机械系统动力学第二章 机械系统运动微分方程的建立
《机械控制工程基础》-2物理系统的数学模型及传递函数解析
称为叠加性或叠加原理。
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（2）非线性系统 如果系统的数学模型是非线性的，这种 系统称为非线性系统。 工程上常见的非线性特性如下： 饱和非线性 死区非线性 间隙非线性 摩擦非线性……
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（3）举例 下列微分方程描述的系统为线性系统：
零初始条件： 输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。 形式上记为：
Y (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s ) X (s) a0 s n a1s n1 an1s an
控制工程基础
2.2.2 传递函数的求法
（1）解析法（根据定义求取） 设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t) ，描 述系统的微分方程的一般形式为 :
dny d n1 y d n2 y dy an n an1 n 1 an 2 n2 a1 a0 y dt dt dt dt
Xi ( s) Ts Xo ( s)
传递函数： G( s)
式中T为微分时间常数。
特点： （1）一般不能单独存在 （2）反映输入的变化趋势 （3）增强系统的阻尼 （4）强化噪声
4.积分环节
1 微分方程： xo (t ) T xi (t )dt
传递函数：
X ( s) 1 G( s) o X i (s) Ts
2 2
下列微分方程描述的系统为非线性系统：
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（4）系统运动微分方程的建立
电气系统
电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫 定律来建立电气系统的数学模型。 基尔霍夫电流定律：
第2章 两自由度机械系统动力学
代入虚功 方程
W Fk rk 0（3-3）
k
22
得：
n rk W Fk rk Fk q qi k k i 1 i n rk Fk q qi i 1 k i
125
欲实施有效控制，特征 根不能为正值，所以 b0 a g (1 )
126
3.6 二自由度机械手动力学问题
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
本章总结
了解牛顿力学的不足；
掌握广义坐标和广义力的计算方法； 掌握拉格郎日方程的建立方法； 简单的力学应用。
2 1 2 2 2 1
51
52
53
54
例：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。
55
(1)确定广义坐标 q (2)计算动能与势能 1 2 1 2 2 mv ml 2 2 V m gl(1 cos ) E (3)计算广义力 V Q m glsin
5
6
7
8
本章采用的方法：拉格郎日方程（重点） 二自由度机械系统动力学不采用等效 力学模型法，一般采用拉格郎日方程来建 模。 在学习拉格郎日方程之前，必须掌握 一些重要的概念，如广义坐标、广义力、 虚位移等。首先了解一些科学史观，培养 科学精神。
9
3.2 自由度与广义坐标
广义坐标：
能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义 坐标。 自由度（DOF)： 能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫 自由度。 一般情况下广义坐标数量等于自由度数。
机械工程控制基础--第二章
,
Cm
Tm J
得
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
Cdua CmML 设平衡点 (ua0,ML0, )
L
R
即有 Cdua0 CmML0 ua
i2R2
1 C2
i2dt
1 C1
(i1 i2 )dt
1
C2 i2dt u2
i1 C1
3. 消除中间变量 i1、i2，并整理：
R1C1R2C2
d2u2 dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2
)
du2 dt
u2
u1
R2 i2 C2 u2
例5 直流电动机 1. 明确输入与输出：
输入ua 和ML，输出
注意：负载效应，非线性项的线性化。
3. 消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。
4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项 放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。
an
x(n) o
(t
)
a x(n1) n1 o
(t
)
a1xo (t) a0xo (t)
bm
x(m) i
(t
)
bm1xi(
...
a1 s
a0
(n m) 传递函数
传递函数定义：
零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉
氏变换之比。
第二章(多自由度系统的运动微分方程)详解
k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
多自由度振动系统
Piezoelectric actuator
基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制 （此系统有一、两千个自由度（3D实体单元） ）
Z Y
X
第二章： 多自由度系统的运动 微分方程
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第一讲：
1.建立多自由度系统运动微分方程的 各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分 方程
F1 1
k3
m2
k2 (d11 d21 )
m1
k2 (d11 d21 ) k1d11 1
d 21 k2 (d11 d21 )
F2 0
d11
k3d21
k2 k3 k1k2 k1k3 k2 k3 k2 k1k2 k1k3 k2 k3
m2
d 21
k2 (d11 d21 ) k3d21 0
上次课内容回顾
3.刚度影响系数
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
4.柔度影响系数
柔度影响系数 dij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第 自由度上产生的位移。 i
5.刚度矩阵和柔度矩阵的关系
第一章单自由度机械系统动力学建模解析
静力分析（static） 动态静力分析(kinetio-static) 动力分析(dynamic) 弹性动力分析(elastodynamic)
1 静力分析
对低速机械，运动中产生的惯性可以忽略不计，对机 械的运动过程中的各个位置，可以用静力学方法求出 为平衡载荷而需在驱动构件上施加的驱动力或力矩， 以及各运动副中的约束反力，可用此进行原动机功率 的计算、构件和运动副承载能力的计算。
v32
(M1
1
v3
F3 )v3
me
n i 1
mi
vsi v
2
等 J效si质 量vi
2 me
Fe
n i 1
Fi
程,其维数等于机构的自由度数目; 另一类是含运动副约束反力的代数与微分混合型
方程,其维数大于机构的自由度数目。
机构动力学分析的发展与现状
建立复杂机构动力学模型的常用力学方法有: * 牛顿-欧拉(Newton-Euler)法 * 拉格朗日(Lagrange)法 * 虚功原理法 * 凯恩(Kane)法 * 旋量法和R-W法等。
机械系统动力学
绪论
机械系统动力学是应用力学的基本理论解决 机械系统中动力学问题的一门学科，其核心 问题是建立机械系统的运动状态与其内部参 数、外部条件之间的关系，找到解决问题的 途径
三体机械臂
可伸展卫星太阳能电池板
汽车
五轴并联机床
机械动力学研究内容 ：
机械原理由三部分组成：
机械结构学、机构运动学和机械动力学
4 弹性动力分析
随着机械系统向高速轻质化发展，构件的柔度加大，惯 性力急剧加大，构件的弹性变形可能给机械的运动输出 带来误差。机械系统柔度 系统的固有频率 ，机械 运转速度 激振频率 可能会发生共振，破坏运动精度 ，影响疲劳强度，引发噪声。
机械控制工程基础第二章 控制系统的数学基础和数学模型
动态模型反映系统在迅变载荷或在系统不平衡状态下的特性，现时输出还
由受其以前输入的历史的影响，一般以微分方程或差分方程描述。在控制
理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用
动态数学模型。
例:
••
•
系统动态模型：m x(t) c x(t) kx(t) F (t)
•
••
当系统运动很慢时，其 x 0, x 0，上式可简
5.初值定理
若L[f(t)]=F(s)，则
f (0 ) lim f (t) lim s F(s)
t 0
s
6.终值定理
若L[f(t)]=F(s)，则有
f () lim f (t) lim s F(s)
t
s0
7.延迟定理
若L[f(t)]=F(s)，对任一正实数a，则有
L f (t a) f (t a)estdt eas F (s) 0
ic
1 C
dui dt
R C uo(t)
例5 写出下图电气系统的微分方程
R1 L1
L2
①
u(t)
i1( t ) C
i2 ( t ) uc( t )
R2
解：
u(t)
i1 R1
L1
di1 (t) dt
uc
(t)
(1)
uc (t)
L2
di2 (t) dt
i2 R2
(2)
uc
(t)
1 C
(i1 - i2 )dt
j0
i0
若系数ai,bi是常数，则方程是线性定常的，相应 的系统也称为线性定常系统，若系数是时间的函数， 则该方程为线性时变的，相应的系统也称为线性时变 系统。（m≥n)
机械系统动力学-PPT课件
2
，可求解等效转动惯量：
n v i 2 si2 J J （ ) m ( ) e si i i i 1 1
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第十四章 机械系统动力学
1.作定轴转动的等效构件的等效参量的计算
等效力矩的计算：
等效构件的瞬时功率：P M e
系统中各类构件的瞬时功率： P P F v cos i 'M i i i'' i si i
0 Md tan 0 n tan Mn
M M n 0 n M d 0 n 0 n ab
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第十四章 机械系统动力学
二、机械的运转过程
1.启动阶段 2. 机械的稳定运转阶段
3. 机械的停车阶段
第十四章 机械系统动力学
P P ' P ' ' M F v cos i i i i i i si i
第十四章 机械系统动力学
HIGH EDUCATION PRESS
1.作定轴转动的等效构件的等效参量的计算
整个机械系统的瞬时功率为：
P M F v cos i i i si i
i 1 i 1 n n
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3.机械的停车阶段
停车阶段是指机械由稳定运转的工作转数下降到零转
数的过程。
第十四章 机械系统动力学
HIGH EDUCATION PRESS
第二节 机械系统的等效动力学模型
一、等效动力学模型的建立 二、等效构件 三、等效参量的计算 四、实例与分析
第十四章 机械系统动力学
作往复移动的等 效构件的微分方 程
机械工程控制基础知识总结
()o x ∞时所需的时间4nξω≈当增加系统的型别时，系统的准确性将提高。
当系统采用增加开环传递函数中积分环节的数0]或滞后0]的特性。
正负：正值：逆时针方向；负值：顺时针方向幅频特性()A ω和相频特性()ϕω的总称|()|G j e ω=是将()G s90对数幅频特性曲线：在整个频率范围内是一的直线。
当90的水平线。
ω=时，90对数幅频特性曲线：在整个频率范围内是一直线当90的水平线。
、将系统的传递函数准形式的环节的传递函数（即惯性、一阶微0，00a ；、三阶系统(3)n =稳定的充要条件：0，00a ，120a a 。
、在Routh 表中任意一行的第一个元为零，后各元均不为零或部分不为零：用一个很小的正ε来代替第一列等于零的元，然后计算表的其余各元；、当Routh 表的任意一行中的所有元均为零：用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用180开始向上。
j-(1,0)180开始向下。
+∞时，在开环对数幅频特性曲线为正值的频率范围内，开环对数180线正穿越与负穿越次数之时，闭环系统稳定；否则不稳定。
g ω，则闭环系统稳定；g ω，则闭环系统不稳定；g ω=，则闭环系统临界稳定；为剪切频率0)时，相频特性180线的相位差值γ。
(ϕω+对于稳定系统，γ必在Bode 180线以上。
：对于稳定系统，自：第三象限。
180线以下。
：对于稳定系统，自：第二象限。
0)时，开环幅频的倒数。
()|H j K ω记0；：对于稳定系统，1。
右侧通过。
：对于稳定系统，K 必在0分贝线以0；：对于稳定系统，1。
左侧通过。
线以上；分贝线以下。
8086汇编指令速查手册一、数据传输指令它们在存贮器和寄存器、寄存器和输入输出端口之间传送数据.1. 通用数据传送指令.MOV 传送字或字节.MOVSX 先符号扩展,再传送.MOVZX 先零扩展,再传送.PUSH 把字压入堆栈.POP 把字弹出堆栈.PUSHA 把AX,CX,DX,BX,SP,BP,SI,DI依次压入堆栈.POPA 把DI,SI,BP,SP,BX,DX,CX,AX依次弹出堆栈.PUSHAD 把EAX,ECX,EDX,EBX,ESP,EBP,ESI,EDI依次压入堆栈.POPAD 把EDI,ESI,EBP,ESP,EBX,EDX,ECX,EAX依次弹出堆栈.BSWAP 交换32位寄存器里字节的顺序XCHG 交换字或字节.( 至少有一个操作数为寄存器,段寄存器不可作为操作数)CMPXCHG 比较并交换操作数.( 第二个操作数必须为累加器AL/AX/EAX )XADD 先交换再累加.( 结果在第一个操作数里 )XLAT 字节查表转换.── BX 指向一张 256 字节的表的起点, AL 为表的索引值(0-255,即0-FFH); 返回 AL 为查表结果. ( [BX+AL]->AL )2. 输入输出端口传送指令.IN I/O端口输入. ( 语法: IN 累加器, {端口号│DX} )OUT I/O端口输出. ( 语法: OUT {端口号│DX},累加器 ) 输入输出端口由立即方式指定时, 其范围是 0-255; 由寄存器 DX 指定时,其范围是 0-65535.3. 目的地址传送指令.LEA 装入有效地址.例: LEA DX,string ;把偏移地址存到DX.LDS 传送目标指针,把指针内容装入DS.例: LDS SI,string ;把段地址:偏移地址存到DS:SI.LES 传送目标指针,把指针内容装入ES.例: LES DI,string ;把段地址:偏移地址存到ES:DI.LFS 传送目标指针,把指针内容装入FS.例: LFS DI,string ;把段地址:偏移地址存到FS:DI.LGS 传送目标指针,把指针内容装入GS.例: LGS DI,string ;把段地址:偏移地址存到GS:DI.LSS 传送目标指针,把指针内容装入SS.例: LSS DI,string ;把段地址:偏移地址存到SS:DI.4. 标志传送指令.LAHF 标志寄存器传送,把标志装入AH.SAHF 标志寄存器传送,把AH内容装入标志寄存器.PUSHF 标志入栈.POPF 标志出栈.PUSHD 32位标志入栈.POPD 32位标志出栈.二、算术运算指令ADD 加法.ADC 带进位加法.INC 加 1.AAA 加法的ASCII码调整.DAA 加法的十进制调整.SUB 减法.SBB 带借位减法.DEC 减 1.NEC 求反(以 0 减之).CMP 比较.(两操作数作减法,仅修改标志位,不回送结果).AAS 减法的ASCII码调整.DAS 减法的十进制调整.MUL 无符号乘法.IMUL 整数乘法.以上两条,结果回送AH和AL(字节运算),或DX和AX(字运算), AAM 乘法的ASCII码调整.DIV 无符号除法.IDIV 整数除法.以上两条,结果回送:商回送AL,余数回送AH, (字节运算);或商回送AX,余数回送DX, (字运算).AAD 除法的ASCII码调整.CBW 字节转换为字. (把AL中字节的符号扩展到AH中去)CWD 字转换为双字. (把AX中的字的符号扩展到DX中去)CWDE 字转换为双字. (把AX中的字符号扩展到EAX中去)CDQ 双字扩展. (把EAX中的字的符号扩展到EDX中去) 三、逻辑运算指令AND 与运算.OR 或运算.XOR 异或运算.NOT 取反.TEST 测试.(两操作数作与运算,仅修改标志位,不回送结果). SHL 逻辑左移.SAL 算术左移.(=SHL)SHR 逻辑右移.SAR 算术右移.(=SHR)ROL 循环左移.ROR 循环右移.RCL 通过进位的循环左移.RCR 通过进位的循环右移.以上八种移位指令,其移位次数可达255次.移位一次时, 可直接用操作码. 如 SHL AX,1.移位>1次时, 则由寄存器CL给出移位次数.如 MOV CL,04SHL AX,CL四、串指令DS:SI 源串段寄存器 :源串变址.ES:DI 目标串段寄存器:目标串变址.CX 重复次数计数器.AL/AX 扫描值.D标志 0表示重复操作中SI和DI应自动增量; 1表示应自动减量.Z标志用来控制扫描或比较操作的结束.MOVS 串传送.( MOVSB 传送字符. MOVSW 传送字. MOVSD 传送双字. )CMPS 串比较.( CMPSB 比较字符. CMPSW 比较字. )SCAS 串扫描.把AL或AX的内容与目标串作比较,比较结果反映在标志位.LODS 装入串.把源串中的元素(字或字节)逐一装入AL或AX中.( LODSB 传送字符. LODSW 传送字. LODSD 传送双字. )STOS 保存串.是LODS的逆过程.REP 当CX/ECX<>0时重复.REPE/REPZ 当ZF=1或比较结果相等,且CX/ECX<>0时重复.REPNE/REPNZ 当ZF=0或比较结果不相等,且CX/ECX<>0时重复. REPC 当CF=1且CX/ECX<>0时重复.REPNC 当CF=0且CX/ECX<>0时重复.五、程序转移指令1>无条件转移指令 (长转移)JMP 无条件转移指令CALL 过程调用RET/RETF过程返回.2>条件转移指令 (短转移,-128到+127的距离内)( 当且仅当(SF XOR OF)=1时,OP1<OP2 )JA/JNBE 不小于或不等于时转移.JAE/JNB 大于或等于转移.JB/JNAE 小于转移.JBE/JNA 小于或等于转移.以上四条,测试无符号整数运算的结果(标志C和Z).JG/JNLE 大于转移.JGE/JNL 大于或等于转移.JL/JNGE 小于转移.JLE/JNG 小于或等于转移.以上四条,测试带符号整数运算的结果(标志S,O和Z).JE/JZ 等于转移.JNE/JNZ 不等于时转移.JC 有进位时转移.JNC 无进位时转移.JNO 不溢出时转移.JNP/JPO 奇偶性为奇数时转移.JNS 符号位为 "0" 时转移.JO 溢出转移.JP/JPE 奇偶性为偶数时转移.JS 符号位为 "1" 时转移.3>循环控制指令(短转移)LOOP CX不为零时循环.LOOPE/LOOPZ CX不为零且标志Z=1时循环.LOOPNE/LOOPNZ CX不为零且标志Z=0时循环.JCXZ CX为零时转移.JECXZ ECX为零时转移.4>中断指令INT 中断指令INTO 溢出中断IRET 中断返回5>处理器控制指令HLT 处理器暂停, 直到出现中断或复位信号才继续.WAIT 当芯片引线TEST为高电平时使CPU进入等待状态. ESC 转换到外处理器.LOCK 封锁总线.NOP 空操作.STC 置进位标志位.CLC 清进位标志位.CMC 进位标志取反.STD 置方向标志位.CLD 清方向标志位.STI 置中断允许位.CLI 清中断允许位.六、伪指令DW 定义字(2字节).PROC 定义过程.ENDP 过程结束.SEGMENT 定义段.ASSUME 建立段寄存器寻址. ENDS 段结束.END 程序结束.。
系统动力学：两自由度刚性动力学
第三节 虚位移原理与广义力
虚位移原理
虚位移原理：对于具有理想约束的质点系，平衡的 充分必要条件是作用于质点系的主动力在任何虚位 移中所作虚功的和等于零，又称虚功原理。即
δWF = Fi δ ri = 0
i 1 n
( F δx
ix
i
Fiyδyi Fiz δzi ) 0
i 1
由， FIi mi ai mi ri得
δW = ( Fi mi ri ) δri = 0
i 1 n
——动力学普遍方程
第五节 拉格朗日方程
动力学普遍方程的主动力虚功用广义坐标表示：
F δr = Q δq
i 1 i i j 1 j
n
k
j
惯性力虚功用广义坐标表示：
第五节 拉格朗日方程
当系统为非有势力作用时： 非有势力的虚功为：
δW Qj δq j
j 1 n
Qj 为对应于非有势力的广义力。
非保守系统的拉格朗日方程式为：
d L dt q j L Qj q j
第五节 拉格朗日方程
说明 1）L氏方程是解决具有理想约束的系统动力学的 普遍方程。 2） L氏方程是从能量观点出发研究机械系统的运动， 通过系统E、V、W间的标量关系表征运动规律。 3） L氏方程是广义坐标以时间为自变量的几个二阶 场微分方程组，其数目与系统自由度数目相等。
2） δ 是变分符号，表示在时间不变的情况下，线 位移或角位移的无穷小变化，其运算规则与微分算 子 d 相同。
第三节 虚位移原理与广义力
虚位移原理
理想约束：如果在质点系的任何虚位移上， 质点系的所有约束反力的虚功之和等于零， 则称这种约束为理想约束。
机械动力学
6.机构分析和机构综合。此项内容一般是对机构的结构和运动而言，但随着机械运转速度的提高， 机械动力学已成为分析和综合高速机构时不可缺少的内容。
理论及应用
理论及应用
1.分子机械动力学的研究：作为纳米科技的一个分支，分子机械和分子器件的研究工作受到普遍。 如何针对纳机电系统(NEMS)器件建立科学适用的力学模型，成为解决纳米尺度动力学问题的瓶颈。 分子机械是极其重要的一类NEMS器件．分为天然的与人工的两类。人工分子机械是通过对原子的 人为操纵，合成、制造出具有能量转化机制或运动传递机制的纳米级的生物机械装置。由于分子 机械具有高效节能、环保无噪、原料易得、承载能力大、速度高等特点，加之具有纳米尺度，故 在国防、航天、航空、医学、电子等领域具有十分重要的应用前景，因而受到各发达国家的高度 重视。已经成功研制出多种分子机械，如分子马达、分子齿轮、分子轴承等。但在分子机械实现 其工程化与规模化的过程中，由于理论研究水平的制约，使分子机械的研究工作受到了进一步得 制约。分子机械动力学研究的关键是建立科学合理的力学模型。分子机械动力学采用的力学模型 有两类，第一类是建立在量子力学、分子力学以及波函数理论基础上的离散原子作用模型。
阐述
对刚性转子的平衡已有较成熟的技术和方法：对工作转速接近或超过转子自身固有频率的挠性转 子平衡问题，不论是理论与方法都需要进一步研究。 平面或空间机构中包含有往复运动和平面或空间一般运动的构件，其质心沿一封闭曲线运动。根 据机构的不同结构，可以应用附加配重或附加构件等方法，全部或部分消除其振颤力。但振颤力 矩的全部平衡较难实现。 机械运转过程中能量的平衡和分配关系包括：机械效率的计算和分析，调速器的理论和设计，飞 轮的应用和设计等。 机械振动的分析是机械动力学的基本内容之一，现已发展成为内容丰富、自成体系的一门学科。 机构分析与机构综合一般是对机构的结构和运动而言，但随着机械运转速度提高，机械动力学已 成为分析与综合高速机构时不可缺少的内容。
机械动力学.第二章
将（a）和（b）写成矩阵形式
m ml 3 x c 2 J ml 3 c ml 3 k1 k 2 0 x c Fc 2 2 k 1 l 4 k 2 l 5 c T c 0
m1 M 0 0 0 m2 0 0 0 m3
(2-4)
式中； 称为质量矩阵，是一个对角矩阵，其对角 元素为质量m1, m2，m3。
k 11 K k 21 k 31 k 12 k 22 k 32 k 13 k1 k 2 k 23 k2 k 33 0 k2 k2 k3 k3 k3 k3 k4 0
3 影响系数法
影响系数法分为刚度影响系数法和柔度影响系数法。 在实际使用中， 针对不同的系统结构，可以采用不同的方 法。 （1）刚度影响系数法。它又称为单位位移法，是把动力 系统当作静力系统来处理，用精静力学方法来确定系统 所有的刚度系数，借助于这些系数即可建立系统的运动 微分方程。 刚度影响系数法kij是指在系统的j点产生单位位移（即 xj=1），二其余各点的位移均为零时，在系统的i点所需 要施加的力。
K
2、拉格朗日方程
对于复杂的多自由度系统用拉格朗日方程建立方程比较方 便，步骤是选取广义坐标qi, 求系统的动能T和势能U，将 其表示为广义坐标qi、广义速度qi时间t的函数，然后代入 拉格朗日方程求解
d T dt q i Fi T U F i , i 1 , 2 , , k q i q i F x
11
9l
3
768 EL
式中：E为梁材料的弹性模量；I为梁的截面惯性矩。由 于结构对称，α33=α11。 同理，α21表示m1上作用一个单位力F1=1，而单位力m2， m3上无作用力（即F2=0，F3=0）时，梁上m2处产生的位 移，得 3 11 l 21
机械工程控制基础 第2章
• 第一章 自动控制的一般概念 • 第二章 控制系统的数学模型 • 第三章 控制系统的时域分析法 • 第四章 频域分析法 • 第五章 控制系统的稳定性
• 第六章 控制系统的校正
第2章 控制系统的数学模型
• 系统的微分方程 • 传递函数 • 系统的传递函数方框图及其简化 • 反馈控制系统的传递函数 • 相似原理
d 2 d TaTm Tm C d ua 2 dt dt
即转速变化只与电枢电压有关。习惯上通常写成
d 2 d TaTm Tm C d ua 2 dt dt
若电动机工作过程中ua=常量，则增量化方程化转速 变化只与负载力矩有关，即
d 2 d dM L TaTm Tm C m(Ta ML) 2 dt dt dt
传递函数只能表示系统输入与输出的关系， 无法描述系统内部中间变量的变化情况。 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式；传递函 数的概念通常只适用于线性定常系统； 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零 时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于 相对静止状态。因此，传递函数原则上不能 反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；
设某一平衡点为（ua0,ML0,ω 0），即有
ua ua0 ua
M L M L0 M L
0
代入微分方程，则有：
d 2 0 d 0 TaTm Tm 0 2 dt dt d M L 0 M L 0 Cd ua 0 ua CmTa Cm M L 0 M L 0 dt
建立系统数学模型的方法
分析法：根据系统和元件所遵循的有关定律来 推导出数学表达式，从而建立数学模型。
机械系统动力学绪论资料PPT学习教案
[1-5]
4. 动态载荷：迅速变化（交变 突变）的载 荷
65.. 工动程态中问许题多的问特题点必须作为动态问题处理 a. 复杂性：载荷作用的“后效性” 响
应 对过去载荷经历的“记忆性”
静载荷静变形与加载过程无关
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[1-6]
b.危险性：共振现象 自激振动（颤振） c.超常性：其现象、规律及防治方法超越生活
包括形状记忆合金(NiTi CuZnAl CuAlNi最具实用价值)。 应用范围：低频振动的控制 (形状记忆材料响应慢)
(4) 磁致伸缩材料作动器 磁致伸缩材料在外加磁场的作用下,其尺寸、体积等会发生改变, 能提供较大
控制力,并且在低压电流产生的磁场中具有很好的线性度和电场变化的响应能力. 如纯镍 NiFe NiCo等 应用范围：高精度微幅隔振和自适应结构
1. 二十世纪20年代 电磁阀控制的缓冲器（雏型）
2. 1960年前后 出现复杂振动主动控制系统---解决航空工程的振动问题
59年对B—52型飞机机身侧向弯曲模态进行主动控制
美国空军飞行动力实验室两项结构模态控制的研究，一项66年开始“载荷减轻与模态 镇定”
另一项67年开始“突风减缓与结构动力增稳系统”为飞机颤振主动抑制的研究创造了 条件
[1-11]
三、振动主动控 制1. 两类控制方式：开环 闭环
开环控制
闭环控制
开环控制：控制器中的控制规律是预先设置好，与振动状
态无关
闭环控制：控制器按受控对象的振动状态为反馈信息而工作
2. 振动主动控制系统的组成
(1) 受控对象：控制对象（产品 结构或系统的总称） (2) 作动器：又称作动机构。提供作用力（或力矩）的装置
(3) 确定振动控制方法：隔振 吸振 阻振 消振 结构修改 (4) 振动分析与设计：建立受控对象和控制装置的力学模型，
大学课件之机械原理机械系统动力学
(2)如图所示，ωmax位于Mr与Md的交点d’，斜线部
分c’d的方程为
Md
600
200
π
当Md=Mr， 即
600
200
15 时,
d'
2.925
526.5
ωmin发生在C点，即360o处。
(3)
Wmax
1 2
(200
15)
(2.925π
2π)
85.563π
268.8J
(4)
JF
Wm a x
重 力 G2=350N 的 鼓 轮 ， 其 对 转 动 轴 线 的 转 动 惯 量 J2=2.6kgm2，此时在轴承摩擦阻力矩作用下，飞轮连同鼓
轮的转速在20s内从 200 r/min均匀下降到150 r/min，设 轴承摩擦系数为常数，试求：
(1) 飞轮的转动惯量；
(2) 轴承的摩擦系数。
解
设摩擦力矩为Mf：M f
AB
m M z 3 pb
1 2 2
例3:已知主轴的平均角速度ωm＝20rad/s，以主轴为等效构 件的等效驱动力矩Md和等效阻力矩的变化曲线如图。等效 转动惯量J=0.3kgm2。试求：在稳定运转时，主轴的ωmax和 ωmin等于多少？其相应的主轴位置在何处？
，
解 △Wmax＝(1/2)×40π＝20π J
M J J e Md Mr
d
2
d
e
e dt 2 d
以积分方式表示的机械系统运动方程式为：
J M
0
e d
(Md
0
Mr
)d
1 2
2
e
1 2
J 00 2
机械系统运动方程式的建立
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式中：
第二章 机械系统运动微分方程的建立
为第i个质点的质量，
为第i质点到转动中心c的距离。
三、基本动力元件与特性 1、质量和转动惯量 构件的质量是构件惯性的一种度量，可用符号m表示，
2 x 1 ) Fd c( x
c为粘性阻尼系数或线性阻尼系数
第二章 机械系统运动微分方程的建立
2-2机械系统动力学模型的建立 力学模型 突出其动力学问题的本质特征，用简单的图形和符号表 示的,用以代替实际动力学问题，反映实际问题动力学特征的 简单图形，称机械系统的动力学计算简图，又称力学模型。 建立机械系统的动力学计算简图，必须对机械系统进行简化 简化原则
第二章 机械系统运动微分方程的建立
多由度系统：
图2-2 多自由度质量弹簧系统
连续系统：
图2-3 两个自由度机械手
图2-4 梁的纵向振动和横向振动
第二章 机械系统运动微分方程的建立
二、动力自由度的确定 工程实际中的构件为三维空间的几何体，质量连续分布具有 无穷多个自由度。 主要简化方法：集中质量法、广义坐标法和有限单元法等。 1.集中质量法 集中质量法是一种常用的将连续系统离散为有限个自由 度系统的简化方法，又称集中参数法。它把构件的分布质 量在一些适当的位置集中起来，离散为若干个集中质点， 使无限自由度系统转化为有限自由度系统，从而使计算得 到简化。 简化原则：静力等效原则 使集中后的惯性力力系与原来的惯性力系力互为等效 （它们的主矢与主矩彼此相等）。
第二章 机械系统运动微分方程的建立
• 2-1 机械系统的动力学特征参数 • 2-2机械系统动力学模型的建立 • 2-3 机械系统运动微分方程的建立
第二章 机械系统运动微分方程的建立
2-1 机械系统的动力学特征参数 一、自由度
描述机械系统运动构件位置的独立运动参数(或独立坐标)的 数目。 动力系统按自由度划分可分为： 单自由度系统，多自由度系统和连续系统。 单自由度系统：
(a)
(b) 图2-14
(c)
1。单自由度系统，建立坐标系，提出的力学模型 如图2-14(b)所示。取电动机为研究对象，画出的受 力图如图2-14(c)所示
2-3 机械系统运动微分方程的建立 2-3-2 单自由度系统 2.根据达朗伯原理
(M m) g 0 me 2 sin ky (m M ) y
m v
转动惯量为构件绕某点或某固定轴转动惯性的度量
J c mi ri2
m为第i个质点的质量， ri 为第i质点到转动中心c 式中： 的距离。
i
第二章 机械系统运动微分方程的建立
2、弹簧
弹性变形是弹性体的一个基本属性，可以抽象为弹簧 符号来表示
F k ( x2 x1 ) k x
2-3 机械系统运动微分方程的建立 2-3-1 涉及到基本定理
2-3 机械系统运动微分方程的建立 2-3-1 涉及到基本定理
2-3 机械系统运动微分方程的建立 2-3-2 单自由度系统 对于图2-13所示的单自由度强迫振动系统，可采用牛 顿第2定律建立其运动微分方程。解法步骤如下：
2-3 机械系统运动微分方程的建立 2-3-2 单自由度系统 图2-14(a)所示的安装在简支梁上的电动机，工作时转动 角速度为 ，梁的等效质量和电动机的质量总和为M,若 电动机的转子的偏心质量为m,建立系统的运动微分方程。
调整静坐标原点，以静平衡位置为坐标原点
ky me 2 sin t (M m) y
2-3 机械系统运动微分方程的建立 2-3-2 单自由度系统 单自由度多刚体系统
图示偏置曲柄滑块机构，已知：曲柄AB 的长度为 ，质量为m1， 对转动中心A的转动惯量为JA, 图2-16 连杆BC的杆长为 ,质量为m2，对其质心C2的转动惯量为J2，滑块 C质量为m3,建立运动方程。 解：1、单自由度多刚体系统，取广义坐标 （曲柄转角）。宜采 用动能定理建立系统的运动微分方程。 2、以整个系统为研究对象，注意约束反力不做功，只画主动力 3、分析运动 曲柄AB：定轴转动， 角速度 连杆BC：平面运动，可通过运动学分析求质心C2的速度Vc2，以 及转动角速度 滑块C ：平动，速度VC3
• 从实际出发，符合实际。即建立的动力学计算简图要反映 实际动力学问题的本质和规律。 • 分清主次，略去细节。通过简化得到的动力学计算简图要 便于计算。 即：实际出发、分清主次、存本去末、追求神似。
第二章 机械系统运动微分方程的建立
水塔结构
横梁刚度为无穷大的2层框架结构
第二章 机械系统运动微分方程的建立
其中 k称为弹簧的刚度系数， 为弹簧的伸长量， F为弹簧的 x 作用力。 弹簧可分为：线性弹簧和非线性弹簧 F k ( x2 x1 ) k x 线性弹簧 非线性弹簧 F kx x3
F kx x3
第二章 机械系统运动微分方程的建立
3、阻尼器 阻尼器是动力系统中的能量耗散装置。阻尼是动力系统的又 一个重要的特征参数。工程中常见的是粘性阻尼，即阻尼力 与相对运动速度成正比
2-3 机械系统运动微分方程的建立2-3-2 单自由度系统 单自由度多刚体系统 4.根据质点系动能定理
kx y( x, t ) k (t ) sin l k 1
n
写成更一般的形式
y( x, t ) k (t )k (t )
k (t ) 是自动满足位移边界条件的函数集合中任意选取 的n个函数。 动力学仿真软件ADAMS中的弹性构件就是采用“广义 坐标法”表述。
k 1
n
第二章 机械系统运动微分方程的建立
第二章 机械系统运动微分方程的建立
图2-6 安装在简支梁上电动机
图2-5 不计轴向变形的均质简支梁
第二章 机械系统运动微分方程的建立
2、广义坐标法 广义坐标法是一种应用数学中的Tailor级数近似逼近一个连续 函数来减少连续系统动力自由度的简化方法。具有分布质 量的简支梁的振动曲线（位移）曲线，可近似地用三角级 数表示为