【泄露天机】2018届全国统一招生高考押题卷理科数学(一)试卷(含答案)
2018年高考理科数学全国卷1含答案
9.【答案】C 【解析】若 g(x) 存在 2 个零点,即 f (x) x a 0 有 2 个不同的实数根,即
y f (x) 与 y x a 的图像有两个交点,由图可知直线 y x a 不在直线 y x 1
的上方即可,即 a 1 ,则 a 1 .故选 C.
B. M(A)
N(B)
M
16
2
4N
8.【答案】D
【解析】由方程组
y 2 (x 3
y2 4x
2)
,解得
x y
1 2
或
x y
4 4
,不妨记
M
(1,
2),
N
(4,
4)
.
又 F 为 (1,0) ,所以 FM FN (0, 2) (3, 4) 8 ,故选 D.
检验,如检验出不合格品,则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取 20 件作检 验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率
都为 p 0 p 1 ,且各件产品是否为不合格品相互独立. ⑴记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f p ,求 f p 的最大值点 p0 ;
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案解析
一、选择题
1.【答案】C
【解析】
z
1 i2 1 i1 i
2i
2i 2
2i
i ,则
z
1 ,选
C.
2.【答案】B
【解析】 CR A {x | x2 x 2 0} {x | 1 x 2} ,故选 B. 3.【答案】A
2018高考全国卷1理科数学试题及答案(word版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设121iz i i-=++,则z =( )A .0B .12C .1D 2.已知集合{}2|20A x x x =-->,则A =R( )A .{}|12x x -<<B .{}|12x x -≤≤C .{}{}|1|2x x x x <->D .{}{}|1|2x x x x -≤≥3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( ) A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+,12a =,则3a =( ) A .12-B .10-C .10D .125.设函数()()321f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点()00,处的切线方程为( ) A .2y x =-B .y x =-C .2y x =D .y x =6.在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =( ) A .3144AB AC - B .1344AB AC - C .3144AB AC +D .1344AB AC + 7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图所示,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( ) A .217B .25C .3D .28.设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过点()20-,且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM FN ⋅=( )A .5B .6C .7D .89.已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩,≤,,()()g x f x x a =++,若()g x 存在2个零点,则a 的取值范围是( ) A .[)10-,B .[)0+∞,C .[)1-+∞,D .[)1+∞,10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC ,ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为1p ,2p ,3p ,则( ) A .12p p =B .13p p =C .23p p =D .123p p p =+11.已知双曲线2213x C y -=:,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N .若OMN △为直角三角形,则MN =( ) A .32B .3C .23D .412.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A .334B .233C .324D .32二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x y ,满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤,则32z x y =+的最大值为________.14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+,则6S =________.15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)16.已知函数()2sin sin 2f x x x =+,则()f x 的最小值是________.三、解答题(共70分。
2018年高考数学全国卷Ⅰ+答案(理科)(精美版)
绝密★启封并使用完毕前试题类型:A2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(Ⅰ)注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设,211i iiz ++-=则=|z | ( ) A. 0 B. 21C. 1D.22.已知集合}02|{2>--=x x x A ,则=A C R ( ) A.}21|{<<-x x B. }21|{≤≤-x xC. }2|{}1|{>-<x x x xD. 2}x |{x -1}x |{x ≥≤3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是: A. 新农村建设后,种植收入减少。
B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上。
C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍。
D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
4.记n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,若231423=+=a S S S ,,则=5a ( )A. -12B. -10C. 10D. 125.设函数ax x a x x f +-+=23)1()(若f(x)为奇函数,则曲线在点(0,0)处的切线方程为:( )A. y=-2xB. y=-xC. y=2xD. y=x6.在∆ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,,则=EBA.AC AB 4143- B.AC AB 4341- C. AC AB 4143+ D. AC AB 4341+7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图。
泄露天机2018高考押题卷理科数学(一)
泄露天机2018高考押题卷理科数学(一) 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(一)注意事项:1.在答题卡上填写姓名和准考证号。
2.选择题用铅笔在答题卡上标记选项,非选择题在答题卡上作答。
3.考试结束后将试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分。
1.复数z=a+ai(a∈R)的共轭复数为z,满足z=1,则复数z 为()A。
2+iB。
2-iC。
1+iD。
i解析】根据题意可得,z=a-ai,所以z^2=a^2+1=1,解得a=0,所以复数z=i。
2.集合A={θ|0<θ<π/2.2<sinθ≤1},B={φ|4/5<φ<1},则集合AB={θ|π/4<θ<π/2.4/5<sinθ≤1}。
解析】A可以化为{θ|π/6<θ<π/2},所以AB为{θ|π/4<θ<π/2.4/5<sinθ≤1}。
3.从有2对不同表征的小鼠(白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对)的实验箱中每次拿出一只,不放回地拿出2只,则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为3/4.解析】分别设一对白色斑块的野生小鼠为A,a,另一对短鼻子野生小鼠为B,b,从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只,所求基本事件总数为4×3=12种,拿出的野生小鼠不是同一表征的事件为(A,a),(a,A),(B,b),(b,B),所以概率为3/4.1.将函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)的图像向左平移π/6个单位长度后得到函数y=sin2x+3cos2x的图像,求ϕ的可能值。
解析:将函数y=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π/3)的图像向右平移π/6个单位长度,得到函数y=2sin2x的图像。
因此,ϕ=π/6.2.在XXX墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱,假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆,摆放规则如下:底部并排码放70缗,然后一层一层往上码,每层递减一缗,最上面一层为31缗,则这一堆铜钱的数量为多少?解析:构成一个以首项为70缗,末项为31缗,项数为40层,公差为1的等差数列,则和为S=40×(70+31)=2020缗,这一堆铜钱的数量为2020×1000=2.02×106枚。
2018届全国统一招生高考押题卷理科数学试卷
则这一堆铜钱的数量为()绝密★启用前66662102.025102.02102.05102018年普通高等学校招生全国统一考试 A.枚 B.枚 C.枚 D.枚6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()理科数学(一)注意事项:1、答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
号位2、回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
座封如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡正视图侧视图上,写在本试卷上无效。
3、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
密第Ⅰ卷号一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合场不2π1+π2+2π12πA. B. C. D.考题目要求的.y157.如图的程序框图,当输出后,程序结束,则判断框内应该填()z a i a R z11.复数的共轭复数为,满足,则复数()z x≤1x≤2x≤3x≤4A. B. C. D.订2i2i1i i A. B. C. D.1B A A=0,<sin≤1B12.集合,(),则集合24装号证11A. B.C. D.426624考准3.2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明:关于野生小鼠的最新研究,只它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子.为了观察野生小鼠的这种表征,从有2对不同表征的小鼠(白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对)的实验箱中每次拿出一只,不放回地拿出2只,则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为()卷1123A. B. C. D.3434名姓fx2sin x4.已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数8.已知某函数图象如图所示,则图象所对应的函数可能是()6此y sin2x3cos2x的图象,则的可能值为()0A. B. C. D.6312级5.在海昏侯墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱.汉代串铜钱的丝绳或麻绳叫“缗”,后来演变x班x x|x|2y2﹣xy22y e x y A. B. C. D.x2为计量铜钱的单位,1000枚铜钱用缗串起来,就叫一缗.假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆,摆放规则如下:底部并排码放70缗,然后一层一层往上码,每层递减一缗,最上面一层为31缗,理科数学试卷第1页(共20页)理科数学试卷第2页(共20页)22xy32CBD=A BD CA BD Cy4xa0,b01CBD△ABD,沿把翻折起来,形成二面角,且二面角为,.若双曲线:9的一条渐近线被抛物线所截得的弦长为,222ab62ACCBD则双曲线的离心率为()此时,,,在同一球面上,则此球的体积为___________. 1A. B.1 C.2 D.4 42xy fxfx x2axex210.若是函数错误!未找到引用源。
(完整版)2018年高考全国一卷理科数学答案及解析
2018年普通高等学招生全国统一考试(全国一卷)理科数学参考答案与解析一、选择题:本题有12小题,每小题5分,共60分。
1、设z=,则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i )i -(,所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0},则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0},所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是:A 、新农村建设后,种植收入减少。
B 、新农村建设后,其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后,种植收入37%*200%=74%>60%,【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d),整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f(x)为奇函数,有f(x)+f(-x)=0整理得:f(x)+f(-x)=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f(x)=x3+x求导f‘(x)=3x2+1f‘(0)=1 所以选D【考点定位】函数性质:奇偶性;函数的导数6、在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43)AC 41AB 41(-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开:注意到B 点在41圆周处。
2018全国高考理科数学[全国一卷]试题和答案解析
2018年全国普通高等学校招生全国统一考试(全国一卷)理科数学一、选择题:(本题有12小题,每小题5分,共60分。
) 1、设z=,则∣z ∣=( )A 。
0B 。
C.1 D.2、已知集合A={x |x 2-x —2〉0},则A =( )A 、{x |—1<x<2}B 、{x|-1≤x ≤2}C 、{x|x 〈—1}∪{x|x>2}D 、{x|x ≤—1}∪{x |x ≥2}3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( )A.新农村建设后,种植收入减少B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3 = S 2+ S 4,a 1 =2,则a 5 =( ) A 、-12 B 、—10 C 、10 D 、125、设函数f (x )=x ³+(a —1)x ²+ax .若f (x )为奇函数,则曲线y= f (x)在点(0,0)处的切线方程为( )A.y= —2xB 。
y= -xC 。
y=2xD 。
y=x6、在∆ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则=( )建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例A。
— B. - C. + D。
+7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图。
圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( )A. 2B. 2C。
3D。
28。
设抛物线C:y²=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=( ) A。
2018年高等学校招生全国统一考试押题卷理科数学试卷(一)含解析
A. 3
4
【答案】 C 【解析】 i 1,
B. 7
8
C. 15
16
D. 31
32
(1) x 2 x 1, i 2 ,
(2) x 2 2x 1 1 4x 3,i 3,
(3) x 2 4x 3 1 8x 7,i 4,
(4) x 2 8x 7 1 16x 15,i 5,
所以输出 16x 15 0 ,得 x 15 ,故选 C.
B. 2,0
C. 0, 2
D. 2, 0
xy2
x2
【解析】 解方程组
,得
.故 M N
xy2
y0
2,0 .选 D.
3.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗: “我有一壶酒,携着游春 走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经四处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多 少酒? ”用程序框图表达如图所示, 即最终输出的 x 0 ,则一开始输入的 x 的值为 ()
形码粘贴在答题卡上的指定位置。用
2B 铅笔将答题卡上试卷类型
A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答:每小题选出答案后,用
2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
直角坐标系;则:A
1,0 ,B 1,0 ,设 P x ,y
,
PA =
2;
PB
2
x1
2
x1
y2 = 2,
y2
两边平方并整理得: x2 y2 6x 1 0 是 1 2 2 2 2 2 ,选 A .
2
2018届全国统一招生高考押题卷理科数学(一)试卷(含答案)
4
2
B. 1
6
C.
6
2
D. 1
4
【答案】D
【解析】 A= 0, 1 <s≤in
2
1
5
,
A
I
6
6
B
4
1
.
3.2018 年 3 月 7 日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明:关于野生小鼠的最新研究,它们 在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子.为了观察野 生小鼠的这种表征,从有 2 对不同表征的小鼠(白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对)的实验箱中每次拿出 一只,不放回地拿出 2 只,则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为( )
量为( )
A. 2 106 枚
B. 2.02 106 枚
C. 2.025106 枚 D. 2.05106 枚
【答案】B
【解析】由题意可知,构成一个以首项为 70 缗,末项为 31 缗,项数为 40 层,公差为 1 的等差数列,则和
为 S = 40 70+31=2020 缗,这一堆铜钱的数量为 2020 1000 2.02 106 枚.
C.1 i
D. i
【解析】根据题意可得, z a i ,所以 z a2 1 1,解得 a 0 ,所以复数 z i .
2.集合 A= 0, 1 <s≤in
1 ,
B
1
,则集合
A
B
2018年高考理科数学全国卷1含答案
理科数学试题A 第1页(共18页)理科数学试题A 第2页(共18页)绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上,将条形码横贴在答题卡右上角“条形码张贴处”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设121iz i i-=++,则z =( ) A .0B .12C .1D2.已知集合{}2|20A x x x =-->,则A =R ð( ) A .{}|12x x -<<B .{}|12x x -≤≤C .{}{}|1|2x x x x <->D .{}{}|1|2x x x x - ≤≥3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( ) A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+,12a =,则3a =( )A .12-B .10-C .10D .125.设函数()()321f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点()00,处的切线方程为( )A .2y x =-B .y x =-C .2y x =D .y x =6.在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =( )A .3144AB AC - B .1344AB AC -C .3144AB AC +D .1344AB AC +7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图所示,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N的路径中,最短路径的长度为( )A.B.C .3D .2 8.设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过点()20-,且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM FN ⋅=( )A .5B .6C .7D .8-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________理科数学试题A 第3页(共18页)理科数学试题A 第4页(共18页)9.已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩,≤,,()()g x f x x a =++,若()g x 存在2个零点,则a 的取值范围是( ) A .[)10-,B .[)0+∞,C .[)1-+∞,D .[)1+∞,10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC ,ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为1p ,2p ,3p ,则( )A .12p p =B .13p p =C .23p p =D .123p p p =+11.已知双曲线2213x C y -=:,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N .若OMN △为直角三角形,则MN =( )A .32B .3C.D .412.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A. B.C.D二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x y ,满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤,则32z x y =+的最大值为________.14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+,则6S =________.15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)16.已知函数()2sin sin 2f x x x =+,则()f x 的最小值是________.三、解答题(共70分。
2018年全国统一高考数学押题卷(理科)(一)(解析版)19
全国统一高考数学押题卷(理科)(一)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.已知全集U=R,集合A={x|x<﹣1},B={x|x≥0},则集合∁U(A∪B)=()A.[﹣1,+∞)B.(﹣∞,0)C.(﹣1,0]D.[﹣1,0)2.已知i是虚数单位,若=1﹣i,则z的共轭复数为()A.1﹣2i B.2﹣4i C.﹣2i D.1+2i3.某社团有男生30名,女生20名,从中抽取一个容量为5的样本,恰好抽到2名男生和3名女生,则①该抽样一定不是系统抽样;②该抽样可能是随机抽样;③该抽样不可能是分层抽样;④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率;其中说法正确的为()A.①②③ B.②③C.③④D.①④4.已知点P是△ABC内一点,且+=6,则=()A.B.C.D.5.已知函数f(x)=a x,则“0<a≤”是“对任意x1≠x2,都有<0成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6.在等比数列{a n}中,a3,a15是方程x2﹣6x+8=0的根,则的值为()A.B.4 C.D.±47.执行如图所示的程序框图,则输出的a的值为()A.B.C.D.8.设函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(|φ|<),且其图象关于直线x=0对称,则()A.y=f(x)的最小正周期为π,且在(0,)上为增函数B.y=f(x)的最小正周期为,且在(0,)上为增函数C.y=f(x)的最小正周期为π,且在(0,)上为减函数D.y=f(x)的最小正周期为,且在(0,)上为减函数9.若关于x的不等式3x2+2ax+b≤0在区间[﹣1,0]上恒成立,则a2+b2﹣1的取值范围是()A.[,+∞)B.(﹣1,]C.[,+∞)D.(﹣1,]10.某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师),其中甲和乙不能都去,甲和丙只能都去或都不去,则不同的选派方案共有()A.150种B.300种C.600种D.900种11.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点为F2(2,0),设A、B是双曲线上关于原点对称的两点,AF2、BF2的中点分别为M、N,已知以MN为直径的圆经过原点,且直线AB的斜率为,则双曲线的离心率为()A.B.C.2 D.212.设函数f(x)=x2﹣b|x|+c,g(x)=kx+c﹣2(k>0),函数h(x)=f(x)﹣g(x),若f(﹣4)=f(0),f(﹣2)=﹣2,则当函数h(x)的零点个数为2时,k的取值范围为()A.B.C.(4,+∞)D.二、填空题:本大题共4小题。
2018年普通高考(泄露天机)押题卷 理科综合(一)学生版
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试注意事项:1、答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
可能用到的相对原子质量:H-1 C-12 N-14 O-16 Al-27 P-31 Cu-64一、选择题:本大题共13小题,每小题6分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列有关细胞结构与功能的叙述中错误的是A .溶酶体能吞噬并杀死侵入细胞的病毒或病菌,属于免疫活性物质B .蛋白质的产生不一定需要内质网、高尔基体、细胞膜的参与C .细胞膜上的磷脂和大部分蛋白质都可运动,利于物质的跨膜运输D .核孔为蛋白质复合体,对通过的物质既有大小限制,也有选择透过性 2.下列有关实验的叙述中,正确的是A .在“探究动物细胞的吸水和失水”实验中,必须以哺乳动物成熟的红细胞为实验材料。
B .在“探究细胞大小与物质运输的关系”实验中,用NaOH 溶液是因为琼脂遇NaOH 会呈紫红色,便于观察。
C .在“观察根尖分生组织细胞的有丝分裂”实验中,观察到的是死细胞,而在“观察蝗虫精母细胞减数分裂”实验中,观察到的是活细胞。
D .在“探索生长素类似物促进插条生根的最适浓度”实验中,浸泡法和沾蘸法处理的都是插条的基部。
3.在植物体内,生长素和乙烯的关系如图所示,下列说法正确的是A .从图中可知,生长素和乙烯在促进菠萝开花方面起拮抗作用B .在植物体内,有色氨酸的部位都可能会合成生长素C .在植物体内,有蛋氨酸的部位都可能会合成乙烯D .此实例说明基因能通过控制蛋白质的结构直接控制生物体的性状 4.下列关于基因、DNA 、遗传信息和染色体的描述,正确的是 A .遗传信息是指DNA 中碱基的排列顺序B .碱基排列顺序的千变万化,构成了DNA 分子的多样性和特异性C .不管是原核生物还是真核生物,体内所有基因的碱基总数均小于DNA 分子的碱基总数D .染色体是DNA 的主要载体,每一条染色体上都只有一个DNA 分子5.1936年,人们将环颈雉引入美国的一个岛屿,其后五年期间环颈雉种群数量变化如图所示,下列叙述错误的是A .在这五年期间,种群的出生率大于死亡率,该种群的年龄组成属于增长型B .在这五年期间,环颈雉适应当地环境且缺乏天敌,种群的λ值均大于1C .自引入到该岛屿开始,环颈雉种群内部就出现了竞争现象D .引入环颈雉可使该岛屿的生物多样性增加,提高了生态系统的稳定性6.在一种圆眼刚毛果蝇中存在某种致死现象,某科研小组将一对圆眼刚毛的雌、雄果蝇进行杂交,发现其子代的表现型及数目如下表所示,下列分析错误的是A .题述两对性状对应基因的遗传遵循基因自由组合定律B .在子代圆眼刚毛雌果蝇中纯合子占1/6C .在子代圆眼截毛雌果蝇中杂合子占1/2D .继续将子代中的圆眼截毛果蝇进行杂交,后代雌果蝇中纯合子占3/4此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号7.化学与生活、社会发展息息相关,下列有关说法不正确的是A.玛瑙的主要成分是二氧化硅,陶瓷的主要成分是硅酸盐B.医院常用乙醇、次氯酸钠溶液、双氧水消毒,其消毒原理不相同C.工业用盐亚硝酸钠有咸味,可被用来制造食盐D.东汉魏伯阳在《周易参同契》中对汞的描述:“……得火则飞,不见埃尘,将欲制之,黄芽为根。
2018年高考押题理科数学试题(一)答案
2018年高考信息预测押题仿真模拟试题(新课标全国卷)理科数学(一)答案1.B 【解析】依题意,由4log (1)1x +≤,得014x <+≤,13x -<≤,即集合(1,3]A =-,{1,3}AB =,故选B .2.A 【解析】解法一 由复数的运算可得1ii 23i 422i z+=--+=-, 设i z a b =+(,)a b ∈R ,则22221i 1i i 22i i a b a bz a b a b a b+++-==+=-+++, 所以222222a ba b a b a b +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩,解方程组得0a =,12b =,所以i 2z =,故选A .解法二 由复数的运算可得1ii 23i 422i z+=--+=-, 所以21i (1i)2i i2(1i)2(1i)(1i)42z ++====--+.3.B 【解析】将||||+=-a b a b 两边平方得0⋅=a b ,将已知代入得4(3)0a a -+=,即2340a a +-=,解得4a =-或1,故选B .4.B 【解析】初始值:0n =,S =0;第一次循环:n =1,S =1;第二次循环:n =2,S =1+2=3;第三次循环:n =3,S =3+3=6;第四次循环:n =4,S =6+4=10;第五次循环:n =5,S =10+5=15;第六次循环:n =6,S =15+6=21;第七次循环:n =7.因为输出的值为21,所以结合选项可知判断框内应填6n >,故选B . 5.A 【解析】由3121x x -<+,得301x x -<+,即13x -<<;由51()42x ->,得5211()()22x -->,所以52x -<-,即3x <.因此p 是q 的充分不必要条件,故选A . 6.D 【解析】11a =,22a =,2342a ==,3482a ==,45162a ==,…,所以12n n a -=,410511221040a a +=+=,故选D .7.A 【解析】作出402404x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤,所对应的可行域(如图中△BDE 及其内部所示),1yx +表示可行域内的点与定点(1,0)-连线的斜率,当取图中△ABC 内及边界上的点时,215y x +≤成立.由40240x y x y +-=⎧⎨-+=⎩,可得48(,)33E , 由402520x y x y +-=⎧⎨-+=⎩,可得1810(,)77C ,由42520x x y =⎧⎨-+=⎩,得(4,2)A ,故118102(4)277ABC S ∆=⨯⨯-=,148164(4)22333BDE S ∆=⨯⨯-=⨯=, 则所求概率1031571656ABC BDE S P S ∆∆==⨯=,故选A .8.A 【解析】由三视图可画出几何体的直观图为多面体ABCDEF ,放在长方体中如图所示,则几何体的表面由四个全等且直角边长分别为2,3的直角三角形,两个边长分别为2的正方形构成,故几何体的表面积为142324162⨯⨯⨯+=+9.C 【解析】由图知A =不妨设两个相邻的最高点和最低点分别为P ,Q ,过P 作PH⊥x 轴于H ,如图所示.令||HM m =(0m >),则224m +=,得1m =,所以P,(3,Q ,设函数()f x 的最小正周期为T ,则22T =,24T πω==,2πω=,所以()sin()2f x x πϕ=+.将(2,0)代入得k πϕπ+=()k ∈Z ,因为||2πϕ<,所以0ϕ=,()2f x x π=,所以1()sin[()]23g x x π=-sin()26x ππ-. 由222262k x k ππππππ--+≤≤()k ∈Z ,解得244433k x k -+≤≤()k ∈Z ,令1k =,得101633x ≤≤,()g x 的一个单调递增区间为1016[,]33,故选C .10.B 【解析】联立抛物线22x py =与直线22y x =+的方程,消去y 得24x px -40p -=.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则216160p p ∆=+>,124x x p +=,124x x p =-,∴(2,2)Q p p .∵|2||2|QA QB QA QB +=-,∴0QA QB ⋅=,∴1212(2)(2)(2)(2)0x p x p y p y p --+--=,即1212(2)(2)(222)(222)0x p x p x p x p --++-+-=,∴212125(46)()8840x x p x x p p +-++-+=,将124x x p +=,124x x p =-代入,得24310p p +-=,得14p =或1p =-(舍去).故选B . 11.C 【解析】∵DA ⊥平面ABC ,182ABC S AB AC ∆=⋅=,∴三棱锥的体积1832333ABC V S DA DA ∆=⋅=⋅=,∴DA =4,∴BD ==CD ==设BC 的中点为F ,连接EF ,AF ,如图,则12EF CD ==12AF BC ==12AE BD ==AEF 是正三角形, ∴∠AEF =60°.∵E 是DB 的中点,则EF ∥DC , ∴∠AEF 是异面直线AE 与DC 所成的角, 即异面直线AE 与DC 所成角的大小为60°.12.D 【解析】解法一:先作出()f x 的图象如图所示,通过图象可知,若0a b <<,()()f a f b =,则01a b <<<,设()()f a f b ==t ,则120182018log log a tb t =⎧⎪⎨⎪=⎩(t >0), 故20182018t ta b -⎧=⎨=⎩,所以1ab =,2220182018t t a b +=+,而20180t>,所以2220182018t ta b +=+≥,当且仅当2018t= 令2m a b =+,则m ≥,故2222211742(2)(2)44()24a b a b a b a b m m m +++=+++-=+-=+-, 因为2117()24y m =+-在)m ∈+∞上单调递增,所以22211742()424a b a b m +++=+-+≥解法二:先作出()f x 的图象如图所示,通过图象可知,若0a b <<,()()f a f b =,则01a b <<<,可得1201820182018loglog log a a b =-=,所以201820182018log log log ()0a b ab +==,所以1ab =,1b a=,所以122a b a a +=+≥12a a =,即2a =时,等号成立. 令2m ab =+,则m ≥,所以2222211742(2)(2)44()24a b a b a b a b m m m +++=+++-=+-=+-,因为2117()24y m =+-在)m ∈+∞上单调递增,所以22211742()424a b a b m +++=+-+≥ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.12【解析】由二项展开式的通项616=C (sin )rr r r T x ϕ-+可得,56C sin 3ϕ=,即1sin 2ϕ=,因此1cos 22ϕ=. 14.2(,2]e e -∞-【解析】由2[()]2()0f x f x a --≥ 在[0,1]上有解,可得2[()]2()a f x f x -≤,即22xx a e e -≤.令2()2xx g x ee =-(01)x ≤≤,则max ()a g x ≤,因为01x ≤≤,所以1xe e ≤≤,则当xe e =,即1x =时,2max ()2g x e e =-,即22a e e -≤,故实数a 的取值范围是2(,2]e e -∞- .15.如图所示,连接BD ,因为ABCD 为圆内接四边形,所以A C +=180°,则cos cos A C =-,利用余弦定理得22265cos 265BD A +-=⨯⨯,22234cos 234BD C +-=⨯⨯,解得22747BD =,所以3cos 7C =-.由22sin cos 1C C +=,得sin C =,因为A C +==180°,所以sin sin A C ==11563422ABD BCD ABCD S S S ∆∆=+=⨯⨯⨯⨯=四边形.16【解析】由已知得,(,0)A a -,(,0)B a ,1(,0)F c -,2(,)b M c a-.由BOQ ∆∽△1BF M 可得,11||||||||OQ OB MF BF =,即2||OQ a b a c a =+,解得2||b OQ a c =+. 由AOP ∆∽△1AF M 可得,11||||||||OP OA MF AF =,即2||OP a b c a a=-,解得2||b OP c a =-. 由已知||||OP e OQ =,可得22b b ec a a c=⨯-+, 所以()a c e c a +=-,即1(1)e e e +=-, 整理得221e e -=,故1e =. 17.【解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,因为114a =,35564a a +=, 所以241154464q q +=,故214q =,所以12q =±,因为0n a >,所以12q =,(4分)所以1111()242n n n a ---=⨯=. (6分)(2)由(1)知12n n a --=,因为114a =,所以111(1)112142(1)22212n n n n n S +--==-=-,(9分) 因为11(21)n n n b S +=-⋅,所以1112112()(21)(21)2121n n n n n n b +++==-----, 所以22311111112()212121212121n n n T +=-+-+⋅⋅⋅+------- 2111242(1)2121n n n +++-=-=--.(12分)18.【解析】(1)由所给的茎叶图知,甲班50名同学的成绩由小到大排序,排在第25,26位的是108,109,数量最多的是103,故甲班数学成绩的中位数是108.5,众数是103;(2分)乙班48名同学的成绩由小到大排序,排在第24,25位的是106,107,数量最多的是92和101,故乙班数学成绩的中位数是106.5,众数为92和101.(4分) (2)由茎叶图中的数据可知,甲班中数学成绩为优秀的人数为20,优秀率为202505=;乙班中数学成绩为优秀的人数为18,优秀率为183488=.(6分) (3)用甲班学生数学成绩的频率估计概率,则高三学生数学成绩的优秀率25p =,则X 的所有可能取值为0,1,2,3,X 服从二项分布,即2(3,)5XB ,033327(0)C ()5125P X ===;1232354(1)C ()55125P X ==⨯⨯=;2232336(2)C ()35125P X ==⨯⨯=;33328(3)C ()3125P X ===.(10分)X 的分布列为EX =0×27125+1×125+2×125+3×125=5(或EX =355⨯=).(12分)19.【解析】(1)取AD 的中点G ,连接GM ,GN ,在三角形ADE 中,∵M ,G 分别为AE ,AD 的中点,∴MG ∥DE , ∵DE ⊂平面CDEF ,MG ⊄平面CDEF ,∴MG ∥平面CDEF .(2分) 由于G ,N 分别为AD ,BC 的中点,由棱柱的性质可得GN ∥DC , ∵CD ⊂平面CDEF ,GN ⊄平面CDEF ,∴GN ∥平面CDEF .(3分) 又GM ⊂平面GMN ,GN ⊂平面GMN ,MG ∩NG =G , ∴平面GMN ∥平面CDEF ,∵MN ⊂平面GMN ,∴MN ∥平面CDEF .(5分)(2)连接EB ,在Rt △ABE 中,1AB =,AE =∴2BE =,又1ED =,DB =,∴222EB ED DB +=,∴DE EB ⊥,又DE AE ⊥且AEEB E =,∴DE ⊥平面ABFE .(7分)建立如图所示的空间直角坐标系,可得E (0,0,0),A0,0),F (0,1,0),C (0,1,1),AC=(1,1),AE=(0,0),FC =(0,0,1).(8分) 设平面AFC 的法向量为(,,)x y z =m ,则300AC y z FC z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩m m ,则0z =,令1x =,得y =m =(10)为平面AFC 的一个法向量,设平面ACE 的法向量为111(,,)x y z =n ,则11113030AE AC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩n n ,则10x =,令11y =,得11z =-,∴(0,1,1)=-n 为平面ACE 的一个法向量.(10分)设m ,n 所成的角为θ,则cos ||||θ⋅===⋅m n m n 由图可知二面角E AC F --的余弦值是4(12分) 20.【解析】(1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为142ab ⨯=,得ab =(2分) 延长2F Q 交直线1F P 于点R ,因为2F Q 为∠12F PF 的外角平分线的垂线,所以2||||PF PR =,Q 为2F R 的中点, 所以1112||||||||||||222F R F P PR F P PF OQ a ++====, 所以2a =,b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=.(5分) (2)将直线l 和椭圆的方程联立得224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去x ,得22(34)24360m y my +++=,所以222(24)436(34)144(4)0m m m ∆=-⨯+=->,即24m >.(7分) 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则11(,)A x y '-,由根与系数的关系, 得1222434m y y m -+=+,1223634y y m =+, 直线A B '的斜率21212121()y y y y k x x x x --+==--, 所以直线A B '的方程为121121()y y y y x x x x ++=--,令0y =得1221121212121212(4)(4)24D x y x y my y y my my y x y y y y y y ++++===++++,故1D x =,所以点D 到直线l的距离d =所以1||182ADBS AB d ∆=⋅==.(10分)令t =0t >),则21818163163ADB t S t t t∆=⋅==++,当且仅当163t t =,即221643t m ==-,即22843m =>,m =三角形ADB的面积最大,所以直线l的方程为3120x +-=或3120x --=.(12分) 21.【解析】(1)当2a =-,1b =时,2()ln f x x x x =-+,定义域为(0,)+∞,2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x-++-+-'=-+==.令()0f x '>,得01x <<;令()0f x '<,得1x >.所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(4分) (2)(i) ()()()F x f x g x =-=21ln 2x ax +,定义域为(0,+∞), 211()ax F x ax x x+'=+=,①当0a ≥时,()0F x '>,函数()F x 在(0,+∞)上为单调递增函数, 不存在极值.(6分)②当0a <时,令()0F x '=,得210ax +=,0x = 所以00()()()a x x x x F x x+-'=,易证()F x 在0(0,)x 上为增函数,在0(,)x +∞上为减函数,所以当0x x =时,()F x 取得极大值0()F x . 所以若函数()F x 有极值,实数a 的取值范围是(,0)-∞.(8分)(ii)由(i)知当0a ≥时,不存在12x x ≠,使得12()()F x F x =,当0a <时,存在12x x ≠,使得12()()F x F x =,不妨取1020x x x <<<,欲证1202x x x +>=,只需证明20102x x x x >->. 因为函数()F x 在0(,)x +∞上为减函数,故只需证201()(2)F x F x x <-, 即证101()(2)F x F x x <-,即证101()(2)0F x F x x --<.令2200011()()(2)(ln )[(2)ln(2)]22x F x F x x ax x a x x x x ϕ=--=+--+-, 则00001111()(2)222x ax a x x ax x x x x x xϕ'=++-+=++--.(10分) 设()()h x x ϕ'=,则002222004()11()(2)(2)x x x h x x x x x x x -'=-+=--,因为00x x <<,()0h x '<,所以()h x 在0(0,)x 上为减函数,200000002(1)11()()()20ax h x x x a x x x x ϕϕ+''=>=++==, 所以()x ϕ在0(0,)x 上为增函数,所以0000()()()(2)0x x F x F x x ϕϕ<=--=, 即101()(2)0F x F x x --<,故12x x +>(12分) 22.【解析】(1)由1C :41x t y t =-⎧⎨=-⎩,消去t 得30x y +-=, 所以直线1C 的普通方程为30x y +-=.把8sin ρθ=的两边同时乘以ρ得28sin ρρθ=,因为222x y ρ+=,sin y ρθ=,所以228x y y +=,即22(4)16x y +-=,所以曲线2C 的直角坐标方程为22(4)16x y +-=.(5分) (2)由(1)知,曲线2C :22(4)16x y +-=是圆心为(0,4),半径为4的圆,所以圆心(0,4)到直线30x y +-=的距离4d ==<, 所以直线1C 与曲线2C相交,其弦长为= (10分) 23.【解析】(1)当1a =时,()|21|5f x x ax =-+-=14,2136,2x x x x ⎧--<⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥, 由()0f x ≥,得1240x x ⎧<⎪⎨⎪--⎩≥或12360x x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥, 解得4x -≤或2x ≥,故不等式()0f x ≥的解集为{x |4x -≤或2x ≥}.(5分)(2)令()f x =0,得|21|5x ax -=-,则函数()f x 恰有两个不同的零点转化为|21|y x =-与5y ax =-+的图象有两个不同的交点,在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示,结合图象知当22a -<<时,这两个函数的图象有两个不同的交点,所以当22a -<<时,函数()f x 恰有两个不同的零点,故实数a 的取值范围为(2,2)-.(10分)。
2018全国I卷高考压轴卷理科数学含答案
2018全国卷Ⅰ高考压轴卷理科数学本试卷共23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}z x x x x A ∈≤-+=,022,{}z k k x x B ∈==,2,则B A 等于()A .{}10,B .{}24--,C . {}01,-D .{}02,- 2. 设,a b ∈R ,则“a b >”是“a a b b >”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件3. 为得到)63sin(2π+=x y 的图象,只需把函数x y sin 2=的图象上所有的点 ( ) A 、向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)B 、向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)C 、向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D 、向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)4.展开式中任取一项,则所取项是有理项的概率为( ) A.B.C.D.5. 已知函数2|21|,1()log (),1x x f x x m x +<⎧=⎨->⎩,若123()()()f x f x f x ==(1x 、2x 、3x 互不相等),且123x x x ++的取值范围为(1,8),则实数m 的值为( ). A .0B .-1C .1D .26. 如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A..3.233 D .337. 设函数()2ln 2f x x x x =-+,若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,使()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦,则k 的取值范围是( )A .92ln 21,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ B .92ln 21,4+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 92ln 21,10+⎛⎤ ⎥⎝⎦ D .92ln 21,10+⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 执行如图所示的程序,若输入的3x =,则输出的所有x 的值的和为A .243B .363C .729D .10929. 已知抛物线2:4M y x =,圆()()222:10N x y r r -+=>.过点()1,0的直线l 交圆N 于,C D 两点,交抛物线M 于,A B 两点,且满足AC BD =的直线l 恰有三条,则r 的取值范围为( )A .30,2r ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ B .(]1,2r ∈ C .()2,r ∈+∞ D .3,2r ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭10. 函数32)2()44ln()(-+-=x x x x f 的图象可能是( )A .B .C .D .11. 若0,0,a b >>且函数32()422f x x ax bx =--+在2x =处有极值,则ab 的最大值等于A .121B .144C .72D .8012. 已知双曲线的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是A. B . C .D . [)∞+,2 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(1、2、3卷)参考答案
2502018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)理科数学参考答案 第Ⅰ卷(选择题 60分)一、选择题(共60分) 1-12 CBABD ABDCA BA第Ⅱ卷(非选择题 90分)二、填空题(共20分)13.6 14.63- 15.16 16.2-三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(本小题满分12分) 解:(1)在ABD ∆中,由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知,52sin 45sin ADB=︒∠,∴sin =5ADB ∠.由题设知,90ADB ∠<︒,∴cos ADB ∠==.(2)由题设及(1)知,cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD ∆中,由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC=+-⋅∠25825255=+-⨯⨯=.∴5BC =.18.(本小题满分12分) 解:(1)由已知可得,BF ⊥PF ,BF ⊥EF ,∴BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD , ∴平面PEF ⊥平面ABFD . (2)作PH ⊥EF ,垂足为H . 由(1)得,PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点,HF 的方向为y 轴正方向,BF 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由(1)可得,DE ⊥PE .又DP =2,DE =1,∴PE.又PF =1,EF =2,∴PE ⊥PF .可得3,22PH EH ==,且3(0,0,0),(0,0,1,,0)22H P D -,3(1,22DP =.3(0,0,)2HP =为平面ABFD 的法向量.设DP 与平面ABFD 所成角为θ,则3sin 4HP DP HP DPθ⋅==⋅. ∴DP 与平面ABFD所成角的正弦值为4. 19.(本小题满分12分) 解:(1)由已知得(1,0)F ,l 的方程为x =1. 由已知可得,点A的坐标为(1,)2或(1,2-. ∴AM 的方程为20x -=或20x --=.(2)当l 与x 轴重合时, 0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,∴OMA OMB ∠=∠.251当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,且11(,)A x y ,22(,)B x y,则12x x MA ,MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--. 由1122,y kx k y kx k =-=-得 []()()12121223()422MA MB k x x x x k k x x -+++=--.将(1)(0)y k x k =-≠代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=. ∴22121222422=,2121k k x x x x k k -+=++,∴[]121223()4k x x x x -++3332441284021k k k k k k --++==+. 从而0MA MB k k +=,∴MA ,MB 的倾斜角互补, ∴OMA OMB ∠=∠. 综上,OMA OMB ∠=∠. 20.(本小题满分12分) 解:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()(1)f p C p p =-,且 21821720()[2(1)18(1)]f p C p p p p '=---217202(110)(1)C p p p =--.令()0f p '=,得0.1p =. 当(0,0.1)p ∈时,()0f p '>; 当(0.1,1)p ∈时,()0f p '<. ∴()f p 的最大值点为0.1p =. (2)由(1)知,0.1p =.(i )令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知(180,0.1)Y B ,202254025X Y Y =⨯+=+.∴(4025)4025490EX E Y EY =+=+=.(ii )如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于400EX >,∴应该对余下的产品作检验. 21.(本小题满分12分)解:(1)()f x 的定义域为(0,)+∞,且22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.(i )若2a ≤,则()0f x '≤,当且仅当2,1a x ==时,()0f x '=, ∴()f x 在(0,)+∞单调递减.(ii )若2a >,令()0f x '=得,2a x -=或2a x +=.当2a a x ⎛⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,()0f x '<;当x∈⎝⎭时,()0f x '>. ∴()f x 在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减,在⎝⎭单调递增.(2)由(1)知,()f x 存在两个极值点时,当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足21=0x a x -+,∴121x x =,不妨设12x x <,则21x >. 1212()()f x f x x x --121212ln ln 11x x a x x x x -=--+-1212ln ln 2x x a x x -=-+-2522222ln 21x ax x -=-+-,∴1212()()2f x f x a x x -<--等价于 22212ln 0x x x -+<. 设函数1()2ln g x x x x=-+,由(1)知,()g x 在(0,)+∞单调递减,又(1)=0g ,从而当(1,)x ∈+∞时,()0g x <. ∴22212ln 0x x x -+<,即 1212()()2f x f x a x x -<--.(二)选考题:22. (本小题满分10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]解:(1)由cos ,sin x y ρθρθ==得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=. (2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆.由题设知,1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ,y 轴左边的射线为2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点.当1l 与2C 只有一个公共点时,A 到1l 所在直线的距离为2,2=,解得43k =-或0k =.经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点.当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为2,2=,故0k =或43k =. 经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =时,2l 与2C 没有公共点. 综上,所求1C 的方程为423y x =-+.23.(本小题满分10分) [选修4—5:不等式选讲] 解:(1)当1a =时,()11f x x x =+--,即2(1),()2(11),2(1).x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩∴不等式()1f x >的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. (2)当(0,1)x ∈时11x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时1ax -<1成立. 若0a ≤,则当(0,1)x ∈时1ax -≥1; 若a >0,1ax -<1的解集为20x a<<,∴21a≥,∴02a <≤. 综上,a 的取值范围为(]0,2.2532018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)理科数学参考答案 第Ⅰ卷(选择题 60分)一、选择题(共60分) 1-12 DABBA ABCCA CD第Ⅱ卷(非选择题 90分)二、填空题(共20分) 13.2y x = 14.9 15.12-16.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(本小题满分12分)解:(1)设{a n }的公差为d ,由题意得3a 1+3d =–15. 由a 1=–7得d =2.∴{a n }的通项公式为a n =2n –9.(2)由(1)得S n =n 2–8n =(n –4)2–16.∴当n =4时,S n 取得最小值,最小值为–16.18.(本小题满分12分)解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下:(i )从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y =–30.4+13.5t 上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ii )从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(本小题满分12分)解:(1)由已知得(1,0)F ,l 的方程为为(1)(0)y k x k =-≠. 设11(,)A x y ,22(,)B x y .由2(1),4y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=. ∴ 216160k ∆=+>,212224=k x x k++. ∴AB AF BF =+212244(1)(+1)=k x x k +=++.由题设知2244=8k k+,解得k =–1(舍去),k =1.∴l 的方程为y =x –1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),∴AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--,即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则00220005,(1)(1)16,2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩∴所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=. 20.(本小题满分12分) 解:(1)∵4AP CP AC ===,O 为AC 的中点,所以OP AC ⊥,且OP =254连结OB .因为2AB BC AC ==,所以ABC ∆为等腰直角三角形,且OB AC ⊥,122OB AC ==.由222OP OB PB +=知OP OB ⊥. 由OP OB ⊥,OP AC ⊥知 OP ⊥平面ABC .(2)如图,以O 为坐标原点,OB 的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系O xyz -.由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)O B A -,(0,2,0)C,(0,0,P ,(0,2,AP =.取平面P AC 的法向量(2,0,0)OB =. 设(,2,0)(02)M a a a -<≤,则(,4,0)AM a a =-.设平面P AM 的法向量为(,,)x y z m =.由0,0,AP AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即20,(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得,).y a x z a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取),,)a a -m =.所以cos OB <>=m,由已知得cos 2OB <>=m,.=. 解得4a =或4a=-(舍去).∴4(,)333-m =.又∵(0,2,PC =-,∴3cos PC <>=m, ∴PC 与平面P AM 所成角的正弦值为4. 21.(本小题满分12分)解:(1)当a =1时,()1f x ≥等价于2(1)10x x e -+-≤.设函数2()(1)1xg x x e-=+-,则22()(21)(1)x x g x x x e x e --'=--+=--. 当1x ≠时,()0g x '<, ∴()g x 在(0,)+∞单调递减. 而(0)0g =,∴当0x ≥时,()0g x ≤,即()1f x ≥.(2)设函数2()1x h x ax e -=-.()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.(i )当0a ≤时,()0h x >,()h x 没有零点;(ii )当a >0时,()(2)x h x ax x e -'=-.当(0,2)x ∈时,()0h x '<;当(2,)x ∈+∞时,()0h x '>.∴()h x 在(0,2)单调递减,在(2,)+∞单调递增.∴2(2)14h ae -=-是()h x 在[0,)+∞的最小值.①若(2)0h >,即214a e <,()h x 在255(0,)+∞没有零点;②若(2)0h =,即214a e =,()h x 在(0,)+∞只有一个零点;③若(2)0h <,即214a e >,由于(0)1h =,∴()h x 在(0,2)内有一个零点, 由(1)知,当0x >时,2x e x >,∴334221616(4)11()a a a a h a e e =-=-34161110(2)a a a>-=->.∴()h x 在(2,4)a 内有一个零点, ∴()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上,()f x 在(0,)+∞只有一个零点时,214a e =.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程] 解:(1)曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=. 当cos 0α≠时,l 的直角坐标方程为 (tan )2tan y x αα=+-. 当cos 0α=时,l 的直角坐标方程为x =1. (2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos t αα+++ sin )80t α-=.①∵曲线C 截直线所得线段的中点(1,2)在C 内,∴方程①有两个解12,t t ,且1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+. 由参数t 的几何意义得120t t +=.∴2cos sin 0αα+=,于是直线的斜率tan 2k α==-. 22.(本小题满分10分) [选修4—5:不等式选讲] 解:(1)当a =1时,24(1),()2(12),26(2).x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩当1x ≤-时,由()240f x x =+≥得2x ≥-,即21x -≤≤-;当12x -<≤时,()20f x =>; 当2x >时,由()260f x x =-+≥得 3x ≤,即23x <≤. 综上可得()0f x ≥的解集为[]2,3-. (2)()1f x ≤等价于24x a x ++-≥. 而22x a x a ++-≥+,且当x=2时等号成立.∴()1f x ≤等价于24a +≥. 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥. ∴a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞.2562018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ)理科数学参考答案 第Ⅰ卷(选择题 60分)一、选择题(共60分) 1-12 CDABC ADBCB CB第Ⅱ卷(非选择题 90分)二、填空题(共20分) 13.1214.3- 15.3 16.2 (一)必考题:共60分. 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项符合) 1.C解:∵{}[)101,A x x =-≥=+∞,{}012B =,,, ∴ {}1,2AB =,∴选C .2.D解:∵()()212223i i i i i i +-=-+-=+, ∴选D . 3.A解:选A . 4.B解:由已知条件,得2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,∴选B .5.C解:由已知条件,得 251031552()2rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1034r -=,解得2r =, x 4的系数为22552240rr C C ==, ∴选C .6.A解:由已知条件,得(2,0),(0,2)A B --,∴||AB == 圆22(2)2x y -+=的圆心为(2,0),∴圆心到直线20x y ++=的距离为= ∴点P 到直线20x y ++=的距离的取值范围为d ≤≤+d ≤≤,∴1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈.∴选A . 7.D解:令0x =,得2y =,∴A,B 不能选. 令321424()02y x x x x '=-+=-->,得2x <-或02x <<,即函数在0⎛ ⎝⎭内单调递增, ∴选D . 8.B解:由已知条件知,X ~B (10,p ),且 10p (1-p )=2.4,解得p =0.6或p =0.4. 又由P (X=4)< P (X=6)得,即4466641010(1)(1)C p p C p p -<-,0.5p >,∴p =0.6. ∴选B . 9.C解:由已知条件,得2222cos 44ABC a b c ab CS ∆+-==cos 1sin 22ab C ab C ==,即tan 1C =,∴4C π=.∴选C . 10.B解:如图,ABC ∆为等边三角形,点O 为,,,A B C D 外接球的球心,E 为ABC ∆的重心,点F 为边BC 的中点.当点D 在EO 的延长上,即DE ⊥面ABC 时,三棱锥D ABC -体积取得最大值.V =,5分,.1=2,x,且196π.257258当366x πππ≤+≤时有1个零点,3,629x x πππ+==;当326x πππ<+≤时有1个零点,343,629x x πππ+==; 当192366x πππ<+≤时有1个零点,573=,629x x πππ+=. ∴零点个数为3,∴填3. 16.2解:由已知条件知,抛物线C 的焦点为(1,0)F . 设22121212(,),(,)()44y yA yB y y y ≠,则由A ,F ,B 三点共线,得221221(1)(1)44y y y y -=-,∴12=4y y -. ∵∠AMB =90º,∴221212(1,1)(1,1)44y y MA MB y y ⋅=+-⋅+-,221212(1)(1)(1)(1)44y y y y =+++-⋅-2121(2)04y y =+-=, ∴12=2y y +.∴212221124244y y k y y y y -===+-,∴填2. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. 17.(本小题满分12分) 解:(1)设数列{}n a 的公比为q ,则由534a a =,得2534a q a ==,解得2q =±. ∴12n n a -=或1(2)n n a -=-.(2)由(1)知,122112nn n S -==--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+,∴2163mm S =-=或1[1(2)]633m m S =--=(舍), ∴6m =.18.(本小题满分12分) 解:(1)第一种生产方式的平均数为184X =,第二种生产方式平均数为274.7X =,∴12X X >,∴第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种,即第二种生产方式的效率更高. (2)由茎叶图数据得到中位数80m =,∴列联表为(3)()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,()24015155510 6.63520202020⨯-⨯==>⨯⨯⨯,∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19.(本小题满分12分) 解:(1)由已知条件知,在正方形ABCD 中,AD CD ⊥.∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ,平面ABCD 半圆面CMD CD =, ∴AD ⊥半圆面CMD .∵CM 在平面CMD 内,∴AD CM ⊥,即CM AD ⊥.259OM (0,0,1)(0,-1,0)0)又∵M 是CD 上异于C ,D 的点, ∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =, ∴CM ⊥平面AMD , ∵CM 在平面BMC 内,∴平面AMD ⊥平面(2)由条件知,2ABC S ∆=是常数, ∴当点M 到平面ABCD 的距离.最大,即点M 为弧CD 的中点时,三棱锥M – ABC 体积最大.如图,以CD 中点O 为原点,过点O 且平行于AD 的直线为x 轴,OC ,OM 所在直线为y ,Z 轴建立空间直角坐标系O-xyz ,则由已知条件知,相关点的坐标为 A(2,-1,0),B(2,1,0),M(0,0,1) ,且(0,2,0)AB =,(2,1,1)MA =--.由(1)知,平面MCD 的法向量为(1,0,0)=m .令平面MXB 的法向量为(,,)x y z =n ,则(,,)(0,2,0)=20,(,,)(2,1,1)20AB x y z y MA x y z x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅--=--=⎪⎩,n n 即0,2y z x ==, ∴取(1,0,2)=n.∴cos ,⋅<>==⋅m nm n m n ,∴sin ,5<>=m n ,即面MAB 与MCD 所成二面角的正弦值.为5.20.(本小题满分12分)解:(1)设直线l 的方程为y kx t =+,则由22,143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得222(43)84120k x ktx t +++-=,①由22226416(43)(3)0k t k t ∆=-+->,得2243t k <+.②设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,x x 是方程①的两个根,且122843ktx x k -+=+,121226()243ty y k x x t k +=++=+. ∵线段AB 的中点为()()10M m m >,, ∴1228243ktx x k -+==+,121226()2243ty y k x x t m k +=++==+. ∵0m >,∴0t >,0k <,且2434k t k+=-.③由②③得22243434k k k ⎛⎫+-<+ ⎪⎝⎭,解得12k >或12k <-.∵0k <,∴12k <-.(2)∵点()()10M m m >,是线段AB 的中点,且FP FA FB ++=0,∴2FP FM +=0,即2FP FM =-.④ 由已知条件知,()()10M m m >,,()10F ,.令(,)P x y ,则由④得:(1,)2(0,)x y m -=-,即1,2x y m ==-, ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上,得214143m +=,解得26034m =或34m =-(舍去),且3(1,)2P -.又222211221,14343x y x y +=+=, ∴两式相减,得2112211234y y x xx x y y -+=--+. 又12123=2,22x x y y m ++==,∴21122112314y y x xk x x y y -+==-=--+, 243744k t k +=-=,∴直线l 的方程为74y x =-+. 将71,4k t =-=代入方程①,得 2285610x x -+=,解得121,11414x x =-=+,1233414414y y =+=-.∴3(2FA x ==+, 32FP =,3(2FB x == ∴=2FA FB FP +,即,,FA FP FB 成等差数列,且该数列的公差28d =±. 另解:(1)设1122(,),(,)A x y B x y ,则222211221,14343x y x y +=+=, 两式相减,得2112211234y y x xk x x y y -+==--+. ∵线段AB 的中点为()()10M m m >,, ∴122x x +=,122y y m +=,34k m=-. 由点()()10M m m >,在椭圆内得21143m +<,即302m <<. ∴12k <-.(2)由题设知(1,0)F .令(,)P x y ,则由FP FA FB ++=0得1122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y -+-+-=,∴1212=3(),()x x x y y y -+=-+. 由得=1,2x y m =-<0. ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上,得214143m +=,解得34m =或34m =-(舍去),且3(1,)2P -,且32FP =. (FA x =122x=-,同理222xFB =-.∴12=2222x xFA FB +-+-124322x xFP +=-==,即,,FA FP FB 成等差数列.把34m =代入34k m =-得1k =-,且3(1,)4M∴直线l 的方程为74y x =-+. 把直线方程与椭圆方程联立,消去y 得:2285610x x -+=,于是有121212,28x x x x +==.设成等差数列的公差为d ,则26121122d FB FA x x =-=-==, d =±21.(本小题满分12分)解:由条件知,函数()f x 的定义域为(1,)-+∞.(1)若0a =,则函数()(2)ln(1)2f x x x x =++-,且1()ln(1)11f x x x'=++-+, 2211()1(1)(1)xf x x x x ''=-=+++. ∴(0)0f =,(0)0f '=,(0)0f ''=. ∴当10x -<<时,()0f x ''<,∴当10x -<<时,()f x '单调递减. ∴()(0)0f x f ''>=,∴当10x -<<时,()f x 单调递增, ∴()(0)0f x f <=,即()0f x <. 当x > 0时,()0f x ''>,∴当x > 0时, ()f x '单调递增.∴()(0)0f x f ''>=,∴当x > 0时,()f x 单调递增, ∴()(0)0f x f >=,即()0f x >. 综上可得,当10x -<<时,()f x <0; 当x > 0时,()0f x >. (2)(i )若0a ≥,由(1)知,当x >0时,()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=,这与x=0是()f x 的极大值点矛盾.(ii )若0a <,设函数2()()2f x g x x ax =++22ln(1)2xx x ax =+-++. 由于当min x ⎧⎪<⎨⎪⎩时,220x ax ++>, ∴()g x 与()f x 符号相同. 又(0)(0)0g f ==,∴0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()g x 的极大值点.22212(2)2(12)()12x ax x ax g x x x ax ++-+'=-+++() 22222(461)(1)(2)x a x ax a x x ax +++=+++. 如果610a +>,则当6104a x a+<<-,且m i n 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时,()0g x '>,∴0x =不是()g x 的极大值点.如果610a +<,则22461=0a x ax a +++存在根10x <.∴当1(,0)x x ∈,且m in 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时,()0g x '<,∴0x =不是()g x 的极大值点. 如果61=0a +,则322(24)()(1)(612)x x g x x x x -'=+--.当(1,0)x ∈-时,()0g x '>; 当(0,1)x ∈时,()0g x '<. ∴0x =是()g x 的极大值点,从而0x =是()f x 的极大值点.综上,16a =-.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答。
2018年高考全国卷1数学试题及答案(理科)(可编辑修改word版)
理科数学试题第1页(共4页)绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在 答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
_、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。
1 -i1. 设 z = ------ 2i ,贝!j | z |=1 + iA. 0B. -C. 1D. V222. 已知集合 A = {X \X 2-X -2>0},则 d R A =A. {x| -1 <x<2}3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地 了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收A. 新农村建设后,种植收入减少B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半C. {x | x < -1} U {x | x > 2}D. {x | x -1} \J{x\x ^2}建设前经济收入构成比例则下面结论中不正确的是理科数学试题 第2页(共4页)4.记A 为等差数列{a,,}的前n 项和.若3S 3=S 2+S A , a, = 2,则a 5 = 8.设抛物线C: /= 4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为j 的直线与C 交于似,N UUUL UUU 两点,则FM =A. 5B. 6C. 7D. 8取值范围是 A. [― 1,0)B. [0,+co)C. [― 1, +co)D. [1,+co)10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个 半圆的直径分别为直角三角形的斜边SC ,直角边AB, AC. AABC 的三边所 围成的区域记为丨,黑色部分记为II ,其余部分记为III.在整个图形中随机取一点, 此点取自I ,II, III 的概率分别记为A ,p 2, p 3,则BCA. A =p 2B. A =p 3C. P 2=P 3D. Pi =p 2 + p 35. 6. 7.A. -12B. -10C. 10D. 12设函数f(x) = x 3+(a-l)x 2+ax.若/⑺为奇函数,贝ij 曲线=/(x)在点(0,0)处的 切线方程为A. y = -2xB. y--xC. y = 2xD. y = xUUL在八ABC 中,JD 为5C 边上的中线,£为^4£)的中点,则£B = a uur iuuur i uur 3 uuur A. -AB 一一AC B. -AB--AC4 4 4 4 3 uur 1 uur 1 uur 3 uuar C. -AB + -AC D. -AB + -AC4 4 4 4 某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图. 圆柱表面上的点A/在正视图上的对应点为儿圆柱表面上的点W 在左视图上的对应点为凡则在此圆柱侧 面上,从M 到的路径中,最短路径的长度为 A. 2^17B. 2>/59. 己知函数/(x)= <lnx, x 0, x > 0,^x) = f(x) + x + a 若g(x)存在2个零点,贝ija 的理科数学试题 第3页(共4页)己知双曲线G 丁十U 賴示原点’ F 为C 的右焦点,奴的直线与C 的 两条渐近线的交点分别为A/,N.若为直角三角形,则|胃|=己知正方体的棱长为I ,每条棱所在直线与平面a 所成的角都相等,则a 截此正方体所得截面面积的最大值为 A.B.d434二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
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2、回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数()i z a a =+∈R的共轭复数为z ,满足1z =,则复数( ) A .2i + B .2i -C .1i +D .i【答案】D【解析】根据题意可得,i z a =-,所以211z a =+=,解得0a =,所以复数i z =.2.集合()1=0,sin 12A θθ⎧⎫∈π⎨⎬⎩⎭<≤,14B ϕϕ⎧⎫π=<<⎨⎬⎩⎭,则集合A B =I ( )A .42θθ⎧⎫ππ<<⎨⎬⎩⎭B .16θθ⎧⎫π<<⎨⎬⎩⎭C .62θθ⎧⎫ππ<<⎨⎬⎩⎭D .14θθ⎧⎫π<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】()15=0,sin 1266A θθθθ⎧⎫⎧⎫ππ∈π=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭<≤,14A B θθ⎧⎫π=<<⎨⎬⎩⎭I .3.2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明:关于野生小鼠的最新研究,它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子.为了观察野生小鼠的这种表征,从有2对不同表征的小鼠(白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对)的实验箱中每次拿出一只,不放回地拿出2只,则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为( ) A .14B .13C .23D .34【答案】C【解析】分别设一对白色斑块的野生小鼠为A ,a ,另一对短鼻子野生小鼠为B ,b ,从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只,所求基本事件总数为4312⨯=种,拿出的野生小鼠是同一表征的事件为(),A a ,(),a A ,(),B b ,(),b B ,共计4种,所以拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为421123-=. 4.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移6π个单位长度后得到函数sin 23cos 2y x x =+的图象,则ϕ的可能值为( )A .0B .6π C .3π D .12π 【答案】A【解析】将函数sin 23cos 22sin 23y x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度,可得2sin 22sin 263y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象,所以0ϕ=.5.在海昏侯墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱.汉代串铜钱的丝绳或麻绳叫“缗”,后来演变为计量铜钱的单位,1000枚铜钱用缗串起来,就叫一缗.假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆,摆放规则如下:底部并排码放70缗,然后一层一层往上码,每层递减一缗,最上面一层为31缗,则这一堆铜钱的数量为( ) A .6210⨯枚B .62.0210⨯枚C .62.02510⨯枚D .62.0510⨯枚【答案】B【解析】由题意可知,构成一个以首项为70缗,末项为31缗,项数为40层,公差为1的等差数列,则和为()4070+31==20202S ⨯缗,这一堆铜钱的数量为620201000 2.0210⨯=⨯枚.6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )正视图侧视图此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A .2π+B .1+πC .2+2πD .12π+【答案】A【解析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成,21112π122π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+.7.如图的程序框图,当输出15y =后,程序结束,则判断框内应该填( ) A .1x ≤B .2x ≤C .3x ≤D .4x ≤【答案】C【解析】当3x =-时,3y =;当2x =-时,0y =;当1x =-时,1y =-;当0x =时,0y =;当1x =时,3y =;当2x =时,8y =;当3x =时,15y =; 所以y 的最大值为15,可知3x ≤符合题意.8.已知某函数图象如图所示,则图象所对应的函数可能是( )A .2x xy =B .22xy =-C .e xy x =-D .|2|2x y x =﹣【答案】D【解析】对于A ,函数()2x x xf =,当0x >时,0y >,0x <时,0y <,不满足题意;对于B ,当0x ≥时,()f x 递增,不满足题意;对于C ,当0x ≥时,()0f x >,不满足题意;故选D .9.若双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线被抛物线24y x =,则双曲线C 的离心率为( ) A .14B .1C .2D .4【答案】C【解析】双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程不妨设为:0bx ay +=,与抛物线方程联立,24bx ay y x+=⎧⎨=⎩,消去y ,得240ax bx +=,所以121240b x x a x x ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩,所以所截得的弦长=,化简可得24bc a =,2bc =,()222412c a c a -=,42120e e --=,得24e =或3-(舍),所以双曲线C 的离心率2e =.10.若x 是函数()()22e x f x x ax =-的极值点,则函数()y f x =的最小值为( ) A.(2e +B .0C.(2-D .e -【答案】C【解析】()()22e x f x x ax =-,∴()()()()2222e 2e 212e x x xf x x a x ax x a x a '⎡⎤=-+=+--⎣⎦-,由已知得,0f '=,∴220a +-=,解得1a =.∴()()22e x f x x x =-,∴()()22e x f x x '-=,所以函数的极值点为,当(x ∈时,()0f x '<,所以函数()y f x =是减函数,当(,x ∈-∞或)x ∈+∞时,()0f x '>,函数()y f x =是增函数.又当()(),02,+x ∈-∞∞U 时,220x x ->,()0f x >,当()0,2x ∈时,220x x -<,()0f x <,∴()min f x 在()0,2x ∈上,又当(x ∈时,函数()y f x =递减,当)x ∈时,函数()y f x =递增,∴()(min 2f x f==-.11.点(),M x y 在曲线22:4210C x x y -+-=上运动,22+1212150t x y x y a =+---,且t 的最大值为b ,若a ,b +∈R ,则111a b++的最小值为( ) A .1 B .2C .3D .4【答案】A【解析】曲线22:4210C x x y -+-=可化为()22225x y -+=,表示圆心在()2,0A ,半径为5的圆,2222+1212150(6)(6)222t x y x y a x y a =+---=++---,22(6)(6)x y ++-可以看作点M 到点()6,6N -的距离的平方,圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为5AN +,即点M 是直线AN 与圆C 的离点N 最远的交点,所以直线AN 的方程为()324y x =--,联立()()22324225y x x y ⎧=--⎪⎨⎪-+=⎩,解得1163x y =⎧⎨=-⎩或2123x y =-⎧⎨=⎩(舍去),当63x y =⎧⎨=-⎩时,t 取得最大值,则22max (66)(36)222t a b =++----=,所以3a b +=,所以()14a b ++=,()111111112114141b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+⎡++⎤=++ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭≥, 当且仅当11b a a b +=+,12a b =⎧⎨=⎩时取等号. 12.已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数,且在R 上是单调递增函数,函数()()5g x f x x =-+,数列{}n a 为等差数列,且公差不为0,若()()()12945g a g a g a +++=L,则129a a a +++=L ( ) A .45 B .15C .10D .0【答案】A【解析】由函数()()5g x f x x =-+,所以()()555g x f x x -=-+-, 当5x =时,()()()5555550g f f -=-+-=,而函数()y f x =为定义域R 上的奇函数,所以()00f =,所以()550g -=; 由()()()12945g a g a g a +++=L ,得()()()1295550g a g a g a ⎡-⎤+⎡-⎤++⎡-⎤=⎣⎦⎣⎦⎣⎦L , 由函数()y f x =为定义域R 上的奇函数,且在R 上是单调递增函数, 可知()5y g x =-关于()5,0对称,且在R 上是单调递增函数,由对称性猜想()550g a -=,下面用反证法说明()550g a -=, 假设()550g a -<,知55a <,则1910a a +<,2810a a +<,由对称性可知()()19550g a g a ⎡-⎤+⎡-⎤<⎣⎦⎣⎦,()()28550g a g a ⎡-⎤+⎡-⎤<⎣⎦⎣⎦,, 则()()()1295550g a g a g a ⎡-⎤+⎡-⎤++⎡-⎤<⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 与题意不符,故()550g a -<不成立; 同理()550g a ->也不成立, 所以()550g a -=,所以55a =,根据等差数列性质,1295945a a a a +++==L .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知变量x 、y 满足203500x y x y x -⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥,则2z x y =--的最小值为_______.【答案】4-【解析】根据约束条件画出可行域,直线2z x y =--过点()1,2A 时,z 取得最小值是4-.14.已知ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,满足()sin sin 2sin cos αβααβ+-=,则sin 2sin()αβα-的最大值为________.【解析】因为()sin sin 2sin cos αβααβ+-=, 所以sin cos cos sin sin 2sin cos αβαβααβ+-=,所以cos sin sin cos sin αβαβα-=,即()sin sin βαα-=, 因为ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,所以2βα=,则sin 2sin 22sin cos 2cos sin()sin sin αααααβααα===-,因为ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以2cos α⎡∈⎣,所以sin 2sin()αβα-15.已知正方形ABCD 的边长为1,P 为面ABCD 内一点,则()()PA PB PC PD +⋅+uu r uu r uu u r uu u r的最小值为____________. 【答案】1-【解析】建立如图所示的坐标系,以B 为坐标原点, 则()0,1A ,()0,0B ,()1,0C ,()1,1D ,设(),P x y ,则()=,1PA x y --u u r ,()=,PB x y --u u r ,()=1,PC x y --u u u r ,()1,1PD x y =--u u u r,()()()()()()()2++=2,1221,121241PA PB PC PD x y x y y x x ⋅--⋅--=---uu r uu r uu u r uu u r()()2212211y x =-+--,当12x =,12y =时,()()++PA PB PC PD ⋅u u r u u r u u u r u u u r 的最小值为1-.16.如图,在四边形ABCD 中,ABD △和BCD △都是等腰直角三角形,AB ,=2BAD π∠,=2CBD π∠,沿BD 把ABD △翻折起来,形成二面角A BD C --,且二面角A BD C --为65π,此时A ,B ,C ,D 在同一球面上,则此球的体积为___________.【答案】3π 【解析】由已知可知==2BC BD ,BCD △、ABD △的外接圆圆心分别为CD 、BD 的中点E 、F ,分别过E 、F 作BCD △、ABD △所在平面的垂线,垂线的交点O 即为球心,由已知可知AFE ∠即为二面角A BD C --的平面角,所以56AFE π∠=,又2OFA π∠=,所以3OFE π∠=,112EF BC ==,所以tan 3OE EF π=⋅=R OC ===所以343V R =π=.三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知sin sin A B C +=,(1)若222cos sin cos sin sin A B C A B =++,求sin sin A B +的值, (2)若2c =,求ABC △面积的最大值. 【答案】(1;(2. 【解析】(1)∵222cos sin cos sin sin A B C A B =++,∴2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+,······1分∴222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-,······2分∴222a b c ab +-=-,······3分x∴2221cos 22a b c C ab +-==-,······4分 又0C <<π,∴23C π=,······5分23sin sin 32A B C π+===.······6分 (2)当2c =时,a b +==······7分∴()2222224cos 122a b ab c a b c C ab ab ab+--+-===-,······8分∴sin C ===······9分∴11sin 22S ab C ===······10分∵a b +=∴a b +=3ab ≤,当且仅当a b ==······11分∴S == ∴ABC △.······12分18.(12分)据悉,2017年教育机器人全球市场规模已达到8.19亿美元,中国占据全球市场份额10.8%.通过简单随机抽样得到40家中国机器人制造企业,下图是40家企业机器人的产值频率分布直方图. (1)求m 的值;(2)在上述抽取的40个企业中任取3个,抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率是多少? (3)在上述抽取的40个企业中任取2个,设Y 为产值不超过500万元的企业个数与超过500万元的企业个数的差值,求Y 的分布列及期望.【答案】(1)0.04;(2)1419;(3)见解析. 【解析】(1)根据频率分布直方图可知,()150.030.070.050.010.045m -+++==.·······2分(2)产值小于500万元的企业个数为:()00300454014+⨯⨯=..,·······3分 所以抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率为326340C 141C 19P =-=.·······6分(3)Y 的所有可能取值为2-,0,2.·······7分()226240C 52C 12P Y =-==,·······8分 ()112614240C C 70C 15P Y ===,·······9分 ()214240C 72C 60P Y ===.·······10分∴Y 的分布列为:期望为:()57732021215605E Y =-⨯+⨯+⨯=-.·······12分19.(12分)在三棱锥A BCD-中,2AB AD BD ===,BC DC ==2AC =.(1)求证:BD AC ⊥;(2)点P 为AC 上一动点,设θ为直线BP 与平面ACD 所形成的角,求sin θ的最大值.【答案】(1)见解析;(2)最大值为7. 【解析】(1)取BD 中点E ,连接AE ,CE ,∵2AB AD BD ===,又E 为BD 中点,∴AE BD ⊥,·······1分 同理可得:CE BD ⊥,·······2分又AE CE E =I ,∴BD ⊥平面ACE ,·······3分 又AC ⊂平面ACE ,∴BD AC ⊥.·······4分 (2)∵2AB AD BD ===,2BC DC ==,∴BCD △为直角三角形,且3AE =,1CE =,∴222AE EC AC +=,2AEC π∠=,即AE EC ⊥, 又AE BD ⊥,所以AE ⊥平面BCD ,·······5分 ∴以E 为坐标原点,EC 为x 轴,ED 为y 轴,EA 为z 轴建立如图直角坐标系.∴()010B -,,,()010D ,,,()100C ,,,()003A ,,, 设()000,P x y z ,,()01AP AC λλ=u u u r u u u r ≤≤,()103AC =-u u u r ,,,()0003AP x y z =-u u u r,,, ∴()()()000,,310303x y z λλλ-=-=-,,,,, ∴000033x y z λλ⎧=⎪=⎨⎪-=-⎩,即000033x y z λλ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩,∴()033P λλ-,,,·······6分 ()=133BP λλ-u u u r,,,·····7分()013DA =-u u u r,,,()110DC =-u u u r ,,, 设()111,,x y z =n 是平面ACD 的法向量,∴111103000DA y z x y DC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩u u u ru u u r n n ,令11x =,得11y =,133z =, ∴3113⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,,n ,·······9分 ∴()2226sin cos 772321313,BPBP BPθλλλλ=<>===⋅-+⋅++-⋅⋅n n n u u u ru u u r u u u r , (10)分由01λ≤≤,可知2723228λλ-+≤≤,∴2143sin 77θ≤≤,∴sin θ的最大值为437.·······12分 20.(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上,有124P P F F +=,椭圆的离心率为12e =; (1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知()4,0N ,过点N 作直线l 与椭圆交于,A B 不同两点,线段AB 的中垂线为l ',线段AB 的中点为Q 点,记l '与y 轴的交点为M ,求MQ 的取值范围.【答案】(1)22143x y +=;(2)[)0,5. 【解析】(1)因为124P P F F +=,所以24a =,所以2a =,·····1分 因为12e =,所以1c =,·······2分 所以222413b a c =-=-=,·······3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.·······4分 (2)由题意可知直线l 的斜率存在,设l :()4y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y ,()00,Q x y ,联立直线与椭圆()221434x y y k x ⎧==-+⎪⎨⎪⎩,消去y 得()2222433264120k x k x k +-+-=,21223243k x x k +=+,2122641243k x x k -=+,·······5分 又()()()22223244364120kk k ∆=--+->,解得:1122k -<<,·····6分2120216243x x k x k +==+,()00212443k y k x k =-=-+,所以2221612,4343k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,·······7分所以l ':()001y y x x k -=--,即222121164343k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭,化简得:21443k y x k k =-++,·······8分 令0x =,得2443k m k =+,即240,43k M k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭,·······9分 ()2224222222161616434343k k k k MQ k k k ⎛⎫+⎛⎫=+=⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+,·······10分 令243t k =+,则[)3,4t ∈,所以22222233231144161616321t t t t MQ t t t t --⎛⎫+ ⎪⎡⎤--⎛⎫⎝⎭=⋅=⋅=⋅-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 所以[)0,5MQ ∈.·······12分 21.(12分)已知函数()=ln e xf x a x -;(1)讨论()f x 的极值点的个数;(2)若*a ∈N ,且()0f x <恒成立,求*a ∈N 的最大值. 参考数据:【答案】(1)见解析;(2)10.【解析】(1)根据题意可得,()()e =e 0xx a a x f x x x x-'-=>,·······1分当0a ≤时,()0f x '<,函数()y f x =是减函数,无极值点;·······2分当0a >时,令()0f x =,得e 0xa x -=,即e x x a =, 又e xy x =在()0,+∞上是增函数,且当x →+∞时,e xx →+∞,所以e x x a =在()0,+∞上存在一解,不妨设为0x ,所以函数()y f x =在()00,x 上是单调递增的,在()0,x +∞上是单调递减的.所以函数()y f x =有一个极大值点,无极小值点; 总之:当0a ≤时,无极值点;当0a >时,函数()y f x =有一个极大值点,无极小值点.·······5分 (2)因为*0a ∈>N ,由(1)知()f x 有极大值()0f x ,且0x 满足00e x x a =①,可知:()()000max ln e xf x f x a x ==-,要使()0f x <恒成立,即()0000ln e xa x f x -=<②,·······6分由①可得00ex a x =,代入②得00ln 0a a x x -<,即001ln 0a x x ⎛⎫⎪⎝⎭<-, 因为*0a ∈>N ,所以001n 0l x x -<,·······7分 因为1ln1.710.7-<,1ln1.810.8->,且001ln y x x =-在()0,+∞是增函数,设m 为001ln y x x =-的零点,则()1.7,1.8m ∈, 可知00m x <<,·······8分 由②可得00ln e xa x <,当001x <≤时,0ln 0a x ≤,不等式显然恒成立;·······9分当01x m <<时,0ln 0x >,0e ln x a x <,令()e ln x g x x =,()1,x m ∈,()21e ln 0ln x x x g x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=<, 所以()()1,g x m 在上是减函数,且1.8e 10.29ln1.8≈, 1.7e 10.31ln1.7≈, 所以()10.2910.31g m <<,·······11分所以()a g m ≤,又*a ∈N ,所以a 的最大值为10.·······12分请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。