最新中考数学共边定理及其应用与推广

共边定理及其应用与推广

几何一直是初中数学的重难点，初中几何主要研究边角关系，并要求对边，角关系进行严格的证明、推理.学生普遍感觉几何好学但解题难，难在思维的深度，尤其难在辅助线的添加，许多几何题目往往受制于这神来一笔的辅助线.如何攻克这座堡垒呢?本文将介绍共边定理这一用途极广的几何解题工具，以供广大读者参考.

一、共边定理

共边定理建立在共边三角形的基础上，它是指，共边三角形的面积比等于第三个顶

点的连线被公共边所截得的线段比.

定理 如图1，设直线AB 与CD 交于M ，则有ABC ABD S CM S DM ∆∆= (共有四种情形

).

这个定理的证明基于一个基本的事实:共高三角形的面积比等于底的比.具体证明如下.

证明 ABC ABC ACM ADM ABD ACM ADM ABD S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆=g g

AB CM AM CM AM DM AB DM ==g g .

由于共边定理有四种位置情形却对应同一个比值，所以，如何选择两个合适的三角形，是运用共边定理解决间题的关键，而图形的选择差异使得解法往往不唯一

共边定理虽然是对等高等底三角形面积相等这一基本性质的推广，但是它的用途却相当的广泛.它在线段和面积之间建立了天然的桥梁，由此可利用这两种几何量的反复转化，证明一大批几何问题，尤其是在没有特别条件下只涉及直线相交、平行、同一直线上的线段比以及面积比等问题中，运用共边定理会得到易想不到的效果.下面通过几个例题来说明共边定理的应用.

二、共边定理的应用

1.有关线段的问题

例1 凸四边形ABCD 的两边,AD BC 延长后交于点K ；两边,AB CD 延长交于L ，对角线

,BD AC 延长后分别与直线KL 交于,F G ，如图2.求证:

KF KG LF LG =.

该题的叙述比较复杂，但其实不看文字，只看图也是一目了然的，即为几条直线相交后证同一直线的线段比.此题是数学大师华罗庚在《1978年全国中学生数学竞赛题》前言中提到的有趣的几何题.题目的证明较难，难点在于图中没有相似三角形和全等的三角形，只有几条线段相交的条件.但此题倘若利用共边定理来解决会变得很简单，具体证法如下.

证明 KBD KBD KBL LBD KBL LBD

S S S KF LF S S S ∆∆∆∆∆∆==g =

ACD ACK ACL ACD S S CD AK CL AD S S ∆∆∆∆=g g =ACK ACL S KG S LG ∆∆=

注 该题将共边定理面积比用于证明线段成比例，相反也可以利用线段成比例来证明面积比.

2.有关面积的问题

例2 在ABC ∆的三边,,BC CA AB 上，分别取点,,X Y Z ，使13CX BC =，13AY AC =，13

BZ AB =

.连,,AX BY CZ 三条线，围成LMN ∆，如图3.问LMN ∆的面积是ABC ∆面积的几分之几

? 解由于LMN ∆与ABC ∆不是公边三角形，为计算LMN ∆，将其转化为与ABC ∆公边的三角形MBC ∆，NCA ∆，LMN ∆来计算.

先求MBC S ∆.

ABC ABM BCM ACM MBC MBC S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=712

AY AZ CY BZ =++=. 又27NCA

ABC S S ∆∆=，

∴27

MBC ABC S S ∆∆=

. 同理，27

LAB ABC S S ∆∆=， ∴17LMN ABC S S ∆∆=. 3.有关平行的问题

现在我们反过来思考，共边定理的前提是直线

AB 与CD 交于一点M ，但是如果AB 与CD 不相交呢，会有什么情况?首先会不会有AB 与CD 不相交的情况呢?当然会.当ABC ABD S S ∆∆=，且CD 与AB 同侧的时候，它们会平行从而不相交，如图

4:

通过上述反向的思考得到了一个新的思路，即把共边三角形与平行直线联系到一起了.这个几何事实描述为:若点,C D 在AB 的同侧，//CD AB 的充要条件为ABC ABD S S ∆∆=.有了这一定理就可以不用平行线的性质来证明两直线的平行，张景中教授把这种方法称为“平行线面积判定法”.下面我们通过一个例题来说明其应甩

例3 已知线段AB 与一条平行于AB 的直线l ，

取不在AB 上也不在l 上的一点P ，作,PA PB 分别与直线l 交于点,M N ，连结,AN BM 交于O ，连PO 交直线AB 于Q ，如图5.求证:AQ BQ =

.

证明：AOP AOP AOB POB AOB PPOB

S S S AQ BQ S S S ∆∆∆∆∆∆==g PMN AMN BMN MNP S S PN AM NB PM S S ∆∆∆∆=

=g g 1AMN BMN

S S ∆∆==. 注在证明最后一步中运用了//AB l ，推导出了AMN BMN S S ∆∆=.

实际上此题还解决了在平面内给定两点

,A B 和平行于AB 的一条直线，仅利用没有刻度的直尺如何作出AB 的中点的操作方法.类似的方法还可以证明出PQ 平分l .如此一来，便得到了梯形中常见的一个

结论，即延长梯形两腰的交点与梯形对角线的连线平分梯形的上下底. 此外，在这个过程中还有一个结论

1PN AM NB PM =g ，实际上得到了平行线分线段成比例定理. 共边定理不仅能推导出以上的定理，它还可以推导出相似形基本定理，平行四边形的性质，三角形重心的性质，“共角定理”等.还有一些用传统方法比较难证的定理如“赛瓦定理”，“帕普斯定理”，“德沙格定理”等等，在这里就不一一赘述了，有兴趣的读者可以尝试证明.

三、共边定理的推广

下面将共边定理进行空间上的推广，即得到共面定理.

共面定理：设直线PQ 与平面ABC 交于一点S ，如图6，则有

P ABC Q ABC V PS V QS --=

.

该定理可用于立体几何的计算与证明.

此外，共边定理还可以用于解决应用题.例如在行程问题当中，时间不变就等价于三角形中一的高不变，一般涉及正比例的应用题都可以考虑用共边定理来解决，而不仅限于解决平面几何的问题.

那么，相比传统方法，共边定理有哪些优点呢?

(1)可接受性

共边定理基于一个基本的事实，即共高三角形的面积比等于底的比.这个道理在小学就接触过，学生学起来简单，相比相似三角形和全等三角形，需要判定相似或全等的条件比较多，学生的可接受性较强一

(2)通用性

平面几何中的基本图形是三角形，从统计学的角度来看，一般几何图形中出现全等三角形或相似三角形的可能性太小了.为了能利用相似三角形和全等三角形性质来解题，就需要添加辅助线，但辅助线的添加往往无章可循，而共边三角形却比比皆是，因而它的性质具有通用性.

(3)对等性

利用相似三角形和全等三角形性质解决问题，需要三个判定条件证明全等或相似.相比之下，共边定理则是一个条件对应一个结论，正是这种对等性，往往能简化几何证明的过程.

在这里需要说明的是，共边定理的应用并不排斥传统几何方法中那些有效的方法，相反，它能为传统方法提供更简捷的证明思路一个定理的用途越广，就越能凸显该定理的重要性从上述的例题可以看出，共