小学奥数 5-3-3 质数与合数(三).教师版
(完整版)小学奥数-质数与合数
质数与合数例1 :判断269 , 437两个数是合数还是质数。
分析与解：对于一个不太大的数N，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平方数K2，再写出K以内的所有质数。
如果这些质数都不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中有一个能整除N，那么N是合数。
因为269 V 172=289。
17 以内质数有2 , 3, 5, 7, 11 , 13。
根据能被某些数整除的数的特征，个位数是9，所以269不能被2, 5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。
经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，所以269是质数。
因为437 V 212=441。
21 以内的质数有2, 3 , 5, 7, 11 , 13 ,17 , 19。
容易判断437不能被2 , 3 , 5, 7, 11整除，用13 , 17 , 19试除437 ,得到437 -19=23，所以437是合数。
对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例2的方法的优越性。
判别269 ,用2〜268中所有的数试除，要除267个数；用2〜268中的质数试除，要除41个数；而用例2的方法，只要除6个数。
527 275 373 393 573 537例2判断数1111112111111是质数还是合数?分析与解：按照例2的方法判别这个13位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。
根据整数的意义，这个13位数可以写成：1111112111111=1111111000000+1111111=1111111X（1000000+1）=1111111X 1000001。
由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111 是合数。
这道例题又给我们提供了一种判别一个数是质数还是合数的方法。
例3判定298+1和298+3是质数还是合数？分析与解：这道题要判别的数很大，不能直接用例1、例2的方法。
【奥赛】小学数学竞赛：乘除法数字谜(二).教师版解题技巧 培优 易错 难
数字谜是杯赛中非常重要的一块，特别是迎春杯，数字谜是必考的，一般学生在做数字谜的时候都采用尝试的方式，但是这样会在考试中浪费很多时间．本模块主要讲乘除竖式数字谜的解题方法，学会通过找突破口来解决问题．最后通过例题的学习，总结解数字谜问题的关键是找到合适的解题突破口．在确定各数位上的数字时，首先要对填写的数字进行估算，这样可以缩小取值范围，然后再逐一检验，去掉不符合题意的取值，直到取得正确的解答．1. 数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．2. 数字谜突破口：这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则，数的性质（和差积商的位数，数的整除性，奇偶性，尾数规律等）来进行正确的推理，判断．3. 解数字谜：一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口．推理时应注意： ⑴ 数字谜中的文字，字母或其它符号，只取0~9中的某个数字； ⑵ 要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；⑶ 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字； ⑷ 数字谜解出之后，最好验算一遍．模块一、与数论结合的数字谜 （1）、特殊数字【例 1】 如图，不同的汉字代表不同的数字，其中“变”为1，3，5，7，9，11，13这七个数的平均数，那么“学习改变命运”代表的多位数是 ．1999998⨯学习改变命运变 【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第9题 【解析】 “变”就是7，19999987285714÷= 【答案】285714【例 2】 右边是一个六位乘以一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，其中的六位数是______ 。
例题精讲知识点拨教学目标5-1-2-3.乘除法数字谜（二）杯小9望99999×赛赛希学【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，20题 【解析】 赛×赛的个位是9，赛=3或7，赛=3，小学希望杯赛=333333，不合题意，舍去；故赛=7，小学希望杯赛=999999÷7=142857【答案】142857【例 3】 右面算式中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，问A 和E 各代表什么数字？E AEDEEEEE×3CB【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3星 【题型】填空【解析】 由于被乘数的最高位数字与乘数相同，且乘积为EEEEEE ,是重复数字根据重复数字的特点拆分，将其分解质因数后为：=37111337EEEEEE E ⨯⨯⨯⨯⨯，所以3A =或者是7A =①若A ＝3，因为3×3＝9，则E ＝1，而个位上1×3＝3≠1，因此，A≠3。
【同步配套】北京版五年级下册数学同步说课稿-3.4 质数与合数
【同步配套】北京版五年级下册数学同步说课稿-3.4 质数与合数一、教学背景在小学数学中，质数和合数是一个非常基础的知识点，也是数论中的一个重要概念。
在五年级下册数学中，我们要求学生掌握质数和合数的概念，并能够进行判断。
在做数学题目的过程中，这个概念也是一个非常有用的工具。
二、教学目标1. 知识目标•了解质数和合数的定义及特点•掌握质数和合数的判断方法•能够在数学计算中运用质数和合数的概念2. 能力目标•能够辨别一个数是不是质数或合数•能够在解题过程中灵活运用质数和合数的概念3. 情感目标•培养学生对数学学科的兴趣•培养学生对数学思维的积极性和主动性三、教学内容本次教学内容为“质数和合数”。
1. 质数的定义•只能被1和自己整除的数叫做质数。
•最小的质数是2。
2. 合数的定义•在大于1的整数中，不是质数的数叫做合数。
3. 判断质数和合数的方法•用2到这个数的平方根之间的数去除，如果都不能整除，就是质数。
•如果这个数能被2整除，一定不是质数，如果不能被2整除，再用3、5、7……去除，如果都不能整除，就是质数。
•如果这个数既不是2的倍数，也不是3、5、7……的倍数，那就是合数。
4. 质数和合数的特点•0、1不是质数也不是合数。
•除2以外的偶数都是合数。
•只有1个质因数的合数叫做“无平方因子的合数”。
•除数中质因数有妙用，如筛法求素数和最大公因数。
四、教学重点和难点1. 教学重点•理解质数和合数的定义及特点。
•掌握判断质数和合数的方法。
2. 教学难点•能够在实际问题中应用质数和合数的知识。
五、教学方法本次教学以讲授和演示为主，通过示范、讲解和提问等多种教学方法，让学生逐步掌握质数和合数的概念及其判断方法，并能在实际问题中进行应用。
六、教学过程1. 导入环节（5分钟）1.引入质数和合数的概念。
2. 讲解和演示（20分钟）1.讲解质数和合数的定义及特点。
2.演示判断质数和合数的方法。
3. 练习和讨论（20分钟）1.练习判断一组数中的质数和合数。
五年级上册数学教案-3.5《找质数(认识质数.合数)》 ｜北师大版
五年级上册数学教案－3.5《找质数（认识质数.合数）》｜北师大版一、教学目标1.认识质数和合数的概念，掌握判断质数和合数的方法。
2.能够用分解质因数的方法进行数的分解和判断质数、合数。
3.了解质因数分解在数的计算中的应用。
二、教学重点1.认识质数和合数的概念，掌握判断质数和合数的方法。
2.能够用分解质因数的方法进行数的分解和判断质数、合数。
三、教学难点1.了解质因数分解在数的计算中的应用。
四、教学过程1. 导入（5分钟）教师使用物质、图像、数字等多种载体，设计情境导入，让学生感受到质数和合数之间的不同。
2. 检查上节课作业（10分钟）让学生展示上节课作业的答案，并对有疑问的题目进行讲解。
3. 讲授新知（35分钟）1）认识质数教师通过多个例子，让学生了解质数的定义和基本特征。
2）认识合数再通过例子，让学生了解合数的定义和基本特征。
3）区分质数和合数教师设计质数和合数的分类表，让学生尝试进行分类，并加深对质数和合数的理解。
4）寻找质数和合数教师通过课堂练习，让学生学会寻找质数和合数的方法。
5）用分解质因数的方法判断质数和合数通过试题让学生掌握这一方法，并了解到质因数分解在数的计算中的应用。
4. 练习（30分钟）让学生进行练习，巩固所学内容。
5. 拓展（10分钟）老师让学生自主探究质数和合数在生活中的应用，并进行讨论。
五、课堂小结（5分钟）让学生回顾本节课学到的知识点，进行小结。
六、作业布置（5分钟）老师让学生进行相应作业，巩固所学内容。
七、板书设计1.认识质数2.认识合数3.区分质数和合数4.寻找质数和合数5.用分解质因数的方法判断质数和合数八、教学反思本节课充分利用多种教学方法，如物质教具、图像、数字等，让学生更直观、深入地了解并体验质数和合数的概念、分类和判断方法，同时在板书设计上也充分展现了重点难点梳理和教学安排的合理性，能够提高学生对质数、合数概念的掌握程度。
五年级奥数解析5.质数和合数
小学奥数教案---质数与合数与质数有关的构造问题，通过分解质因数求解的整数问题．1、有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．【分析与解】例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，电就是说它们都不是质数．评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是……，我们注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被2、3、4、…、(n+1)整除，它们是连续的n个合数．其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n．2、从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12．【分析与解】我们知道12是2、3的倍数，如果开始的质数是2或3，那么后一个数或与12的和一定也是2或3的倍数，将是合数，所以从5开始尝试．即23有5、17、29、41、53是满足条件的5个质数．3．9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个?【分析与解】大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9个连续的自然数中最多只有5个奇数，它们的个位应该为1，3，5，7，9．但是大于80且个位为5的数一定不是质数，所以最多只有4个数．验证101，102，103，104，105，106，107，108，109这9个连续的自然数中101、103、107、109这4个数均是质数．也就是大于80的9个连续自然数，其中质数最多能有4个．4. 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数?【分析与解】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这6个质数．5．3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为多少?【分析与解】设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为1a、1b、1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a×b×c，求和得到的分数为Fabc,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积．现在和为16611986，分母1986=2×3×331，所以一定是a=2，b=3，c=331，检验满足．所以这3个质数的和为2+3+331=336．6．已知一个两位数除1477，余数是49．求满足这样条件的所有两位数．【分析与解】有1477÷除数=商……49，那么1477-49：除数×商，所以，除数×商=1428=2×2×3×7×17．一般情况下有除数大于余数．即除数大于49且整除1428，有84、51、68满足．所以满足题意的两位数有51、68、84．7．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少?【分析与解】有140=2×2×5×7，因为这些分数的分子与分母的乘积均为140，当分母越大时，分子越小，所以对应的分数也越小．有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1；对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140；对应分数从小到大依次为而1140、270、435、528、720、1014、1410、…其中第三个最简真分数为．8．某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?【分析与解】这个学校最少有35+14×30=455名师生，最多有35+14×45=665名师生，并且师生总人数能整除1995．1995=3×5×133，在455～665之间的约数只有5×133=665，所以师生总数为665人，则平均每人捐款1995÷665=3元．9．在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?【分析与解】1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，一一验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足．当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39=1755．当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24=1800．所以原来的积为1755或1800．10.已知两个数的和被5除余1，它们的积是2924，那么它们的差等于多少?【分析与解】2924=2×2×17×43=A×B，且有A+B被5除余l，则和的个位为1或6．有4×17+43=68+43=11l，也就是说68、43为满足题意的两个数．它们的差为68-43=25．11．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少?【分析与解】1764=2×2×3×3×7×7，1764对应为5个小于10的自然数乘积．只能是1764=4×3×3×7×7=2×6×3×7×7=2×2×9×7×7=1×6×6×7×7=1×4×9×7×7对应的和依次为4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28．对应的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7，乙的5箭环数为1、4、9、7、7．所以甲的总环数为24，乙的总环数为28．12．在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?【分析与解】如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209．ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19．当a=11时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则c+b=2+17;当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9，b为9不是质数，所以不满足题意．所以它们的乘积为11×2×17=374．13.一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，而34最接近39270，39270的约数中接近或等于34的有35、34、33，有34×34×34即333×34×35=39270．所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．则长方体的表面积为：2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)．方法二：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足．当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34接近的数32～36中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度．而39270的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为33×34×35．长方体的表面积为2×(3927033+3927034+3927035)=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米)．14．一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?【分析与解】我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如3个数的积为18，则三个数为2、3、3时和最小，为8．1998=2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好．有2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数最接近．它们的和为6+9+37=52(厘米)．15．如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少?【分析与解】4875=3×5×5×5×13，有a×b为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为39-25=14．评注：由上题可推知，当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大，所以两个和为64的数的乘积最大为32×32=1024，而积最小为1×63=63．而4875在64～1024之间的约数有65，195，325，375，975等．我们再对65，195，325，375，975等一一验证．严格的逐步计算，才不会漏掉满足题意的其他的解．而在本题中满足题意的只有39、25这组数．练习一、填空题1. 在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____.2. 最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____.3．两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____.4. 在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立.□+□+□=505. 三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.6. 找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.7. 如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_____.8. 9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_____.9. 从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_____平方分米.10. 今有10个质数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.如果将它们分成两组,每组五个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有101的这组数从小到大排列,第二个数应是_____.二、解答题11．2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?12.把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等.13.学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法?14. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?。
小学奥数 质数合数
质数合数分解质因数一、质数与合数的概念自然数可以按约数（即因数）的个数进行分类：①质数：只能被1和自身整除的自然数叫质数，即质数只有两个约数（即因数）：1和它本身。
如2、3、5等②合数：除了能被1和自身整除外，还有能被其他整数整除的自然数叫合数，即，合数的约数（即因数）多于2个，除了1和它本身外，还有别的约数（即因数）。
如4、6、8等等③1 1不是质数也不是合数。
既不是质数也不是合数的自然数只有1注意：1不能质数也不是合数2是最小的质数，也是质数中唯一的偶数4是最小的合数100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
二、质数与合数的应用例1．3个质数的和是80，这3个质数的积最大是多少？解析：由于3个数的和是偶数，所以这3个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以3个数中一定有2。
另两个质数的和是78，要使乘积最大，这两个质数应该相差尽可能小，显然，和是78的两个质数，41和37的差最小，即这两个数的积是最大。
2×37×41=3034这3个质数乘积最大是3034。
例2．一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后，仍是一个两位质数，我们称这样的两位质数为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和等于多少？解析：设“无暇质数”为ab，那么ba也是质数因此，a、b无为奇数，容易检验，“无暇质数”分别是11、13、17、31、37、71、73、79、97共9个所以，它们的和=11+13+17+31+37+71+73+79+97=429例3．正方体纸盒的每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写的两数之和都相等。
若18对面所写的质数是a，14对面所写的质数是b，35对面所写的质数是c，那么a+b+c=？解析：由题意可知18+a=14+b=35+c，要想等式成立，a、b、c 的奇偶性应分别为奇、奇、偶或偶、偶、奇。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第3讲-质数与合数
第3讲质数与合数小高在做数学题的时候发现一个奇怪的现象：不同的两个乘法算式的结果有时是相同的相同。
比如4×9＝6×6，7×6＝14×3。
可是这是为什么呢？质数：除了1和它本身没有其他的约数。
合数：除了1和他本身还有其他的约数。
1既不是质数也不是合数2222329439,24 ⨯=⨯==，所以我们知道2232323266326⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=，所以而6694⨯=⨯所以【例1】导引拓展篇第1题一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数．11 13 17 19 31 37 71 73 79 972是质数中唯一的偶数，末尾为5的质数只有5两位质数中出去十位为0、2、4、6、8、5的质数有 71391⨯=11 13 17 31 37 71 73 79 97【例2】导引拓展篇第2题9个连续自然数中，最多有多少个质数？2是质数中唯一的偶数23 4 5 6 7 8 9 10没有2最多五个奇数一定会有5的倍数出现5，那么一定会出现1或者99个连续自然数中，最多只有4个质数【例3】导引拓展篇第3题（1）两个质数的和是39，那么这两个质数的差是多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为40，那么这三个质数分别是多少？39为奇数，和为奇数的两个数相加只能是 偶数+奇数2+37 40=偶数+偶数+偶数40=偶数+奇数+奇数 40=2+7+31 三个质数分别是2、7、312是唯一的 偶质数【例4】导引拓展篇第4题请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）539；（3）373；（4）12660 32360235=⨯⨯2539711=⨯373是质数 212660235211=⨯⨯⨯ 所有的合数都能分解成几个质数相乘的形式接近数字A ，A 分解质因数时试到n 前面的所有质数 2n【例5】导引拓展篇第5题有一些最简真分数，分子与分母的乘积等于140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？ 最简分数的分子分母不能有公共的质因数，也就是说必须互质 1402257=⨯⨯⨯14011401→⨯354354→⨯285285→⨯【例6】导引拓展篇第5题在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小高把一个乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1104．那么原来的乘积可能是多少？11042222323 =⨯⨯⨯⨯⨯将质因数重新组合一下，凑成两个两位数110423(22223)2348=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯1104(232)(2223)4624=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯1104(233)(2222)6916=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯1104(2322)(223)9212=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯把数字8改回5，可得原来的乘积是：23×45=1035【例7】导引拓展篇第7题三个连续自然数的乘积等于39270．这三个连续自然数的和等于多少？3927023571117=⨯⨯⨯⨯⨯17234⨯=31133⨯=5735⨯=因此这三个自然数为33、34、35，和是102【例8】导引拓展篇第8题甲、乙、丙三人打靶，每人三枪．三人各自环数之积都是60，环数是不超过10．三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙，则靶子上4环的那一枪是谁打的？602235=⨯⨯⨯10 6 1（总环数17 环）10 2 3（总环数15 环）5 2 6（总环数13 环）5 4 3（总环数12 环）含有4环的为最低分，所以是丙打的【例9】导引拓展篇第9题975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？末尾0的个数由2和5的对数决定的9755539=⨯⨯9355187=⨯97222243=⨯⨯至少有4个2和4个5相乘22520⨯=末尾0的个数与3和5的个数有关，2和5成对出现【例10】导引拓展篇第10题（1）算式的计算结果，末尾有几个连续的0？（2）算式的计算结果，末尾有几个连续的0？【例11】导引拓展篇第11题请问：连续两个两位数乘积的末尾最多有几个连续的0？两个连续自然数中只能有一个含有质因数5而一个两位数至多只能含有2个质因数5两个连续自然数的乘积末尾最多有2个0【例12】导引拓展篇第12题把从1开始的若干个连续自然数1，2，3，…，乘到一起，如果已知这个乘积的末尾十三位恰好都是零，那么在相乘时最后出现的自然数最小是多少？5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，…1， 1， 1， 1， 2， 1， 1， 1， 1， 2，…因此我们所求的最后出现的自然数最小是55【例13】导引拓展篇第13题168乘以一个大于0的整数后正好是一个平方数，那么这个整数至少是多少？相乘之后的乘积是多少的平方？3168237=⨯⨯23742⨯⨯=342216842237237237⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯223784⨯⨯=平方数的质因数指数为偶【例14】导引拓展篇第14题（1）60乘以一个三位数，正好得到一个平方数，这三位数至少是多少？（2）72乘以一个三位数，正好得到一个立方数．这样的三位数一共有多少个？260235=⨯⨯215a ⨯2153135⨯=327223=⨯33a ⨯当a 等于4、5、6时符合条件 共有3个本讲知识点汇总一、质数：除了1和它本身没有其他的约数。
五年级下册数学教案-1.3 质数 合数 ︳西师大版
五年级下册数学教案-1.3 质数合数︳西师大版教学目标1.理解并运用质数、合数的概念。
2.能够辨别质数和合数。
教学重点1.质数和合数的定义及区别。
2.质数和合数的判断。
教学难点1.质数和合数的判断方法。
教学方法1.情景教学法2.课堂练习法3.合作学习法教学具体步骤Step1 引入教师拿出一些卡片，上面写有数字，其中有些数字是质数，有些数字是合数。
让学生分别将数字放到两个桶里：质数和合数。
Step2 讲解1.通过分桶的活动，引出质数和合数的概念。
2.讲解质数和合数的定义及区别：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，无法被其他自然数整除的数；合数是指能够被除了1和它本身以外的自然数整除的数。
3.通过观察卡片的数字，让学生进一步理解质数和合数的概念。
Step3 讨论教师让学生组成小组，讨论以下问题：1.质数有哪些？合数有哪些？2.如何区分质数和合数？Step4 练习1.教师出示一些数字，由学生判断是质数还是合数。
2.学生自主找出一些数字，归类为质数或合数。
Step5 巩固教师提供一些数字，学生在黑板上列出质数和合数的列表。
Step6 作业完成课堂练习本上的练习题。
教学反馈在课堂上，教师重点讲解了质数和合数的定义及区别，然后通过组织学生进行分组讨论和课堂练习来巩固所学知识。
最后，教师提供一些数字，让学生在黑板上列出质数和合数的列表，以此来检验学生的掌握程度。
在授课过程中，教师时刻着眼于学生的反应和表现，不断调整教学策略，使得学生能够更好地掌握质数和合数的概念和判断方法。
六年级下册数学试题-奥数专练：质数与合数(含答案)全国通用
小学奥数（含答案）质数与合数一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b＝c，即整数a除以整数b(b不等于0)，除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0)，我们就说，a能被b整除否则，称为a不能被b整除，(或b不能整除a)。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
一、自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。
质数：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)。
合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
二、质数与合数重要知识点⑴要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
⑵任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
⑶最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数；最小的合数是4。
⑷质数是一个数，是含有两个约数的自然数。
互质数是指两个数，是公约数只有1的两个数，组成互质数的两个数：可能是两个质数(3和5)，可能是一个质数和一个合数(3和4)，可能是两个合数(4和9)或1与另一个自然数。
⑸如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例1请找出100以内的所有质数。
例2若将17拆成若干个不同的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？例3将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？A＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( )今有17、23、31、41、53、67、79、83、101、103共10个质数。
如果把它们分成两组，使每一组5个数，并且每组的5个数之和相等，那么把含有101的这组数从小到大排列，第2个数是多少？从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12。
这样的数有几组？如果某整数同时具备如下三条性质：①这个数与1的差是质数，②这个数除以2所得的商也是质数，③这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。
五年级奥数解析5.质数和合数
小学奥数教案---质数与合数与质数有关的构造问题,通过分解质因数求解的整数问题．1、有人说："任何7个连续整数中一定有质数．"请你举一个例子,说明这句话是错的．[分析与解]例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除,电就是说它们都不是质数．评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的,翻质数表还是……,我们注意到<n+1>!+2,<n+1>!+3,<n+1>!+4,…,<n+1>!+<n+1>这n个数分别能被2、3、4、…、<n+1>整除,它们是连续的n个合数．其中n!表示从1一直乘到n的积,即1×2×3×…×n．2、从小到大写出5个质数,使后面的数都比前面的数大12．[分析与解] 我们知道12是2、3的倍数,如果开始的质数是2或3,那么后一个数即23或与12的和一定也是2或3的倍数,将是合数,所以从5开始尝试．有5、17、29、41、53是满足条件的5个质数．3．9个连续的自然数,它们都大于80,那么其中质数最多有多少个?[分析与解]大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数,于是奇数越多越好,9个连续的自然数中最多只有5个奇数,它们的个位应该为1,3,5,7,9．但是大于80且个位为5的数一定不是质数,所以最多只有4个数．验证101,102,103,104,105,106,107,108,109这9个连续的自然数中101、103、107、109这4个数均是质数．也就是大于80的9个连续自然数,其中质数最多能有4个．4. 用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字组成质数,如果每个数字都要用到并且只能用一次,那么这9个数字最多能组成多少个质数?[分析与解]要使质数个数最多,我们尽量组成一位的质数,有2、3、5、7均为一位质数,这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89,而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这6个质数．5．3个质数的倒数之和是16611986,则这3个质数之和为多少?[分析与解]设这3个质数从小到大为a、b、c,它们的倒数分别为1a、1b、1c,计算它们的和时需通分,且通分后的分母为a×b×c,求和得到的分数为Fabc,如果这个分数能够约分,那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积．现在和为16611986,分母1986=2×3×331,所以一定是a=2,b=3,c=331,检验满足．所以这3个质数的和为2+3+331=336．6．已知一个两位数除1477,余数是49．求满足这样条件的所有两位数．[分析与解]有1477÷除数=商……49,那么1477-49：除数×商,所以,除数×商=1428=2×2×3×7×17．一般情况下有除数大于余数．即除数大于49且整除1428,有84、51、68满足．所以满足题意的两位数有51、68、84．7．有一种最简真分数,它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列,那么第三个分数是多少?[分析与解] 有140=2×2×5×7,因为这些分数的分子与分母的乘积均为140,当分母越大时,分子越小,所以对应的分数也越小．有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1；对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140；对应分数从小到大依次为而1140、270、435、528、720、1014、1410、…其中第三个最简真分数为．8．某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师,14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数,那么平均每人捐款多少元?[分析与解]这个学校最少有35+14×30=455名师生,最多有35+14×45=665名师生,并且师生总人数能整除1995．1995=3×5×133,在455～665之间的约数只有5×133=665,所以师生总数为665人,则平均每人捐款1995÷665=3元．9．在做一道两位数乘以两位数的乘法题时,小马虎把一乘数中的数字5看成8,由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?[分析与解]1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口,其中某个口为8, 一一验证只有：1872=48×39,1872=78×24满足．当为1872=48×39时,小马虎错把5看成8,也就是错把45看成48,所以正确的乘积应该是45×39=1755．当为1872=78×24时,小马虎错把5看成8,也就是错把75看成78,所以正确的乘积应该是75×24=1800．所以原来的积为1755或1800．10.已知两个数的和被5除余1,它们的积是2924,那么它们的差等于多少?[分析与解]2924=2×2×17×43=A×B,且有A+B被5除余l,则和的个位为1或6．有4×17+43=68+43=11l,也就是说68、43为满足题意的两个数．它们的差为68-43=25．11．在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是"0"<脱靶>,或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭,每人5箭得到的环数的积都是1764,但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少?[分析与解]1764=2×2×3×3×7×7,1764对应为5个小于10的自然数乘积．只能是1764=4×3×3×7×7=2×6×3×7×7=2×2×9×7×7=1×6×6×7×7=1×4×9×7×7对应的和依次为4+3+3+7+7=24,2+6+3+7+7=25,2+2+9+7+7=27,1+6+6+7+7=27,l+4+9+7+7=28．对应的和中只有24,28相差4,所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7,乙的5箭环数为1、4、9、7、7．所以甲的总环数为24,乙的总环数为28．12．在面前有一个长方体,它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少?[分析与解]如下图,设长、宽、高依次为a、b、c,有正面和上面的和为ac+ab=209．ac+ab=a×<c+b>=209,而209=11×19．当a=11时,c+b=19,当两个质数的和为奇数,则其中必定有一个数为偶质数2,则c+b=2+17;当a=19时,c+b=11,则c+b=2+9,b为9不是质数,所以不满足题意．所以它们的乘积为11×2×17=374．13.一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数,它的体积是39270立方厘米,那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?[分析与解]方法一：39270=2×3×5×7×11×17,为三个连续自然数的乘积,而34×34×34即334最接近39270,39270的约数中接近或等于34的有35、34、33,有33×34×35=39270．所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．则长方体的表面积为：2×<长×宽+宽×高+高×长>=2×<33×34+34×35+35×33>=6934<平方厘米>．方法二：39270=2×3×5×7×11×17,为三个连续自然数的乘积,考虑质因数17,如果17作为长、宽或高显然不满足．当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立,再考虑质因数7,与34接近的数32～36中,只有35含有7,于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度．而39270的质因数中只剩下了3和1l,所以这个长方体的大小为33×34×35．长方体的表面积为2×<3927033+3927034+3927035>=2×<1190+1155+1122>=2×3467=6934<平方厘米>．14．一个长方体的长、宽、高都是整数厘米,它的体积是1998立方厘米,那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?[分析与解] 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时,它们相互越接近,和越小．如3个数的积为18,则三个数为2、3、3时和最小,为8．1998=2×3×3×3×37,37是质数,不能再分解,所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好．有2×3×3×3=6×9时,即1998=6×9×37时,这三个自然数最接近．它们的和为6+9+37=52<厘米>．15．如果两数的和是64,两数的积可以整除4875,那么这两个数的差等于多少?[分析与解]4875=3×5×5×5×13,有a×b为4875的约数,且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个数的和为64,所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为39-25=14．评注：由上题可推知,当两个数的和一定时,这两个数越接近,积越大,所以两个和为64的数的乘积最大为32×32=1024,而积最小为1×63=63．而4875在64～1024之间的约数有65,195,325,375,975等．我们再对65,195,325,375,975等一一验证．严格的逐步计算,才不会漏掉满足题意的其他的解．而在本题中满足题意的只有39、25这组数．练习一、填空题1. 在一位的自然数中,既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____.2. 最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____.3．两个自然数的和与差的积是41,那么这两个自然数的积是_____.4. 在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立.□+□+□=505. 三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.6. 找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.7. 如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_____.8. 9216可写成两个自然数的积,这两个自然数的和最小可以达到_____.9.从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_____平方分米.10.今有10个质数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.如果将它们分成两组,每组五个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有101的这组数从小到大排列,第二个数应是_____.二、解答题11．2,3,5,7,11,…都是质数,也就是说每个数只以1和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?12.把7、14、20、21、28、30分成两组,每三个数相乘,使两组数的乘积相等.13.学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法?14.四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以与油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?。
三年级数学奥数基础课程教案(30讲全)
小学奥数基础教程（三年级）第1讲加减法的巧算第2讲横式数字谜(一)第3讲竖式数字谜(一)第4讲竖式数字谜(二)第5讲找规律(一)第6讲找规律(二)第7讲加减法应用题第8讲乘除法应用题第9讲平均数第10讲植树问题第11讲巧数图形第12讲巧求周长第13讲火柴棍游戏(一)第14讲火柴棍游戏(二)第15讲趣题巧解第16讲数阵图(一)第17讲数阵图(二)第18讲能被2，5整除的数的特征第19讲能被3整除的数的特征第20讲乘、除法的运算律和性质第21讲乘法中的巧算第22讲横式数字谜(二)第23讲竖式数字谜(三)第24讲和倍应用题第25讲差倍应用题第26讲和差应用题第27讲巧用矩形面积公式第28讲一笔画(一)第29讲一笔画(二)第30讲包含与排除第2讲横式数字谜(一)在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数字，或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目。
解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。
例如，求算式324+□=528中□所代表的数。
根据“加数=和-另一个加数”知，□=582-324＝258。
又如，求右竖式中字母A，B所代表的数字。
显然个位数相减时必须借位，所以，由12-B＝5知，B＝12-5＝7；由A-1＝3知，A＝3＋1＝4。
解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对运算的理解，还是培养和提高分析问题能力的有效方法。
这一讲介绍简单的算式(横式)数字谜的解法。
解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则：(1)一个加数+另一个加数=和；(2)被减数-减数=差；(3)被乘数×乘数=积；(4)被除数÷除数=商。
由它们推演还可以得到以下运算规则：由(1)，得和-一个加数=另一个加数；其次，要熟悉数字运算和拆分。
例如，8可用加法拆分为8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；24可用乘法拆分为24＝1×24=2×12＝3×8＝4×6(两个数之积)=1×2×12＝2×2×6=…(三个数之积)=1×2×2×6＝2×2×2×3=…(四个数之积)例1下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么数？(1)□+5＝13-6；(2)28-○＝15＋7；(3)3×△=54；(4)☆÷3＝87；(5)56÷*＝7。
五年级奥数第3讲 质数与合数
知识精讲
严格说来，质数就是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其他 注意，1既不是质数也不是合数。
质数说：1 不是我这儿 的！
合数说：1也 不是我这儿 的！
我们先来看一下关于质数的小问题，提高大家对质数的熟悉程度：请写出所有颠倒个位十位 两位质数。
（填写在横线上）
知识精讲
相信对100以内的质数较熟悉的同学做上面的题目会很轻松，质 数是我们后面学习的基础，因此同学们一定要牢牢记住常见的质数， 请同学们在下面的横线上写出100以内的所有质数.
27
33
37
53
57
73
77
所以：只有23、37、53、73这4个
例题二： （1）如果两个不同质数相加等于26，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出。 （2）如果两个不同质数相加等于25，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出。 （3）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出。 【分析】对于第1小题依次枚举即可，可知这两个不同的质数一定都是奇数，那么后两小题 奇数吗？
这样连起来就是： 少年朋友亲切联欢一九九七相聚中山。
质数表是关键
练习一： 自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然
这实际 的质数
练习一：
解析：
N
（ 都是一位数的质数！） （2、3、5、7）
知道N的数位上的数只能是2、3、 能是3和7。 依次枚举即可：
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知识精讲
同学们还可以这样做，从大到小，写出100以内的质数。如果你能一个不少的写出来， 内的质数确实掌握得很牢固了，当然同学们写出的，这些质数只是质数大军中的冰山一角， 有无穷多个质数，比如接着100的就有四个质数，101，103，107，109.
小学奥数专题-质数与合数(一)
1.掌握质数与合数的定义 2.能够用特殊的偶质数2与质数5解题 3.能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住:0和1不是质数，也不是合数。
常用的100以内的质数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点:⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如:149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.模块一、判断质数合数 【例 1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗:美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【例 2】 著名的哥德巴赫猜想是:“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。
如6=3+3，12=5+7，等。
小学五年级奥数讲义(教师版)30讲全
小学奥数基础教程(五年级)第1讲数字迷（一）第16讲巧算24第2讲数字谜(二)第17讲位置原则第3讲定义新运算(一)第18讲最大最小第4讲定义新运算(二)第19讲图形的分割与拼接第5讲数的整除性(一)第20讲多边形的面积第6讲数的整除性(二)第21讲用等量代换求面积第7讲奇偶性（一）第22讲用割补法求面积第8讲奇偶性（二）第23讲列方程解应用题第9讲奇偶性（三）第24讲行程问题（一）第10讲质数与合数第25讲行程问题（二）第11讲分解质因数第26讲行程问题（三）第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第27讲逻辑问题（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第28讲逻辑问题（二）第14讲余数问题第29讲抽屉原理(一)第15讲子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
小学奥数必知质数与合数知识点讲解【三篇】
【导语】天⾼鸟飞，海阔鱼跃，学习这舞台，秀出你独特的精彩⽤好分秒时间，积累点滴知识，解决疑难问题，学会举⼀反三。
以下是为⼤家整理的《⼩学奥数必知质数与合数知识点讲解【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇】
质数与合数
质数：⼀个数除了1和它本⾝之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：⼀个数除了1和它本⾝之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把⼀个数⽤质数相乘的形式表⽰出来，叫做分解质因数。
通常⽤短除法分解质因数。
任何⼀个合数分解质因数的结果是的。
分解质因数的标准表⽰形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1
求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：如果两个数的公约数是1，这两个数叫做互质数。
【第⼆篇】
【质数合数】
【第三篇】
【质数与合数概念讲解】。
(小学奥数)质数与合数(一)
5-3-1.質數與合數（一）知識框架1.掌握質數與合數的定義2.能夠用特殊的偶質數2與質數5解題3.能夠利用質數個位數的特點解題4.質數、合數綜合運用知識點撥一、質數與合數一個數除了1和它本身，不再有別的約數，這個數叫做質數(也叫做素數).一個數除了1和它本身，還有別的約數，這個數叫做合數。
要特別記住：0和1不是質數，也不是合數。
常用的100以內的質數：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計25個；除了2其餘的質數都是奇數；除了2和5，其餘的質數個位數字只能是1，3，7或9.考點：⑴值得注意的是很多題都會以質數2的特殊性為考點.⑵除了2和5，其餘質數個位數字只能是1，3，7或9.這也是很多題解題思路，需要大家注意.二、判斷一個數是否為質數的方法根據定義如果能夠找到一個小於p的質數q(均為整數)，使得q能夠整除p，那麼p就不是質數，所以我們只要拿所有小於p的質數去除p就可以了；但是這2再列出所有不大於K的質數，用這些質數去除p，如沒有能夠除盡的那麼p就為質數.例如：149很接近1441212=⨯，根據整除的性質149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質數.例題精講模組一、判斷質數合數【例 1】下麵是主試委員會為第六屆“華杯賽”寫的一首詩：美少年華朋會友，幼長相親同切磋；杯賽聯誼歡聲響，念一笑慰來者多；九天九霄志淩雲，九七共慶手相握；聚起華夏中興力，同唱移山壯麗歌．請你將詩中56個字第1行左邊第一字起逐行逐字編為1—56號，再將號碼中的質數由小到大找出來，將它們對應的字依次排成一行，組成一句話，請寫出這句話．【例 2】著名的哥德巴赫猜想是：“任意一個大於4的偶數都可以表示為兩個質數的和”。
如6=3+3，12=5+7，等。
那麼，自然數100可以寫成多少種兩個不同質數的和的形式？請分別寫出來（100=3+97和100=97+3算作同一種形式）。
第6讲 质数与合数(教案)
第6讲质数与合数自然数是同学们最熟悉的数。
大家知道，全体自然数按照能否被2整除的情况分为两类：奇数和偶数。
如果按照约数的个数进行分类，则可以分为三类：全体质数、全体合数和数1。
一个数除了1和它本身以外，不再有别的约数，这个数叫做质数（或素数）。
如：2、3、5、7、11等。
质数只有两个约数。
一个数除了1和它本身以外，还有别的约数，这个数叫做合数。
如：4、6、8、9等。
合数至少有三个约数。
1只有一个约数，就是它本身，1既不是质数，也不是合数，它是自然数的基本单位。
最小的质数是2，也是质数中唯一的一个偶数，其余的质数全是奇数。
最小的合数是4。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
任何一个合数都可以分解成若干个质因数乘积的形式。
且分法是唯一的。
质数与合数是数论中最基本，同时又是最重要的概念之一，分解质因数也是数论中研究整除的一个重要方法。
这些都必须掌握。
因此在数学竞赛中，经常出现有关质数、合数的概念及分解质因数的应用的题目。
例1、1～100这100个自然数中有哪些是质数？100以内的质数表：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
练习1、判断269，437两个数是合数还是质数。
269是质数，437是合数。
2、判断数1111112111111是质数还是合数？根据整数的意义，这个13位数可以写成：1111112111111=1111111000000+1111111=1111111×（1000000+1）=1111111×1000001。
由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111是合数。
例2、有两个质数，它们之和既是一个小于100的奇数，又是17的倍数，这两个质数的积是多少？解：既小于100，又是17的倍数的奇数有17、51和85三个数。
小学奥数教师版-5-5-3 余数性质(一)
5-5-3.余数性质（三）
教学目标
1. 学习余数的三大定理及综合运用 2. 理解弃 9 法，并运用其解题
知识点拨
一、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16＝39 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1.
【考点】余数的加减法定理 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克 【解析】三所学校的高中生分别是：A 校 742 人，B 校 732 人，C 校 722 人．如果 A 校或 C 校初中人数是高
【考点】余数的加减法定理 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】少年数学智力冬令营 【解析】1995，1998，2000，2001，2003 除以 9 的余数依次是 6，0，2，3，5．因为 2 5 2 5 0 7 ，
2 5 3 6 0 2 5 3 6 7 9 ， 所 以 这 样 的 数 组 共 有 下 面 4 个 ： 2000, 2003 ， 1998, 2000, 2003 ， 2000, 2003, 2001,1995 ， 1998, 2000, 2003, 2001,1995 ．
5-5-3.余数性质（一）.题库
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请；
而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的 各个位数字之和除以 9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去，所以这种方法被 称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被 9 除的余数 即可。 利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是错误的
小学奥数5-3-3 质数与合数(三).专项练习及答案解析
1. 掌握质数与合数的定义2. 能够用特殊的偶质数2与质数5解题3. 能够利用质数个位数的特点解题4. 质数、合数综合运用一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.模块一、质数合数综合【例 1】 写出10个连续自然数，它们个个都是合数．例题精讲知识点拨知识框架5-3-3.质数与合数（三）【考点】质数合数综合【难度】2星【题型】解答【解析】在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96．我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了．用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．同学们可以在这里随意截取10个即为答案．可见本题的答案不唯一．【答案】114，115，116，117，118，119，120，121，122，123【例2】老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找200个连续的自然数它们个个都是合数．【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答【解析】如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数第10个是11的倍数，那么这10个数就都是合数．又2m+，m+3，，m+11是11个连续整数，故只要m是2，3，，11的公倍数，这10个连续整数就一定都是合数．设m为2，3，4，，11这10个数的最小公倍数．m+2，m+3，m+4，，m+11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数11的倍数，因此10个数都是合数．所以我们可以找出2，3，411的最小公倍数27720，分别加上2，3，411，得出十个连续自然数27722，27723，2772427731，他们分别是2，3，411的倍数，均为合数．说明：我们还可以写出++++ (其中n！=1⨯2⨯3⨯⨯n)这10个连续合数来．同11!2,11!3,11!411!11样，(m+1)!+2,(m+1)!+3,,(m+1)!+m+1是m个连续的合数．那么200个连续的自然数可以是：201!2,201!3,,201!201+++【答案】201!2,201!3,,201!201+++【例3】四个质数2、3、5、7的乘积为，经验证200到220之间仅有一个质数，请问这个质数是。
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1.掌握质数与合数的定义 2.能够用特殊的偶质数2与质数5解题 3.能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.模块一、质数合数综合 【例 1】 写出10个连续自然数，它们个个都是合数．【考点】质数合数综合 【难度】2星 【题型】解答【解析】 在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96．我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了．用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．同学们可以在这里随意截取10个即为答案．可见本题的答案不唯一．【答案】114，115，116，117，118，119，120，121，122，123例题精讲知识点拨知识框架5-3-3.质数与合数（三）【例2】老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找200个连续的自然数它们个个都是合数．【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答【解析】如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数第10个是11的倍数，那么这10个数就都是合数．又2m+，m+3，，m+11是11个连续整数，故只要m是2，3，，11的公倍数，这10个连续整数就一定都是合数．设m为2，3，4，，11这10个数的最小公倍数．m+2，m+3，m+4，，m+11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数11的倍数，因此10个数都是合数．所以我们可以找出2，3，411的最小公倍数27720，分别加上2，3，411，得出十个连续自然数27722，27723，2772427731，他们分别是2，3，411的倍数，均为合数．说明：我们还可以写出11!2,11!3,11!411!11++++(其中n！=1⨯2⨯3⨯⨯n)这10个连续合数来．同样，(m+1)!+2,(m+1)!+3,,(m+1)!+m+1是m个连续的合数．那么200个连续的自然数可以是：201!2,201!3,,201!201+++【答案】201!2,201!3,,201!201+++【例3】四个质数2、3、5、7的乘积为，经验证200到220之间仅有一个质数，请问这个质数是。
【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级【解析】四个质数乘积2357±，±，2103⨯⨯⨯＝210；200到220的质数，因为210＝2357⨯⨯⨯，所以2102±，2109±，21010±都是合数，所以只需要判断2101±±，21082104±，2107±，2105±，2106中谁是质数即可，209和211中211是质数。
【答案】积为210，质数是211【例4】有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，就是说它们都不是质数．有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是……，我们注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被2、3、4、…、(n+1)整除，它们是连续的n个合数．其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n．【例5】如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是几？【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答【解析】首先我们可以分析出大多数自然数都是智康数，所以核心的思想是找到智康数与其他自然数的“分界线”。
我们知道最小的三个不同合数是4,6,8，它们的和是18,则比18小的数一定都是智康数，而比18大的数中，我们可以分为与18的差是“奇数”或者是“偶数”。
如果与18的差是偶数，那么这类自然数一定不是智康数，可以写作4+6+(8+2n),如果与18的差是一个奇数，那么可以写作4+(6+2n)+(8+1)也不是一个智康数，所以最大的智康数为17。
【答案】17【例6】将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（）【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】填空【解析】首先列出前几个合数4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想A尽量小，这两个数也不能都同时为奇数，因为奇合数比较少，找出8个来必然很大。
所以应该是一奇一偶，经试验得A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即A的最小值为29。
大部分的题考的都是质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。
【答案】A的最小值为29【例7】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种。
那么所有这样的自然数中最小的一个是多少．【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意在不计加数顺序的情况下一个自然数能有13种表示成一个质数与一个合数和的形式，说明这个自然数一定比从2开始的第13个质数要大。
从2开始数的13个质数分别是：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41。
那么这个数一定要比41大，为了满足这个自然数能够分别写成上面质数与另一个合数的和的形式，所求自然数只要是个奇数即可，这样这个奇数与从3开始的质数的差只要都是一个大于2的偶数即可满足条件。
答案为47【答案】47【例8】求1-100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？【考点】质数合数综合【难度】4星【题型】解答【解析】考虑最小的合数是4，先把表示方法简化为4⨯合数+合数而合数最简单的表现形式就是大于等于4的偶数因此该表示方法进一步表示为4⨯(2⨯n)＋合数即8n+合数(其中n＞1即可) 当该数被8整除时，该数可表示为4⨯(2n)+8 ，n＞1,所以大于等于24的8的倍数都可表示当该数被8除余1时，该数可表示为4⨯(2n)+9，n＞1,所以大于等于25的被8除余1都可表示当该数被8除余2时，该数可表示为4⨯(2n)+10，n＞1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示当该数被8除余3时，该数可表示为4⨯(2n)+27，n＞1,所以大于等于43的被8除余3的都可表示当该数被8除余4时，该数可表示为4⨯(2n)+4，所以大于等于20的被8除余4的都可表示当该数被8除余5时，该数可表示为4⨯(2n)+21，所以大于等于37的被8除余5的都可表示当该数被8除余6时，该数可表示为4⨯(2n)+6，所以大于等于22的被8除余6的都可表示当该数被8除余7时，该数可表示为4⨯(2n)+15，所以大于等于31的被8除余7的都可表示综上所述，不能表示的最大的数是43835-=经检验，35的确无论如何也不能表示成合数×合数＋合数的形式，因此我们所求的最大的数就是35。
【答案】35模块二、互质【例9】将六个自然数14，20，33，117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成____组。
【考点】互质【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第5题，10分【解析】先将所有数都分解质因数得：14=2×720=2×2×533=3×11117=3×3×13143=11×13175=5×5×7注意到33，117，143两两都不互质，所以至少应该分成3组，同样14，20，175也必须分为3组，互相配合就行。
【答案】3组【例10】把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分几组.【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答【解析】 要保证每组中的任意2个数均互质，需要每组中的每个数字都有独有的质因数才能实现。
可以对以上每个数字进行分解质因数，容易得出最少分3组.【答案】3【例 11】 把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。
【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答【解析】34025=⨯，244211=⨯，24553=⨯，26373=⨯，65513=⨯，782313=⨯⨯，299311=⨯，105357=⨯⨯，要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数2，第一组含有40，第二组含有44，78，再看11,13，第一组应有40，99，65，再看5第二组应有44，78，45，105，最后看7，第一组应有40，99，65，63．【答案】40，99，65，63【例 12】 已知三个合数A ，B ，C 两两互质，且A ×B ×C =11011×28，那么A +B +C 的最大值为【考点】互质 【难度】4星 【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第6题，10分【解析】分解质因式：A ×B ×C =11011×28=11×1001×28=222271113⨯⨯⨯，由于A ，B ，C 两两互质，并且A +B +C 要最大，则让数尽量的大，则最大为：4、49、1573，则A +B +C 的最大值为1626。