431期：椭圆中互相垂直的弦过定点问题
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椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题
（1）过椭圆22
221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。若弦AB ，CD
的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点22
2
(,0)a c
a b
+。 （2）过椭圆22
221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，
CD 。若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a s
a b
+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1
x y s m
=-
+， 222222
x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222
()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 22
22
2
2
4()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222
()
a s a y y m
b a
-⋅=+， 由中点公式得M 22
22
2222
(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1
m
-代换，得到N 的坐标22222
2222
(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222
222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222
a s x a b
=+ 所以直线MN 恒过定点22
2
(,0)a s
a b
+。 （3）过椭圆22
221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，
CD 。若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b t
a b
+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点22
22(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222
222
(,)a s b t
a b a b ++。 设AB 的直线为()x s m y t -=-，则CD 的直线方程为1
()x s y t m
-=-
-， 222222
()0
x s m y t b x a y a b -=-⎧⎨+-=⎩，2222222222
()2()()0m b a y b ms m t y b s mt a b ++-+--=， 2112222()mb s mt y y m b a --+=+，由中点公式得2222
2222()()
(,)a s mt mb mt s M m b a m b a --++ 直线MN 的方程为：2222
2222
()()
()MN b m mt s a s mt y k x b m a b m a ---=-++， 即222
222()MN a s b t y k x a b a b -=-++，所以直线MN 恒过定点222222
(,)a s b t
a b a b
++。
重庆巴蜀中学高2018级届月考卷九理科20（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1x y C a b
+=的左右焦点分别是1F ，2F ，上顶点M ，右顶点为(2,0)N ，12
MF F ∆的外接圆半径为2。
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过点N ，求ABN ∆面积的最大值。
解：（Ⅰ）∵右顶点为(20)，，∴2a =，122MF MF ==，
∵121sin 2
MO b b
MF F MF a ∠=
==，
2122424sin 2
MF R b MF F b ====∠，∴1b =， ∴椭圆的标准方程为2
214
x y +=．
……………………………………………（4分）
（Ⅱ）设直线l 的方程为my x b =+，1122()()A x y B x y ，，，， 与椭圆联立得222(4)240m y mby b +-+-=，
∴212122
224
44
mb b y y y y m m -+==++，． ……………………………………………（6分） ∵以AB 为直径的圆经过点N ，∴0NA NB =u u u r u u u r
g ， ∵1122(2)(2)NA x y NB x y =-=-u u u r u u u r
，，，，
∴1212122()40x x x x y y -+++=，①
……………………………………………（7分）
∵12122
8()24
b x x m y y b m -+=+-=+，2222
121212244()4b m x x m y y mb y y b m -=-++=+， 代入①式得2516120b b ++=，∴6
5
b =-或2b =-（舍去），
故直线l 过定点605⎛⎫
⎪⎝⎭，． ……………………………………………………（9分）
∴12162
2||255ABN S y y ⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭△， …………（10分） 令22
2564
()[0)(4)
t h t t m t +==∈+∞+，，， 则228()0251281120425h t t t t ⎛
⎫'>⇒++<⇒∈-- ⎪⎝
⎭，，
∴()h t 在[0)t ∈+∞，上单调递减，max ()(0)4h t h ==，