清华大学概率论与数理统计复习ppt

X,
解得的矩估计量为ˆ X .
X 1
（2）似然函数为：
L( )
n
f
(
xi
)



(
x1 x2

L
n
xn ) 1
,
i 1

0,
xi 1,(i 1, 2L , n) 其它
n
当xi 1时, 对数似然函数为ln L( ) nln ( 1) ln xi
题型分析
一、有关矩估计法及极大似然估计法方面的题型 考题（1 2009级 24学时） 五、(本题18分)设随机变量X的分布函数为：
F
(
x;
,

)

1

(
x
)
,
x ，其中参数 0, 1,
0,
x
设X1, X2，L , Xn是来自X的简单随机样本，
（1）当 1时，求未知参数的矩估计量；
(
x)

2e2( x

0,
),
x ，其中
其他

0为未知参数,
又设x1,L , xn是X的一组样本观察值，求参数的
极大似然估计。
解：似然函数为:
n
L( xi , )

2n
e
2

i 1
(
xi)Fra bibliotek,当xi
,(i

1, 2,L
, n)；
L( xi , ) 0, 其他。当xi ,(i 1, 2,L , n)时，
1
X 1
n
2 似然函数为:L( xi , ) f ( xi , )
i 1

(
x1 x2

L
n
xn )
1
,

0,
xi 1(i 1, 2,L , n) 其他
当xi 1(i 1, 2,L , n)时，L( ) 0,取对数得
n
ln L( ) nln ( 1) ln xi , 两边对 求导，
i 1
得
d ln L =
d
n


n i 1
ln
xi令
d ln L
d

0, 可得

n
n
ln Xi
i 1
故的最大似然估计量为 ˆ n n .
ln Xi
i 1
考题（8 2005级 224学时）
三、(本题8分)设X1,
f
(
x)


2

x
2
,
0 x ，其中未知参数 0,
0, 其他
X1,L , Xn是样本，求的矩估计和最大似然估计。
（此题和2008级的第三大题一样的.)
考题（6 2007级 64学时 作业P153 四）
七、(本题8分)设X1,L , Xn为总体X的样本， X的密度函数为：
, 0 x 1 f ( x, ) 1 , 1 x 2；其中未知参数 0
0,
其他
设N为样本值x1,L , xn中小于1的个数，求的极
大似然估计。
解：似然函数为:
n
L( xi , ) f ( xi , ) N (1 )nN
i 1
考题（3 2008级 48学时）
三、(本题10分)设总体X 在[0, ]上服从均匀分布， 其中 ( 0)未知，(X1,L , Xn)为来自总体X的样本， 求的矩估计量。（见教材P127-128的例6.2)
考题（4 2008级 48学时）
七、(10分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为
f
L( xi , ) 0；取对数并求导得：
d ln L =2n 0,所以L单调增加。
d
因此当取x1, x2,L , xn的最小值时，L( )取最大值。
所以的极大似然估计为ˆ min{ x1, x2,L , xn}.
考题（5 2007级 32学时） 六、(本题10分)设随机变量X的概率密度为
x1 x2 L xn )3
,
i 1

0,
xi ,(i 1, 2L , n)
其它
当xi 时,越大，L( )越大，所以的极大似然估计 量为 ˆ min{ X1, X2,K , Xn}
考题（2 2008级 24学时） 三、(本题14分)设随机变量X的概率密度为：
f
(
x)
ln L() N ln (n N ) ln(1 )
令 d ln L = N n N 0, 解得：ˆ N
d 1
n
所以的极大似然估计为ˆ N n
考题（7 2006级 32学时）
三、(本题14分)设总体X的概率密度为：
f
(
x,

)


（2）当 1时，求未知参数的极大似然估计量；
（3）当 2时，求未知参数的极大似然估计量。
解：（1）当 1时，X的概率密度函数为：
f
(
x)



x 1
,
0,
x1 x1
E( X )

x f ( x)d x

1
x

x 1d x

1


2

x
2
,
0 x ，其中未知参数 0,
0, 其他
X1,L , Xn是来自X的样本，求（1）的矩估计；
（2）的极大似然估计。
解：1，E( X )

x f ( x)d x

0
2x2
2 dx

2
3
令1

E( X )

A1

X

2，
3
得ˆ 3 X为参数的矩估计量。
2
2 似然函数为:
L( xi , )
n i 1
2 xi
2
2n
2n
n i 1
xi ，0
xi
,(i 1, 2,L
, n)
而L( )是的单调减少函数，所以的极大似然估计
量为ˆ max{ X1, X2,L , Xn}.

x 1
,
0,
x 1, 其中未知参数 1,
x 1.
X1,L , Xn为来自X的简单随机样本，
求（1）的矩估计量；
（2）的最大似然估计量。
解：1，由于E( X )

x f ( x; )d x


1
x

x 1d x

, 1
令 X，解得参数的矩估计量ˆ X .
i 1
令
d
ln L( ) d

n


n i 1
ln
xi

0
解得的极大似然估计量为ˆ n n
ln Xi
i 1
（3）当 2时，X的概率密度函数为：
f
(
x)


2 2
x3
,
0,
似然函数为：
x x
L( )
n
f
(
xi
)



(
2n 2n