人教版初中数学第八章二元一次方程组知识点

第八章 二元一次方程组

8.1 二元一次方程组

1、 二元一次方程的定义：每一个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做

二元一次方程.

2、 二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

3、 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元

一次方程有无数个解.

4、 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

1．方程组23x y x y +=+=⎧⎨⎩■的解为2x y ==⎧⎨⎩■

，则被遮盖的两个数分别是（ B ） A ．1，2 B ．5，1 C ．2，-1 D ．-1，9

解：把x=2代入x+y=3中，得：y=1，

把x=2，y=1代入得：2x+y=4+1=5，

则被遮住得两个数分别为5，1，

2．下列方程是二元一次方程的是（ D ）

A ．

2132254

y y --=- B ．2x －4y=5 C.xy=x+y D.x+(3－2y )=5 解：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．A 、是一元一次方程，故A 错误；B 、是二元二次方程，故B 错误；C 、是二元二次方程，故C 错误；D 、是二元一次方程，故D 正确；

3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ D ）

A ．12xy x y =⎧⎨-=⎩

B ．52313x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩

C ．20132x z x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩

D ．5723

x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解：A 、第一个方程值的xy 是二次的，故该选项错误；

B 、1x

是分式，故该选项错误； C 、含有3个未知数，故该选项错误；

D 、符合二元一次方程组的定义；

4．以方程组⎩

⎨⎧+-=+=11x y x y 的解为坐标的点（x ，y ）位于（ C ） A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴

C ．y 轴的正半轴

D ．y 轴的负半轴

解：解方程组⎩⎨

⎧+-=+=11x y x y 可得⎩⎨⎧==10y x ，所以以方程组⎩⎨⎧+-=+=1

1x y x y 的解为坐标的点为（0，1），这个点的坐标位于y 轴的正半轴.

5．已知2-=x ，y=3是二元一次方程5ax y +=的一个解，则a = -1 .

解：把x=-2，y=3代入方程5ax y +=可得-2a+3=5，解得a=-1.

6．若方程 2x 1-m + y m n +2 = 2

1是二元一次方程，则mn = -1 . 试题分析：由二元一次方程的定义：含有两个未知数，未知项的的次数为1的整式方程.可以得到m-1=1，2n+m=1，可求得m=2，n=12

-，因此mn=-1. 8.2 消元——解二元一次方程组

1、代入消元法解二元一次方程组：

（1） 基本思路：未知数又多变少.

（2） 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程.

（3） 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一

个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这个方法叫做代入消元法，简称代入法.

（4） 代入法解二元一次方程组的一般步骤：

1、 从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y ）用含另一个未知数

（例如x ）的代数式表示出来，即写成y=ax+b 的形式，即“变”

2、 将y=ax+b 代入到另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程，即“代”.

3、 解出这个一元一次方程，求出x 的值，即“解”.

4、 把求得的x 值代入y=ax+b 中求出y 的值，即“回代”

5、 把x 、y 的值用｛联立起来即“联”

2、加减消元法解二元一次方程组

（5） 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能

消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.

（6） 用加减消元法解二元一次方程组的解

1、 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程

两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”.

2、 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”.

3、 解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”.

4、 将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”.

5、 把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”.

1．解方程组：2431

x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解：24(1)31(2)x y x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩

①+②，得：5x=5 解得：x=1 把x=1代入（2），得：3+y=1 解得：y=－2

∴方程组的解为：12

x y =⎧⎨=-⎩ 2．解方程组： ⎩

⎨⎧-=+=-1373y x y x 解：①×3：9321x y -= ③

②＋③：1020x =

2x =代入① 得：1y =-

∴原方程组的解为：21x y =⎧⎨=-⎩

3．解方程组：2()3()34()3153x y x y x y x y

+--=⎧⎨++=+⎩． 解：方程组整理得：2()3()34()3()15x y x y x y x y +--=⎧⎨++-=⎩

①② ①+②得x+y=3③，

把③代入①，得x-y=1④，

③+④得：x=2，

③-④得：y=1，

则原方程组的解是21x y =⎧⎨=⎩

． 4

．已知：0)82(12

=-++--y x y x ，求：x+3y 的平方根． 解：由已知得⎩⎨⎧=-+=--08201y x y x 解得⎩

⎨⎧==23y x ∴x+3y=3+2×3=9

∴x+3y 的平方根是±3

8.3 实际问题与二元一次方程组

1．请根据图中提供的信息，回答下列问题：

一个水瓶与一个水杯分别是多少元？

解：设一个水瓶x 元，由一个水杯（48-x ）元，根据题意得：

3x+4（48－x ）=152

解得：x=40

∴48－x=48－40=8（元）

答：一个水瓶40元，一个水杯8元.

2．甲、乙两个车间工人人数不相等，若甲车间调10人到乙车间，则两车间人数相等；若乙车间调10人到甲车间，则甲车间的人数就是乙车间人数的2倍，求原来甲、乙两车间各有多少名工人？

解：设原来甲车间有x 名工人，乙车间有y 名工人，根据题意得： ⎩

⎨⎧-=++=-)10(2101010y x y x