431期：椭圆中互相垂直的弦过定点问题
椭圆中的直线过定点问题
椭圆中的直线过定点问题
在椭圆中，有时我们需要证明某条直线会经过一个特定的点。
这类问题通常涉及到直线的斜率、截距以及椭圆上的点。
解决这类问题的一般步骤如下：
1. 设定变量和参数：首先，我们需要设定一些变量和参数来表示椭圆上的点和直线的方程。
这通常包括椭圆的参数方程和直线的点斜式方程。
2. 建立恒等式：然后，我们需要利用椭圆的性质和直线的性质来建立一些恒等式。
这些恒等式通常涉及到椭圆的参数方程和直线的斜率、截距等。
3. 求解恒等式：通过求解这些恒等式，我们可以找到满足条件的直线方程，从而确定这条直线会经过的定点。
4. 验证结论：最后，我们需要验证所得的结论是否正确。
这通常涉及到将所得的定点坐标代入直线方程和椭圆方程进行验证。
通过以上步骤，我们可以解决椭圆中的直线过定点问题。
需要注意的是，这类问题通常比较复杂，需要仔细分析并运用椭圆的性质和直线的性质来求解。
椭圆中的定点定值问题
椭圆中的定点定值问题椭圆是一个非常重要的几何概念，在数学和物理学中广泛应用。
它具有许多有趣的性质和特征。
其中之一就是定点定值问题。
在这篇文章中，我将探讨椭圆中的定点定值问题，并介绍一些相关的理论和应用。
首先，我们需要了解什么是椭圆。
一个椭圆可以定义为到两个固定点的距离之和等于定值的所有点的集合。
这两个固定点被称为焦点，而定值则被称为焦距。
椭圆还具有一个重要的性质，即焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数。
在椭圆中的定点定值问题中，我们考虑的是在椭圆上选择一个特定的点，并确定其到椭圆上的其他点的距离之和。
这个距离之和被称为点的性质或特征。
一个经典的例子是在椭圆上选择一个点P，然后求它到椭圆上的两个焦点的距离之和。
这个距离和被称为离心率。
离心率是椭圆的一个重要参数，它描述了椭圆的扁平程度。
当椭圆近似于圆形时，离心率接近于零；当椭圆非常扁平时，离心率接近于一。
除了离心率，我们还可以通过其他的定点定值问题来描述椭圆的性质。
例如，我们可以选择一个点P，并求它到椭圆上的任意一点的距离之和。
这个距离和等于椭圆的周长。
通过计算周长，我们可以比较不同椭圆之间的大小和形状。
在实际应用中，椭圆的定点定值问题具有广泛的应用。
例如，在椭圆曲线密码学中，椭圆上的点被用作密码算法的基础。
通过选择不同的定点定值问题，我们可以生成不同的加密和解密算法，从而实现安全的通信和信息传输。
此外，在计算机图形学和机器视觉中，椭圆的定点定值问题也扮演着重要的角色。
通过选择合适的定点定值问题，我们可以用椭圆来描述和识别不同的图像和对象。
这在图像处理和模式识别中具有重要的应用。
总结起来，椭圆中的定点定值问题是数学和物理学中一个有趣而重要的研究领域。
通过选择不同的点和定值，我们可以揭示椭圆的许多性质和特征。
这些性质和特征在许多领域中都有广泛的应用，包括密码学、计算机图形学和机器视觉等。
因此，研究定点定值问题对于我们深入理解椭圆的本质和应用具有重要意义。
高考数学《椭圆中的定点、定值问题》
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
－12k2 所以 x20＋x1－42y1yx22－2＝x20＋1＋4k42k2＝x20－3＝0，解得 x0＝± 3.
1＋4k2 故以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点(± 3，0)．
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
【思维变式题组训练】 1. 已知椭圆 E：ax22＋y2＝1(a>1)的上顶点为 M(0,1)，两条过 M 的动弦 MA，MB 满 足 MA⊥MB.对于给定的实数 a(a>1)，动直线 AB 是否经过一定点？如果是，求出 定点坐标(用 a 表示)；反之，请说明理由．
2. 如图所示，已知椭圆：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为12，右准线方程是直线 l：x ＝4，点 P 为直线 l 上的一个动点，过点 P 作椭圆的两条切线 PA，PB，切点分别 为 A，B(点 A 在 x 轴上方，点 B 在 x 轴下方)．
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
(1) 求椭圆的标准方程； (2) ① 求证：分别以 PA，PB 为直径的两圆都恒过定点 C； ② 若A→C＝12C→B，求直线 PC 的方程． 解析：(1) x42＋y32＝1. (2) ① 设切点 A(x0，y0)，则可证切线 AP：x40x＋y30y＝1， 所以点 P4，31y－0 x0.
例 4 已知圆 M 的圆心在直线 2x－y－6＝0 上，且过点(1,2)，(4，－1)． (1) 求圆 M 的方程； (2) 设 P 为圆 M 上任一点，过点 P 向圆 O：x2＋y2＝1 引切线，切点为 Q.试探究： 平面内是否存在一定点 R，使得PPQR为定值．若存在，求出点 R 的坐标；若不存在， 请说明理由．
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
当且仅当 m>－1 时，Δ>0，欲使 l：y＝－m＋2 1x＋m，即 y＋1＝－m＋2 1(x－2)， 所以 l 过定点(2，－1)． 点评：椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这 一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化， 找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之 前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联 立方程组，求判别式、根与系数关系，根据题设关系进行化简．
椭圆中互相垂直的弦过定点问题 - (原创)
椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b+。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m-代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x a b=+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
过椭圆焦点互相垂直的直线
过椭圆焦点互相垂直的直线
过椭圆的焦点互相垂直的直线是一个经典的几何问题。
让我们
从几何性质和数学原理两个方面来全面回答这个问题。
首先，我们知道椭圆的焦点是椭圆的长轴上的两个特殊点，它
们与椭圆的几何性质密切相关。
根据椭圆的定义，椭圆是到两个焦
点的距离之和为常数的点的轨迹。
这意味着椭圆的焦点和椭圆上的
任意一点构成的两条线段之和是一个常数。
这个性质对于我们寻找
过椭圆焦点互相垂直的直线提供了一些线索。
其次，根据数学原理，我们知道椭圆的焦点与椭圆的长轴和短
轴之间存在特定的关系。
具体而言，焦点与椭圆的长轴的交点称为
顶点，而焦点与椭圆的短轴的交点称为辅助顶点。
根据这些定义，
我们可以推导出椭圆焦点互相垂直的直线的几何特性。
综合以上几何性质和数学原理，我们可以得出结论，过椭圆的
焦点互相垂直的直线是椭圆的长轴和短轴的两条互相垂直的直线。
这是因为椭圆的焦点与长轴和短轴之间的特定关系，使得它们构成
的直线互相垂直。
这个结论可以通过几何推导和数学证明得到验证。
总之，通过深入理解椭圆的几何性质和数学原理，我们可以得出过椭圆焦点互相垂直的直线的全面而完整的回答。
希望这个回答能够满足你的需求。
34解析几何解法技巧：辕门射戟-定点问题
34解析几何解法技巧：辕门射戟-定点问题34：辕门射戟 - 定点问题在圆锥曲线问题中,经常考查过圆锥曲线C上的一点,引出两条直线,分别是两直线与C的交点,当时,直线恒过定点,这样的问题我们称之为直角弦过定点问题.根据圆锥曲线C的不同椭圆,双曲线和抛物线,有三种不同类型的过定点:(1)椭圆的直角弦:在椭圆上任取一点,过作两条互相垂直的弦,则直线恒过定点(2)双曲线的直角弦:在双曲线上任取一点,过作两条互相垂直的弦,则直线恒过定点(3)抛物线的直角弦:在抛物线上任取一点,过作两条互相垂直的弦,则直线恒过定点既然证明直线过定点,所以我们的目标是求出直线的方程——两种思路:一是直接设出方程利用关系找与的关系,二是利用两点的坐标求出的方程。
思路一:设的方程为,与椭圆联立,设,利用韦达定理可得,从而得到:,根据,即,整理得:代入上式,从而能够得到找与的关系,进而得到直线的过定点;思路二:设的方程为,联立椭圆方程,根据韦达定理可得到,从而求出点的坐标;同理求出点的坐标,求出,写出直线的方程,最后得定点。
(此方法运算量大,处理起来很难)在解题时，我们可以根据这些定点坐标公式来检验我们计算的结果是否正确。
(2020·山东·22)已知椭圆C:的离心率为,且过点A(2,1).(1)求C的方程:(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.【答案】见解析【解析】(1)由题意可得:,解得:,故椭圆方程为:.(2)设点.因为AM⊥AN,∴,即,①当直线MN的斜率存在时,设方程为,如图1.代入椭圆方程消去并整理得:,②,根据,代入①整理可得:将②代入,,整理化简得,∵不在直线上,∴,∴,于是MN的方程为, 所以直线过定点.当直线MN的斜率不存在时,可得,如图2.代入得,结合,解得,,此时直线MN过点,由于AE为定值,且△ADE为直角三角形,AE为斜边,所以AE中点Q满足为定值(AE长度的一半).由于,故由中点坐标公式可得.故存在点,使得|DQ|为定值.1.过上一点,作两条射线交抛物线于两点,且,证明:直线恒过一定点并求出该定点坐标。
与椭圆焦点弦相关的过定点问题结论推导
与椭圆焦点弦相关的过定点问题结论推导下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!与椭圆焦点弦相关的过定点问题结论推导椭圆是一种常见的几何图形，其焦点和直径轴是定义其形状和特性的重要元素。
椭圆中的垂径定理
椭圆中的垂径定理椭圆的定义椭圆是一个几何图形，它由一个平面上的点集构成，这些点到两个定点的距离之和保持不变。
其中，这两个定点称为焦点，而这个距离之和称为焦距。
通过运用垂径定理，可以探讨椭圆的性质和特点。
垂径定理垂径定理是指，椭圆上的任何一条线段与圆心到该线段中点的连线垂直。
也就是说，如果我们在椭圆上选择一个点，然后从圆心到该点作一条线段，该线段与椭圆上的切线垂直。
垂径定理的分析证明为了证明垂径定理，我们需要运用一些数学知识和推理。
设想一个椭圆，然后取圆心C和椭圆上的一点D。
我们需要证明线段CD与切线ACB垂直。
设椭圆的焦点为F1和F2，椭圆的半径长度为a和b（a大于b）。
假设椭圆上的点D坐标为(x,y)，圆心C的坐标为(0,0)。
由椭圆的定义可知，焦点F1的坐标为(c,0)，焦点F2的坐标为(-c,0)。
设椭圆的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1。
根据椭圆的定义，我们可以求解出点D的坐标(x,y)。
根据点D处的切线方程可得斜率为k，切线方程为y = kx + b1。
其中，b1为切线的截距。
利用数学知识和推导，我们可以得出椭圆的半焦距为c = sqrt(a^2 - b^2)。
由此可得出切线的斜率为k = -x y/(b^2 sqrt(a^2 - x^2))。
将点D的坐标(x,y)带入切线方程可得y = -x b^2 sqrt(a^2 - x2)/(b2 * sqrt(a^2 - x^2)) = -x。
这表明切线与x轴垂直，证明垂径定理。
椭圆的特性应用垂径定理的实际应用非常广泛。
在数学、物理、工程等领域中，我们经常需要利用椭圆的特性来解决实际问题。
以下是椭圆的一些特性及其应用场景：1.椭圆的离心率：离心率是椭圆的一个重要特性，它描述了椭圆的扁平程度。
离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越扁平。
离心率的计算与垂径定理的应用息息相关，可用于工程测量和轨道设计等领域。
2.椭圆的焦距：焦距是椭圆的另一个重要特性，它描述了一个点到两个焦点的距离之和。
椭圆中的定值、定点问题
椭圆中的定值、定点问题说我之前说的:什么是硬件解码的定理？这个计算太多太多了，刺激！现在更新很慢，不过我在笔记本里整理了一些模型，准备有空就发。
接下来要给出的结论，可以说是“非常一般”。
在这里先给出结论，可以自己用几何画板验证：结论给定椭圆 \Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 与椭圆上的定点 P(x_0,y_0) ，过 P 点作两条射线 PA 和PB ，与椭圆 \Gamma 交于 A 和 B 两点，记直线 PA 和 PB 的斜率分别为 k_1 和 k_2 ，则有：（1）若 k_1+k_2=\lambda ，则直线 AB 过定点 (x_0-\frac{2y_0}{\lambda},-y_0-\frac{2b^2x_0}{a^2\lambda}) 。
（2）若 k_1\cdot k_2=\lambda ，则直线 AB 过定点(\frac{2b^2x_0}{\lambda a^2-b^2}+x_0,\frac{-2a^2\lambda y_0}{\lambda a^2-b^2}+y_0) 。
这也是各个地区高考、模拟题出题常见的题型，当然，最重要的是，它说明了一个规律：只要直线过椭圆上的定点，并且斜率有关系，那么就一定有“定点”的出现。
例如以下题目：例1 （2017年全国1卷）已知椭圆C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) ，四点P_1(1,1) ， P_2(0,1) ， P_3(-1,\frac{\sqrt3}{2}) ，P_4(1,\frac{\sqrt3}{2}) 中恰有三点在椭圆 C 上。
(1) 求 C 的方程；(2) 设直线 l 不经过点且与 C 相交于 A ， B 两点。
若直线P_2A 与直线 P_2B 的斜率的和为 -1 ，证明： l 过定点。
例2 （例1变式）在例1中，若直线 P_2A 与直线 P_2B 互相垂直，证明： l 过定点。
高中数学破题致胜微方法(椭圆的进阶性质)：椭圆中的定点问题 Word版含答案
代入并整得
，
化简整理得到
均满足判别式大于0，
所以，当
当
今天我们研究椭圆中的定点问题。椭圆中的定点问题往往与椭圆中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。证明直线过定点，一般是先选择一个参数建立直线系方程，然后再根据直线系方程过定点时，方程的成立与参数没有关系，得到一个关于x，y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点。
整理得 ，
所以 .
将 ， 代入上式，
整理得 .
由于上式对任意实数 都成立，所以 .
综上，存在定点 ，使 平分 .
整理：
处理定点问题的方法：
（1）常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；
（2）也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。
再看一个例题，加深印象
例：已知椭圆 的左顶点为A.过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆于B,C两点,且k1k2=2,求证:直线BC恒过一个定点.
4.如图,椭圆 的两焦点 ， 与短轴两端点 ， 构成 为 ,面积为 的菱形。
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 与椭圆相交于 、 两点( 、 不是左右顶点),且以 为直径的圆过椭圆右顶点 ．求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标．
答案：
1.
2.
3.
4.
解： 椭圆的方程为
（2）由
，
即
设M ，则有
因为以 为直径的圆过椭圆右顶点 ，所以
3.在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆 的左、右顶点为A,B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA,TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.
椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题
椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b+。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m -代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x a b =+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
椭圆中的定点、定值问题
解析几何中的椭圆是高考中的热点，常见的有求最值、过定点、定值等，这类题型中以直线与椭圆相交为基本模型，处理问题的方法可以是设直线，运用韦达定理求出坐标之间的关系，过椭圆上一点的直线与椭圆相交是可以解出另一个交点的，而过椭圆外一点的直线与椭圆相交只能找到两个交点坐标的关系，不适宜解，再运用题目中的条件整体化简。
也可以是设点的坐标，运用坐标在椭圆上或直线上整体代入化简，到底设什么需要根据题目的条件，因题而异。
例1、（2017盐城高三三模18）已知A 、F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF x ⊥轴时，2AF PF =.（1）求椭圆C 的离心率；（2）若椭圆C 存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形（点P 在第一象限），求直线AP 与OQ 的斜率之积；（3）记圆2222:abO x y a b+=+为椭圆C 的“关联圆”.若b =P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M 、N ，直线MN 的横、纵截距分别为m 、n ，求证：2234m n+为定值.学科*网解：（1）由PF x ⊥轴，知P x c =，代入椭圆C 的方程，得22221P y c a b +=，解得2P b y a=±. 又2AF PF =，所以22b a c a +=，解得12e =.（2）因为四边形AOPQ 是平行四边形，所以PQ a =且//PF x 轴，所以2P a x =，代入椭圆C的方程，解得P y =， 因为点P在第一象限，所以2P y =，同理可得2Q a x =-，2Q y b =所以2222()22AP OQbk k a a a a =⋅=----，由（1）知12c e a ==，得2234b a =，所以34AP OQ k k =-. （3）由（1）知12c e a ==，又b =2a =，所以椭圆C 方程为22143x y +=， 圆O的方程为22x y +=①. 连接,OM ON ，由题意可知，OM PM ⊥， ON PN ⊥， 所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，设00(,)P x y ，则四边形OMPN 的外接圆方程为222200001()()()224x y x y x y -+-=+， 即22000x xx y yy -+-= ②.（注：以OP 为直径的圆的方程可以直接写出0))(0())(0(00=--+--y y y x x x ）由①－②，得直线MN的方程为00xx yy +=， 令0y =，则0m =；令0x =，则0n =所以2200223449()43x y m n +=+， 因为点P 在椭圆C 上，所以2200143x y +=，所以223449m n +=. 例2、（2018苏锡常镇高三二模）如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点1(0)M x ，，直线AC 与直线BD 交于点22()N x y ，． （1）求椭圆的标准方程；（2）若2CM MD =，求直线l 的方程； （3）求证：12x x ⋅为定值．解：（1）由椭圆的离心率为2得 21c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧⎪⎨=⎪⎩，所以，椭圆的标准方程为2212x y +=.（3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(0,1)C ，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+，联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得132142x x x =+,2132122x y x -=+由B ，得直线BD的方程：2y x =- ①直线AC方程为1y =+ ② 联立①②得212x x =， 即12x x =2 法2：设D 坐标为(x 3，y 3）， 由C ,M ,D 三点共线得31311y x x x =--，所以3131x x y =- ① 由B ,D ,N221y x =+代入可得2x = ②①和②相乘得，231231x x x y =-2333323333222)2x y x xx y x +-==-+-. 例3、（2018苏北四市高三一模18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点.（1）求椭圆的标准方程； （2）若AF FC =，求BFFD的值； （3）设直线AB ，CD 的斜率分别为21,k k ，是否存在实数m ，使得12mk k =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）设椭圆方程为22221(0)x ya b a b +=>>， 由题意知：22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：2a b =⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆方程为：2243x y +=（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3(1,)2B --， 此时直线BF 方程为3430x y --=由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去）故1(1)713317BF FD --==-（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=，因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，003)52y x +， 所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =． 例4、（2016泰州高三期末19）如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC 必过点Q ．解：（1）设00(,)B x y ，则00(,)C x y --，220014x y += 所以22000012220000111422424x y y y k k x x x x -=⋅===--+--．（2）联立122(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222111(1)44(1)0k x k x k +-+-=，解得211122112(1)4,(2)11P P P k k x y k x k k --==-=++，联立122(14y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得2222111(14)164(41)0k x k x k +-+-=， 解得211122112(41)4,(1414B B Bk k x y k x k k --===++， 所以121241B BC B y kk x k -==-，121122112141562(1)641515P PQP k y k k k k k x k -+-===--+++，所以52P Q B Ck k =，故存在常数52λ=，使得52P Q B C k k =．法二：设直线AC 方程：)2(411--=x k y 与圆:O 224x y +=联立方程组，运用韦达定理解出'Q 坐标，证明'Q 在直线PD 上，即可说明AC 必过点Q （请同学们自己去尝试）注：对于任意的椭圆 2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过原点的任意一直线与椭圆交于B A ,两点，P 为椭圆上任意一动点，假设直线PB PA ,斜率都存在，则有22ab k k BPAP -=⋅证明：设),(11y x A ,则),(11y x B --，),(00y x P ，因为P B A 、、在椭圆上所以1221221=+b ya x ① ，1220220=+by a x ②由①-②得0))(())((2010120101=+-++-b y y y y a x x x x ，化简得22a b k k BPAP -=⋅例5、（2017苏锡常镇高三一模18）已知椭圆1222=+y x 右顶点为A .过点)2,2(-D 作直线PQ 交椭圆于两个不同点Q P 、求证：直线AQ AP ,的斜率之和为定值.分析：法一：先考虑过D 的直线斜率不存在满不满足题意。
椭圆中过定点或有定向动弦问题的探讨
+ 2
-
abcos
+ 2
=0
+
+
cos x!
2
sin + y!
2 - cos -
=0
#
a
b
2
( 1) 若 m 1, 则 式化为:
+
x0 ( m+ 1) ! cos 2
m- 1
a
sin +
-
y0 ( m+ 1) m- 1
!
2 b
-
cos
2
=0
比较 # 、 两 式 可 知 直 线 BC 必 过 定 点
M
.
推论 1: 符 合定 理条 件( 1) 的直 线 BC 所 过
定点 M 在直线 y 0 x + x 0 y = 0 上; 符合 定理条 件 ( 2) 的直线 BC 与直线 y 0 x+ x 0 y= 0 平行.
初数方圆
91
推论 2: 当 m= -
1, kAB ! kAC = -
b2 a2
时,
动弦
BC 为椭圆的直径.
推论 3: 当 m= -
a2 b2 , kAC ! kAC = -
1, 即定点
A 对动弦 BC 所张的角为直 角时, 直线 BC 所过
定点 M
x0
( a2a2 +
b2 b2
)
,
-
y0 ( a2 - b2 ) a2 + b2
在椭圆过 A
点的法线上. ( 证略) 定理 2: 椭圆 b2 x 2 + a2 y2 = a2 b2 的 动 弦 BC
证明: 由 kAB = -
椭圆中的定点、定值问题(教师版)
椭圆中的定点、定值问题1.已知l 1，l 2是过点0,2 的两条互相垂直的直线，且l 1与椭圆Γ:x 24+y 2=1相交于A ，B 两点，l 2与椭圆Γ相交于C ，D 两点．(1)求直线l 1的斜率k 的取值范围；(2)若线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明直线MN 经过一个定点，并求出此定点的坐标．【答案】(1)-233,-32 ∪32,233 ；(2)证明见解析；定点0,25 .【解析】(1)根据题意直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0直线l 1，l 2分别为y =kx +2，y =-1kx +2，联立y =kx +2x 24+y 2=1得4k 2+1 x 2+16kx +12=0，由Δ=16k 2-4×124k 2+1 >0得4k 2>3，则k <-32或k >32，同理4-1k2>3，则-233<k <233，所以k 的取值范围为-233,-32 ∪32,233 ．(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由(1)得4k 2+1 2+16kx +12=0，所以x 1+x 2=-16k 4k 2+1，则x M =x 1+x 22=-8k4k 2+1，所以y M =kx M +2=-8k 24k 2+1+2=24k 2+1，则M -8k 4k 2+1,24k 2+1，同理N 8k k 2+4,2k 2k 2+4，则直线MN 的方程为y -24k 2+1=2k 2k 2+4-24k 2+18k k 2+4+8k 4k 2+1x +8k 4k 2+1 ，化简整理得y =k 2-15kx +25因此直线MN 经过一个定点0,25 ．2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，离心率为32.(1)求C 的方程；(2)设斜率为1的直线l 与C 交于P ，Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为M ，若△PQM 的外接圆恰过坐标原点，求直线l 的方程.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)y =x ±263【解析】(1)依题意a =2c a =32a 2=b 2+c 2·解得a =2b =1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1(2)设l 的方程为y =x +m ，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则M x 1,-y 1 .由y =x +m x 24+y 2=1消去y 得，5x 2+8mx +4m 2-4=0，依题意Δ=64m 2-204m 2-4 >0，即-5<m <5，所以x 1+x 2=-8m5x 1x 2=4m 2-45，所以y 1+y 2=x 1+x 2+2m =-8m 5+2m =2m5，所以线段PQ 的中点坐标为-4m 5,m5 ，所以线段PQ 的中垂线方程为y -m 5=-x +4m 5 ，即y =-x -3m5，·依题意，线段PQ 的中垂线与x 轴的交点E -3m5,0 ，即为△PQM 外接圆的圆心，点E 到直线l 的距离为d =2|m |5，|PQ |=2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=2⋅-8m 5 2-16m 2-1 5=4255-m 2，·设△PQM 外接圆的半径为r ，则r 2=d 2+|PQ |22=40-6m 225，所以△PQM 外接圆的方程为x +3m 5 2+y 2=40-6m 225，因为△PQM 外接圆恰过原点O (0,0)，所以3m 5 2=40-6m 225，解得m =±263，所以直线l 的方程为y =x ±263.3.已知A ，B 分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点和上顶点，|AB |=5，直线AB 的斜率为-12.(1)求椭圆的方程；(2)直线l ⎳AB ，与x ，y 轴分别交于点M ，N ，与椭圆相交于点C ，D ．证明：(i )△OCM 的面积等于△ODN 的面积；(ii )|CM |2+|MD |2为定值．【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)(i )证明见解析；(ii )证明见解析【解析】(1)∵A 、B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个顶点，且|AB |=5，直线AB 的斜率为-12，由A (a ,0)，B (0,b )，得|AB |=a 2+b 2=5，又k =b -00-a =-b a =-12，解得a =2，b =1，∴椭圆的方程为x 24+y 2=1；(2)设直线l 的方程为y =-12x +m ，则M (2m ,0)，N (0,m )，联立方程y =-12x +mx 24+y 2=1消去y ，整理得x 2-2mx +2m 2-2=0．Δ=4m 2-8(m 2-4)=32-4m 2>0，得m 2<8设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．∴x 1+x 2=2m ，x 1x 2=2m 2-2．所以S △OCM =12|2m ||y 1|，S △ODN =12|m ||x 2|则有S △OCM S △ODN =|2y 1||x 2|=|2m -x 1||x 2|=|x 2||x 2|=1∴△OCM 的面积等于△ODN 的面积；∴|CM |2+|MD |2=(x 1-2m )2+y 12+(x 2-2m )2+y 22=x 12-4mx 1+4m 2+-12x 1+m 2+x 22-4mx 2+4m 2+-12x 2+m 2=54(x 1+x 2)2-52x 1x 2-5m (x 1+x 2)+10m 2=5m 2-52(2m 2-2)-10m 2+10m 2=54.如图，椭圆M ：y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的两焦点为0,1 ，0,-1 ，A ，B 是左右顶点，直线l 与椭圆交于异于顶点的C ，D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BC 斜率之积为-2．(1)求椭圆M 的方程；(2)直线AC 与直线BD 交于点Q ，设点P 与点Q 横坐标分别为x P ，x Q ，则x P ⋅x Q 是否为常数，若是，求出该常数值；若不是，请说明理由．【答案】(1)y 22+x 2=1;(2)x P ⋅x Q 为常数，值为1【解析】(1)由题A -b ,0 ，B b ,0 ，设C x 1,y 1 ，则k AC ⋅k BC =y 1x 1+b ⋅y 1x 1-b =y 21x 21-b 2=a 21-x 21b2x 21-b2=-a2b 2=-2，∴a 2=2b 2，又a 2-b 2=1，∴a =2，b =1，∴椭圆M 的方程为：y 22+x 2=1.(2)直线l 若过原点，由对称性知AC ∥BD 不合题，设直线l ：x =ty +m m ≠0 ，则x P =mx =ty +my 22+x 2=1，消去x 得2t 2+1 y 2+4mty +2m 2-2=0，设D x 2,y 2 ，则Δ=82t 2-m 2+1 >0y 1+y 2=-4tm2t 2+1y 1y 2=2m 2-22t 2+1∴y 1y 2=1-m22tm y 1+y 2 ①AC ：y =y 1x 1+1x +1 ②，BD ：y =y 2x 2-1x -1 ③②③联立得x -1x +1=y 1x 2-1 y 2x 1+1 =y 1ty 2+m -1 y 2ty 1+m -1 =t 1y 2+m -1 y 1ty 1y 2+m +1 y 2①代入得x -1x +1=1-m 1-m y 1+1+m y 2 m +1 1-m y 1+1+m y 2 =1-m1+m 解得x =1m ，即x Q =1m∴x P ⋅x Q =m ⋅1m=1，∴x P ⋅x Q 为常数，值为1．5.已知点A -22,0 ,B 22,0 ,Q 2,0 ，动点P 与点A ，B 连线的斜率之积为-78，过点Q 的直线l 交点P 的轨迹于C ，D 两点，设直线AC 和直线BD的斜率分别为k 1和k 2，记m =k1k 2(1)求点P 的轨迹方程(2)m 是否为定值?若是，请求出该值，若不是，请说明理由．【答案】(1)x 28+y 27=1(y ≠0);(2)是，3-22【解析】(1)设点P x ,y ，由题意k PA ⋅k PB =y x -22⋅y x +22=-78整理得x 28+y 27=1y ≠0(2)由题意，直线l 斜率不为0设l :x =ty +2，设C x 1,y 1 ,D x 2,y 2由x =ty +2x 28+y 27=1得7t 2+8 y 2+28ty -28=0则y 1+y 2=-28t 7t 2+8，y 1y 2=-287t 2+8所以y 1+y 2=ty 1y 2m =k 1k 2=y 1x 1+22y 2x 2-22=y 1x 2+22 y 2x 1-22 =y 1ty 2+2-22 y 2ty 1+2+22 =ty 1y 2+2-22 y 1ty 1y 2+2+22 y 2=y 1+y 2+2-22 y 1y 1+y 2+2+22 y 2=3-22 y 1+y 2y 1+3+22 y 2=3-22 y 1+13-22y 2 y 1+3+22 y 2=3-22 y 1+3+22 y 2 y 1+3+22 y 2=3-22所以m 为定值3-226.已知圆O ：x 2+y 2=4与x 轴交于点A (-2,0)，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过-65,0 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1=4k 2．【答案】(1)x 22+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)设N (x 0，y 0)，则H (x 0，0)，∵N 是MH 的中点，∴M (x 0，2y 0)，又∵M 在圆O 上，∴x 20+(2y 0)2=4，即x 204+y 20=1；∴曲线C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：x =-65，若点P 在轴上方，则点Q 在x 轴下方，则P -65,45 ,Q -65,-45，直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ，则S 与Q 关于原点对称，∴S 65,45，k 1=k AP =45-0-65+2=1,k 2=k AS =45-065+2=14,∴k 1=4k 2；若点P 在x 轴下方，则点Q 在x 轴上方，同理得：P -65,-45 ,Q -65,45 ,S 65,-45 ，∴k 1=k AP =-45-0-65+2=-1,k 2=k AS =-45-065+2=-14，∴k 1=4k 2；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：x =my -65,，由x =my -65,与x 24+y 2=1联立可得(m 2+4)y 2-12m 5y -6425=0，其中Δ=144m 225+4×(m 2+4)×6425>0，设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，则S (-x 2,-y 2)，则y 1+y 2=12m 5m 2+4,y 1y 2=-6425m 2+4，∴k 1=k AP =y 1-0x 1+2=y 1x 1+2,k 2=k AS =-y 2-0-x 2+2=y 2x 2-2,则k 1k 2=y 1x 1+2⋅x 2-2y 2=y 1my 2-165my 1+45 y 2=my 1y 2-165y 1my 1y 2+45(y 1+y 2)-45y 1=-6425m 2+4-165y1-6425m m 2+4+45⋅125m m 2+4-45y 1=-6425m 2+4-165y 1-1625m 2+4-45y 1=4，∴k 1=4k 2.7.已知M ，N 分别是x 轴，y 轴上的动点，且MN =4+23，动点P 满足MP =32PN ，设点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)直线l 1：3x -2y =0与曲线C 交于A ，B 两点，G 为线段AB 上任意一点(不与端点重合)，倾斜角为α的直线l 2经过点G ，与曲线C 交于E ，F 两点．若|EF |2|GA |⋅|GB |的值与点G 的位置无关，求|GE |：|GF |的值．【答案】(1)x 216+y 212=1;(2)1【解析】(1)设M x 0,0 ，N 0,y 0 ，则x 20+y 20=4+23 2．设P x ,y ，则MP =x -x 0,y ，PN=-x ,y 0-y ．由题意得x -x 0=-32x y =32y 0-y，解得x 0=1+32 x y 0=231+32y，所以1+322x 2+431+32 2y 2=4+23 2，化简得x 216+y 212=1，即曲线C 的方程为x 216+y 212=1．(2)证明：由3x -2y =0x 216+y 212=1，解得x =2y =3 或x =-2y =-3 ，(不妨设点A 在第一象限)，所以A (2,3)，B (-2,-3)．设点G (2m ,3m )，其中-1<m <1，则|GA |=13(1-m )，|GB |=13(1+m )，所以|GA |⋅|GB |=131-m 2 ．若直线l 2的斜率不存在，则直线l 2的方程为x =2m ，此时E 2m ,12-3m 2，F 2m ,-12-3m 2，故|EF |2|GA |⋅|GB |=124-m 2131-m 2不为定值．若直线l 2的斜率存在，设直线l 2的斜率为k ，则直线l 2的方程为y =kx -(2k -3)m ．将直线l 2的方程代入曲线C 的方程化简、整理，得4k 2+3 x 2-8km (2k -3)x +4(2k -3)2m 2-48=0．设E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 ，则x 1+x 2=8km (2k -3)4k 2+3，x 1x 2=4(2k -3)2m 2-484k 2+3，所以|EF |2=1+k 2 x 1-x 2 2=1+k 264k 2m 2(2k -3)2-164k 2+3 (2k -3)2m 2-124k 2+32=-481+k 2 (2k -3)2m 2-16k 2+12 4k 2+32，故|EF |2|GA |⋅|GB |=481+k 2 (2k -3)2m 2-16k 2+12 134k 2+3 2m 2-1．因为|EF |2|GA |⋅|GB |的值与m 的值无关，所以(2k -3)2=16k 2+12，解得k =-12，所以x 1+x 22=4km (2k -3)4k 2+3=2m ，所以G 是EF 的中点，即|GE |=|GF |．所以|GE |:|GF |=1．8.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，其左、右焦点分别为F 1，F 2，T 为椭圆C 上任意一点，△TF 1F 2面积的最大值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A 0,1 ，过点0,12的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)证明见解析【解析】(1)因为椭圆C 的离心率为22，所以c a =22.又当T 位于上顶点或者下顶点时，△TF 1F 2面积最大，即bc =1.又a 2=b 2+c 2，所以b =c =1，a = 2.所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1.(2)由题知，直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为y =kx +12，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，将直线l 代入椭圆C 的方程得：4k 2+2 x 2+4kx -3=0，由韦达定理得：x 1+x 2=-4k 4k 2+2，x 1x 2=-34k 2+2，直线AM 的方程为y =y 1-1x 1x +1，直线AN 的方程为y =y 2-1x 2x +1，所以P -x 1y 1-1,0 ，Q -x 2y 2-1,0，所以以PQ 为直径的圆为x +x 1y 1-1 x +x 2y 2-1 +y 2=0，整理得：x 2+y 2+x 1y 1-1+x 2y 2-1 x +x 1x 2y 1-1 y 2-1=0.①因为x 1x 2y 1-1 y 2-1 =x 1x 2kx 1-12 kx 2-12=4x 1x 24k 2x 1x 2-2k x 1+x 2+1=-12-12k 2+8k 2+4k 2+2=-6，令①中的x =0，可得y 2=6，所以，以PQ 为直径的圆过定点0,±6 .9.已知平面内两点F 1(-2,0),F 2(2,0)，动点P 满足：PF 1 +PF 2 =2 3.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M ，N 是轨迹C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切.证明：M ，N ，F 2三点共线的充要条件是|MN |= 3.【答案】(1)x 23+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)因为PF 1 +PF 2 =23>F 1F 2 .所以点P 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的椭圆，其中2a =23,c =2,b 2=1，所以轨迹C 的方程为x 23+y 2=1.(2)当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ,N ,F 2三点共线，可设直线MN :y =k (x -2)，即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得|2k |k 2+1=1，解得k =±1，联立y =±(x -2),x 23+y 2=1,可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以|MN |=1+1⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=3，所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,(kb <0)即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得|b |k 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +b ,x 23+y 2=1,可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2，x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以|MN |=1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=1+k 2-6kb 1+3k 2 2-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 2三点共线，充分性成立；所以M ,N ,F 2三点共线的充要条件是|MN |= 3.10.已知F 1(-2,0)，F 2(2,0)为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，且A 2,53为椭圆上的一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线y =-2x +t 与抛物线y 2=2px (p >0)相交于P ,Q 两点，射线F 1P ，F 1Q 与椭圆E 分别相交于M 、N .试探究：是否存在数集D ，对于任意p ∈D 时，总存在实数t ，使得点F 1在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D 并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 29+y 25=1;(2)存在，D =(5,+∞)，证明见解析【解析】(1)由题意知c =2，A 2,53为椭圆上的一点，且AF 2垂直于x 轴，则AF 2 =53，AF 1 =(2+2)2+53 2=133，所以2a =AF 1 +AF 2 =133+53=6，即a =3，所以b 2=32-22=5，故椭圆的方程为x 29+y 25=1；(2)l 方程为y =-2x +t ，联立抛物线方程，得y 2=2pxy =-2x +t ，整理得y 2+py -pt =0，则Δ=p 2+4tp >0，则p +4t >0①，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1+y 2=-p ，y 1y 2=-pt ，则x 1+x 2=t +p 2,x 1x 2=(y 1y 2)24p 2=t 24，由F 1的坐标为(-2,0)，则F 1P =(x 1+2，y 1)，F 1Q=(x 2+2，y 2)，由F 1M 与F 1P 同向，F 1N 与F 1Q 同向，则点F 1在以线段MN 为直径的圆内，则F 1M ⋅F 1N <0，则F 1P ⋅F 1Q<0，则(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2<0，即x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 1<0，则t 24+2t +p 2 +4-pt <0，即t 24+(2-p )t +p +4<0②，当且仅当Δ=(2-p )2-4×14(p +4)>0，即p >5，总存在t >-p4使得②成立，且当p >5时，由韦达定理可知t 24+(2-p )t +p +4=0的两个根为正数，故使②成立的t >0，从而满足①，故存在数集D =(5,+∞)，对任意p ∈D 时，总存在t ，使点F 1在线段MN 为直径的圆内．11.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，连结PF 1，PF 2并延长，分别交椭圆于点A ，B ．已知△APF 2的周长为82，△F 1PF 2面积最大值为4．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当P 不是椭圆的顶点时，试分析直线OP 和直线AB 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)y 28+x 24=1;(2)是定值；-6【解析】(1)如图所示：由题意得4a =82bc =4a 2=b 2+c 2，解得a =22b =2所以椭圆C 的方程为y 28+x 24=1(2)设直线PA 的方程为y =kx +2,P x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,F 10,2 ，由y =kx +2y 2+2x 2=8，得k 2+2 x 2+4kx -4=0，∴x 0x 1=-4k 2+2，即x 0x 1=-4y 0-2x 0 2+2=-4x 20y 20-4y 0+4+2x 20，=-4x 2012-4y 0=-x 203-y 0，∴x 1=-x 03-y 0,∴y 1=y 0-2x 0⋅-x 03-y 0+2=8-3y 03-y 0，∴A -x 03-y 0,8-3y 03-y 0，同理可得B -x 03+y 0,-3y 0-83+y 0 ，∴k AB =8-3y 03-y 0+3y 0+83+y 0x 03+y 0-x 03-y 0=48-6y 20-2x 0y 0=38-y 20 -x 0y 0=6x 20-x 0y 0=-6x 0y 0，∴k OP ⋅k AB =y 0x 0⋅-6x 0y 0=-6为定值12.已知点P 2，53 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0))上一点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，且△PAB 的面积为5．(1)求C 的标准方程；(2)过点Q (1，0)的直线l 与C 相交于点G ，H (点G 在x 轴上方)，AG ，BH 与y 轴分别交于点M ，N ，记S 1，S 2分别为△AOM ，△AON (点O 为坐标原点)的面积，证明:S1S 2为定值．【答案】(1)x 29+y 25=1；(2)证明过程见解析.【解析】(1)因为△PAB 的面积为5，点P 2，53 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1上一点，所以有12⋅2a ⋅53=522a 2+53 2b 2=1 ⇒a =3b =5 ⇒x 29+y 25=1；(2)由题意可知直线l 的斜率不为零，故设方程为x =my +1，与椭圆方程联立为：x 29+y 25=1x =my +1⇒y 2(5m 2+9)+10my -40=0，设G (x 1,y 1),H (x 2,y 2)(y 1>0)，因为y 1y 2=-405m 2+9<0，所以y 2<0，A (-3,0),B (3,0)，直线AG 的方程为：y -y 1y 1-0=x -x 1x 1+3，令x =0，得y =y 1-x 1y 1x 1+3=3y 1x 1+3，即M 0,3y 1x 1+3 ，同理可得：N 0,-3y 2x 2-3 ，S 1S 2=12OA ⋅yM 12OA ⋅y N =y M y N =3y 1x 1+3⋅x 2-33y 2=3y 1my 2-2 3y 2my 1+4 ，因为y 1+y 2=-10m 5m 2+9,y 1y 2=-405m 2+9，所以有4(y 1+y 2)=my 1y 2，于是有S 1S 2=3y 1(my 2-2)3y 2(my 1+4)=12y 1+12y 2-6y 112y 1+12y 2+12y 2=6(y 1+2y 2)12(y 1+2y 2)=12，因此S1S 2为定值.13.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的短轴长为22，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 为直线x =4上的动点，过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同的A ，B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足AP ⋅QB =AQ ⋅PB ，证明：点Q 的轨迹过定点.【答案】(1)x 24+y 22=1;(2)证明见解析【解析】(1)由题意可知2b =22c a =22，解得a =2，b = 2.所以，所求椭圆的方程为x 24+y 22=1(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，Q x ,y ，P 4,t ，直线AB 的斜率显然存在，设为k ，则AB 的方程为y =k x -4 +t .因为A ，P ，B ，Q 四点共线，不妨设x 2<x <x 1<4，则AP =1+k 24-x 1 ，AQ =1+k 2x 1-x ，QB =1+k 2x -x 2 ，PB =1+k 24-x 2由AP ⋅QB =AQ ⋅PB ，可得4-x 1 x -x 2 =x 1-x 4-x 2 ，化简得2x 1x 2-x 1+x 2 4+x +8x =0.(*)联立直线y =k x -4 +t 和椭圆的方程，x 24+y 22=1y =k x -4 +t，消去y ，得2k 2+1 x 2+4k t -4k x +2t -4k 2-4=0.由韦达定理，得x 1+x 2=-4k t -4k 2k 2+1，x 1x 2=2t -4k 2-42k 2+1.代入(*)化简得x=4kt+2-t2kt+2=4-6+t2kt+2，即6+t 2kt+2=4-x.又k=y-tx-4，代入上式，得6+t2y-tx-4t+2=4-x，化简得2x+ty-2=0.所以点Q总在一条动直线2x+ty-2=0上，且恒过定点1,0.14.在平面直角坐标系中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=63,a=6，直线l与x轴相交于点E，与椭圆相交于点A,B；(1)求椭圆C的方程，(2)在x轴上是否存在点E，使得1|EA|2+1|EB|2为定值？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)x26+y22=1;(2)存在；E(±3,0)【解析】(1)由题意得：e=c a=63,a=6,∴c=2，∴b2=a2-c2=2， -所以椭圆的方程为x26+y22=1(2)设E(x0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),(ⅰ)当直线AB与x轴不重合时，设AB的方程为x=my+x0代入x26+y22=1得：(m2+3)y2+2mx0y+x20-6=0，则y1+y2=-2mx0m2+3 y1⋅y2=x2-6m2+3|EA|2=(m2+1)y21,|EB|2=(m2+1)y22， -1 |EA|2+1|EB|2=(y1+y2)2-2y1y2(m2+1)y21y22=2×m2(x20+6)+(18-3x20) m2(x20-6)2+(x20-6)2-当x20+6=18-3x20，即x20=3时，无论m取何值，1|EA|2+1|EB|2的值恒为2，得点E(±3,0)，(ⅱ)当直线AB与x轴重合时，有A(-6,0),B(6,0),E(3,0)或E(-3, 0)，均有1|EA|2+1|EB|2=2由i和ii得，在x轴上是存在两点E(±3,0)，使得1|EA|2+1|EB|2为定值.15.已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为(-3,0)，(3,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，CP =2-3，动点C 的轨迹为曲线G ．(1)求曲线G 的方程；(2)设直线l 与曲线G 交于M 、N 两点，点D 在曲线G 上，O 是坐标原点OM+ON =OD ，判断四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 2=1y ≠0 ;(2)四边形OMDN 的面积是定值，其定值为3【解析】(1)因为圆E 为△ABC 的内切圆，所以CA +CB =CP +CQ +PA +QB =2CP +AR +BR =2CP +AB =4>AB ，所以点C 的轨迹为以点A 和点B 为焦点的椭圆，所以c =3，a =2，则b =1，所以曲线G 的方程为x 24+y 2=1y ≠0(2)由y ≠0可知直线l 的斜率存在，设直线l 方程是y =kx +m ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由平面图形OMDN 是四边形，可知m ≠0，代入到x 24+y 2=1，得1+4k 2 x 2+8kmx +4m 2-4=0所以Δ=184k 2+1-m 2>0，x 1+x 2=-8km 1+4k 2，x 1x 2=4m 2-41+4k 2．所以y 1+y 2=k x 1+x 2 +2m =2m1+4k 2，所以MN =1+k 2⋅44k 2-m 2+11+4k 2，又点O 到直线MN 的距离d =m1+k2，由OM +ON =OD ，得x D =-8km 1+4k ，y D =2m 1+4k 2，因为点D 在曲线C 上，所以将D 点坐标代入椭圆方程得1+4k 2=4m 2．由题意四边形OMDN 为平行四边形，所以OMDN 的面积为S =1+k 2×44k 2-m 2+11+4k 2×m1+k2=4m 4k 2-m 2+11+4k 2，由1+4k 2=4m 2，代入得S =3，故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为3．16.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，离心率为12．过点P (6,0)与x 轴不重合的直线l 交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别交直线x =6于点M ，N ．(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为原点．求证：∠PAN +∠POM =90°．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【解析】(1)由题得a =2,c a =12,∴a =2,c =1,∴b =3,所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)要证∠PAN +∠POM =90°，只需证∠PAN =90°-∠POM ，只需证明tan ∠PAN =1tan ∠POM,只需证明tan ∠PAN ⋅tan ∠POM =1,只需证明k AN ⋅k OM =1,设M (6,m ),N (6,n )，只需证明n 6-2⋅m6=1,只需证明mn =24.设直线l 的方程为y =k (x -6)，k ≠0，联立椭圆方程x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2-48k 2x +144k 2-12=0，设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，所以Δ>0,x 1+x 2=48k 23+4k 2,x 1x 2=144k 2-123+4k 2，又A ,B ,M 三点共线，所以m4=y 1x 1-2,∴m =4y 1x 1-2，同理n =4y 2x 2-2，所以mn =4y 1x 1-2×4y 2x 2-2=16k 2(x 1-6)(x 2-6)(x 1-2)(x 2-2)，所以mn =16k 2[x 1x 2-6(x 1+x 2)+36]x 1x 2-2(x 1+x 2)+4所以mn =16k 2144k 2-123+4k 2-6×48k 23+4k 2+36144k 2-123+4k 2-2×48k 23+4k 2+4=16k 2×9664k 2=24.所以∠PAN +∠POM =90°.17.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦距为2，且经过点P 1,32 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)经过椭圆右焦点F 且斜率为k k ≠0 的动直线l 与椭圆交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在异于点F 的定点T ，使AF ⋅BT =BF ⋅AT 恒成立？若存在，求出T 点坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)存在，T 4,0 .【解析】(1)由椭圆C 的焦距为2，故c =1，则b 2=a 2-1，又由椭圆C 经过点P 1,32 ，代入C 得1a 2+94b2=1，得a 2=4，b 2=3，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1．(2)根据题意，直线l 的斜率显然不为零，令1k=m由椭圆右焦点F 1,0 ，故可设直线l 的方程为x =my +1，与C :x 24+y 23=1联立得，3m 2+4 y 2+6my -9=0，则Δ=36m 2-4-9 3m 2+4 =144m 2+1 >0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，设存在点T ，设T 点坐标为t ,0 ，由AF ⋅BT =BF ⋅AT ，得AF BF=AT BT，又因为AF BF =S △TFA S △TFB =12FT⋅AT sin ∠ATF12FT⋅BT sin ∠BTF =AT sin ∠ATF BT sin ∠BTF ，所以sin ∠ATF =sin ∠BTF ，∠ATF =∠BTF ，所以直线TA 和TB 关于x 轴对称，其倾斜角互补，即有k AT +k BT =0，则：k AT +k BT =y 1x 1-t +y 2x 2-t=0，所以y 1x 2-t +y 2x 1-t =0，所以y 1my 2+1-t +y 2my 1+1-t =0，2my 1y 2+1-t y 1+y 2 =0，即2m ×-93m 2+4+1-t ×-6m 3m 2+4=0，即3m 3m 2+4+1-tm3m 2+4=0，解得t =4，符合题意，即存在点T 4,0 满足题意.18.设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，点P 是椭圆C 上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率e =32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线AD 与直线BP 交于点M ，直线DP 与x 轴交于点N ，求证：直线MN 恒过某定点，并求出该定点.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)证明见解析，定点为(2,1)【解析】(1)由已知可得2b =2e =a 2-b 2a =32，解得a =2b =1 ，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)设直线BP 的方程为y =k 1(x -2)(k 1≠0且k 1≠±12)，直线DP 的方程为y =k 2x +1(k 2≠0且k 2≠±12)，则直线DP 与x 轴的交点为N -1k 2,0 ，直线AD 的方程为y =12x +1，则直线BP 与直线AD 的交点为M 4k 1+22k 1-1,4k 12k 1-1，将y =k 2x +1代入方程x 24+y 2=1，得4k 22+1 x 2+8k 2x =0，则点P 的横坐标为x P =-8k 24k 22+1，点P 的纵坐标为y P =k 2⋅-8k24k 22+1+1=1-4k 224k 22+1，将点P 的坐标代入直线BP 的方程y =k 1(x -2)，整理得1+2k 2 1-2k 2 =-2k 11+2k 2 2，∵1+2k2≠0，∴2k 1+4k 1k 2=2k 2-1，由M ,N 点坐标可得直线MN 的方程为：y =4k 1k 24k 1k 2+2k 2+2k 1-1x +1k 2 =2k 1k 2x +2k 12k 2-1=2k 1k 2x +2k 2-1-4k 1k 22k 2-1，即y =2k 1k 22k 2-1(x -2)+1，则直线MN 过定点(2,1).19.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点A (0，1)，且右焦点为F (1，0).(1)求C 的标准方程；(2)过点0，12的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点P .Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .证明：以MN 为直径的圆过y 轴上的定点.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)证明见解析【解析】(1)由题意可得c =1,b =1从而a 2=2.所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)证明：由题意直线l 斜率存在，可设直线l :y =kx +12，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，将直线l 代入椭圆方程得4k 2+2 x 2+4kx -3=0，所以x 1+x 2=-4k 4k 2+2,x 1,x 2=-34k 2+2，直线AP 的方程为y =y 1-1x 1x +1，直线AQ 的方程为y =y 2-1x 2x +1.可得M -x 1y 1-1,0 ,N -x 2y 2-1,0，以MN 为直径的圆方程为，x +x 1y 1-1 x +x 2y 2-1 +y 2=0，即x 2+y 2+x 1y 1-1+x 2y 2-1 x +x 1x 2y 1-1 y 2-1 =0.①因为x 1x 2y 1-1 y 2-1=x 1x 2kx 1-12 kx 2-12 =4x 1x 24k 2x 1x 2-2k x 1+x 2 +1=-12-12k 2+8k 2+4k 2+2=-6.所以在①中令x =0，得y 2=6，即以MN 为直径的圆过y 轴上的定点(0,±6)，20.已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】(1)x 23+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x 23+y 2=1可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +m ,km <0 即kx -y +m =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得mk 2+1=1，所以m 2=k 2+1，联立y =kx +m x 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kmx +3m 2-3=0，所以x 1+x 2=-6km 1+3k 2,x 1⋅x 2=3m 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=1+k 2-6km 1+3k 2 2-4⋅3m 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1m =-2或k =-1m =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．21.圆O ：x 2+y 2=4与x 轴的两个交点分别为A 1-2,0 ，A 22,0 ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足NR =12NM(1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线x =my +1交C 于P ，Q 两点，直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，A 2TS 为等腰三角形【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)存在，证明见解析【解析】(1)设点M x 0,y 0 在圆x 2+y 2=4上，故有x 20+y 2=4，设R x ,y ，又NR =12NM ，可得x =x 0，y =12y 0，即x 0=x ，y 0=2y代入x 20+y 20=4可得x 2+2y 2=4，化简得：x 24+y 2=1，故点R 的轨迹方程为：x 24+y 2=1.(2)根据题意，可设直线l 的方程为x =my +1，取m =0，可得P 1,32 ，Q 1,-32 ，可得直线A 1P 的方程为y =36x +33，直线A 2Q 的方程为y =32x -3联立方程组，可得交点为S 14,3 ；若P 1,-32，Q 1,32 ，由对称性可知交点S 24,-3 ，若点S 在同一直线上，则直线只能为l ：x =4上，以下证明：对任意的m ，直线A 1P 与直线A 2Q 的交点S 均在直线l ：x =4上.由x =my +1x 24+y 2=1，整理得m 2+4 y 2+2my -3=0设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2m m 2+4，y 1y 2=-3m 2+4设A 1P 与l 交于点S 04,y 0 ，由y 04+2=y 1x 1+2，可得y 0=6y 1x 1+2设A 2Q 与l 交于点S 04,y0 ，由y 04-2=y 2x 2-2，可得y 0=2y 2x 2-2，因为y 0-y 0=6y 1x 1+2-2y 2x 2-2=6y 1my 2-1 -2y 2my 1+3 x 1+2 x 2-2=4my 1y 2-6y 1+y 2 x 1+2 x 1-2 =-12m m 2+4--12mm 2+4x 1+2 x 2-2 =0，因为y 0=y 0，即S 0与S 0重合，所以当m 变化时，点S 均在直线l ：x =4上，因为A 22,0 ，S 4,y ，所以要使A 2TS 恒为等腰三角形，只需要x =4为线段A 2T 的垂直平分线即可，根据对称性知，点T 6,0 .故存在定点T 6,0 满足条件.22.已知点F 2,0 ，动点M x ,y 到直线l :x =22的距离为d ，且d =2MF ，记M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)过M 作圆O 1:x 2+y 2=43的两条切线MP 、MQ (其中P 、Q 为切点)，直线MP 、MQ 分别交C 的另一点为A 、B ．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．①PA ⋅PM 为定值；②MA =MB ．【答案】(1)x 24+y 22=1;(2)条件选择见解析，证明见解析【解析】(1)由题意知22-x =2⋅x -2 2+y 2，两边平方整即得x 2+2y 2=4，所以，曲线C 的方程为x 24+y 22=1.(2)证明：设M x 0,y 0 、A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，当x 20=43时，y 20=43，则不妨设点M 233,233 ，则点A 233,-233 或A -233,233 ，此时OM ⋅OA=0，则OM ⊥OA ；当x 20≠43时，设直线MA :y =kx +m ，由直线MA 与圆O :x 2+y 2=43相切可得m 1+k2=23，即3m 2=41+k 2 ，联立y =kx +m x 2+2y 2=4可得2k 2+1 x 2+4kmx +2m 2-4=0，Δ=16k 2m 2-42k 2+1 2m 2-4 =84k 2+2-m 2 =1634k 2+1 >0，由韦达定理可得x 0+x 1=-4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2-42k 2+1，则OM ⋅OA=x 0x 1+y 0y 1=x 0x 0+kx 0+m kx 1+m =1+k 2 x 0x 1+km x 0+x 1 +m 2=1+k 22m 2-4 -4k 2m 2+m 21+2k 21+2k 2=3m 2-41+k 21+2k 2=0，所以，OM ⊥OA ，同理可得OM ⊥OB .选①，由OM ⊥OA 及OP ⊥AM 可得Rt △MOP ∽Rt △AOP ，则PM OP=OP PA，所以，PM ⋅PA =OP 2=43；选②，出OM ⊥OA 及OM ⊥OB 可得：A 、O 、B 三点共线，则OA =OB ，又MA 2=OA 2+OM 2=OB 2+OM 2=MB 2，因此，MA =MB .23.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A 2,1 ．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析.【解析】(1)由题意可得：c a =224a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1.(2)[方法一]：通性通法设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y =kx +m ，代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0，可得x 1+x 2=-4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2-61+2k 2，因为AM ⊥AN ，所以AM ·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0，根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0，所以k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km 1+2k 2 +m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0，因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k +m -1≠0，故2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13k ≠1 ，所以直线过定点直线过定点P 23,-13.当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ，由AM ·AN=0得：x 1-2 x 1-2 +y 1-1 -y 1-1 =0，得x 1-2 2+1-y 21=0，结合x 216+y 213=1可得：3x 12-8x 1+4=0，解得：x 1=23或x 2=2(舍).此时直线MN 过点P 23,-13.令Q 为AP 的中点，即Q 43,13，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边，故DQ =12AP =223，若D 与P 重合，则DQ =12AP ，故存在点Q 43,13，使得DQ 为定值.[方法二]【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为(x +2)26+(y +1)23=1，设直线MN 的方程为mx +ny =4．将直线MN 方程与椭圆方程联立得x 2+4x +2y 2+4y =0，即x 2+(mx +ny )x +2y 2+(mx+ny )y =0，化简得(n +2)y 2+(m +n )xy +(1+m )x 2=0，即(n +2)y x2+(m +n )yx+(1+m )=0．设M x 1 ,y 1 ,N x 2,y 2 ，因为AM ⊥AN 则k AM ⋅k AN =y 1x 1⋅y 2x 2=m +1n +2=-1，即m =-n -3．代入直线MN 方程中得n (y -x )-3x -4=0．则在新坐标系下直线MN 过定点-43,-43 ，则在原坐标系下直线MN 过定点P 23,-13．又AD ⊥MN ，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点43,13即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在Q 43,13，使得|DQ |=12|AP |=223．[方法三]：建立曲线系A 点处的切线方程为2×x6+1×y 3=1，即x +y -3=0．设直线MA 的方程为k 1x -y -2k 1+1=0，直线MB 的方程为k 2x -y -2k 2+1=0，直线MN 的方程为kx -y +m =0．由题意得k 1⋅k 2=-1．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线MA ,MB 可表示为x 26+y 23-1+λk 1x -y - 2k 1+1 k 2x -y -2k 2+1 =0(其中λ为系数)．用直线MN 及点A 处的切线可表示为μ(kx -y +m )⋅(x +y -3)=0(其中μ为系数)．即x 26+y 23-1+λk 1x -y -2k 1+1 k 2x - y -2k 2+1 =μ(kx -y +m )(x +y -3)．对比xy 项、x 项及y 项系数得λk 1+k 2 =μ(1-k ),①λ4+k 1+k 2 =μ(m -3k ),②2λk 1+k 2-1 =μ(m +3).③将①代入②③，消去λ,μ并化简得3m +2k +1=0，即m =-23k -13．故直线MN 的方程为y =k x -23 -13，直线MN 过定点P 23,-13．又AD ⊥MN ，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点43,13 即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在Q 43,13，使得|DQ |=12|AP |=223．[方法四]：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．若直线MN 的斜率不存在，则M x 1,y 1 ,N x 1,-y 1 ．因为AM ⊥AN ，则AM ⋅AN =0，即x 1-2 2+1-y 21=0．由x 216+y 213=1，解得x 1=23或x 1=2(舍)．所以直线MN 的方程为x =23．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y =kx +m ，则x 2+2(kx +m )2-6=1+2k 2 x -x 1 x -x 2 =0．令x =2，则x 1-2 x 2-2 =2(2k +m -1)(2k +m +1)1+2k 2．又y -m k 2+2y 2-6=2+1k 2 y -y 1 y -y 2 ，令y =1，则y 1-1 y 2-1 =(2k +m -1)(-2k +m -1)1+2k 2．因为AM ⊥AN ，所以AM ⋅AN=x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =(2k +m -1)(2k +3m +1)1+2k 2=0，即m =-2k +1或m =-23k -13．当m =-2k +1时，直线MN 的方程为y =kx -2k +1=k (x -2)+1．所以直线MN 恒过A (2,1)，不合题意；当m =-23k -13时，直线MN 的方程为y =kx -23k -13=k x -23 -13，所以直线MN 恒过P 23,-13 ．综上，直线MN 恒过P 23,-13 ，所以|AP |=423．又因为AD ⊥MN ，即AD ⊥AP ，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为Q 43,13，则|DQ |=12|AP |=223．所以存在定点Q ，使得|DQ |为定值．24.已知△ABC 的顶点A -4,0 ，B 4,0 ，满足：tan A tan B =916．(1)记点C 的轨迹为曲线Γ，求Γ的轨迹方程；(2)过点M 0,2 且斜率为k 的直线l 与Γ相交于P ，Q 两点，是否存在与M 不同的定点N ，使得NP ⋅MQ =NQ ⋅MP 恒成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 216+y 29=1x ≠±4 ;(2)N 0,92【解析】(1)设C x ,y ，则tan A tan B =y x +4⋅y 4-x =916，整理得x 216+y 29=1，故Γ的轨迹方程为x 216+y 29=1 x ≠±4 ；(2)设直线l 为y =kx +2，当k =0时，可得点P ，Q 关于y 轴对称，可得MQ =MP ，要使NP ⋅MQ =NQ ⋅MP 恒成立，即NP NQ=MP MQ=1成立，即点N 在y 轴上，可设为N 0,a ,a ≠2.当k ≠0时，联立方程组y =kx +2x 216+y 29=1x ≠±4整理得9+16k 2 x 2+64kx -80=0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2则x 1+x 2=-64k 9+16k 2,x 1x 2=-809+16k 2，要使NP ⋅MQ =NQ ⋅MP 恒成立，即NP NQ =MPMQ成立，由角平分线定理则只需使得y 轴为∠PNQ 的平分线，即只需k NP +k NQ =0，即y 1-ax 1+y 2-ax 2=0⇒x 2y 1-a +x 1y 2-a =x 2kx 1+2-a +x 1kx 2+2-a =0，即2kx 1x 2+2-a x 1+x 2 =2k ⋅-809+16k 2+2-a⋅-64k9+16k 2=0⇒-288+64a k =0解得：a =92，综上可得，存在与M 不同的定点N 0,92，使得NP ⋅MQ =NQ ⋅MP 恒成立25.如图，已知椭圆C :x 2a2+y 2=1(a >1)，其左、右焦点分别为F 1,F 2，过右焦点F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆于第一象限的点P ，且sin ∠PF 1F 2=13.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点S 0,-13且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ,B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)x 22+y 2=1；(2)存在，0,1 .【解析】(1)法一：∵sin ∠PF 1F 2=PF 2 PF 1=13,PF 1 +PF 2 =2a ，∴PF 1 =32a ,PF 2 =a2,∵PF 2 2+F 1F 2 2=PF 1 2,F 1F 2 =2c ,∴a =2c ，∵a 2=c 2+1,∴c =1,a =2,∴椭圆方程为：x 22+y 2=1..法二：设P c ,y 0 ，代入椭圆方程，由a 2=c 2+1，解得PF 2 =y 0=1a ，∵sin ∠PF 1F 2=PF 2 PF 1=13,∴PF 1 =3a,∵PF 1 +PF 2 =2a ,∴a =2，。
椭圆过定点问题
椭圆过定点问题
椭圆的过定点问题是一个非常重要的问题，因为它涉及到椭圆的几何性质和椭圆的焦点。
在椭圆的定义中，我们知道椭圆是由一个焦点和一个定点的距离之和等于常数（这个常数就是长轴的长度）所形成的轨迹。
因此，如果我们知道椭圆的焦点和常数，就可以确定椭圆的形状和大小。
在解决椭圆过定点问题时，我们需要先确定椭圆的焦点和常数。
通常，我们可以使用椭圆的焦点和常数来建立椭圆的标准方程。
例如，如果我们知道椭圆的焦点在x轴上，并且长轴在x轴上，那么我们可以使用以下方程来表示椭圆：
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
其中a是椭圆的长轴长度，b是椭圆的短轴长度，c是椭圆的焦点到中心的距离。
现在，我们假设椭圆过定点P(x0,y0)，那么我们需要找到一个适合这个椭圆的焦点和常数。
为了找到这个焦点和常数，我们可以将P点的坐标代入椭圆的标准方程中，并求解得到a、b、c的值。
例如，我们可以得到以下方程：
x0^2/a^2 + y0^2/b^2 = 1
现在，我们可以通过解方程来得到a、b、c的值。
一旦我们得到了这些值，我们就可以确定椭圆的形状和大小，并且可以找到椭圆的焦点和常数。
在解决椭圆过定点问题时，我们需要注意一些特殊情况。
例如，如果定点P在椭圆上，那么我们可以直接使用P点的坐标来确定椭圆的焦点和常数。
如果定点P不在椭圆上，那么我们需要使用其他方法来确定椭圆的焦点和常数。
总之，解决椭圆过定点问题需要我们了解椭圆的几何性质和椭圆的焦点。
通过建立椭圆的标准方程和使用代入法，我们可以找到适合这个椭圆的焦点和常数。
椭圆中互相垂直的弦过定点问题
（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b +。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m-代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x ab =+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b +。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b+。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m-代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x a b=+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222222(,)a s b ta b a b ++。
设AB 的直线为()x s m y t -=-，则CD 的直线方程为1()x s y t m-=--， 222222()0x s m y t b x a y a b -=-⎧⎨+-=⎩，2222222222()2()()0m b a y b ms m t y b s mt a b ++-+--=， 2112222()mb s mt y y m b a --+=+，由中点公式得22222222()()(,)a s mt mb mt s M m b a m b a --++ 直线MN 的方程为：22222222()()()MN b m mt s a s mt y k x b m a b m a ---=-++， 即222222()MN a s b t y k x a b a b -=-++，所以直线MN 恒过定点222222(,)a s b ta b a b++。
重庆巴蜀中学高2018级届月考卷九理科20（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点分别是1F ，2F ，上顶点M ，右顶点为(2,0)N ，12MF F ∆的外接圆半径为2。
（1）求椭圆C 的标准方程；（2）(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过点N ，求ABN ∆面积的最大值。
解：（Ⅰ）∵右顶点为(20)，，∴2a =，122MF MF ==，∵121sin 2MO b bMF F MF a ∠===，2122424sin 2MF R b MF F b ====∠，∴1b =， ∴椭圆的标准方程为2214x y +=．……………………………………………（4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为my x b =+，1122()()A x y B x y ，，，， 与椭圆联立得222(4)240m y mby b +-+-=，∴21212222444mb b y y y y m m -+==++，． ……………………………………………（6分） ∵以AB 为直径的圆经过点N ，∴0NA NB =u u u r u u u rg ， ∵1122(2)(2)NA x y NB x y =-=-u u u r u u u r，，，，∴1212122()40x x x x y y -+++=，①……………………………………………（7分）∵121228()24b x x m y y b m -+=+-=+，2222121212244()4b m x x m y y mb y y b m -=-++=+， 代入①式得2516120b b ++=，∴65b =-或2b =-（舍去），故直线l 过定点605⎛⎫⎪⎝⎭，． ……………………………………………………（9分）∴121622||255ABN S y y ⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭△， …………（10分） 令222564()[0)(4)t h t t m t +==∈+∞+，，， 则228()0251281120425h t t t t ⎛⎫'>⇒++<⇒∈-- ⎪⎝⎭，，∴()h t 在[0)t ∈+∞，上单调递减，max ()(0)4h t h ==，∴0m =时，max 1625ABN S =△． …………………………………………………（12分）结论（一）以00(,)x y 为直角定点的椭圆22221x y a b +=内接直角三角形的斜边必过定点2222002222(,)a b b a x y a b b a--⨯⨯++。
证明：设00(,)P x y 在椭圆上，即2200221x y a b+=，设00()y y k x x -=-，001()y y x x k-=-- 00222222()y y k x x b x a y a b -=-⎧⎨+-=⎩， 222222220000()2()[()]0b k a x a k y kx x a y kx b ++-+--=，222000000112222222()(2)]a k y kx a x kyb x x x x k a b k a b ----+=⇒=++， 2220002222(2)]a x kyb k x x k b a +-=+212021212111AB k kx x x y y k k k x x x x +----==-- ()211121y y y y x x x x --=-⇒-2222002222()AB b a a b y x k x x a b a b---=-++，所以过定点2222002222(,)a b b a x y a b b a --⨯⨯++。
推论1：以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在y 轴上。
证明：设右顶点(0,)P b ，设y kx b =+，1y x b k=-+ 222222y kx b b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222()20a k b x a bkx ++=⇒， 212222,a bk x a k b -=+，将k 换成1k-得：222222a bk x a b k =+ 由题意，若直线BS 关于y 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于x 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在y 轴上。
设该定点坐标(0,)t ，1212121121212121211()()kx b x x x b t y y y y x x yk t x x x x x x x -+-+---=⇒==----，2222122211()x x k b b a t b k x x b a+-=⨯+=-+，所以过定点2222()(0,)b b a b a -+。
推论2：以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在x 轴上。
证明：设右顶点(,0)P a ，设x my a =+，1y x a m=-+ 222222x my a b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222()20b m a y b amy ++=⇒， 212222b am y b m a -=+，将m 换成1m-得：222222b am y b a m =+ 由题意，若直线BS 关于x 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于y 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在x 轴上。
设该定点坐标(,0)t ，1212121121212121211()()my a y y y a y y y x y y x m t t x x x y y y y -+-+---=⇒==----，2222122211()y y m a a b t a m y y a b+-=⨯+=-+，所以过定点2222()(,0)a a b a b -+。
下面探求ABP ∆面积的最大值：2222()a ab x my a b-=++代入椭圆得： 22442222222222()4()20()a a b a b b m a y b my a b a b --++⨯⨯+=++2422242224[()4]()a b a b m a a b ++∆=+，222242122222222221()2([]2()ABPa ab ab a b S a y y a b a b a b m a b ∆-=⨯-⨯-=⨯=++++242224()a b a b ≥+，当且仅当0m =时等号成立。
结论2：以00(,)x y 为直角定点的抛物线22y px =内接直角三角形的斜边必过定点0(2x p +，0)y -结论3：以00(,)x y 为直角定点的双曲线22221x y a b -=内接直角三角形的斜边必过定点2222002222(,)a b a b x y a b b a++--重庆高2018级文科二诊20（本题满分12分）已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆22143x y +=的左右焦点，B 为椭圆的上顶点。
（2）过点B 作两条互相垂直的直线与椭圆交于S ，T 两点（异于点B ），证明：直线ST过定点，并求该定点的坐标。
（2）解：设1122(,),(,)S x y T x y ，直线:BS y kx =，联立椭圆方程得：22(43)0k x ++=，1243x k -=+，2224343k x k k -==++， 由题意，若直线BS 关于y 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于x 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在y 轴上。