湍流运动
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最大涡旋尺度 / 最小涡旋尺度 ~ Re3/4 飞机（50米 x 5米）速度250米/秒，高度1万米 —— 1016网格数 —— 目前计算机能力 1012~13 次/秒
• 不存在统一的有效的湍流理论 • 有许多半经验理论，但是其应用范围较窄
• 湍流的机理尚不清楚
• H. Lamb （1932）： “我现在老了，当我死后去见上帝时，我希 望有两件事他能替我指点迷津。
• 注意 NS 方程的成立是一假设，因为 NS 定律 对于湍流的瞬时运动是否成立是值得讨论的。
• 对上述方程取平均值，得平均量满足的连续性方 程和 Reynolds 方程：
• 脉动量满足以下方程：
• 湍流应力张量 （Reynolds 应力张量） • 总平均应力张量
• 在高Reynolds 数下，Reynolds 应力通常 远大于分子粘性应力
1 A lim N N
• 在各态遍历假设下，以上3种平均是等价的。
• 各态遍历假设： 一个随机变量在许多个相同的实验中或一个实 验重复多次时出现的所有可能状态，能够在一次实验的相当长的 时间或相当大的空间范围内，以相同的概率出现。
• 平均化运算法则
平均量 + 脉动量
(1) aA aA (2) A B A B (3) A A, A' 0 (4) AB AB (5) AB AB A ' B ' A A (6) x x A A (7) t t
光滑圆管中的速度剖面
Vz V* 1 * 1 ln yV ( 11.6, 0.4) ln
圆柱绕流 Re = 9.6
圆柱绕流 Re = 26
圆柱绕流 Re = 105 (卡门涡街)
圆柱绕流 Re = 2000 （层流边界层）
层流边界层和湍流边界层
层流边界层和湍流边界层的速 度剖面
层流边界层和湍流边界层的摩 擦系数
湍流的基本特性
• 随机性——不规则的随机脉动 • 扩散性——高效混合 • 有涡性——不同尺度的三维涡旋 • 耗散性——湍流消耗很多能量
• 对于二维平行剪切湍流，可以从 Prandtl 假设得 到 Prandtl 混合长公式：
或
公式中的 lm （量纲为长度）是待定参数，它与 湍流结构有关，可以由实验确定。
• 在边界层和管流的近壁面附近，可以取
ຫໍສະໝຸດ Baidu
6. 普适流速分布率（管流，定常湍流） • 实验表明，固壁外的湍流流动可以分为3个区域：
• Prandtl 假设 (1925) Prandtl 借鉴分子运动论中分子平均自由程的概 念，认为湍流中的流体微团也具有一个“平均自 由程”，称为混合长，流体微团只在移动了这个 长度的距离后，才与其他流体微团发生碰撞和混 合，从而失去其原有流动特性，但是在移动过程 中流体微团的流动特性（动量）保持不变。
20世纪湍流研究的3个突出进展
• 大尺度拟序结构的发现 • 在确定性非线性微分方程中可以获得渐近不规 则解（混沌现象） • 超级计算机用于湍流的直接数值模拟
5. Prandtl 混合长理论
二维平行剪切湍流的总剪切应力
• Boussinesq 假设(1877)：
t 称为湍流粘性系数或涡粘性系数。不过，湍流 粘性系数t 并非与流体宏观运动无关的物理参数
1) 粘性底层（近壁面）， >> (t) 2) 湍流核心区（远离壁面）， << (t) 3) 过渡区（二者之间）， ~ (t)
一般粘性底层和过渡区都很薄。
• 无界静止平板附近定常湍流运动的速度分布 设二维定常平行剪切湍流 流动中，压强为常数，壁 面剪切应力为 w，求时均 速度剖面的形状。
一件是量子电动力学，另一件是流体的湍 流。对于前者，我持相当乐观的态度。”
• Prandtl 混合长理论（简单湍流） • G.I. Taylor：随机涡是湍流的载体 • N. Kolmogorov：湍流脉动是多变量随机过程 • 周培源：近代湍流模式理论奠基人 • 近代湍流的研究方向： 从不规则的湍流脉动的物理性质中寻找规律
• Reynolds 方程
• 在粘性底层，忽略湍流应力，应用NS定律，得
这里已经考虑了壁面粘附条件。写为无量纲形式：
其中
• 在湍流核心区，忽略粘性应力，应用 Prandtl 混 合长公式，得 假设 lm = y （实验结果），积分后得
• 忽略过渡区，使粘性底层和湍流核心区的解连 续，得
其中 为衔接处的无量纲速度。
A A A'
注意：脉动量未必小于平均量！
A A A'
• 关于统计平均方法的说明 （是否可以对描述湍流运动的所有物理量均采用 相同的平均化方法？）
3. Reynolds 方程
• 假设不可压缩流体（密度为常数）的湍流运动 的瞬时流场和瞬时压强场满足连续性方程和 NS 方程（直角坐标系，对重复的下标求和）
湍流运动
1. 一些实验结果
• 雷诺实验（圆管中流动状态的改变与 Re 的关系） • 圆管阻力系数随 Re 的变化规律，层流的速度剖面 与湍流的平均速度剖面特点
1 w均 wmax , 2
w均 0.8wmax
• 圆柱（球）绕流的典型流动图案与 Re 的关系，失阻现象
• 湍流的其他实例
圆柱绕流 Re = 0.16
2. 湍流的统计平均方法
• 时间平均， 空间平均
t T / 2
1 A Adt T t T / 2
• 整体平均
1 A Ad VV
A
AP( A, x, y, z, t )dA, A ( x, y , z , t )
k 1 k N
P( A, x, y, z, t )dA 1
4. 湍流研究的难度
• 控制方程是不封闭的：4 个方程，10 个未知数
• 要想解决控制方程不封闭的问题，只能进一步 假设（半经验理论，模式理论）
(t ) ik
vi ' vk '
(t ) ik
v v , x
• 直接用数值方法解封闭的 NS 方程组受到计算机速 度的限制 （目前只能处理 Re ~ 103 的情况）
• 不存在统一的有效的湍流理论 • 有许多半经验理论，但是其应用范围较窄
• 湍流的机理尚不清楚
• H. Lamb （1932）： “我现在老了，当我死后去见上帝时，我希 望有两件事他能替我指点迷津。
• 注意 NS 方程的成立是一假设，因为 NS 定律 对于湍流的瞬时运动是否成立是值得讨论的。
• 对上述方程取平均值，得平均量满足的连续性方 程和 Reynolds 方程：
• 脉动量满足以下方程：
• 湍流应力张量 （Reynolds 应力张量） • 总平均应力张量
• 在高Reynolds 数下，Reynolds 应力通常 远大于分子粘性应力
1 A lim N N
• 在各态遍历假设下，以上3种平均是等价的。
• 各态遍历假设： 一个随机变量在许多个相同的实验中或一个实 验重复多次时出现的所有可能状态，能够在一次实验的相当长的 时间或相当大的空间范围内，以相同的概率出现。
• 平均化运算法则
平均量 + 脉动量
(1) aA aA (2) A B A B (3) A A, A' 0 (4) AB AB (5) AB AB A ' B ' A A (6) x x A A (7) t t
光滑圆管中的速度剖面
Vz V* 1 * 1 ln yV ( 11.6, 0.4) ln
圆柱绕流 Re = 9.6
圆柱绕流 Re = 26
圆柱绕流 Re = 105 (卡门涡街)
圆柱绕流 Re = 2000 （层流边界层）
层流边界层和湍流边界层
层流边界层和湍流边界层的速 度剖面
层流边界层和湍流边界层的摩 擦系数
湍流的基本特性
• 随机性——不规则的随机脉动 • 扩散性——高效混合 • 有涡性——不同尺度的三维涡旋 • 耗散性——湍流消耗很多能量
• 对于二维平行剪切湍流，可以从 Prandtl 假设得 到 Prandtl 混合长公式：
或
公式中的 lm （量纲为长度）是待定参数，它与 湍流结构有关，可以由实验确定。
• 在边界层和管流的近壁面附近，可以取
ຫໍສະໝຸດ Baidu
6. 普适流速分布率（管流，定常湍流） • 实验表明，固壁外的湍流流动可以分为3个区域：
• Prandtl 假设 (1925) Prandtl 借鉴分子运动论中分子平均自由程的概 念，认为湍流中的流体微团也具有一个“平均自 由程”，称为混合长，流体微团只在移动了这个 长度的距离后，才与其他流体微团发生碰撞和混 合，从而失去其原有流动特性，但是在移动过程 中流体微团的流动特性（动量）保持不变。
20世纪湍流研究的3个突出进展
• 大尺度拟序结构的发现 • 在确定性非线性微分方程中可以获得渐近不规 则解（混沌现象） • 超级计算机用于湍流的直接数值模拟
5. Prandtl 混合长理论
二维平行剪切湍流的总剪切应力
• Boussinesq 假设(1877)：
t 称为湍流粘性系数或涡粘性系数。不过，湍流 粘性系数t 并非与流体宏观运动无关的物理参数
1) 粘性底层（近壁面）， >> (t) 2) 湍流核心区（远离壁面）， << (t) 3) 过渡区（二者之间）， ~ (t)
一般粘性底层和过渡区都很薄。
• 无界静止平板附近定常湍流运动的速度分布 设二维定常平行剪切湍流 流动中，压强为常数，壁 面剪切应力为 w，求时均 速度剖面的形状。
一件是量子电动力学，另一件是流体的湍 流。对于前者，我持相当乐观的态度。”
• Prandtl 混合长理论（简单湍流） • G.I. Taylor：随机涡是湍流的载体 • N. Kolmogorov：湍流脉动是多变量随机过程 • 周培源：近代湍流模式理论奠基人 • 近代湍流的研究方向： 从不规则的湍流脉动的物理性质中寻找规律
• Reynolds 方程
• 在粘性底层，忽略湍流应力，应用NS定律，得
这里已经考虑了壁面粘附条件。写为无量纲形式：
其中
• 在湍流核心区，忽略粘性应力，应用 Prandtl 混 合长公式，得 假设 lm = y （实验结果），积分后得
• 忽略过渡区，使粘性底层和湍流核心区的解连 续，得
其中 为衔接处的无量纲速度。
A A A'
注意：脉动量未必小于平均量！
A A A'
• 关于统计平均方法的说明 （是否可以对描述湍流运动的所有物理量均采用 相同的平均化方法？）
3. Reynolds 方程
• 假设不可压缩流体（密度为常数）的湍流运动 的瞬时流场和瞬时压强场满足连续性方程和 NS 方程（直角坐标系，对重复的下标求和）
湍流运动
1. 一些实验结果
• 雷诺实验（圆管中流动状态的改变与 Re 的关系） • 圆管阻力系数随 Re 的变化规律，层流的速度剖面 与湍流的平均速度剖面特点
1 w均 wmax , 2
w均 0.8wmax
• 圆柱（球）绕流的典型流动图案与 Re 的关系，失阻现象
• 湍流的其他实例
圆柱绕流 Re = 0.16
2. 湍流的统计平均方法
• 时间平均， 空间平均
t T / 2
1 A Adt T t T / 2
• 整体平均
1 A Ad VV
A
AP( A, x, y, z, t )dA, A ( x, y , z , t )
k 1 k N
P( A, x, y, z, t )dA 1
4. 湍流研究的难度
• 控制方程是不封闭的：4 个方程，10 个未知数
• 要想解决控制方程不封闭的问题，只能进一步 假设（半经验理论，模式理论）
(t ) ik
vi ' vk '
(t ) ik
v v , x
• 直接用数值方法解封闭的 NS 方程组受到计算机速 度的限制 （目前只能处理 Re ~ 103 的情况）