第七章 静定梁的内力与内力图

第七章静定梁的内力与内力图

【教学要求】

了解梁平面弯曲的概念；

会用截面法、直接法求指定截面的弯矩和剪力；

理解内力方程法画单跨梁的内力图；

重点掌握简捷法、叠加法画梁的内力图；

会画多跨梁的内力图。

【重点】

掌握简捷法、叠加法画梁的内力图。

【难点】

q与剪力和弯矩的关系的应用

【授课方式】课堂讲解和习题练习

【教学时数】共计8学时

【教学过程】

7.1 平面弯曲的概念0.5学时

★7.2 梁的内力计算 1.5学时

7.3 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图1学时

★7.4 用微分关系画剪力图与弯矩图2学时

★7.5 用叠加法绘弯矩图1学时

7.6 多跨静定梁2学时【小结】

【课后作业】

7.1 平面弯曲的概念

7.1.1 弯曲和平面弯曲

1. 弯曲:

受力特点：杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力或在杆轴线所在平面内作用的外力偶的作用。

变形特点：杆轴线由直变弯。

图7-1 受弯杆件的受力形式

以弯曲变形为主的构件通常称为梁。

房屋建筑中的楼（屋）面梁、挑梁

图7-2 工程中常见的受弯构件

2. 平面弯曲

工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、T形、十字形、槽形等。它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所组成的平面通常称为纵向对称平面。

图7-3 梁常见的截面形状

如果作用在梁上的外力（包括荷

载和支座反力）和外力偶都位于纵

向对称平面内，梁变形后，轴线将在此纵向对称平面内弯曲。这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲，称为平面弯曲。平面弯曲是一种最简单，也是最常见的弯曲变形，本章将主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。

图7-4平面弯曲的特征

7.1.2 单跨静定梁的几种形式

工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式：

1．悬臂梁：梁的一端为固定端，另一端为自由端（图7-5a）。

2．简支梁：梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座（图7-5b）。

3．外伸梁：梁的一端或两端伸出支座的简支梁（图7-5c）。

（a）(b) (c)

图7-5 三种静定梁

7.2 梁的内力计算

为了计算梁的强度和刚度问题，在求得梁的支座反力后，就必须计算梁的内力。下面将着重讨论梁的内力的计算方法。

7.2.1 用截面法计算梁指定截面的内力

1、剪力和弯矩

图7-6a所示为一简支梁，荷截F和支座反力R A、R B是作用在

F

(a )

(b )

Q

F

F Q

F

(c)

图7-6 用截面法求梁的内力

梁的纵向对称平面内的平衡力系。现用截面法分析任一截面m-m 上的内力。假想将梁沿m-m 截面分为两段，现取左段为研究对象，从图7-6b 可见，因有座支反力R A 作用，为使左段满足0=∑Y ，截面m-m 上必然有与R A 等值、平行且反向的内力

Q

F 存在，这个内力

Q

F ，称为剪力；同时，

因R A 对截面m-m 的形心O 点有一个力矩R A · a 的作用，为满足0o =∑M ，截面m-m 上也必然有一个与力矩R A · a 大小相等且转向相反的内力偶矩Ｍ存在，这个内力偶矩M 称为弯矩。由此可见，梁发生弯曲时，横截面上同时存在着两个内力素，即剪力和弯矩。

剪力的常用单位为Ｎ或kN ，弯矩的常用单位为N ·m 或 kN · m 。 剪力和弯矩的大小，可由左段梁的静力平衡方程求得,即

0=∑Y ， 0A =-Q F R ， 得 A R F Q = 0o =∑M ， 0A =-⋅M a R ， 得 a R M ⋅=A 如果取右段梁作为研究对象，同样可求得截面m-m 上的

Q

F 和M ，根据作用与反作用力的关系，它们与从右段梁求出m-m 截面上的Q

F 和M 大

小相等，方向相反，如图7-6c 所示。

★2、剪力和弯矩的正、负号规定

为了使从左、右两段梁求得同一截面上的剪力

Q

F 和弯矩M 具有相同

的正负号，并考虑到土建工程上的习惯要求，对剪力和弯矩的正负号特

作如下规定：

(1)．剪力的正负号: 使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正（图7-7a）；反之，为负（图7-7b）。

(2)．弯矩的正负号: 使梁段产生下侧受拉的弯矩为正（图7-8a）；反之，为负（图7-8b）。

(a) (b)

图7-7剪力的正负号规定

(a) (b)

图7-8弯矩的正负号规定

3、用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩

用截面法求指定截面上的剪力和弯矩的步骤如下：

(1)．计算支座反力；

(2)．用假想的截面在需求内力处将梁截成两段，取其中任一段为研究对象；

F和M都先假设为正的方

(3)．画出研究对象的受力图（截面上的Q

向）；

(4)．建立平衡方程，解出内力。

下面举例说明用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩。

【例7-1】简支梁如图7-9a所示。已知F1＝30kN，F2 =30kN，试求截面1-1上的剪力和弯矩。

(a ) (b ) (c )

图7-9 例7-1图

【解】（1）求支座反力，考虑梁的整体平衡

0B =∑M 0625A 21=⨯-⨯+⨯R F F 0A =∑M 0641B 21=⨯+⨯-⨯-R F F

得 kN 35A =R (↑)， kN 25B =R (↑) 校核 03030253521B A =--+=--+=∑F F R R Y (2) 求截面1-1上的内力

在截面1-1处将梁截开，取左段梁为研究对象，画出其受力，内力1

Q 和1M 均先假设为正的方向（图7-9b ），例平衡方程

0=∑Y 011A =--Q F R

01=∑M 01211A =+⨯+⨯-M F R 得 530351A 1=-=-=F R Q kN

40130235121A 1=⨯-⨯=⨯-⨯=F R M kN ·m

求得1Q 和1M 均为正值，表示截面1-1上内力的实际方向与假定的方向相同；按内力的符号规定，剪力、弯矩都是正的。所以，画受力图时一定要先假设内力为正的方向，由平衡方程求得结果的正负号，就能直接代表内力本身的正负。

如取1-1截面右段梁为研究对象（图7-9c ），可得出同样的结果。 【例7-2】 悬臂梁，其尺寸及梁上荷载如图7-10所示，求截面1-1上的剪力和弯矩。