8，即m ﹣n ＝﹣2；F （1，2）＝（m +2n ）（3×1﹣2）＝13，即m +2n ＝13，解得：m ＝3，n ＝5；②根据题意得：F （x ，y ）＝（3x +5y ）（3x ﹣y ），F（a，3a+1）＝（3a+15a+5）（3a﹣3a﹣1）＝﹣18a﹣5，F（5a，2﹣3a）＝（15a+10﹣15a）（15a﹣2+3a）＝180a﹣20．由−18a−5＞−95①180a−20≥340②，解不等式①得：a＜5，解不等式②得：a≥2，故原不等式组的解集为2≤a＜5；（2）由F（x，y）＝F（y，x），得（mx+ny）（3x﹣y）＝（my+nx）（3y﹣x），整理得：（x2﹣y2）（3m+n）＝0，∵当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x，y都成立，∴3m+n＝0，即n＝﹣3m．30．（2021春•大连期末）对x，y定义一种新的运算P，规定：P（x，y）=mx+ny，(x≥y)nx+my，(x＜y)（其中mn≠0）．已知P（2，1）＝7，P（﹣1，1）＝﹣1．（1）求m、n的值；（2）若a＞0，解不等式组P(2a，a−1)＜4P(−12a−1，−13a)≤−5．【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于m、n的方程组，再解之即可；（2）由a＞0得出2a＞a﹣1，−12a﹣1＜−13a，根据新定义列出关于a的不等式组，解之即可．【解答】解：（1）由题意，得：2m+n=7−n+m=−1，解得m=2 n=3；（2）∵a＞0，∴2a＞a，∴2a＞a﹣1，−12a＜−13a，∴−12a﹣1＜−13a，∴2×2a+3(a−1)＜4①3(−12a−1)+2×(−13a)≤−5②，解不等式①，得：a＜1，解不等式②，得：a≥12 13，12 13≤a＜1．∴不等式组的解集为。
初一下数学《不等式》培优训练题.doc
呼市启秀中学初一数学培优训练《不等式》¥ V Q1、若不等式组’有解，则也的取值范围是___ •x> m\ > 32、若不等式组’的解集为x〉a,则a的取值范围是_____ .x> a3、若不等式组$ + 8<力-1，的解集为*>3,则也的取值范围是_____________ 。
[x> m4、若不等式组r+8-2m无解，则的取值范围是____________________ 。
x-5<3m5、已知关于x的不等式组[X~a-°的整数解共有5个，则a的取值范围[3-2x>-l是_________ O6、（呼市2009）试确定。
的取值范围，使以下不等式组只有一个整数解.r , x+iI兀+盲->i，[1. 5a—~^~（x+1）—x） +0. 5（2x— 1）.x < 2,7、已知关于*的不等式组L>-1,无解，贝卜的取值范围是_________ ox<a8、a为何值时，方程组[2—3y = a + l，的解满足尢，丁均为正数？x + 2y = a9、若方程组产+"心，的解乂，y满足0<x + y<l,则*的取值范围|x + 3y = 3是____________ O10、不等式空±1 + 1〉竺二1的解集是%<-,则a应满足。
3 3 3 --------------------11、已知不等式¥ + 3<¥的解都是不等式+专的解，则a的取值范围2 63 2 3 2是__________ •12、已知：关升的方程岁-叩呵的解的非正数’求讪取值范围*13、已右关于x, y的方程组i x + 2y~1,[x-2y = m.Cl)求这个方程组的解；(2)当加取何值时，这个方程组的解兀大于1, y不小于-1・2x + 3y = 3m + y14、已知关于x, y的方程组满足｛7,且它的解是一对正数。
人教版初一不等式培优题集教师版本附答案
第五次培优初中数学竞赛专项训练（不等式）一、选择题：1、若不等式｜x+1｜+｜x-3｜≤a 有解，则a 的取值范围是 （ ）A. 0＜a ≤4B. a ≥4C. 0＜a ≤2D. a ≥2 2、已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且d c b a <，给出下列四个不等式：①d c c b a a +>+ ②dc cb a a +<+ ③d c c b a b +>+ ④dc d b a b +<+其中正确的是 （ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 3、已知a 、b 、c 满足a ＜b ＜c ，ab+bc+ac ＝0，abc ＝1，则 （ ） A. ｜a+b ｜＞|c| B. |a+b|＜|c| C. |a+b|=|c| D. |a+b|与|c|的大小关系不能确定4、关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 235352只有5个整数解，则a 的取值范围是 （ ）A. -6<a<-211 B. -6≤a<-211 C. -6＜a ≤-211 D. -6≤a ≤-211 5、设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不等的实数根1x 、2x ，且1x ＜1＜2x ，那么a 的取值范围是（ ）A. 5272<<-a B. 52>a C. 72-<a D.0112<<-a 6、下列命题：①若a=0，b ≠0，则方程b ax =无解 ②若a=0，b ≠0，则不等式b ax >无解 ③若a ≠0，则方程b ax =有惟一解 ④若a ≠0，则不等式b ax >的解为abx >，其中（ ）A. ①②③④都正确B. ①③正确，②④不正确C. ①③不正确，②④正确D. ①②③④都不正确7、已知不等式①|x-2|≤1 ②1)2(2≤-x ③0)3)(1(≤--x x ④031≤--x x 其中解集是31≤≤x 的不等式为（ ） A. ①B. ①②C. ①②③D. ①②③④8、设a 、b 是正整数，且满足56≤a+b ≤59，0.9＜ba＜0.91，则b 2-a 2等于 （ ）A. 171B. 177C. 180D. 182二、填空题： 1、若方程122-=-+x ax 的解是正数，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2、乒乓球队开会，每名队员坐一个凳子，凳子有两种：方凳（四脚）或圆凳（三脚），一个小孩走进会场，他数得人脚和凳脚共有33条（不包括小孩本身），那么开会的队员共有＿＿＿＿名。
初一不等式难题-经典题训练(附答案)
初一不等式难题-经典题训练(附答案)1.已知不等式 $3x-a\leq 0$ 的正整数解正好是 1,2,3，则$a$ 的取值范围是多少？2.已知关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases} x-a>\dfrac{1}{5-2x}-1 \\ 5-2x\geq -1 \end{cases}$ 无解，则 $a$ 的取值范围是多少？3.若关于 $x$ 的不等式 $(a-1)x-a+2>0$ 的解集为 $x<2$，则 $a$ 的值为多少？4.若不等式组 $\begin{cases} x-a>2 \\ b-2x>\dfrac{x+4}{x+1} \end{cases}$ 的解集为 $-1<x<1$，则$\dfrac{a+b}{b-2}$ 的值为多少？5.已知关于 $x$ 的不等式组的解集为 $\begin{cases}3x+2a<0 \\ x+a<2 \end{cases}$，若 $x<2$，则 $a$ 的取值范围是多少？6.若方程组 $\begin{cases} 4x+y=k+1 \\ x+4y=3\end{cases}$ 的解满足 $x+y<1$，则 $k$ 的取值范围是多少？7.不等式组 $\begin{cases} x+9m+1 \end{cases}$ 的解集是$x>2$，则 $m$ 的取值范围是多少？8.不等式 $(x+x)(2-x)<0$ 的解集是什么？9.当 $a>3$ 时，不等式 $ax+2<3x+b$ 的解集是 $x<2$，则$b$ 等于多少？10.已知 $a,b$ 为常数，若 $ax+b>0$ 的解集是$x<\dfrac{1}{3}$，则不等式 $bx-a<0$ 的解集是什么？11.不等式组 $\begin{cases} 7x-m\geq 0 \\ 6x-n\leq 0\end{cases}$ 的正整数解仅为 1,2,3，则合适的整数对$(m,n)$ 有多少个？12.已知非负数 $x,y,z$ 满足$\dfrac{x}{2}+\dfrac{3y}{4}+\dfrac{5z}{6}=\dfrac{1}{2}$，设$\omega=3x+4y+5z$，求 $\omega$ 的最大值和最小值。
[数学]-专项9.8不等式(组)的新定义问题大题专练(重难点培优30题)-【】2022-2023学年
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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题9.8不等式（组）的新定义问题大题专练（重难点培优30题） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022春•庐阳区校级期中）对于任意实数m 、n ，定义一种新运算：m *n ＝m ﹣3n +7，等式右边是通常的加减运算，例如：2*3＝2﹣3×3+7＝0．（1）（8*2）的平方根为 ；（2）若关于x 的不等式组3t ＜2*x ＜7解集中恰有3个整数解，求t 的取值范围．2．（2021春•嘉鱼县期末）定义一种新运算“a △b ”：当a ≥b 时，a △b ＝a +2b ；当a ＜b 时，a △b ＝a ﹣2b ．例如：3△（﹣4）＝3+2×（﹣4）＝﹣5，1△2＝1﹣2×2＝﹣3．（1）填空：（﹣4）△3＝ ；（直接写结果）（2）若（3m ﹣4）△（m +6）＝（3m ﹣4）+2（m +6），求m 的取值范围；（3）已知（3x ﹣7）△（3﹣2x ）＜﹣6，求x 的取值范围．3．阅读下面材料：对于实数p ，q ，我们定义符号max {p ，q }的意义为：当p ≤q 时，max {p ，q }＝q ；当p ＞q 时，max {p ，q }＝p ，如：max {2．﹣1}＝2；max {3，3}＝3．根据上面的材料回答下列问题：（1）max {﹣1，3}＝ ；（2）当max {3x−12，2x+13}=2x+13时，求x 的取值范围． 4．（2020春•朝阳区校级期中）请你根据右框内所给的内容，完成下列各小题．（1）若m ⊕n ＝1，m ⊕2n ＝﹣2，分别求出m 和n 的值；（2）若m 满足m ⊕2≤0，且3m ⊕（﹣8）＞0，求m 的取值范围．我们定义一个关于有理数a ，b 的新运算，规定：a ⊕b ＝4a ﹣3b ．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．5．（2022春•如皋市期末）对于任意实数m ，n ，定义一种新运算：m ◎n ＝m +n ﹣5，其中，等式右边是通常的加减运算．如：2◎3＝2+3﹣5＝0．若关于x 的不等式组t ＜2◎x ＜7恰有3个整数解，求t 的取值范围．6．（2022春•新郑市期末）对于任意实数x ，y 定义一种新运算“#”：x #y ＝xy +x ﹣y ．例如，3#5＝3×5+3﹣5＝13．（1）解不等式：3#x ＜4；（2）若m ＜2#x ＜9，且该不等式组的解集中恰有两个整数解，请直接写出m 的取值范围．7．（2018春•房山区期中）定义：对于任何有理数a ，符号[a ]表示不大于a 的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣1.5]＝﹣2．（1）[﹣π]＝ ；（2）如果[x−12]＝﹣5，求满足条件的所有整数x ；（3）直接写出方程6x ﹣3[x ]+7＝0的解 ．8．（2022春•唐县期末）规定min （m ，n ）表示m ，n 中较小的数（m ，n 均为实数），例如：min {3，﹣1}＝﹣1，min {√2，√2}=√2据此解决下列问题：（1）min {﹣2，﹣3}＝ ；（2）若min {3x ﹣1，2}＝2，求x 的取值范围；9．（2022春•大观区校级期中）在实数范围内定义一种新运算“⊕”其运算规则为：a ⊕b ＝2a −32（a +b ），如1⊕5＝2×1−32（1+5）＝﹣7．（1）若x ⊕4＝0，则x ＝ ．（2）若关于x 的方程x ⊕m ＝﹣2⊕（x +4）的解为非负数，求m 的取值范围．10．（2022春•三水区校级期中）定义一种新运算“a ※b ”：当a ≥b 时，a ※b ＝2a +b ；当a ＜b 时，a ※b ＝2a ﹣b ．例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．（1）填空；（﹣3）※2＝ ；（2x 2+2x +2）※（x 2﹣4）＝ ；（2）若（3x ﹣4）※（2x +3）＝2（3x ﹣4）+（2x +3），则x 的取值范围为 ．（3）已知（2x ﹣6）※（9﹣3x ）＜7，求x 的取值范围．11．（2018•余姚市模拟）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．（1）若x ⊕y ＝1，x ⊕2y ＝﹣2，分别求出x 和y 的值；（2）若x 满足x ⊕2≤0，且3x ⊕（﹣8）＞0，求x 的取值范围．12．（2022•南京模拟）定义一种新运算“a *b ”：当a ≥b 时，a *b ＝a +2b ；当a ＜b 时，a *b ＝a ﹣2b ． 例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．（1）填空：（﹣4）*3＝ ．（2）若（3x ﹣4）*（x +6）＝（3x ﹣4）+2（x +6），则x 的取值范围为 ；（3）已知（3x ﹣7）*（3﹣2x ）＜﹣6，求x 的取值范围；（4）计算（2x 2+4x +8）*（x 2+4x ﹣2）．13．（2020•张家界）阅读下面的材料：对于实数a ，b ，我们定义符号min {a ，b }的意义为：当a ＜b 时，min {a ，b }＝a ；当a ≥b 时，min {a ，b }＝b ，如：min {4，﹣2}＝﹣2，min {5，5}＝5．根据上面的材料回答下列问题：（1）min {﹣1，3}＝ ；（2）当min {2x−32，x+23}=x+23时，求x 的取值范围． 14．（2021春•罗湖区校级期末）已知关于x 、y 的方程组{x −y =11−m x +y =7−3m． （1）当m ＝2时，请解关于x 、y 的方程组{x −y =11−m x +y =7−3m； （2）若关于x 、y 的方程组{x −y =11−m x +y =7−3m中，x 为非负数、y 为负数， ①试求m 的取值范围；②当m 取何整数时，不等式3mx +2x ＞3m +2的解为x ＜1．15．（2020春•海淀区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①3x ﹣1＝0；②23x +1＝0；③x ﹣（3x +1）＝﹣5中，不等式组{−x +2＞x −53x −1＞−x +2关联方程是 （填序号）．（2）若不等式组{x −12＜11+x ＞−3x +2的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 （写出一个即可）．（3）若方程9﹣x ＝2x ，3+x ＝2（x +12）都是关于x 的不等式组{x ＜2x −m x −2≤m的关联方程，试求出m 的取值范围．16．（2019春•宜宾期末）定义：对于任何有理数m ，符号[m ]表示不大于m 的最大整数．例如：[4.5]＝4，[8]＝8，[﹣3.2]＝﹣4．（1）填空：[π]＝ ，[﹣2.1]+5＝ ；（2）如果[5−2x 3]＝﹣4，求满足条件的x 的取值范围；（3）求方程4x ﹣3[x ]+5＝0的整数解．17．（2020春•西城区校级期中）阅读理解：我们把对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为《x 》，即当n 为非负整数时，若n −12≤x ＜n +12，则《x 》＝n ．例如：《0.67》＝1，《2.49》＝2，…．请解决下列问题：（1）《√2》＝ ；（2）若《2x ﹣1》＝5，则实数x 的取值范围是 ；（3）①《2x 》＝2《x 》；②当m 为非负整数时，《m +2x 》＝m +《2x 》；③满足《x 》=32x 的非负实数x 只有两个，其中结论正确的是 ．（填序号）18．（2022春•定远县期末）阅读材料：如果x 是一个有理数，我们把不超过x 的最大整数记作[x ]． 例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3，那么，x ＝[x ]+a ，其中0≤a ＜1．例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．请你解决下列问题：（1）[4.8]＝ ，[﹣6.5]＝ ；（2）如果[x ]＝5，那么x 的取值范围是 ；（3）如果[5x ﹣2]＝3x +1，那么x 的值是 ；（4）如果x ＝[x ]+a ，其中0≤a ＜1，且4a ＝[x ]+1，求x 的值．19．（2021春•镇江期末）对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为＜x ＞．即当n 为非负整数时，若n−12≤x＜n+12，则＜x＞＝n．如：＜3.2＞＝3，＜3.5＞＝4，＜3.8＞＝4．根据以上材料，解决下列问题：（1）填空：＜3.45＞＝；（2）若＜2x+1＞＝3，求x满足的条件；（3）下面两个命题：①如果x≥0，m为非负整数，那么＜x+m＞＝m+＜x＞；②如果x≥0，k为非负整数，那么＜kx＞＝k＜x＞；请判断在这两个命题中属于假命题的是，并举反例说明；（4）满足＜x＞=23x+1的所有非负实数x的值为．20．（2020春•崇川区校级期末）若x为实数，定义：[x]表示不大于x的最大整数．（1）例如[1.6]＝1，[π]＝，[﹣2.82]＝．（请填空）（2）[x]+1是大于x的最小整数，对于任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，利用这个不等式，求出满足[x]＝2x﹣1的所有解．21．（2018春•开州区期末）设x是实数，现在我们用{x}表示不小于x的最小整数，如{3.2}＝4，{﹣2.6}＝﹣2，{4}＝4，{﹣5}＝5．在此规定下任一实数都能写出如下形式：x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1．（1）直接写出{x}与x，x+1的大小关系是（由小到大）；（2）根据（1）中的关系式解决下列问题：①求满足{3x+11}＝6的x的取值范围；②解方程：{3.5x+2}＝2x−1 4．22．（2022•南京模拟）阅读材料：我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．完成下列各小题．（1）若a⊕b＝1，a⊕2b＝﹣5，分别求出a和b的值；（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．23．（2020春•长沙期末）对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数）．例如：F（2，3）＝2a+3b．（1）已知F（2，﹣1）＝﹣1，F（3，0）＝3．①求a，b的值．②已知关于p的不等式组{F(3−2p，3)≥4F(2，2−3p)＜−1求p的取值范围；（2）若运算F 满足{−2＜F(1，2)≤4−1＜F(2，1)≤5，请你求出F （k ，k ）的取值范围（用含k 的代数式表示，这里k 为常数且k ＞0）． 24．（2021春•朝阳区校级期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．问题：在关于x ，y 的二元一次方程组{x −y =2x +y =a中，x ＞1，y ＜0，求a 的取值范围． 分析：在关于x 、y 的二元一次方程组中，利用参数a 的代数式表示x ，y ，然后根据x ＞1，y ＜0列出关于参数a 的不等式组即可求得a 的取值范围．解：由{x −y =2x +y =a 解得{x =a+22y =a−22，又因为x ＞1，y ＜0，所以{a+22＞1a−22＜0解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题：①已知x ﹣y ＝4，且x ＞3，y ＜1，求x +y 的取值范围；②已知a ﹣b ＝m ，在关于x ，y 的二元一次方程组{2x −y =−1x +2y =5a −8中，x ＜0，y ＞0，请直接写出a +b 的取值范围 （结果用含m 的式子表示）．25．（2021•椒江区校级开学）对于任意实数a ，b ，定义一种新运算：a ⊕b ＝a ﹣3b +7，等式右边是通常的加减运算，例如：3⊕5＝3﹣3×5+7＝﹣5．（1）7⊕4＝ ；√2⊕(√2−1)= ．（2）若2x ⊕y ＝12，x ⊕3＝2y ，求xy 的平方根；（3）若3m ＜2⊕x ＜7，且解集中恰有3个整数解，求m 的取值范围．26．（2020春•微山县期末）阅读新知现对x ，y 进行定义一种运算，规定f （x ，y ）=mx+ny 2（其中m ，n 为常数且mn ≠0），等式的右边就是加、减、乘、除四则运算．例如：f （2，0）=m×2+n×02=m 应用新知（1）若f （1，1）＝5，f （2，1）＝8，求m ，n 的值；拓展应用（2）已知f （﹣3，0）＞﹣3，f （3，0）＞−92，且m +n ＝16，请你求出符合条件的m ，n 的整数值．27．（2020春•邗江区期末）定义一种新运算“a *b ”：当a ≥b 时，a *b ＝a +2b ；当a ＜b 时，a *b ＝a﹣2b ．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．（1）填空：（﹣4）*3＝ ．（2）若（3x ﹣4）*（x +6）＝（3x ﹣4）+2（x +6），则x 的取值范围为 ．（3）计算（2x 2﹣4x +7）*（x 2+2x ﹣2）＝ ．（4）已知（3x ﹣7）*（3﹣2x ）＜﹣6，求x 的取值范围．28．（2020•河北模拟）定义新运算：对于任意实数m 、n 都有m ☆n ＝mn ﹣3n ．例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：（1）x ☆12＞4，求x 取值范围； （2）若|x ☆（−14）|＝3，求x 的值；（3）若方程x ☆□x ＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x ＝1，求□中的常数．29．（2021春•海州区期末）对x ，y 定义一种新运算F ，规定：F （x ，y ）＝（mx +ny ）（3x ﹣y ）（其中m ，n 均为非零常数）．例如：F （1，1）＝2m +2n ，F （﹣1，0）＝3m ．（1）已知F （1，﹣1）＝﹣8，F （1，2）＝13．①求m ，n 的值；②关于a 的不等式组{F(a ，3a +1)＞−95F(5a ，2−3a)≥340，求a 的取值范围； （2）当x 2≠y 2时，F （x ，y ）＝F （y ，x ）对任意有理数x ，y 都成立，请直接写出m ，n 满足的关系式．30．（2021春•大连期末）对x ，y 定义一种新的运算P ，规定：P （x ，y ）={mx +ny ，(x ≥y)nx +my ，(x ＜y)（其中mn ≠0）．已知P （2，1）＝7，P （﹣1，1）＝﹣1．（1）求m 、n 的值；（2）若a ＞0，解不等式组{P(2a ，a −1)＜4P(−12a −1，−13a)≤−5．。
七年级下册数学不等式难题
七年级下册【不等式】5大易错题型+答案解析典型题1：难度★已知关于x的不等式(m-1)x+m-1>0的解集是x<-1，则m的取值范围是.【解题思路】告诉了x的取值范围，因此用关于m的代数式表示x的范围.注意不等式两边同除以未知数系数时，注意不等号方向是否改变。
【答案解析】不等式两边都加上一(m-1)，得(m-1)x>-(m-1)因为不等式的解集是x<-1，所以两边应除以负数(m-1)，即m-1<0，得m<1.典型题2：难度★★若关于x的不等式xa只有三个正整数解，则a的取值范围是 ( ).A.3<a≤4 B.3≤a＜4 C.3≤a≤4 D.3<a<4【解题思路】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范围。
【答案解析】不等式x≤a只有三个正整数解，∴三个正整数解为:1，2，3 ∴3≤a＜4，选B.典型题3：难度★★若a<0，-1<b<0，则a、ab、ab²的大小关系是.【解题思路】取特殊值是解决这类题的最简便方法(方法2)【答案解析】方法1、显然，ab是正数，a、ab²都是负数;因为-1<b<0，所以b²<1，两边都乘上负数a，得ab²>a，故应填a<ab²<ab.方法2、根据题意，三数的大小关系是唯一的，且不可能有任意两数相等，所以可取特例 a=-1,6=-1/2，进行验证.典型题4：难度★★★若关于x、y的二元一次方程组3x+y=1+a，x+3y=3 的解满足x+y2，则a的取值范围是.【解题思路】解关干x的一元一次不等式，就是要将不等式逐步化为x>a或x -a的形式，化简的依据是不等式的性质.观察方程组不难发现只要把两个方程相加即能求出x+y的值，因为x+y2，故可以构建关于a的不等式.然后利用不等式的性质就能求出a的取值范围.【答案解析】解:将两方程相加得:4x+4y=4+a将方程的两边同除以4得 x+y=4+a/4 依题意，4+a/4<2将不等式的两边同乘以4得4+a<8.将不等式的两边同时减去4得a<4.故a的取值范围是a<4.典型题5：易错指数★★★★若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围分别为．【答案解析】∵如果a≠0，不论 a 大于还是小于 0，对任意实数 x 不等式 ax>b 都成立是不可能的，∴a=0，则左边式子 ax=0，∴b<0 一定成立，∴a，b 的取值范围为 a=0，b<0。
（完整版）初一数学下册不等式试卷(含答案) 培优试题
一、选择题1．如图，在数轴上，已知点A ，B 分别表示数1，23x -+，那么数轴上表示数2x -+的点应落在( )A ．点A 的左边B ．线段AB 上C ．点B 的右边D ．数轴的任意位置 2．小兰：“小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？”小红：“哦，…，我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了 5 支笔和 10 本笔记本共花了 42 元钱，第二次买了 10 文笔和 5 本笔记本共花了 30 元钱．”请根据小红与小兰的对话，求得小红所买的笔和笔 记本的价格分别是( )A ．0.8 元／支，2.6 元／本B ．0.8 元／支，3.6 元／本C ．1.2 元／支，2.6 元／本D ．1.2 元／支，3.6 元／本 3．若a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ac bc < B ．21a b ->- C ．11a b -<- D ．||||a b > 4．若关于x 的不等式0ax b ->的解集是12x <，则关于x 的不等式bx a <的解集是（ ） A ．2x <-B ．2x <C ．2x >-D ．2x > 5．若关于x 的不等式31x m 的正整数解是1，2，3，则整数m 的最大值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 6．喜迎建党100周年，某校举行党史知识竞赛，共30道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于80分得奖，那么得奖至少应选对的题数是（ ）A ．23B ．24C ．25D ．267．设[x ）表示大于x 的最小整数，如[3）=4，[-1.2）=-1，下列结论：①[0）=0；②[x ）-x 的最小值是0；③[x ）-x 的最大值是1；④存在实数x ，使[x ）-x =0.5成立，其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．②③④8．若不等式组5231x a x x >⎧⎨+<+⎩的解集为x ＞4，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞4 B ．a ＜4 C ．a ≤4 D ．a ≥49．某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至多可以答错的试题道数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．已知关于x 的不等式组100x x a ->⎧⎨-≤⎩，有以下说法： ①如果它的解集是1＜x ≤4，那么a ＝4；②当a ＝1时，它无解；③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a ＜5；④如果它有解，那么a ≥2．其中说法正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．某校七年级有4个班，共180人，（1）班至（4）班的人数分别a ，b ，c ，d ()a b c d <<<．已知（1）班的人数不少于41人，且b c a d +>+，则（4）班人数为______．12．已知实数a ，b ，满足14a b ≤+≤，01a b ≤-≤且2a b -有最大值，则82021a b +的值是__________．13．对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为x <>，即：当n 为非负整数时，如果1122n x n -<+，则x n <>=．如：0.480<>=， 3.54<>=．如果43x x <>=，则x =___________．14．若不等式组01x a x a -⎧⎨-⎩-的解集中的任何一个x 的值均不在2≤x ≤5的范围内，则a 的取值范围为________．15．不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为2x <，则k 的取值范围为_____． 16．若关于x 的不等式组{2x 713x a 12-≤->的整数解共有6个，则a 的取值范围是______． 17．在关于x 、y 的方程组2728x y m x y m+=+⎧⎨+=-⎩中，未知数满足x≥0，y ＞0，那么m 的取值范围是_________________．18．对于任意实数m 、n ，定义一种运算m ※n ＝mn ﹣m ﹣n +3，例如：3※5＝3×5﹣3﹣5+3＝10．请根据上述定义解决问题：若a ＜4※x ＜7，且解集中有三个整数解，则整数a 的取值可以是_________．19．若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集为11x -<<，则()a b +的立方根是______． 20．已知不等式组()32215233x a x x x ⎧+<+⎪⎨-<+⎪⎩的整数解有3个，则a 的取值范围为______． 三、解答题21．如图，数轴上两点A 、B 对应的数分别是﹣1，1，点P 是线段AB 上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q ，满足|PQ |＝2，那么我们把这样的点Q 表示的数称为连动数，特别地，当点Q 表示的数是整数时我们称为连动整数．（1）﹣3，0，2.5是连动数的是 ；（2）关于x 的方程2x ﹣m ＝x +1的解满足是连动数，求m 的取值范围 ； （3）当不等式组11212()3x x a +⎧>-⎪⎨⎪+-⎩的解集中恰好有4个解是连动整数时，求a 的取值范围． 22．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A 、B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润 = 销售收入-进货成本）（1）求A 、B 两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．23．请阅读求绝对值不等式3x <和3x >的解的过程．对于绝对值不等式3x <，从图1的数轴上看：大于3-而小于3的数的绝对值小于3，所以3x <的解为33x -<<；对于绝对值不等式3x >，从图2的数轴上看：小于3-或大于3的数的绝对值大于3，所以3x >的解为3x <-或3x >．（1）求绝对值不等式32x ->的解（2）已知绝对值不等式21x a -<的解为3b x <<，求2a b -的值（3）已知关于x ，y 的二元一次方程组234461x y m x y m -=-⎧⎨+=-+⎩的解满足2x y +≤，其中m 是负整数，求m 的值．24．阅读材料：如果x 是一个有理数，我们把不超过x 的最大整数记作[]x ．例如，[]3.23=，[]55=，[]2.13-=-，那么，[]x x a =+，其中01a ≤<．例如，[]3.2 3.20.2=+，[]550=+，[]2.1 2.10.9-=-+．请你解决下列问题：（1）[]4.8=__________，[]6.5-=__________；（2）如果[]5x =，那么x 的取值范围是__________；（3）如果[]5231x x -=+，那么x 的值是__________；（4）如果[]x x a =+，其中01a ≤<，且[]41a x =+，求x 的值．25．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 的坐标为()0,a ，(),0b ，(),b c ，其中a ，b ，c 满足()23210a b a b -+-+=，40c -≤．（1）求a ，b ，c 的值；（2）若M 在x 轴上，且12COM ABC S S =△△，求M 点坐标； （3）如果在第二象限内有一点()1,1P m -，m 在什么取值范围时，AOP 的面积不大于ABC 的面积？求出在符合条件下，AOP 面积最大值时点P 的坐标．26．若关于x 的方程ax +b ＝0（a ≠0）的解与关于y 的方程cy +d ＝0（c ≠0）的解满足﹣1≤x ﹣y ≤1，则称方程ax +b ＝0（a ≠0）与方程cy +d ＝0（c ≠0）是“友好方程”．例如：方程2x ﹣1＝0的解是x ＝0.5，方程y ﹣1＝0的解是y ＝1，因为﹣1≤x ﹣y ≤1，方程2x ﹣1＝0与方程y ﹣1＝0是“友好方程”．（1）请通过计算判断方程2x ﹣9＝5x ﹣2与方程5（y ﹣1）﹣2（1﹣y ）＝﹣34﹣2y 是不是“友好方程”．（2）若关于x 的方程3x ﹣3+4（x ﹣1）＝0与关于y 的方程32y k ++y ＝2k +1是“友好方程”，请你求出k 的最大值和最小值．27．使方程（组）与不等式（组）同时成立的末知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例：已知方程2x ﹣3＝1与不等式x +3＞0，当x ＝2时，2x ﹣3＝2×2﹣3＝1，x +3＝2+3＝5＞0同时成立，则称x ＝2是方程2x ﹣3＝1与不等式x +3＞0的“理想解”．（1）已知①1322x ->，②2（x +3）＜4，③12x -＜3，试判断方程2x +3＝1的解是否是它们中某个不等式的“理想解”，写出过程；（2）若00x x y y =⎧⎨=⎩是方程x ﹣2y ＝4与不等式31x y >⎧⎨<⎩的“理想解”，求x 0+2y 0的取值范围． 28．小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．（1）若小语用长40cm ，宽34cm 的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒200元购进一批茶叶，按进价增加18%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了6元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利1800元，求这批茶叶共进了多少盒？29．材料1：我们把形如ax by c +=（a 、b 、c 为常数）的方程叫二元一次方程．若a 、b 、c 为整数，则称二元一次方程ax by c +=为整系数方程．若c 是a ，b 的最大公约数的整倍数，则方程有整数解．例如方程342,735,426x y x y x y +=-=+=都有整数解；反过来也成立．方程6310421x y x y +=-=和都没有整数解，因为6，3的最大公约数是3，而10不是3的整倍数；4，2的最大公约数是2，而1不是2的整倍数．材料2：求方程56100x y +=的正整数解． 解：由已知得：1006100520555y y y y x y ---===--……① 设5y k =（k 为整数），则5y k =……② 把②代入①得：206x k =-．所以方程组的解为2065x k y k=-⎧⎨=⎩ ， 根据题意得：206050k k ->⎧⎨>⎩． 解不等式组得0＜k ＜103．所以k 的整数解是1，2，3． 所以方程56100x y +=的正整数解是：145x y =⎧⎨=⎩，810x y =⎧⎨=⎩，215x y =⎧⎨=⎩． 根据以上材料回答下列问题：（1）下列方程中：① 3911x y +=，② 15570x y -=，③ 63111x y +=，④ 27999x y -=，⑤ 9126169x -=，⑥ 22121324x y +=．没有整数解的方程是 （填方程前面的编号）；（2）仿照上面的方法，求方程3438x y +=的正整数解；（3）若要把一根长30m 的钢丝截成2m 长和3m 长两种规格的钢丝（两种规格都要有），问怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？（直接写出截法，不要求解题过程） 30．阅读材料：如果x 是一个有理数，我们把不超过x 的最大整数记作[x ] ．例如，[3.2]=3，[5]=5，[－2.1]=－3．那么，x =[x ]+a ，其中0≤a ＜1．例如，3.2=[3.2]+0.2，5=[5]+0，－2.1=[－2.1]+0.9．请你解决下列问题：（1）[4.8]= ，[－6.5]= ；（2）如果[x ]=3，那么x 的取值范围是 ；（3）如果[5x －2]=3x +1，那么x 的值是 ；（4）如果x =[x ]+a ，其中0≤a ＜1，且4a = [x ]+1，求x 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；根据不等式的性质，可得点在A 点的右边，根据作差法，可得点在B 点的左边．【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得：-2x +3＞1，解得x ＜1；-x ＞-1．-x +2＞-1+2，解得-x +2＞1．所以数轴上表示数-x +2的点在A 点的右边；作差，得：-2x +3-（-x +2）=-x +1，由x ＜1，得：-x ＞-1，-x +1＞0，-2x +3-（-x +2）＞0，∴-2x +3＞-x +2，所以数轴上表示数-x +2的点在B 点的左边,点A 的右边．故选B ．【点睛】本题考查了一元一次不等式，解题的关键是利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出不等式．2．D解析：D【分析】首先设小红所买的笔的价格是x 元/支，笔记本的价格是y 元/本，根据关键语句“第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，”可得方程5x+10y=42，“第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱”可得方程10x+5y=30，联立两个方程，再解方程组即可.【详解】解：设小红所买的笔的价格是x 元/支，笔记本的价格是y 元/本，由题意得：5104210530x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得： 1.23.6x y =⎧⎨=⎩ 故答案为D.【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，再列出方程组即可.3．C解析：C【分析】根据不等式的性质逐项判断即可；【详解】解：A ．a b >，当0c 时，ac bc =，所以A 选项不符合题意；B ．当0a =，1b =-，21a b -=-，所以B 选项不符合题意；C ．a b >，则a b -<-，11a b -<-，所以C 选项符合题意；D ．0a =，1b =-，则||||a b <，所以D 选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，准确分析判断是解题的关键．4．D解析：D【分析】由题意可知，a 、b 均为负数，且可得a =2b ，把a =2b 代入bx <a 中，则可求得bx <a 的解集．【详解】由0ax b ->得：ax b >∵不等式0ax b ->的解集为12x <∴a <0∴12b x a <= ∴a =2b∴b <0由bx a <，得2bx b <∵b <0∴x >2故选：D ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，关键是由条件确定字母a 的符号，从而确定a 与b 的关系，易出现错误的地方是求bx <a 的解集时，忽略b 的符号，从而导致结果错误． 5．D解析：D【分析】先解不等式得到x <()113m -，再根据正整数解是1，2，3得到3<()113m -≤4时，然后从不等式的解集中找出适合条件的最大整数即可．【详解】解不等式31x m 得x <()113m -， 关于x 的不等式31x m 的正整数解是1，2，3，∴ 3<()113m -≤4，解得10 < m ≤ 13， ∴整数m 的最大值为13．故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的最大整数解．6．B解析：B【分析】设选对x 道题，则不选或选错（30﹣x ）道题，根据得分=4×选对题目数-2×不选或选错题目数结合得分不低于80分,即可得出关于x 的一次不等式，解之取得最小值即可得出结论．【详解】解：设选对x 道题，则不选或选错（30﹣x ）道题，依题意，得：4x ﹣2（30﹣x ）≥80，解得：x ≥703． ∵x 为正整数，∴要得奖至少应选对24道题，故选：B ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确的列出一元一次不等式是解题的关键．7．B解析：B【分析】利用题中的新定义计算即可求出值．【详解】解：由题意可知：∵[x ）表示大于x 的最小整数，∴设[x ）＝n ，则n －1≤x ＜n ，∴[x ）－1≤x ＜[x ），∴0＜[x ）－x ≤1，∴①[0)1=，故①错误；②[)x x -可无限接近0，但取不到0，无最小值，故②错误；③[)x x -的最大值是1，当x 为整数时，故③正确；④存在实数x ，使[)0.5x x -=成立，比如x =1.5，故④正确，故选：B ．【点睛】此题考查了解一元一次不等式，读懂新定义，并熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．C解析：C【分析】分别解两个不等式，根据不等式组的解集即可求解．【详解】5231x a x x ⎧⎨++⎩＞①＜②， 解不等式①得，x a >，解不等式②得，4x >，∵不等式组的解集是4x ＞，∴a ≤4．故选：C ．【点睛】本题考查不等式组的解集，掌握“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”取解集是解题的关键．9．B解析：B【分析】-道，根据题意列出一元一次不设小玉答对了x道题目，则答错或不答的题目一共为(20)x等式求解即可；【详解】-道，解：设小玉答对了x道题目，则答错或不答的题目一共为(20)x由题意可得，x x-->，105(20)95x>，解得13∴小玉至少要答对14道题目，至多答错20146-=（道)，故选：B．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确列式计算是解题的关键．10．C解析：C【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据各结论中a的取值情况逐一判断即可．【详解】解：由x﹣1＞0得x＞1，由x﹣a≤0得x≤a，①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4，此结论正确；②当a＝1时，它无解，此结论正确；③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5，此结论正确；④如果它有解，那么a＞1，此结论错误；故选：C．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．二、填空题11．47或48人【分析】根据题意令，满足，由于，得，又根据，得，可得，当①时，，枚举出所有情况；同理当②时，，同理，，，，，，枚举出所有的情况，选出满足条件的情况即可．【详解】解：，令（），解析：47或48人【分析】根据题意令41,41,41,41a b c d a m b m c m d m =+=+=+=+，满足0a b c d m m m m ≤<<<，由于180a b c d +++=，得+16a b c d m m m m ++=，又根据b c a d +>+，得b c a d m m m m +>+，可得1682a d m m +<=，当①7a d m m +=时，9bc m m +=，枚举出所有情况；同理当②6ad m m +=时，10b c m m +=，同理，5a d m m +=，4a d m m +=，3a d m m +=，2a d m m +=，1a d m m +=，枚举出所有的情况，选出满足条件的情况即可．【详解】解：41,a a b c d ≥<<<，∴令41,41,41,41a b c d a m b m c m d m =+=+=+=+（0a b c d m m m m ≤<<<），由于180a b c d +++=，故有414++180a b c d m m m m ⨯++=，得+16a b c d m m m m ++=，又b c a d +>+，故41+4141+41+b c a d m m m m ++>+，b c a d m m m m ∴+>+，而+16a b c d m m m m ++=，1682a d m m ∴+<=， 当①7a d m m +=时，9bc m m +=，根据0a b c d m m m m ≤<<<，枚举一下，只有下列情况满足，141,44,47,48a b c d ︒====，241,45,46,48a b c d ︒====，342,45,46,47a b c d ︒====，②6a d m m +=时，10b c m m +=，根据0a b c d m m m m ≤<<<，即使0,6a d m m ==，由于0a b c d m m m m ≤<<<，c m ∴最大取5，而此时1055b m =-=，有c b m m =，不符合要求，故此时没有情况满足，同理，5a d m m +=，4a d m m +=，3a d m m +=，2a d m m +=，1a d m m +=，均没有情况满足，综上所述，（4）班的人数为47或48人，故答案是：47或48人．【点睛】本题考查了不等式在生活中的应用，解题的关键是掌握不等式的性质，进行分类讨论，也体现了同学的枚举能力．12．8【分析】把变形得，故可求出有最大值时，a ，b 的值，代入故可求解．【详解】设=∴a-2b=（m+n ）a+(m-n)b∴，解得∴=∵，∴，∴∴有最大值1此时，解得a=1，b=解析：8【分析】把2a b -变形得()()1322a b a b -++-，故可求出2a b -有最大值时，a ，b 的值，代入82021a b +故可求解．【详解】设2a b -=()()m a b n a b ++-∴a -2b =（m +n ）a +(m -n )b∴12m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴2a b -=()()1322a b a b -++- ∵14a b ≤+≤，01a b ≤-≤ ∴()11222a b -≤-+≤-，()33022a b ≤-≤ ∴221a b -≤-≤∴2a b -有最大值1 此时()1122a b -+=-，()3322a b -= 解得a =1，b =0∴82021a b +=8故答案为：8．【点睛】此题主要考查不等式组的应用与求解，解二元一次方程组，解题的关键是根据题意把把2a b -变形得()()1322a b a b -++-，从而求解． 13．0或或【分析】根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组、结合为非负整数即可得．【详解】解：由题意得：，即，解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式组的解集为，为非负实数解析：0或34或32 【分析】根据x <>的定义可得一个关于x 的一元一次不等式组，解不等式组、结合43x 为非负整数即可得．【详解】解：由题意得：41413232x x x -<+≤， 即41324132x x x x ⎧-≤⎪⎪⎨⎪<+⎪⎩①②， 解不等式①得：32x ≤， 解不等式②得：32x >-， 则不等式组的解集为3322x -<≤， x 为非负实数， 302x ∴≤≤， 4023x ∴≤≤， 43x 为非负整数， 403x ∴=或413x =或423x =， 解得0x =或34x =或32x =， 故答案为：0或34或32． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解x <>的定义是解题关键．14．a≤1或a≥5【分析】解不等式组，求出x 的范围，根据任何一个x 的值均不在2≤x≤5范围内列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：不等式组的解集为：a ＜x ＜a+1，∵任何一个x 的值均不在2解析：a ≤1或a ≥5【分析】解不等式组01x a x a ->⎧⎨-<⎩，求出x 的范围，根据任何一个x 的值均不在2≤x≤5范围内列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：不等式组01x a x a ->⎧⎨-<⎩的解集为：a ＜x ＜a+1， ∵任何一个x 的值均不在2≤x≤5范围内，∴x ＜2或x ＞5，∴a+1≤2或a≥5，解得，a≤1或a≥5，∴a 的取值范围是：a≤1或a≥5，故答案为：a≤1或a≥5．【点睛】本题考查的是不等式的解集的确定，根据不等式的解法正确解出不等式是解题的关键，根据题意列出新的不等式是本题的重点．15．k≥1【详解】解不等式2x+9＞6x+1可得x ＜2，解不等式x-k ＜1，可得x ＜k+1，由于x ＜2，可知k+1≥2，解得k≥1.故答案为k≥1.解析：k≥1【详解】解不等式2x+9＞6x+1可得x ＜2，解不等式x-k ＜1，可得x ＜k+1，由于x ＜2，可知k+1≥2，解得k≥1.故答案为k≥1.16．-18≤a<-15【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a 的不等式组，从而得出a 的范围．【详解】解不等式，得：解析：-18≤a<-15【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a 的不等式组，从而得出a 的范围．【详解】解不等式271x -≤，得：4x ≤，解不等式312x a ->，得：123a x +>， 因为不等式组的整数解有6个，所以12213a +-≤<-， 解得：1815a -≤<-，故答案为1815a -≤<-．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解.利用不等式组的整数解个数来列出关于a 的不等式组是解题的关键．17．-2≤m ＜3【解析】【分析】先解方程组求出方程组的解，然后根据x≥0，y ＞0列出关于m 的不等式组，解不等式组即可得.【详解】解方程组，得，由x≥0，y ＞0则有，解得：-2≤m ＜3，故答案解析：-2≤m ＜3【解析】【分析】先解方程组求出方程组的解，然后根据x≥0，y ＞0列出关于m 的不等式组，解不等式组即可得.【详解】解方程组2728x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，得23x m y m =+⎧⎨=-⎩， 由x≥0，y ＞0则有2030m m +≥⎧⎨->⎩， 解得：-2≤m ＜3，故答案为：-2≤m ＜3.【点睛】本题考查了一元一次不等式组，二元一次方程组的解，熟练掌握解法是关键. 18．【分析】利用题中的新定义列出不等式组，求出解集即可确定出a 的范围．【详解】根据题中的新定义化简得：a≤4x -4−x ＋3＜7，整理得： ，即<x ＜，由不等式组有3个整数解，即为2，1，解析：4,3,2---【分析】利用题中的新定义列出不等式组，求出解集即可确定出a 的范围．【详解】根据题中的新定义化简得：a ≤4x -4−x ＋3＜7，整理得：31731x x a -<⎧⎨->⎩， 即13a +<x ＜83， 由不等式组有3个整数解，即为2，1，0， 所以1103a +-≤< 解得-4<a <-1所以a 可取的正数解有：-4，-3，-2故答案为：-4，-3，-2【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，实数的运算，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．-1【分析】先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集列出关于a 、b 的方程，求出a 、b 的值，继而代入再求解立方根即可．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，∵不等式组的解集为，解析：-1【分析】先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集列出关于a 、b 的方程，求出a 、b 的值，继而代入再求解立方根即可．【详解】解：解不等式2x a -＞，得：2x a +＞，解不等式20b x -＞，得：2x b ＜， ∵不等式组的解集为11x -<<，∴21a +=-，12b =， 解得3a =-，2b =，∴()a b +1-，故答案为：-1．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及实数的运算．20．【分析】先求出不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解有3个，可得到关于 的不等式组，即可求解．【详解】解不等式①，得： ，解不等式②，得： ，∵不等式组的整数解有3个，∴，解得：解析：12a ≤<【分析】先求出不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解有3个，可得到关于a 的不等式组，即可求解．【详解】()32215233①②⎧+<+⎪⎨-<+⎪⎩x a x x x 解不等式①，得：4x a <-+ ，解不等式②，得：1x >- ，∵不等式组的整数解有3个，∴243a <-+≤，解得： 12a ≤<．故答案为：12a ≤<．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．三、解答题21．（1）﹣3，2.5；（2）﹣4＜m ＜﹣2或0＜m ＜2；（3）1≤a ＜2．【分析】（1）根据连动数的定义逐一判断即得答案；（2）先求得方程的解，再根据连动数的定义得出相应的不等式组，解不等式组即可求出结果；（3）先解不等式组中的每个不等式，再根据连动整数的概念得到关于a 的不等式组，解不等式组即可求得答案．解：（1）设点P 表示的数是x ，则11x -≤≤，若点Q 表示的数是﹣3，由2PQ =可得()32x --=，解得：x =﹣1或﹣5，所以﹣3是连动数；若点Q 表示的数是0，由2PQ =可得02x -=，解得：x =2或﹣2，所以0不是连动数； 若点Q 表示的数是2.5，由2PQ =可得 2.52x -=，解得：x =﹣0.5或4.5，所以2.5是连动数；所以﹣3，0，2.5是连动数的是﹣3，2.5，故答案为：﹣3，2.5；（2）解关于x 的方程2x ﹣m ＝x +1得：x ＝m +1，∵关于x 的方程2x ﹣m ＝x +1的解满足是连动数，∴112112m m ---<⎧⎨-->⎩或112112m m +-<⎧⎨++>⎩， 解得：﹣4＜m ＜﹣2或0＜m ＜2；故答案为：﹣4＜m ＜﹣2或0＜m ＜2；（3）()112123x x a +⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩①②， 解不等式①，得x ＞﹣3，解不等式②，得x ≤1+a ，∵不等式组()112123x x a +⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩的解集中恰好有4个解是连动整数， ∴四个连动整数解为﹣2，﹣1，1，2，∴2≤1+a ＜3，解得：1≤a ＜2，∴a 的取值范围是1≤a ＜2．【点睛】本题是新定义试题，以数轴为载体，主要考查了一元一次不等式组，正确理解连动数与连动整数、列出相应的不等式组是解题的关键．22．（1）A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；（2）超市最多采购A 种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；（3）超市不能实现利润1400元的目标；【分析】（1）根据第一周和第二周的销售量和销售收入，可列写2个等式方程，再求解二元一次方程组即可；（2）利用不多于5400元这个量，列写不等式，得到A 型电风扇a 台的一个取值范围，从而得出a 的最大值；（3）将B 型电风扇用(30-a)表示出来，列写A 、B 两型电风扇利润为1400的等式方程，可求得a 的值，最后在判断求解的值是否满足（2）中a 的取值范围即可解：（1）设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元，依题意得：3518004103100x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：250210x y =⎧⎨=⎩， 答：A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元．（2）设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇（30-a ）台．依题意得：200a+170（30-a ）≤5400，解得：a≤10．答：超市最多采购A 种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；（3）依题意有：（250-200）a+（210-170）（30-a ）=1400，解得：a=20，∵a≤10，∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．【点睛】本题是二元一次方程和一元一次不等式应用题的综合考查，解题关键是依据题意，找出等量关系式(不等关系式)，然后按照题目要求相应求解23．（1）x ＞5或x ＜1；（2）9；（3）m =-3或m =-2或m =-1【分析】（1）由绝对值的几何意义即可得出答案；（2）由|21|x a -<知21a x a -<-<，据此得出1122a a x -+<<，再结合3b x <<可得出关于a 、b 的方程组，解之即可求出a 、b 的值，从而得出答案；（3）两个方程相加化简得出1x y m +=--，由||2x y +知22x y -+，据此得出212m ---，解之求出m 的取值范围，继而可得答案．【详解】解：（1）根据绝对值的定义得：32x ->或32x -<-，解得5x >或1x <；（2）|21|x a -<，21a x a ∴-<-<， 解得1122a a x -+<<， 解集为3b x <<， ∴12132a b a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 解得52a b =⎧⎨=-⎩， 则2549a b -=+=；（3）两个方程相加，得：3333x y m +=--，1x y m ∴+=--，||2x y +，22x y ∴-+，212m ∴---，解得31m -，又m 是负整数，3m ∴=-或2m =-或1m =-．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式和不等式组的能力．24．（1）4，-7；（2）56x ≤<；（3）53；（4）1x =-或14或112或324 【分析】（1）根据[]x 表示不超过x 的最大整数的定义及例子直接求解即可；（2）根据[]x 表示不超过x 的最大整数的定义及例子直接求解即可；（3）由材料中“[]x x a =+，其中01a ≤<”得出315232x x x +-<+，解不等式，再根据3x +1为整数，即可计算出具体的值；（4）由材料中的条件[]41a x =+可得[]14x a +=，由01a <，可求得[]x 的范围，根据[]x 为整数，分情况讨论即可求得x 的值．【详解】（1）[]4.84=，[]6.57-=-．故答案为：4，-7．（2）如果[]5x =． 那么x 的取值范围是56x <．故答案为：56x <．（3）如果[]5231x x -=+，那么315232x x x +-<+． 解得：322x < ∵31x +是整数． ∴53x =． 故答案为：53． （4）∵[]x x a =+，其中01a <，∴[]x x a =-，∵[]41a x =+，∴[]14x a +=．∵01a <，∴[]1014x +<，∴[]13x -<，∴[]1x =-，0，1，2．当[]1x =-时，0a =，1x =-；当[]0x =时，14a =，14x =； 当[]1x =时，12a =，112x =； 当[]2x =时，34a =，324x =； ∴1x =-或14或112或324． 【点睛】本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中[]x 的意义，列出不等式求解；最后一问要注意不要漏了情况．25．（1）2a =，3b =，4c =；（2）3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）m 的范围51m -≤<；P 的坐标是()6,1-．【分析】（1）根据乘方、算术平方根的性质，通过列二元一次方程组并求解，得a 和b 的值；根据绝对值的性质，列一元一次方程并求解，从而得到答案；（2）设(),0M t ，根据题意列方程，结合绝对值的性质求解，得t 的值；再根据坐标的性质分析，即可得到答案（3）P 在第二象限以及AOP 的面积不大于ABC 的面积，通过列一元一次不等式并求解，即可得到m 的范围，再根据1APO S m =-△的变化规律计算，即可得到答案．【详解】（1）∵()2320a b -=， ∴10320a b a b -+=⎧⎨-=⎩ 解得：23a b =⎧⎨=⎩ ∵40c -≤∴40c -=∴4c =；（2）根据题意，设(),0M t ∵14362ABC S ∆=⨯⨯= ∴1422CMO S t t =⨯=△∴23t = ∴32t =±∴M 点坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）11121122APO S AO m m m =-=⨯-=-△ ∵P 在第二象限 ∴10m -<∴1APO S m =-△∵B 、C 的横坐标相同，∴//BC y 轴1143622ABC S BC OB =⋅=⨯⨯=△ ∵AOP ABC S S ≤∴16m -≤5m ≥-∵P 点在第二象限∴10m -<∴1m <∴m 的范围为51m -≤<∵当1m <时，APO S △随m 的增大而减小；∴当5m =-时，AOP S 的最大值为6∴P 的坐标是()6,1-．【点睛】本题考查了算术平方根、乘方、二元一次方程组、一元一次方程、一元一次不等式、直角坐标系、绝对值的知识；解题的关键是熟练以上知识，从而完成求解．26．（1）是；（2）k 的最小值为﹣23，最大值为83 【分析】（1）分别解出两个方程，得到x ﹣y 的值，即可确定两个方程是“友好方程”；（2）分别解两个方程为x ＝1，325k y +=，再由已知可得﹣1≤3215k +-≤1，求出k 的取值范围为即可求解．【详解】解：（1）由2x ﹣9＝5x ﹣2，解得x ＝73-， 由5（y ﹣1）﹣2（1﹣y ）＝﹣34﹣2y ，解得y ＝﹣3，∴x ﹣y ＝23，∴﹣1≤x ﹣y ≤1，∴方程2x ﹣9＝5x ﹣2与方程5（y ﹣1）﹣2（1﹣y ）＝﹣34﹣2y 是“友好方程”； （2）由3x ﹣3+4（x ﹣1）＝0，解得x ＝1， 由3212y k y k ++=+，解得325k y +=， ∵两个方程是“友好方程”，∴﹣1≤x ﹣y ≤1，∴﹣1≤3215k +-≤1， ∴2833k -≤≤ ∴k 的最小值为﹣23，最大值为83． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.27．（1）2x +3＝1的解是不等式12x -＜3的理想解，过程见解析；（2）2＜x 0+2y 0＜8 【分析】（1）解方程2x +3＝1的解为x ＝﹣1，分别代入三个不等式检验即可得到答案； （2）由方程x ﹣2y ＝4得x 0＝2y 0+4，代入不等式解得﹣12＜y 0＜1，再结合x 0＝2y 0+4，通过计算即可得到答案．【详解】（1）∵2x +3＝1∴x ＝﹣1， ∵x ﹣12＝﹣1﹣12＝﹣32＜32∴方程2x +3＝1的解不是不等式1322x ->的理想解； ∵2（x +3）＝2（﹣1+3）＝4，∴2x +3＝1的解不是不等式2（x +3）＜4的理想解； ∵12x -＝112--＝﹣1＜3， ∴2x +3＝1的解是不等式12x -＜3的理想解； （2）由方程x ﹣2y ＝4得x 0＝2y 0+4，代入不等式组31x y >⎧⎨<⎩，得002431y y +>⎧⎨<⎩； ∴﹣12＜y 0＜1，∴﹣2＜4y 0＜4，∵00000422244x y y y y =+=+++。
人教版七年级数学下册第九章《不等式与不等式组》培优试题(二)
人教版七年级数学下册第九章《不等式与不等式组》培优试题（二）一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．不等式3(2)4x x -+…的解集是( )A ．5x …B ．3x …C ．5x …D ．5x -…2．若点(1,)P m m -在第二象限，则(1)1m x m ->-的解集为( ) A ．1x <B ．1x <-C ．1x >D ．1x >-3．如果a b >，则下列不等式一定成立的是( ) A ．11a b -<-B ．a b ->-C ．22ac bc >D ．22a b -<-4．已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为( )A ．1x -…B ．1x >C ．31x -<-…D ．3x >-5．已知关于x 的不等式(2)1a x ->的解集是12x a<-；则a 的取值范围是( ) A ．0a >B ．0a <C ．2a <D ．2a >6．把不等式组13264x x +⎧⎨-->-⎩…中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来， 正确的为( ) A ． B ． C ．D ．7．若方程3(1)1(3)5m x m x x ++=--的解是负数，则m 的取值范围是( ) A ． 1.25m >-B ． 1.25m <-C ． 1.25m >D ． 1.25m <8．某种出租车的收费标准：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，那么甲地到乙地路程的最大值是( ) A ．5千米B ．7千米C ．8千米D ．15千米9．关于x 的不等式组24351x x -<⎧⎨-<⎩的所有整数解是( )A ．0，1B ．1-，0，1C ．0，1，2D ．2-，0，1，210．如图，天平右盘中的每个砝码的质量为10g ，则物体M 的质量()m g 的取值范围在数轴上可表示为( )A ．B ．C ．D ．二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．x 与5-的差不小于3-，用不等式表示为 ．12．不等式13x ->-的正整数解是 ． 13．若代数式315x -的值不小于代数式156x -的值，则x 的取值范围是 ． 14．小马用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小马最多能买支 钢笔．15．已知实数x ，y ，a 满足34x y a ++=，30x y a --=．若11a -剟，则2x y +的取值范围是 ． 16．同时满足310x >和161043x x -<的整数解是 ． 17．若关于x 的不等式组010x m x -⎧⎨-<⎩…无解，则m 的取值范围是 ．18．武汉东湖高新开发区某企业新增了一个项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A 、B 两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．设购买A 种型号的污水处理设备x 台，可列不等式组 ．三．解答题（共7小题，满分46分，其中19、20、21每小题6分，22题9分，23题6分，24题8分，25题5分）19．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．()()2731,1542x x x x -<-⎧⎪⎨-+⋅⎪⎩①②…20．已知不等式1()23x m m ->-．（1）若其解集为3x >，求m 的值；（2）若满足3x >的每一个数都能使已知不等式成立，求m 的取值范围． 21．方程组323x y x y a -=⎧⎨+=-⎩的解为负数，求a 的范围．22．为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A 、B 两种艺术节纪念品．若购进A 种纪念品8件，B 种纪念品3件，需要950元；若购进A 种纪念品5件，B 种纪念品6件，需要800元． （1）求购进A 、B 两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A 种纪念品可获利润20元，每件B 种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？23．若不等式组2311(3)2x x x +<⎧⎪⎨>-⎪⎩的整数解是关于x 的方程24x ax -=的根，求a 的值． 24．某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生．（1）若两班学生一起前往参观博物馆，请问购买门票最少共需花费多少元？（2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比实际人数按8折优惠购买门票更便宜？25．阅读解题：解方程：|3|1x=．解：①当30x…时，原方程可化为一元一次方程为31x=，它的解是13x=；②当30x<时，原方程可化为一元一次方程为31x-=，它的解是13x=-．请你模仿上面例题的解法，解方程：2|3|513x-+=．2018—2019学年人教版七年级数学下册第九章《不等式与不等式组》培优试题（二）参考简答一．选择题（共10小题）1．A ． 2．D ． 3．A ． 4．A ． 5．D ． 6．B ． 7．A ． 8．C ． 9．B ． 10．C ． 二．填空题（共8小题）11． 53x +-… ． 12． 1，2 ． 13． 1143x … ． 14． 13 ． 15． 026x y +剟 ． 16． 4、5、6、7 ． 17． 1m … ． 18． 1210(8)89200160(8)1380x x x x +-⎧⎨+-⎩……． 三．解答题（共7小题）19．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．()()2731,1542x x x x -<-⎧⎪⎨-+⋅⎪⎩①②…【解】：解不等式①，得4x >-， 解不等式②，得2x …，把不等式①②的解集在数轴上表示如图，原不等式组的解集为42x -<…． 20．已知不等式1()23x m m ->-． （1）若其解集为3x >，求m 的值；（2）若满足3x >的每一个数都能使已知不等式成立，求m 的取值范围． 【解】：（1）不等式整理得：63x m m ->-， 解得：62x m >-，由不等式的解集为3x >，得到623m -=， 解得： 1.5m =；（2）由满足3x >的每一个数都能使已知不等式成立，得到623m -…， 解得： 1.5m …． 21．方程组323x y x y a -=⎧⎨+=-⎩的解为负数，求a 的范围．【解】：（1）-（2）得：603a y -=< 可得6a <代入（1）得：1103x a =+< 解得3a <-3a ∴<-．22．为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A 、B 两种艺术节纪念品．若购进A 种纪念品8件，B 种纪念品3件，需要950元；若购进A 种纪念品5件，B 种纪念品6件，需要800元． （1）求购进A 、B 两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A 种纪念品可获利润20元，每件B 种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【解】：（1）设该商店购进一件A 种纪念品需要a 元，购进一件B 种纪念品需要b 元，根据题意得方程组得：8395056800a b a b +=⎧⎨+=⎩，解方程组得：10050a b =⎧⎨=⎩， ∴购进一件A 种纪念品需要100元，购进一件B 种纪念品需要50元；（2）设该商店购进A 种纪念品x 个，则购进B 种纪念品有(100)x -个，∴10050(100)750010050(100)7650x x x x +-⎧⎨+-⎩……，解得：5053x 剟，x为正整数，50x =，51，52，53 ∴共有4种进货方案，分别为：方案1：商店购进A 种纪念品50个，则购进B 种纪念品有50个； 方案2：商店购进A 种纪念品51个，则购进B 种纪念品有49个； 方案3：商店购进A 种纪念品52个，则购进B 种纪念品有48个； 方案4：商店购进A 种纪念品53个，则购进B 种纪念品有47个． （3）因为B 种纪念品利润较高，故B 种数量越多总利润越高， 设利润为W ，则关于W 的代数式为：2030(100)103000W x x x =+-=-+．x 越大，103000x -+的值越小，∴选择购A 种50件，B 种50件．总利润502050302500=⨯+⨯=（元)∴当购进A 种纪念品50件，B 种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元．23．若不等式组2311(3)2x x x +<⎧⎪⎨>-⎪⎩的整数解是关于x 的方程24x ax -=的根，求a 的值． 【解】：()231132x x x +<⎧⎪⎨>-⎪⎩①② 解①得22x <-，即1x <-， 解②得23x x >-，即3x >-， 综上可得31x -<<-，x 为整数，故2x =-将2x =-代入24x ax -=， 解得4a =．24．某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生．（1）若两班学生一起前往参观博物馆，请问购买门票最少共需花费多少元？ （2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比实际人数按8折优惠购买门票更便宜？【解】：（1）当两个班分别购买门票时， 甲班购买门票的费用为56100.8448⨯⨯=元 乙班购买门票的费用54100.8432⨯⨯=元 甲乙两班分别购买门票共需花费880元 当两个班一起购买门票时，甲乙两班共需花费(5654)100.7770+⨯⨯=元 答：甲乙两班购买门票最少共需花费770元．（2）当多于30人且不足100人时，设有x 人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜，根据题意得301000.8101000.710x x <<⎧⎨⨯>⨯⨯⎩解得87.5100x <<答：当多于30人且不足100人时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜． 25．阅读解题：解方程：|3|1x =．解：①当30x …时，原方程可化为一元一次方程为31x =，它的解是13x =； ②当30x <时，原方程可化为一元一次方程为31x -=，它的解是13x =-． 请你模仿上面例题的解法，解方程：2|3|513x -+=． 【解】：当30x -…时，原方程可化为34x -= 它的解是7x =；当30x -<时，原方程可化为(3)4x --= 它的解是1x =-；所以原方程的解是7x =或1x =-．人教版七年级下册第九章《不等式与不等式组》测试题一、单选题（每小题只有一个正确答案）1．下列各式中：①：②：③：④；⑤：⑥，不等式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．若，则下列各式中一定成立的是( )A．B．C．D．3．下列各数中，能使不等式x–3＞0成立的是（）A．–3 B．5 C．3 D．24．下列说法中，错误的是( )A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式x＞－5的负整数解集有有限个C．不等式－2x＜8的解集是x＜－4 D．－40是不等式2x＜－8的一个解5．四个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，由图可知，这四个小朋友体重的大小关系是（）A．P＞R＞S＞Q B．Q＞S＞P＞R C．S＞P＞Q＞R D．S＞P＞R＞Q6．下列式子①7＞4；②3x≥2π+1；③x+y＞1；④x2+3＞2x；⑤＞4中，是一元一次不等式的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．“x的3倍与2的差不大于7”列出不等式是( )A．3x-2>7 B．3x-2<7 C．3x-2≥7 D．3x-2≤78．不等式组的解集在数轴上表示为( )A．B．C．D．9．若关于x的不等式（a–1）x＞a–1的解集是x＞1，则a的取值范围是（）A．a<0 B．a＞0 C．a<1 D．a＞110．某次知识竞赛共有30道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分，小亮得分要超过70分，他至少要答对多少道题？如果设小亮答对了x道题，根据题意列式得（）A．5x﹣3（30﹣x）＞70 B．5x+3（30﹣x）≤70C．5x﹣3（30+x）≥70 D．5x+3（30﹣x）＞7011．已知点在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．12．若关于x的不等式组有6个整数解，则m的取值范围是（）A．-4＜m≤-3 B．-3≤m＜-2 C．-4≤m＜-3 D．-3＜m≤-2二、填空题13．请你写出一个满足不等式2x-1＜6的正整数x的值：________．14．不等式12-4x≥0的非负整数解是_______15．x的与12的差是负数，用不等式表示为________.16．某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高60%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打________折．17．已知关于X的不等式组的解集为-1＜x＜2，则(m+n)2019的值是_______.三、解答题18．用不等式表示：(1)7x与1的差小于4；(2)x的一半比y的2倍大；(3)a的9倍与b的的和是正数．19．解下列不等式(或组)，并把解集表示在数轴上.①②③④20．解不等式组：并写出它的所有整数解．21．小诚响应“低碳环保，绿色出行”的号召，一直坚持跑步与步行相结合的上学方式已知小诚家距离学校2200米，他步行的平均速度为80米分，跑步的平均速度为200米分若他要在不超过20分钟的时间内从家到达学校，至少需要跑步多少分钟？22．某单位需要将一批商品封装入库，因此打算购进A、B两种型号的包装盒共100个，若购买3个A型包装盒和2个B型包装盒共需550元，且A型包装盒的单价是3型包装盒单价的3倍，每个A型包装盒可容纳500件该商品，每个B型包装盒可容纳200件该商品。
不等式(组)的新定义问题(重难点培优)-2020-2021学年七年级数学下册(解析版)
2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题9.9不等式（组）的新定义问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷试题共20题，解答20道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一．解答题（共20小题）1．（2020春•海淀区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①3x ﹣1＝0；②23x +1＝0；③x ﹣（3x +1）＝﹣5中，不等式组{−x +2＞x −53x −1＞−x +2关联方程是 ③ （填序号）． （2）若不等式组{x −12＜11+x ＞−3x +2的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 2x ﹣2＝0（写出一个即可）．（3）若方程9﹣x ＝2x ，3+x ＝2（x +12）都是关于x 的不等式组{x ＜2x −m x −2≤m的关联方程，试求出m 的取值范围．【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；（2）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案． 【解析】（1）①解方程3x ﹣1＝0得：x =13， ②解方程23x +1＝0得：x =−32，③解方程x ﹣（3x +1）＝﹣5得：x ＝2， 解不等式组{−x +2＞x −53x −1＞−x +2得：34＜x ＜72，所以不等式组{−x +2＞x −53x −1＞−x +2的关联方程是③，故答案为：③；（2）解不等式x −12＜1得：x ＜1.5， 解不等式1+x ＞﹣3x +2得：x ＞0.25， 则不等式组的解集为0.25＜x ＜1.5， ∴其整数解为1，则该不等式组的关联方程为2x ﹣2＝0． 故答案为：2x ﹣2＝0．（3）解方程9﹣x ＝2x 得x ＝3， 解方程3+x ＝2（x +12）得x ＝2， 解不等式组{x ＜2x −m x −2≤m得m ＜x ≤m +2，∵方程9﹣x ＝2x ，3+x ＝2（x +12）都是关于x 的不等式组{x ＜2x −m x −2≤m的关联方程，∴1≤m ＜2．2．（2020春•盱眙县期末）定义：对于任何数a ，符号[a ]表示不大于a 的最大整数． 例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣1.5]＝﹣2． （1）[−114]＝ ﹣3 ；（2）如果[a ]＝4，那么a 的取值范围是 4≤a ＜5 ； （3）如果[4x−55]＝﹣5，求满足条件的所有整数x ．【分析】（1）直接利用新定义求解可得； （2）根据新定义求解可得； （3）利用新定义列出不等式组﹣5≤4x−55＜−4，解之求出x 的范围，从而得出答案． 【解析】（1）[−114]＝﹣3， 故答案为：﹣3． （2）∵[a ]＝4， ∴4≤a ＜5； 故答案为：4≤a ＜5； （3）[4x−55]＝﹣5，∴﹣5≤4x−55＜−4，解得：﹣5≤x ＜−154，∴满足条件的x 的整数有﹣4，﹣5．3．（2018•余姚市模拟）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题． （1）若x ⊕y ＝1，x ⊕2y ＝﹣2，分别求出x 和y 的值；（2）若x 满足x ⊕2≤0，且3x ⊕（﹣8）＞0，求x 的取值范围．【分析】（1）根据定义新运算得到二元一次方程组，再解方程组即可求解； （2）根据定义新运算得到一元一次不等式组，再解不等式组即可求解． 【解析】（1）根据题意得{4x −3y =14x −3×2y =−2，解得{x =1y =1；（2）根据题意得{4x −3×2≤04×3x −3×(−8)＞0，解得﹣2＜x ≤32．故x 的取值范围是﹣2＜x ≤32．4．（2020春•润州区期末）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：对于三个数a 、b 、c 中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定min {a ，b ，c }表示这三个数中最小的数，max {a ，b ，c }表示这三个数中最大的数．（注：取英文单词minimum （最少的）、maximum （最多的）前三个字母）例如：min {﹣1，2，3}＝﹣1，max {﹣1，2，3}＝3；min {﹣1，2，a }={a(a ≤−1)−1(a ＞−1)，（1）min {﹣2014，﹣2015，﹣2016}＝ ﹣2016 ；max {2，x 2+2，2x }＝ x 2+2 ； （2）若max {2，x +1，2x }＝2x ，求x 的取值范围；（3）若min {4，x +4，4﹣x }＝max {2，x +1，2x }，求x 的值． 【分析】（1）根据新定义即可得出结论；（2）根据新定义列出关于x 的不等式组，解之可得； （3）分情况分别列出关于x 的方程，解方程可得． 【解析】（1）∵﹣2014＞﹣2015＞﹣2016， ∴min {﹣2014，﹣2015，﹣2016}＝﹣2016； ∵x 2+2＞2x ，x 2+2≥2， ∴max {2，x 2+2，2x }＝x 2+2； 故答案为：﹣2016，x 2+2；（2）∵max {2，x +1，2x }＝2x ， ∴{2x ≥22x ≥x +1， 解得：x ≥1；（3）①当4最小时，∴x +4＞4，4﹣x ＞4，此种情况不成立，②当x +4最小时，∴4≥x +4，4﹣x ≥x +4，∴x ≤0，x +4＝2，解得：x ＝﹣2； ③当4﹣x 最小时，4＞4﹣x ，4+x ＞4﹣x ，∴x ＞0Ⅰ、当2最大时，∴2≥x +1，2≥2x ，∴x ≤1，∴4﹣x ＝2，解得：x ＝2（舍）； Ⅱ、当2x 最大时，∴2x ＞2，2x ＞x +1，∴x ＞1，∴4﹣x ＝2x ，解得：x =43； Ⅲ、当x +1最大时，∴x +1＞2，x +1＞2x ，此种情况不成立， 综上，x 的值为43或﹣2．5．（2020春•崇川区校级期末）若x 为实数，定义：[x ]表示不大于x 的最大整数． （1）例如[1.6]＝1，[π]＝ 3 ，[﹣2.82]＝ ﹣3 ．（请填空）（2）[x ]+1是大于x 的最小整数，对于任意的实数x 都满足不等式[x ]≤x ＜[x ]+1，利用这个不等式，求出满足[x ]＝2x ﹣1的所有解．【分析】（1）根据[x ]表示不大于x 的最大整数即可求解；（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x 的取值范围，本题得以解决． 【解析】（1）[π]＝3，[﹣2.82]＝﹣3．（2）∵对任意的实数x 都满足不等式[x ]≤x ＜[x ]+1，[x ]＝2x ﹣1， ∴2x ﹣1≤x ＜2x ﹣1+1，解得0＜x ≤1， ∵2x ﹣1是整数， ∴x ＝0.5或x ＝1， 故答案为：3，﹣3．6．（2020春•锡山区期末）定义一种新运算“a ⊗b ”：当a ≥b 时，a ⊗b ＝a +2b ；当a ＜b 时，a ⊗b ＝a ﹣2b ． 例如：3⊗（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）⊗12＝﹣6﹣24＝﹣30． （1）填空：（﹣3）⊗（﹣2）＝ 1 ；（2）若（3x ﹣4）⊗（5+x ）＝（3x ﹣4）+2（5+x ），则x 的取值范围为 x ≥92 ； （3）已知（5x ﹣7）⊗（﹣2x ）＞1，求x 的取值范围； （4）利用以上新运算化简：（3m 2+5m +10）⊗（2m 2﹣m ）． 【分析】（1）根据公式计算可得； （2）结合公式知3x ﹣4≥5+x ，解之可得；（3）由题意可得①{5x −7≥−2x 5x −7+2(−2x)＞1，②{5x −7＜−2x 5x −7−2(−2x)＞1，分别求解可得；（4）先利用作差法判断出3m 2+5m +10＞2m 2﹣m ，再新运算化简即可得． 【解析】（1）（﹣3）⊗（﹣2）＝﹣3﹣2×（﹣2）＝1， 故答案为：1；（2）∵（3x ﹣4）⊗（5+x ）＝（3x ﹣4）+2（5+x ）， ∴3x ﹣4≥5+x ， 解得：x ≥92， 故答案为：x ≥92．（3）由题意可知分两种情况讨论： ①{5x −7≥−2x5x −7+2(−2x)＞1，解之得x ＞8，②{5x −7＜−2x5x −7−2(−2x)＞1，解之得89＜x ＜1，综上所述：x 的取值范围为x ＞8或89＜x ＜1；（4）（3m 2+5m +10）﹣（2m 2﹣m ） ＝m 2+6m +10 ＝（m +3）2+1＞0，原式＝（3m 2+5m +10）+2（2m 2﹣m ）＝7m 2+3m +10． 7．（2020春•凤凰县期末）阅读材料：我们定义一个关于有理数a ，b 的新运算，规定：a ⊕b ＝4a ﹣3b ．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．完成下列各小题．（1）若a ⊕b ＝1，a ⊕2b ＝﹣5，分别求出a 和b 的值；（2）若m 满足m ⊕2≤0，且3m ⊕（﹣8）＞0，求m 的取值范围． 【分析】（1）根据新运算，得到方程组，解方程组即可求解； （2）根据新运算，得到不等式组，解不等式组即可． 【解析】（1）根据题意，得{4a −3b =14a −3×2b =−5，解得：{a =74b =2，∴a 和b 的值分别为a =74，b ＝2；（2）根据题意，得{4m −3×2≤04×3m −3×(−8)＞0，解得：−2＜m ≤32． ∴m 的取值范围−2＜m ≤32． 8．（2020春•微山县期末）阅读新知现对x ，y 进行定义一种运算，规定f （x ，y ）=mx+ny2（其中m ，n 为常数且mn ≠0），等式的右边就是加、减、乘、除四则运算．例如： f （2，0）=m×2+n×02=m 应用新知（1）若f （1，1）＝5，f （2，1）＝8，求m ，n 的值； 拓展应用（2）已知f （﹣3，0）＞﹣3，f （3，0）＞−92，且m +n ＝16，请你求出符合条件的m ，n 的整数值． 【分析】（1）根据题中的新定义列出关于m 与n 的方程组，求出方程组的解即可得到a 与b 的值； （2）根据题中的新定义列出不等式组，求得不等式组的解，根据m +n ＝16确定出m 、n 的整数值．【解析】（1）根据题中的新定义得：{m+n2=52m+n 2=8，解得：{m =6n =4；（2）根据题中的新定义得：{−3m+02＞−33m+02＞−92， 解得：﹣3＜m ＜2，∵m 、n 是整数，且m +n ＝16， ∴{m =−2n =18或{m =−1n =17或{m =1n =15． 9．（2020春•长沙期末）对x 、y 定义一种新运算F ，规定：F （x ，y ）＝ax +by （其中a ，b 均为非零常数）．例如：F （2，3）＝2a +3b ．（1）已知F （2，﹣1）＝﹣1，F （3，0）＝3． ①求a ，b 的值．②已知关于p 的不等式组{F(3−2p ，3)≥4F(2，2−3p)＜−1求p 的取值范围；（2）若运算F 满足{−2＜F(1，2)≤4−1＜F(2，1)≤5，请你求出F （k ，k ）的取值范围（用含k 的代数式表示，这里k为常数且k ＞0）．【分析】（1）①根据F （2，﹣1）＝﹣1，F （3，0）＝3列出关于a 、b 的方程组，解之可得； ②由{F(3−2p ，3)≥4F(2，2−3p)＜−1列出关于p 的不等式组，解之可得；（2）根据{−2＜F(1，2)≤4−1＜F(2，1)≤5列出关于a 、b 的不等式组，相加得出a +b 的取值范围，再进一步求解可得．【解析】（1）①由题意知{2a −b =−13a =3，解得{a =1b =3；②由题意知{3−2p +9≥42+6−9p ＜−1，解得1＜p ≤4； （2）由题意知{−2＜a +2b ≤4−1＜2a +b ≤5，∴﹣3＜3a +3b ≤9， ∴﹣1＜a +b ≤3，∵F （k ，k ）＝ka +kb ，且﹣k ＜k （a +b ）≤3k ， ∴﹣k ＜F （k ，k ）≤3k ．10．（2020春•天心区期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．（1）在方程2x ﹣1＝1①，4x ﹣3＝0②，x ﹣（3x +1）＝﹣5③中，写出是不等式组{−x +2＞x −53x −1＞−x +2的相伴方程的序号 ①③ ． （2）写出不等式组{x +1＜02x −3＜4x +3的一个相伴方程，使得它的根是整数： x ＝﹣2 ．（3）若方程2x ﹣1＝3；x3+1＝2都是关于x 的不等式组{x ＜2x −m x −2≤m的相伴方程，求m 的取值范围．【分析】（1）分别解出三个一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，方程的解在不等式解集范围内即为所求；（2）求出不等式组的解集，在此范围内只有x ＝﹣2一个整数解，写出符合条件的方程即可； （3）求出不等式组的解集为m ＜x ≤m +2，x ＝2和x ＝3在此范围内，列出不等式m ＜2，m +2≥3即可求解．【解析】（1）分别求解一元一次方程为①x ＝1；②x =34；③x ＝2； 不等式组的解集为34＜x ＜72，∵x ＝1，x ＝2是不等式组的解， ∴不等式组的相伴方程是①③； 故答案为①③； （2）由不等式组{x +1＜02x −3＜4x +3，解得，﹣3＜x ＜﹣1，则它的相伴方程的解是整数，所以，相伴方程x ＝﹣2， 故答案为x ＝﹣2； （3）{x ＜2x −m x −2≤m得，不等式组的解集为m ＜x ≤m +2，解方程2x ﹣1＝3；x3+1＝2得，x ＝2和x ＝3，∵方程2x ﹣1＝3；x3+1＝2都是关于x 的不等式组{x ＜2x −m x −2≤m的相伴方程，∴m ＜2，m +2≥3， ∴1≤m ＜2．11．（2020春•通山县期末）阅读材料：形如2＜2x +1＜3的不等式，我们就称之为双连不等式，求解双连不等式的方法一，转化为不等式组求解，如{2＜2x +1，2x +1＜3.；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得1＜2x ＜2，然后同时除以2，得12＜x ＜1．解决下列问题：（1）请你写一个双连不等式并将它转化为不等式组； （2）利用不等式的性质解双连不等式2≥﹣2x +3＞﹣5；（3）已知﹣3≤x ＜−52，求3x +5的整数值．【分析】（1）3＜x ﹣2＜5，转化为不等式组{3＜x −2x −2＜5；（2）根据方法二的步骤解答即可；（3）根据方法二的步骤解答，得出﹣4≤3x +5＜−52，即可得到结论． 【解析】（1）3＜x ﹣2＜5， 转化为不等式组{3＜x −2x −2＜5；（2）2≥﹣2x +3＞﹣5，不等式的左、中、右同时减去3，得﹣1≥﹣2x ＞﹣8， 同时除以﹣2，得12≤x ＜4；（3）﹣3≤x ＜−52，不等式的左、中、右同时乘以3，得﹣9≤3x ＜−152， 同时加5，得﹣4≤3x +5＜−52， ∴3x +5的整数值﹣4或﹣3．12．（2020春•石城县期末）阅读材料：分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如x−3x+1＞0，如何求其解集呢？它的理论依据是，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： 若a ＞0，b ＞0，则a b ＞0；若a ＜0，b ＜0，则a b ＞0．若a ＞0，b ＜0，则ab＜0；若a ＜0，b ＞0，则ab＜0．（1）反之：若a b＞0，则{a ＞0b ＞0或{a ＜0b ＜0，若a b ＜0，则： {a ＞0b ＜0或{a ＜0b ＞0；（2）根据上述材料，求不等式x−3x+1≥0的解集．【分析】（1）根据有理数除法法则求解可得； （2）根据题意列出不等式组，解之可得． 【解析】（1）若ab ＜0，则{a ＞0b ＜0或{a ＜0b ＞0， 故答案为：{a ＞0b ＜0或{a ＜0b ＞0； （2）由题意知①{x −3≥0x +1＞0或②{x −3≤0x +1＜0，解不等式组①得x ≥3； 解不等式组②得x ＜﹣1，故不等式的解集为x ≥3或x ＜﹣1．13．（2020春•椒江区期末）规定min （m ，n ）表示m ，n 中较小的数（m ，n 均为实数，且mn ），例如：min {3，﹣1}＝﹣1，、min {√2，√3}=√2据此解决下列问题： （1）min {−12，−13}= −12 ； （2）若min {2x−13，2}=2，求x 的取值范围；（3）若min {2x ﹣5，x +3}＝﹣2，求x 的值．【分析】（1）利用题中的新定义确定出所求即可；（2）利用题中的新定义得出2x−13≥2，计算即可求出x 的取值；（3）利用题中的新定义分类讨论计算即可求出x 的值．【解析】（1）根据题中的新定义得：min {−12，−13}=−12；故答案为：−12；（2）由题意2x−13≥2，解得：x ≥3.5；（3）若2x ﹣5＝﹣2，解得：x ＝1.5，此时x +3＝4.5＞﹣2，满足题意；若x +3＝﹣2，解得：x ＝﹣5，此时2x ﹣5＝﹣15＜﹣2，不符合题意，综上，x ＝1.5．14．（2020•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定m ※n ＝m 2n ﹣mn ﹣3n ，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※√3；（2）若3※m ≥﹣6，求m 的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于x 的不等式，解不等式即可得．【解析】（1）（﹣2）※√3=（﹣2）2×√3−（﹣2）×√3−3√3=4√3+2√3−3√3=3√3；（2）3※m ≥﹣6，则32m ﹣3m ﹣3m ≥﹣6，解得：m ≥﹣2，将解集表示在数轴上如下：15．（2020•张家界）阅读下面的材料：对于实数a ，b ，我们定义符号min {a ，b }的意义为：当a ＜b 时，min {a ，b }＝a ；当a ≥b 时，min {a ，b }＝b ，如：min {4，﹣2}＝﹣2，min {5，5}＝5．根据上面的材料回答下列问题：（1）min {﹣1，3}＝ ﹣1 ；（2）当min {2x−32，x+23}=x+23时，求x 的取值范围． 【分析】（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出2x−32≥x+23，解不等式即可判断x 的取值范围．【解析】（1）由题意得min {﹣1，3}＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）由题意得：2x−32≥x+233（2x ﹣3）≥2（x +2）6x ﹣9≥2x +44x ≥13x ≥134， ∴x 的取值范围为x ≥134． 16．（2020春•仁寿县期末）对于任意实数a 、b 约定关于⊗的一种运算如下：a ⊗b ＝2a +b ．例如：（﹣3）⊗2＝2×（﹣3）+2＝﹣4．（1）3⊗（﹣5）的值等于 1 ；（2）若x 满足（x +2）⊗3＞7，求x 的取值范围；（3）若x ⊗（﹣y ）＝5，且2y ⊗x ＝7，求x +y 的值．【分析】（1）根据公式a ⊗b ＝2a +b 代入计算可得；（2）根据公式列出关于x 的不等式，解之可得答案；（3）根据已知条件并结合公式列出关于x 、y 的方程组，将两个方程相加，再两边都除以3即可得出答案．【解析】（1）3⊗（﹣5）＝2×3+（﹣5）＝6﹣5＝1，故答案为：1；（2）∵（x +2）⊗3＞7，∴2（x +2）+3＞7，∴2x +4+3＞7，∴2x +7＞7，∴2x ＞0，解得x ＞0；（2）∵x ⊗（﹣y ）＝5，且2y ⊗x ＝7，∴{2x −y =5①x +4y =7②， ①+②，得：3x +3y ＝12，∴x +y ＝4．17．（2020春•邗江区期末）定义一种新运算“a *b ”：当a ≥b 时，a *b ＝a +2b ；当a ＜b 时，a *b ＝a ﹣2b ．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．（1）填空：（﹣4）*3＝ ﹣10 ．（2）若（3x ﹣4）*（x +6）＝（3x ﹣4）+2（x +6），则x 的取值范围为 x ≥5 ．（3）计算（2x 2﹣4x +7）*（x 2+2x ﹣2）＝ 4x 2+3 ．（4）已知（3x ﹣7）*（3﹣2x ）＜﹣6，求x 的取值范围．【分析】（1）根据公式计算可得；（2）结合公式知3x ﹣4≥x +6，解之可得；（3）先利用作差法判断出2x 2﹣4x +8＞x 2+2x ﹣2，再根据公式计算（2x 2﹣4x +7）*（x 2+2x ﹣2）即可得；（4）由题意可得{3x −7≥3−2x 3x −7+2(3−2x)＜−6或{3x −7＜3−2x 3x −7−2(3−2x)＜−6，分别求解可得； 【解析】（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣10，故答案为：﹣10；（2）∵（3x ﹣4）*（x +6）＝（3x ﹣4）+2（x +6），∴3x ﹣4≥x +6，解得：x ≥5，故答案为：x ≥5．（3）∵2x 2﹣4x +7﹣（x 2+2x ﹣2）＝x 2﹣6x +9＝（x ﹣3）2≥0；∴2x 2﹣4x +7≥x 2+2x ﹣2，原式＝2x 2﹣4x +7+2（x 2+2x ﹣2）＝2x 2﹣4x +7+2x 2+4x ﹣4＝4x 2+3；（4）由题意知{3x −7≥3−2x 3x −7+2(3−2x)＜−6或{3x −7＜3−2x 3x −7−2(3−2x)＜−6， 解得：x ＞5或x ＜1；18．（2020春•丹阳市校级期末）定义一种新运算“a ※b ”：当a ≥b 时，a ※b ＝2a +b ；当a ＜b 时，a ※b ＝2a﹣b ．例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．（1）填空：（﹣2）※3＝ 7 ；（2）若（3x ﹣4）※（2x +3）＝2（3x ﹣4）+（2x +3），则x 的取值范围为 x ≥7 ；（3）已知（2x ﹣6）※（9﹣3x ）＜7，求x 的取值范围；（4）小明在计算（2x 2﹣2x +4）※（x 2+4x ﹣6）时随意取了一个x 的值进行计算，得出结果是0，小丽判断小明计算错了，小丽是如何判断的？请说明理由．【分析】（1）根据公式计算可得；（2）结合公式知3x ﹣4≥2x +3，解之可得；（3）由题意可得{2x −6≥9−3x 2(2x −6)+(9−3x)＜7或{2x −6＜9−3x 2(2x −6)−(9−3x)＜7，分别求解可得； （4）先利用作差法判断出2x 2﹣2x +4＞x 2+4x ﹣6，再根据公式计算（2x 2﹣2x +4）※（x 2+4x ﹣6）即可．【解析】（1）（﹣2）※3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，故答案为：﹣7；（2）∵（3x ﹣4）※（2x +3）＝2（3x ﹣4）+（2x +3），∴3x ﹣4≥2x +3，解得：x ≥7，故答案为：x ≥7．（3）由题意知{2x −6≥9−3x 2(2x −6)+(9−3x)＜7或{2x −6＜9−3x 2(2x −6)−(9−3x)＜7， 解得：3≤x ＜10或x ＜3，∴x ＜10．（4）∵2x 2﹣2x +4﹣（x 2+4x ﹣6）＝x 2﹣6x +10＝（x ﹣3）2+1＞0∴2x 2﹣2x +4＞x 2+4x ﹣6，原式＝2（2x 2﹣2x +4）+（x 2+4x ﹣6）＝4x 2﹣4x +8+x 2+4x ﹣6＝5x 2+2；∴小明计算错误．19．（2020•河北模拟）定义新运算：对于任意实数m 、n 都有m ☆n ＝mn ﹣3n ．例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：（1）x ☆12＞4，求x 取值范围； （2）若|x ☆（−14）|＝3，求x 的值；（3）若方程x ☆□x ＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x ＝1，求□中的常数．【分析】（1）根据已知公式得出12x −32＞4，解之可得答案； （2）根据公式得出|−14x +34|＝3，即可得出−14x +34=3或−14x +34=−3，解之可得答案；（3）根据公式得到□x 2﹣3•□x ＝6，把x ＝1代入得到□﹣3□＝6，即可求得□＝﹣3．【解析】（1）∵x ☆12＞4， ∴12x −32＞4， 解得：x ＞11；（2）∵|x ☆（−14）|＝3，∴|−14x +34|＝3，∴−14x +34=3或−14x +34=−3，解得：x ＝﹣9或x ＝15；（3）∵方程x ☆□x ＝6，∴□x 2﹣3•□x ＝6，∵方程的一个解为x ＝1，∴□﹣3□＝6，∴□＝﹣3．20．（2020秋•岳麓区校级月考）定义：给定两个不等式组P 和Q ，若不等式组P 的任意一个解，都是不等式组Q 的一个解，则称不等式组P 为不等式组Q 的“子集”．例如：不等式组M ：{x ＞2x ＞1是N ：{x ＞−2x ＞−1的“子集”． （1）若关于x 的不等式组{x ＞a x ＞−1是不等式组{x ＞2x ＞1的“子集”，则a 的取值范围是 a ≥2 ； （2）已知a ，b ，c ，d 为不互相等的整数，其中a ＜b ，c ＜d ，下列三个不等式组A ：a ≤x ≤b ，B ：c ≤x ≤d ，C ：1＜x ＜6满足：A 是B 的“子集”，B 是C 的“子集”，求a ﹣b +c ﹣d 的值．（3）已知不等式组M ：{2x ≥m 3x ＜n有解，且M 是不等式组N ：1＜x ≤3的“子集”，则满足条件的有序整数对（m ，n ）共有多少个？【分析】（1）根据“子集”的定义确定出a 的范围即可；（2）根据“子集”的定义确定出各自的值，代入原式计算即可求出值；（3）根据“子集”的定义确定出所求即可．【解析】（1）∵关于x 的不等式组{x ＞a x ＞−1是不等式组{x ＞2x ＞1的“子集”， ∴a ≥2，故答案为a ≥2；（2）∵a ，b ，c ，d 为互不相等的整数，其中a ＜b ，c ＜d ，A ：a ≤x ≤b ，B ：c ≤x ≤d ，C ：1＜x ＜6满足：A 是B 的“子集”且B 是C 的“子集”，∴a ＝3，b ＝4，c ＝2，d ＝5，则a ﹣b +c ﹣d ＝3﹣4+2﹣5＝﹣4；word 可编辑文档（3）不等式组M 整理得：{x ≥m 2x ＜n 3，由不等式组有解得到m 2＜n 3，即m 2≤x ＜n 3，∵M ：1＜x ≤3是不等式组的“子集”， ∴m 2＞1，n 3≤3，即m ＞2，n ≤9， 当n ＝9时，m ＝3，4，5，当n ＝8时，m ＝3，4，5，当n ＝7时，m ＝3，4，当n ＝6时，m ＝3，当n ＝5时，m ＝3，共10种情形，∴满足条件的有序整数对（m ，n ）有10个。
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1、解不等式
（2）252133
x -+-≤
+≤-
2、 求下列不等式组的整数解2(2)83373(2)82x x x x x x +<+⎧⎪-≥-⎨⎪-+>⎩
3、解不等式：（1） 0)2)(1(<+-x x （2）
0121>+-x x
4、对于1x ≥的一切有理数，不等式
()12
x a a -≥都成立，求a 的取值范围。
5、已知1x =是不等式组()()352,2
3425x x a x a x -⎧≤-⎪⎨⎪-<+-⎩
的解，求a 的取值范围.
6、如果35x a =-是不等式
()11233
x x -<-的解，求a 的取值范围。
7、若不等式组841,x x x m +<-⎧⎨>⎩
的解集为3x >，求m 的取值范围。
8、如果不等式组237,635x a b b x a
-<⎧⎨
-<⎩的解集为522x <<，求a 和b 的值。
9、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-6
22131m x m x 的解集是36+<m x ，求m 的取值范围。
10、已知关于x 的不等式()12a x ->的解在2x <-的范围内，求a 的取值范围。
11、已知关于x 的不等式组010
x a x ->⎧⎨
->⎩，的整数解共有3个，求a 的取值范围。
12、已知关于x 的不等式组0321x a x -≥⎧⎨-≥-⎩
的整数解共有5个，求a 的取值范围。
13、若关于x 的不等式组2145,x x x a ->+⎧⎨
>⎩无解，求a 的取值范围。
14、设关于x 的不等式组22321
x m x m ->⎧⎨
-<-⎩无解，求m 的取值范围
15、若不等式组⎩⎨⎧<->a x a x 无解，那么不等式⎩
⎨⎧<+>-11a x a x 有没有解？若有解，请求出不等式组的解集；若没有请说明理由？
16、若不等式组372,x x a a
-≤⎧⎨
-≥⎩有解，求a 的取值范围。
17、对于满足04p ≤≤的所有p ，不等式组3,1x p x >-⎧⎨>⎩与3,1x p x <-⎧⎨<⎩
至少有一个恒成立，则x 的取值范围是（ ）
（Ａ）1x >- （Ｂ）1x <- （Ｃ）3x > （Ｄ）1x <-或3x > 18、324282a a x
x -+>-是关于x 的一元一次不等式，求a 的值.
19、试求绝对值不等式2357x <-≤
20、若不等式a x x ≤-++31有解，则a 的取值范围是（ ）
A.0＜a ≤4
B.a ≥4
C.0＜a ≤2
D.a ≥2
21、已知：x 满足
31725233x x x -+-≥-，试求代数式32x x --+的最大值与最小值.
22、代数式|x-1|-|x+4|- 5 的最大值为 .
23若0,0x xy <<，那么15y x x y -+---的值是 。