概率的基本性质

3.1.3概率的基本性质

1．了解事件间的包含关系和相等关系．

2．理解互斥事件和对立事件的概念及关系．(重点、易错易混点)

)

3．了解两个互斥事件的概率加法公式．(难点

[基础·初探]

教材整理1事件的关系与运算

阅读教材P119～P120“探究”以上的部分，完成下列问题．

同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有()

A．M⊆N B．M⊇N

C．M＝N D．M＜N

【解析】事件N包含两种结果：向上面都是正面或向上面是一正一反．则当M发生时，事件N一定发生，则有M⊆N.故选A.

【答案】 A

教材整理2概率的性质

阅读教材P120“探究”以下的部分，完成下列问题．

1．概率的取值范围为[0,1]．

2．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.

3．概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)，

P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.

4．概率的加法公式的含义

(1)使用条件：A，B互斥．

(2)推广：若事件A1，A2，…，A n彼此互斥，则P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)

＋P(A2)＋…＋P(A n)．

(3)在求某些复杂的事件的概率时，可将其分解为一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)互斥事件一定对立．()

(2)对立事件一定互斥．()

(3)互斥事件不一定对立．()

(4)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．()

(5)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．()

(6)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B一定是对立事件．()

【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(6)×

2．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于()

A．0.3B．0.2

C．0.1 D．不确定

【解析】由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定．

【答案】 D

3．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．【解析】中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.

【答案】0.65

[小组合作型]

() A．至多两件次品B．至多一件次品

C．至多两件正品D．至少两件正品

(2)把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()

A．对立事件B．不可能事件

C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对

【精彩点拨】根据互斥事件及对立事件的定义判断．

【尝试解答】(1)“至少有两件次品”的否定是“至多有一件次品”，故选B.

(2)“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但分得红牌的还可能是丙或丁，所以不是对立事件．故选C.

【答案】(1)B(2)C

判断互斥事件和对立事件时，主要用定义来判断.当两个事件不能同时发生时，这两个事件是互斥事件；当两个事件不能同时发生且必有一个发生时，这两个事件是对立事件.

[再练一题]

1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：

(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；

(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；

(4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”．

【解】从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．

(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．

(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男

生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．

(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．

(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

如：A＝{出

现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．

(1)说明以上4个事件的关系；

(2)求两两运算的结果．

【精彩点拨】解答时抓住运算定义．

【尝试解答】在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作A i＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.

(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，也不对立；事件B与D不是对立事件，也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．

(2)A∩B＝∅，A∩C＝A，A∩D＝∅.

A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，

A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，

A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．

B∩C＝A3＝{出现点数3}，

B∩D＝A4＝{出现点数4}．

B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1或3或4或5}．

B∪D＝A2∪A3∪A4∪A6＝{出现点数2或3或4或6}．

C∩D＝∅，C∪D＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6＝{出现点数1,2,3,4,5,6}．