确定晶格振动谱的实验方法
一维单原子链晶格振动解析步骤
一维单原子链晶格振动解析步骤一维单原子链模型是固体物理中的经典模型之一，用于描述晶体中原子的振动行为。
在这个模型中，原子由质量为m的核和劲度系数为K的弹性相互作用构成。
通过对一维单原子链的晶格振动进行分析，可以更好地理解固体中的声子模式和声子色散关系。
下面将介绍一维单原子链晶格振动解析步骤：第一步：建立模型首先，我们要建立一维单原子链的模型。
假设晶格常数为a，原子间距为a/2，一维晶格中的每个原子都沿着x轴定位。
原子间的相互作用由弹簧模型描述，即相邻原子间的相互作用劲度系数为K。
这个模型是一个简单的原子链模型，可以通过它来研究晶格振动的基本性质。
第二步：求解运动方程接下来，我们需要求解原子在这个一维单原子链中的运动方程。
假设第n个原子的位移为Un(t)，那么根据牛顿第二定律，可以得出该原子的运动方程为：m*Un’’(t) = -K*(Un(t+0) - 2*Un(t) + Un(t-0))上式中，Un’’(t)表示Un对时间的二阶导数，-K*(Un(t+0) -2*Un(t) + Un(t-0))表示受到的弹性相互作用力。
第三步：假设解的形式由于原子在一维单原子链中的振动属于谐振动问题，我们可以假设原子的位移满足解的形式为：Un(t) = An*exp(i*(k*n*a - ω*t))其中，An是振幅，k是波数，ω是角频率，n是原子的编号。
将这个解代入到运动方程中，可以得到关于角频率ω和波数k的关系式，即声子色散关系。
声子色散关系描述了声子的能量随波数变化的关系，是描述晶体中声子性质的重要工具。
第四步：得到声子色散关系将解的形式代入运动方程，我们可以得到关于角频率ω和波数k的关系式。
具体地，我们可以得到一维单原子链中的声子色散关系为：ω(k) = 2*sqrt(K/m)*|sin(ka/2)|声子色散关系描述了一维单原子链中的声子能量随波数变化的规律。
从这个关系式可以看出，一维单原子链中的声子有声学支和光学支两种振动模式，它们的能量随波数的变化方式不同。
1.3晶格振动
因
得
22 2ks/ m,
cos(qa)0
( A/B)2 0
说明：对于光学波，相邻两种不同原子的振 动方向是相反的。
当q很小时，即波长很长的光学波（长光学波）， cos(qa)1，
又
由
22=2ks/ ，
-(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0
得
( A/B)2 =-M/m
mA+MB=0
波恩和卡门把边界对内部原子的振动状态的影响考虑成 如下面所述的周期性边界条件模型（包含N个原胞的环 状链作为有限链的模型）： 包含有限数目的原子，保持所有原胞完全等价。
如果原胞数N很大使环半径很大，沿环的运动仍可以 看作是直线的运动。
和以前的区别：需考虑链的循环性。即原胞的标数增 加N，振动情况必须复原。
说明波矢空间具有平移对称性,其周期为第一布里渊 区边长.
由布里渊区边界 得： / 2 = a q= /a=2 /
满足形成驻波的条件
q= ±/a正好是布里渊区边界，满足布拉格反射条 件，反射波与入射波叠加形成驻波。
入射波
反射波
(3) 分析讨论 一维单原子简谐振动的波函数：xn=Aei{t-qna} 将波矢 ： q=2s/a+q´（为任意整数）代入
正的q对应在某方向前进的波，负的q对应于相 反方向进行的波。
（2）频谱图
色散关系为周期函数； 当q=0时，=0 当sin(qa/2)=1时，有最大值， 且max=2(ks/m)1/2 max max
-2/a
-/a
0
/a
2/a
一维不喇菲格子振动的频谱
有：
(q)= (q+2 /a)
晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体在作振动， 其结果表现为晶格中的格波。
晶格振动谱的实验测定11
本节主要内容:
一、 中子的非弹性散射
二、 可见光的非弹性散射
晶格振动谱的实验测定
晶格振动的频率与波矢 q 之间的关系 (q )称为格波的色 散关系，也称为晶格振动谱。 实验方法主要通过中子、光子、 X射线与晶格的非弹性 散射；而热中子的非弹性散射是最常用的方法，因为热中子 的能量和动量与声子的产生或湮灭所需的对应值在同一数量 级，所以在散射时，入射中子的能量与动量有显著变化。 把晶格振动用准粒子—声子来描述，外部粒子和晶格相互作 用后的能量和动量的变化传递给了声子，则外部粒子和声子之 间满足能量和动量守恒(下面为简单，仅考虑一个声子的情况)。 设入射粒子能量为 ，初动量为P；和晶体相互作用后能量 为/ ，末态动量为： P/.则对入射粒子有：
Atot e
i ( k k ) Rn
it [1 i(k k ) un (t )]e
和项(亦即只考虑与非弹性散射有关的项)，得：
Atot e
inel n
i ( k k q ) Rn
i ( ( q )t s (k k ) u0 s e
e
i ( k k ) u n ( t ) 由于un (t )为小量，则：e 1 i(k k ) un (t )
Atot e
n
i ( k k ) Rn
it [1 i(k k ) un (t )]e
由此就解释了引入声子以后入射粒子发生非弹性散射时满足 能量和动量守恒的原因。
—这就是与非弹性散射有关的振幅。
中子的非弹性散射，即利用中子的德布罗意波与格波的相互作 用。 由于中子能量一般为0.02-0.04eV，与声子的能量是同数量级； 中子的德布罗意波长约为2-3×10-8cm，正好是晶格常数的数量 级。因此提供了确定格波q，ω 的最有利条件；实验上已经对相 当多的晶体进行了中子非弹性散射的研究。 中子的非弹性散射目前是测定声子谱最有效的方法。
确定晶格振动谱的实验方法
域内的声子，即长波声子。
(1)布里渊散射：光子与长声学波声子的相互作用；
(2)拉曼散射：光子与光学波声子的相互作用；
(3)斯托克斯散射：散射频率低于入射频率的散射(发射声子)
(4)反斯托克斯散射：散射频率高于入射频率的散射（吸收声子） 2.X-射线散射 X光光子能量---104eV 声子能量---102eV 能量变化很少，不易测量。
“-”表示发射一个声子
Ω Ω k k q K h
k 和代表入射光的波矢和能量，
代表出射光的波矢和能量。 Ω k 和
可见光范围，波矢为105cm-1的量级，故相互作用的声子的
波矢也在105cm-1的量级，只是布里渊区中心附近很小一部分区
“+”表示吸收一个声子
“-”表示发射一个声子
P ' P q K h
固定入射中子流的动量 p ， E
P2 ； 2M n 2 P 测出不同散射方向上的动量 p ， E 2M n
(q )
2.仪器
单色器
布拉格反射产生单色 的动量为P的中子
Pb的声子谱
4.5.2 光的散射和X-射线散射
1.光的散射 光子与晶体 的相互作用 光子吸收或发射声子 非弹性散射 光子与晶体中声 子的相互作用
散射过程满足能量守恒和准动量守恒。
Ω Ω “+”表示吸收一个声子 k k q K h
中子源
准 直 器
2
准直器
样品
分析器
反应堆中产生 的慢中子流
探测器
布拉格反射产生单色 的动量为P的中子
中子谱仪结构示意图
固体物理：第三章 晶格振动总结-
..
x m 2n1 x2n2 x2n 2 x2n1
x2n1 Aei t 2n1aq
2n+2
O A
x2n Bei t2naq
π
o
πq
2a
2a
2 {(m M ) m2 M 2 2mM cos 2aq}
mM
π q π
2a
2a
x x , 2n
2(n N )
三维晶格振动、声子
；
(3)设晶体由N个原子组成,共
有3N个频率为的振动。
E
3N
e kBT
1
1 2
德拜模型 (1)晶体视为连续介质,格波视 为弹性波； (2)有一支纵波两支横波；
(3)晶格振动频率在 0 ~ D 之间 (D为德拜频率)。
E
D 0
e kBT
1
1 2
(
)d
9N
3 D
2
爱因斯坦模型
CV
3 Nk Bf E
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目 或格波振动模式数目是否是一回事？
• 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨 论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中 的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近
似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效 成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动
长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程
离子晶体的长光学波
W
b11W
b12 E
P b21W b22E
(1) ---黄昆方程 ( 2)
(1)式代表振动方程，右边第一项
b11W
为准弹性恢复力，
固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质
3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性， 仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波 才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子 振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原 子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值 限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式
a
)
5.3 晶格振动谱的实验测定
满足了实验中高分辨率的需要； 有效的提高散射信号的强度。
激光技术的进步
激光的高强度
光子与晶格的非弹性散射
入射光子的频率和波矢 , k 散射光子的频率和波矢 , k
入射光子受到声子散射，变成散射光子，与此同时在晶格中产生， 或者吸收一个声子
(q ), q
光子与声子的作用过程满足
能量守恒 ' (q ) 动量守恒 k 'k q Gn
—— 可见光或红外光k很小，光 子与光波声子发生相互作用，要 求声子的波矢q必须很小 —— 光子的拉曼散射只限于光子与长光学波声子的相互作用
10 13 ' 3 10 ~ 3 10 Hz 散射光和入射光的频率位移
3. X光非弹性散射
—— X光光子具有更高的频率(波矢可以很大)，可以用来研究声 子的振动谱
—— X射线的能量 ~10 -4eV 远远大于声子能量 ~10 -2eV
—— 在实验技术上很难精确地直接测量X光在散射前后的能量差， 因此确定声子的能量是很困难的
5.3.1中子的非弹性散射
s (q Gh ) s (q )
2 2
（5.3-2）式得到的结果代入（5.3-1）式后有：
p' p ( p' p) s 2M n 2M n
M n是中子
+,-号分别对 应于吸收和 放出一个声 子
的质量
在给定的实验中，入射中子的能量和动量是已知的。选择任一特定 p ' 值，相应于具有分 方向对散射中子进行测量，会得到一些分立的 2 p' 立的能量 ' 。由此可以得到晶体具有频率为 ( ' ) / 的简正 2M n 模，相应的波矢为 ( p' p) / ，从而测量到晶体声子谱中的一点。 改变入射中子的能量，晶体的取向，探测的方向，最终可测出晶体 的整个声子谱。
晶体中晶格振动频谱的非谐性效应探究
晶体中晶格振动频谱的非谐性效应探究晶体是由排列有序的原子、离子或分子构成的固体。
在晶体中，晶格振动频谱是描述晶体内原子或离子围绕其平衡位置振动的频率分布。
传统的晶格振动频谱假设晶体中原子或离子的振动是谐振子，即其振动是线性的，并且与晶体中其他原子或离子的振动无关。
然而，实际晶体中的晶格振动往往受到非谐性效应的影响，这导致了晶格振动频谱的一些特殊行为。
非谐性效应来源于晶体中原子或离子间的相互作用，这种相互作用本质上是非线性的。
在非谐性振动中，晶格振动的幅度会随着振动的能量增加而变化，这容易导致晶格结构的失稳现象。
非谐性振动可通过分析原子间势能函数的非线性项来建模。
最简单的非线性势能函数是二次谐振子势能函数的修正，其形式为：V(x) = (1/2)kx^2 + (1/3)γx^3 + (1/4)δx^4其中，V(x) 是势能函数，k 是线性弹性常数，γ 是非谐性常数，δ 是更高阶非线性常数。
这个势能函数能够描述晶体中原子或离子振动的非谐性行为。
非谐性振动导致晶体中振动模式的频率发生变化。
传统的谐振子模型中，振动频率只与弹性常数 k 相关。
而在非谐性振动中，振动频率会因为非线性项的存在产生偏移。
随着振动幅度增加，振动频率随之发生改变，呈现出蓝移或红移的现象。
此外，非谐性效应还会引起晶体中的声子相互作用。
声子是描述固体中振动的量子，对于任何晶体，都存在一系列不同的声子模式。
在非谐性振动中，声子之间可以发生相互转化，例如三声子相互作用过程。
这些声子相互作用直接影响晶体的热传导性质和声学性质。
非谐性振动的实验观测可以通过许多技术手段进行，例如拉曼光谱、中子散射和红外光谱等。
这些实验方法可以用来研究晶体中声子的频率和幅度。
通过分析实验结果，可以确定晶体中非谐性效应的程度和影响。
对于晶体中晶格振动频谱的非谐性效应进行深入研究，不仅可以帮助我们更全面地理解晶体的结构和性质，还可以为设计新型材料和开展热传导研究提供有价值的参考。
第三章--晶格振动
可以确定ω (q)，
—— 中子的能量 ~ 0.02~0.04 eV —— 声子的能量 ~ 10 –2 eV
测得各个方位上入射中子和散射中子的能量差
—— 确定声子的频率 E 'n En (q)
根据入射中子和散射中子方向的几何关系
—— 确定声子的波矢
第三章 晶格振动
X光子的频率比声子高得太多 X光子受到声子散射后，其频移非常小，
这在测量上是相当困难的。
第三章 晶格振动
目前最方便和有效的测量声子谱的方法是 用中子的非弹性散射方法。
慢中子的能量和动量都和声子相差不太远
可以较易测定被声子散射前后中子能量和 动量的变化，
较易获得声子能量（频率）和动量（波矢） 的信息，即能方便地获得声子谱
由于声子频率远小于光子，碰撞后光子的
频率改变很小，可以认为：
我们有k≈k′
第三章 晶格振动
这样据图3.5，声子波矢可由下式得到
q 2k sin
2
图3.5 光散射过程中晶 格动量守恒示意图
第三章 晶格振动
这样根据光子与声子碰撞后的频移，可以 得到声子的频率。
由光子波矢方向的改变，可得声子的波矢
表示在单位体积内，频率在ω 到ω +dω 范围内 的振动模式数目
E 0 (
1
1)g() d 2
ekBT 1
第三章 晶格振动
3.5.2频谱密度
如果知道g(ω )，积分是可以计算的。
定义： g() lim Δn dn 0 Δω dω
dn为频率在ω 到ω +dω 范围内的振动模式 数目
第三章 晶格振动
第11、12讲、离子晶体的长光学波和晶格振动谱的确定方法
19
ω＋ ω = cq ε ( ∞)
ωLO ωTO
q →0 c ω− ≈ q ε ( 0)
低频(低于晶格振动频率) 低频(低于晶格振动频率)的电磁波 ω+ ≈ ωLO
(1)
(
(
)
)
(2) (3) (4) (5) (6)
−ω2W 0 = b W 0 + b E0 11 12 P0 = b W 0 + b22 E0 12
代回方程
16
q× E0 = µ0ωH0 q× H0 = −ω ε0 E0 + P0 q ⋅ ε0 E0 + P0 = 0 q ⋅ H0 = 0
(1)
3
原胞中的两个正负离子质量 两个正负离子的位移 描述长光学波运动的宏观量
——原胞体积 ——原胞体积 黄昆方程
——约化质量 ——约化质量
ɺɺ W = b11W + b12E P = b21W + b22E
唯象方程
P and E —— 宏观极化强度和宏观电场强度
4
—— 离子相对运动的动力学方程
——宏观电场产生的附加极化 宏观电场产生的附加极化 —— 正负离子相对运动位移产生的极化 1) 静电场(恒定电场)下晶体的介电极化 静电场(恒定电场 恒定电场)下晶体的介电极化 恒定电场下
对于纵波： 对于纵波：
2 LO
q ⋅ E0 ≠ 0
ε ( 0) 2 ∴ω = ω0 ε ( ∞)
b2 12 ε0 + b22 − =0 2 b + ωLO 11
确定晶格振动谱的实验方法课件
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8
斯托克斯散射：散射频率低于入射频率的散射； 反斯托克斯散射：散射频率高于入射频率的散射。
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9
(1)布里渊散射：光子与长声学波声子的相互作用；
长声学波声子, q→0, q<<Ω
由
||ΩkurΩkr
| |
qv
，
ur r k k
Q=ck,' n
r k'
q2ksin k
P
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17
P'2 P2 (q )
固定入射中子流的动量 p，E P 2
测出不同散射方向上的动量
p
2M
，E
n
2Mn 2Mn
； P v ' P v h q v h K v h
P2
(q)
2.仪器
2M n
单色器
布拉格反射产生单色 的动量为P的中子
中子源
反应堆中产生 的慢中子流
2
准 直 器 样品
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11
学习交流PPT
12
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13
2.X-射线散射
为了能测出更大波矢范围内的振动谱，就得采 用更大波矢的光子
X光的波长范围为10-7-10-11m，可以用来测定相当大波矢
量范围内的振动谱。 当这时候，不满足q→0，
q2ksink不 再 适 用
2
由||ΩkurΩkr ||qv 来求
2
r
q
r
k
测出一系列的θ，可以求出q,从而得到ω与q的关系曲线
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(2)拉曼散射：光子与光学波声子的相互作用；
拉曼散射中所用的红外光的波长在10-3-10-6m的范围， 与红外光相互作用的格波的波长也应该是同数量级的。
晶格振动谱的实验测定方法
2020年4月28日星期二
实验测定晶格振动谱的意义
☆晶格振动是影响固体很多性质的重要因素， 而且只要 T≠0K，原子的热运动就是理解固体 性质时不可忽视的因素。所以从实验上观测晶格 振动的规律是固体微观结构研究的重要内容。
☆晶格振动规律主要通过晶格振动谱反映：
1. 晶格振动色散关系 ω = ω j (q)
2. 态密度：g (ω) = f (ω)
测定的原理：通过辐射波和晶格振动的相互作用来完成 。
研究声子谱（振动谱）的实验方法
其中最重要、最普遍的方法是：
Far- Infrared and
(FIR)
电 磁
Infrared Spectroscope
(IR)
波 Raman Spectroscope
(R)
固体光散射
弹性与非弹性散射 布里渊散射与喇曼散射
几种散射的性质
散射类型 瑞利散射 喇曼散射(S) 喇曼散射
(AS)
布里渊散射
频率
S= I S=I-q AS=I+q
同上
波矢 KS=KI KS=KI-q KAS=KI+q
同上
强度
I4 IS3 IAS3
同上
偏振 改变 改变 改变
同上
非弹性X-射线散射
光折变效应的物理机制
迁移的载流子又可以被陷阱中心俘获，它 们经过激发、迁移、俘获、再激发……直 至到达暗区被处于深能级的陷阱重新俘获 。形成了正、负电荷的空间分离，这种空 间电荷的分离与光强的空间分布相对应。
这些光致分离的空间电荷在晶体内建立了 空间电荷场。
光折变效应的物理机制
空间电荷场又通过电光效应在晶体内形成 了与光强的空间分布相对应的折射率变化 。
晶格振动对晶体的许多性质有影响
若A、B有异于零的解，则其行列式必须等于零，
即
2ks-m2 -2kscosqa
-2kscosqa 2ks-M2
得： 2={(m+M)[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
说明：频率与波矢之间存在着两种不同的色散关系， 即对一维复式格子，可以存在两种独立的格波（对于 一维简单晶格，只能存在一种 格波）。两种不同的格 波各有自己的色散关系：
四、 周期性边界条件（波恩—卡门边界条件）
由振动 波函数单值的要求，对波矢的取值范围进行了 限定:一维不喇菲格子，q介于(-/a, /a)之间;一维双原 子的复式格子，q介于(-/2a, /2a)之间.
波恩和卡门把边界对内部原子的振动状态的影响考虑成 如下面所述的周期性边界条件模型（包含N个原胞的环 状链作为有限链的模型）：
晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体在作振动， 其结果表现为晶格中的格波。
一般而言，格波不一定是简谐波，但可以展成为简 谐平面波的线性叠加。
当振动微弱时，即相当于简谐近似的情况，格波为简 谐波。此时，格波之间的相互作用可以忽略，可以认 为它们的存在是相互独立振动的模式。
例如：波矢q´ =/2a原子的振动同样可以当作波矢q =5/2a的原子的振动（ q -q´ =2/a）。
•
•••
红线： q =5/2a, =4a/5 两相邻原子振动的位相 差是2+ /2。
•
绿线： q´ =/2a，=4a
两相邻原子振动的位相
差是/2。
格波与一般连续介质波的比较
A：振幅； ：角频率； 0 1 2 3 4 n：1，2，3，4……N； aq：相邻原子的位相差； naq：第n个原子振动的位相差。 此式说明所有原子以相同的频率和相同的振幅振动。
固体物理学3晶格振动
第三章 晶格振动与晶体热力学性质3-1 一维晶格的振动一、 一维单原子链(简单格子)的振动 1. 振动方程及其解(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a ，原子质量为m 。
用xn 和xk 分别表示序号为n 和k 的原子在t 时刻偏离平衡位置的位移，用x nk = x n -x k 表示在t 时刻第n 个和第k 个原子的相对位移。
(2)振动方程和解平衡时，第k 个原子与第n 个原子相距0r a k n =-)(r u 为两个原子间的互作用势能，平衡时为)(0r u ，t 时刻为)()(0r r u r u δ+=)()(0r r u r u δ+=⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3332220)(d d 61)(d d 21d d )(000r r u r r u r r u r u r r r δδδ ⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=3332220000d d 61d d 21d d )()(nk r nk r nk r x r u x r u x r u r u r u 第 n 个与第 k 个原子间的相互作用力:⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=2332200d d 21d d d d nk r nk r nkx r u x r u r u f 振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（δr ）二次方以上的高次项---简谐近似。
(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。
) 得: nk nk r nkx x r u f β-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022d d 022d d r r u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=β()k n kn x x f --=∑β原子的振动方程: ()k n knx x mx--=∑β..只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：()()11..+-----=n n n n x x x x n m x ββ ()11..2+----=n n n x x x nm x β给出试探解：()naq t i n A x --=ωe ])1([1e aq n t i n A x +--+=ω原子都以同一频率ω，同一振幅A 振动,其中naq 表示第n 个原子在t=0时刻的振动相位，相邻原子间的位相差为aq 。
高二物理竞赛确定晶格振动谱的实验方法课件
hwj ln exp njb hwj 1
1
E频0率不变的弹性散射hw光g，ω称d为wRa用yleig可h散射见；光散射方法只能测定原点附近的很小一部分
中子的de Broglie波长： 2 ~3×10－10 m （2 ~ 3Å）， 正好与晶格常数同数量级，可直接准确地给出晶格振动 谱的信息。
E1和p1 （E2和p2 ）长：入波射（声出射子）中的子的振能量动与动谱量 ，而不能测定整个晶格振动谱，这是
设： a ＝ a0 ＋ Da
光可见散射法的最根本缺点。 感应的偶极矩将向空间辐射电磁波，形成散射光。
入射光较弱时：p＝aE
§1、确定晶格振动谱的实验方法
将发生或吸收声学声子的散射称为Brillouin散射。
三、X光的非弹性散射 X光光子的波长~1Å的数量级，其波矢与整个布里渊
区的范围相当，原则上说，用X光的非弹性散射可以研究 整个晶格振动谱。
缺点：一个典型X光光子的能量为~104 eV，一个典型声 子的能量为~10－2 eV 。一个X光光子吸收 （或发射）一个 声子而发生非弹性散射时，X光光子能量的相对变化为 10－6 ，在实验上要分辨这么小的能量改变是非常困难的。
局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况。
Pb的晶格振动谱
Si GaAs
二、可见光的非弹性散射 我们将发射或吸收光学声子的散射称为Raman散射
； 将发生或吸收声学声子的散射称为Brillouin散射。 能量守恒和准动量守恒 （单声子过程）：
{ hw2 hw1 hw q hk2 hk1 hq
Brillouin散射：频移w2－w1介于107 ~31010 Hz
20144晶格振动的实验研究解析
非反射方向！！
上图中的没有发生频率变化的中心线不是被声子散射的， 而是样品中静态杂质引起的瑞利散射。漂移小的显然是声学声 子引起的布里渊散射，在长波阶段，声学声子的色散关系是：
(q) vsq 代入②式后，有：
q
2k0
s in
2n
0 c
s in
vsq
2n0
vs c
s in
为避免入射光的干扰，测量常常在是在垂直入射束的角度
单晶硅 q＝0 的长光学模在不同温度下的一级喇曼光谱。 明显看出发射声子的反应截面要高于吸收声子的反应截面
四. 远红外和红外吸收光谱：
电磁波能量进一步降低是红外和远红外光，它们的能量 和晶格振动光学支处于同一量级，因此它们和晶格振动的相 互作用就可能变为对入射光的吸收。
红外吸收一般发生在极性晶体中，是横光学支（TO）
4.4 晶格振动的实验研究
一. 一般描述 二. 非弹性X-射线散射 三. Raman 散射和Brillouin 散射 四. 远红外和红外吸收光谱 五. 非弹性中子散射
由于多种原因，我国晶格振动的实验观测相对落后， 各种固体教材中介绍该内容相对较少，应该予以弥补。
一. 一般描述： 从上面讨论中我们已经看到：晶格振动是影响固体很多
声子的吸收，它测出的是 TO
红外吸收谱的宽度与阻尼系数有关，吸收谱的宽度可以 用来衡量阻尼作用的大小。
纵向关学声子 LO 一般不参加一级红外吸收过程，这
是因为光的横波性，光只能和横光学声子发生耦合。
在研究晶体光学支振动上，红外吸收和喇曼散射光谱相 互补充、相辅相成。
吸收发生在TO声 子处，307 cm-1 NaCl晶体的吸收 蜂：162 cm-1
大，特别是同步辐射光源的建立为晶格振动的研究带来很 多方便。 3. 我国在这方面开展的工作尚不多，应该引起重视。
晶格振动谱的实验测定方法
研究声子谱（振动谱）的实验方法
其中最重要、最普遍的方法是：
Far- Infrared and
(FIR)
电 磁
Infrared Spectroscope
(IR)
波 Raman Spectroscope
(R)
Brilouin Spectroscope (B)
① k k 0+ q
0 ± (q)
为区分清楚，这里电磁波频率
和波矢用 , k 表示，
声子用 , q 表示 。
电磁波散射前后频率和波矢变化的测量可以给出某一支声子
的色散关系： j f (q)
X-射线被声子散射的示意图
振动着的晶格起着一组间距 等于λ的平面的作用，吸收q 声子和发射 q声子导致相同 的动量守恒。两个过程在检 测器内可以同时观察到，不 过他们的频率不同。
格中产生，或者吸收一个声子 ☆散射光子的频率和波矢
晶格振动频谱的测定方法
☆能量守恒： ☆动量守恒：k
q
k
“+” 号对应吸收一 个声子，“-”号对 应放出一个声子
k
q
k
k k
3(n-1)支光学波（包括横波和纵波）
金刚石的振动谱
晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn
cc
Pb和Cu的振动谱
ak
aj ai
光波与晶格作用的现象
固体的红外波段吸收
固体吸收光谱的主要特征
基本吸收区：
价带（电子）导带，伴随光电导，105~106 cm-1
激子吸收峰：激子态
自由载流子吸收：导带（价带）中的电子（空穴）
晶格玻尔兹曼法
晶格玻尔兹曼法
晶格玻尔兹曼法是一种在固体中研究热输运和电输运的有效方法，因为它不仅考虑了
传统的纯色散弛射机制，同时还考虑了散射机制中的非色散性。
因此，晶格玻尔兹曼法可
以用来研究混合物、微观结构、表面效应以及更复杂的材料现象。
使用晶格玻尔兹曼法进行计算时，需要考虑以下几个方面：
1. 晶格振动
晶格振动是晶体中一种基本的运动方式，这种运动是由于离子之间的相互作用所产生的。
在晶格玻尔兹曼法中，需要针对晶格振动的本征频率和本征态进行计算。
2. 电子态密度
由于输运过程会受到电子态密度的影响，因此在晶格玻尔兹曼法中必须确保电子态密
度的正确估计。
这通常需要使用一些定量的方法来处理。
3. 散射机制
晶格玻尔兹曼法还需要建立一个良好的散射机制模型，以便准确描述散射机制对输运
的影响。
在晶格玻尔兹曼法中，存在两种基本的散射机制：布里渊散射（phonon-phonon scattering）和散射中心导致的声子散射（phonon-impefect scattering）。
4. 算法和数值方法
最后，在晶格玻尔兹曼法中需要使用一些特定的算法和数值方法来求解玻尔兹曼方程。
这些方法包括Monte Carlo方法、多格子方法、有限差分方法和谱方法等等。
总之，晶格玻尔兹曼法是一种非常重要的计算输运性质的方法，它可以用于研究各种
不同的材料，对于材料科学和工程领域都有着重要的应用价值。
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能量守恒
p '2 p2 (q)
2Mn 2Mn
: (q) Absorb a Phonon : (q) Emit a Phonon
动量守恒
p
p'
q
Gn
倒格子矢量
声子的准动量 q
03_06_确定晶格振动谱的实验方法 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 中子的能量 ____ 0.02~0.04 eV
k 'k
q
Gn
—— 可见光或红外光k很小，
光子与光波声子发生相互作用，
要求声子的波矢q必须很小
—— 光子的拉曼散射只限于光子与长光学波声子的相互作用 散射光和入射光的频率位移
03_06_确定晶格振动谱的实验方法 —— 晶格振动与晶体的热学性质
3. X光非弹性散射 —— X光光子具有更高的频率(波矢可以很大)，可以用来研 究声子的振动谱 —— X射线的能量 ~10 -4eV 远远大于声子能量 ~10 -2eV —— 在实验技术上很难精确地直接测量X光在散射前后的能 量差，因此确定声子的能量是很困难的—— 声Βιβλιοθήκη 的能量 ____ ~10 –2 eV
两者具有相同的数量级
测得各个方位上入射中子和散射中子的能量差
—— 确定声子的频率 E 'n En (q)
根 ——据入确射定中声子子和的散波射矢中子p方向p的' 几何q关系Gn
—— 得到声子的振动谱 (q) ~ q
—— 从反应堆出来的慢中子的能量与声子的能量接近，容易 测定中子散射前后的能量变化，直接给出声子能量的信息
03_06_确定晶格振动谱的实验方法 —— 晶格振动与晶体的热学性质
1) 光子与长声学波声子相互作用 —— 光子的布里渊散射 长声学波声子 光子的频率
如果光子波矢与声子波矢大小近似相等 —— 可见光光子的波矢 ~105 cm-1
—— 光子被长声学波声子散射，人射光子与散射光子的波 矢大小近似相等
03_06_确定晶格振动谱的实验方法 —— 晶格振动与晶体的热学性质
长声学波声子的波矢近似地写成
—— 不同角度方向测得散射 光子的频率，得到声子频率
声子的波矢 声子振动谱 散射光和入射光的频率位移
—— 布里渊散射
03_06_确定晶格振动谱的实验方法 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2. 光子与光学波声子的相互作用 —— 光子的拉曼散射
能量守恒 ' (q)
动量守恒
03_06_确定晶格振动谱的实验方法 —— 晶格振动与晶体的热学性质
§3.6 确定晶格振动谱的实验方法 晶格振动的频率和波矢间的关系 —— 晶格振动的振动谱 晶格振动的振动谱测定方法 —— 中子非弹性散射 —— X射线散射 —— 光子与晶格的非弹性散射 1. 中子非弹性散射 入射晶体时中子的动量和能量
出射晶体后中子的动量和能量
03_06_确定晶格振动谱的实验方法 —— 晶格振动与晶体的热学性质
03_06_确定晶格振动谱的实验方法 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2. 光子与晶格的非弹性散射
入射光子的频率和波矢
散射光子的频率和波矢 入射光子受到声子散射，变成散射光子，与此同时在晶格 中产生，或者吸收一个声子
光子与声子的作用过程满足
能量守恒 ' (q)
动量守恒
k 'k
q
Gn
—— 固定入射光的频率和入射方向，测量不同方向的散 射光的频率，可以得到声子的振动谱