线性代数数学答案

二、计算下列行列式
2
1．1
2 3
0 0 c
2 b 4
a
0
0 d 0
5
c
2 b 4
a
2
0 dc b
5
a abcd 0
d 000
2．x y 0 L 0 0 0 x yL 0 0
按第一列展开
0 0 x L 0 0 x xn1 y (1)n1 yn1
M
M
M
M
M
M
xn
(1)n1
yn
0 0 0L x y
第一章 行列式
习题一 二阶与三阶行列式 一、计算下列行列式 1．1 a b 1 a (c) (b) (a) c b
a 1 c b1(b) (c) c 1 a (a)1
b c 1 1 a2 b2 c2
2．cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin
L
an
0 b1 0 L 0
L an 0 0 b2 L 0
M M MM M M M
L an bn 0 0 0 L bn
n
b1L bn bi i 1
4．1 1 L 1 1 L
1
1 ( n 阶行列式）
M MMM
1 1 L 1
11
1 1 (n )
MM 11
(n ) n1
L1
11L 1
4
二、方程组
a12 x1 a22 x1
a1 x2 a2 x2
x3 x3
0 0
a32 x1 a3 x2 x3 0
满足什么条件时， 只有零解？
a12 a1 1
1 1 1 (a3 a2 )(a3 a1 )(a2 a1 ) 0
D a22 a2 1 a1 a2 a3
a1 a2 a3
习题六 克莱姆法则
一、问a,b 满足什么条件时，方程组
ax1 ax2 ax3 ax4 bx5 0
ax1 ax1
ax2 ax2
ax3 bx3
bx4 ax4
ax5 ax5
0 0
ax1
bx2
ax3
ax4
ax5
0
只有零解？
bx1 ax2 ax3 ax4 ax5 0
aaaab
a32 a3 1
a12 a22 a32
三、试讨论当
为何值时，方程组 x y
x
y
z z
0 0
有唯一解？有非零解？
x y z 0
11
11 1
11 1
D 1 1 ( 2) 1 1 ( 2) 0 1 0
11
11
0 0 1
( 2)( 1)2
2或 1，即D 0时有非零解 2且 1，即D 0时有唯一解
D1 a21 2a23 3a22 3a22 6D
a31 a32 a33
a31 2a33 3a32 3a32
二、计算下列行列式
1．1 2 3
1
2
3
99 201 298 100 1 200 1 300 2
45 6
4
5
6
123
0 1 1 2 15
456 2．0 1 1 1 1 0 1 1
31234
11122
4 a
8．若 0 0
315 bc
a11 a12 a21 a22
0 d
a13 1 a23
0
0
则0
a
a11 a21 a31 b
a12 a22 a32 c
a13 a23 1 a33 d
0 a31 a32 a33
a11 a12 a13
1
a21
a22
a23
a
a31 a32 a33
1 1
0
sin
cos
cos2 cos2 sin2 sin2 cos 2 sin2 sin2 cos2 1
二、利用行列式解下列方程组
1．
2 x1 x1
x2 3 x2
7 2
2 D
1
1 7
3
7 D1 2
2 D2 1
7 11
2
x1
D1 D
19 7
x2
D2 D
11 7
1 19
11111
aaaba
aaaba
D a a b a a (4a b) a a b a a
abaaa
abaaa
baaaa
baaaa
1 1 1 11
0 (4a b) 0
0 0 ba 0 0 b a 0 0 (4a b)(b a)4 0
0 ba 0 0 0
ba 0 0 0 0
即a b 且a b
1 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1 1
0 1 1 1
11
0
1 1 1
0
1 0
1
1
0
1 1 1 0 11 1 0
01 2 1
1 0 1 1
0 1 1 1
1
00 1 0
00 0 1
3．1 a1 1 a1 b1 1 a1 MM
1 a1
a2 a2 a2 b2 M
a2
L
an
1 a1 a2 L an
(a4 a3 )(a4 a2 )(a4 a1 )(a3 a2 )(a3 a1 )(a2 a1 )
4．a1 a1 0 L 0 a2 a2 L
0 0
0 0 a1
0
0 0 a2 L 0 0
M M MMMM 0
0 0 0 L an an 1
1 1 1L 1 1
0 0 0 0 a2 0 0 0
当 n 4k 1,4k 2 时为奇排列.
排列
习题三 n 阶行列式
二、确定 i, j 的值，满足2843i16 j 为奇排列，16ij32957 为偶排列。 1、i 5, j 7 2、i 8, j 4
一、填空与选择题
1．若 a1ma23a3 an 41为四阶行列式 | aij | 展开式中某一项，则
9．方程 1 1
3 2
2 3
3 2
1
1
2
3 0的根为
1
1 1, 1, 3, 7
10． 2 2 2 2 5 4 ( 1)2( 10) 2 4 5
二、单项选择题
1．已知排列 1r46s97t3为奇排列，则r, s,t 分别为
（A）r 2, s 5,t 8 （B）r 2, s 8,t 5 （C）r 5, s 2,t 8 （D）r 8, s 5,t 2
f ( x) 1 x 1
3 2 x
二、用行列式定义计算下列行列式
1．0 0 L 0 a1
0 0 L a2 0 (1)N (n(n1)L 21) a1L an
M 0
M an1
M L
M 0
M 0
n( n1)
(1) 2
a1
L
an
an 0 L 0 0
习题四 行列式的性质
2． 0 0 L 0 a1 0
n!
4．在 n 阶行列式展开式中，冠以正号的项有 2 个.
01 5．若 n 阶行列式
10 1
其中n为奇数，则 D 0
D O O O
1 01
10
6．设
3 1 2 4 则 A31 A32 A33 A34 0
1 1 11 D
2 7 5 3
1 7．设 2
0 23
22
2 62
45 1 1 则 A31 A32 A33 0, A34 A35 0
0 M
0 M
L a2 MM
0 M
0
M
(1) a L N ((n1)(n2)L 21n) 1
anFra Baidu bibliotek
( n1)( n2)
0 an2 L 0 0 0 (1) 2 a1L an an1 0 L 0 0 0
0 0 L 0 0 an
一、填空
若
a11 a12 a13 则
a11 2a13 3a12 3a12
D a21 a22 a23
3
2． x1 x2 3
x1
x3
2
x2
x3
1
110 D 1 0 1 2
011
310 D1 2 0 1 4
111
130 D2 1 3 1 2
011
113 D3 1 0 2 0
011
x1 2, x2 1, x3 0
习题二 一、计算下列排列的逆序数，并确定其奇偶性
1．3746152 N(3746152) 13 奇排列
0 0 an 0 2 3 n n1
n
(1)n(n 1) ai
i 1
5.
a0 1 0 0 0 0
a1 1 0 0 0
a1 x 1 0 0 0 a2 0 x 1 0 0
Dn1
a2 x 1 0 0
a0 xn
an1 0 0 x 1
an1 0 0 0 x 1
2．917368542 N(917368542)=23 奇排列
3．nn 1n 2L 321
nn 1
N
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
4．246L (2n)135L (2n 1)
nn 1
N 1 2 3L n
,
2
当 n 4k,4k 3 时为偶排列；
6 2 3 1 D
1111
4
2．若 1
1 D
1
3 7 5 1
13
12
5
3则
4
3
A41 A42 A43 A44 6
2 2 34
3．设四阶行列式 D4 的第三行元素分别为 1,0,2,4
①当 D4 5,10, a, 4
4 时，第三行元素所对应的代数余子式依次为 ，则 a 7
2
②当第四行元素对应的余子式依次为 5,10,a,4 时，a 21
an 0 0 0 x
an 0 0 0 0 x n 1
n
a2 1 0 0 0
a3 Dn a1 xn1
x 1 0 0
D2
an1 an
1 x
an1 0 0 x 1
an 0 0 0 x n 1
Dn1 a0 x n Dn
n
ai xni
i0
a0 x n a1 x n1 Dn1 a0 x n a1 x n1 an1 x an
m,n 之值及该项的符号为
.
（A）m 2,n 4, 符号为正；（B）m 2,n 4, 符号为负；
（C）m 4,n 2, 符号为负；（D）m 4,n 2, 符号不定；
2．在 D | aij |66 展开式中，项 a61a52a43a34a25a16
的符号为 负 .
3．在 n 1 阶行列式中，项 a a a L (n1)1 (n1)2 (n2)3 a a a a 3(n2) 2(n1) 1n n(n1) n2 n2 的符号为 (1) 2 .
1
2 3 x
4
0 0 x x
1 2 x 3 4
0 x 0 x
1 x 2 3 4
x 0 0 x
1 2 3 10 x 00x 0 0x0 0 x00 0
x3(10 x) 0
x1 x2 x3 0, x4 10
习题五 行列式按一行（列）展开 一、填空 1．若 8 7 4 3 则 A11 A12 A13 A14 0
（A）Dn 中所有元素非零； （B）Dn 中至少n个元素非零； （C）Dn 中任意两行元素之间不成比例；
（D）Dn中非零行的各元素的代数余子式与其对应元素相等.
2．四阶行列式 a1 0 0 b1
0
a2 b2
0
0 b3 a3 0
b4 0 0 a4
（A）a1a2a3a4 b1b2b3b4 （B）a1a2a3a4 b1b2b3b4 （C）(a1a2 b1b2 )(a3a4 b3b4 )（D）(a2a3 b2b3 )(a1a4 b1b4 )
3．
是行列式 Dn 非零的充分条件
y 0 0L 0 x
3．a13 a12 a1 1 a13 a23 a33 a43 1 1 1 1
a23 a33
a22 a32
a2 a3
1 a12 1 a1
a22 a2
a32 a3
a42 a1 a4 a12
a2 a22
a3 a32
a4 a42
a43 a42 a4 1 1 1 1 1 a13 a22 a32 a42
N((n 1)(n 1)(n 2)L 1n) n (n 2) (n 3) L 1 n2 n 2
2
4．n 阶行列式 | aij | 展开式中，含 a11a22 的项共 (n 2)!项.
5．若 n 阶行列式中有 n2 n 以上个元素为0，
则该行列式的值为 0
.
6．在函数
2x x 1 中，x3 的系数为 2 .
自测题 一、填空题 1．若a12a3ia2 ja51a44是5阶行列式中带正号的项，则i 3, j 5 2．已知三阶行列式中，第二列元素依次为1、2、3， 其对应的余子式依次为3、2、1，则该行列式的值为 -2
3．设a,b为实数，且 a b 0
则 a 0,b 0
b a 0 0
100 0 1
四、当 a,b取何值时，方程组
ax1 x2 x3 0
x1
bx2
x3
0
只有零解？有非零解？
x1
2bx2
x3
0
a111b1 1 b D 1 b 1 1 2b 1 0 b
1 0 b(1 a)
1 2b 1 a 1 1 0 1 ab 1 a
D 0,b 0且a 1时，只有零解 D 0,b 0或a 1时，有非零解
L1
0L 0
M
M
(n )
M
M
M
M
L 1
00L
三、解行列式方程
1．1 1 2 3
1 2 x2 2 231
3 0
5
2 3 1 9 x2
解：2 x2 1 9 x2 5 x 1, x 2
2． 1
2
3 4 x
1 2 3 x 4 0,
1 2 x 3 4
1 x 2 3 4
1 2 3 4 x 1 2 3 4 x