平面与平面垂直PPT教学课件
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人教版高中数学必修2《平面与平面垂直的性质》PPT课件
3，∴h＝
3 2.
在△BCD 中，BF＝BD·cos 60°＝2×12＝1，DF＝BD·sin 60°＝ 3，∴DC＝2 3，
故 S△BCD＝12BF·DC＝12×1×2 3＝ 3.
∴VD-BCG＝VG-BCD＝13S△BCD·h＝13× 3× 23＝12.
[方法技巧] (1)在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的 相互转化．因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键． (2)空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则．解题时， 要通过几何图形自身的特点，如等腰(等边)三角形的“三线合一”、中位线定理、 菱形的对角线互相垂直等，得出一些题目所需要的条件．对于一些较复杂的问 题，注意应用转化思想解决问题．
【对点练清】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，BC∥平 面 PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝ 22AB.求证： (1)AD∥平面 PBC； (2)平面 PBC⊥平面 PAD. 证明：(1)∵BC∥平面 PAD，BC⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 PAD＝AD， ∴BC∥AD. ∵AD⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC，∴AD∥平面 PBC.
若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α 成立，则②α⊥β 一定成立； 若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α 成立，则①m⊥n 一定成立． ∴①③④⇒②(或②③④⇒①)． 答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)
• 题型二 垂直关系的综合应用
• [探究发现]
• 试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关 系．
提示：在线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化中．每一种垂直的
判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
8.6.3平面与平面垂直(性质)PPT课件(人教版)
∴BC⊥PA.
又PA∩AD=A，∴BC⊥平面
B
PAB.
【悟】
面面垂直的性质定理的应用
() () ()
3 于直 它线 们必 的须 交垂 线直
2 中直 一线 个必 平须 面在 内其
1
用面
要面
两 个
注垂
平
意直
面
以的
垂
下性
直
三质
点定
理
应
面面垂直的性质定理的应用
【练1】 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2. 将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC. 求证：BC⊥平面ACD.
二面角的有关概念
以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
平面角的大小就是二面角的大小，范围是[00,1800]。
• ∠AOB即为二面角α-AB-β的 平面角
二面角的平面角的三个特征:
6.平面角是直角的二面角叫做直二面角
(1)顶点在棱上；
∴V 四棱锥 C－ABFE＝13·S 正方形 ABFE·CF＝43， V 三棱锥 A－CDE＝13·S△CDE·AE＝43，∴V 六面体 ABCDEF＝43＋43＝83.
巩固练习
巩固练习
1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
b a
a / /b
a
a / /
a b
b
面面垂直的综合应用
例5.如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB BC，BC / / AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF BC, 垂足为F .沿EF 将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF .若折起后AB的 中点M 到点D的距离为3,
平面与平面垂直的判定定理(课件)
那么判定两平面互相 垂直（面面垂直）， 除了定义外，还有其 他方的判定方法吗？
问题探究
问题：观察建筑工地，我们常看到建筑师傅通常用一 条系有重物的线（铅垂线）来检测所砌的墙和地面是 否垂直，如图所示，建筑师傅只用这样一条线来检测 所砌的墙面和地面垂直，可靠吗？这样砌得的墙真的 与地面垂直吗？为什么？
AB为⊙O的直径，所以,∠BCA＝90°,
即BC⊥CA.
C
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条 A
相交直线，所以，BC⊥平面PAC，
O
B
又因为BC在平面PBC内，
所以平面PAC⊥平面PBC.
定理的应用
跟踪训练1 已知 ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面
ABCD ， E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
4.若m⊥α，m ，则α⊥β.( √ )
定理的理解
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_无__数__个平面 与平面α垂直.
2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作_一___个平
面与α垂直.
定理的应用
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
分析：
线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
A
O
B
定理的应用
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，
因为，点C是圆周上不同于A,B的任意一点P，
A
所以AO⊥BD、CO⊥BD;
B
问题探究
问题：观察建筑工地，我们常看到建筑师傅通常用一 条系有重物的线（铅垂线）来检测所砌的墙和地面是 否垂直，如图所示，建筑师傅只用这样一条线来检测 所砌的墙面和地面垂直，可靠吗？这样砌得的墙真的 与地面垂直吗？为什么？
AB为⊙O的直径，所以,∠BCA＝90°,
即BC⊥CA.
C
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条 A
相交直线，所以，BC⊥平面PAC，
O
B
又因为BC在平面PBC内，
所以平面PAC⊥平面PBC.
定理的应用
跟踪训练1 已知 ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面
ABCD ， E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
4.若m⊥α，m ，则α⊥β.( √ )
定理的理解
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_无__数__个平面 与平面α垂直.
2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作_一___个平
面与α垂直.
定理的应用
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
分析：
线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
A
O
B
定理的应用
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，
因为，点C是圆周上不同于A,B的任意一点P，
A
所以AO⊥BD、CO⊥BD;
B
平面与平面垂直的性质 课件
PF 5
【技法点拨】 1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化 通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化， 即直线与直线垂直 噲垐直垐线 直垐与 线平 与垐垐面 平垂 面垐直 垂垐的 直直判 的垐垐定 定线定 义与理垎垐平面垂直 噲垐平 平垐面 面垐与 与平 平垐垐面 面垂 垂垐 直 直垐的 的平判 性垐垐定 质面定 定理 理垎与垐平面垂直.
试着完成下列各题,总结线线、线面、面面位置关系之间
的相互转化.
1.已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,有下列
四个结论：(1)若m∥n,m⊥α,则n⊥α.(2)若m⊥α,m⊥β,则
α∥β.(3)若m⊥α,m⊥n,n⊥β,则α⊥β.(4)若α⊥β,
α∩β=n,m⊥n,则m⊥α,其中正确结论的个数是( )
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想 象能力. 2.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理 间的相互联系,掌握等价转化思想在解决问题中的运用.
平面与平面垂直的性质定理
(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直
【解析】1.选C.利用平行线的性质(1)正确.由线面垂直的性质 知(2)正确.(3)m⊥α,m⊥n,则n⊂α或n∥α,又n⊥β,故α⊥β,正 确.(4)错误,m⊥n但m不一定在平面β内,故不一定垂直于平面 α. 2.选A.因为AD⊥AB,AD⊥PA且AB,PA⊂平面PAB, 所以AD⊥平面PAB,所以平面PAD⊥平面PAB, 因为BC∥AD,所以BC⊥平面PAB, 所以平面PBC⊥平面PAB.
【证明】如图,在a上任取点Q,过b与 Q作一平面交α于直线a1,交β于直 线a2. 因为b∥α,所以b∥a1. 同理,b∥a2. 因为a1,a2同过Q且平行于b,所以a1,a2重合. 又a1⊂α,a2⊂β,所以a1,a2都是α,β的交线,即都重合于a. 因为b∥a1,所以b∥a.而a⊥γ,所以b⊥γ.
【技法点拨】 1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化 通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化， 即直线与直线垂直 噲垐直垐线 直垐与 线平 与垐垐面 平垂 面垐直 垂垐的 直直判 的垐垐定 定线定 义与理垎垐平面垂直 噲垐平 平垐面 面垐与 与平 平垐垐面 面垂 垂垐 直 直垐的 的平判 性垐垐定 质面定 定理 理垎与垐平面垂直.
试着完成下列各题,总结线线、线面、面面位置关系之间
的相互转化.
1.已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,有下列
四个结论：(1)若m∥n,m⊥α,则n⊥α.(2)若m⊥α,m⊥β,则
α∥β.(3)若m⊥α,m⊥n,n⊥β,则α⊥β.(4)若α⊥β,
α∩β=n,m⊥n,则m⊥α,其中正确结论的个数是( )
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想 象能力. 2.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理 间的相互联系,掌握等价转化思想在解决问题中的运用.
平面与平面垂直的性质定理
(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直
【解析】1.选C.利用平行线的性质(1)正确.由线面垂直的性质 知(2)正确.(3)m⊥α,m⊥n,则n⊂α或n∥α,又n⊥β,故α⊥β,正 确.(4)错误,m⊥n但m不一定在平面β内,故不一定垂直于平面 α. 2.选A.因为AD⊥AB,AD⊥PA且AB,PA⊂平面PAB, 所以AD⊥平面PAB,所以平面PAD⊥平面PAB, 因为BC∥AD,所以BC⊥平面PAB, 所以平面PBC⊥平面PAB.
【证明】如图,在a上任取点Q,过b与 Q作一平面交α于直线a1,交β于直 线a2. 因为b∥α,所以b∥a1. 同理,b∥a2. 因为a1,a2同过Q且平行于b,所以a1,a2重合. 又a1⊂α,a2⊂β,所以a1,a2都是α,β的交线,即都重合于a. 因为b∥a1,所以b∥a.而a⊥γ,所以b⊥γ.
《平面与平面垂直》课件
。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
平面与平面垂直的性质定理-PPT课件
OE⊥面ABCD，推出面EDB⊥面ABCD.
[证明] 设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面 PCD⊥平面 ABCD，CD 为交线，
∴PC⊥平面 ABCD，
∴EO⊥平面 ABCD.
又 EO 平面 EDB，
故有平面 EDB⊥平面 ABCD.
所以 AE 平面PCD 又 PD 平面PCD, PD AE;
因为 AB AE A,所以 PD 平面 ABE.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
【教学目标】
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想 象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 【重点难点】
教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 【课时安排】1课时
（3）因为 PD 平面 PCD 所以平面 PCD 平面 ABE
变式：（课本P41）在空间四边形 SABC 中，SO 平面 ABC ，
O 为 ABC的垂心.求证：平面 SOC 平面 SAB
【证明】 延长 CO 交 AB于 D ，连接 SD
因为 O 为 ABC 的垂心，所以 CD AB
因为 SO 平面 ABC,
平面PAD 平面ABCD AD,
且AB AD, 所以 AB 平面PAD
又PD 平面PAD, 所以 PD AB;
[证明] 设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面 PCD⊥平面 ABCD，CD 为交线，
∴PC⊥平面 ABCD，
∴EO⊥平面 ABCD.
又 EO 平面 EDB，
故有平面 EDB⊥平面 ABCD.
所以 AE 平面PCD 又 PD 平面PCD, PD AE;
因为 AB AE A,所以 PD 平面 ABE.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
【教学目标】
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想 象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 【重点难点】
教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 【课时安排】1课时
（3）因为 PD 平面 PCD 所以平面 PCD 平面 ABE
变式：（课本P41）在空间四边形 SABC 中，SO 平面 ABC ，
O 为 ABC的垂心.求证：平面 SOC 平面 SAB
【证明】 延长 CO 交 AB于 D ，连接 SD
因为 O 为 ABC 的垂心，所以 CD AB
因为 SO 平面 ABC,
平面PAD 平面ABCD AD,
且AB AD, 所以 AB 平面PAD
又PD 平面PAD, 所以 PD AB;
平面与平面垂直的判定定理ppt课件
2.3.2 平面与平面垂直的判定定理
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1
复习引入
1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面 直线所成的角. 范围：( 0o, 90o ]． 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
(3) 二面角的画法和记法：面1－棱－面2 ①平卧式： 二面角－ l－
l
点1－棱－点2
l
②直立式： A
二面角－AB－
B
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C 二面角C－AB－ D
B D
A
6
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
分 析 : 由 直 二 面 角 的 定 义 可 知 , BDC
A
为直角 , 就是这个直二面角的平面角.所
以 BDCD .
若设 AD a ,则 BD CD a ,即可求得:
AB AC BC 2a ， 那么 BAC 为等边三角形,
D C
即有BAC 600.
B
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12
例 如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底 线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?
如图，OAl,OBl ，则∠AOB成为二面角 l
的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
A'
A
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
O' O
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1
复习引入
1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面 直线所成的角. 范围：( 0o, 90o ]． 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
(3) 二面角的画法和记法：面1－棱－面2 ①平卧式： 二面角－ l－
l
点1－棱－点2
l
②直立式： A
二面角－AB－
B
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C 二面角C－AB－ D
B D
A
6
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
分 析 : 由 直 二 面 角 的 定 义 可 知 , BDC
A
为直角 , 就是这个直二面角的平面角.所
以 BDCD .
若设 AD a ,则 BD CD a ,即可求得:
AB AC BC 2a ， 那么 BAC 为等边三角形,
D C
即有BAC 600.
B
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12
例 如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底 线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?
如图，OAl,OBl ，则∠AOB成为二面角 l
的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
A'
A
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
O' O
平面与平面垂直的性质定理课件
利用平面与平面垂直的性质定理，可以证明抛物线上的任意一点到 焦点和到准线的距离相等。
椭圆和圆性质
通过平面与平面垂直的性质定理，可以证明椭圆和圆的切线与直径 垂直。
直线斜率公式
利用平面与平面垂直的性质定理，可以推导出直线斜率公式，即线的 倾斜角正切值等于该线上两点的纵坐标差与横坐标差之商。
04
平面与平面垂直的性质定理扩展
所以假设不成立，两个平面α和β垂直。
03
平面与平面垂直的性质定理应用
在几何图形中的应用
三角形内角和定理
通过平面与平面垂直的性质定理， 可以证明三角形内角和为180度。
四边形内角和定理
利用平面与平面垂直的性质定理， 可以推导出四边形内角和为360度。
平行线判定定理
通过平面与平面垂直的性质定理， 可以证明两条直线平行时，它们所 在平面的交线与这两条直线平行。
利用三角形中位线定理证明
如果三角形ABC的边AB和边AC分别在两个平面α和β上， 且BC是这两个平面的交线，那么三角形ABC的中位线DE 平行于交线BC。
如果平面α和β不垂直，那么交线BC与平面α不垂直。
但DE是三角形ABC的中位线，所以DE与平面α垂直。 这与前面的结论矛盾。
根据直线的性质，由于DE平行于BC，所以DE与平面α不 垂直。
练习题 三
总结词
在一个平面内，垂直于两个平行平面的直线必定垂直于这两个平行平面。
详细描述
设两个平行平面分别为α和β，直线m垂直于α和β。设γ是α和β的公垂线，且γ 与m不平行。因为m垂直于α和β，所以m与γ也垂直。因此，m必定垂直于α和β。
谢谢您的聆听
THANKS
两平面垂直的充要条件是它们的法向量互 相垂直。 两平面垂直的充要条件是它们的法向量内 积为零。 在空间坐标系中，如果两个平面的法向量 内积为零，则它们互相垂直。
椭圆和圆性质
通过平面与平面垂直的性质定理，可以证明椭圆和圆的切线与直径 垂直。
直线斜率公式
利用平面与平面垂直的性质定理，可以推导出直线斜率公式，即线的 倾斜角正切值等于该线上两点的纵坐标差与横坐标差之商。
04
平面与平面垂直的性质定理扩展
所以假设不成立，两个平面α和β垂直。
03
平面与平面垂直的性质定理应用
在几何图形中的应用
三角形内角和定理
通过平面与平面垂直的性质定理， 可以证明三角形内角和为180度。
四边形内角和定理
利用平面与平面垂直的性质定理， 可以推导出四边形内角和为360度。
平行线判定定理
通过平面与平面垂直的性质定理， 可以证明两条直线平行时，它们所 在平面的交线与这两条直线平行。
利用三角形中位线定理证明
如果三角形ABC的边AB和边AC分别在两个平面α和β上， 且BC是这两个平面的交线，那么三角形ABC的中位线DE 平行于交线BC。
如果平面α和β不垂直，那么交线BC与平面α不垂直。
但DE是三角形ABC的中位线，所以DE与平面α垂直。 这与前面的结论矛盾。
根据直线的性质，由于DE平行于BC，所以DE与平面α不 垂直。
练习题 三
总结词
在一个平面内，垂直于两个平行平面的直线必定垂直于这两个平行平面。
详细描述
设两个平行平面分别为α和β，直线m垂直于α和β。设γ是α和β的公垂线，且γ 与m不平行。因为m垂直于α和β，所以m与γ也垂直。因此，m必定垂直于α和β。
谢谢您的聆听
THANKS
两平面垂直的充要条件是它们的法向量互 相垂直。 两平面垂直的充要条件是它们的法向量内 积为零。 在空间坐标系中，如果两个平面的法向量 内积为零，则它们互相垂直。
平面与平面垂直ppt课件
如图所示，因为 ⊥ 平面 ， ⊂ 平面 ，所以 C⊥ ，
又 △ 为等边三角形，所以 C⊥ ，
又 , ⊂ 平面 ， ∩= ，所以 C⊥ 平面 .
又在 △ 中， , 分别为 , 的中点，所以 =1/2 ，
又平面 ⊥ 平面 ，
平面 ∩ 平面 = ， ⊂ 平面 ，
所以 ⊥ 平面 .
又因为 ⊂ 平面 ,
所以平面 ⊥ 平面 .
课堂小结
1.知识清单：
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面与平面垂直的判定定理.
(3)平面与平面垂直的性质定理.
例题1 如图，已知三棱锥−的各棱长均为2，求二面角−−的余弦值.
【解析】如图，取 CD 的中点为 M ，连接 AM ， BM ，则 AM ⊥ CD ， BM ⊥ CD .
由二面角的定义可知 ∠AMB 为二面角 A − CD − B 的平面角.
设 H 是 △ BCD 的重心，
则 AH ⊥ 平面 BCD ，且点 H 在 BM 上.
足分别为 ， .若 ∠=80° ，则二面角 −− 的大小为______.
100°
随堂检测
4.如图所示，在四棱锥 − 中，底面 是矩形，侧面 ⊥ 底面 ，
求证：平面 ⊥ 平面 .
【解析】因为底面 是矩形，所以 ⊥ .
所以 BD ⊥ 平面 ACD .
因为 AD ⊂ 平面 ACD ，所以 AD ⊥ BD ，
所以 ∠ADC 为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角.
1
2
在 Rt △ ACD 中，因为 AC = AD ，所以 ∠ADC = 30∘ .
新知生成
知识点二 平面与平面垂直的判定定理
(1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
又 △ 为等边三角形，所以 C⊥ ，
又 , ⊂ 平面 ， ∩= ，所以 C⊥ 平面 .
又在 △ 中， , 分别为 , 的中点，所以 =1/2 ，
又平面 ⊥ 平面 ，
平面 ∩ 平面 = ， ⊂ 平面 ，
所以 ⊥ 平面 .
又因为 ⊂ 平面 ,
所以平面 ⊥ 平面 .
课堂小结
1.知识清单：
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面与平面垂直的判定定理.
(3)平面与平面垂直的性质定理.
例题1 如图，已知三棱锥−的各棱长均为2，求二面角−−的余弦值.
【解析】如图，取 CD 的中点为 M ，连接 AM ， BM ，则 AM ⊥ CD ， BM ⊥ CD .
由二面角的定义可知 ∠AMB 为二面角 A − CD − B 的平面角.
设 H 是 △ BCD 的重心，
则 AH ⊥ 平面 BCD ，且点 H 在 BM 上.
足分别为 ， .若 ∠=80° ，则二面角 −− 的大小为______.
100°
随堂检测
4.如图所示，在四棱锥 − 中，底面 是矩形，侧面 ⊥ 底面 ，
求证：平面 ⊥ 平面 .
【解析】因为底面 是矩形，所以 ⊥ .
所以 BD ⊥ 平面 ACD .
因为 AD ⊂ 平面 ACD ，所以 AD ⊥ BD ，
所以 ∠ADC 为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角.
1
2
在 Rt △ ACD 中，因为 AC = AD ，所以 ∠ADC = 30∘ .
新知生成
知识点二 平面与平面垂直的判定定理
(1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
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2、天津卫是做买卖的地 界儿。 3、台上的嘛样，他捏的 嘛样。
4、一个泥团砍过去？ 5、架式挺牛
6、穿上这身黑有，浓就郁赛的跟“地天上津一桶风白味浆”较 怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
1、有绝活的，吃荤，亮堂，站在大街中央； 没能耐的，吃素，发蔫，靠边呆着。
2、这一套可不是谁家定的，它地地道道是码 头上的一种活法。
根据线面垂直判定定线理交有 垂直,则AB线^面b垂. 直
怀化铁路第一中学
第九章 直线四、、平你面、说简我单几解何体
例2、AB ^ 面BCD, BD ^ CD 1 求证 : 面ABD^面ACD;
2 若AB BC 2BD,求二面角 B AC D的正弦值.
解：设AB BC 2BD 2a, 过B作BF ^ AD垂足为F, 面ABD ^ 面ACD AD,BF 面ADB, BF ^ AD
语句短小精悍，活泼幽默，
有单口相声风味。
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
1、他把这泥往桌上叭地一戳。 2、这一套可不是谁家定的，它地地道道
是码头上的一种活法。 3、海张五那边还不停地找乐子，泥人张 这边肯定把这些话在他手里这团泥上全找
回来了。
用词凝练。
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
第九章 直线、平面、简单几何体
风 筝 魏 第 三 代 传 人
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面了、简解单作几何者体
• 本文作者是当代作家__冯_骥__才___,他以写 知识分子和天津近代历史故事见长,短 篇小说《 __雕_花__烟_斗___ 》，中篇小说 《_啊_！__》《_神_鞭__》分获全国优秀短篇、 优秀中篇小说奖。
AB ^ CD
又 BD ^ CD 且AB BD B
CD ^ 平面ABD
A
CD 平面ACD
平面ACD ^ 平面ABD.
C
线面垂直,线在面内,则面面垂直
B
D 怀化铁路第一中学
三第九、章两直个线平、面平面垂、直简的单几性何质体定 理
如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂直
于它们交线的直线 垂直于另一个平面.
3、手艺道上的人，捏泥人的“泥人张”排第一， 而且，有第一，没第二，第三差着十万八千 里。（夸张）
巧妙运用多种艺术表现手法
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
延伸拓展
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
3、行外的没见过的不信，行内的生气愣说不 信。
4、只见师傅的手臂悠然摆来，悠然摆去好赛 伴着鼓点，和着琴音，每一摆刷，那长长的带浆 的毛刷便在墙面“啪”地清脆一响，极是好听。
极具造型能力
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体 1、您别说不好，这一来就练出不少能人来 2、只有这一个绰号在码头上响当当和当当 响。 3、别不信！他还给立下一个规矩…… 4、倘若没有这本事，他不早饿成干儿了？ 5、天津已是做买卖的地界，谁有钱谁横， 官儿也怵三分。
已知 :a^b , AB a,a b CD, AB^CD a
求证 : AB^b
A
证明 :a b CD, AB a, AB^CD, 垂足B CD,过B作BE^CD, b
D E
B
且BE b , ABE是直二面角a CD Cb
的平面角,即ABE 900 则AB ^ BE
又CD BE=B 面面垂直,线在面内,面面相交,
画法： α
α
β
β
记法：a ^ b
怀化铁路第一中学
第二九、章两直个线平、面平垂面、直简的单判几定何体定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,
那么这两个平面互相垂直.
已知 : AB^b , AB b B, AB a 求证 :a^b
证明 : 设a b CD
B a, B b
BCD
AB a 二面角a CD b
次的渲染烘托。
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
《泥人张》则是把泥人张放到与海张五的较量中来表现 他的“神奇”。所以，写“泥人张”时，用单刀直入法 切入正题，面对张海五的挑衅，人们都等着看泥人张怎 样“回报”，却先写泥人张的沉稳，小作反击，而事后 的反击更是令人叫绝。叙事中重重设置悬念，将简单的 故事情节安排得曲折有致，生动地写出了“泥人张”超
？ 则BF ^ 面ACD
过F作FE ^ AC于E,连接BE, 则BE ^ AC
所以BEF是二面角B AC D的平面角
解三个直角三角形:
A
BE 2a 2a 2a, BF 2a a 2a
E
sin面面B线2E垂 F2交直a 垂,线B直在F,则面线内 面,面垂2面a直1相20交a 2,
BE
5
第九章 直线、平面、简单几何体
学 •理解平面与平面的垂直关系； 习 9.•掌6平握平面面与与平平面面垂直垂的直判定定理； 目 •掌握平面与平面垂直的性质定理； 标
•会应用两个定理解决问题。
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
一、两个平面垂直的定义：
平面角是直角的二面角叫做 直二面角 相交成直二面角的两个平面， 叫做互相垂直的平面
面面 垂直
怀化铁路第一中学
再见
第九章 直线三、、平典面、例简剖单析几何体
例1如果两个平面垂直, 那么经过第一个平面内的
一点垂直于第二个平面的直线 ,在第一个平面内 .
已知 :a^b , P a, P a, a^b
求证: a a.
a
P
证明 :a b c,过点P在a内作
直线b ^ c b ^ b b
凡的技艺和独特的个性风格。
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第九章 直线、平面、简单几何体
品味语言之“奇”
本文语言本色朴素，“津味”十足，并且幽默 传神，极富表现力，无论人物语言还是叙述 语言，均情趣盎然，简洁传神。请选一二例 揣摩评析。
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
1、屋里任嘛甭放，单坐着，就赛升天一 般美。
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
泥 人 张
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
人物奇
刷子李
泥人张
手艺奇 刷得屋子美
粉刷屋子身上不沾
随意拿块泥就能捏 得栩栩如生
一点灰
行事奇 自立规矩：干完活
只要身上有白点， 白刷不要钱
面对羞辱镇定自若 以独特的方式还击
一天只刷一间屋子
对手
每刷完一面墙必得 休息一会
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
整体感知
1.朗读:读出声调、语气，读得活灵活现， 声情并茂，读出单口相声的味道来。
2.交流读课文的感受。
人物之奇；情节之奇；语言之奇
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第九章 直线、平面、简单几何体
刷 子 李
见识人物之奇
‘刷子李’‘泥人张’各自奇 在什么地方？给你留下 了什么印象？
第九章 直线、平面、简单几何体
泥人张：奇在手艺奇，行事奇。他技艺 高妙，无人能比，独行天下；他沉稳、 干练，面对他人羞辱镇定自若，胸有成 算，后法制人，以独特的方式予以还击，一招
制敌。这是一位个性内敛，应付从容的奇人， 与“刷子李”迥然不同。
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第九章 直线、平面、简单几何体
刷子李-----谈生意，满腔正气显派头； 带徒弟，一手绝活传真谛。
二面角S BC A的平面角是哪一个角？为什么?
二面角A SB C的平面角是哪一个角？为什么?
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第九章 直线变、式平练面习、：简单几何体
长为16的线段AB两端点,分别在直二面角 a CD b
的两个面内,并且与两个面分别成 300、450角,
求AB和CD所成的角.
A
a
分析一 : 过A作AC ^ CD,垂足为C
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体 • （1）给下列加点字注音。 • 发蔫(niān) 擅长(shàn) 绰号(chuò) 刷浆(jiāng)
戳(chuō) 一瞅(chǒu)发怔(zhèng) 褒贬(bāo) 怵(chù)抠(kōu) 瓢(piáo) 难堪(kān) • （2）解释下列词语。 • 发蔫：表现出精神不振。 • 擅长：在某方面有特长。 • 阔绰：排场大，生活奢侈。 • 发怔：发呆。 • 天衣无缝：神话传说，仙女穿的天衣，不用针线制 作，没有缝儿。比喻事物(多指诗文、话语等)没有 一点破绽。 • 大名鼎鼎：形容名声很大。鼎鼎：盛大的样子。
1、只见师傅的手臂悠然摆来，悠然摆去，好赛 马伴着鼓点，各着琴音，每一摆刷，那长长 的带浆的毛刷便在墙面“叭”的清脆一响， 极是好听。啪啪声里， 一道貌岸然道浆，衔
接得天衣无缝，刷过去的墙面，真赛平平整 整打开一面雪白的屏障。（白描）
2、有绝活的，吃荤，亮堂，站在大街中央；没 能耐的，吃素，发蔫，靠边站着。（对称工 整，对比，比喻，夸张）
则CA00， ， 00， ， 10、 、BD 022，，2222， 0，0
AB (
2
，
2
，
1）、CD
（0，
b
x
2
，0）
B
y
2 2 cos AB，CD
1 .
2 AB，CD 600
2
故直线 AB与CD所成的角为 60 0.
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第九章 直线、平面、简单几何体
线线垂直
线面 垂直
16 2
3
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第九章 直线变、式平练面习、：简单几何体
长为16的线段AB两端点,分别在直二面角 a CD b
4、一个泥团砍过去？ 5、架式挺牛
6、穿上这身黑有，浓就郁赛的跟“地天上津一桶风白味浆”较 怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
1、有绝活的，吃荤，亮堂，站在大街中央； 没能耐的，吃素，发蔫，靠边呆着。
2、这一套可不是谁家定的，它地地道道是码 头上的一种活法。
根据线面垂直判定定线理交有 垂直,则AB线^面b垂. 直
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第九章 直线四、、平你面、说简我单几解何体
例2、AB ^ 面BCD, BD ^ CD 1 求证 : 面ABD^面ACD;
2 若AB BC 2BD,求二面角 B AC D的正弦值.
解：设AB BC 2BD 2a, 过B作BF ^ AD垂足为F, 面ABD ^ 面ACD AD,BF 面ADB, BF ^ AD
语句短小精悍，活泼幽默，
有单口相声风味。
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
1、他把这泥往桌上叭地一戳。 2、这一套可不是谁家定的，它地地道道
是码头上的一种活法。 3、海张五那边还不停地找乐子，泥人张 这边肯定把这些话在他手里这团泥上全找
回来了。
用词凝练。
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第九章 直线、平面、简单几何体
第九章 直线、平面、简单几何体
风 筝 魏 第 三 代 传 人
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
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第九章 直线、平面了、简解单作几何者体
• 本文作者是当代作家__冯_骥__才___,他以写 知识分子和天津近代历史故事见长,短 篇小说《 __雕_花__烟_斗___ 》，中篇小说 《_啊_！__》《_神_鞭__》分获全国优秀短篇、 优秀中篇小说奖。
AB ^ CD
又 BD ^ CD 且AB BD B
CD ^ 平面ABD
A
CD 平面ACD
平面ACD ^ 平面ABD.
C
线面垂直,线在面内,则面面垂直
B
D 怀化铁路第一中学
三第九、章两直个线平、面平面垂、直简的单几性何质体定 理
如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂直
于它们交线的直线 垂直于另一个平面.
3、手艺道上的人，捏泥人的“泥人张”排第一， 而且，有第一，没第二，第三差着十万八千 里。（夸张）
巧妙运用多种艺术表现手法
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第九章 直线、平面、简单几何体
延伸拓展
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
3、行外的没见过的不信，行内的生气愣说不 信。
4、只见师傅的手臂悠然摆来，悠然摆去好赛 伴着鼓点，和着琴音，每一摆刷，那长长的带浆 的毛刷便在墙面“啪”地清脆一响，极是好听。
极具造型能力
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体 1、您别说不好，这一来就练出不少能人来 2、只有这一个绰号在码头上响当当和当当 响。 3、别不信！他还给立下一个规矩…… 4、倘若没有这本事，他不早饿成干儿了？ 5、天津已是做买卖的地界，谁有钱谁横， 官儿也怵三分。
已知 :a^b , AB a,a b CD, AB^CD a
求证 : AB^b
A
证明 :a b CD, AB a, AB^CD, 垂足B CD,过B作BE^CD, b
D E
B
且BE b , ABE是直二面角a CD Cb
的平面角,即ABE 900 则AB ^ BE
又CD BE=B 面面垂直,线在面内,面面相交,
画法： α
α
β
β
记法：a ^ b
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第二九、章两直个线平、面平垂面、直简的单判几定何体定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,
那么这两个平面互相垂直.
已知 : AB^b , AB b B, AB a 求证 :a^b
证明 : 设a b CD
B a, B b
BCD
AB a 二面角a CD b
次的渲染烘托。
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第九章 直线、平面、简单几何体
《泥人张》则是把泥人张放到与海张五的较量中来表现 他的“神奇”。所以，写“泥人张”时，用单刀直入法 切入正题，面对张海五的挑衅，人们都等着看泥人张怎 样“回报”，却先写泥人张的沉稳，小作反击，而事后 的反击更是令人叫绝。叙事中重重设置悬念，将简单的 故事情节安排得曲折有致，生动地写出了“泥人张”超
？ 则BF ^ 面ACD
过F作FE ^ AC于E,连接BE, 则BE ^ AC
所以BEF是二面角B AC D的平面角
解三个直角三角形:
A
BE 2a 2a 2a, BF 2a a 2a
E
sin面面B线2E垂 F2交直a 垂,线B直在F,则面线内 面,面垂2面a直1相20交a 2,
BE
5
第九章 直线、平面、简单几何体
学 •理解平面与平面的垂直关系； 习 9.•掌6平握平面面与与平平面面垂直垂的直判定定理； 目 •掌握平面与平面垂直的性质定理； 标
•会应用两个定理解决问题。
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第九章 直线、平面、简单几何体
一、两个平面垂直的定义：
平面角是直角的二面角叫做 直二面角 相交成直二面角的两个平面， 叫做互相垂直的平面
面面 垂直
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再见
第九章 直线三、、平典面、例简剖单析几何体
例1如果两个平面垂直, 那么经过第一个平面内的
一点垂直于第二个平面的直线 ,在第一个平面内 .
已知 :a^b , P a, P a, a^b
求证: a a.
a
P
证明 :a b c,过点P在a内作
直线b ^ c b ^ b b
凡的技艺和独特的个性风格。
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
品味语言之“奇”
本文语言本色朴素，“津味”十足，并且幽默 传神，极富表现力，无论人物语言还是叙述 语言，均情趣盎然，简洁传神。请选一二例 揣摩评析。
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
1、屋里任嘛甭放，单坐着，就赛升天一 般美。
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
泥 人 张
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第九章 直线、平面、简单几何体
人物奇
刷子李
泥人张
手艺奇 刷得屋子美
粉刷屋子身上不沾
随意拿块泥就能捏 得栩栩如生
一点灰
行事奇 自立规矩：干完活
只要身上有白点， 白刷不要钱
面对羞辱镇定自若 以独特的方式还击
一天只刷一间屋子
对手
每刷完一面墙必得 休息一会
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
整体感知
1.朗读:读出声调、语气，读得活灵活现， 声情并茂，读出单口相声的味道来。
2.交流读课文的感受。
人物之奇；情节之奇；语言之奇
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第九章 直线、平面、简单几何体
刷 子 李
见识人物之奇
‘刷子李’‘泥人张’各自奇 在什么地方？给你留下 了什么印象？
第九章 直线、平面、简单几何体
泥人张：奇在手艺奇，行事奇。他技艺 高妙，无人能比，独行天下；他沉稳、 干练，面对他人羞辱镇定自若，胸有成 算，后法制人，以独特的方式予以还击，一招
制敌。这是一位个性内敛，应付从容的奇人， 与“刷子李”迥然不同。
怀化铁路第一中学
第九章 直线、平面、简单几何体
刷子李-----谈生意，满腔正气显派头； 带徒弟，一手绝活传真谛。
二面角S BC A的平面角是哪一个角？为什么?
二面角A SB C的平面角是哪一个角？为什么?
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第九章 直线变、式平练面习、：简单几何体
长为16的线段AB两端点,分别在直二面角 a CD b
的两个面内,并且与两个面分别成 300、450角,
求AB和CD所成的角.
A
a
分析一 : 过A作AC ^ CD,垂足为C
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第九章 直线、平面、简单几何体 • （1）给下列加点字注音。 • 发蔫(niān) 擅长(shàn) 绰号(chuò) 刷浆(jiāng)
戳(chuō) 一瞅(chǒu)发怔(zhèng) 褒贬(bāo) 怵(chù)抠(kōu) 瓢(piáo) 难堪(kān) • （2）解释下列词语。 • 发蔫：表现出精神不振。 • 擅长：在某方面有特长。 • 阔绰：排场大，生活奢侈。 • 发怔：发呆。 • 天衣无缝：神话传说，仙女穿的天衣，不用针线制 作，没有缝儿。比喻事物(多指诗文、话语等)没有 一点破绽。 • 大名鼎鼎：形容名声很大。鼎鼎：盛大的样子。
1、只见师傅的手臂悠然摆来，悠然摆去，好赛 马伴着鼓点，各着琴音，每一摆刷，那长长 的带浆的毛刷便在墙面“叭”的清脆一响， 极是好听。啪啪声里， 一道貌岸然道浆，衔
接得天衣无缝，刷过去的墙面，真赛平平整 整打开一面雪白的屏障。（白描）
2、有绝活的，吃荤，亮堂，站在大街中央；没 能耐的，吃素，发蔫，靠边站着。（对称工 整，对比，比喻，夸张）
则CA00， ， 00， ， 10、 、BD 022，，2222， 0，0
AB (
2
，
2
，
1）、CD
（0，
b
x
2
，0）
B
y
2 2 cos AB，CD
1 .
2 AB，CD 600
2
故直线 AB与CD所成的角为 60 0.
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第九章 直线、平面、简单几何体
线线垂直
线面 垂直
16 2
3
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第九章 直线变、式平练面习、：简单几何体
长为16的线段AB两端点,分别在直二面角 a CD b