高中数学：单调性 函数的最大值、最小值 (5)

第2课时 函数的最大值、最小值
知识点 函数的最大值与最小值
最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y ＝x 2(x ∈R )的最大值是0，有f(0)＝0.
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( ) 答案：(1)× (2)×
2．函数f (x )＝1
x 在[1，＋∞)上( )
A ．有最大值无最小值
B ．有最小值无最大值
C ．有最大值也有最小值
D ．无最大值也无最小值
解析：函数f (x )＝1
x 是反比例函数，当x ∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f (x )为减函数，f (1)为f (x )在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.
答案：A
3．函数f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])的最小、最大值分别为( ) A ．3,5 B ．－3,5 C ．1,5 D ．－5,3
解析：因为f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x ＝2时，函数的最小值为－3.当x ＝－2时，函数的最大值为5.
答案：B
4．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()
A．f(－2)，0 B．0,2
C．f(－2)，2 D．f(2)，2
解析：由图象知点(1,2)是最高点，故y max＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故y min＝f(－2)．
答案：C
类型一图象法求函数的最值
例1如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，
所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.
当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.
函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)，
单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．
观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)．
方法归纳
图象法求最值的一般步骤
跟踪训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
解析：y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎨
⎧
3－x ，x ≥1，
x ＋1，x <1，
图象如图所示．
由图象知，函数y ＝－|x －1|＋2的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为(－∞，2]．
利用x 的不同取值先去绝对值，再画图．
类型二 利用单调性求函数的最大(小值)
例2 已知f (x )＝1
x －1
，
(1)判断f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． (2)求f (x )在[2,6]上的最大值和最小值．
【解析】 (1)函数f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 证明：任取x 2>x 1>1，
则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1
x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)，
因为x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．
所以f (x )在(1，＋∞)上是减函数． (2)由(1)可知f (x )在(1，＋∞)上是减函数，
即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝1
3.
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
类型三二次函数最值
例3求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
【解析】f(x)＝(x－a)2－1－a2，其图象的对称轴为直线x＝a.
(1)当a<0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(2)当0≤a≤1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(3)当1<a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.
(4)当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
由于二次函数的最值与其图象的对称轴有关，而题中函数图象的对称轴为直线x＝a，位置不确定，所以应按对称轴与区间[0,2]的相对位置进行分类讨论．
方法归纳
1．如何求二次函数在闭区间[m，n]上的最值？
①确定二次函数的对称轴x＝a；
②根据a<m，m≤a<m＋n
2
，
m＋n
2≤a<n，a≥n这4种情况进行分
类讨论；
③写出最值．
2．求二次函数的最值常用的数学思想方法
数形结合思想、分类讨论思想．
跟踪训练3已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：
(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
解析：f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7.
(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．故函数f(x)的最小值为－7，无最大值．
(2)函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7.
(3)由图可知，函数f(x)在[－1,1]上是减函数，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4.
求函数的最大值、最小值问题，应先考虑其定义域，由于是二次函数，所以可以采用配方法和图象法求解.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
为f (b )＝1b ＝1
4，所以b ＝4.
答案：4
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f (x )＝|x |(x ＋1)，试画出函数f (x )的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f (x )的单调区间；
(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－1，12上的最大值．
解析：f (x )＝|x |(x ＋1)＝⎩⎨
⎧
－x 2－x ，x ≤0，
x 2＋x ，x >0
的图象如图所示．
(1)f (x )在⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，－12和[0，＋∞) 上是增函数，
在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，0上是减函数， 因此f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛
⎦
⎥⎤－∞，－12，[0，＋∞)； 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，0.
(2)因为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝14，f (12)＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为3
4.
10．已知函数f (x )＝2x －1
x ＋1
，x ∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．
解析：在同一坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，
由图象可知，函数f(x)在x＝2时取得最大值6.
答案：6
13．求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．
解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，其图象的对称轴为x＝1.
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t ＋1]上为减函数，
所以最小值g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值g(t)＝f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
所以最小值g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
综上可得，g(t)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧t2＋1，t<0，
1，0≤t≤1，
t2－2t＋2，t>1.。