高中数学函数综合小题强化训练试题合集

，无法取到）
而显然
，因此
故实数 a 的取值范围是
，故填：
.
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3.已知定义在
上的函数 满足
恒成立（其中 为函数 的
导函数），对于任意实数
，下列不等式一定正确的是（ ）
A.
B.
C. 答案：C. 解析：构造函数
D. ，则
在
上单调递增，而
， ，故可得
即
两式相加可得
故选 C. 小结：对于 A，B 选项，取 A 是错误的.
C.1 或 0
D.0 或 1 或 2
得
即 或
如下图所示，若 有三个零点，则
即
继续讨论 的零点个数：
①或
： 有 个零点；
②
： 有 个零点；
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综上所述， 有 个或 个零点，故选 A.
8.对任意的实数 ，都存在两个不同的实数 ，使得
取值范围为（ ）
A.
B.
C.
答案：A. 解析：由题意得
令 则方程可化为
即
只是方程
，当且仅当 取等号，符合题意，
有唯一实数根的必要条件（事实上是
有奇数个
实数根的充要条件），故利用
求得的 的值后的代回检验是必不可少的.
16.若
答案：
.
解析：由题意得
对
恒成立，则实数 的取值范围为_____.
即
在
恒成立
故我们考虑数形结合求解此题，其几何意义为顶点为
14.若定义在 上的函数 满足
，
，
时，
，则
_________.
答案： .
解析：在
中，令
，可得
，且当
再令 ，结合
，则可得
在
中，令 ，可得
14
所以
而 再由
时，
，因此当
时，恒有
，
，可得
故可得
而
，因此
故填： . 小结：解决此类抽象函数函数值的问题，赋值是非常常见的手段，而条件中关于 在 上不减的描述，猜测是为了证明某段上的常数函数服务的.
，若函数
与
取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：B.
解析：首先我们来求 的值域，
，
在
上单调递减，
上单调递增，因此
有相同的值域，则 的
即 的值域为 得
解得
，而由题意，
与
即实数 的取值范围是
，故选 B.
小结：此题参考答案给了 A，本人还是偏向 B，此时函数
的某个子集.
有相同的值域，则可 的定义域有可能是
1.定义在 上的函数
，若对
，点
，关于点
对称，则称函数 是函数 关于函数 的“对称函数”，已知函数 是函数
关于函数
实数 的取值范围为_______.
答案：
.
的“对称函数”，且函数 存在 个零点，则
解析：由题意得，
，故可得
令
，令
，则可知
如下图所示，画出 ，故填：
的函数图象，则可知实数 的取值范围是 .
小结：还有一个思路：可将问题转化为
，可说明 B 是错误的，取
，可说明
3
பைடு நூலகம் 4.已知函数
，若关于 的方程
有三个不同的解，其中最
小的解为 ，则 的取值范围为________.
答案：
.
解析：由题意可知若要符合条件，需
最小的解 满足
解得
因此
，
，即 的取值范围是
，故填：
.
5.已知函数 是（ ）
A.
B.
答案：A. 解析：当 时
，对任意的正数 ，
恒成立，则 的取值范围
15.已知关于 的方程
A. 或
B.
答案：B.
解析：由题意得
仅有唯一实数根，则实数 的值为（ ）
C. 或
D.
令
显然 是关于 的偶函数，故若方程
有唯一实数根，则必有
，即
解得
15
当
时，
或 ，此时
，
故由零点存在定理可知 在
上至少还存在一个零点，与已知条件矛盾，故舍去；
当 时，
综上所述， ，故选 B.
小结：
11
11.已知函数 且在该点处它们的切线相同，则当
A.
B.
答案：A. 解析：由题意得，
，若两曲线
时， 的最大值为（ ）
C.
D.
有公共点，
设两曲线公共点的坐标为
，则可得
由②可得 解得 代入①，可得 即
（负值舍去）
令
，则
，
在 因此
上单调递增，
上单调递减，
即实数 的最大值是 ，故选 A.
12
12.若存在实数 使得不等式 的取值范围是______.
C.
D.
变形后几何意义比较明显，故我们考虑数形结合解决此题，令
显然 在
上单调递增，如下图所示，可知临界状态为 过点
4
的切线，
由于 故切点
，则 在点 处的切线方程为
将
代入切线方程，可得
化简可得 解得 此时切线斜率 故此时若不等式恒成立，只需 解得
（负值舍去）
即实数 的取值范围是
，故选 A.
5
6.已知函数
成立，则实数 的 D.
令
，
递减，因此
，故可知 在
上单调递增，在
上单调
如下图所示，画出 的函数图象，则可知若要符合题意，只需
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即实数 的取值范围是
，故选 A.
9.已知函数
与
的图象有三个不同的公共点，其中 为自然
对数的底数，则实数 的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
答案：B.
D.
或
解析：令
，则可得
两边同除 ，即
与
数问题，基本大方向是一致的，即数形结合思想.
两个函数图象的交点个
1
2.已知函数
则实数 的取值范围是
答案：
.
解析：由 的值域为
可知不等式
，若存在 使得函数 的值域为
，
恒成立，且等号可取到， 我们首先保证不等式恒成立，由 因此 解得 同理可知，由 因此 解得
下面我们考虑取等，显然
，即
等号可取，
显然
只能在第二分段取等（若第一分段取等需
，若函数
点，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：A. 解析：利用绝对值恒等式
故可得
令
如下图所示，要保证 有三个不同的零点，只需
解得 即实数 的取值范围是 故填：
或 ，
.
有三个不同的零
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7.已知
，若函数
有 3 个或 4 个零点，则函数
A.1 或 2 答案：A. 解析：令
的零点个数为（ ）
B.2
再令
，则原方程可进一步化为
即
， 设 为方程
， 在 上单调递增，
上单调递减，
的两根，由韦达定理可知
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故可得 （*）
而由题意两函数图象有三个不同的交点，即方程
共有三个不同的实根，如下图所示，可知等价于方程根的分布情况共有三种，即
①
：由（*）可知此时有
，需舍去，
②
：令
，则
解得
③
：由（*）可知此时矛盾，需舍去，
综上，实数 的取值范围是
，故选 B.
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10. 若实数 满足
，则
答案： .
解析：由
可得
的最小值为______.
即
首先需满足
即
下面继续对 y 的取值分类讨论：
①
：此时
两边平方可得
因此
当且仅当
时取等号； ②
：此时
由①②可知，
的最小值为 .
小结：本题也可以画出不等式组所表示的区域，然后平移抛物线，利用线性规划的一些思想 去解决，此处就略去了.
答案：
.
解析：由题意可知 ，而原不等式等价于
对任意
恒成立，则实数
或
即
如下图所示，画出
与
而易求得
或 的图象，则可知 的最大值即为 的横坐标，
的取值范围是
，故填：
.
小结：根据条件中的描述，存在 使得不等式成立，我们将问题简化后，其实等价于存在 ，
始终夹在
与
两个函数图象之间，下面数形结合即可求解.
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13.已知函数