2_5维直流电法正演中Fourier逆变换离散波数的最优化选取
用fourier系数的幅度进行fourier反变换
Fourier反变换（Inverse Fourier Transform）可以用于从Fourier系数幅度谱恢复原始信号。
具体步骤如下：
1. 首先，根据Fourier变换的定义，如果一个函数f(t)的Fourier 变换存在，那么它的Fourier变换和逆变换可以表示为：
F[f(t)] = ∫(-∞ to ∞) f(t) e^(-iωt) dt
f(t) = 1/π ∫(-∞ to ∞) F[f(t)] e^(iωt) dt
2. 在实际计算中，我们通常使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）及其反变换。
假设我们有一个离散时间信号f[n]，其傅里叶变换可以表示为：
F[f[n]] = ∑(-∞ to ∞) f[n] e^(-iωn)
3. 其中，ωn = 2πn/N，N是信号的采样点数。
4. 同样地，离散傅里叶反变换可以表示为：
f[n] = 1/N ∑(-∞ to ∞) F[f[n]] e^(iωn)
5. 在实际应用中，通常只考虑幅度谱，即|F[f[n]]|，因为相位信息通常对于恢复原始信号并不重要。
6. 因此，从Fourier系数幅度进行反变换的步骤是：
* 首先获取原始信号的Fourier幅度谱；
* 然后使用上述公式进行反变换；
* 最后，通过这种方式就可以恢复原始信号。
请注意，如果原始信号包含无限频率成分，那么在离散傅里叶变换
中，这些成分将被映射到更高的频率。
因此，如果原始信号包含无限频率成分，那么这种反变换可能无法准确恢复原始信号。
关于瞬变电磁法2.5维正演中的几个问题
关于瞬变电磁法2.5维正演中的几个问题
熊彬
【期刊名称】《物探化探计算技术》
【年(卷),期】2006(28)2
【摘要】这里讨论了瞬变电磁法2.5维正演模拟中的两个积分变换:傅里叶逆变换和拉普拉斯逆变换.针对发收距为零的中心回线方式瞬变电磁法,提出了在傅氏域中考察傅氏变换函数随波数的变化规律,进而根据曲线首尾支渐近线来划定波数覆盖的范围,然后同解析解对比,确定出最少个数的傅氏域波数.另外,介绍了只需对较少的拉氏变换变量作纯实数运算的拉普拉斯数值反演计算方法.通过对均匀半空间表面上垂直磁偶极子源形成的瞬变电磁场进行正演模拟,结果表明,关于傅氏域波数的范围划定原则及个数选取方案是合理的、拉氏逆变换算法也是切实可行的.
【总页数】5页(P124-128)
【作者】熊彬
【作者单位】中南大学,信息物理工程学院,长沙,410083
【正文语种】中文
【中图分类】P631.3+25
【相关文献】
1.瞬变电磁法二维有限差分正演模拟研究 [J], 辛会翠
2.基于吸收边界条件的瞬变电磁法三维矢量有限元快速正演 [J], 张永超;王光杰;李宏杰;廉玉广;李文;邱浩;牟义
3.基于井-地瞬变电磁法的正演模拟研究 [J], 程崇峻
4.瞬变电磁法矩形回线源一维正演研究 [J], 殷成
5.地形对回线源瞬变电磁法探测影响的三维正演研究 [J], 马炳镇;郭建磊
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关于瞬变电磁法2_5维正演中的几个问题_熊彬
[ 17 ] [ 16 ] [ 15 ]
; W. L.
[ 18 ]
; J. H.
图 1 傅氏域磁场垂直分量随波数的变化曲线
Fig . 1 Vertical magnetic component curves w ith regard to wave 2number in Fourier domain
0 前言
三维空间的电磁问题 , 经拉普拉斯变换 、 傅立 叶变换之后 ,由原先的四维边值问题转变成为 2. 5 维的边值问题 。众所周知 , 2. 5 维 (二维大地三维 场源 )模型在地球物理领域内有着重要的实用价 值 ,这是因为求解复杂三维模型问题所需的计算机 机时和内存都过于庞大 ,简化之后的 2. 5 维模型则 只需对截面 ,而不是整个体积作离散处理 , 大大地 减小了矩阵的尺寸 。 在方便解决问题的同时 ,该方法也存在不易解 决的问题 : ①如何合理选取傅氏域波数的个数及 其分布 。 ② 如何形成一套有效的拉氏逆变换算 法 。作者在本文中将针对上述两方面的问题加以 讨论 。
s
t∈ [ 0. 1, 10 ] 1 ( 3 ) F ( s) = , f ( t) = J0 ( t) , 2 s +1 - 6 t∈ [ 10 , 1 ] 通过对上述三例函数的数值反演计算 , 我们可 以得到 : ① 对于圆滑的像函数 , 即不存在间断点 、 凸点 、 顶点及振荡剧烈的情形 , Gaver - Stehfest变 换方法能够获得精度较好的像原函数 , 前面三例中 - 6 - 5 最大相对误差分别在 4 × 10 、 5 × 10 、- 12 × - 6 10 以内 ; ② Gaver - Stehfest算法的主要缺点是 权系数 V i 随着的增加而急剧增大 , N 的选取对解 的精度影响很大 , 本文作者推荐取 12 ～18。
第八章 傅里叶变换
(k l )
T /2
k ( t ) l ( t ) d t 0 ,
由 { k ( t )}, { k ( t )} 组合叠加可以生成周期为 T 的复杂波。 6
§8.1 Fourier 变换的概念 第 一、周期函数的 Fourier 级数 八 2. 正交函数系 章 问题 对于任何一个周期为 T 的(复杂)函数 fT ( t ) ，能否： 傅 立 ? f ( t ) A0 0 ( t ) a n n ( t ) bn n ( t ) 叶 T n 1 变 换 A0 a n cos n 0 t bn sin n 0 t
13
§8.1 Fourier 变换的概念 第 一、周期函数的 Fourier 级数 八 6. 离散频谱与频谱图 章 2c n a n jbn a0 a n jbn , , c n 由 c0 , c n 分析 傅 2 2 2 An 立 P185 bn A 1 2 2 叶 an bn n ， 得 c0 A0 , | cn | | c n | 2 2 变 n an 换 O n arg cn arg c n θn , ( n 0) .
第 八 章 傅 立 叶 变 换
第八章 Fourier 变换
§8.1 Fourier 变换的概念 §8.2 单位冲激函数 §8.3 Fourier 变换的性质
1
§8.1 Fourier 变换的概念 第 八 章 傅 立 叶 变 换
§8.1 Fourier 变换的概念
Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够 简化运算 ( 如求解微分方程、化卷积为乘积等等 )，又具有 非常特殊的物理意义。 因此，Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要 的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。 Fourier 变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发 展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有关 内容，因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。 2
对离散fourier变换公式四种形式的讨论
对离散fourier变换公式四种形式的讨论Fourier变换是一种广泛应用于信号处理、图像处理、声音处理等领域的数学工具。
离散Fourier变换是Fourier变换的一种离散形式，用于对离散信号进行频域分析。
离散Fourier变换公式有四种不同的形式，本文将对这四种形式进行讨论。
一、正向离散Fourier变换公式正向离散Fourier变换（DFT）公式是将一个离散信号转换为它在频域中的表示。
设$x(n)$为长度为$N$的离散信号，则它的DFT表示为：$$X(k)=sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-i2pi kn/N},k=0,1,cdots,N-1$$其中$i$为虚数单位。
公式中的$X(k)$表示信号在频域中第$k$个离散频率上的振幅和相位。
DFT公式是一种线性变换，因此可以用矩阵形式表示：$$begin{bmatrix} X(0) X(1) vdots X(N-1) end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & 1 & cdots & 1 1 & e^{-i2pi/N} & cdots & e^{-i2pi(N-1)/N} vdots & vdots & ddots & vdots 1 &e^{-i2pi(N-1)/N} & cdots & e^{-i2pi(N-1)(N-1)/N} end{bmatrix} begin{bmatrix} x(0) x(1) vdots x(N-1) end{bmatrix}$$ 这个矩阵称为DFT矩阵，它的逆矩阵称为IDFT矩阵，可以用来进行反向DFT变换，将频域信号转换回时域信号。
二、反向离散Fourier变换公式反向离散Fourier变换（IDFT）公式是将一个离散频域信号转换为它在时域中的表示。
设$X(k)$为长度为$N$的离散频域信号，则它的IDFT表示为：$$x(n)=frac{1}{N}sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{i2pi kn/N},n=0,1,cdots,N-1$$公式中的$x(n)$表示信号在时域中的振幅和相位。
复变函数与积分变换第1章Fourier解读
第一章Fourier变换§ 1.1 Fouriei•积分§ 1.2 Fourier变换的概念与性质§ 13 Fourier变换的应用主要内容Fourier变换是一种对连续时间函数的积分变换，通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系•它既能简化计算（如解微分方程或化卷积为乘积等），又具有明确的物理意义（从频谱的角度来描述函数的特征），因而在许多领域被广泛地应用•离散和快速Fourier变换在计算机时代更是特别重要.§ 1.1 Fouriei•积分Recall:周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数;但全直线上的非周期函数不能有Fourier表示;引进类似于F ourier级数的Fourier积分（周期趋于无穷时的极限形式）1.1 Recall:在工程计算中，无论是电学还是力学，经常要和随时间而变的周期函数广应）打交道•例如：具有性质/ra+rW/G,其中卩称作周期，而1/T代表单位时◎动的次数，单位时间通常取秒，即每秒重复多少次，单匸疋赫兹（Herz,或Hz）.最常用的一种周期函数是三角函数。
人们发现，所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近••…Fourier 级数研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况，通常研究在闭区间［-T/2JV2］内函数 变化的情况.Dirichlet 条件:•心⑴连续或仅有有限个第一类间断点;⑴仅有有限个极值点贝呢⑴可展开为Fourier 级数，且在连续点f 处成立:Q0九⑴为T-周期函数,在上满足©叶鉴+ 工（色cos neat + b n sin ncot^n=\其中3=2兀「£ = ¥『;/(/) bn =討丁;/厂⑴sin 叱血(〃 =1,2,…) 在间断点f 处成立：M+ 0) +m - 0)七 +£ (a” COST +b n sin n^t)2n=\• incot—e2i级数化为:2 2令5 =等C” = 乎,d” = 屮，则c° =缶心 S £ J ；；齐⑴ 2°cosncotdt (H = 0,1,2,-・・)2 引进复数形式： 』net * ^ incot cos HCD Z = ------------------------ , sin neo t = ---- 2 Jn (dt . -in (dt / -in (x )t 、e 4-ef e —ean -------------- - ----------- + O’ ------------- --- ----------22i )'a n - ib n in(dt + % +比八^一和冋]7占dtfc /=: —flWsin 妁M = * J；；") 〃” =£ J；；加)[COSM/+i sin ncot]dt= ”：J ⑴^^n = l,2,・.)(j =耳)合并为：C 弓］T ：J T (”叫心=0,± 1, ±2,…)=ly Pf 72T 厶 J-r/2丄 M=—8」C n = F(nco^—f T (J )的离散频谱；|c”|—A ・(r)的离散振幅频谱； argc”一/^(f)的离散相位频谱；乙若以触/)描述某种信号，贝陀”可以刻画齐(/)的◎频率特征。
Fourier 变换的应用
2
显然有 | F ( ) || F ( ) | .
例. 作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图.
单个矩形脉冲函数为:
E f (t ) 0
t 2 其他
E
F ( )
f (t ) e i t d t 2 E e it d t
2
/2
0 0
1 sin [cos(1 )t cos(1 )t ]dt , 0. 2 2 0 1
例3 求微分积分方程
ax(t ) bx(t ) c x(t ) d t h(t ) 的解,
t
其中< t <+, 且当 t 时, g (t )
振幅 An 和频率 ( n n ) 的关系图称为频谱 图. 由于 是不连续的, 也称之为离散频谱.
2、非周期函数的频谱 在频谱分析中, 傅氏变换F ()又称为f (t )的频谱 函数, 而它的模|F ()|称为f (t )的振幅频谱(亦简称为 频谱). |F ()| 和 的关系图称为f (t )的频谱图.由于 是连续变化的, 我们称之为连续频谱.
因为 F ( )
f (t ) e i t d t f ( t ) cos t d t i
2
所以 | F ( ) |
f ( t ) sin t d t
f (t ) cos t d t
f (t ) sin t d t
再取傅氏逆变换得
1 x (t ) 2
1 2
第2章 离散Fourier变换-1. 概述
第2章 离散Fourier 变换1. 概述1.1 定义连续Fourier 变换在处理由解析表达式表示的函数或进行理论推导时是非常适用的，但在实际的工程应用中，读者在多数情况下要借助计算机等数字工具对采样量化后的离散数据序列进行分析和处理，这就要用到离散Fourier 变换。
笔者在下面的公式(2-1)中列出了针对等间隔采样的离散Fourier 变换对：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==∑∑-=-=-1,,1,0 ,][1][1,,1,0 ,][][102102N n e k X N n x N k e n x k X N k knN j N n kn Nj ππ (2-1) 结合第一章中介绍过的正交函数的概念，我们知道，公式(2-1)中用到的向量组kn Nj eπ2⋅-与kn Nj eπ2⋅(1,,1,0-=N n k 、)是N 维复数空间上的两组完备的函数正交基。
根据公式(2-1)中的定义，可知位于首位的序列值都有特殊的意义：序列][n x 的总和等于其Fourier 变换在频率原点的值∑-==1][]0[N n n x X ，而∑-==1][1]0[N k k X N x 等于其Fourier 变换的均值。
笔者提醒读者注意公式(2-1)中正向变换后的离散频率自变量的排列顺序及其实际对应的频率值。
考虑采样间隔T ∆，公式(2-1)中正向变换后的频率分辨率为TN f ∆⋅=∆1，以频率作为自变量单位，]0[X 对应频率为0的直流分量，]1[X 、…、]12/[-N X 、]2/[N X 对应的频率自变量为：f ∆、…、f N ∆⋅-)12(、f N∆⋅2；而]12/[+N X 、]22/[+N X 、…、]1[-N X 对应的频率自变量为：f N ∆⋅--)12(、f N∆⋅--)22(、…、f ∆-，如果采用角频率作为自变量单位，只需再乘以一个系数π2。
笔者在本书中提供的离散Fourier 程序代码都遵循上述频率自变量的排列约定。
Fourier变换
8．求 ．
解： ， ．
11． ．
解：
．
．
习题三．11(4)． ， ．
解：
．
例7． 习题四．5．
(4) ．
(2)据 例1， ，故
．
补充两题：
例8．求 ．
解：原式
．
例9．求 ．
解：利用位移性质，原式
．
课堂练习：
求Fourier变换：
1. ；2. ．
§1.5 Fourier变换的应用
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．
在频谱分析中，称 为 的频谱函数，模 称为 的（振幅）频谱．其图形称为频谱图．这是连续频谱图．
频谱 是偶函数：
＝ ，
为偶函数．
例1．作单个矩形脉冲函数的频谱图．
解：频谱函数
，E
频谱 ， ． o t
频谱图：
0
例2．作单位脉冲函数 的频谱图．
解：频谱函数： ，频谱： ， ．
频谱图：
11
oto
§1.3 Fourier变换的性质
．
利用Euler公式，转化成复数形式： ， ，
.(1)记
．可合写成： ．
代入(1)得： ——Fourier级数的复数形式．
，(2)．
非周期函数的展开： 设 不是周期函数， ．作周期 的函数：
．
则
，(3)．称为Fourier积分公式．
它成立的条件如下．
Fourier积分定理．若 在 上满足： 在任一有限区间上满足Dirichlet条件； 收敛，即 绝对可积． 则在Cauchy主值意义下，广义积分(3)在连续点t处成立．
称 为 的Fourier正弦逆变换式．
Fouier变换的应用分析(开题报告)
Fourier变换的应用分析信计040 （10040676）崔捷摘要：以Fourier变换为代表的积分变换在许多工程领域有着广泛应用，因此，总结和分析Fourier变换的主要应用案例，对于加深对积分变换理论和方法的理解有着重要的实际意义。
本文将在Fourier变换的基础理论介绍的基础之上，从理论和算例仿真两方面对Fourier变换的应用案例进行分析，从而总结出Fourier变换的优点和应用特点。
关键词：Fourier变换，应用分析，仿真模拟1 研究背景1.1 Fourier变换概论Fourier变换的基本思想首先由法国学者Fourier系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。
1807年，Fourier向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。
傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。
最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具[1]被提出的。
自此之后，Fourier 变换经过了长时间的发展，衍生了很多不同的变种，在各个领域逐渐的到更为广泛的应用。
在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域Fourier变换都有着广泛的应用（例如在信号处理中，Fourier 变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
特别是在分数阶Fourier变换[2]被提出后，它的应用更是走上了一个新的台阶。
在现代数学的理论体系中，Fourier变换正在各个领域起着举足轻重的作用。
从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"[3]，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。
比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。
二维直流电阻率正反演研究
二维直流电阻率正反演研究直流电阻率法常常被工程勘察所采用,然而工区复杂的地质地形环境和严格的工程要求都对直流电法提出新的挑战,特别是在后期的资料解释环节和反演成像环节,高低起伏的地形给解释和成像带来错误解译和假异常等问题。
起伏地形对直流电法的影响情况和影响程度,起伏地形起伏度的变化引起的直流电法响应特征的变化等都是工程勘察中亟待解决的问题。
正演模拟的算法步骤较为繁杂,本文选取网格剖分和傅里叶反余弦变换做为研究重点。
起伏地形的数值模拟需要非结构化网格剖分技术,文中讨论并编程实现经典的三角单元网格剖分算法;反余弦变换而言,因为它关联着正演算法的精度,本文主要对反变换中的最优化波数电极距范围进行讨论,进而改进正演模拟算法。
具体来说,网格剖分使用限定Delaunay三角剖分算法,算法只需要提供限定条件,即地电模型的地形边界、人工边界和模型边界等,就能够自动得到地电模型的三角剖分结果,同时保证剖分结果中各条边界一定存在,又可根据人为需要加密某部分区域,使起伏地形能够进行正演模拟研究和反演成像研究。
本文的傅里叶反余弦变换研究以最优化波数算法为基础,通过对双层水平介质模型和垂直接触带模型的正反余弦变换解析公式的研究,得到计算离散波数的电极距范围应该根据地下空间电性变化和勘探深度要求进行设计,再采用最优化算法算得离散波数和变换系数,经对比分析证明上述计算离散波数的方法是正确的,提高数值模拟的精度,保证正演算法的有效性,为反演成像奠定基础。
文中第二部分利用正演算法研究起伏地形的高密度电法视电阻率响应特征,然后分析地形起伏度变化对响应特征的影响区域和程度变化。
最后,研讨反演成像算法并设计理论模型验证,最后将带地形实测资料进行成像解释。
详细工作包括采用不同的装置对山脊、山谷和陡坎地形分别进行数值计算,通过对比温纳装置、偶极装置和微分装置的视电阻率剖面图,发现温纳装置和微分装置对应剖面图中的假异常形态相似,在山脊地形下方有低阻假异常,坡脚两侧是高阻假异常;而在山谷下方高阻假异常,坡脚两侧为低阻假异常;陡坎地形坡顶对应低阻假异常,坡脚对应高阻假异常,但微分装置的视电阻率变化范围更大。
第一章fourier变换
jwn t
(w n = nw )
当T
?
， Tlim f T ( t ) = f ( t )
f (t ) =
蝌 2p
1
+? - ?
轾 犏 犏 臌
f (t )e
- j wt
dt e
jwt
dw
三 Fourier 积分定理：
f (t )
在 (-
? ,
) 满足下列条件:
(1) f ( t ) 在 任 何 有 限 区 间 上 满 足 展 开 为 Fourier 级数的条件,即只存在有限个第一类间断 点和有限个极值点； (2)
F2 ( w ) = F [ f 2 ( t )] 则
F1 ( w ) = F [ f 1 ( t )]
，
F [ a f 1 ( t ) + b f 2 ( t )] = a F1 ( w ) + b F2 ( w ) = a F [ f 1 ( t )] + b F [ f 2 ( t )]
F
- 1
1 2
ò
0
ì f (t ) t 贡 1 ï ï sin w cos w t dw =ï 1 í ï w t= 1 ï ï 2 î
+
当 t = 0 时， ò0
sin w w
dw =
p 2
——Dirichlet 积分
§1.2 Fourier变换
一 Flourier 积分
f (t ) = 1 2p
+ ?
f
(n)
(0 )
-
+
由于 F ( w ) = F [ d ( t )] =
ò
d (t )e
-
第五章 Fourier变换
0 M
5.2 快速Fourier变换（FFT）
1 M F ( M ) Fe ( M ) wN Fo ( M ) 2 1 M Fe ( ) wN Fo ( ) 2
M M M wN wN wN wN exp( j 2 N )
压缩率为：3.3 1.7： 2.24 ： 11
另一幅图像效果
Fourier变换的压缩原理
压缩率为：16.1 8.1： 10.77 ： 111 ：
返回
变换系数刚好表现的是各个频率点上 的幅值。在小波变换没有提出时，用来进 行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频 反映景物概貌的特性。往往认为可将高频 系数置为0，骗过人眼。
5.3 二维Fourier变换的应用
3. Fourier变换在卷积中的应用:
从前面的图像处理算法中知道，如果 抽象来看，其实都可以认为是图像信息经 过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化 滤波等 ）。 如果滤波器的结构比较复杂 时，直接进行时域中的卷积运算是不可思 议的。
f3
f7
5.2 快速Fourier变换（FFT）
f0 f4 f2 f6 f1
奇 数 区
0 F (0) (0) 1 f w 0 2 f4 2
f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
偶 数 区
F (1)
( 0)
1 2
F ( 2) (0) 1 2 F ( 2) (1) 1 2
,u v 0 , u v 1,2,...N 1
直流系数
1 C (0,0) MN
M 1 N 1 x 0 y 0
c(i, j ),0 i j MN ) ，交流系数为 f ( x, y
人工源电磁法复电阻率2.5维正演问题研究
人工源电磁法复电阻率2.5维正演问题研究引言问题背景人工源电磁法（A rti f ic ia lS ou rc eE lec t ro ma gn et ic Me tho d，A S EM）是一种非常重要的地球物理勘探方法，广泛应用于地下矿产资源的探测和水文地质工程等领域。
而复电阻率2.5维正演问题是在使用A S EM方法进行电磁场模拟时遇到的一个重要问题。
研究目的本文旨在探讨人工源电磁法下的复电阻率2.5维正演问题，分析其原理及数学建模，并介绍一种有效的求解方法，为实际勘探工作和地质工程提供理论基础和技术支持。
人工源电磁法概述人工源电磁法是一种利用电磁感应原理，通过在地面上设置发送线圈和接收线圈，对地下的电磁场进行测量和研究的方法。
它通过变化的电感和电阻，记录了地下不同介质对电磁场的响应。
该方法无需打井、无需探针，非常适合应用于对大面积地区进行勘探。
复电阻率2.5维正演问题原理在人工源电磁法中，复电阻率2.5维正演问题是指在已知地下模型的情况下，通过数学模型计算电磁场在地面上的响应。
其基本原理是根据电磁感应定律，通过数值计算电场和磁场的分布情况，并进而得出电流密度、电阻率等有关参数。
这样就可以模拟地下介质对电磁场的响应情况。
数学建模复电阻率2.5维正演问题的数学建模需要考虑以下几个方面：地下模型在建模时需要确定地下模型的参数，包括不同层次的电导率、介电常数等信息。
通过合理的地下模型设定，可以反映出地下介质对电磁场的影响。
边界条件在正演问题的建模中，需要设定合适的边界条件。
边界条件是指电磁场在计算区域边界上的数学描述，它决定了电磁场的传播规律。
数值求解为了得到复电阻率2.5维正演问题的数值解，需要使用适当的数值方法进行求解。
常见的数值求解方法包括有限差分法、有限元法等。
求解方法及实例分析1.确定模型参数：地下模型的电导率和介电常数等参数信息。
2.设定边界条件：根据具体问题，设定相应的边界条件。
计算最优化离散波数的优化算法
第 27 卷 第 1 期物探化探计算技术2005 年 2 月文章编号: 1001—1749 (2005) 01—0034—05计算最优化离散波数的优化算法柳建新, 刘海飞(中南大学 信息物理工程学院, 长沙 410083)摘 要: 在阐述用最优化方法计算离散波数的基础上, 对波数初值的给定及偏导数矩阵的计算 方法作了进一步的改进, 使其在数学推理上更加严密; 在计算量和计算精度方面也有了很大的改 善, 并简化了程序设计。
通过试算发现, 反付氏变换的均方误差随波数个数的变化规律, 即在变化 曲线上存在转折点, 在转折点之后误差趋于平稳变化。
选取转折点处的波数个数作为反付氏变换 的波数个数, 这样在正演、反演过程中, 既保证了计算精度, 又节约了计算时间。
关键词: 离散波数; 偏导数矩阵; 均方误差; 正演; 反演 中图分类号: 文献标识码: AO 241. 1 是文献3 没有说明波数初值的给定方法。
付氏电位对波数的偏导数也是用差商形式计算的, 那么差商的步长选取就有了一定的人为性。
对此, 作者对上述不足加以改进, 如用计算等比离散波数的方法给定波数的初值, 用解析方法计算付氏电位对波数 的偏导数, 使其在数学推理上变的更加严密; 并且改善计算量和计算精度, 简化程序设计。
通过试算,发现了反付氏变换的均方误差随波数个数的变化的规律, 即在变化曲线上存在转折点, 在转折点之后误差趋于平稳变化。
选取转折点处的波数个数作为反付氏变换的波数个数, 这样在正演、反演过程中, 既保证了计算精度, 又节约了计算时间。
0 前言用有限元法解点源二维问题时, 要用到反付氏 变换, 用数值方法进行反付氏变换时, 波数 Κ的选 取是保证计算精度和节约计算时间的主要问题。
罗 延钟1, 2在进行反付氏变换时, 根据零阶修正贝塞尔函数 K 0 (x ) 曲线的特点, 构造线性函数和负指数 函数, 然后对其进行分段积分来完成反付氏变换。
Fourier变换及其应用
∫k( x - ∞
+ ∞
y ) f ( y ) d y , - ∞ < x < ∞ , 其中 g , k 是已知函数,
并假设它们具有足以使以下推导能成立的条件。 解 : 用 F , G , K 分别表示 f , g , k 的 F ourier 变换。 将求解的积分方程表成 f ( x ) = g ( x ) + k * f ( x ) , G( # ) 两端作 Fo ur ier 变换 , 由上述定理得到 F ( # ) = g( # ) + K(# ) F( # ) F(# ) = 1K(# ) + ∞ 1 G ( # ) - i# x 对上式作 F ourier 逆变换 , 得到: f ( x ) = 2∀ - ∞ 1 - K ( # ) e d# + ∞ 1 - , 0 ≤ ≤ 1 例 4 解积分方程 f ( x ) co s x d x = 0 0 , > 1 解 : 由于 f ( x ) 只定义在 ( 0, + ) 上 , 所以对 f ( x ) 作偶延拓, 则 f ( x ) 的傅氏变换
+ ∞ d + ∞ d d +∞ 证明: d ! ( ) = d - ∞f ( t) e - i t d t = - ∞ d [ f ( t) e - i t ] d t = - ∞( - it) f ( t) e- i t d t = - i F [ t f ( t ) ] 在上述证明过程中, 我们把求导和积分运算交换了次序 , 当然 , 这需要满足一定条件, 在这类问题 dn F ( ) = ( - i ) n F [ tn f ( t) ] , 这个性质表明 , 若已知 f ( t ) 的 Fo urier 中 , 总假定可以交换次序。 一般地, 有 d n n 变换, 则 t f ( t) 的 F our ier 变换也可求出。
fourier函数 -回复
fourier函数-回复Fourier函数是以法国数学家约瑟夫·傅立叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier）的名字命名的，它是数学领域中非常重要的一个函数。
傅立叶函数是解析函数的一种方法，它可将一个周期函数分解为一系列的正弦和余弦函数，可以用于信号处理、图像处理以及物理学中的波动现象等领域。
下面将逐步回答有关Fourier函数的问题。
第一步：什么是Fourier函数？Fourier函数是指以正弦和余弦函数为基础的一类函数。
它将一个周期函数拆分为一系列的正弦和余弦函数的和，其中每个正弦和余弦函数都有不同的频率和振幅。
这个拆分的过程被称为Fourier变换。
第二步：Fourier函数的公式是什么？Fourier函数可以表示为以下形式的无穷级数：f(x) = a₀+ ∑(aₙcos(nωx) + bₙsin(nωx))其中，f(x)表示原始周期函数，a₀、aₙ和bₙ是系数，ω是角频率，n是正整数。
第三步：Fourier系数如何计算？计算Fourier系数可以使用Fourier级数的公式和一些数学技巧。
首先，需要确定原始函数的周期，并确定要展开的区间。
然后，根据公式计算a₀、aₙ和bₙ的值，这可以通过求函数在整个周期内的积分来实现。
在实际计算中，可以使用数值方法对Fourier系数进行估计。
第四步：Fourier变换有哪些应用？Fourier变换在许多领域都有广泛的应用。
在信号处理中，Fourier变换可以将信号从时间域转换到频率域，使得信号中的不同频率成分能够被清晰地观测和分析。
在图像处理中，Fourier变换可以用于图像增强、噪声去除和图像压缩等方面。
在物理学中，Fourier变换被广泛应用于波动现象的研究，例如声音、光和电磁波等。
第五步：Fourier函数的性质有哪些？Fourier函数具有许多重要的性质。
其中之一是平移性质，即将函数向左或向右平移会对Fourier系数产生相应的影响。
1.2 Fourier变换
+
Fc () 0 f ( ) cos d
变 换
f (t) 2
+
0 Fc () costd
Fc () Fc[ f (t)] 0 f ( ) cos d
Fc1[Fc ()]
f (t) 2
0 Fc () cos t d
分别称为Fourier余弦变换和Fourier余弦逆变换
4
§1.2 Fourier 变换
Fourier
§1.2 Fourier 变换
§1.2 Fourier变换
第
一 一、Fourier变换的概念 章 二、单位脉冲函数及其Fourier变换
三、非周期函数的频谱
变 换
1
Fourier
§1.2 Fourier 变换
一、Fourier变换的概念
第 1. Fourier 变换的定义
一 定义 (1) Fourier 变换(傅氏变换) 章
(?)
(关于采样信号)
12
§1.2 Fourier 变换
Fourier
第
一 解 f (t ) 1 [F ( )] 1 2 e j td
章
2π j
1 j sin t d 1 cos t d
π j
π j
变
换
1
π
1,
sin t
d
0,
1,
t0 t0 t0
记为
sgn t .
F ( ) | F ( )| e jarg F ( ) .
定义 称 F ( ) 为频谱密度函数(简称为连续频谱或者频谱)； 称 |F ( )|为振幅谱； 称 arg F ( ) 为相位谱。
5
§1.2 Fourier 变换
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Optimized selection of discrete wavenumbers for inverse Fourier transform in 2.5D DC resistivity modeling
PAN Kejia1, 2, TANG Jingtian1
(1. Key Laboratory of Metallogenic Prediction of Nonferrous Metals, Ministry of Education, School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083, China; 2. School of Mathematics and Statistics, Central South University, Changsha 410083, China) Abstract: The optimized selection method was improved in terms of both the optimization model and computational method for selecting the discrete wavenumbers of inverse Fourier transform, which arise in the 2.5-dimensional direct current resistivity modeling with a point current source. Firstly, with an analytical solution of electric potential produced by a point source in semi-infinite homogeneous medium, an improved nonlinear optimization problem for computing these wavenumbers based on the method of least squares was presented, then it was resolved using the differential evolution (DE) algorithm. Finally, the computational accuracy against the impact of the number of electrode spacings included in the simulation was discussed. For a number of typical geoelectric models with analytical solutions, the method was justified through comparing the computed results to those in literatures. The results show that increasing the number of electrode spacings not only dramatically reduces the error of the apparent resistivity near the point source, but also ensures the computational accuracy for models with a large conductivity contrast. The discrete wavenumbers obtained from the proposed method have a higher accuracy and wider range of applications compared with existing ones. Key words: direct current modeling; finite element method; inverse Fourier transform; discrete wavenumbers; differential evolution algorithm
第 44 卷第 7 期 2013 年 7 月
中南大学学报(自然科学版) Journal of Central South University (Science and Technology)
Vol.44 No.7 July 2013
2.5 维直流电法正演中 Fourier 逆变换离散波数的 最优化选取
[12−20]
U ( x, y , k )
0
u ( x, y, z ) cos(kz )dz
(1)
其中：k 为波数。实际上，式(1)为余弦变换，这是因 为二维地电构造关于 z=0 对称，电位 u(x, y, z)关于 z 为偶函数。二维电位 U(x, y, k)满足如下带参数(波数 k) 的二维变系数非齐次亥姆霍茨 (Helmholtz) 方程边 值问题[6, 17]:
收稿日期：2012−06−18；修回日期：2012−09−20 基金项目：国家自然科学基金资助项目(41204082)；国家科技专项(Sino Probe-03)；高等学校博士学科点科研基金资助项目(20120162120036)；中国 博士后科学基金资助项目(2011M501295) 通信作者： 汤井田 (1965−) ，男，江苏连云港人，博士，教授，从事电磁场理论及应用、数字信号处理等研究；电话： 13507317396 ； E-mail: jttang@
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中南大学学报(自然科学版)
第 44 卷
利用有限元法 (FEM) 或者有限差分法 (FDM) 求解 2.5 维点源电阻率法正演问题时，需要求 Fourier 逆变 换， 而通过数值方法计算 Fourier 逆变换时， 波数的选 取是保证计算精度和节省计算时间的关键问题[1−8]。 罗 延钟等[9]根据零阶修正贝塞尔函数的特点，构造线性 和负指数函数， 对其进行分段积分来完成 Fourier 逆变 换。该方法选择的波数呈等比数列，称之为等比离散 波数。由于该方法仅考虑最大和最小电极距，所以， 用等比离散波数进行 Fourier 逆变换时， 需要较多的波 数才能满足模拟精度，显然正演的计算量随着波数个 数的增加而线性增加。为此，徐世浙等[10−11]采用最优 化方法计算离散波数，优点在于将电极距序列的每个 电 极 都参 与计 算 ，通 过迭 代 法求 解优 化 问题 使得 Fourier 逆变换的计算结果达到最优，由此计算出来的 离散波数称之为最优化离散波数。该方法是一种非常 有效的 Fourier 逆变换方法，已在 2.5 维电法正演中得 到广泛运用
u ( x, y , z ) 2 U ( x, y, k ) cos(kz ) dk π0
将计算离散最优化波
数中的均匀地层参考模型改为水平分层介质模型，提 出增强最优化波数的计算方法，进一步提高了离散波 数的精度。综合现有文献，基于最优化波数的 2.5 维 电法正演整体精度较高，但在点电源附近精度仍然比 较差[17, 23]。 尽管采用二次场(背景场+异常场)的方法可 以避开电源点的奇性[24]，提高点源附近的计算精度， 但是，此方法难以推广到考虑起伏地表的直流电法正 演问题中。因此，进一步提高 2.5 维直流电法正演的 模拟精度具有重要的意义。本文作者从模型和算法两 方面改进最优化波数的计算方法，解决点源 2.5 维直 流电法模拟精度(尤其源点附近)不高的问题。对具有 解析解的水平地电模型和三层垂直分层 Dike 模型， 与 文献[6]和文献[17]中离散波数的模拟结果进行比较与 分析，验证本文改进最优化方法得到的波数具有更高 的精度和更大的适用范围，且适用于大电性差异地电 模型。
2821
其中： r x 2 y 2 ，为主剖面上的点至电源点的距 离；N 为离散波数的个数；ki 为离散波数；gi 为相应 的权系数。离散波数 ki 及相应的权系数 gi 需要适当选 取使得式(5)对一定范围内的 r 尽可能精确成立。 然而， 一般地电模型得不到 u 和 U 的精确表达式，故无法直 接通过式(4)确定 ki 和 gi。 在 均 匀 半 空 间 情 形 下 ， u ( x, y , z )
考虑具有一定走向的二维构造地电模型， 记 u(x, y,
(4)
将式(4)写成如下形式：
u (r , 0) giU (r , ki )
i 1 N
z)为点源二维介质电场问题中的三维电位，U(x, y, k) 为其在 z (走向)方向进行 Fourier 变换后的二维电位， 即
(5)
第7期
潘克家，等：2.5 维直流电法正演中 Fourier 逆变换离散波数的最优化选取
U) k U I ( x x A ) ( y y A ), in U n 0, on s U k K1 (kr ) cos(r , n)U 0, on n K 0 (kr )
(3)
理论上，先求解偏微分方程边值问题(2)，再由式 (3)进行 Fourier 逆变换即可得点源二维介质电场问题 中的三维电位 u。然而，边值问题(2)只能通过有限元 (FEM)等方法数值求解，即只能得到一系列离散波数 {ki, i=1, 2, …, N}对应的 U(x, y, ki)的近似解 Uh(x, y, ki)。因此，如何选取最优的离散波数{ki}是非常值得 研究的一个问题。
(2)
其中：Ω 为地表以下求解区域；Γ s 为地表−空气界面；
Γ 为截断无穷远边界； r 为点电源到无穷远边界的距
。柳建新等
[21]
在最优化波数的基础
上，研究了离散波数初值的选定以及偏导数矩阵的计 算问题，使得该方法在计算量和计算精度方面有了进 一步的改善。近年来，Li 等
[22−23]
离； 为电导率； I 为电流； n 为边界 Ω 的外法向； ( x) 为狄拉克函数，K0 和 K1 分别为第二类零阶、一阶修 正贝塞尔函数。 由 Fourier 逆变换知：