概率论 高等数学 习题解答
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1
习 题 二
(A )
三、解答题 1.一颗骰子抛两次,以X 表示两次中所得的最小点数 (1) 试求X 的分布律;
(2) 写出X 的分布函数.
解: (1)
X 123456p i
36
1136
936
736
536
336
1分析:这里的概率均为古典概型下的概率,所有可能性结果共36种,如果X=1,则表明两
次中至少有一点数为1,其余一个1至6点均可,共有(这里指任选某1-61
2⨯C 1
2C 次点数为1,6为另一次有6种结果均可取,减1即减去两次均为1的情形,因为
多算了一次)或种,故,其61
2
⨯C 1512
+⨯C {}36
11
3615361-611212=+⨯=⨯=
=C C X P 他结果类似可得.
(2)
⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6 165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{4
3 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1
0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F 于于于于于于于
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6
165363554 3632
43 3627
323620
213611
1 0 x x x x x x x 于于于于于于于 2.某种抽奖活动规则是这样的:袋中放红色球及白色球各5只,抽奖者交纳一元钱后得
到一次抽奖的机会,然后从袋中一次取出5只球,若5只球同色,则获奖100元,否则无奖,以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数,求X 的分布律.
解:
X -1
99
p i
126
125126
1注意,这里X 指的是赢钱数,X 取0-1或100-1,显然.{
}126
1
2995
10===C X P
3.设随机变量X 的分布律为为常数,试求常数a .
0;,2,1,0,!
}{>===λλ k k a
k X P k
解:因为,所以.
1!
==-∞
=∑λλae k a
k k
λ-=e a 4.设随机变量X 的分布律为
X -123p i
1/4
1/2
1/4
(1) 求X 的分布函数;
(2) 求,,.
}21{≤X P }2
5
23{≤ 解: 3 (1) ,⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨ ⎧≥<≤<≤-<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤=+-=<≤--=<=3x 13243214 1-1x 03 x 132}2{}1{2 1}1{-1 x 0)(于于于于于于于于x x x X P X P x X P x F (2) 、 , {}41121=-==⎭⎫⎩⎨⎧ ≤X p X P {}212252 3 ===⎭⎫⎩⎨⎧≤ .{}{}{}{ }{}{}4 3323232==+=====≤≤X P X P X X P X P 5.设随机变量的分布律为求:X ,2,1,2 1 }{===k k X P k (1) P {X = 偶数} (2) P {X ≥ 5} (3) P {X = 3的倍数} 解:(1) ,{ }3121121121lim 212121222242=⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++==∞→i i i X P 于于 (2) ,{}{}1611615121212 1 211415432=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-=≤-=≥X P X P (3) . {}712 1121121 lim 2 1 33 33 1 3=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-===∞→∞ =∑ i i i i X P 于于于 6. 某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分 布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计) (1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率. (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率. 解: (1) . ()( )5.15.0~P t P X ={}5.10-==e X P (2) . 5.25.0=t {}{}5.21011--==-=≥e x P x P 7. 某人进行射击,每次射击的命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中2次的概 率. 解:设射击的次数为X ,由题意知,().20400~, B X {}{}∑=--=≤-=≥1 0400400, 98.002.01112k k k k C X P X P 由于上面二项分布的概率计算比较麻烦,而且X 近似服从泊松分布P (λ)(其中λ=400×0.02),所以 P {X ≥2},∑=--≈1 8 !81k k e k 查表泊松分布函数表得: P {X ≥2}9972 .028.01=-≈ 8. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号.现进行5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 解:设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数,() .305~于B X 则指示灯发出信号的概率 {}{}) 7.03.07.03.07.03.0(131******** 55005C C C X P X P p ++-=<-=≥= . 1631.08369.01=-= 9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X (以分钟计)服从参数为5指数分布.某顾客 在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次,以Y 表示他未等到 服务而离开窗口的次数.写出Y 的分布律,并求P {Y ≥ 1}. 解:因为X 服从参数为5的指数分布,则, 5 1)(x e x F --=,, {}2)10(110-=-=>e F X P () 25~-e B Y 于则. 50,1,k ,) 1()(}{5225 =-==---k k k e e C k Y P 0.5167 11}0{-1}1{52=--===≥-于于e Y P Y P 10.设随机变量的概率密度为,试求:X ⎪⎩⎪⎨ ⎧ >≤=2 ||,02||,cos )(π πx x x a x f (1) 系数a ; (2) X 落在区间内的概率. )4 , 0(π 解:(1) 由归一性知:,所以.⎰⎰ -∞ +∞ -=== 22 2cos )(1π πa xdx a dx x f 2 1= a