2_5维直流电法正演中Fourier逆变换离散波数的最优化选取
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收稿日期：2012−06−18；修回日期：2012−09−20 基金项目：国家自然科学基金资助项目(41204082)；国家科技专项(Sino Probe-03)；高等学校博士学科点科研基金资助项目(20120162120036)；中国 博士后科学基金资助项目(2011M501295) 通信作者： 汤井田 (1965−) ，男，江苏连云港人，博士，教授，从事电磁场理论及应用、数字信号处理等研究；电话： 13507317396 ； E-mail: jttang@csu.edu.cn
Optimized selection of discrete wavenumbers for inverse Fourier transform in 2.5D DC resistivity modeling
PAN Kejia1, 2, TANG Jingtian1
(1. Key Laboratory of Metallogenic Prediction of Nonferrous Metals, Ministry of Education, School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083, China; 2. School of Mathematics and Statistics, Central South University, Changsha 410083, China) Abstract: The optimized selection method was improved in terms of both the optimization model and computational method for selecting the discrete wavenumbers of inverse Fourier transform, which arise in the 2.5-dimensional direct current resistivity modeling with a point current source. Firstly, with an analytical solution of electric potential produced by a point source in semi-infinite homogeneous medium, an improved nonlinear optimization problem for computing these wavenumbers based on the method of least squares was presented, then it was resolved using the differential evolution (DE) algorithm. Finally, the computational accuracy against the impact of the number of electrode spacings included in the simulation was discussed. For a number of typical geoelectric models with analytical solutions, the method was justified through comparing the computed results to those in literatures. The results show that increasing the number of electrode spacings not only dramatically reduces the error of the apparent resistivity near the point source, but also ensures the computational accuracy for models with a large conductivity contrast. The discrete wavenumbers obtained from the proposed method have a higher accuracy and wider range of applications compared with existing ones. Key words: direct current modeling; finite element method; inverse Fourier transform; discrete wavenumbers; differential evolution algorithm
(3)
理论上，先求解偏微分方程边值问题(2)，再由式 (3)进行 Fourier 逆变换即可得点源二维介质电场问题 中的三维电位 u。然而，边值问题(2)只能通过有限元 (FEM)等方法数值求解，即只能得到一系列离散波数 {ki, i=1, 2, …, N}对应的 U(x, y, ki)的近似解 Uh(x, y, ki)。因此，如何选取最优的离散波数{ki}是非常值得 研究的一个问题。
潘克家 1, 2，汤井田 1 (1. 中南大学 有色金属成矿预测教育部重点实验室，地球科学与信息物理学院，湖南 长沙，410083 2. 中南大学 数学与统计学院，湖南 长沙，410083)
摘要：从优化模型和计算方法 2 方面改进点源 2.5 维直流电法正演中 Fourier 逆变换离散波数的最优化选取方法。 首先利用均匀半空间点源电位的精确解，基于最小二乘法给出计算离散波数的改进非线性最优化问题；然后，利 用差分进化(DE)算法进行求解；最后，研究参与计算的电极距数对模拟精度的影响。对具有解析解的典型地电模 型，通过与已有文献计算结果进行比较，验证方法的可行性。研究结果表明：增加参与计算的电极距数可有效提 高视电阻率曲线近源处的计算精度，并能保证较大电性差异情形下的计算精度；与现有离散波数相比，本文方法 得到的波数具有更高的精度和更大的适用范围。 关键词：直流电法；有限单元法；Fourier 逆变换；离散波数；差分进化算法 中图分类号：P631 文献标志码：A 文章编号：1672−7207(2013)07−2819−08
第 44 卷第 7 期 2013 年 7 月
中南大学学报(自然科学版) Journal of Central South University (Science and Technology)
Vol.44 No.7 July 2013
2.5 维直流电法正演中 Fourier 逆变换离散波数的 最优化选取
考虑具有一定走向的二维构造地电模型， 记 u(x, y,
(4)
将式(4)写成如下形式：
u (r , 0) giU (r , ki )
i 1 N
z)为点源二维介质电场问题中的三维电位，U(x, y, k) 为其在 z (走向)方向进行 Fourier 变换后的二维电位， 即
(5)
第7期
潘克家，等：2.5 维直流电法正演中 Fourier 逆变换离散波数的最优化选取
U U 2 x ( x ) y ( y ) k U I ( x x A ) ( y y A ), in U n 0, on s U k K1 (kr ) cos(r , n)U 0, on n K 0 (kr )
2820
中南大学学报(自然科学版)
第 44 卷
利用有限元法 (FEM) 或者有限差分法 (FDM) 求解 2.5 维点源电阻率法正演问题时，需要求 Fourier 逆变 换， 而通过数值方法计算 Fourier 逆变换时， 波数的选 取是保证计算精度和节省计算时间的关键问题[1−8]。 罗 延钟等[9]根据零阶修正贝塞尔函数的特点，构造线性 和负指数函数， 对其进行分段积分来完成 Fourier 逆变 换。该方法选择的波数呈等比数列，称之为等比离散 波数。由于该方法仅考虑最大和最小电极距，所以， 用等比离散波数进行 Fourier 逆变换时， 需要较多的波 数才能满足模拟精度，显然正演的计算量随着波数个 数的增加而线性增加。为此，徐世浙等[10−11]采用最优 化方法计算离散波数，优点在于将电极距序列的每个 电 极 都参 与计 算 ，通 过迭 代 法求 解优 化 问题 使得 Fourier 逆变换的计算结果达到最优，由此计算出来的 离散波数称之为最优化离散波数。该方法是一种非常 有效的 Fourier 逆变换方法，已在 2.5 维电法正演中得 到广泛运用
2 离散波数选取非线性优化问题
文献 [10−11] 给出了用最优化方法确定离散波数 的基本原理。大多数情形下，只需考虑通过点电源剖 面(主剖面)上的电位，此时 z=0，由式(3)可知：
u ( x, y, 0) 2 U ( x, y, k ) dk π0
1
点 源 2.5 维 电 场 边 值 问 题 及 其 Fourier 逆变换
28wk.baidu.com1
其中： r x 2 y 2 ，为主剖面上的点至电源点的距 离；N 为离散波数的个数；ki 为离散波数；gi 为相应 的权系数。离散波数 ki 及相应的权系数 gi 需要适当选 取使得式(5)对一定范围内的 r 尽可能精确成立。 然而， 一般地电模型得不到 u 和 U 的精确表达式，故无法直 接通过式(4)确定 ki 和 gi。 在 均 匀 半 空 间 情 形 下 ， u ( x, y , z )
u ( x, y , z ) 2 U ( x, y, k ) cos(kz ) dk π0
将计算离散最优化波
数中的均匀地层参考模型改为水平分层介质模型，提 出增强最优化波数的计算方法，进一步提高了离散波 数的精度。综合现有文献，基于最优化波数的 2.5 维 电法正演整体精度较高，但在点电源附近精度仍然比 较差[17, 23]。 尽管采用二次场(背景场+异常场)的方法可 以避开电源点的奇性[24]，提高点源附近的计算精度， 但是，此方法难以推广到考虑起伏地表的直流电法正 演问题中。因此，进一步提高 2.5 维直流电法正演的 模拟精度具有重要的意义。本文作者从模型和算法两 方面改进最优化波数的计算方法，解决点源 2.5 维直 流电法模拟精度(尤其源点附近)不高的问题。对具有 解析解的水平地电模型和三层垂直分层 Dike 模型， 与 文献[6]和文献[17]中离散波数的模拟结果进行比较与 分析，验证本文改进最优化方法得到的波数具有更高 的精度和更大的适用范围，且适用于大电性差异地电 模型。
[12−20]
U ( x, y , k )
0
u ( x, y, z ) cos(kz )dz
(1)
其中：k 为波数。实际上，式(1)为余弦变换，这是因 为二维地电构造关于 z=0 对称，电位 u(x, y, z)关于 z 为偶函数。二维电位 U(x, y, k)满足如下带参数(波数 k) 的二维变系数非齐次亥姆霍茨 (Helmholtz) 方程边 值问题[6, 17]:
(2)
其中：Ω 为地表以下求解区域；Γ s 为地表−空气界面；
Γ 为截断无穷远边界； r 为点电源到无穷远边界的距
。柳建新等
[21]
在最优化波数的基础
上，研究了离散波数初值的选定以及偏导数矩阵的计 算问题，使得该方法在计算量和计算精度方面有了进 一步的改善。近年来，Li 等
[22−23]
离； 为电导率； I 为电流； n 为边界 Ω 的外法向； ( x) 为狄拉克函数，K0 和 K1 分别为第二类零阶、一阶修 正贝塞尔函数。 由 Fourier 逆变换知：
Optimized selection of discrete wavenumbers for inverse Fourier transform in 2.5D DC resistivity modeling
PAN Kejia1, 2, TANG Jingtian1
(1. Key Laboratory of Metallogenic Prediction of Nonferrous Metals, Ministry of Education, School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083, China; 2. School of Mathematics and Statistics, Central South University, Changsha 410083, China) Abstract: The optimized selection method was improved in terms of both the optimization model and computational method for selecting the discrete wavenumbers of inverse Fourier transform, which arise in the 2.5-dimensional direct current resistivity modeling with a point current source. Firstly, with an analytical solution of electric potential produced by a point source in semi-infinite homogeneous medium, an improved nonlinear optimization problem for computing these wavenumbers based on the method of least squares was presented, then it was resolved using the differential evolution (DE) algorithm. Finally, the computational accuracy against the impact of the number of electrode spacings included in the simulation was discussed. For a number of typical geoelectric models with analytical solutions, the method was justified through comparing the computed results to those in literatures. The results show that increasing the number of electrode spacings not only dramatically reduces the error of the apparent resistivity near the point source, but also ensures the computational accuracy for models with a large conductivity contrast. The discrete wavenumbers obtained from the proposed method have a higher accuracy and wider range of applications compared with existing ones. Key words: direct current modeling; finite element method; inverse Fourier transform; discrete wavenumbers; differential evolution algorithm
(3)
理论上，先求解偏微分方程边值问题(2)，再由式 (3)进行 Fourier 逆变换即可得点源二维介质电场问题 中的三维电位 u。然而，边值问题(2)只能通过有限元 (FEM)等方法数值求解，即只能得到一系列离散波数 {ki, i=1, 2, …, N}对应的 U(x, y, ki)的近似解 Uh(x, y, ki)。因此，如何选取最优的离散波数{ki}是非常值得 研究的一个问题。
潘克家 1, 2，汤井田 1 (1. 中南大学 有色金属成矿预测教育部重点实验室，地球科学与信息物理学院，湖南 长沙，410083 2. 中南大学 数学与统计学院，湖南 长沙，410083)
摘要：从优化模型和计算方法 2 方面改进点源 2.5 维直流电法正演中 Fourier 逆变换离散波数的最优化选取方法。 首先利用均匀半空间点源电位的精确解，基于最小二乘法给出计算离散波数的改进非线性最优化问题；然后，利 用差分进化(DE)算法进行求解；最后，研究参与计算的电极距数对模拟精度的影响。对具有解析解的典型地电模 型，通过与已有文献计算结果进行比较，验证方法的可行性。研究结果表明：增加参与计算的电极距数可有效提 高视电阻率曲线近源处的计算精度，并能保证较大电性差异情形下的计算精度；与现有离散波数相比，本文方法 得到的波数具有更高的精度和更大的适用范围。 关键词：直流电法；有限单元法；Fourier 逆变换；离散波数；差分进化算法 中图分类号：P631 文献标志码：A 文章编号：1672−7207(2013)07−2819−08
第 44 卷第 7 期 2013 年 7 月
中南大学学报(自然科学版) Journal of Central South University (Science and Technology)
Vol.44 No.7 July 2013
2.5 维直流电法正演中 Fourier 逆变换离散波数的 最优化选取
考虑具有一定走向的二维构造地电模型， 记 u(x, y,
(4)
将式(4)写成如下形式：
u (r , 0) giU (r , ki )
i 1 N
z)为点源二维介质电场问题中的三维电位，U(x, y, k) 为其在 z (走向)方向进行 Fourier 变换后的二维电位， 即
(5)
第7期
潘克家，等：2.5 维直流电法正演中 Fourier 逆变换离散波数的最优化选取
U U 2 x ( x ) y ( y ) k U I ( x x A ) ( y y A ), in U n 0, on s U k K1 (kr ) cos(r , n)U 0, on n K 0 (kr )
2820
中南大学学报(自然科学版)
第 44 卷
利用有限元法 (FEM) 或者有限差分法 (FDM) 求解 2.5 维点源电阻率法正演问题时，需要求 Fourier 逆变 换， 而通过数值方法计算 Fourier 逆变换时， 波数的选 取是保证计算精度和节省计算时间的关键问题[1−8]。 罗 延钟等[9]根据零阶修正贝塞尔函数的特点，构造线性 和负指数函数， 对其进行分段积分来完成 Fourier 逆变 换。该方法选择的波数呈等比数列，称之为等比离散 波数。由于该方法仅考虑最大和最小电极距，所以， 用等比离散波数进行 Fourier 逆变换时， 需要较多的波 数才能满足模拟精度，显然正演的计算量随着波数个 数的增加而线性增加。为此，徐世浙等[10−11]采用最优 化方法计算离散波数，优点在于将电极距序列的每个 电 极 都参 与计 算 ，通 过迭 代 法求 解优 化 问题 使得 Fourier 逆变换的计算结果达到最优，由此计算出来的 离散波数称之为最优化离散波数。该方法是一种非常 有效的 Fourier 逆变换方法，已在 2.5 维电法正演中得 到广泛运用
2 离散波数选取非线性优化问题
文献 [10−11] 给出了用最优化方法确定离散波数 的基本原理。大多数情形下，只需考虑通过点电源剖 面(主剖面)上的电位，此时 z=0，由式(3)可知：
u ( x, y, 0) 2 U ( x, y, k ) dk π0
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点 源 2.5 维 电 场 边 值 问 题 及 其 Fourier 逆变换
28wk.baidu.com1
其中： r x 2 y 2 ，为主剖面上的点至电源点的距 离；N 为离散波数的个数；ki 为离散波数；gi 为相应 的权系数。离散波数 ki 及相应的权系数 gi 需要适当选 取使得式(5)对一定范围内的 r 尽可能精确成立。 然而， 一般地电模型得不到 u 和 U 的精确表达式，故无法直 接通过式(4)确定 ki 和 gi。 在 均 匀 半 空 间 情 形 下 ， u ( x, y , z )
u ( x, y , z ) 2 U ( x, y, k ) cos(kz ) dk π0
将计算离散最优化波
数中的均匀地层参考模型改为水平分层介质模型，提 出增强最优化波数的计算方法，进一步提高了离散波 数的精度。综合现有文献，基于最优化波数的 2.5 维 电法正演整体精度较高，但在点电源附近精度仍然比 较差[17, 23]。 尽管采用二次场(背景场+异常场)的方法可 以避开电源点的奇性[24]，提高点源附近的计算精度， 但是，此方法难以推广到考虑起伏地表的直流电法正 演问题中。因此，进一步提高 2.5 维直流电法正演的 模拟精度具有重要的意义。本文作者从模型和算法两 方面改进最优化波数的计算方法，解决点源 2.5 维直 流电法模拟精度(尤其源点附近)不高的问题。对具有 解析解的水平地电模型和三层垂直分层 Dike 模型， 与 文献[6]和文献[17]中离散波数的模拟结果进行比较与 分析，验证本文改进最优化方法得到的波数具有更高 的精度和更大的适用范围，且适用于大电性差异地电 模型。
[12−20]
U ( x, y , k )
0
u ( x, y, z ) cos(kz )dz
(1)
其中：k 为波数。实际上，式(1)为余弦变换，这是因 为二维地电构造关于 z=0 对称，电位 u(x, y, z)关于 z 为偶函数。二维电位 U(x, y, k)满足如下带参数(波数 k) 的二维变系数非齐次亥姆霍茨 (Helmholtz) 方程边 值问题[6, 17]:
(2)
其中：Ω 为地表以下求解区域；Γ s 为地表−空气界面；
Γ 为截断无穷远边界； r 为点电源到无穷远边界的距
。柳建新等
[21]
在最优化波数的基础
上，研究了离散波数初值的选定以及偏导数矩阵的计 算问题，使得该方法在计算量和计算精度方面有了进 一步的改善。近年来，Li 等
[22−23]
离； 为电导率； I 为电流； n 为边界 Ω 的外法向； ( x) 为狄拉克函数，K0 和 K1 分别为第二类零阶、一阶修 正贝塞尔函数。 由 Fourier 逆变换知：