挑战中考数学压轴题——平行四边形存在性问题

． ∴D（
，﹣
）． ∵y=x2﹣3x﹣4=（x﹣
）2﹣
，∴图象M的对称轴l为x=
． ∵点D关于l的对称点为E，∴E（
，﹣
），∴DE=
﹣
=2， 若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，有两种情况： 当DE为边时，则有PQ∥DE且PQ=DE=2． ∴点P的横坐标为
+2=
或
﹣2=﹣
，
∴点P的纵坐标为（ ﹣ ）2﹣ =﹣ ， ∴点P的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）； 当DE为对角线时，则可知P点为抛物线的顶点，即P（ ，﹣ ）； 综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（ ，﹣
）或（﹣ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）．
3．已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y= x2相交于B、C两点．
（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式； （2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线， 与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四 边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴， BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．
解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣
）． ∴a﹣3=﹣
，解得：a=
，∴y=
时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点 D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不 能，请说明理由．
【解答】解： （1）∵二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0）两点， ∴可设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）． ∵二次函数的图象M经过C（2，﹣6）点， ∴﹣6=a（2+1）（2﹣4），解得a=1． ∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x﹣4），即y=x2﹣3x﹣4．
×42﹣4﹣
=
，或y=
×42+4﹣
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
， ∴点P、E的坐标为P1（4， ）、E1（0， ）或P2（﹣4， ）、E2（0， ），
②如图，当AB是平行四边形的对角线时，PE平分AB，∴PE与x轴的交点坐 标D（1，0）， 过点P作PF⊥AB，则OD=FD，∴点F的坐标为（2，0），∴点P的横坐标为 2， y= ×22﹣2﹣ =﹣ ，∴点P的纵坐标为
）2=4，ME2=（1+m+m）2+（
）2=4m2+4m+4， AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4，若AM2+ME2=AE2，则 4+4m2+4m+4=4m2+8m+4，∴m=1， 此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°． ∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形． 方法二： （1）略， （2）①抛物线C1：y=﹣
解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1， ），
又∵直线BC过C、F两点，故得方程组：
解之，得
， 所以直线BC的解析式为：y=﹣
x+1； （2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1 所示， 设M（x，﹣
x+1），则D（x， x2），∵MD∥y轴，∴MD=﹣
x+1﹣ x2， 由MD=OF，可得|﹣
（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（1，﹣2），∴AB=3﹣（﹣1）=4， AC= =2 ，BC= =2 ，∴AB2=16，AC2+BC2=8+8=16， ∴AB2=AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，AB是直径，故半径为2； （2）①当AB是平行四边形的边时，PE=AB=4，且点P、E的纵坐标相等， ∴点P的横坐标为4或﹣4，∴y=
x+1﹣ x2|=1， ①当﹣
x+1﹣
x2=1时， 解得x1=0（舍）或x1=﹣3，所以M（﹣3，
）， ②当﹣
x+1﹣
x2，=﹣1时，解得，x=
， 所以M（
，
）或M（
，
）， 综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边 形， M点坐标为（﹣3，
）或（
，
）或（
，
）； （3）过点F作FT⊥BR于点T，如图2所示， ∵点B（m，n）在抛物线上，∴m2=4n，在Rt△BTF中， BF= = = = ， ∵n＞0，∴BF=n+1，又∵BR=n+1，∴BF=BR．∴∠BRF=∠BFR，又 ∵BR⊥l，EF⊥l， ∴BR∥EF，∴∠BRF=∠RFE，∴∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS， ∴∠RFS=
）， ∴
=﹣1， ∴m=1．
强化训练
1．如图，抛物线y=﹣
x2+bx+c与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，
），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作 PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线 段PM的长度； （3）连结CM，BN，当m为何值时，以B、C、M、N为顶点的四边形为平行 四边形？
，∴点P、E的坐标为P3（2，﹣ ）、E3（0， ）， 综上所述，点P、E的坐标为：P1（4， ）、E1（0， ）或P2（﹣4， ）、E2（0， ）或P3（2，﹣ ）、E3（0， ）．
例2．将抛物线沿c1：y=﹣
x2+
沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示． （1）请直接写出拋物线c2的表达式． （2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长 度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E． ①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值； ②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情 形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
． 当BD=
AE时，（1﹣m）﹣（﹣1+m）=
[（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，∴m=2． 故当B，D是线段AE的三等分点时，m=
或2． ②存在． 理由：连接AN，NE，EM，MA．依题意可得：M（﹣m， ），N（m，﹣ ）． 即M，N关于原点O对称，∴OM=ON． ∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE ∴四边形ANEM为平行四边形． ∵AM2=（﹣m﹣1+m）2+（
教师： 年月
课题内 容
学生： 日
平行四边形存在性问题
时间：2017
专题攻略
一、解平行四边形的存在性问题一般分三个步骤 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算.
二、难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重 复不遗漏，也可以使 计算又准又快.
三、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个 点以已知三个定点为 三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交 点.
解：（1）∵抛物线y=﹣ x2+bx+c经过A（0，1）和点B（3， ）， ∴
，∴
， ∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+1； （2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵A（0，1），B（3， ）， ∴
，∴直线AB的解析式为y=
x+1， ∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP=m， ∴P（m，0），M（m，
方法一： （1）根据翻折的性质可求拋物线c2的表达式； （2）①求出拋物线c1与x轴的两个交点坐标，分当AD=
AE时，当BD=
AE时两种情况讨论求解； ②存在．理由：连接AN，NE，EM，MA．根据矩形的判定即可得出． 方法二： （1）求出翻折后抛物线顶点坐标，并求出抛物线表达式． （2）①抛物线c1平移m个单位长度后，求出点A，B，D，E的坐标，并分类 讨论点B在点D左侧和右侧的两种情况，进而求出m的值． ②以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，则AN⊥EN，利用黄金法则 二，可求出m的值．
四、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种 情况. 灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便.
例1．如图，抛物线：y=
典型例题
x2﹣x﹣
与x轴交于A、B（A在B左侧），A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为C（1， ﹣2） （1）求过A、B、C三点的圆的半径． （2）在抛物线上找点P，在y轴上找点E，使以A、B、P、E为顶点的四边形 是平行四边形，求点P、E的坐标．
．
（3）若A、N、E、M为顶点的四边形是矩形， ∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣
）、M（﹣m，
）， ∴点A，E关于原点对称，点N，M关于原点对称， ∴A、N、E、M为顶点的四边形是平行四边形， 则AN⊥EN，KAN×KEN=﹣1， ∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣
）． （3）能．理由如下： 如图，过D点作x轴的垂线交AC于点H，
∵D（m，n）（﹣1＜m＜2），∴H（m，﹣2m﹣2）．∵点D（m，n）在图 象M上， ∴D（m，m2﹣3m﹣4）． ∵△ACD的面积为
， ∴
[﹣2m﹣2﹣（m2﹣3m﹣4）][（m+1）+（2﹣m）]=
，即4m2﹣4m+1=0，解得m=
∠BFC=90°，
∴△RFS是直角三角形．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣
），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点， 点Q在y轴的右侧． （1）求a的值及点A，B的坐标； （2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数 表达式； （3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为 对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说 明理由．
， 解得 m1=
（不合题意，舍去），m2=
， 综上所述，当m的值为1或2或
时，以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．
2．如图，已知二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0），C（2，﹣ 6）三点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与 △ABC相似，求点G的坐标； （3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（﹣1＜m＜2）是图象M上一动 点，当△ACD的面积为
m+1），∴PM=
m+1； （3）由题意可得：N（m，﹣
m2+
m+1）， ∵MN∥BC， ∴当MN=BC时，四边形BCMN为平行四边形， 当点P在线段OC上时，MN=﹣
m2+
m， 又∵BC=
， ∴﹣
m2+
m=
， 解得m1=1，m2=2； 当点P在线段OC的延长线上时，MN=
m2﹣
m， ∴
m2﹣
m=
【解答】方法一： 解：（1）y=
x2﹣
． （2）①令﹣
x2+
=0，得x1=﹣1，x2=1 则拋物线c1与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（1，0）．
∴A（﹣1﹣m，0），B（1﹣m，0）．同理可得：D（﹣1+m，0）， E（1+m，0）． 当AD=
AE时，（﹣1+m）﹣（﹣1﹣m）=
[（1+m）﹣（﹣1﹣m）]， ∴m=
x2+
， 与x轴的两个交点为（﹣1，0），（1，0），顶点为（0，
），抛物线C2：y=﹣
x2﹣
， 与x轴的两个交点也为（﹣1，0），（1，0），顶点为（0，﹣
），抛物线C1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为（﹣m，
），与x轴的两个交点为A（﹣1﹣m，0）、B（1﹣m，0），AB=2， 抛物线C2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为（m，﹣
），与x轴的两个交点为D（﹣1+m，0）、E（1+m，0），∴AE=（1+m）﹣ （﹣1﹣m）=2（1+m），B、D是线段AE的三等分点，有两种情况． 1、B在D的左侧，AB=
AE=2，AE=6， ∴2（1+m）=6，m=2， 2、B在D的右侧，AB=
AE=2，AE=3， ∴2（1+m）=3，m=
（2）设直线AC的解析式为y=sx+t，把A、C坐标代入可得
，解得
， ∴线段AC的解析式为y=﹣2x﹣2， 设点G的坐标为（k，﹣2k﹣2）． ∵G与C点不重合， ∴△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况． ∴
=
． ∵AB=5，AC=
=3
，AG= = |k+1|， ∴
=
，∴|k+1|= ∴k= 或k=﹣ （舍去），∴点G的坐标为（ ，﹣