中考压轴题之 ——平面直角坐标系下的角度相等问题.doc
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中考压轴题之——平面直角坐标系下的角
度相等问题
中考题最后的压轴题中,经常出现与角度相关的问题。与平面直角坐标系结合,将三角形全等、三角形相似、三角函数、圆及二次函数等知识有机的结合在一起,考察学生对知识综合、灵活应用的能力,同时考察学生解题方法的思路的灵活性,以及对数学学科思维的掌握情况。
平面直角坐标系下的角度相等问题,通常有以下几种解题思路:
1、利用三角形全等解决
2、利用三角形相似解决
3、利用三角函数解决
4、利用圆的知识解决
下面分类举例说明:
类型一、利用三角形全等解决角度相等问题
例1、如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A (﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C,连接BC.(1)求抛物线的表达式;
(2)点D(2,m)在第一象限的抛物线上,连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足∠PBC=∠DBC?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【解析】:(1)∵抛物线y=ax +bx+3(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),带入两点坐标即可。
∴抛物线的表达式为y=-x +2x+3;
(2) 设BP交轴y于点G,再根据点B、C、D的坐标,得到∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°,进而判定△CGB≌△CDB,求得点G的坐标为(0,1),得到直线BP的解析式为y=- 1/3x+1,最后计算直线BP与抛物线的交点P的坐标即可.【解答】解:(1)抛物线的表达式为y=-x +2x+3;(过程略)
(2)存在.
如图,设BP交轴y于点G,
∵点D(2,m)在第一象限的抛物线上,
∴当x=2时,m=﹣2 +2×2+3=3,
∴点D的坐标为(2,3),
把x=0代入y=﹣x +2x+3,得y=3,
∴点C的坐标为(0,3),
∴CD∥x轴,CD=2,
∵点B(3,0),
∴OB=OC=3,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
∴∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°,
又∵∠PBC=∠DBC,BC=BC,
∴△CGB≌△CDB(ASA),
∴CG=CD=2,
∴OG=OC﹣CG=1,
∴点G的坐标为(0,1),
设直线BP的解析式为y=kx+1,
将B(3,0)代入,得3k+1=0,
解得k=﹣1/3,
∴直线BP的解析式为y=﹣1/3x+1,
令﹣1/3x+1=﹣x +2x+3,
解得x1=-2/3,x2=3,
∵点P是抛物线对称轴x=1左侧的一点,即x<1,
∴x=﹣2/3,
把x=﹣2/3代入抛物线y=﹣x +2x+3中,
解得y=11/9,
∴当点P的坐标为(﹣2/3,11/9)时,满足∠PBC=∠DBC.
【总结】出现角等的条件时,可以将两角构造在全等三角形中,利用全等的性质解决问题。
类型二:利用三角形相似解决角度相等问题
例 2 、如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x +bx+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点B 的坐标为(3,0),直线y=﹣x+3恰好经过B,C两点
(1)写出点C的坐标;
(2)求出抛物线y=x2+bx+c的解析式,并写出抛物线的对称轴和点A的坐标;
(3)点P在抛物线对称轴上,抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB,求P坐标.
【分析】(1)由直线y=﹣x+3可求出C点坐标;
(2)由B,C两点坐标便可求出抛物线方程,从而求出抛物线的对称轴和A点坐标;
(3)因为P在对称轴上,D为抛物线顶点,所以PD垂直于x轴。△AFP为直角三角形。若∠APD=∠ACB,则作出辅助线AE垂直于BE,由三角形的两个角相等,证明△AEC ∽△AFP。线段AE、CE、AF都可求,根据两边成比例,便可求出PF的长度,从而求出P点坐标.
【解答】解:(1)y=﹣x+3与y轴交于点C,故C(0,3).
(2)∵抛物线y=x2+bx+c过点B,C,析式为y=x ﹣4x+3
∴对称轴为x=2,点A(1,0).
(3)由y=x ﹣4x+3,
可得D(2,﹣1),A(1,0),
∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2,
可得△OBC是等腰直角三角形,
∴∠OBC=45°,BC=3根2
如图,设抛物线对称轴与x轴交于点F,
∴AF=1/2AB=1.
过点A作AE⊥BC于点E.
∴∠AEB=90度.
可得,BE=AE= 根2,CE=2根2
在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF,
∴△AEC∽△AFP.
∴AE/AF=CE/PF
解得PF=2.
或者直接证明△ABC∽△ADP得出PD=3,
再得PF=2.
∵点P在抛物线的对称轴上,
∴点P的坐标为(2,2)或(2,﹣2).
【总结】出现角等的条件时,可以将两角构造在相似三角形中,利用相似对应边成比例的性质解决问题。这类问题也可以用三角函数解决。见类型三。
类型三、利用三角函数解决角度相等问题
例3、(2018•济南中考题改编)如图1,抛物线y=ax +bx+4过A(2,0)、B(4,0)两点,交y轴于点C,过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D,连接
AC、BC.点P是该抛物线上一动点,设点P的横坐标为m (m>4).
(1)求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值;
(2)如图2,若∠ACP=45°,求m的值;
【解析】(1)由点A、B坐标利用待定系数法求解可得抛物线解析式为y=1/2x ﹣3x+4,作BG⊥CA,交CA的延长线于点G,证△GAB∽△OAC,据此知BG=2AG.在Rt△ABG 中根据BG +AG =AB ,可求得AG.继而可得BG,CG,根据正切函数定义可得答案;
(2)由题意可得,∠BCD=45°,若∠ACP=45°,则∠ACB=∠PCD。即tan∠ACB=tan∠PCD。由(1)得tan∠ACB=1/3,所以tan∠PCD=1/3。过P做PH⊥CD于点H,设出P点坐标,列方程即可。
【解答】(1) 略tan∠ACB=1/3
(2)∵∠BCD=45°
若∠ACP=45°,
则∠ACP=∠PCD。
即tan∠ACP=tan∠PCD。
由(1)得tan∠ACB=1/3,
∴tan∠PCD=1/3。
过P做PH⊥CD于点H
设P(m,1/2m ﹣3m+4)