2013年全国各地中考数学试卷分类汇编：开放性问题

开放性问题

一．选择题

二．填空题

1．（2013•徐州，13，3分）请写出一个是中心对称图形

的几何图形的名称：．

考点：中心对称图形．

专题：开放型．

分析：常见的中心对称图形有：平行四边形、正方形、圆、

菱形，写出一个即可．

解答：平行四边形是中心对称图形．故答案可为：平行四

边形．

点评：本题考查了中心对称图形的知识，同学们需要记忆一些常见的中心对称图形．2．（2013上海市，15，4分）如图3，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF = CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是____________．（只需写一个，不添加辅助线）

3.（2013四川巴中，14，3分）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是CA=FD．（只需写出一个）

边长，且S △ABC =3，请写出一个．．符合题意的一元二次方程 ． 【答案】x 2－5x +6=0

【解析】先确定两条符合条件的边长，再以它为根求作一元二次方程． 【方法指导】本题是道结论开放的题（答案不唯一），已知直角三角形的面积为3（直角边长未定），要写一个两根为直角边长的一元二次方程，我们尽量写边长为整数的情况（即保证方程的根为整数），如直角边长分别为2、3的直角三角形的面积就是3，以2、3为根的一元二次方程为2560x x -+=；也可以以1、6为直角边长，得方程为2760x x -+=.

5．（2013山东菏泽，12，3分）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线

叫做该平面图形的“面线”. “面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”) .已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是______(写出1个即可).

(写出1个即可).

【解析】1）根据“三线合一”等可知，面径为底边上的高h ，31222=-=h ；（2）

与一边平行的线段（如图），设DE=x ，因为△ADE 与四边形 DBCE 面积要相等，根据三角形相似性质，有2

12

2

=

）（x

.

解得综上所述，所以符合题意的面径只有这两种数量关系.

【方法指导】根据规定内容的定义，思考要把边长为2的等边三角形分成面积相等的两部分的直线存在有两种情形：（1）高（中线、角平分线）所在线；（2）与一边平行的线.要把一个三角形面积进行两等份，这样的直线有无数条，都过这个三角形三边中线的交点（重心）.经过计算无数条中等边三角形“面径”长只有上述两种情形.

三．解答题

1.（2013山西，25，13分）（本题13分）数学活动——求重叠部分的面积。 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图，将两块全等的直角三角形纸片△ABC 和△DEF 叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D 与边AB 的中点重合，DE 经过点C ，DF 交AC 于点G 。 求重叠部分（△DCG ）的面积。

（1）独立思考：请解答老师提出的问题。 【解析】解：∵∠ACB=90°D 是AB 的中点,

∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB

G

E

F

C

B A D

又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B

∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90°∴DG⊥AC 又∵DC=DA,∴G是AC的中点,

∴CG=1

2

AC=

1

2

×8=4,DG=

1

2

BC=

1

2

×6=3

∴S DCG=1

2

×CG·DG=

1

2

×4×3=6

（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图(2)，你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗？请写出解答过程。【解析】解法一：

∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1

3

2

1

G

H

E

F C

B

A D

∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°, ∠A+∠2=90°, ∴∠B=∠2,∴∠1=∠2

∴GH=GD

∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°

∴∠A=∠3,∴AG=GD，∴AG=GH

∴点G是AH的中点，

在Rt△ABC中，AB= 10

∵D是AB的中点，∴AD=1

2

AB=5

在△ADH与△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°,

∴△ADH∽△ACB, ∴AD

AC=

DH

CB,

5

8=6

DH

,∴DH=

15

4,

∴S△DGH＝1

2

S△ADH＝

1

2

×

1

2

×DH·AD=

1

4

×

15

4

×5=

75

16

（25题（1））

（25题（2））

解法二：同解法一，G 是AH 的中点，

3

2

1G H E

F

C B

A

D

连接BH ，∵DE ⊥AB ，D 是AB 的中点，∴AH=BH ，设AH=x 则CH ＝８-ｘ 在Rt △BCH 中，CH2+BC2=BH2，即（8-x ）2+36=x2，解得x= ∴S △ABH=AH·BC=

12×254×6=75

4

∴S △ＤＧＨ=

12S △ADH =12×1

2

S △ABH =14×754=7516.

321

N

M

G

H

E

F

C

B

A

D

解法三：同解法一，∠1=∠2

连接CD ，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，∠1=∠2=∠B=∠DCB ，△DGH ∽△BDC, 作DM ⊥AC 于点M ，CN

⊥AB 于点N ，∵D

是AB 的中点，∠ACB=90°

∴CD=AD=BD ，∴点M 是AC 的中点，∴DM=12BC=12×6=3

在Rt △ABC 中，=10，

12AC·BC=1

2

AB·CN ， ∴CN ＝

8624

105

AC BC AB 创==

. ∵△DGH ∽△BDC, ∴2

DGH BCDC S DM S CN ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

,

∴2DGH

BCDC DM S S CN ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭ =2

12

DM BD CN CN ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭ （25题（2））

（25题（2））