柱坐标系与球坐标系简介 课件
1.4《柱坐标系与球坐标系简介》 课件(人教A版选修4-4)
【解析】
6.球坐标系中，满足θ =
P(r,φ ,θ )的轨迹为( （A）点 （C）半平面
，r∈[0,+∞), φ ∈[0,π ]的动点 4
)
（B）直线 （D）半球面
【解析】选C.由于球坐标系中,θ=
φ∈[0,π]，故射线OM平分∠xOy,由球坐标系的意义，动点 P(r,φ,θ)的轨迹为二面角x-OP-y的平分面，这是半平面， 如图.
【解析】选D.由于点P的柱坐标为（ρ,θ,z）= (2, , 3) ，故 点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为 cos = 3 ,结合
6
图形，得P到直线Oy的距离为 ( 3)2 +( 3)2 = 6.
5.已知点M的球坐标为 (2 2, , ) ，则点M的柱坐标为(
6 4
)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标
对应的点在平面yOz内的是( )
【解析】选A.由点P的柱坐标（ρ,θ,z），当θ= 时，点P
在平面yOz内，故选A.
2
2.已知空间直角坐标系Oxyz中，点M在平面yOz内，若M的球坐
3 3 3 3
求|MN|. 【解析】方法一:由题意知, |OM|=|ON|=6，∠MON= ,
3
≨△MON为等边三角形，≨|MN|=6.
=1 12.（14分）在柱坐标系中，求满足 0 2 的动点M 0 z 2
（ρ ,θ ,z）围成的几何体的体积. 【解析】根据柱坐标系与点的柱坐 标的意义可知，满足ρ=1，0≤θ
≨PN⊥直线Oy.
答案：3
6
三、解答题（共40分） 10.（12分）在球坐标系中，方程r=1表示空间中的什么曲 面？方程φ = 表示空间中的什么曲面?
第1章 3 柱坐标系和球坐标系
§3 柱坐标系和球坐标系1.柱坐标系(1)定义：在平面极坐标系的基础上，通过极点O ，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z 轴，这样就建立了柱坐标系.设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面；z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面.(2)空间点M 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .2.球坐标系(1)定义：设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM→与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP →的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影.这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.特别地， r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎨⎧x ＝r ·sin φ·cos θ，y ＝r ·sin φ·sin θ，z ＝r cos φ.【思维导图】【知能要点】 1.柱坐标系. 2.球坐标系.3.空间点的坐标的确定.题型一 柱坐标系柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.空间任一点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )表示，(ρ，θ)是点P 在Oxy 平面上的射影Q 的极坐标，z 是P 在空间直角坐标系中的竖坐标. 【例1】 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是什么？解 在平面极坐标系中，ρ＝2表示以极点为圆心，2为半径的圆.因此，在柱坐标系中，设Oz 轴所在的直线为l ，则方程ρ＝2表示以l 为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱面.【反思感悟】 柱坐标满足ρ＝2的点可以和平面直角坐标系中满足x ＝1的点构成一条直线，空间直角坐标系中满足y ＝2的点构成的图形是一个平面结合考虑.1.将下列各点的柱坐标化为直角坐标. P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23π，－3 解直接代入互化公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z，可得P 的直角坐标为(3，1，1)，Q 点的直角坐标为(－2，23，－3).题型二 球坐标系球坐标系又称空间极坐标系，用空间任意一点P 到O 的距离r 以及两个角θ，φ来刻画点P 的位置.【例2】 经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻离地面2 384千米的位置，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标.解 在赤道平面上，我们选取地球球心为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立平面极坐标系，在此基础上，取以O 为端点且经过北极的射线Oz (垂直于赤道平面)为另一条极轴，如图所示建立一个球坐标系.由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°，由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r ＝2 384＋6 371＝8 755千米.所以点P 的球坐标为(8 755，15°，80°).【反思感悟】 写空间任一点的球半径，就是求该点到点O 的距离和方位角、高低角.两个角可以和地球的经纬度相结合，要搞清它们的联系和区别.2.在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立坐标系.有A ，B 两个城市，它们的球坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，2π3，飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？解 由题意可知面AOO 1，面BOO 1都垂直于两圆平面， ∴∠AO 1B 是两平面AOO 1和BOO 1的夹角， 又∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，2π3，∴∠AO 1B ＝2π3－π6＝π2， ∠AOO 1＝∠BOO 1＝π4， ∠AO 1O ＝∠BO 1O ，∴小圆O1的半径r＝22R，∴AB＝R，∴∠AOB＝π3，则经过A、B两地的球面距离为π3R.故飞机经过A、B两地的大圆，航线最短，其路程为π3R.题型三空间点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即(x，y，z).2.空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z).3.(1)空间点的球坐标是点和原点的连线与x轴正方向所成的角θ，与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组成的，即(r，φ，θ).(2)注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.【例3】已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB＝14，AD＝6，AA1＝10，以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为Ox、Oy、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标，球坐标，柱坐标.分析如图所示，此题是考查空间直角坐标，球坐标，柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.C1点的(x，y，z)，分别对应着CD、BC、CC1，C1点的(ρ，θ，z)分别对应着CA、∠DCA、CC1，C1点的(r，φ，θ)分别对应着AC1、∠A1AC1、∠BAC.解C1点的空间直角坐标为(14，6，10)，C1点的柱坐标为(258，arctan 37，10)，C 1点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫283，arccos 58383，arctan37. 【反思感悟】 注意空间任一点的直角坐标、球坐标和柱坐标的联系和区别，它们都能刻画点的位置，可以进行互化.3.结晶体的基本单位称为晶胞，图(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)，图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图(2)所示，建立空间直角坐标系O -xyz 后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标，柱坐标.解 把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0，0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π2，π4，它们的柱坐标分别为(0，0，0)，(1，0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，0； 上层的钠原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1，0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，arctan 2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，arctan 22，π4，它们的柱坐标分别为(0，0，1)，(1，0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，1. 中层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为12，所以，这四个钠原子所在位置的球坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，arccos 66，arctan 12，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，arccos 66，arctan 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π2，它们的柱坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫52，arctan 12，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫52，arctan 2，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π2，121.一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心O 的距离为500 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，求出点A 的坐标.解 以圆形体育场中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地平面上建立极坐标系.则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为503 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此我们可以用柱坐标来表示点A 的准确位置.所以点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫503，17π16，2.8. 2.一只蚂蚁在一个母线与轴线夹角为π3的圆锥面上从顶点出发盘旋着向上爬行，已知它上升的速度为v >0，盘旋的角速度为ω>0，求t 时刻蚂蚁所在的位置的球坐标.解 取圆锥的顶点O 为坐标原点，建立球坐标系，设t 时刻蚂蚁在点M (r ，φ，θ)处，由题意得θ＝ωt ，z ＝v t ，φ＝π3， 由于z r ＝cos φ＝cos π3＝12， 于是r ＝2z ＝2v t ，所以t 时刻蚂蚁在球坐标系中的位置为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2v t ，π3，ωt ， t ∈[0，＋∞).3.摊开世界地图，问初次降临地球的外星人：台湾在哪里？阿根廷的Formosa(福尔摩沙)省又位于何处(如图所示)？外星人必然一头雾水，如果你再给他一组数据：.想一想，它们的位置有什么关联？解两地经度差180°，纬度相反.故它们位于地球同一直径的两个端点上.1.空间点的坐标的确定(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即(x，y，z).(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z).(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点的连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组成的，即(r，φ，θ).注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.2.球坐标的应用在球坐标系中，它的三度实际上也是我们所熟悉的，它与前面所学的球的一些基本知识是有着密切联系的.我们得熟悉这部分内容.(1)经线与经度：地球球面上从北极到南极的半个大圆叫做经线，规定以经过英国格林尼治天文台原址的经线为0°经线.一个地方的经度是指经过当地经线的所在半平面和0°经线所在半平面之间的夹角的度数，以0°经线为基准，向东度量的为东经，向西度量的为西经.如东经30°，西经60°等.(2)纬线与纬度：与地轴(通过北极和南极的直线)垂直的平面截地球球面所得的圆叫做纬线(纬线圈)，其中的大圆叫做赤道.一个地方的纬度是指当地与球心的连线和地球赤道平面之间所成的角的度数，赤道为0°纬线；以赤道为基准，向北度量为北纬，向南度量为南纬.如北纬25°，南纬23.5°.与球坐标比较，点P (r ，φ，θ)中的r 是到球心的距离，φ与纬度是互余的；θ与经度是相关的，若建立适当的坐标系，θ就是经度. 【规律方法总结】1.根据图形的特征，可以选择不同的坐标系来确定点的位置.2.点的直角坐标、柱坐标、球坐标可以相互转化.3.利用柱坐标系、球坐标系解决空间点的位置时，对于含角度的比较方便.一、选择题1.已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( ) A.P 点(5，1，1)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62B.P 点(1，1，5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62 C.P 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62，B 点(1，1，5) D.P 点(1，1，5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫62，364，324 解析 设P 点的直角坐标为(x ，y ，z )，x ＝2·cos π4＝2·22＝1，y ＝2·sin π4＝1，z ＝5. 设B 点的直角坐标为(x ，y ，z )， x ＝6·sin π3·cos π6＝6·32·32＝364， y ＝6·sin π3·sin π6＝6·32·12＝324，z ＝6·cos π3＝6·12＝62.所以，点P 的直角坐标为(1，1，5)，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62. 答案 B2.设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，3 解析 ∵ρ＝（－1）2＋（－3）2＝2，θ＝43π，z ＝3.∴M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，3.答案 C3.设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，π4 解析 由变换公式r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2，cos φ＝z r ＝22，∴φ＝π4.∵tan θ＝y x ＝1，∴θ＝54π. ∴M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，54π.答案 B4.点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π3，56π则它的直角坐标为( )A.(－6，23，4)B.(6，23，4)C.(－6，－23，4)D.(－6，23，－4)解析 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4， 得点M 的直角坐标为(－6，23，4).答案 A5.点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π4，2，则点P 到原点的距离为( ) A.17 B.217 C.417D.817解析 x ＝8cos π4＝42，y ＝8sin π4＝42， ∴柱坐标化为直角坐标为(42，42，2)， |OP |＝32＋32＋4＝68＝217.答案 B 二、填空题6.在球坐标系中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4的距离为________.解析 把A 、B 两点的球坐标化为直角坐标为A ()1，1，2， B ()－1，1，－2. |AB |＝（1＋1）2＋（1－1）2＋（2＋2）2＝12＝2 3.答案 2 37.在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________. 解析 在极坐标系中，ρ＝2表示圆心在极点半径为2的圆.在柱坐标系中方程ρ＝2表示以z 轴为中轴线的，半径为2的圆柱面. 答案 以z 轴为中轴线的，半径为2的圆柱面8.已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4，34π，点N 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π4，34π，则M 、N 两点间的距离为________.解析 x ＝4sin π4cos 3π4＝4·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2， y ＝4sin π4sin 3π4＝4·22·22＝2，z ＝4cos π4＝4·22＝22，∴点M 的直角坐标为(－2，2，22).同理点N 的直角坐标为(2，－2，22)，∴|MN |＝16＋16＝4 2.答案 4 29.在球坐标系中，方程r ＝1表示______________________，方程φ＝π4表示空间的________________________.解析 r ＝1表示球心在原点半径为1的球面，φ＝π4表示顶点在原点，母线与z 轴夹角为π4的圆锥面.答案 球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面夹角为π2的圆锥面三、解答题10.如图所示，在长方体OABC -D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，|OC |＝5，|OD ′|＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C 、B ′、P 的柱坐标.解 C 点的ρ、θ分别为|OC |及∠COA .B ′点的ρ为|OB |＝|OA |2＋|AB |2＝32＋52＝34；θ＝∠BOA ，而tan ∠BOA ＝|AB ||OA |＝53，所以∠BOA ＝arctan 53.P 点的ρ、θ分别为OE 、∠AOE ，|OE |＝12|OB |＝342，∠AOE ＝∠AOB .∴各点的柱坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，0，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫34，arctan 53，3，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫342，arctan 53，3.11.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π4，θA 、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，34π，θB ，求出这两个截面间的距离. 解 在△OO 1A 中，由球坐标知∠AOO 1＝π4，|OA |＝8，∴|OO 1|＝8cos ∠AOO 1＝8×22＝42，同理在△OO 2B 中，|OB |＝8，∠O 2OB ＝π4，∴OO 2＝42，∴O 1O 2＝82， ∴两个截面间的距离为8 2.12.在柱坐标系中，求满足⎩⎨⎧ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )围成的几何体的体积.解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )的轨迹是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r＝1，h ＝2，∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π(体积单位).习题1－3 (第22页)1.解 点A 的柱坐标为(3，0，3)，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，0； 点B 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，2，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π2； 点C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，0，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π2，π4. 图略2.解 点A 的直角坐标为(－22，22，2)；点B 的直角坐标为(3，33，－5). 图略.3.解 点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，3；点N 的直角坐标为(6，23，4).。
简单曲线的极坐标方程 柱坐标系与球坐标系简介课件
题型四 极坐标系中曲线位置关系
例4 已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ρcos θ＝3,ρ＝
2.柱坐标系 一般地,如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间_任_意___ 一点,它在Oxy平面上的射__影____为Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π) ___________________表极示坐点标Q在平面Oxy上的
__________,
这时点的位置可用有序数组_ρ_,_θ_,_z_(z_∈__R_)__表示.这样,我
【解】 法一:将极坐标方程 ρ＝3 转化为普通方程:x2＋y2 ＝9,ρ(cos θ＋ 3sin θ)＝2 可化为 x＋ 3y＝2, 在 x2＋y2＝9 上任取一点 A(3cos α,3sin α), 则 点 A 到 直 线 的 距 离 d ＝ |3cos α＋3 2 3sin α－2| ＝ |6sinα＋230°－2|,所以它的最大值为 4.
【解】 以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角
坐标系,两坐标系中取相同的长度单位. (1)x＝ρcos θ,y＝ρsin θ,由 ρ＝4cos θ 得 ρ2＝4ρcos θ. 所以 x2＋y2＝4x. 即 x2＋y2－4x＝0 为圆 O1 的直角坐标方程. 同理 x2＋y2＋4y＝0 为圆 O2 的直角坐标方程. (2)由xx22＋＋yy22－＋44xy＝＝00.，
标
x＝ρcos θ
y＝ρsin θ
z＝z
(ρ,θ,z)之间的变换公式为______________.
柱坐标系与球坐标系PPT教学课件
＃思想核心： 大一统（“新”所在）
天人感应
“天子受命于天，天下受命于天子”；“古之造文者，三画 连其中，谓之王，三画者，天地人，而连其中，通其道也， 谓之王。”
董仲舒认为道源于天。“天不变，道亦不变。” “天道”就是“三纲五常三”纲：君为臣纲，父为子纲，夫为妻纲
五常：仁、义、礼、智、信
崇
“有为”而治。
独 尊 儒 术
罢黜百家 独尊儒术
董仲舒： 中国古代著名的思想家。 （前179——前104年）广
川人（今河北景县人）向 汉武帝提出“罢黜百家 独尊儒术”的主张，创立 新儒学。
2、董仲舒的新儒学的思想内涵
＃思想来源： 以《公羊春秋》为骨干， 融合阴阳家，黄老之学 以及法家思想而形成的 新的思想体系。
坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱
坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中
ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为
x cos
y
• 兴办学校，有利于教 育的发展。
• 确立了儒学在中国的 统治地位。
总结
原 西汉初年，
因
经济残败 百业待兴。
无为不适应集权
原 新儒学的大一统 因 统治者的有为愿望
黄
老 内 治身、治国 之 容 无为而无不为 学
独
尊
内 容
天人感应 实行仁政
儒
术
作 经济恢复 用 国力增强
作 巩固国家统一
用
限制君主权利 儒学独尊地位
1.4《柱坐标系与球坐标系简介》 课件(人教A版选修4-4)
答案：3
6
三、解答题（共40分） 10.（12分）在球坐标系中，方程r=1表示空间中的什么曲 面？方程φ = 表示空间中的什么曲面?
4
【解析】方程r=1表示球心在原点且半径为1的球面;
方程φ= 表示顶点在原点，半顶角为 的上半个圆锥面，中
4 4
心轴为z轴.
11.（14分）已知球坐标系Oxyz中, M(6, , ),N(6, 2 , ),
)
2=cos 【解析】选A.设M的柱坐标为(ρ,θ,z)，由 0=sin , z=2 =2 解得 =0, ≨点M的柱坐标为（2,0,2）. z=2
4.若点P的柱坐标为 (2, , 3)，则P到直线Oy的距离为(
6
)
（A）1
（B）2
（C） 3
（D） 6
6
，r∈[0,+≦), 4
二、填空题（每小题8分，共24分）
7.若点M的柱坐标为(2, 2 ，-2)，则点M的直角坐标为_____.
3
【解析】设M的直角坐标为(x,y,z),
答案：(-1, 3 ,-2)
8.设点P的直角坐标为 (1, 3,2 3) ，则它的球坐标为_______. 【解析】设点P的球坐标为(r,φ,θ),其中r≥0,
＜2π，0≤z≤2的动点M（ρ,θ,
z）的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面 为正方形的圆柱，如图所示,圆柱的
底面半径r=1,h=2,≨V=Sh=πr2h=
2π(体积单位).
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标
对应的点在平面yOz内的是( )
【解析】选A.由点P的柱坐标（ρ,θ,z），当θ= 时，点P
第1讲-柱坐标系和球坐标系讲解
究
业
系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
点的柱坐标与直角坐标互化
课
当
前
堂
自 主
(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标
双 基
导
达
学 系中的坐标．
标
(2)设点 N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．
课
【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱
课 堂 互 动
∴|P1P2|＝
0＋322－ 262＋
3－12＝
30－ 2
10 .
课 时
探
作
究
业
柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解
决．
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
在球坐标系中，求两点 P(3，π6，4π)，Q(3，π6，34π)的距离．
课
【解】 将 P、Q 两点球坐标转化为直角坐标．设点 P 当
2．球坐标系
课
当
前
堂
自
双
主
基
导
达
学
标
图 1－4－2
课
堂 互
建立如图 1－4－2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空 课
动
时
探 究
间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的
作 业
角为 φ.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点 M 的球
课 前
1.4《柱坐标系与球坐标系简介》 课件(人教A版选修4-4)
【解析】选D.由于点P的柱坐标为（ρ,θ,z）= (2, , 3) ，故 点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为 cos = 3 ,结合
6
图形，得P到直线Oy的距离为 ( 3) 2 +( 3) 2 = 6.
5.已知点M的球坐标为 (2 2, , ) ，则点M的柱坐标为(
6 4
＜2π，0≤z≤2的动点M（ρ,θ,
z）的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面 为正方形的圆柱，如图所示,圆柱的
底面半径r=1,h=2,≨V=Sh=πr2h=
2π(体积单位).
标为(r,φ ,θ ),则应有( )
【解析】选D.由点M向平面xOy作垂线，垂足N一定在直线Oy
上，由极坐标系的意义知θ= 或 3 .
2
2
3.设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为( (A)(2,0,2) (C)( 2,0,2) (B)(2,π ,2) (D)( 2,π ,2)
பைடு நூலகம்
)
3 3 3 3
求|MN|. 【解析】方法一:由题意知, |OM|=|ON|=6，∠MON= ,
3
≨△MON为等边三角形，≨|MN|=6.
=1 12.（14分）在柱坐标系中，求满足 0 2 的动点M 0 z 2
（ρ ,θ ,z）围成的几何体的体积. 【解析】根据柱坐标系与点的柱坐 标的意义可知，满足ρ=1，0≤θ
2=cos 【解析】选A.设M的柱坐标为(ρ,θ,z)，由 0=sin , z=2 =2 解得 =0, ≨点M的柱坐标为（2,0,2）. z=2
4.若点P的柱坐标为 (2, , 3)，则P到直线Oy的距离为(
6
)
（A）1
1.4《柱坐标系与球坐标系简介》 课件(人教A版选修4-4)
【解析】选D.由点M向平面xOy作垂线，垂足N一定在直线Oy
上，由极坐标系的意义知θ= 或 3 .
2 2
3.设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为( (A)(2,0,2) (C)( 2,0,2) (B)(2,π ,2) (D)( 2,π ,2)
＜2π，0≤z≤2的动点M（ρ,θ,
z）的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面 为正方形的圆柱，如图所示,圆柱的
底面半径r=1,h=2,≨V=Sh=πr2h=
2π(体积单位).
【解析】
6.球坐标系中，满足θ =
P(r,φ ,θ )的轨迹为( （A）点 （C）半平面
，r∈[0,+∞), φ ∈[0,π ]的动点 4
)
（B）直线 （D）半球面
【解析】选C.由于球坐标系中,θ=
φ∈[0,π]，故射线OM平分∠xOy,由球坐标系的意义，动点 P(r,φ,θ)的轨迹为二面角x-OP-y的平分面，这是半平面， 如图.
0≤φ≤π,0≤θ<2π.
答案： , ) (4,
6 3
9.已知柱坐标系中,点M的柱坐标为 (2, 2 , 5) ,且点M在数轴Oy
上的射影为N,则|OM|=______,|MN|=______.
【解析】设点M在平面Oxy上的射影为P,连结PN, 则PN为线段MN在平面Oxy上的射影.
3
≧MN⊥直线Oy,MP⊥平面xOy，
)
2=cos 【解析】选A.设M的柱坐标为(ρ,θ,z)，由 0=sin , z=2 =2 解得 =0, ≨点M的柱坐标为（2,0,2）. z=2
4.若点P的柱坐标为 (2, , 3)，则P到直线Oy的距离为(
柱坐标与球坐标系简介ppt课件
栏 目 链
(2)求点C的和点D的直角坐标、柱坐标以及球坐
接
标．
分析：利用点的直角坐标、柱坐标以及球坐标的转化公式，结合
图形运用方程求解．
解析：(1)点 C1 的直角坐标为(1，1，1)，设点 C1 的柱坐标为(ρ，
θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中 ρ≥0，r≥0，0≤φ≤π，0≤θ 栏
目
＜2π，
x2＋y2＋z2，
φ＝zr.
在
目 链 接
用三角函数值求角时，要结合图形确定角的取值范围再求值，若不是
特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的取值
范围即可．
►变式训练
1．如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1的边长AB＝
6，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点A为坐标原
点，以射线AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴的正半
接
正解一：M
2，π4 ，1的直角坐标为：
π x＝ 2·cos 4 ＝1， y＝ 2·sinπ4 ＝1， z＝1，
∴M 关于原点 O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)，
ρ＝ x2＋y2＝ 2，
则 tan θ＝xy＝1，
z＝－1，
栏
目
∴M 关于原点 O 的对称点的柱坐标为
2，5π4 ，－1.
要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角 φ，θ的边与坐标轴 Oz，Ox 的关
系，注意各自的限定范围，即 0≤φ≤π，0≤θ＜2π，化点的球坐 栏
目
x＝rsin 标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式y＝rsin
φcos φsin
θ， θ，
链 接
z＝rcos φ
转化为三角函数的求值与运算即可．
1.3 柱坐标系与球坐标系 课件 (北师大选修4-4)
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐 标 (ρ ,θ ,Z) 之间的变换公式为
x cos y sin z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它 在柱坐标系中的坐标. 解 得 点在柱坐标系中的坐标为 ρ （ 2 ， ，1）. 4 = 注：求θ 时要注意角的终边与点的 射影所在位置一致
z
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角
为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数 组(r,φ,θ)表示.
空间的点与有序数组 (r,φ,θ)之间建立了一种 对应关系.
z
P(r,φ,θ)
我们把建立上述 Q 对应关系的坐标系 x 叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .
o θ
r φ
y
有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标， 其中 r 0 , 0 , 0 2
阅读课本P16---17
了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
z 设P是空间任意一点， P(ρ,θ,Z) 在oxy平面的射影为Q， 用(ρ ,θ )(ρ ≥0, 0≤θ ＜2π )表示点Q o y 在平面oxy上的极坐标， θ 点P的位置可用有 Q x 序数组(ρ ,θ ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱 坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱 坐标，记作(ρ ,θ ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , -∞＜Z＜+∞
小结
坐标系
数轴 平面直角坐标系 平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法.
柱坐标系和球坐标系 课件
x＝ρcos θ， 则由y＝ρsin θ，
z＝z，
x＝πcos π， 得y＝πsin π，zΒιβλιοθήκη π，x＝－π， ∴y＝0，
z＝π.
因此，点 N 的直角坐标为(－π，0，π)．
坐标．
已知点 M 的球坐标为(2，34π，34π)，求它的直角 【自主解答】 设点的直角坐标为(x，y，z)．
x＝2sin34πcos34π＝2× 22×－ 22＝－1， 则y＝2sin34πsin34π＝2× 22× 22＝1，
.
(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标 系中的坐标．
(2)设点 N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．
【自主解答】 (1)设 M 的柱坐标为(ρ，θ，z)，
1＝ρcos θ， 则由1＝ρsin θ， z＝1，
解之得，ρ＝ 2，θ＝π4.
因此，点 M 的柱坐标为( 2，4π，1)． (2)设 N 的直角坐标为(x，y，z)，
建立了空间的点与有序数组 (ρ，θ，z) 之间的一 种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做 柱坐标系， 有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，
其中 ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R.
2．球坐标系
图 1－4－2 建立如图 1－4－2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空 间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的 角为 φ.
图 1－4－3
【自主解答】 点 C1 的直角坐标为(1,1， 2)． 设 C1 的球坐标为(r，φ，θ)，其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π， 由 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ， 得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 22＋12＝2. 由 z＝rcos φ，∴cos φ＝ 22，φ＝4π 又 tan θ＝yx＝1，∴θ＝π4， 从而点 C1 的球坐标为(2，π4，π4)
柱坐标和球坐标简介
设 C1 的球坐标为(r， φ， θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π， 0≤θ<2π， 由 x＝rsin φcos θ，y＝ rsin φ sin θ， z＝rcos φ， 得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 22＋12＝2. 2 π 由 z＝rcos φ，∴cos φ＝ ，φ＝ 2 4 y π 又 tan θ＝ ＝1，∴θ＝4， x π π 从而点 C1 的球坐标为(2，4，4)
【思路探究】 可把两点坐标均化为空间直角坐标，再
用空间两点间的距离公式求距离．
【自主解答】 设 P1 的直角坐标为 P1(x1，y1，z1)， x1＝2 3sin πcos π＝3 2， 3 4 2 π π 3 2 则y1＝2 3sin sin ＝ ， 3 4 2 π z1＝2 3cos 3＝ 3， 3 2 3 2 ∴P1 的直角坐标为( 2 ， 2 ， 3)．
四
柱坐标系与球坐标系简介
课标 解读
1.了解柱坐标系、球坐标系的意 义，能用柱坐标系、球坐标系 刻画简单问题中的点的位置． 2．知道柱坐标、球坐标与空间 直角坐标的互化关系与公式， 并用于解题.
1．柱坐标系
图 1－4－1 如图 1－4－1 所示， 建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 P 是空 间 任 意 一 点 ． 它 在 Oxy 平 面 上 的 射 影 为 Q ， 用 (ρ ， θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标， 这时点 P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．
3．空间直角坐标与柱坐标的转化 空间点 P(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z . 4．空间直角坐标与球坐标的关系 空间点 P(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为
高中数学第1讲坐标系第7课时柱坐标系与球坐标系简介课件新人教A版选修44
x＝3sinπ6cosπ4＝3×12× 22＝342，
y＝3sinπ6sinπ4＝3×12× 22＝342，
z＝3cosπ6＝3×
23＝3
3 2.
∴P 点的直角坐标为34 2，342，323．
同理 Q 点的直角坐标为－34 2，342，32 3． ∴PQ＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22＝3 2 2．
坐标为1＋2 1，1－2 3，1＋2 4，即1，1－2 3，52．
直角坐标系与柱、球坐标系的互化
【例 1】 (1)空间一点 M 的直角坐标为(1,1,3)，求其在相应 的柱坐标系中的坐标；
(2) 空间一点 M 的直角坐标为(1,1， 2)，求其在相应的球 坐标系中的坐标．
【解题探究】 由柱坐标、球坐标化为直角坐标，给出了 具体的公式，将直角坐标化为柱坐标、球坐标，要会将公式逆 运用．
柱坐标系中的几何问题
【例 3】 如图，在柱坐标系中， 长方体的两个顶点坐标为 A1(4,0,5)， C1 6，π2，5 ， 求 长 方 体 的 外 接 球 的 体 积．
【解题探究】 根据顶点的柱坐标求出长方体的三边长， 其外接球的直径恰为长方体的对角线的长．
【解析】由柱坐标的定义可得 OA＝4，OC＝6，OO1＝5， 则对角线的长为 42＋52＋62＝ 77． 则外接球的体积为43×π× 2773＝77 677π．
B．2，π4，54π
C．2，54π，π4
D．2，34π，π4
【答案】B
x＝
2cos54π，
【解析】设点 M 的直角坐标为(x，y，z)，则y＝ 2sin54π，
z＝ 2，
即xy＝ ＝－ －11， ， z＝ 2，
∴M 的直角坐标为 M(－1，－1， 2)．
柱坐标系与球坐标系简介
极径、极角,只是比平面极坐标多了一个量,即点在空间中的高度. -15-
四 柱坐标系与球坐标系简介
目标导航
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练3】 经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
2.球坐标系 (1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连接OP, 记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设点P在Oxy平面上的射影 为点Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样 点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样,空间的点与有序数 组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系 叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标, 记作P(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π. (2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系
的极坐标.这时点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示.这样,我
们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系.把建立
上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱
坐标,记作P(ρ,θ,z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞<z<+∞.
(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式
3
解:设点 M 的直角坐标为(x,y,z),则由互化公式可得,
详细版圆柱坐标系和球坐标系.ppt
第1章 矢量分析
1
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2
1. 标量和矢量
1.1 矢量代数
标量： 一个只用大小描述的物理量。
矢量： 一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示： 一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的大小或模：A A r
矢量的单位矢量： 矢量的代数表示：
erˆA r A
A A erˆA
A
erˆA
r A
常矢量： 大小和方向均不变的矢量。
A
矢量的几何表示
注意： 单位矢量不一定是常矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3
矢量用坐标分量表示
z
r A
erˆx
Ax
erˆy
Ay
erˆz
Az
Ax A cos
Az
A
Ay
Ax O
y
Ay A cos
Az A cos
A// B
A B AB
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
6
（4）矢量的矢积（叉积）
r A
r B
erˆn
AB
sin
坐标分量表示
r A
r B
erˆx
( Ay Bz
Az By
)
erˆy
(Az Bx
Ax Bz
)
erˆz
( Ax By
Ay Bx
)
行列式形式为
r r erˆx erˆy erˆz A B Ax Ay Az
( Az
Bz
)
A B
B
A
矢量的加法
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_轴__的__圆__柱__面___；θ＝常数，表示的是__过__z轴__的__半__平__面___；z ＝常数，表示的是与__x_O_y_平__面__平__行__的__平__面___． (2)空间点 M 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的
变换公式为
x＝ρcos y＝ρsin
θ， θ，
2．空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的 竖坐标组成的，即(ρ，θ，z)．轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组 成的，即(r，φ，θ)． (2)注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方 向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.
柱坐标系和球坐标系
1．柱坐标系
(1)定义：在平面极坐标系的基础上，通 过极点O，再增加一条与极坐标系所在 平面垂直的z轴，这样就建立了柱坐标 系．设M(x，y，z)为空间一点，并设点 M在xOy平面上的投影点P的极坐标为 (r，θ)，则这样的三个数r，θ，z构成的 有序数组(__r_，__θ_，__z__)就叫作点M的_柱__坐__标__，这里规定 r，θ，z的变化范围为_0_≤__r_＜__＋__∞__，__0_≤_θ_＜__2_π__， _－__∞__＜__z_＜__＋__∞____．特别地，r＝常数，表示的是_以__z_轴__为_
【反思感悟】 写空间任一点的球半径，就是求该点到点O 的距离和方位角、高低角．两个角可以和地球的经纬度相 结合，要搞清它们的联系和区别．
2．如图所示，棱长为a的正方体OABC— D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于 点P，顶点O为坐标原点，OA，OC分 别在x轴，y轴的正半轴上，试写出点P 的球坐标．
θ＝常数，_表__示__的__是__过__z_轴__的__半__平__面__．
(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的
变换关系为
xy＝＝rr··ssiinn
φ·cos θ， φ·sin θ，
z＝rcos φ.
——————————
【思维导图】
【知能要点】 1．柱坐标系． 2．球坐标系． 3．空间点的坐标的确定．
z＝z.
————————
2． 球坐标系 (1)定义：设 M(x，y，z)为空间一点，点
M 可用这样三个有次序的数 r，φ，θ 来确
定，其中 r 为原点 O 到点 M 间的距离，φ
为有向线段O→M与 z 轴正方向所夹的
角，θ 为从 z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到 有向线段O→P的角，这里 P 为点 M 在 xOy 平面上的投影．这 样的三个数 r，φ，θ 构成的有 序数组(__r，__φ__，__θ__)叫作点 M的_球__坐__标__，这里r，φ，θ的变化范围为__0_≤_r_＜__＋__∞__， _0_≤_φ__≤_π___，_0_≤__θ_＜__2_π_．特别地， r＝常数，表示的是_以__原__点__为__球__心__的__球__面__； φ＝常数，表示的是_以__原__点__为__顶__点__，__z_轴__为__轴__的__圆__锥__面__；
【例3】已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB＝14，AD ＝6，AA1＝10，以这个长方体的顶点A为坐标原点，以 射线AB、AD、AA1分别为Ox、Oy、Oz轴的正半轴，建 立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标， 球坐标，柱坐标．
分析 如图所示，此题是考查空间直 角坐标，球坐标，柱坐标的概念，我 们要能借此区分三个坐标，找到它们 的相同和不同来．
1．将下列各点的柱坐标化为直角坐标． P2，π6 ，1，Q4，23π，－3
解
直接代入互化公式xy＝＝ρρscions
θ θ，
z＝z
可得 P 的直角坐标为( 3，1，1)，Q 点的直角坐标为(－2，2 3，
－3)．
题型二 球坐标系
球坐标系又称空间极坐标系，用空间任意一点P到O的距 离r以及两个角θ，φ来刻画点P的位置． 【例2】经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通 过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻离地面2 384 千米的位置，地球半径为6 371千米，此时经度为80°， 纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标．
解 在赤道平面上，我们选取地球球 心为极点，以O为端点且与零子午线相 交的射线Ox为极轴，建立平面极坐标 系，在此基础上，取以O为端点且经过 北极的射线Oz(垂直于赤道平面)为另一 条极轴，如图所示建立一个球坐标系．由已知航天器位于 经度为80°，可知θ＝80°，由航天器位于纬度75°，可 知，φ＝90°－75°＝15°，由航天器离地面2 384千米， 地球半径为6 371千米，可知r＝2 384＋6 371＝8 755千 米． 所以点P的球坐标为(8 755，15°，80°)．
解 |OP|＝12 |OA|2＋|OC|2＋|OD′|2＝ 23a. ∠xOM＝π4 ，tan∠D′OB′＝||DD′′BO′||＝ 2. ∴点 P 的球坐标为 23a，arctan 2，π4 .
题型三 空间点的坐标
1．空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标 三度来确定的，即(x，y，z)．
题型一 柱坐标系
柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直 角坐标系中的一部分建立起来的． 空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表示，(ρ， θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角 坐标系中的竖坐标．
【例1】 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是什么？ 解 在平面极坐标系中，ρ＝2表示以极点为圆心，2为半 径的圆．因此，在柱坐标系中，设Oz轴所在的直线为l， 则方程ρ＝2表示以l为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的 圆柱面． 【反思感悟】 柱坐标满足ρ＝2的点可以和平面直角坐标 系中满足x＝1的点构成一条直线，空间直角坐标系中满足 y＝2的点构成的图形是一个平面结合考虑．
C1点的(x，y，z)，分别对应着CD、BC、CC1，C1点的 (ρ，θ，z)分别对应着CA、∠DCA、CC1，C1点的(r，φ， θ)分别对应着AC1、∠A1AC1、∠BAC. 解 C1 点的空间直角坐标为(14，6，10)， C1 点的柱坐标为(2 58，arctan 37，10)，