07高等数学竞赛培训班线面积分习题参考解答

2007年高等数学竞赛培训班

线面积分练习题参考解答一.填空题(每小题3分,共15分)

1.设L 为椭圆22143y x +=，其周长为a ，则222(234)d 12L a xy x y s ++=⎰Ñ. 解：222

222

(234)d 2d (34)d 012d 12L

L

L

L

xy x y s xy s x y s s a ++=++=+=⎰

⎰

⎰

⎰蜒蜒. 2.设∑:1x y z ++=，则()d

x y S ∑+=⎰⎰解：()d d d x y S x S y S ∑

∑

∑

+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰

()8110d d 333x y z S S ∑∑∑

=+++==⎰⎰⎰⎰88d d 33xy

xy

D D x y x y ==⎰⎰⎰⎰3.密度为0μ的均匀金属丝2222

:0 x y z R x y z Γ⎧++=⎨++=⎩

对于x 轴的转动惯量

304π 3

x R I μ=.

解：22

2

22220000222()d ()d d 2π3

33

x I y z s x

y z s R s R R ΓΓμμμμΓ=+=++==⋅⎰⎰⎰蜒? 304π3

R μ=.

4.设22:(1)2L x y ++=，则 22d d 23

π L

x y y x

x y y -

=+--++⎰Ñ.

解： 22d d 23L

x y y x x y y -

-=+++⎰Ñ 222

(1)2

d d 11(11)d ππ2242L x y x y y x σ-++≤-=-+=-=-+⎰⎰⎰Ñ.

5.设:z ∑=，则2

d d cos d d d d 2π3I x y z y z x z x y ∑

=

++=⎰⎰下侧

. 解：2221

2d d cos d d d d 00d π3x y I x y z y z x z x y x y ∑∑∑+≤=

+

+

=+-

=⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰下侧

下侧

下侧

.

评注：对于第二类线、面积分也可利用对称性简化计算，但要注意

1z =

①不能就组合积分整体使用，要分成单个积分进行；

②与Riemann 积分的对称性的结论刚好相反，例如

光滑曲面∑关于0x =（即yOz 平面）对称（包括侧也对称），则有

0, (,,)d d 2( d , ,,)d f f x y z y z f x y z y z x x f ∑

∑⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰半

若为的函数，

若函数.奇为的偶

③也可利用轮换对称性。

二.选择题(每小题3分,共15分)(将正确选项的代号填在括号内)

1.设曲线积分2d ()d C

xy x y x y ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ有连续的导数，且

(0)0ϕ=，则(1,1)

2(0,0)

d ()d xy x y x y ϕ+⎰

等于

(A)1. (B) 0. (C) 21. (D)12. 答: ( D )

解：(1,1)11

22(0,0)0011d ()d (0)d 1d 0.22

xy x y x y y y x x ϕϕ+=+⋅=+=⎰

⎰⎰ 2. 设222: 1 (0)S x y z z ++=≥,1S 是S 在第一卦限中的部分，则有 (A) 1

d 4d S

S x S x S =⎰⎰⎰⎰. (B) 1

d 4d S

S y S x S =⎰⎰⎰⎰.

(C)

1

d 4d S

S z S x S =⎰⎰⎰⎰. (D) 1

d 4d S

S xyz S xyz S =⎰⎰⎰⎰. 答: ( C )

解：因为222: 1 (0)S x y z z ++=≥关于0x =对称，关于0y =也对称，且x 和xyz

都是x 的奇函数、y 是y 的奇函数，于是d 0,d 0,d 0S

S

S

x S xyz S y S ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，

但1

1

4d 0,4d 0S S x S xyz S >>⎰⎰⎰⎰，故（A ）、（B ）、（D ）都不对.事实上，将d S

z S

⎰⎰视为密度z μ=时S 的质量，则显然有1

d 4d S

S z S z S =⎰⎰⎰⎰，再由,,x y z 在1S 上

的轮换对称性有1

1

d 4d 4d S

S S z S z S x S ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.

3. 设2222{(,,)}x y z x y z a ∑=++=，在以下四组积分中，一组的两个积分同时为零的是

（A ）22d ,d d x S x y z ∑∑⎰⎰⎰⎰乙外. （B ）2d ,d d x S x y z ∑∑⎰⎰⎰⎰乙外

.

（C ）d ,d d x S x y z ∑

∑⎰⎰⎰⎰乙外

. （D ）d ,d d xy S y z x ∑∑⎰⎰⎰⎰乙外

. 答: ( B )

解：因为∑关于0x =（即yOz 平面）对称，x 和xy 是x 的奇函数，而2x 是x 的