四年级几何三角形的等积变形学生版
小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】
小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】【第一篇】1. 三角形把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.分析分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成一半，得到如下左图所示的图形.分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右图所示的符合条件的图形.2.比较比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.【第二篇】如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积．三角形面积答案：通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用"四边形ABCD和四边形DEFG 是正方形"这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形 HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米．【第三篇】如下图，BE=2AB，BC=CD。
三角形等积变形
定理一：等底等高的三角形面积相等。
定理二：底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等。
定理三：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
1. 校园里有两块三角形空地，计划分别种上玫瑰和牡丹，玫瑰园和牡丹园一共占地多少平方米？2. 如下图，已知阴影部分的面积为28平方厘米，求平行四边形的面积。
3. 下图由两个正方形组成，其边长6cm和4cm，求阴影部分的面积。
4. 已知平行四边形的底边为10cm，高为5cm，求两个阴影面积之和是多少？5. 在△ABC中，已知CD=2BD，如果△ABD的面积为15平方厘米，求△ACD的面积。
6. 在△ABC 中，AD=BD ，DE=BD ，△BEC 的面积为7.5平方厘米，求△ABC 的面积。
7. △ABC 的面积为28平方厘米，CD=3BD ，求△ABD 和△ACD 的面积。
8. 平行四边形ABCD 的面积为135平方厘米，CE=2AE,求△ABE 的面积。
9. 已知E 是BC 的中点，△ABC 的面积是60平方厘米，DE=3BD ，求△ABD 的面积。
D B CE AB C DA10. 已知△AOD的面积是15平方厘米，△BOC的面积是30平方厘米，CO=2AO，求阴影部分的面积及梯形ABCD的面积。
11. 如下图，在三角形ABC中，AD=BD，CE=3BE。
若三角形BED的面积是1平方厘米，求△ABC的面积。
12.在△ABC中，已知D是AB的中点，DE=2CE，△ADE的面积为28平方厘米，求△ABC的面积。
13.已知△ABC的面积是56平方厘米，△ADC的面积是20平方厘米，BE=3AE，求△BDE 的面积。
1. 如下图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求△ABC的面积。
2. 如下图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且平行四边形的面积为54平方厘米，求阴影部分的面积。
小学四年级奥数下册三角形的等积变形教案
三一文库（）/小学四年级〔小学四年级奥数下册三角形的等积变形教案〕小学四年级小学四年级奥数下册三角形的等积变形教案，供大家学习参考。
我们已经掌握了三角形面积的计算公式：# 三角形面积=底×高÷2# 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来#角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．# 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：# ①等底等高的两个三角形面积相等．# ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．# ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．# #，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．#同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．#例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．#例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．###。
三角形等积变形
例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
解法1：连结BD，在△ABD 中 ∵ BE=3AE， ∴ S△ABD=4S△ADE=4 （平方厘米）． 在△ABC中，∵CD=2AD， ∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12 （平方厘米）．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的 重要依据．
方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD， 得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等 积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以 而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、 △DCE、△ADE等积．
例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成 三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4．
三角形等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决 于三角形底和高的乘积．
①等底等高的两个三角形面积相等．
例如在右图中，若△ABD与 △AEC的底边相等 （BD=DE=EC=BC） ，它们所对的顶点同为A点， （也就是它们的高相等） 那么这两个三角形的面积 相等． 同时也可以知道△ABC 的面积是△ABD或 △AEC面积的3倍．
证明：∵△ABC与△DBC等 底等高， ∴S△ABC=S△DBC 又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC S△DOC=S△DBC— S△BOC ∴S△AOB=S△COD．
例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形
分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二 是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角 形等积变形的方法，如右图， 把顶点A移到CB的延长线上的A′处， △A′BD与△ABD面积相等，从而 △A′DC面积与原四边形ABCD面积也 相等．这样就把四边形ABCD等积地 改成了三角形△A′DC．问题是A′位 置的选择是依据三角形等积变形原 则．过A作一条和DB平行的直线与 CB的延长线交于A′点． 解：①连结BD； ②过A作BD的平行线，与CB的 延长线交于A′． ③连结A′D，则△A′CD与四边形 ABCD等积．
人教版小学四年级数学第4讲：等积变形(学生版)
第4讲 等积变形1、三角形的面积=21底边长 高;所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；反之亦然。
2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。
3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。
4、在等底等高的情况下，三角形面积是平行四边形面积的一半；5、底边之和等于平行四边形的一边，且高相等的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半；6、高之和等于平行四边形的高，且分别以这条高的两边为底的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半。
1、灵活运用三角形和四边形的面积公式2、掌握三角形的等积变形技巧例1:如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE 的面积是多少？A BEC例2：正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？ FE C例3：图中三角形AOB 的面积为15平方厘米,线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积。
例4：如下图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F,若三角形ADE 的面积为1，求三角形BEF 的面积。
ED A F例5：如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？ADEB C例6： A E D ArrayB C如图所示，长方形ABCD的长是12厘米，宽是8厘米，三角形CEF的面积是32平方厘米，则OG是多少厘米？1、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD 面积相等．2、如图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．3、如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=4、如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．5、如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．6、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S △ADE=1，求△BEF的面积．1、如右图，AD DB=，AE EF FC==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC∆的面积是平方厘米．A2、图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？BC3、如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果24AB=厘米，8BC=厘米，求三角形ZCY的面积．ABC DZ Y4、如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA5、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．6、右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．A（不用添加内容，也不做修改）1、如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．2、如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．F BA3、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是．EGCB4、在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．5、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。
专题 三角形中的重要模型-等积模型(学生版)
专题07三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。
本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB //CD 。
图1图2图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BE ∶CF 。
A ．4B ．3C ．2的边，则阴影部分的面积是（A．9B．12八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积．=，连接DA．若(1)如图2，延长ABC的边BC到点D，使CD BC的代数式表示）；=(2)如图3，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD BC则2S=（用含a的代数式表示）；=，连接FD，FE，得到(3)在图3的基础上延长AB到点F，使BF AB上，当点模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系如图1，结论：①1243::S S S S =或1324S S S S ⨯=⨯；②()()1243::AO OC S S S S =++。
梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系如图2，结论：①2213::S S a b =；②221324::::::S S S S a b ab ab =；③梯形S 的对应份数为()2a b +。
一、三角形的等积变形
一、三角形的等积变形①等底等高的两个三角形面积相等。
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等。
③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
【例1】如右图，已知在△ABC中，BE＝3AE，CD＝2AD。
若△ADE的面积为1平方厘米。
求三角形ABC的面积。
二、鸟头模型在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则S△ABC∶S△ADE＝(AB×AC)∶(AD×AE)【例2】如图，三角形ABC的面积是308，D，E，F分别为三角形三边上的点。
其中AD∶CD＝5∶3，BF∶CF ＝4∶7，AE∶BE＝1∶6。
问：阴影部分的小三角形的面积是多少？必备几何模型【例3】如图，三角形两边上的点都是各边上的五等分点。
问：阴影部分与空白部分的面积比为多少？三、相似三角形性质(沙漏模型)：①AD AE DE AF AB AC BC AG ===②S△ADE∶S△ABC＝AF2∶AG2所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；【例4】如图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE＝1，求△BEF的面积。
四、蝴蝶模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)①S1×S3＝S2×S4②AO∶OC＝(S1＋S2)∶(S4＋S3)①S1∶S3＝a2∶b2②S1∶S2∶S3∶S4＝a2∶ab∶b2∶ab③梯形面积S的对于份数是(a＋b)2【例5】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E、F是BC边上的三等分点，求阴影部分的面积。
小升初之三角形等积变形
A三 角 形 等 积 变 形1、等积形：面积相等的两个图形称为等积形。
2、三角形的等积变形。
三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换。
3、三角形面积计算公式。
S ∆ = 底⨯高÷ 24、三角形等积变形中惯用到的几个重要结论。
（1） 平行线间的距离到处相等。
（2） 等底等高的两个三角形面积相等。
（3） 底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的顶点是同一种，这样的两个三角形面积相等（4） 若两个三角形的高（或底）相等，其中一种三角形的底（或高）是另一种三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一种三角形面积的几倍。
（5） 若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同始终线上，并且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等。
分别作出下面三个三角形各边上个高，并对应指出。
（如：BC 边上的高是 AD ）ACB CCBAEE E典型例题：例 1、∆ABC 中，D 是BC 边中点，连接 AD ， ∆ABC 与∆ACD 的面积有什么关系？B D E C例 2、三角形 ABC 中，BD=DC ，AE=2BE ，已知△ACD 的面积是 60 平方厘米，求阴影部分的面积。
ABDC例 3、在三角形 ABC 中（如图），DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的面积是 20 平方厘米。
求三角形 ABC 的面积。
BDC例 4、长方形 ABCD 的面积是 16 平方厘米,E 、F 分别为 AD 、DC 边上的中点，求阴影部分的面积．ADFBCEBO例 5、以下图，图中 BO=2DO ，阴影部分的面积是 10 平方厘米，求梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ADBC知识反馈：1、思考：已知平行四边形的底是 16 厘米，高是底的二分之一，求阴影部分的面积。
2、如图所示 CD=2BD ，△ABC 中的面积为 6，求△ACD 的面积是多少？ABDC3、已知三角形 ABC 面积为 8，2BD=AB ，BE=CE ，求三角形 DBE 的面积？DCA4、平行四边形 ABCD 的面积是 32 平方厘米,E 、F 分别为 AD 、DC 边上的中点，求阴影部分的面积．AFEADO5、图中 CD ＝3BD ， ∆ABD 的面积为 2，求∆ABC 的面积是多少？ABDC6、如图，在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E 、F 是 AC 的三等分点。
小学奥数——三角形的等积变形(附答案)
小学奥数三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底乂高十2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积•如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）.同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）•这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的土则三角形面积与原来的一样.这就是说’ 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状•本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系.为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等.②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等.③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.例如在右圈中，若A ABD与/XAEC的底边相等（KD=DE=EC=|BC）3，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等.同时也可以知道厶ABC的面积是厶ABD或△ AEC面积的3倍.例如在右图中，△ ABC与△ DBC的底相同（它们的底都是BC，它所对的两个顶点A D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等.例如右图中，△ ABC与△ DBO的底相同（它们的底都是BC , △ ABC的高是△ DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD有AH=2DE，则△ ABC的面积是厶DBC W积的2倍.上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据.例1用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.方跑如右圏，将EC边四尊分（EDJEPAFC詁玩）・连结AD、AL. AF.则△AED. “ADE、ZXAEF. AAF洋积.方法2:如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD,得到两个等积三角形，即△ ABD M^ ADC等积.然后取AC AB中点E、F,并连结DE DF.以而得到四个等积三角形，即△ADF △ BDF △DCE △ ADE等积.方法如右耳先将EC四等分，即BD=yBC,连结AD,再将AD三等分，即AE二EF = FD二扣，连结CE* CF,从而得到四个等积的三诵形,即公ABD< ACDF, △CEE △ACE等积.例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1 : 3: 4.方法1 :如下左图，将BC边八等分，取1 : 3 : 4的分点D E,连结AD AE,从而得到厶ABD△ ADE △ AEC的面积比为1 : 3 : 4.方法厶如上右图，先取EC中点D再取AE的+分点E,连结AD*DE 从而得到三个三角形：△ ADE △ BDE △ ACD其面积比为1 : 3 : 4.方法玉如右图，先取AB中点D,连结CD,再取B上扌分点E,连^ AE,从而得到三个三角形［△AGE. △ABE、△BCD耳面积比为1 ： 3：4 +当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决.例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点0,求证：△COD面积相等.证明：•••△DBC等底等高，••• S A ABC=S\ DBC又••• S △AOB=S\ ABC-S A BOCS △DOC=^ DBC- S A BOC• S A AOB=S\ COD例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等•我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A'处，△ A' BD与△ ABD面积相等，从而△ A DC面积与原四边形ABCD 面积也相等•这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△ A' DC问题是A'位置的选择是依据三角形等积变形原则•过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A'点.解：①连结BD②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A'.③连结A'。
三角形的等积变形
年级四年级学科奥数版本通用版课程标题三角形的等积变形（一）编稿老师李允一校林卉二校张琦锋审核张舒这节课，我们一起来学习三角形的等积变形，它是几何问题中在求直线型面积时，很重要的一个部分，下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。
三角形面积的计算公式：S＝底×高÷2三角形面积、底和高之间的关系：从公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；①当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。
②当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。
一个三角形的面积变化与否取决于它的底和高的乘积，而不仅仅取决于底或高的变化。
③一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。
重要结论：①等底等高的两个三角形面积相等。
②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
③若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
例1如图，在△ABC中，D是BC边上一点，BD＝12厘米，DC＝4厘米。
（1）求△ABC的面积是△ABD面积的多少倍；（2）求△ABD的面积是△ADC面积的多少倍。
分析与解：因为△ABD、△ABC和△ADC分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是过A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
因为，12＋4＝16，16÷12＝34，所以△ABC 的底是△ABD 的底的34倍，所以，△ABC 的面积是△ABD 面积的34倍；同理，因为12÷4＝3，所以△ABD 的面积是△ADC 面积的3倍。
巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数＝底边长的倍数。
第二讲等积变形
第二讲 等积变形四年级暑假时，我们学过一讲四边形中的基本图形。
在那讲我们简单地认识了一些四中的一半模型，今天，将继续我们的模型学习——等级变换模型。
一、常见一半模型复习二、本讲知识点概括1、顶点相同、底边共线的两个三角形面积关系△ABD 与△ADC 的顶点都是A ，底边BD 、BC 在一条线上，则两个三角形的高是相同的。
那么我们可以得到：△ABD 与△ADC 的倍比关系与底边BD 与DC 的倍比关系相同。
例：DC=2BD,则△ADC=2 △ABD 。
2、平行线中的等积变形△ABC 、△DBC 、△EBC 的形状不同，但是面积都是形同的。
（1）三个三角形的底边形同，都是BC.（2）平行线之间，则三个三角形的高形同。
三、例题讲解例1、分析：此题就是平行线中等积变形的简单应用。
因为AF 与BD 为平行线，3个三角形共用一个底边，且BC=BD. 所以得到：B丙甲乙BEAC B例2、分析：3对，分别是：，，例3、分析：如图：梯形ABCD中若AE∥BC,则可得到平行四边形ABCE.那么在平行四边形ABCE 中的甲乙两个三角形满足一边模型。
则平行四边形ABCE面积可求。
梯形面积可求。
解题如下：2丙=20（平方厘米），丙=10（平方厘米）平行四边形面积=2（甲+乙）=2×20=40（平方厘米）梯形ABCD面积=平行四边形面积+丙=40+10=50（平方厘米）拓展练习：如图在梯形ABDE中，BC=CD=AE,F是CE的中点，△ABC的面积为6平方厘米，求梯形ABDE的面积？例4、（1）△ABC与△ABD都以A为顶点，底边BC、BD共线，且BC=BD，所以△ABD与△ADE都以D为顶点，底边AB、AE共线，且ABC=AE，所以所以拓展练习：（1）如图△ABC的面积为24平方厘米，E、F分别是AB和AC的中点，那么△EBF的面积是多少平方厘米？提示：找顶点相同，底边共线的三角形，利用底边的倍比关系求解。
三角形的等积变形
三角形的等积变形咱们来聊聊三角形的等积变形，这可是个有趣又神奇的数学知识！不知道你有没有注意过，我们住的房子的屋顶，有很多就是三角形的。
我记得有一次去一个古镇游玩，看到那些古色古香的建筑，其中有一座老房子的屋顶就是特别标准的三角形。
当时我就想，这三角形的面积到底是怎么算的呢？后来学到三角形的等积变形，才恍然大悟。
先来说说三角形的面积公式，大家都知道是“底×高÷2”。
可这简单的公式里，藏着好多有趣的秘密呢！比如说，两个三角形，如果它们的底和高分别相等，那它们的面积就相等。
这就好像两个双胞胎，长得一模一样，大小也一样。
那什么是三角形的等积变形呢？简单来说，就是在保持面积不变的情况下，改变三角形的形状。
这就好比我们捏橡皮泥，虽然形状变了，但是体积不变。
给大家举个例子吧。
有一个三角形，底是 6 厘米，高是 4 厘米，那它的面积就是 6×4÷2 ＝ 12 平方厘米。
现在呢，我们把底变成 8 厘米，那高就得变成 3 厘米，因为 8×3÷2 还是等于 12 平方厘米。
你看，形状变了，面积却没变。
再比如，我们有一块三角形的菜地，想重新规划一下，但是又不想改变它的种植面积。
这时候，就可以用到三角形的等积变形啦！把底变长一点，高就相应变短一点；或者底变短了，高就得变长，这样就能在不改变面积的情况下，满足我们的规划需求。
在做数学题的时候，三角形的等积变形也特别有用。
比如说，有一道题给出了一个三角形的面积和一条边的长度，让我们求这条边上的高。
这时候，我们就可以先根据面积公式求出原来的高，再通过等积变形求出新的高。
还有哦，在生活中也能用到三角形的等积变形呢。
我有一次帮妈妈做手工，要剪一个三角形的卡片。
妈妈说卡片的面积不能太大也不能太小，我就通过不断调整三角形的底和高，做出了让妈妈满意的卡片。
总之，三角形的等积变形就像是一个神奇的魔法，能让我们在不改变面积的情况下，变出各种各样的三角形。
三角形等积变形
三角形等积变形在数学的奇妙世界里，三角形的等积变形就像是一场神奇的魔术表演。
它看似简单，却蕴含着无尽的智慧和乐趣。
咱们先来说说三角形的面积公式，那就是“面积＝底×高÷2”。
可别小看这个公式，它可是三角形等积变形的核心秘诀！想象一下，有一天我在教室里给孩子们讲三角形等积变形的知识。
我拿着一个三角形的卡片，在黑板上比划着。
有个小朋友瞪着大眼睛，一脸疑惑地问我：“老师，这到底是怎么变的呀？”我笑着回答：“别着急，咱们一起来探索这个神奇的魔法。
”咱们就拿一个普通的三角形来说吧，假如它的底是 6 厘米，高是 4厘米，那它的面积就是 6×4÷2 ＝ 12 平方厘米。
那如果我把底变成 3 厘米，要想面积不变，高就得变成 8 厘米。
这就像是在玩跷跷板，这边低了，那边就得高起来，才能保持平衡。
再比如说，有两个三角形，它们看起来形状不太一样，但底和高的乘积相等，那它们的面积也就相等啦。
这就好比两个不同身材的人，只要体重和身高的比例一样，那他们的健康指数可能就差不多。
我记得有一次，我给孩子们布置了一个作业，让他们回家自己动手用卡纸剪出不同形状的三角形，然后通过改变底和高，看看能不能得到面积相等的三角形。
第二天上课的时候，有个小朋友特别兴奋地跑过来跟我说：“老师，我发现啦，我把三角形的底剪短，然后把高延长，面积真的不变呢！”看着他那充满成就感的小脸，我心里别提多开心了。
还有啊，在实际生活中三角形等积变形也有大用处呢！比如说，工人师傅要搭建一个三角形的架子，如果材料有限，但是又要保证面积不变，就可以通过改变底和高的长度来实现。
咱们再深入一点，多个三角形组合在一起，也能玩出等积变形的花样。
就像拼图一样，把几个三角形拼在一起，通过巧妙地调整，也能得到面积相等的不同组合。
总之，三角形的等积变形就像是一个充满惊喜的宝藏，只要我们用心去探索，就能发现其中无尽的奥秘和乐趣。
希望同学们都能像勇敢的探险家一样，在这个数学的世界里勇往直前，发现更多的精彩！所以呀，同学们，以后再遇到三角形等积变形的问题，可别害怕，只要记住那个简单的面积公式，再加上咱们的聪明才智，就能轻松应对啦！。
四年级上册数学几何专题讲义(共6讲)-第5讲 三角形的等积变形 全国通用(含答案)
知识要点三角形的等积变形我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。
但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。
比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样。
这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。
同时也告诉我们：面积相同三角形有无数多个不同的形状。
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ① 等底等高的两个三角形面积相等。
② 若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么ACD BCD S S ∆∆=；反之，如果ACD BCD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD 。
ACDB等底等高【例 1】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与ABE ∆等积的三角形一共有哪几个三角形？EABDC【分析】 3个，AEC ∆、BED ∆、DEC ∆ 。
【例 2】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。
HFFD H【分析】 连接BH 、CH ，AEH BEH AE EB S S ∆∆=∴=同理，BFH CFH CGH DGH S S S S ∆∆∆∆==，，256228阴影长ABCD S S ∴=÷=÷=（平方厘米）【例 3】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC ∆等积的三角形一共有哪几个三角形？ABCEDF【分析】 AEC ∆、AFC ∆、ABF ∆。
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知识要点三角形的等积变形我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。
但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。
比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样。
这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。
同时也告诉我们：面积相同三角形有无数多个不同的形状。
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ① 等底等高的两个三角形面积相等。
② 若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么ACD BCD S S ∆∆=；反之，如果ACD BCD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD 。
ACDB等底等高【例 1】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与ABE ∆等积的三角形一共有哪几个三角形？EABDC【例 2】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。
HBD F【例 3】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC ∆等积的三角形一共有哪几个三角形？ABCEDF【例 4】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果ADE ∆的面积为4平方厘米。
求三角形CDF 的面积。
FABCDE高相同，看底【例 5】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长。
（1）求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？（2）求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？DCBA【例 6】如图，三角形ABC中，2DC BD=，3CE AE=，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？ABEC D【例 7】如图，在三角形ABC中，8BC=厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？E FCBA【例 8】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。
求：三角形DEF 的面积。
D AEB FC【例 9】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE （图中阴影部分)的面积为8平方厘米。
平行四边形的面积是多少平方厘米？FEDCBA【例 10】 （2008陈省身杯国际青少年数学邀请赛五年级）如图,ABCE 是一个平行四边形，ADE 是一个直角三角形，它们组合成了梯形ABCD 。
如果这个梯形的上底、下底和高分别为2cm 、5cm和4cm ，则图中阴影部分的面积是 2cm 。
FB底相同，看高【例 11】 如图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米。
求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？CDEBA借助辅助线【例 12】 （北京市第四届“迎春杯”赛）如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？EDC BA【例 13】 如图，三角形ABC 被分成了甲、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E CBA【例 14】 ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则图中阴影部分的面积为＿＿＿平方厘米。
【例 15】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB AMFEDCBAN【例 16】 如图所示，四边形ABCD 的面积是1平方厘米，AB AE =、BC BF =、DC CG =、AD DH =，求四边形EFGH 的面积。
HG FED C BA【例 17】 如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长为BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？GADBCE F【例 18】（07年迎春杯初赛试题）如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 面积是多少平方厘米？852O FEDCBA【例 19】 （第四届《小数报》数学竞赛）如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分。
三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米。
已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米。
求梯形ABCD 的面积。
AB CD【例 20】如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN BN=。
那么，阴影部分的面积是多少？N【例 21】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？FEB【例 22】两个正方形如图排列，面积相差60，求阴影部分梯形面积。
A【例 23】（2005年浙江省小学数学竞赛）如图所示，已知正方形ABCD的边长为10厘米，2EC BE=⨯,那么，图中阴影部分的面积是________平方厘米。
E D CB A【例 24】如图，正方形ABCD 的面积为1平方厘米，:2:1BEG CEG S S ∆∆=，:1:1CFG DFG S S ∆∆=，那么这四个小三角形面积之和________。
GFECABD【例 25】如图，3BE BC =,4CD AC =，那么，ABC ∆的面积是AED ∆面积的________倍。
CB【例 26】 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于E ，且AF CE =，BG DE =，如果四边形ABCD 面积是1，求EFG ∆的面积？DGABCE F其他【例 27】 （2009年3月15日第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第19题）如图，边长为4cm 的正方形将边长为3cm 的正方形遮住了一部分，则空白部分的面积的差等于2_______cm 。
4cm3cm【例 28】如图，已知四边形的两条边的长度和三个角的角度，那么这个四边形的面积是多少？7345°【例 29】 （2009年12月20日第十届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级选拔赛第二（4）题）如图，甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是4厘米、6厘米、8厘米。
乙的一个顶点在甲的中心点上，丙的一个顶点在乙的中心点上，并且甲和丙没有交集。
这三个正方形的覆盖面积是多少？丙乙甲【例 30】下图正方形ABCD 边长是10厘米，长方形EFGH 的长为8厘米，宽为5厘米。
阴影部分甲与 阴影部分乙的面积差是_______平方厘米。
HGFEDC BA乙甲一课一练【练习1】 如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？OABCD【练习2】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（ ）平方厘米。
【练习3】 （2003年3月30日第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第4题）如图，将一个三角形（有阴影的）的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的_______倍。
a ba ba【练习4】 如图，三角形ABC 的面积是36，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点。
求：三角形DEF的面积。
DAEBFC【练习5】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF ，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为10平方厘米。
平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米?【练习6】 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCB A补充【补充1】（2008陈省身杯国际青少年数学邀请赛五年级）如图,在三角形ABC中，CD的长是BD长的2倍，E是AC的中点，则三角形ABC的面积是三角形ADE面积的倍。
ED CBA【补充2】如图，把四边形ABCD改成一个与ABCD等积的三角形。
DCBA【补充3】如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。
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