三角形的证明复习课件PPT
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《直角三角形》三角形的证明PPT(第1课时)
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例1 已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，BC=B′C′，BD、B′D′分别是AC、A′C′边 上的中线且BD=B′D′ (如图)． 求证： Rt△ABC≌CORt△A′B′C′． 证明：在Rt△BDC和Rt△B′D′C′中， ∵BD=B′D′,BC=B′C′, ∴Rt△BDC≌Rt△B′D′C′ (HL定理)． CD=C'D'． 又∵AC=2CD，A′C′=2C′D′，∴AC=A′C′． ∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中， ∵BC=B′C ′，∠C=∠C ′ =90°，AC=A′ C ′ ， ∴Rt△ABC≌CORt△A′B′C′(SAS)
跟踪检测
1．如图，一张长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度 数是( C) A．30° B．60° C．90° D．120° 2．由下列 条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C ) A．∠A＝37°，∠C＝53° B．∠A＝34°，∠B＝56° C．∠B＝42°，∠C＝38° D．∠A＝72°，∠B＝18° 3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重 合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D ) A．1 B．2 C．3 D．4
（4）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ （×）
（5）AC＝A′C′，AB＝A′B′ （HL）
活动探究
活动1：如图，两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)； 那么， “两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”吗？.
观察下列演示，你有什么发现？
A
B
C
归纳
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等.
例1 已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，BC=B′C′，BD、B′D′分别是AC、A′C′边 上的中线且BD=B′D′ (如图)． 求证： Rt△ABC≌CORt△A′B′C′． 证明：在Rt△BDC和Rt△B′D′C′中， ∵BD=B′D′,BC=B′C′, ∴Rt△BDC≌Rt△B′D′C′ (HL定理)． CD=C'D'． 又∵AC=2CD，A′C′=2C′D′，∴AC=A′C′． ∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中， ∵BC=B′C ′，∠C=∠C ′ =90°，AC=A′ C ′ ， ∴Rt△ABC≌CORt△A′B′C′(SAS)
跟踪检测
1．如图，一张长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度 数是( C) A．30° B．60° C．90° D．120° 2．由下列 条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C ) A．∠A＝37°，∠C＝53° B．∠A＝34°，∠B＝56° C．∠B＝42°，∠C＝38° D．∠A＝72°，∠B＝18° 3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重 合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D ) A．1 B．2 C．3 D．4
（4）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ （×）
（5）AC＝A′C′，AB＝A′B′ （HL）
活动探究
活动1：如图，两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)； 那么， “两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”吗？.
观察下列演示，你有什么发现？
A
B
C
归纳
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等.
沪科版数学八上13.三角形内角和定理的证明课件(共15张)
13.2 命题与证明
第3课时 三角形内角和定理的证明
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理.（重点）
2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）
知识讲授
一、三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
前面已经学习了用拼接的方法验证三角形的内角和等于180°，你
∴ ∠ ＝ 180° − ∠ − ∠ ＝ 180° − 90° − 54°＝ 36° .
∴ ∠ ＝∠ − ∠ ＝ 44° − 36°＝ 8° .
随堂训练
1.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC
于点D，若∠BAC＝130°，∠C＝30°，则
∠DAE的度数是 5° .
3.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求
∠BAE和∠AEB的度数.
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
1
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，
∴∠BAE=37.5°.
A
(两直线平行，同旁内角相补)
E
∴ ∠A=∠EDF.
F
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
B
想一想：同学们还有其他的方法吗？
D
C
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
A
A
A
D
C
B
1
2
B
l
4
第3课时 三角形内角和定理的证明
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理.（重点）
2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）
知识讲授
一、三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
前面已经学习了用拼接的方法验证三角形的内角和等于180°，你
∴ ∠ ＝ 180° − ∠ − ∠ ＝ 180° − 90° − 54°＝ 36° .
∴ ∠ ＝∠ − ∠ ＝ 44° − 36°＝ 8° .
随堂训练
1.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC
于点D，若∠BAC＝130°，∠C＝30°，则
∠DAE的度数是 5° .
3.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求
∠BAE和∠AEB的度数.
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
1
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，
∴∠BAE=37.5°.
A
(两直线平行，同旁内角相补)
E
∴ ∠A=∠EDF.
F
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
B
想一想：同学们还有其他的方法吗？
D
C
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
A
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A
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三角形内角和定理的证明证明教学PPT课件
15、最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要在路上，就没有到不了的地方。 16、你若坚持，定会发光，时间是所向披靡的武器，它能集腋成裘，也能聚沙成塔，将人生的不可能都变成可能。 17、人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者
1 2 1800 BDC(等式性质).
BDC BAC ABD ACD（等量代换）.
即BDC BAC B C.
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
A
M
B
N
C
F
D
练一练
A
1、 如图，已知AD是△ABD
34
和△ACD的公共边.求证：
∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
12
B
D
证法一：
∵在△ABD中, ∠1＝180°－∠B－∠3，
C
在△ADC中, ∠2＝180°－∠C－∠4（三角形内角和定理），
又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义）
∴∠ BDC ＝360°－（ 180°－∠B－∠3 ）－（ 180°－∠C－∠4 ）
＝ ∠B+∠C+∠3+∠4.
又 ∵ ∠BAC ＝ ∠3+∠4,
∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换）
A
证法二：
连接BC.
B
1
D
2
C
在ABC中，BAC ABD ACD 1 2 1800,
1 2 1800 BDC(等式性质).
BDC BAC ABD ACD（等量代换）.
即BDC BAC B C.
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
A
M
B
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D
练一练
A
1、 如图，已知AD是△ABD
34
和△ACD的公共边.求证：
∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
12
B
D
证法一：
∵在△ABD中, ∠1＝180°－∠B－∠3，
C
在△ADC中, ∠2＝180°－∠C－∠4（三角形内角和定理），
又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义）
∴∠ BDC ＝360°－（ 180°－∠B－∠3 ）－（ 180°－∠C－∠4 ）
＝ ∠B+∠C+∠3+∠4.
又 ∵ ∠BAC ＝ ∠3+∠4,
∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换）
A
证法二：
连接BC.
B
1
D
2
C
在ABC中，BAC ABD ACD 1 2 1800,
北师大版八年级下册数学《线段的垂直平分线》三角形的证明说课教学课件复习
三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线 相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
实践探究，交流新知
已知等腰三角形的底边和该边上的高，求作等腰三角形
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作 几个？所作出的三角形都全等吗？ (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几 个？所作出的三角形都全等吗？ (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如 果能，能作几个？
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）三角形三条边的垂直平分线的性质 （2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
开放训练，体现应用
例1 (教材第22页例1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点， 且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.（解法不唯一）
证明：∵AB＝AC， ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点 ∵OB＝OC， ∴点O为线段BC垂直平分线上的一点 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线
课堂检测，巩固新知
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC ∴∠EAD＝1∠BAC＝25°
2
∵DE⊥AB ∴∠AED＝90° ∴∠EDA＝90°－25°＝65° (2)证明：∵DE⊥AB ∴∠AED＝90°＝∠ACB 又∵AD平分∠BAC ∴∠DAE＝∠DAC 又∵AD＝AD ∴△AED≌△ACD(AAS) ∴AE＝AC ∵AD平分∠BAC ∴AD⊥CE，AD平分线段EC 即直线AD是线段CE的垂直平分线
实践探究，交流新知
已知等腰三角形的底边和该边上的高，求作等腰三角形
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作 几个？所作出的三角形都全等吗？ (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几 个？所作出的三角形都全等吗？ (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如 果能，能作几个？
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）三角形三条边的垂直平分线的性质 （2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
开放训练，体现应用
例1 (教材第22页例1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点， 且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.（解法不唯一）
证明：∵AB＝AC， ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点 ∵OB＝OC， ∴点O为线段BC垂直平分线上的一点 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线
课堂检测，巩固新知
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC ∴∠EAD＝1∠BAC＝25°
2
∵DE⊥AB ∴∠AED＝90° ∴∠EDA＝90°－25°＝65° (2)证明：∵DE⊥AB ∴∠AED＝90°＝∠ACB 又∵AD平分∠BAC ∴∠DAE＝∠DAC 又∵AD＝AD ∴△AED≌△ACD(AAS) ∴AE＝AC ∵AD平分∠BAC ∴AD⊥CE，AD平分线段EC 即直线AD是线段CE的垂直平分线
《三角形的认识》课件
建筑中的三角形应用
屋顶结构
许多建筑的屋顶采用三角形的设 计，以提供更好的承重和稳定性
。
钢架结构
在建筑中，钢架结构经常采用三角 形的设计，以增强结构的强度和稳 定性。
桥梁支撑
桥梁的支撑结构经常采用三角形的 设计，以分散重量并增强稳定性。
数学中的三角形应用
勾股定理
勾股定理是三角形的一个重要性 质，它描述了直角三角形三边的
《三角形的认识》 ppt课件
REPORTING
• 三角形的定义与性质 • 三角形的分类 • 三角形的面积与周长 • 三角形的应用 • 三角形的证明与定理
目录
PART 01
三角形的定义与性质
REPORTING
三角形的定义
总结词
三角形是由三条边和三个角构成 的平面图形。
详细描述
三角形是最简单的多边形之一， 由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次连接形成的平面图形。
详细描述
三角形的边与角之间存在密切的关系，如等腰三角形的两腰相等，且对应的两个 底角也相等；直角三角形中有一个角为90度，且斜边与直角边的关系满足勾股定 理等。这些关系是三角形的重要性质，有助于解决各种几何问题。
PART 02
三角形的分类
REPORTING
按角度分类
01
02
03
锐角三角形
三个角都小于90度的三角 形。
边边边（SSS）证明方法
如果两个三角形有三条边分别相等，则这两 个三角形全等。
边角边（SAS）证明方法
如果两个三角形有两条边和夹角分别相等， 则这两个三角形全等。
角角边（AAS）证明方法
如果两个三角形有两个角和一条非夹角边分 别相等，则这两个三角形全等。
北师大版八年级数学下册《直角三角形》三角形的证明PPT(第1课时)
获取新知
知识点二：直角三角形的边的关系
B
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方
和等于斜边的平方.
A
C
关于勾股定理的证明，可以欣赏“16页的读一读”， 并可以上网搜索，诸如美国第二十任总统的证法、赵 爽弦图法等
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那 么这个三角形是直角三角形．
一项指标.现测得AB=4 cm,BC=3 cm,AD=13 cm,CD=12 cm, ∠ABC=90°,根据这些条件,能否得出∠ACD等于90°?请说明理由.
解:能.理由:在Rt△ABC中,
∵AB=4 cm,BC=3 cm,∠ABC=90°,
∴AC=
=5(cm).
在△ACD中,∵AD=13 cm,CD=12 cm,AC=5 cm,
你来给出完整的 证明过程吧，试 一试
例题讲解 例1 如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC 于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 解：由题意可知， ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°. ∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠BAC＝40°. ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
原命题都存在逆命题 ，
但是互逆命题的真假 无法保证
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫 做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
定理
“两直线平行，内错角相等”
北师大版八年级下册数学《等腰三角形》三角形的证明说课教学课件复习
即“等角对等边”．
实践探究，交流新知
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不
相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
证明：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝
20° ．
(4)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝ ∠CAD ．
想一想：在等腰三角形中画出一些线段（比如角平分线、中线、高等），你能发
现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
课件
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(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.
开放训练，体现应用
例1 (教材第8页例2)已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于
点E，求证：△AED是等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
创设情境，导入新课
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”．
(2)“三线合一”．
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
实践探究，交流新知
实践探究，交流新知
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不
相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
证明：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝
20° ．
(4)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝ ∠CAD ．
想一想：在等腰三角形中画出一些线段（比如角平分线、中线、高等），你能发
现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
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(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.
开放训练，体现应用
例1 (教材第8页例2)已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于
点E，求证：△AED是等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
创设情境，导入新课
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”．
(2)“三线合一”．
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
实践探究，交流新知
八年级三角形ppt课件ppt课件
角与角的关系
STEP 02
STEP 01
角的互补关系
角的度数关系
三角形的三个内角之和等 于180度。
STEP 03
角的比例关系
三角形的任意两个角的比 值是一个定值，这个定值 等于其对应边的正切值。
两个角的角度和为90度时 ，这两个角互为直角。
Part
02
三角形的分类
按边分类
等边三角形
三边长度相等的三角形， 每个角都是60度。
角度计算
角度计算是求三角形内角的度数。根 据三角形内角和定理（内角和等于 180度），可以通过已知的两个角来 计算第三个角的度数。
周长计算
周长计算是求三角形三边的总长度。 将三角形的三条边相加即可得到周长 。
中线、高、角平分线
中线、高和角平分线是与三角形相关 的特殊线段。它们在三角形中具有特 定的性质和作用，如中线平分对边， 高垂直于底边等。
直角三角形
全等三角形
全等三角形是能够完全重合的两个三 角形。在作图时，根据全等条件（ SSS、SAS、ASA、AAS、HL）来确 定三角形的边和角。
直角三角形有一个90度的角。在作图 时，先确定直角，然后作两腰垂直于 直角两边，并保证腰的长度相等。
计算方法
面积计算
面积计算是三角形计算中常见的一种 。根据三角形的底和高，使用公式“ 面积 = (底 × 高) / 2”来计算面积。
边角转换
在三角形中，边和角是可 以相互转换的，这种转换 关系是三角形的基本性质 之一。
边与边的关系
01
02
03
边的长度关系
三角形的任意两边之和大 于第三边，任意两边之差 小于第三边。
边的位置关系
根据边的长度和位置关系 ，三角形可以分为等腰三 角形、等边三角形、直角 三角形等不同类型。
三角形全等的证明ppt课件
∴AC=AD .
讲解新课
例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于 O点，AB=AC，∠B=∠C. 求证：BD=CE
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A= ∠A
AB=AC
∠B=∠C
∴ △ABE≌△ACD （ASA)
∴AD=AE
∵AB=AC
∴BD=CE
.
课
堂 如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件
E
的条件，不难发现图3是由图2平移而得。 利用AE=CF，可得：AF=CE
证明：∵AD∥BC（已知）
F
B
C
图3
∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）
又 AE=CF
∴AE+EF=CF+EF（等式性质）
即AF=CE 在△AFD 和△CEB 中
AD=CB（已知）
问：若求证∠D=∠B ，
如何证明？
∠A=∠C（已证）
∴ ∠B＝∠D（全等三角形对应角相等）
D C
.
小结：四边形问题转化为三角形 问题解决。
问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？A 在原有条件下，还能推出什么结论？
B
答：∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC
.
D C
归纳：二个三角形全等的判定方法
对应 相等 的元
素
两边一角 两角一边
两边及其 两边及其 两角及其 两角及其
写为“ASA”)
.
讲解新课:
例1、已知：如图，∠DAB=∠CAB，∠C=∠D 求证：AC=AD 证明：∵ ∠DAB=∠CAB，∠C=∠D
∴∠ABD=∠ACD (三角形内角和定理） 在△ACB和△ADB中
∠DAB=∠CAB AB=AB （共用边） ∠ABD=∠ACD
讲解新课
例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于 O点，AB=AC，∠B=∠C. 求证：BD=CE
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A= ∠A
AB=AC
∠B=∠C
∴ △ABE≌△ACD （ASA)
∴AD=AE
∵AB=AC
∴BD=CE
.
课
堂 如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件
E
的条件，不难发现图3是由图2平移而得。 利用AE=CF，可得：AF=CE
证明：∵AD∥BC（已知）
F
B
C
图3
∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）
又 AE=CF
∴AE+EF=CF+EF（等式性质）
即AF=CE 在△AFD 和△CEB 中
AD=CB（已知）
问：若求证∠D=∠B ，
如何证明？
∠A=∠C（已证）
∴ ∠B＝∠D（全等三角形对应角相等）
D C
.
小结：四边形问题转化为三角形 问题解决。
问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？A 在原有条件下，还能推出什么结论？
B
答：∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC
.
D C
归纳：二个三角形全等的判定方法
对应 相等 的元
素
两边一角 两角一边
两边及其 两边及其 两角及其 两角及其
写为“ASA”)
.
讲解新课:
例1、已知：如图，∠DAB=∠CAB，∠C=∠D 求证：AC=AD 证明：∵ ∠DAB=∠CAB，∠C=∠D
∴∠ABD=∠ACD (三角形内角和定理） 在△ACB和△ADB中
∠DAB=∠CAB AB=AB （共用边） ∠ABD=∠ACD
三角形内角和定理证明ppt课件
（1） ∠ACD是△ABC的
CD
（2）∵∠ +∠ ∠ +∠
∴∠ = ∠
+∠ =180°（三角形三个内角的和等于180° ）
=180°（平角的定义）
+∠
（
）
推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
公理、定理及由它们直接推出来的 结论(推论),以后可以直接运用. 9
练一练：
已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长 线上一点，∠EAC=∠B,求证：∠ADE=∠DAE
B
∠A+∠B+∠AOB=180°(三角形三个内角的和等于180°)
O
∴∠A+∠B=180°-∠AOB
在⊿COD中 同理可得
∠C+∠D=180°-∠COD
∵∠AOB与∠COD是对顶角
C
D
∴∠AOB=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D( 等量代换)
8
A
议一议：
B
如图所示：把△ABC的边BC延长，得到∠ACD.
∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等)
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
1
2 C
辅助线
D
6
A
E
你还有什么
不同的方法?
B
P
AC
Q
B
H
C
B
A
E
C
7
试一试：
已知：如图,AC、BD相交于点O, 求证：∠A+∠B=∠C+∠D.
A 证明：
在⊿AOB中
CD
（2）∵∠ +∠ ∠ +∠
∴∠ = ∠
+∠ =180°（三角形三个内角的和等于180° ）
=180°（平角的定义）
+∠
（
）
推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
公理、定理及由它们直接推出来的 结论(推论),以后可以直接运用. 9
练一练：
已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长 线上一点，∠EAC=∠B,求证：∠ADE=∠DAE
B
∠A+∠B+∠AOB=180°(三角形三个内角的和等于180°)
O
∴∠A+∠B=180°-∠AOB
在⊿COD中 同理可得
∠C+∠D=180°-∠COD
∵∠AOB与∠COD是对顶角
C
D
∴∠AOB=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D( 等量代换)
8
A
议一议：
B
如图所示：把△ABC的边BC延长，得到∠ACD.
∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等)
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
1
2 C
辅助线
D
6
A
E
你还有什么
不同的方法?
B
P
AC
Q
B
H
C
B
A
E
C
7
试一试：
已知：如图,AC、BD相交于点O, 求证：∠A+∠B=∠C+∠D.
A 证明：
在⊿AOB中
三角形的相关证明期末复习
角与角的关系
内角和定理
三角形的内角和等于180度。
外角定理
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
边与边的关系
三角形的两边之和大于第三边
在三角形中，任意两边之和大于第三边。
三角形的两边之差小于第三边
在三角形中，任意两边之差小于第三边。
等腰三角形的性质与
02
证明
形的全等的证明
04
SSS全等条件
定义
如果两个三角形的三边分别相等， 则这两个三角形全等。
证明方法
利用边边边定理，通过比较三边 长度来确定三角形是否全等。
适用场景
当已知三角形的三边长度时，可 以使用此条件进行全等证明。
SAS全等条件
定义
如果两个三角形有一边和两角分别相 等，则这两个三角形全等。
对应边成比例
如果两个三角形相似，则它们的对应边长之间存 在一定的比例关系。
面积比恒定
相似三角形的面积之比等于其对应边长比的平方。
三角形相似的判定
角角判定
如果两个三角形的两组对应角分别相等，则这两个三角形 相似。
边边判定
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
角边判定
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相 等，并且这两个三角形中相对的一组对应边成比例，则这 两个三角形相似。
如果一个三角形中，两条边的 平方和等于第三边的平方，则 这个三角形是直角三角形。
如果一个三角形中，两条边的 比值为1:2或2:1，则这个三角 形是直角三角形。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即$c^2 = a^2 + b^2$。
三角形的证明专题复习与角平分线有关的常见模型+课件+-2023-2024学年人教版数学八年级下册+
A
B
C
A P
三个角平分线夹角 之间有什么关系？
D
P
E
B
C
D
练习提高
如图，在△ABC 中，AD 是高，AE，BF 是角平分线，它们相交于点 O， ∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE 和∠BOA 的度数．
解：因为∠C AB＝50°，∠C ＝60°， 所以∠ABC＝180°－50°－60°＝70°. 因为 AD 是高， 所以∠ADC＝90°. 所以∠DAC＝90°－∠C＝30°. 因为 AE，BF 是角平分线， 所以∠C BF ＝∠ABF ＝35°，∠E AF ＝∠E AB＝25°. 所以∠DAE ＝∠DAC －∠E AF ＝5°， ∠BOA＝180°－∠EAB－∠ABF＝120°.
A
A
A
B
D E 图1
C
B(D)
E 图2
CD
BE
C
图3
三、与三角形角平分线的夹角相关的模型
1、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ ACB的角平分线BP、CP交于点P，
若∠A=60°， ∠P =____？
若∠A=100°，∠P =____？
探索∠A与∠P的关系
A
P
B
C
三、与三角形角平分线的夹角相关的模型
解：能．理由： A
因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C．
因为 AE 平分∠BAC，
B
DE
C
所以∠BAE＝21∠BAC＝21(180°－∠B－∠C)＝90°－12(∠B＋∠C)．
因为 AD⊥BC，
所以∠ADB＝90°.
所以∠BAD＝90°－∠B．
所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－21(∠B＋∠C)－(90°－∠B)＝
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cm ．
3、等边△A B C 的周长为 12cm ，则它的面积为
cm 2．
4、如图，在△A B C 中，∠C ＝90°，∠B ＝15°，A B 的垂直平分线交 B C 于 D ，交 A B 于 E ，
若 D B ＝10cm ，则 A C ＝
.
5、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 300，腰长为 6，则其底边上的高是
D E = 1，则 E F 的长是（ ）A ．3
B ．2 C ． 3 D ．1
8、如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，点 P 在 x 轴上，若以 P，O ，A 为顶点的三 角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有（ ）
A ．2 个
B ．3 个
C ．4 个
D ．5 个
9、如图在直角△A B C 中，∠B A C =90°，A B =8，A C =6 ，D E 是 A 边的垂直平分线，垂足为 D ，
4、如图，A D 是△A B C 的角平分线，D F ⊥A B ，垂足为 F ，D E = D G ，△A D G 和△A E D 的面积
分别为 50 和 39，则△E D F 的面积为（ ）
A ．11
B ． 5.5
C． 7
D ． 3.5
5、如图．在 R t△A B C 中，∠A = 30°，D E 垂直平分斜边 A C ，交 A B 于 D ，E 是垂足，连接 C D ， 若 B D =1，则 A C 的长是（ ）
四边形 A C E B 的周长为
．
13、等腰三角形一腰长为 5，一边上的高为 4，则底边长
14、用 6 根相同长度的木棒在空间中最多可搭成
个正 三角形 ．
15、等腰三角形一腰长为 5，一边上的高为 3，则底边长为
．
A ．2
B．2 3
C ． 3 D ．3
题块三
1、如图,△A B C 中,∠A C B ＝90°,C D ⊥A B 于点 D ,∠A ＝30°,B D ＝1.5cm ，则 A D =
cm ．
（填空 1）
（填空 4）
（填空 6） （填空 7）
2、在△A B C 中，∠A :∠B :∠C ＝1:2:3，A B ＝6cm ，则 B C ＝
A C ，则△PD E 的周长是 cm ．
题块四
8、在△A B C 中，∠A =40°，A B = A C ，A B 的垂直平分线交 A C 与 D ，则∠D B C 的度数为
．
9、在等腰△A B C 中，∠A = 30°，A B = 8，则 A B 边上的高 C D 的长是
．
10、如图，∠A O E = ∠B O E = 15°，E F ∥O B ，E C ⊥O B ，若 E C =1，则 E F=
2
A ．45°
B ．75°
C ．45°或 75°
D ．60°
3、如图，在 R t△A C B 中，∠A C B =90 °，∠A = 25°，D 是 A B 上一点．将 R t△A B C 沿 C D 折叠，使
B 点落在 A C 边上的 B ′处，则∠A D B ′等于（ ）
A ． 25° B ． 30° C ． 35° D ． 40°
．
（填空 10）
（填空 11）
（填空 12）
11、如图，在 R t△A B C 中，∠C =90°，A D 是∠B A C 的平分线，D C = 2，则 D 到 A B 边的距离
是
．
12、如图，在△A B C 中，∠A C B =90 °，D 是 B C 的中点，D E ⊥B C ，C E ∥A D ，若 A C = 2，C E =4，则
60 cm 和 38 cm ，则△A B C 的腰和底边长分别为 ( )
A ．24 cm 和 12 cm
B ．16 cm 和 22 cm
C ．20 cm 和 16 cm
D ．22 cm 和 16 cm
2、已知等腰△A B C 中，A D ⊥B C 于点 D ，且 A D = 1 B C ，则△A B C 底角的度数为（ ）
三角形的证明复习
兴泰实验学校 卢海洋
学习目标
• 1、梳理本章知识点 • 2、解决零散小题题型
梳理知识点
• 将第一章知识梳理成一份思维导图，限时 十分钟，最好最快小组加9分之后8、7、6、 5、4、3、2、1分
题块一
1、已知△A B C 中，A B ＝A C ，A B 的垂直平分线交 A C 于 D ，△A B C 和△D B C 的周长分别是
.
6、如图，在 R t△A B C 中，∠A C B =90°，A B 的垂直平分线 D E 交 A C 于 E ，交 B C 的延长线于 F，
若∠F=30°，D E = 1，则 B E 的长是 ．
7、如图，在△A B C 中，B C =5cm ，B P、C P 分别是∠A B C 和∠A C B 的角平分线，且 PD ∥A B ，PE ∥
A．2 3；
B ．2 ；
C．4 3；
D ．4
题块二
6、已知实数 x，y 满足|x-4|+ y 8 =0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A ．20 或 16 B ．20
C ．16
D ．以上答案均不对
7、如图，在 R t△A B C 中，∠A C B =90 °，A B 的垂直平分线 D E 交于 B C 的延长线于 F，若∠F=30 °，
交边 B C 于点 E ，连接 A E ，则△A C E 的周长为（ ）
A ．16
B ．15
C ．14
D ．13
10、如图，△A B C 是等边三角形，P 是∠A B C 的平分线 B D 上一点，PE ⊥A B 于点 E ，线段 B P 的 垂直平分线交 B C 于点 F ，垂足为点 Q ．若 B F=2 ，则 PE 的长为（ ）