解三角形复习课 (2)PPT课件
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2.4解直角三角形(2)PPT课件
9.4
解直角三角形(2)
情境导入
• 1. 回顾旧知:请回答解直角三角形的概念? • 2.分组思考下列问题,看哪组做的又快又对: 在直 角三角形ABC中，∠C﹦90°,由下列条件解直角三角 形。 （1） 已知a﹦2,b﹦2,则c﹦＿, ∠A﹦＿, ∠B﹦＿. (2) 已知b﹦1,c﹦2,则∠A﹦＿，∠B﹦＿，a﹦＿. (3 )已知∠A﹦45°，C﹦2,则∠B﹦＿，a﹦＿,b﹦＿. • 3.有一块三角形的土地，已知∠A=150°， AB=20m,AC=30m,求三角形土地的面积？
C
A D
B
• 解：过点C作CD⊥AB,垂足为D. • 在直角△ACD中，AC ﹦20, CD ∠A﹦60°,由sinA= AC 得 CD=AC∙sinA=20∙sin60 3 °=20× 2 =10. 3 由 cosA= AD ,得 AC AD=AC· cosA=20×cos60°= 1 20× 2 =10. 在直角 △DBC中,由∠B=45°,CD=10 3 ,得BD=CD=10 3 .所以 AB=AD＋DB=10＋10 3 =10(1 ＋ 3 ) (厘米)
比一比
• 练习2. 在等腰三角形 ABC中，AB=AC,且一腰 长与底边的比是5 ：8， 求sinB,cosB的值。
A
B D
C
比一比
练习2. 在等腰三角 形ABC中，AB=AC, 且一腰长与底边的比 是5 ：8，求 sinB,cosB的值。
AB DC来自• 解：过点A作AD⊥ BC,垂足为D.由等腰三 角形的性质可知 BD=CD,设 AB=5t,BC=8t,则 BD=4t.在直角三角形 ABD中，由勾股定理 得AD=3t,所 以,sinB=AD/AB=3/5, cosB=BD/AB=4/5.
解三角形PPT演示课件
04 三角形在实际问 题中的应用
测量问题中的三角形解法
角度测量
通过测量三角形的两个角，利用 三角形内角和为180度的性质，可
以求出第三个角的大小。
距离测量
在无法直接测量两点间距离的情况 下，可以通过构造三角形，利用已 知边长和角度，通过三角函数求解 未知距离。
高程测量
在测量地形高度时，可以通过构造 三角形并测量相关角度和距离，利 用三角函数求解未知高程。
物理学中的三角形解法
01 02
力的合成与分解
在物理学中，力是矢量，可以通过构造三角形来表示力的合成与分解。 例如，已知两个分力的大小和方向，可以构造三角形求解合力的大小和 方向。
运动学问题
在解决匀变速直线运动等问题时，可以通过构造速度、加速度和时间等 物理量的三角形关系，利用三角函数求解未知量。
03
解等腰三角形的方法
通过已知的两边和夹角，利用余弦定 理或正弦定理求解第三边和其余两个 角。
等边三角形的解法
等边三角形的定义和性质
01
三边长度都相等的三角形，三个内角均为60度。
解等边三角形的方法
02
通过已知的一边长度，利用三角函数或特殊角度的三角函数值
求解其余两边和三个角。
典型例题解析
03
展示一道等边三角形的求解问题，并详细解析解题步骤和思路
几何图形中的三角形解法
01
02
03
三角形面积计算
通过已知三角形的底和高 ，或者通过海伦公式等方 法，可以计算三角形的面 积。
三角形边长求解
在已知三角形部分边长和 角度的情况下，可以利用 正弦定理、余弦定理等方 法求解未知边长。
三角形形状判断
通过已知三角形的边长或 角度，可以判断三角形的 形状，如等边、等腰、直 角等。
解直角三角形PPT课件
正切函数
已知一条直角边和一个锐角，可以利用正切函数求出另一条直角边。例如，已知直角边$a$和锐角$A$，则可以 利用$tan A = frac{a}{b}$求出另一条直角边$b$。
多种方法综合运用
灵活运用勾股定理、正弦、余弦、正切定理及函数，根据题目给出的不同条件，选择合适的 方法进行求解。
注意观察题目中的特殊条件，如等腰直角三角形、含30°角的直角三角形等，这些特殊条件 可以帮助我们更快地找到解题思路。
解直角三角形PPT课 件
目录
CONTENTS
• 直角三角形基本概念与性质 • 勾股定理及其逆定理 • 三角函数定义与性质 • 解直角三角形方法与技巧 • 实际问题中解直角三角形应用举
例 • 总结回顾与拓展延伸
01
直角三角形基本概 念与性质
直角三角形的定义
01
有一个角为90度的三角形称为直 角三角形。
02
直角三角形的两个锐角互余，即 它们的角度和为90度。
直角三角形各元素名称
01
02
03
直角边
直角三角形中两条与直角 相邻的边称为直角边，通 常用a和b表示。
斜边
直角三角形中直角所对的 边称为斜边，用c表示。
锐角
直角三角形中的两个锐角 分别用α和β表示。
直角三角形性质总结
勾股定理
在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即 c² = a² + b²。
勾股数及常见类型
勾股数定义
满足勾股定理的三个正整数称为勾股数。
常见类型
常见的勾股数有3-4-5、5-12-13、7-24-25等，还有一类特殊的勾股数，即费 马大定理中的整数解。
03
三角函数定义与性 质
已知一条直角边和一个锐角，可以利用正切函数求出另一条直角边。例如，已知直角边$a$和锐角$A$，则可以 利用$tan A = frac{a}{b}$求出另一条直角边$b$。
多种方法综合运用
灵活运用勾股定理、正弦、余弦、正切定理及函数，根据题目给出的不同条件，选择合适的 方法进行求解。
注意观察题目中的特殊条件，如等腰直角三角形、含30°角的直角三角形等，这些特殊条件 可以帮助我们更快地找到解题思路。
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目录
CONTENTS
• 直角三角形基本概念与性质 • 勾股定理及其逆定理 • 三角函数定义与性质 • 解直角三角形方法与技巧 • 实际问题中解直角三角形应用举
例 • 总结回顾与拓展延伸
01
直角三角形基本概 念与性质
直角三角形的定义
01
有一个角为90度的三角形称为直 角三角形。
02
直角三角形的两个锐角互余，即 它们的角度和为90度。
直角三角形各元素名称
01
02
03
直角边
直角三角形中两条与直角 相邻的边称为直角边，通 常用a和b表示。
斜边
直角三角形中直角所对的 边称为斜边，用c表示。
锐角
直角三角形中的两个锐角 分别用α和β表示。
直角三角形性质总结
勾股定理
在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即 c² = a² + b²。
勾股数及常见类型
勾股数定义
满足勾股定理的三个正整数称为勾股数。
常见类型
常见的勾股数有3-4-5、5-12-13、7-24-25等，还有一类特殊的勾股数，即费 马大定理中的整数解。
03
三角函数定义与性 质
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(理)
时,怎样简化解题过程?
-26考点1
考点2
考点3
解析: (1)∵sin +
π
4
3
= ,
π
5
π
π
π
3
∴cos - 4 =cos + 4 - 2 =sin + 4 = 5.
又 θ 是第四象限角,
π
∴θ-4 是第四象限角.
π
4
π
4
∴sin - 4 =-5.∴tan - 4 =-3.
(2)∵
2
5
A.-
5π
+
2
1
B.5
=
1 2 3 4 5
1
,则 cos α=(
5
1
C.
5
)
2
5
D.
关闭
∵sin
∴cos
C
5π
π
+ =sin 2 +
2
1
α= ,故选 C.
5
=cos α,
关闭
解析
答案
-8知识梳理
4.已知 x∈
A.
1
双基自测
3
5
π
- 2 ,0
B.-
,tan
3
5
2 3 4 5
4
x=-3,则 sin(x+π)等于(
(2)
1
co s 2 -si n 2
=
si n 2 +co s 2
co s 2 -si n 2
4
∵tan α=-3,
1
பைடு நூலகம்
∴co s 2 -si n 2 =
ta n 2 +1
-26考点1
考点2
考点3
解析: (1)∵sin +
π
4
3
= ,
π
5
π
π
π
3
∴cos - 4 =cos + 4 - 2 =sin + 4 = 5.
又 θ 是第四象限角,
π
∴θ-4 是第四象限角.
π
4
π
4
∴sin - 4 =-5.∴tan - 4 =-3.
(2)∵
2
5
A.-
5π
+
2
1
B.5
=
1 2 3 4 5
1
,则 cos α=(
5
1
C.
5
)
2
5
D.
关闭
∵sin
∴cos
C
5π
π
+ =sin 2 +
2
1
α= ,故选 C.
5
=cos α,
关闭
解析
答案
-8知识梳理
4.已知 x∈
A.
1
双基自测
3
5
π
- 2 ,0
B.-
,tan
3
5
2 3 4 5
4
x=-3,则 sin(x+π)等于(
(2)
1
co s 2 -si n 2
=
si n 2 +co s 2
co s 2 -si n 2
4
∵tan α=-3,
1
பைடு நூலகம்
∴co s 2 -si n 2 =
ta n 2 +1
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
《解直角三角形》课件-06 (2)
D
3300°°
BB
3、在△ABC中，∠ACB=90°∠ABC=30By°杜小二 ∠ADC＝45°，AD=2,求BD的长。
变式：在△ABC中，∠C=90°， ∠ABC=30° ∠ADC＝45°，BD=2, 求AD的长。A
45°
D
C
30°
B
例题赏析 By 杜小二
例6
如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由 东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚方向，航行24海
C
影响?请说明理由.
60°
(2)为避免受到台风的影响,
B
A
该船应在多少小时内卸完货物?
3、在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30° By 杜小二
∠ADC＝45°，AD=2,求BD的长。
变式：在△ABC中，∠C=90°， ∠ABC=30° ∠ADC＝45°，BD=2, 求AD的长。
A
45°
D
C
45°
斜坡AB的坡度i=1∶3， i=1:3 斜坡CD的坡度i=1∶2.5，
i=1:2.5 23
A
D
则斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡
AB的长应设计为多少？(精确到0.1m)．
4、仰角和俯角
视线
By 杜小二
铅
仰角
直
线 俯角
水平线
5、方向角
视线
北
A
30°
如图：点A在O的北偏东30°西
东
O
点B在点O的南偏西45°（西
4，如果α和β都是锐角，且sinα= cosβ，
则α与β的关系 是（
B）
A，相等 B，互余 C，互补 D，不确定。
5，已知在Rt△ABC中, ∠C=90°，sinA=
3300°°
BB
3、在△ABC中，∠ACB=90°∠ABC=30By°杜小二 ∠ADC＝45°，AD=2,求BD的长。
变式：在△ABC中，∠C=90°， ∠ABC=30° ∠ADC＝45°，BD=2, 求AD的长。A
45°
D
C
30°
B
例题赏析 By 杜小二
例6
如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由 东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚方向，航行24海
C
影响?请说明理由.
60°
(2)为避免受到台风的影响,
B
A
该船应在多少小时内卸完货物?
3、在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30° By 杜小二
∠ADC＝45°，AD=2,求BD的长。
变式：在△ABC中，∠C=90°， ∠ABC=30° ∠ADC＝45°，BD=2, 求AD的长。
A
45°
D
C
45°
斜坡AB的坡度i=1∶3， i=1:3 斜坡CD的坡度i=1∶2.5，
i=1:2.5 23
A
D
则斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡
AB的长应设计为多少？(精确到0.1m)．
4、仰角和俯角
视线
By 杜小二
铅
仰角
直
线 俯角
水平线
5、方向角
视线
北
A
30°
如图：点A在O的北偏东30°西
东
O
点B在点O的南偏西45°（西
4，如果α和β都是锐角，且sinα= cosβ，
则α与β的关系 是（
B）
A，相等 B，互余 C，互补 D，不确定。
5，已知在Rt△ABC中, ∠C=90°，sinA=
《解直角三角形(第2课时)》课件 (共29张PPT)
B
α=30° 120 D β=60°
A
C
P
Q
α O·
1. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那 么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m） A B 140° C E
50° D
3. 如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树 AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长 为10m,请你求出大树的高.
P
30°
A
200米
45°
O
B
L U D
合作与探究
变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB 左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得 大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水 A 平距离.
P
45° 30°
200米 D
O
B
例2:热气球的探测器 显示,从热气球看阳光 宾馆顶部的仰角为 30°,看它的底部的俯 角为60°,热气球与阳 光宾馆的水平距离为 120m,阳光宾馆有多 高?
Ａ
a
b
Ｃ
温故而知新
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3 （2）若∠B=60°，AC=3，则BC=
3
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3 tan
m （4）若∠A=α°，BC=m，则AC= tan
B
A
┌ C
例题 例4： 2008年10月15日“神舟”7号载人航天飞船发射 成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的 圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点 在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？ （地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km） F
26.4 解直角三角形的应用 - 第2课时坡度、坡角问题课件(共17张PPT)
第二十六章 解直角三角形
26.4 解直角三角形的应用
第2课时 坡度、坡角问题
学习目标
学习重难点
重点
难点
1..加强对坡度、坡角、坡面概念的理解和认识，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系.2.能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题.3.能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力.
第3题图
第4题图
B
A
5．水库拦水坝的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，背水坡CD的坡比i＝1∶1，已知背水坡的坡长CD＝24 m，则背水坡的坡角α为____，拦水坝的高度为_______ m.6．如图，在坡比为i＝1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是______米．
创设情境
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
新知引入
如图，在筑坝、开渠、挖河和修路时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.我们通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角.显然，tanα=.
知识点 坡度、坡角
例题示范
第1题图
第2题图
B
C
3.如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为( )A. 米 B. 米 C.5sinα 米 D. 米4.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为( )A. 米 B.12米 C. 米 D.10米
坡度、坡角、坡面的概念，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系.
26.4 解直角三角形的应用
第2课时 坡度、坡角问题
学习目标
学习重难点
重点
难点
1..加强对坡度、坡角、坡面概念的理解和认识，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系.2.能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题.3.能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力.
第3题图
第4题图
B
A
5．水库拦水坝的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，背水坡CD的坡比i＝1∶1，已知背水坡的坡长CD＝24 m，则背水坡的坡角α为____，拦水坝的高度为_______ m.6．如图，在坡比为i＝1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是______米．
创设情境
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
新知引入
如图，在筑坝、开渠、挖河和修路时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.我们通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角.显然，tanα=.
知识点 坡度、坡角
例题示范
第1题图
第2题图
B
C
3.如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为( )A. 米 B. 米 C.5sinα 米 D. 米4.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为( )A. 米 B.12米 C. 米 D.10米
坡度、坡角、坡面的概念，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系.
解直角三角形(复习课)
“你多嘴！”小五婶皱眉头瞪着我。
我的耳朵又被一只大手拎起来拎回了房间。老妈也挥舞着她的裤腰带吓唬我：“谁叫你爱管闲事！你看戏也就看呗，为什么入戏那么深？还有，五婶娘就是五婶娘，不能叫小五婶娘，不能叫‘小’ 字，知道吗？记住了吗？”
我躲在房间里透过门缝静观外面的动静，捣蛋鬼卫星真是个忍辱负重的好丫头，她哇哇两下就不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ了，马上又进入角色：“不哭乖乖不哭，宝宝很快就出来了。”
这时小五婶回来了，一看到大孙女哭泣，不问青红皂白就猛抽三孙女。卫星在奶奶飞舞的裤腰带下哭哭泣泣战战兢兢，我忍不住拉开门跑了出去：“小五婶娘，卫星不是故意打为民，再说，为民也 打了卫星。”
365开户 有一天小五婶不在家，为民解开了卫星的绳子，也招呼我过去，三个人一起玩生小孩的游戏。我是护士，为民是产妇，卫星是老公。为民哼哼唧唧装作肚子疼的样子，我在一旁喊着加油加油，卫星
则婆婆妈妈地按摩着为民小肚：“老婆乖乖不哭，老婆乖乖不哭，宝宝快出来了。”接着她像催产士一样，用力猛压几下姐姐的肚子，为民立刻叫喊起来，这回是真的哭了。随后她扯过卫星的小胳膊， 翻转过来，朝着她胖墩墩的小背恶狠狠猛捶几下，“哇……”卫星也哭了起来，多一事不如少一事，我赶紧溜之大吉。
我的耳朵又被一只大手拎起来拎回了房间。老妈也挥舞着她的裤腰带吓唬我：“谁叫你爱管闲事！你看戏也就看呗，为什么入戏那么深？还有，五婶娘就是五婶娘，不能叫小五婶娘，不能叫‘小’ 字，知道吗？记住了吗？”
我躲在房间里透过门缝静观外面的动静，捣蛋鬼卫星真是个忍辱负重的好丫头，她哇哇两下就不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ了，马上又进入角色：“不哭乖乖不哭，宝宝很快就出来了。”
这时小五婶回来了，一看到大孙女哭泣，不问青红皂白就猛抽三孙女。卫星在奶奶飞舞的裤腰带下哭哭泣泣战战兢兢，我忍不住拉开门跑了出去：“小五婶娘，卫星不是故意打为民，再说，为民也 打了卫星。”
365开户 有一天小五婶不在家，为民解开了卫星的绳子，也招呼我过去，三个人一起玩生小孩的游戏。我是护士，为民是产妇，卫星是老公。为民哼哼唧唧装作肚子疼的样子，我在一旁喊着加油加油，卫星
则婆婆妈妈地按摩着为民小肚：“老婆乖乖不哭，老婆乖乖不哭，宝宝快出来了。”接着她像催产士一样，用力猛压几下姐姐的肚子，为民立刻叫喊起来，这回是真的哭了。随后她扯过卫星的小胳膊， 翻转过来，朝着她胖墩墩的小背恶狠狠猛捶几下，“哇……”卫星也哭了起来，多一事不如少一事，我赶紧溜之大吉。
高中数学解三角形ppt课件
证明几何定理
如勾股定理、正弦定理、余弦定理等 ，可以通过面积公式进行证明
计算三角形的内角和
利用面积公式和三角形内角和定理， 可以求出三角形的内角和
面积公式在物理问题中的应用
1 2
计算物体的受力面积
在物理学中，经常需要计算物体在某个方向上的 投影面积或受力面积，可以通过面积公式进行计 算
计算物体的体积和表面积
02 余弦定理
在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
03 三角形的面积公式
S=1/2absinC，其中a、b为两边长，C为两边夹 角。
02
正弦定理及其应用
正弦定理的推导与证明
推导过程
通过三角形的外接圆和正弦函数的定义，推导出正弦定理的表达式。
一些几何性质。
最值问题
通过解三角形的方法，可以求解一 些与三角形相关的最值问题，如最 大面积、最小周长等。
存在性问题
在数学竞赛中，有时需要判断满足 某些条件的三角形是否存在，这可 以通过解三角形的方法来实现。
THANKS
感谢观看
对于一些规则或不规则的物体，可以通过计算其 各个面的面积，进而求出物体的体积和表面积
3
解决光学问题
在光学中，经常需要计算光线通过某个形状的面 积或光斑的大小，可以通过面积公式进行求解
05
解三角形综合应用举例
解直角三角形问题举例
已知两边求角度
通过正弦、余弦定理求解 直角三角形中的角度。
三角形的面积
解决三角形中的边长问题
利用正弦定理求出三角形中的未知边长。
正弦定理在物理问题中的应用
解决力学问题
在力学中，正弦定理可用于解决 涉及三角形的问题，如力的合成 与分解等。
高中数学《解三角形复习(最值问题)》PPT教学课件
例1 (1)锐角ABC中，b 1, c 2,
则边a的取值范围是__3_，__5_ .
(2)若2a 1, a,2a 1为钝角三角形的三边长，
则实数a的取值范围是_(_2_,8_)__ .
(3)锐角ABC中，若C＝2B,
则
c
2, 3
的取值范围是____
.
b
(4ห้องสมุดไป่ตู้在ABC中，若 b c 1,
解三角形复习
（最值问题）
你对三角形知多少？
A
1、 内角和定理: A B C
c
b
B
sin( A B) sinC,cos(A B) cos C
aC
sin A B cos C ,cos A B sin C
2
2
2
2
2、 大边对大角: a b A B sin A sin B
(1)求 cos C的值； (2)求ABC的面积的最大值.
巩固作业的参考答案
2 3
1.(1)A 6
(2)Smax
16
2.(1)A (2) 2 2,2 2 4
3.(1)A (2)b c 3,2 3 3
3
32
4.(1)cosC 5
(2)Smax 25
(1)求角A的大小； (2)求ABC的面积的最大值.
巩固作业：
2.在锐角ABC 中，内角A，B，C所对的边分别
为a, b, c， 且 b2
a2
c2
cos(A C ) ,
ac
sin Acos A
(1)求 角A;
(2)若a 2,求bc的取值范围.
2022高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件新人教B版
解析
第十三页，编辑于星期六：五点 十九分。
(2)化简：tancoπs＋－ααc－os3π2πs＋inα－si3nπα－－α32π＝__－__1____.
解析 原式＝tcaonsαc3oπs＋αsαin[－－s2iπn＋3πα＋＋α2π] ＝tanα－cocsoαssαisninπ2α＋α＝ta－nαccoossααscinoαsα ＝－tansαincαosα＝－csoinsαα·csoinsαα＝－1.
2．(2020·江西宜春中学诊断)若 α 为锐角，且 cosα＋π6＝13，则 cosα－π3 的值为( )
22 A. 3
B．
2 3
2 C. 6
D．5 6 2
解析 ∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<23π，
∴sinα＋π6＝ 1－cos2α＋6π＝2 3 2， ∴cosα－π3＝cosα＋π6－π2＝sinα＋π6＝2 3 2.故选 A.
[即时训练] 6.(2019·佛山模拟)已知 tanα＝2，则
3sinα－2cosα
4
(1) sinα＋cosα ＝___3_____；
7
(2)23sin2α＋14cos2α＝__1_2_____.
解析 因为 tanα＝2，所以，
(1)原式＝3ttaannαα＋－12＝3×2＋2－1 2＝43. (2)原式＝23·sin2αsi＋n2cαos2α＋14·sin2αco＋s2cαos2α ＝23·tanta2nα2＋α 1＋14·tan21α＋1＝23×222＋2 1＋14×22＋1 1＝172.
解析
第十五页，编辑于星期六：五点 十九分。
1．诱导公式的两个应用方向与原则 (1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含 2π 整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2π 的整数倍的三角函数式中 可直接将 2π 的整数倍去掉后再进行运算，如 cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－ cosα.
解三角形-PPT课件
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本 章 优 化 总 结
本章优化总结
知识体系网络
专题探究精讲
知识体系网络
专题探究精讲
判断三角形形状 判断三角形的形状，一般有以下两种途径： (1)将已知条件统一化成边的关系，用代数方法 求解； (2)将已知条件统一化成角的关系，用三角方法 求解． 在解三角形时的常用结论有：
【解】 (1)依题意，PA－PB＝1.5×8＝12 (km)， PC－PB＝1.5×20＝30 (km)． 因此 PB＝(x－12) km，PC＝(18＋x) km. 在△PAB 中，AB＝20 km， cos∠PAB＝PA2＋2PAAB·A2－B PB2＝x2＋2022－x·20x－122 ＝3x＋ 5x32.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B、C到P 的距离，并求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果 精确到0.01 km)
【思路点拨】 (1)PA、PB、PC长度之间的关 系可以通过收到信号的先后时间建立起来； (2)作PD⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需要 求出PA的长和cos∠APD，即cos∠PAB的 值．由题意，PA－PB，PC－PB都是定值，因 此，只需要分别在△PAB和△PAC中，求出 cos∠PAB，cos∠PAC的表达式，建立方程即可.
例4 如图所示，a是海面上一条南北方向的 海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点, 另两个监测点B、C分别在A的正东方向20 km 处和54 km处，某时刻，监测点B收到发自静 止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后 监测点C相继收到这一信号，在当时的气象条 件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1) 在 △ ABC 中 ， ∠ A> ∠ B⇔ a>b ⇔ sinA>sinB ⇔
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专题探究精讲
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专题探究精讲
判断三角形形状 判断三角形的形状，一般有以下两种途径： (1)将已知条件统一化成边的关系，用代数方法 求解； (2)将已知条件统一化成角的关系，用三角方法 求解． 在解三角形时的常用结论有：
【解】 (1)依题意，PA－PB＝1.5×8＝12 (km)， PC－PB＝1.5×20＝30 (km)． 因此 PB＝(x－12) km，PC＝(18＋x) km. 在△PAB 中，AB＝20 km， cos∠PAB＝PA2＋2PAAB·A2－B PB2＝x2＋2022－x·20x－122 ＝3x＋ 5x32.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B、C到P 的距离，并求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果 精确到0.01 km)
【思路点拨】 (1)PA、PB、PC长度之间的关 系可以通过收到信号的先后时间建立起来； (2)作PD⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需要 求出PA的长和cos∠APD，即cos∠PAB的 值．由题意，PA－PB，PC－PB都是定值，因 此，只需要分别在△PAB和△PAC中，求出 cos∠PAB，cos∠PAC的表达式，建立方程即可.
例4 如图所示，a是海面上一条南北方向的 海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点, 另两个监测点B、C分别在A的正东方向20 km 处和54 km处，某时刻，监测点B收到发自静 止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后 监测点C相继收到这一信号，在当时的气象条 件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1) 在 △ ABC 中 ， ∠ A> ∠ B⇔ a>b ⇔ sinA>sinB ⇔
解直角三角形(复习课)课件
分析多个直角三角形之间的关系，解 决较为复杂的几何问题。
结合勾股定理和三角函数计算直角三 角形中的未知量。
利用给定的条件，设计合理的方案解 决实际问题，如设计桥梁、建筑等结 构的支撑体系。
06
复习与总结
重点回顾
直角三角形的定义与性质
回顾直角三角形的定义、性质和判定条件，理解其在几何图形中 的重要地位。
求解角度。
常见错误分析
混淆边和角
在解题过程中，有时会混淆边和角，导致计算错误。
忽视勾股定理的条件
在使用勾股定理时，需要确保三角形是直角三角形，否则会导致错 误。
角度范围错误
在计算角度时，需要注意角度的范围，避免出现负角度或超过180 度的角度。
解题方法总结
勾股定理法
适用于已知两边长度， 求第三边长度的情况。
船只安全航行。
物理实验
测量角度
在物理实验中，经常需要测量各 种角度。解直角三角形的方法可 以用来计算这些角度，确保实验
结果的准确性。
计算力的大小
在物理实验中，经常需要计算力的 大小。通过解直角三角形，可以精 确地计算出力的大小，确保实验结 果的可靠性。
确定物体的位置
在物理实验中，物体的位置是非常 重要的。通过解直角三角形，可以 计算出物体的位置，确保实验的准 确性和可靠性。
04
解题技巧与策略
解题思路
01
02
03
04
明确问题要求
首先需要理解题目的要求，确 定需要求解的是什么。
选择合适的三角形
根据问题描述，选择一个合适 的直角三角形来解决问题。
利用勾股定理
在直角三角形中，勾股定理是 一个重要的工具，可以帮助我
们求解边长。
结合勾股定理和三角函数计算直角三 角形中的未知量。
利用给定的条件，设计合理的方案解 决实际问题，如设计桥梁、建筑等结 构的支撑体系。
06
复习与总结
重点回顾
直角三角形的定义与性质
回顾直角三角形的定义、性质和判定条件，理解其在几何图形中 的重要地位。
求解角度。
常见错误分析
混淆边和角
在解题过程中，有时会混淆边和角，导致计算错误。
忽视勾股定理的条件
在使用勾股定理时，需要确保三角形是直角三角形，否则会导致错 误。
角度范围错误
在计算角度时，需要注意角度的范围，避免出现负角度或超过180 度的角度。
解题方法总结
勾股定理法
适用于已知两边长度， 求第三边长度的情况。
船只安全航行。
物理实验
测量角度
在物理实验中，经常需要测量各 种角度。解直角三角形的方法可 以用来计算这些角度，确保实验
结果的准确性。
计算力的大小
在物理实验中，经常需要计算力的 大小。通过解直角三角形，可以精 确地计算出力的大小，确保实验结 果的可靠性。
确定物体的位置
在物理实验中，物体的位置是非常 重要的。通过解直角三角形，可以 计算出物体的位置，确保实验的准 确性和可靠性。
04
解题技巧与策略
解题思路
01
02
03
04
明确问题要求
首先需要理解题目的要求，确 定需要求解的是什么。
选择合适的三角形
根据问题描述，选择一个合适 的直角三角形来解决问题。
利用勾股定理
在直角三角形中，勾股定理是 一个重要的工具，可以帮助我
们求解边长。
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应用举例
某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后
立即测出该渔船在方向角为北偏东45o，距离10海里的C处，
渔船沿着方位角为105o的方向以v海里 / 小时的速度向小岛靠拢， 我海军艇舰立即以4v海里 / 小时的速度前去营救。设艇舰在B处 与渔船相遇，求AB方向的方位角的正弦值
方向角
C B
3 3 ，ab 2
6
由余弦定理得：c2 a2 b2 2ab cos C
c2 （a b）2 2ab 2ab cos C 代入计算得：a b 11
2
变式训练
在ABC中，已知（a b c)(a b c) 3ab, 且2 cos Asin B sin C,试确定ABC的形状
变式训练
sin PAB 6 122 16
答：AB方向的方位角的正弦值为 6 122 。 16
本章知识框架图
正弦定理 余弦定理
解三角形 应用举例
课堂小结
1、正弦定理、余弦定理的简单应用； 2、利用正、余弦定理、三角形面积公式解 三角形问题； 3、解三角形的实际应用问题
提问与解答环节
Questions And Answers
角称为该直线的方位角。方位角的取值范围为0°～360°
Q
P
105o
C
v
B45o 10ຫໍສະໝຸດ 4vA解：由正弦定理得， BC AB sin CAB sin ACB
vt 4vt sin CAB sin120o
解得sin CAB 3 8
cos CAB 61 8
sin PAB sin（CAB 45o） sin CAB cos 45o cos CAB sin 45o
在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，tan C 3 7 （1）求 cos C （2）若CA • CB 5，且a b 9，求c
2
本章知识框架图
正弦定理 余弦定理
解三角形 应用举例
求解三角形应用题的一般步骤：
1、分析题意，弄清已知和所求； 2、根据提意，画出示意图； 3、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求； 4、正确运用正、余弦定理。
余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
推论
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
a2 b2 c2 cos C
2ab
三角形面积公式
s 1 ab sin C 2
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
且 tan A tan B 3 tan A • tan B 3，又ABC的面积为
SABC
3 3 ，求a 2
b的值
解：由已知 tan A tan B 3(tan A • tan B 1)
得
tan（A
B）
tan A tan B 1 tan A • tan B
3， C 60o
SABC
1 2
ab sin C
本章知识框架图
正弦定理 余弦定理
解三角形
典型例题
例 在ABC中，已知A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c 7 ， 2
且 tan A tan B 3 tan A • tan B 3，又ABC的面积为
SABC
3 3 ，求a 2
b的值
例 在ABC中，已知A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c 7 ， 2
1 bc sin A 2
1 ac sin B 2
解决已知两边及其夹角求三角形面积
课堂练习
（1）在ABC中，已知a 4，b 4 2，B 45o，求A （2）在ABC中，已知三边长AB=7，BC=5，AC=6，求 cos B
3.在ABC中,如果c2 a2 b2,则ABC是_____三角形
正弦定理
a b c 2R (R为三角形外接圆半径） sin A sin B sin C
a : b : c sin A : sin B : sin C
a 2R sin A b 2R sin B c 2R sin C
(sin A a ) 2R
(sin B b ) 2R
(sin C c ) 2R
方位角 A
图2
方向角和方位角的区别
南偏东45o
西
北
东
45o
南
方向角 一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南
方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指 锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度.
方位角和方向角的区别
方位角120o
西
北
120o
东
南
方位角 从标准方向的北端起,顺时针方向到直线的水平