中考压轴题之 ——平面直角坐标系下的角度相等问题.doc

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中考压轴题之——平面直角坐标系下的角

度相等问题

中考题最后的压轴题中,经常出现与角度相关的问题。与平面直角坐标系结合,将三角形全等、三角形相似、三角函数、圆及二次函数等知识有机的结合在一起,考察学生对知识综合、灵活应用的能力,同时考察学生解题方法的思路的灵活性,以及对数学学科思维的掌握情况。

平面直角坐标系下的角度相等问题,通常有以下几种解题思路:

1、利用三角形全等解决

2、利用三角形相似解决

3、利用三角函数解决

4、利用圆的知识解决

下面分类举例说明:

类型一、利用三角形全等解决角度相等问题

例1、如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A (﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C,连接BC.(1)求抛物线的表达式;

(2)点D(2,m)在第一象限的抛物线上,连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足∠PBC=∠DBC?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

【解析】:(1)∵抛物线y=ax +bx+3(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),带入两点坐标即可。

∴抛物线的表达式为y=-x +2x+3;

(2) 设BP交轴y于点G,再根据点B、C、D的坐标,得到∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°,进而判定△CGB≌△CDB,求得点G的坐标为(0,1),得到直线BP的解析式为y=- 1/3x+1,最后计算直线BP与抛物线的交点P的坐标即可.【解答】解:(1)抛物线的表达式为y=-x +2x+3;(过程略)

(2)存在.

如图,设BP交轴y于点G,

∵点D(2,m)在第一象限的抛物线上,

∴当x=2时,m=﹣2 +2×2+3=3,

∴点D的坐标为(2,3),

把x=0代入y=﹣x +2x+3,得y=3,

∴点C的坐标为(0,3),

∴CD∥x轴,CD=2,

∵点B(3,0),

∴OB=OC=3,

∴∠OBC=∠OCB=45°,

∴∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°,

又∵∠PBC=∠DBC,BC=BC,

∴△CGB≌△CDB(ASA),

∴CG=CD=2,

∴OG=OC﹣CG=1,

∴点G的坐标为(0,1),

设直线BP的解析式为y=kx+1,

将B(3,0)代入,得3k+1=0,

解得k=﹣1/3,

∴直线BP的解析式为y=﹣1/3x+1,

令﹣1/3x+1=﹣x +2x+3,

解得x1=-2/3,x2=3,

∵点P是抛物线对称轴x=1左侧的一点,即x<1,

∴x=﹣2/3,

把x=﹣2/3代入抛物线y=﹣x +2x+3中,

解得y=11/9,

∴当点P的坐标为(﹣2/3,11/9)时,满足∠PBC=∠DBC.

【总结】出现角等的条件时,可以将两角构造在全等三角形中,利用全等的性质解决问题。

类型二:利用三角形相似解决角度相等问题

例 2 、如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x +bx+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点B 的坐标为(3,0),直线y=﹣x+3恰好经过B,C两点

(1)写出点C的坐标;

(2)求出抛物线y=x2+bx+c的解析式,并写出抛物线的对称轴和点A的坐标;

(3)点P在抛物线对称轴上,抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB,求P坐标.

【分析】(1)由直线y=﹣x+3可求出C点坐标;

(2)由B,C两点坐标便可求出抛物线方程,从而求出抛物线的对称轴和A点坐标;

(3)因为P在对称轴上,D为抛物线顶点,所以PD垂直于x轴。△AFP为直角三角形。若∠APD=∠ACB,则作出辅助线AE垂直于BE,由三角形的两个角相等,证明△AEC ∽△AFP。线段AE、CE、AF都可求,根据两边成比例,便可求出PF的长度,从而求出P点坐标.

【解答】解:(1)y=﹣x+3与y轴交于点C,故C(0,3).

(2)∵抛物线y=x2+bx+c过点B,C,析式为y=x ﹣4x+3

∴对称轴为x=2,点A(1,0).

(3)由y=x ﹣4x+3,

可得D(2,﹣1),A(1,0),

∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2,

可得△OBC是等腰直角三角形,

∴∠OBC=45°,BC=3根2

如图,设抛物线对称轴与x轴交于点F,

∴AF=1/2AB=1.

过点A作AE⊥BC于点E.

∴∠AEB=90度.

可得,BE=AE= 根2,CE=2根2

在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF,

∴△AEC∽△AFP.

∴AE/AF=CE/PF

解得PF=2.

或者直接证明△ABC∽△ADP得出PD=3,

再得PF=2.

∵点P在抛物线的对称轴上,

∴点P的坐标为(2,2)或(2,﹣2).

【总结】出现角等的条件时,可以将两角构造在相似三角形中,利用相似对应边成比例的性质解决问题。这类问题也可以用三角函数解决。见类型三。

类型三、利用三角函数解决角度相等问题

例3、(2018•济南中考题改编)如图1,抛物线y=ax +bx+4过A(2,0)、B(4,0)两点,交y轴于点C,过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D,连接

AC、BC.点P是该抛物线上一动点,设点P的横坐标为m (m>4).

(1)求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值;

(2)如图2,若∠ACP=45°,求m的值;

【解析】(1)由点A、B坐标利用待定系数法求解可得抛物线解析式为y=1/2x ﹣3x+4,作BG⊥CA,交CA的延长线于点G,证△GAB∽△OAC,据此知BG=2AG.在Rt△ABG 中根据BG +AG =AB ,可求得AG.继而可得BG,CG,根据正切函数定义可得答案;

(2)由题意可得,∠BCD=45°,若∠ACP=45°,则∠ACB=∠PCD。即tan∠ACB=tan∠PCD。由(1)得tan∠ACB=1/3,所以tan∠PCD=1/3。过P做PH⊥CD于点H,设出P点坐标,列方程即可。

【解答】(1) 略tan∠ACB=1/3

(2)∵∠BCD=45°

若∠ACP=45°,

则∠ACP=∠PCD。

即tan∠ACP=tan∠PCD。

由(1)得tan∠ACB=1/3,

∴tan∠PCD=1/3。

过P做PH⊥CD于点H

设P(m,1/2m ﹣3m+4)

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