(八)化归思想的基本原则

化归思想的基本原则---杨飞
化归思想是我们加工处理信息的操作性规律。

在指导我们加工处理信息的过程中所表现的基本原则有：清晰性原则、熟悉性原则、综合性原则。

论述如下： 清晰性原则
在加工处理信息的过程中，利用个人的认知经验把信息的表现形式和内容给以转化，呈现出清晰的感性材料。

这种加工处理信息的原则就是清晰性原则。

问题呈现给我们的感性材料，可能是一种粗糙的、模糊的信息材料，这些材料在表达上具有非直观形象化，非数学语言化，在内容上具有隐蔽性、复杂性。

容易给我们感知和思维活动造成一定障碍，所以我们在加工处理信息的过程中，首先就得对这些信息进行清晰。

清晰后的新信息更适合个人认知活动的心理需求，可以加速神经系统的传导，有利于新信息与认知结构的链接。

常见的清晰手段有：①将问题信息用数学语言进行表达，便于我们运用数学方法来解决。

②将问题的信息用数形结合的方法进行描述，使信息表述得更详尽、更直观。

③将复杂的信息进行形变化归，使复杂信息的内涵得到彻底挖掘和暴露。

例1 调查某个高中班学生的升学报考志愿情况，得到如下结果。

1．报考A 大学的学生不报考B 大学； 2．报考B 大学的学生也报考D 大学；
3．报考C 大学的学生不报考D 大学； 4．不报考C 大学的学生报考B 大学。

根据上述结果，某人得出下述结论。

① 报考D 大学的学生也报考A 大学。

② 没有既报考B 大学又报考C 大学的学生。

③ 有既报考C 大学又报考D 大学的学生
④ 报考B 大学的学生数和报考D 大学的学生数相同。

⑤ 报考A 大学的学生也报考C 大学。

这些结论中正确的是（ ）
A ① ② ③；
B ② ④ ⑤；
C ① ② ④；
D ③ ④ ⑤.
此题信息繁多，让人感到有点云里雾里，虽然每项信息的含义简单明白，毫不隐蔽，人人都会用逻辑推理的方法去探求解答方案，但推理过程容易混乱且不便于描述，对问题产生排斥心理。

对此，我们先将各项信息进行数学语言化处理，使问题的信息直白清晰，以观其变。

用x 表示高中班学生，“∈”表示报考，“∉”表示不报考。

则调查结果可改写为：
1．A x ∈⇒B x ∉，再由原命题与逆否命题等价可知，B x ∈⇒A x ∉
2．B x ∈⇒D x ∈或D x ∉⇒B x ∉.
3．C x ∈⇒D x ∉或D x ∈⇒C x ∉.
4．C x ∉⇒B x ∈或B x ∉⇒C x ∈.
这样处理后，问题的各项信息已简洁、明白。

我们对问题新信息感到亲切、熟悉。

下面再考察四个结论：
考查①：D x ∈⇒C x ∉⇒B x ∈⇒A x ∉，则①错.
考查②：B x ∈⇒D x ∈⇒C x ∉，则②对.
考查③：C x ∈⇒D x ∉，知③不正确.
考查④：B x ∈⇒D x ∈，D x ∈⇒C x ∉⇒B x ∈，可知④正确.
考查⑤：A x ∈⇒B x ∉⇒C x ∈，则⑤对.
所以答案B 正确.
例2 已知AB 为半圆的直径，CDEF 为正方形，边长为1，C 、F 在AB 上，D 、E 在
上，AC 、AF 的长分别为)( ,b a b a >， k k k k k k b b a b a a a )1(221-+++-=-- .
求证：21--+=n n n a a a .
解 首先对信息k k k k k k b b a b a a a )1(221-+++-=-- 进行清晰.（右边是等比数列的
前k+1项和）化简为b
a b a a k k k +--==++1
1)(. 所以b a b a a n n n +--=-)(1，b
a b a a n n n +--=---112)( （通过信息清晰后，我们再与结论信息进行综合加工──题变化归）.
要证n n n a a a =+--21，即证⎪⎩⎪⎨⎧-+-=-+=-+-+1111)
()()(n n n n n n b b b a a a 从而即证⎪⎩⎪⎨⎧+=+=1
122b b a a （※） （由于信息（※）是关于a 、b 的
两个关系式，再与半圆这项信息进行
综合加工）.
事实上，由图形可知，BC AC CD ⨯=2，
1=-AF AC . 即1 ,1=-=b a ab
所以11)1(22+=⇒==-=-a a ab a a a a b b ab b b b b -=⇒==+=+11)1(22
从而可知21--+=n n n a a a .
此题在证明（※）成立的过程中，利用数形结合的方法，把（※）这样一个“数的关系式”，反映到“半圆这个图形”上，使问题的信息直观清晰，为证明（※）作好了铺垫。

例3 已知),,2,1(n i R x i =∈+，121=n x x x ，2≥t ,N n ∈,3≥n , 求证：1
111
2211-≥+++∑∑∑n n x x x n t n t t （第36届IMO 试题的推广） 其中，记号∑i 表示n i i x x x x x ,,,,,1121 +-) , ,2 ,1(n i =中任取2-n 个作乘积，所有可能情况的积之和，共有1-n 个.
此题让人有点不知所云，主要是∑i 在制造迷惑，所以首先对∑i 进行清晰。

D
E A
F C B
⌒ AB
我们每一次从n i i x x x x x ,,,,,1121 +-中取2-n 个作乘积，其实就是每一次从 n x x x ,,,21 中取出不含i x 和),,1 ,1,,2 ,1(n i i j x j +-=的所有数，所以，
n i i i i i i i x x x x x x x x 1111111+++++=+-∑ ，令=s n
x x x 11121+++ ， i i x y 1=. 则)(i i i y s y -=∑，从而有i
t i i t i y s y x -=-∑11. 通过形变化归后原不等式化为：已知,1,21=∈+
n i y y y R y ∑==n
i i y s 1求证：111-≥-∑=-n n y s y n
i i t i . 此时，问题的信息清晰明了。

因为这已是竞赛中我们熟悉的不等式问题（读者可以参见第23课）. 由此可见，通过信息清晰，我们可以拨开乌云，给思维一片晴朗的天空，清晰的解题思路就呈现在我们的面前.。