《能将矩形的周长和面积同时加倍吗》教案

《能将矩形的周长和面积同时加倍吗》教案教学目标(一)教学知识点探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”的议题．(二)能力训练要求1．经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索的意识．2．在问题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识．3．在探究的过程中。

感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性．4．在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力．(三)情感与价值观要求1．积极参与数学活动，积极思考并与同学合作交流．2. 获得成功的体验和克服困难的经历。

增强运用数学的信心．教学重点探究“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”，从而获得解决问题的方法和途径．教学难点从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法．教学方法自主探索——合作交流．教具准备多媒体演示教学过程Ⅰ．创设情境问题，搭建探究平台[师]上一节课，我们研究了“任意给定一个矩形．一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”．如果我们把这个问题看成是“加倍”，那么“减半”如何呢？多媒体演示：[问题]任意给定一个矩形．是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?你是怎么做的?[生]这个结论一定成立．[师]理由呢?[生]既然任意给定一个矩形，都存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。

也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”，那么原矩形自然满足新矩形的“减半”要求，即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半．例如长和宽分别为3+ 5和3-5的矩形(记为A ，其周长和面积分别是12和4)，是由长和宽分别为2和1的矩形(记为B)“加倍”而来的。

因而矩形B 的周长和面积分别是矩形A 的周长和面积的一半．[师]你同意这位同学的观点吗？Ⅱ.展示思维过程，构建探索空间[师]请同学们结合上节课的内容，积极独立的思考.然后请大家在小组内研讨．[生]我不同意这位同学的观点．不是所有的矩形都可以“减半”，即不一定存在另一个矩形的周长和面积都为原矩形周长和面积的一半．他刚才举的只是一个特例．[师]你能简单扼要地说明你的理由吗?[生]可以上一节课我们在“做一做”中，先研究了一个简单的特殊的情形：如果已知矩形的长和宽分别为2和1，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?现在已无可质疑肯定存在．但我们在寻找这个矩形时还上费了一番周折的．先是固定所求矩形的周长：周长为12的矩形很多．它们的长和宽可以是5和1，4和2，3和3，211和21，…后又固定所求矩形的面积．面积为4的矩形也很多，它们的长和宽可以是4和1，2和2，21和8，…但同时满足条件的只有一个，即长和宽分别为3+5和3-5.反过来长和宽分别为35+和3-5的矩形一定存在另一个矩形.它的周长和面积都为原矩形的一半．即我们知道的长和宽分别为2和1的矩形．可是像上面的矩形长和宽分别为5和1.4和2，3和3，211和21，…；4和1，2和2，21和8…，是否也存在一个矩形，它的周长和面积分别是上述矩形周长和面积的一半呢?我先考查了一下长和宽分别是5和1的矩形，看它是否能“减半”．设“减半”后的矩形的长和宽分别为x ．和y ，则可得 x+y=3,xy=25,如果此方程组有解．则说明这样的矩形存在；如果无解．则说明这样的矩形不存在．消去未知数y ，可得x(3-x)= 25,即x2-3x+25=0，△＝(-3)2-4×1×25＝9-10＝-1<0，所以方程组无解．由此可知不是所有的矩形都存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形周长和面积的一半．[师]这位同学能独立思考，大胆地对问题提出质疑，表现很棒!下面我们再来看上节课研究过的几个特殊的矩形，看它们能否减半．多媒体演示：做一做如果已知矩形的长和宽仍为2和1，那么是否存在一个矩形。

它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?如果已知矩形的长和宽分别是3和1，4和1，6和1呢?[师]下面我们四人1组，分别考查已知矩形的长和宽为2和1，3和1.4和1，6和1的情形，然后我们将研究结果在全班交流．[生]我们组考查的已知矩形的长和宽是2和1．设所求矩形的长和宽分别为x 和y ，x+y=23，则xy=1，消去y 得．x(23-x)＝1，化简得，2x2-3x+2＝0,△＝9-16<0,所以方程组无解，即如果已知矩形的长和宽分别为2和1时，不存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．[生]我们组考查的也是长和宽分别为2和1的矩形．但我们用的是函数图象的方法 考查,同上节课一样，我们把满足“减半”要求的矩形的长和宽设为x 和y ，则(x ，y)可以看作反比例函数y ＝x 1的图象与一次函数y ＝-x+23的图象在第一象限内交点的坐标．从下图可以看到，这样的交点不存在，即满足要求的矩形不存在．[生]我们组用了同样的方法考查，发现已知矩形的长和宽为3和1时，“减半”的矩形也不存在．[生]已知矩形的长和宽分别为4和1时，“减半”的矩形也不存在．[生]已知矩形的长和宽分别为6和1时，“减半”的矩形存在．我们设所求矩形的长和宽分别为x 、y 则 x+y=27xy=3,消去y 化简得2x2-7x+6＝0.△=49-48＝1>0，∴x1＝23，x2＝2．即所求矩形的长和宽分别为2和23．[师]我们可以发现当矩形的长和宽分别为n 和1时，“减半”的矩形也可能存在，也可能不存在．请同学们思考一下，当已知矩形的长和宽分别为n 和1时，满足什么条件，才存在新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢?请同学们独立思考．[生]可以设所求矩形的长为x ，则宽为[21 (n+1)-x], x[21 (n+1)-x]= 21n ，化简得2x2-(n+1)x+n ＝0．当△＝(n+1)2-8n ＝n2+1-6n ≥0时，方程有解，即符合条件的矩形存在．此时n2+1≥6n ；当△＝n2+1-6n<0时，方程无解，即符合条件的矩形不存在，此时n2+1<6n ．[师]同学们可将我们刚才讨论过的几个矩形的长和宽代入检验一下．[生]当已知矩形的长和宽分别为2和1时，n2+1＝22+1＝5，6n=6×2＝12，5<12，所以不存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半．[生]当已知矩形的长和宽分别为3和1，4和1,5和1时，分别代入n2+1和6n 中，都得到n2+1<6n ，因此它们都不存在“减半”后的矩形．但当已知矩形的长和宽分别为6和1，n2+1＝62+1=37,6n ＝6×6＝36，37＞36．即n2+1>6n ，所以存在“减半”后的矩形．[师]你能对更一般的情况研讨吗?多媒体演示：议一议当矩形满足什么条件时，才存在一个新的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?你能再找一个这样的例子吗?(教学时，可依据实际情况对不同学生提出不同的要求，不必要求所有学生都能进行严格、准确的数学表述)[生]可以设已知矩形的长和宽分别为n ，m ，所求矩形的长为x ，宽为[21(m+n)-x]，那么x[21(m+n)-x]＝21mn ，化简，得2x2-(m+n)x+mn ＝0．①(1)当△＝(m+n)2-4×2mn ＝m2+n2-6mn ≥0，即m2+n2≥6mn 时，方程①有解所以当已知矩形的长和宽为m 和n 时．如果m2+n2≥6mn ，则存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．(2)当△＝(m+n)2-4×2mn ＝m2+n2-6mn<0．即m2+n2<6mn 时，方程①无解，所以当已知矩形的长和宽为m 和n 时，如果m2+n2<6mn ，则存在一个新矩形．它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．[师]你能找到一个已知矩形．存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半吗?[生]可设已知矩形的长和宽分别为8和1，因为82+12＝65，6×8×1=48，65＞48，所以这个矩形存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．[生]我也可以举一个例子，如果已知矩形的长和宽分别为12和2，而122+22＝148，6×12×2＝144，148>144，所以这个矩形也存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．[师]还能举一个“不存在”的情况吗?[生]例如：已知矩形的长和宽分别为10和2，因为102+22=104,6×10×2=120，104＜120，所以，不存在一个新的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．Ⅲ．课时小结本节课又一次为学生提供了一个思考、探究的平台，在活动中，同学们能积极参与数学活动，独立思考问题，体现归纳、综合和拓展的能力，感悟处理问题的策略和方法，积累了数学活动经验．获得了成功的体验．Ⅳ．课后作业习题P153第2、4题．Ⅴ．活动与探究借助函数图象，探讨以下问题：对面积为1的矩形来说，它的周长最小是多少——凡是周长要求小于这个值的矩形都是不存在的；或者，对周长为3的矩形来说，它的面积最大是多少——凡是面积要求大于这个值的矩形也都是不存在的．[过程]我们设面积为1的矩形的长和宽为x 和y ，则xy ＝1．反比例函数y=x 1在第一象限内的图象上的点的坐标(x ，y)都可以作为面积为1的矩形的长和宽．设此矩形的周长为2a ，则x+y ＝a ，满足要求x+y ＝a 的(x ，y)可看作一次函数y ＝-x+a 的图象在第一象限内的点的坐标．这样的点有无数多个．但对面积为1的矩形来说，它的周长最小，即2a 最小也就是a 最小，那么满足条件的(x ，y)既在y ＝x 1上，也在y ＝-x+a 上，并且要求直线y=-x+a 与x 轴或y 轴的交点(a ，0)或(0，a)中a 的值必须最小(如下图所示)．由上图可知符合要求的只有l1，此时a=2，周长的最小值为2a ＝4．而当a<2时，如直线l2，说明周长小于4而面积为1的矩形不存在；而当a>2时，如直线l3、l4，说明周长大于4而面积小于1的矩形有无数多个．同理可以讨论周长为3的矩形，它的面积最大是多少,设此矩形的长和宽为x 和y ，则2(x+y)＝3，x+y=23；xy ＝S ．(如下图所示)由图可知，对周长为3的矩形来说，它的面积的最大值是43×43=169,凡面积要求大于这个值的矩形不存在，而面积小于这个值的矩形有无数个．[结果]当矩形的面积一定时，周长有最小值．当矩形的周长一定时，面积有最大值． 板书设计课题学习——猜想、证明、拓广(二)[问题]任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?从特殊到一般：(1)考查已知矩形的长和宽仍为2和1，3和1，4和1，5和1．6和1的情况．(2)考查已知矩形的长和宽为n 和1的情况．当n2+1≥6n 时，存在新矩形满足条件；当n2+1<6n 时，不存在新矩形满足条件．(3)考查已知矩形的长和宽为m 和n 的情况．当m2+n2≥6mn 时，存在新矩形满足条件；当m2+n2<6mn 时，不存在新矩形满足条件．。