概率论 高等数学 习题解答

1

习 题 二

（A ）

三、解答题 1．一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数 (1) 试求X 的分布律；

(2) 写出X 的分布函数．

解: (1)

X 123456p i

36

1136

936

736

536

336

1分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两

次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有（这里指任选某1-61

2⨯C 1

2C 次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为

多算了一次）或种，故,其61

2

⨯C 1512

+⨯C {}36

11

3615361-611212=+⨯=⨯=

=C C X P 他结果类似可得.

(2)

⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪

⎪⎪

⎪⎨⎧≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6 165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{4

3 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1

0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F 于于于于于于于

⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6

165363554 3632

43 3627

323620

213611

1 0 x x x x x x x 于于于于于于于 2．某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各5只，抽奖者交纳一元钱后得

到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖，以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X 的分布律．

解：

X -1

99

p i

126

125126

1注意，这里X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然.{

}126

1

2995

10===C X P

3．设随机变量X 的分布律为为常数，试求常数a ．

0;,2,1,0,!

}{>===λλ k k a

k X P k

解：因为，所以.

1!

==-∞

=∑λλae k a

k k

λ-=e a 4．设随机变量X 的分布律为

X -123p i

1/4

1/2

1/4

(1) 求X 的分布函数；

(2) 求，，．

}21{≤X P }2

5

23{≤

解：

3

(1) ，⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨

⎧≥<≤<≤-<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤=+-=<≤--=<=3x 13243214

1-1x 03

x 132}2{}1{2

1}1{-1

x 0)(于于于于于于于于x x x X P X P x X P x F

(2) 、

,

{}41121=-==⎭⎫⎩⎨⎧

≤X p X P {}212252

3

===⎭⎫⎩⎨⎧≤

.{}{}{}{

}{}{}4

3323232==+=====≤≤X P X P X X P X P 5．设随机变量的分布律为求：X ,2,1,2

1

}{===k k X P k (1) P {X = 偶数} (2) P {X ≥ 5}

(3) P {X = 3的倍数}

解：(1) ，{

}3121121121lim 212121222242=⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++==∞→i i i

X P 于于

(2) ，{}{}1611615121212

1

211415432=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-=≤-=≥X P X P

(3) .

{}712

1121121

lim 2

1

33

33

1

3=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-===∞→∞

=∑

i i i i X P 于于于

6. 某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分

布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计） (1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率．

(2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率．

解：

(1) .

()(

)5.15.0~P t P X ={}5.10-==e X P

(2) .

5.25.0=t {}{}5.21011--==-=≥e x P x P

7. 某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概

率．

解：设射击的次数为X ，由题意知,().20400~，

B X {}{}∑=--=≤-=≥1

0400400,

98.002.01112k k k k

C X P X P 由于上面二项分布的概率计算比较麻烦，而且X 近似服从泊松分布P (λ)（其中λ=400×0.02），所以

P {X ≥2}，∑=--≈1

8

!81k k e k 查表泊松分布函数表得：

P {X ≥2}9972

.028.01=-≈ 8. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号．现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率．

解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数，()

.305~于B X 则指示灯发出信号的概率

{}{})

7.03.07.03.07.03.0(131********

55005C C C X P X P p ++-=<-=≥=

.

1631.08369.01=-= 9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从参数为5指数分布．某顾客

在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y 表示他未等到

服务而离开窗口的次数．写出Y 的分布律，并求P {Y ≥ 1}．

解：因为X 服从参数为5的指数分布，则，

5

1)(x e

x F --=，,

{}2)10(110-=-=>e F X P ()

25~-e B Y 于则.

50,1,k ,)

1()(}{5225 =-==---k

k

k

e e C k Y P

0.5167

11}0{-1}1{52=--===≥-于于e Y P Y P 10．设随机变量的概率密度为，试求：X ⎪⎩⎪⎨

⎧

>≤=2

||,02||,cos )(π

πx x x a x f (1) 系数a ；

(2) X 落在区间内的概率．

)4

,

0(π

解：(1) 由归一性知：，所以.⎰⎰

-∞

+∞

-===

22

2cos )(1π

πa xdx a dx x f 2

1=

a