八年级上册数学《三角形》与三角形有关的角-知识点整

与三角形有关的角

一、本节学习指导

本节知识点比较多要熟练掌握知识点：1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题；４．学会添加辅助线构造基本图形解决问题．

二、知识要点

１、三角形内角

（１）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．

表示为：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°．

由三角形内角和定理可得：

①直角三角形的两个锐角互余.

②有两个角互余是三角形是直角三角形.

（２）作用：

在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角；已经知道了三角形的内角和等于180°，但要注意的是在解决实际问题时，这一点是不会在已知中说出，往往要把它作为隐含的条件来用．

三角形内角和定理证明方法很多，定理的证明需要添加辅助线，通过辅助线将角转移和集中，把隐含的条件显现出来．

如几种常见的证明思路：

思路1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．

因为AB∥CD（已知），

所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．

又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），

所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．

思路2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F．

因为DF∥AC（已作），

所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），

∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．

因为DE∥AB（已作）．

所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．

所以∠A=∠2（等量代换）．

又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），

所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．

思路3：如图3所示，过A点任作直线l1，过B点作l2∥l1，过C点作l3∥l1，

因为l3∥l1（已知）．

所以∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）．

同理∠3=∠4．

又l2∥l1（已知），

所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．

所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．

又∠2+∠3=∠ACB，

所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．

思路4：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角。

思路5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；

在图5－2中过A作MN∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，进而将三个内角拼成平角。

２、三角形的外角

（１）概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

（２）三角形有六个外角，每个顶点处有两个外角，但算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和是指三个外角的和，三角形的外角和为360°；和外角有共同顶点的内角叫做和这个外角相邻的内角，它们是互补的，互为邻补角，另外两个内角叫做和这个外角不相邻的内角．

３、三角形外角的性质

（1）、三角形的一个外角等于“与它不相邻”的两个内角的和.

①推理过程：

如图所示：

因为∠ACD+∠ACB=180°（邻补角定义），

∠ACB+∠A+∠B=180°（内角和定理），

所以∠ACD=∠A+∠B（等量代换）．

②作用：已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”；

可证一个角等于另两个角的和；

经常利用它作为中间关系式证明两个角相等。

（2）、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 如上图所示，∠ACD>∠A或∠ACD>∠B．

注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思．如“和它不相邻”的意义．

４、解题小技巧

（1）、三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件．在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小．

（2）、在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角.

（3）、三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据．外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系.

（4）、添加辅助线求解问题，会使问题变得简便．

三、经验之谈：

本节知识点比较多，运用比较广泛，需要多做题，多掌握技巧．总之本节我们要认真学习。

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