2021年七年级数学下册专题精讲-平行线的判定
人教版七年级数学课件《平行线的判定》
B.①③
C.①④
D.③④
2.如图，下列条件中,能判断直线.l1//l2的是( B )
A.∠2=∠3
C.∠4+∠5=180°
B.∠1=∠3
D.∠2=∠4
达标检测
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3.如图，下列条件中，能判断直线l1//l2的是( C )
A.∠1=∠2
C.∠1+∠3=180°
B.∠1=∠5
D.∠3=∠5
得∠1=∠2(等量代换)，
内错角相等，两直线平行
所以_________(________________________)．
AE∥GF
针对练习
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已知如图所示，∠ = ∠，点、、在同一条直线上，
∠ = ∠ + ∠，且平分∠，试说明 ∥ 的理由．
复习回顾
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如何用直尺和三角板过直线AB外一点P做AB的平行线CD.
知识精讲
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在用直尺和三角尺画平行线的过程中，直尺和三角尺分别
起着什么样的作用？
知识精讲
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可以看出，画直线AB的平行线CD，实际上就是过点P画与∠2
在用直尺和三角尺画平行线的过程中，直尺和三角尺分别
4.如图，下列结论中正确的是( C)
A.若∠1=∠4，则m//c
B.若∠1=∠2，则a//b
C.若∠1+∠3=180，则n//c
D.若∠2+∠3=180°，则m//n
达标检测
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5.如图(1)，光线AB,CD被一个平面镜反射，此时
∥
CD
∠1=∠3,∠2=∠4，则AB // _____,BE_____DF.
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
数学《平行线的判定》知识点初一年级
2021数学?平行线的断定?知识点初一年级
查字典数学网给大家整理平行线的断定知识点，大家可以参考阅读，希望能帮助大家获得好成绩。
1、平行线的概念
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行用符号‖表示，如AB‖CD，读作AB平行于CD。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
注意：
(1)平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
(2)当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
2、平行线公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的断定
平行线的断定公理：两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么两直线平行。
简称：同位角相等，两直线平行。
平行线的两条断定定理：
(1)两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么两直线平行。
简称：内错角相等，两直线平行。
(2)两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，那么两直线平行。
简称：同旁内角互补，两直线平行。
补充平行线的断定方法：
(1)平行于同一条直线的两直线平行。
(2)垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
4、平行线的性质
(1)两直线平行，同位角相等。
(2)两直线平行，内错角相等。
(3)两直线平行，同旁内角互补。
有了上文梳理的平行线的断定知识点，相信大家对考试充满了信心，同时预祝大家考试获得好成绩。
7年级数学 平行线判定及性质 (1)
D EEF1 23 A CO知识精讲7 年级数学下：平行线的性质定理模块一：平行线的性质定理平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补． 例题解析【例 1】如图，AC //DB ， ∠DBC = 56 ，则∠ACB = ． 【答案】124 度．【解析】因为 AC //DB （已知）， 所以∠DBC + ∠ACB = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补），因为∠DBC = 56 （已知），所以∠ACB = 180︒ - 56︒ = 124︒ （等式性质）D B【例 2】（1）如图，已知 DE //BC ，∠A = ∠C ，则与∠AED 相等的角（不包含∠AED ）有 个；（2）如图，若 AB //FD ，则∠B = ，若 AC //ED ，则∠DFC = ．AAB C 【答案】（1）2 个；（2） ∠3 ；∠2．B D 【解析】（1）因为 DE //BC （已知）， 所以∠AED = ∠C （两直线平行，同位角相等），又因为∠A = ∠C （已知），所以∠A = ∠C = ∠AED （等量代换）；（2）∠B = ∠3（两直线平行，同位角相等）；∠DFC = ∠2． 【例 3】如图，直线 a / /b ，则 x - y 的值等于（ ） aA ．20B ．80C ．120D ．180 b【答案】A【解析】因为 a / /b ，所以 x = 30又因为3y + x = 180 ，解得 y = 50 ，故 x - y = 30 - 50 = 20︒ ．【例 4】如图，直线 a / /b ，点 B 在直线b 上，且 AB ⊥ BC ， ∠1 =A ． 35B ． 45C ． 55D ．125【答案】A 【解析】因为 AB ⊥ BC （已知），所以∠ABC = 90︒ （垂直的意义）因为 a / /b （已知）， 所以 ∠1 = ∠CBD （两直线平行，同位角相等） 因为∠1 = 55 （已知）， 所以∠CBD = 55 （等量代换）因为∠2 + ∠ABC + ∠CBD = 180 （平角的意义）所以∠2 = 180︒ - 55︒ - 90︒ = 35︒ （等式性质）B【例5】如图，直线a / /b ，c ⊥d ，则下列说法中正确的个数有（）（1）∠2 +∠4 = 90 ；（2）∠1 +∠4 = 90 ；（3）∠1 =∠3 ；（4）∠3 +∠4 = 90 ．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】B【解析】（1）正确：因为a / /b ，所以∠2 与∠3 互为同位角，d又因为c ⊥d ，所以∠3 +∠4 = 90︒，所以∠2 +∠4 = 90︒；（2）错误：∠1 =∠4 （两直线平行，同位角相等）；（3）错误∠1 +∠3 = 90︒；（4）正确．所以本题选B【例6】如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（）A．相等或互补B．互补C．相等D．相等且互余【答案】A【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A．【例7】如图，已知AB / /CD ，∠x 等于（）A．75 B．80 C．85 D．95 【答案】C【解析】如图可过的顶点作平行线，那么被分为上下两部分．上半部分与角B 互补；下半部分与角D 互为内错角；所以易知∠x = (180︒-120︒) + 25︒= 85︒．A B120°xD 25°C【例8】如图，AB / /CD，MP / / AB，MN 平分∠AMD，∠A = 40 ，∠D = 30 ，则∠NMP 等于（）A．10 B．15 C．5 D．7.5 【答案】C【解析】因为AB / /MP （已知）所以∠A =∠AMP （两直线平行，内错角相等）因为AB / /CD （已知），所以MP / /CD （平行的传递性）所以∠D =∠DMP （两直线平行，内错角相等）B MCAN PD因为∠AMD =∠AMP +∠DMP （角的和差），∠A = 40 ，∠D = 30 （已知）所以∠AMD = 30 + 40 = 70 （等式性质）因为MN平分∠AMD （已知），所以∠AMN =∠NMD = 35 （角平分线的意义）所以∠NMP = 40︒- 35︒= 5︒（等式性质）E【例9】如图，AB / /CD ，∠1 = (2x + 20) ，∠2 = (8x - 40) ，求∠1 及∠2 的度数．【答案】∠1 = 40︒，∠2 = 40︒． A1 B【解析】因为AB / /CD （已知），所以∠1 =∠2 （两直线平行，同位角相等）2 即(2x + 20) = (8x - 40) C DF 解得：x = 10所以∠1 = 40︒，∠2 = 40︒（等式性质）H 2G1C F D3 1 24【例 10】如图，已知∠1 = 40 ，∠2 = 140 ，∠3 = 40 ，能推断出 AB / /CD / / EF 吗？为什么？【答案】能；见解析． 【解析】由题意，根据对顶角的性质，可知：∠2 + ∠1 = 180︒，∠2 + ∠3 = 180︒ 所以 AB //CD ，CD //EF （同旁内角互补，两直线平行） 所以 AB //EF ，即 AB //CD //EF ，即证．N【例 11】已若∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，且∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，求∠A 与∠B 的度数．【答案】∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒ ．【解析】由题意可知， ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，所以∠A = 2∠B - 30︒ ，即∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．【例 12】已知：如图， ∠1 = ∠2 ，∠3 = ∠B ，AC / / DE ，且 B 、C 、D 在一条直线上．试说明 AE / / BD ．AE【答案】见解析． 【解析】因为 AC / / DE （已知）， 所以∠2 = ∠4 （两直线平行，内错角相等）因为∠1 = ∠2 （已知），所以∠1 = ∠（4 等量代换）所以 AB / /CE （内错角相等，两直线平行） 所以∠B = ∠ECD （两直线平行，同位角相等） B 因为∠3 = ∠B （已知），所以∠3 = ∠ECD （等量代换）所以 AE / / BD （内错角相等，两直线平行）【例 13】已知：如图，E 、F 分别是 AB 和 CD 上的点，DE 、AF 分别交 BC 于 G 、H ，∠ A = ∠ D ， ∠ 1= ∠ 2，试说明： ∠ B = ∠ C ．E 【答案】见解析 A B【解析】因为∠1 = ∠（2 已知），∠1 = ∠AHB （对顶角相等）所以∠2 = ∠AHB （等量代换）， 所以 AF / / E D （同位角相等，两直线平行） 所以∠D = ∠AFC （两直线平行，同位角相等）因为∠A = ∠D （已知）， 所以∠A = ∠AFC （等量代换）所以 AB / /CD （内错角相等，两直线平行）所以∠B = ∠C （两直线平行，内错角相等）【例 14】如图，直线 GC 截两条直线 AB 、CD ，AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平 分线，且 AE / /CF ，那么 AB ∥CD 吗？为什么？【答案】见解析 【解析】因为 AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线（已知）所以∠GAE = ∠EAB ，∠ACF = ∠FCD （角平分线的性质）因为 AE / /CF （已知），所以∠GAE = ∠ACF （两直线平行， 3A1 E2 D同位角相等）所以∠EAB =∠FCD（等量代换）所以AB / /CD ( 同位角相等，两直线平行)【例15】如图∠1 =∠2 ，DC / /OA ，AB / /OD ，那么∠C =∠B【答案】见解析【解析】因为DC / /OA （已知），所以∠COA =∠C（两直线平行，内错角相等），即∠COB +∠1 =∠C因为AB / /OD （已知），所以∠DOB =∠B即∠2 +∠COB =∠B ，又因为∠1 =∠2 （已知），所以∠B =∠C （等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．【例16】如图，已知AD 平分∠BAC ，∠1 =∠2 ，试说明∠1 =∠F 的理由．【答案】见解析F【解析】因为AD 平分∠BAC （已知），所以∠2 =∠BAD （角平分线的意义）因为∠1 =∠2 （已知），所以∠1 =∠BAD （等量代换）所以EF / / AD （同位角相等，两直线平行）所以∠F =∠2 （两直线平行，同位角相等） B C 所以∠1 =∠F （等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的运用．【例17】已知：如图，∠AGH =∠B，∠CGH =∠BEF ，EF⊥AB 于F，试说明CG⊥AB．【答案】见解析【解析】因为∠AGH =∠B （已知）C所以HG / /CB （同位角相等，两直线平行）所以∠CGH =∠BCG （两直线平行，内错角相等）E 因为∠CGH =∠BEF （已知），H所以∠BEF =∠BCG （等量代换）A B所以EF / /CG （同位角相等，两直线平行）G F因为EF⊥AB（已知），所以CG⊥AB．【例18】已知，正方形ABCD 的边长为4 cm ，求三角形EBC 的面积．D【答案】8 平方厘米． A E 【解析】由题意可知：三角形EBC 与正方形同底BC，且其高即是正方形的边DC，故三角形面积为正方形面积的一半：4 ⨯ 4 ÷ 2 = 8cm2C【例19】如图，AD//BC，BC =5AD ，求三角形ABC 与三角形ACD 的面积之比．2A D【答案】5: 2 ．4B CBD EA GD【解析】因为 AD / /BC （已知）所以三角形 ABC 与三角形 ACD 的高相等（平行线间的距离处处相等）所以 S ∆ABC : S ∆ACD = BC : AD = 5：2 （两三角形高相等，面积比等于底之比）【例 20】如图， AB / /GE ， CD / / FG ，BE =EF =FC ，三角形 AEG 的面积等于 7，求四边形 AEFD 的面积． 【答案】21 【解析】联结 BG 、CG ． 因为 AB / /GE（已知）所以 S∆BEG B = S ∆AEG （同底等高的两个三角形面积相等） E F C因为 BE =EF （已知）， 所以 S ∆BEG = S ∆GEF （等底等高的两个三角形面积相等）所以 S ∆AEG = S ∆GEF =7（等量代换）， 同理 S ∆GEF = S ∆DFG = 7 ．所以 S 四边形AEFD = S ∆AEG + S ∆GEF + S ∆DFG = 7 + 7 + 7 = 21．【例 21】已知 E 是平行四边形 ABCD 边 BC 上一点，DE 延长线交 AB 延长线于 F ，试说明CS ∆ABE 与S ∆CEF 相等的理由． 【答案】见解析 1A1 F【解析】因为 S △ADE = S △DCF = 2 S 四边形ABCD ，所以 S △CEF = S ∆DCF - S ∆DCE = 2S 四边形ABCD - S ∆DCE ， 所以 S = S - S - S = S - 1 S - S = 1 S - S∆ABE 四边形ABCD ∆ADE ∆DCE 四边形ABCD 2 四边形ABCD ∆DCE 2 四边形ABCD ∆DCE所以 S ∆ABE = S ∆CEF模块二：辅助线的添加例题解析 【例 1】如图，已知 AB ∥ED ，试说明：∠B +∠D ＝∠C ． 【答案】见解析 【解析】过点 C 作 AB 的平行线 CF ， 因为 AB ∥ED （已知） 所以 AB / /CF / / ED （平行的传递性）A BC F 所以∠B = ∠BCF ，∠D = ∠DCF （两直线平行，内错角相等）所以∠B + ∠D = ∠BCF + ∠DCF = ∠BCD （等式性质） E D【例 2】如图所示，已知， ∠A +∠B +∠C = 360︒ ，试说明 AE ∥CD ． 5F E【答案】见解析A E【解析】过点 B 向右作 BF //AE ， 所以∠A + ∠ABF = 180（︒ 两直线平行，同旁内角互补）因为∠A +∠B +∠C = 360︒ （已知）B F所以∠FBC + ∠C = 180︒ （等式性质） C D所以 BF / /CD （同旁内角互补，两直线平行）所以 AE / /CD （平行的传递性）【例 3】如图，已知：AB //CD ，试说明： ∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （至少用三种方法）．【答案】见解析 A【解析】方法一：连接 BD则∠EBD +∠EDB +∠E =180°（三角形内角和等于 180因为 AB //CD （已知），所以∠ABD +∠BDC =180°（两直线平行，同旁内角互补） C 所以∠ABD +∠EBD +∠EDB +∠BDC +∠E =360°，即∠B +∠D +∠BED =360°方法二：过点 E 作 EF //CD ，因为 AB / /CD （已知）， 所以 EF / / AB （平行的传递性）所以∠B +∠BEF =180°，∠D +∠DEF =180°（两直线平行，同旁内角互补）所以∠B +∠BEF +∠D +∠DEF =360°（等式性质）即∠B +∠D +∠BED =360°；方法三：过点 E 作 EF / / BA因为 AB / /CD （已知）， 所以 EF / / AB （平行的传递性）所以∠ABE + ∠BEF = 180︒ ，∠FED + ∠EDC = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补） 所以∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （等式性质）；方法四：过点 E 作 EF ⊥CD 的延长线与 F ，EG 垂直于 AB 的延长线于 G ，则有：∠B =∠BGE +∠GEB ，∠D =∠EDF +∠DFE ，所以∠B +∠D +∠BED =∠BGE +∠DFE +∠GED =180+180=360°．【例4】如图所示，在六边形 ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A =∠D ，∠B=∠E ，试说明 BC ∥EF 的理由．【答案】见解析 A F【解析】连接 AD 、BEB因为 AF ∥CD （已知） E所以∠FAD = ∠ADC （两直线平行，内错角相等） C D因为∠BAF = ∠CDE （已知）， 所以∠BAD = ∠ADE （等式性质）所以 AB ∥DE （内错角相等，两直线平行）所以∠ABE = ∠BED （两直线平行，内错角相等）因为∠ABC = ∠FED （已知）， 所以∠EBC = ∠BEF （等式性质）所以 BC ∥EF （内错角相等，两直线平行）【例 5】如图已知，AB //CD ，∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2 ∠CDE ，求∠E 和∠F 的关系．3 3【答案】∠E : ∠F = 3：2 ． C【解析】过点 E 、点 F 分别作 AB 的平行线 EG 、FH ． 6A BD2 1 因为 EG / / AB ，FH / / AB所以 AB / / EG / FH / /CD (等量代换)所以∠ABF = ∠BFH （两直线平行，内错角相等）所以∠CDF = ∠DFH （两直线平行，内错角相等）所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF （等量代换）同理： ∠BED = ∠DEG + ∠BEG = ∠ABE + ∠CDE （等量代换）因为∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2 ∠CDE3 3所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF = 2 (∠ABE + ∠CDE ) = 2∠BED3 3 所以∠E : ∠F = 3：2【例 6】如图，已知：AC //BD ，联结 AB ，则 AC 、BD 及线段 AB 把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何一个部分，当点 P 落在某个部分时，联结 PA 、PB ，构成 ∠ PAC 、∠ APB 、∠ PBD 三个角（提示：有公共角断点的两条重合的射线所组成的角是 0 °角）（1） 当点 P 落在第①部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB ；（2） 当点 P 落在第②部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB 是否成立?（3）当点 P 落在第③部分时，全面探究∠ PAC 、 ∠ APB 、 ∠ PBD 之间的关系是 ，并写出动点 P 的具体位置和相应的结论，选择其中一种加以证明．A 3 A 3C C C A 3 C2 1B 4 D B 4 D B 4 B 4 D【解析】（1）过点 P 作 PE // AC ．因为 AC / / BD ，所以 AC / / PE / / BD （平行的传递性）所以∠PAC = ∠APE ，∠BPE = ∠PBD （两直线平行，内错角相等）因为∠APB = ∠APE + ∠BPE （角的和差）所以∠APB = ∠PAC + ∠PBD （等量代换）（2）不成立，过点 P 作 AC 的平行线即可证明．（3）分类讨论如下：①当动点 P 在射线 BA 的右侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ；②当动点 P 在射线 BA 上时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB 或∠PAC = ∠PBD + ∠APB 或∠APB = 0︒，∠PAC = ∠PBD （任写一个即可） ③当动点 P 在射线 BA 的左侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ．2 P 1 A3 2 1随堂练习【习题1】 填空：（1） 如图（1），AB //CD ，CE 平分∠ACD ， ∠A = 120 ，则∠ECD ；（2） 如图（2），已知 AB //CD ， ∠B = 100 ，EF 平分∠BEC ， EG ⊥ EF ，则∠DEG = ．【难度】★G B AFC 【答案】（1）30°； （2）50°．E图（2） C【解析】（1）因为 AB ∥CD （已知），所以∠A + ∠ACD = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠A = 120 （已知）， 所以∠ACD = 180 -120 = 60 （等式性质）又因为 CE 平分∠ACD （已知）， 所以∠ECD =30°（角平分线的意义）（2）因为 AB ∥CD （已知）， 所以∠B + ∠BEC = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠B = 100 （已知）， 所以∠BEC = 180 -100 = 80 （等式性质）又因为 EF 平分∠BEC （已知）， 所以∠BEF =40°（角平分线的意义）因为 EG ⊥EF （已知）， 所以∠GEF = 90 （垂直的意义）因为∠DEG + ∠GEF + ∠CEF = 180 （平角的意义）所以∠DEG = 180 - 90 - 40 = 50 （等式性质）【总结】本题考查平行线的性质的运用．【习题2】 填空：（1）如图，直线 a / /b ，三角形 ABC 的面积是 42 cm 2 ，AB =6 cm ，则 a 、b 间的距离为 ；（2）如图，在三角形 ABC 中，点 D 是 AB 的中点，则三角形 ACD 和三角形 ABC 的面 积之比为 ．【难度】★ 【答案】（1）14 厘米 ；（2） 1 ．2 AD【解析】（1）三角形 ABC 的高为： 42 ⨯ 2 ÷离B 为 14 厘米； C（2）因为三角形 ACD 和三角形 ABC 高相等，所以面积之比等于底之比，即 S ∆ACD = S ∆ABC AD =1AB 2【总结】本题考查平行线间距离及同高等底的三角形面积的之比．A B E 图（1） D D ．【习题3】 如图，已知 FC //AB //DE ， ∠α : ∠D : ∠B = 2 : 3 : 4 ,则∠α 、∠D 、∠B 的度数分别为 ．【难度】★ 【答案】∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ． 【解析】因为 FC //AB //DE （已知），A 所以∠B + ∠CFB = 180 (∠D = ∠CFD （两直线平行，内错角相等）设∠α = 2x ，∠D = 3x ，∠B = 4x ，则可列方程：180 - 4x + 2x = 3x ，解得： x = 36︒则∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ．【习题4】 如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的 3 倍多 12°，则这两个角是( )．A ．42°和 138°B ．都是 10°C ．42°和 138°或都是 10°D ．以上都不对【难度】★★【答案】A【解析】由题意假设这两个角分别为 A 、B ，则有： ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 3 倍多 12°，则有： ∠A = 3∠B + 12︒ ，即180︒- ∠B = 3∠B + 12︒，解得：∠B = 42︒，∠A = 138︒ ．【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．【习题5】 如图，已知 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM ，∠1+∠2=90°，那么直线 PQ 、MN的位置关系．P Q【难度】★★ 【答案】见解析． 1【解析】因为 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM （已知） R所以∠PQN = 2∠1 ， ∠MNQ = 2∠2 （角平分线的意义）因为∠1+∠2=90°（因为），所以∠PQN +∠MNQ =180°（等式性质） 2 所以 PQ ∥MN （同旁内角互补，两直线平行） M N【总结】本题考查平行线的判定及角平分线意义的综合运用．【习题6】 如图，已知：AB ∥CD ，EF 和 AB 、CD 相交于 G 、H 两点，MG 平分∠BGH ，NH平分∠DHF ，试说明：GM ∥NH ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】 AB / /CD （已知） ∴∠BGH = ∠DHF （两直线平行，同位角相等） 又 MG 平分∠BGH ，NH 平分∠DHF ∴∠1 = 1 ∠BGH , ∠2 = 1 ∠DHF 2 2 ∴∠1 = ∠（2 等量代换） ∴GM / / H N （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定A B 12 OC BC M1【习题7】 如图所示，在直角三角形 ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，AB =5，三角形内一点 O 到各边的距离相等，求这个距离是多少．【难度】★★【答案】1． 【解析】设这个距离是 x ，则有：S ∆ABC = 6 = 1( AC + BC + AB ) ⨯ x = 6x ， 解得： x = 1 ． 2 【总结】本题可以用面积法求解比较简单．【习题8】 如图，已知 AB ，CD 分别垂直 EF 于 B ，D ，且∠DCF =60°，∠1=30°．试说明： BM / / AF ．A【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】因为 CD ⊥EF ， 所以∠CDF = 90 （垂直的意义） 因为∠DCF =60°（已知）， 所以∠F =30°（三角形的内角F 和等于 1D 80°） B E 因为∠1=30°（已知）， 所以∠1=∠F （等量代换）所以 BM ∥AF （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定及垂直的意义的综合运用．【习题9】 如图，已知直线l 1 / /l 2 ；（1）若∠1 = (x + 2 y ) ， ∠2 = x ， ∠4 = ( y + 30) 求∠1 ， ∠2 ， ∠4 的度数；（2）若∠2 = x ， ∠3 = y ， ∠4 = [2(2x - y )] ，求 x 、 y 的值． 1 2 3 l【难度】★★ 【答案】见解析 4l 2【解析】（1）因为∠1+∠2=180°（平角的意义），所以 x + 2 y + x 180︒ ，即 x +y =90°因为l 1∥l 2 （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即 x = y +30， 解得：x =60°，y =30°，所以∠1=120°，∠2=60°，∠4=60°；（2）因为∠3+∠2=180°（平角的意义）， 所以 x +y =180°，因为l 1∥l 2 （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即 x = 4x - 2 y ， 解得：x =72°，y =108°．【总结】本题考查平行线的性质及角度的简单计算．【习题10】 如图， ∠ ADC =∠ABC ， ∠ 1+ ∠ FDB =180°，AD 是∠FDB 的平分线，试说明 BC 为∠DBE 的平分线．【难度】★★★ E【答案】见解析． 【解析】因为∠ 1+ ∠ FDB =180°（已知）， 又因为∠1 = ∠ABD （对顶角相等） 所以∠ABD + ∠BDF = 180 （等量代换）所以 AB / / F D （同旁内角互补，两直线平行）F D CA E C所以∠ABD = ∠2 （两直线平行，内错角相等）因为∠ADC = ∠ABC （已知）， 所以∠ADB = ∠CBD （等式性质）因为 AE / / FC （已证）， 所以∠EBD = ∠FDB （两直线平行，内错角相等）即∠ADB + ∠ADF = ∠CBD + ∠CBE （角的和差）因为 AD 是∠FDB 平分线， 所以∠ADB = ∠ADF = ∠CBD = ∠EBC （角平分线的意义） 即 BC 为∠DBE 的平分线【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理以及角平分线的综合运用．【习题11】 如图，已知∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线，问：△ABC 与△EBC 的面积是否相等?为什么? D【难度】★★★【答案】相等，证明见解析． F【解析】因为∠DAE + ∠EAC + ∠BAC = 180 （平角的意义）又∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180 （三角形内角和等于 180°）所以∠DAE + ∠EAC = ∠ABC + ∠ACB （等式性质） B 因为∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线（已知）所以∠ABC = ∠ACB = ∠DAE = ∠CAE所以 AE / / B C （内错角相等，两直线平行）所以 AE 与 BC 间的距离相等（夹在平行线间的距离处处相等）所以△ABC 与△EBC 的面积相等（同底等高的两个三角形面积相等）．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，同时还考查了三角形的面积问题．课后作业【作业1】 如图，AB //CD ，直线l 分别交 AB 、CD 于 E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠EFG = 40 ，则∠EGF 的度数是（ ）A ． 60B ． 70C ． 80D ． 90【难度】★【答案】B 【解析】因为 AB //CD （已知），所以∠BEF + ∠EFG = 180 因为∠EFG = 40 （已知）， 所以∠BEF =140°（等式性质） 因为 EG 平分∠BEF （已知），所以∠BEG = 1∠BEF = 70 （角平分线的意义）2 因为 AB //CD （已知）， 所以∠BEG = ∠EGF （两直线平行，内错角相等）所以∠EGF =70°（等量代换）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的意义的运用．【作业2】 如图，AB //CD ，下列等式中正确的是（ ）A ． ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180B ． ∠1 + ∠2 - ∠3 = 90C ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180D ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 90【难度】★【答案】C A B C D2D 1 2E 3 【解析】由题意可得： (180︒- ∠3) + (180︒- ∠2) + ∠1 = 180︒ ，解得： ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180︒【总结】本题考查平行线的性质．【作业3】 若两直线被第三条直线所截，则下列说法中正确的个数有（ ）（1）一对同位角的角平分线互相平行，（2）一对内错角的角平分线互相平行，（3）一对同旁内角的角平分线互相平行，（4）一对同旁内角的角平分线互相垂直A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0 个【难度】★【答案】D【解析】（1）同位角不一定相等，×；（2）内错角不一定相等，×；（3）×； （4）只有当这对同旁内角互补时才成立，×【总结】本题考查三线八角的基本运用．【作业4】 直线 a ∥c ，且直线 a 到直线c 的距离是 3；直线b / /c ，直线b 到直线c 的距离为5，则直线 a 到直线b 的距离为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．2 或 8【难度】★★【答案】D【解析】当直线 a 和直线 b 在直线 c 的两侧时，距离为 8；当直线 a 和直线 b 在直线 c 的同一侧时，距离为 2．【总结】本题考查平行线的性质，注意分类讨论．【作业5】 已知：如图 5，∠1=∠2=∠B ，EF ∥AB ．试说明∠3=∠C ． A【难度】★★【答案】略．【解析】因为∠1 = ∠B （已知） 所以 DE / / B C （同位角相等，两直线平行）所以∠2 = ∠C （两直线平行，同位角相等）又因为 EF / / AB （已知）， 所以∠3 = ∠B 所以∠3 = ∠C （等量代换）B FC （两直线平行，同位角相等） 【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业6】 已知：∠1=60o ，∠2=60o ， AB //CD ．试说明：CD //EF ．【难度】★★ l【答案】略． 【解析】设∠2 的对顶角为∠3， 因为∠1=∠2 = 60o （已知），所以∠1=∠3（等量代换） 所以 AB ∥EF （同位角相等，两直线平行）A 1 BC D 又因为 AB ∥CD （已知） 所以 CD ∥EF （平行的传递性） E 2 F【总结】本题主要考查平行线的判定．D ′ C′ F【作业7】 如图，已知∠4=∠B ，∠1=∠3，试说明：AC 平分∠BAD ．【难度】★★【答案】略． 【解析】因为∠4=∠B （已知）所以 CD ∥AB （同位角相等，两直线平行） 所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等） 又因为∠1=∠3（已知）， 所以∠1=∠2（等量代换），A B所以 AC 平分∠BAD （角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业8】 如图， AD / / BC ，BD 平分∠ABC ，且∠A : ∠ABC = 2 :1 ，求∠DBC 的度数．【难度】★★A D 【答案】30°．【解析】因为 AD ∥BC （已知）所以∠A +∠ABC =180°（两直线平行，同旁内角互补） B C又因为∠A ：∠ABC =2:1（已知）， 所以∠A =120°，∠ABC =60°（等式性质）又因为 BD 平分∠ABC （已知）， 所以∠DBC =30°（角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的综合运用【作业9】 如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D 、C 分别落在 D ′、C ′的位置．若∠AED ′＝65°，则∠C 'FB 的度数为 ． A E D 【难度】★★【答案】65°【解析】因为翻折， 所以∠D 'EF = ∠DEF （翻折的性质） B 因为∠AED ' + ∠D 'EF + ∠DEF = 180 （平角的意义） 又∠AED ′＝65°（已知）， 所以∠D 'EF = ∠DEF = 180 - ∠AED '= 57.5 （等式性质）2 因为 AD / / BC （已知）， 所以∠DEF + ∠EFC = 180 （两直线平行，同旁内角互补） ∠EFB = ∠DEF （两直线平行，内错角相等）所以∠EFB = 57.5 ， ∠EFC = 180 - 57.5 = 122.5 （等式性质）因为∠EFC ' = ∠EFC （翻折的性质） 所以∠C 'FB = ∠EFC ' - ∠EFB = 65︒ ．【总结】本题主要考查平行线的性质及翻折的性质的综合运用．【作业10】 如图，已知 AD //BC ，AB //EF ，DC //EG ，EH 平分∠FEG ， ∠A = ∠D = 110 ，试说明线段 EH 的长是 AD 、BC 间的距离． AE D 【难度】★★【答案】见解析．【解析】因为 AD //BC （已知）所以∠A + ∠B = 180 ， ∠C + ∠D = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠A = ∠D = 110 （已知）， 所以∠B =∠C =70°（等式性质）B F H G因为 AB //EF ，DC //EG （已知），D4 3 C 1 2所以∠EFG=∠B，∠EGF=∠C（两直线平行，内错角相等）所以∠EFG = ∠EGF = 70°（等量代换），所以∠FEG=40°因为EH 平分∠FEG （已知），所以∠FEH=1∠FEG=20 （角平分线的意义）2所以∠FHE = 180 -∠FEH =∠EFH = 90 （三角形内角和等于180°）即EH 的长是AD、BC 间的距离．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质及三角形的内角和以及平行线间的距离．【作业11】如图，AB ⊥l ，CD ⊥l （点B、D 是垂足），直线EF 分别交AB、CD 于点G、H．如果∠EGB =m ，∠FGB =n ，且∠EHD = (3m -n ) ，试求出∠EGB 、∠BGF 、∠EHD的度数．【难度】★★★【答案】∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．【解析】因为AB ⊥l ，CD ⊥l （已知）所以AB / /CD （垂直于同一直线的两直线平行）所以∠FGB +∠EHD =180 （两直线平行，同旁内角互补）∠EGB =∠EHD （两直线平行，同位角相等）即n + 3m -n = 180 ，m = 3m -n ，解得：m = 60︒，n = 120︒．所以∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．【总结】本题主要考查平行线的性质的运用．【作业12】如图，已知AB / /CD ，EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN ，那么∠GEF +∠DFH = 90 ，试说明理由．【难度】★★【答案】见解析．【解析】因为AB / /CD （已知）所以∠AEF =∠CFN （两直线平行，同位角相等）因为∠CFN +∠DFN = 180︒（平角的性质）又因为EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN （已知）所以∠AEG +∠GEF +∠DFH +∠NFH = 180︒（角的和差）即2∠GEF +∠DFH = 180︒，所以∠GEF +∠DFH = 90 ．【总结】本题考查平行线的性质及角平分线性质的综合应用．【作业13】如图，已知AB∥EF，∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°，试说明x、y、z 之间的关系．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】由题意，过C、D 两点分别作AB 的平行线CM、DN 因为AB∥EF（已知）所以AB / /CM / / DN / / EF （平行的传递性）N所以∠B =∠BCM ，∠MCD =∠CDN ，∠EDN =∠E （两直线平行，内错角相等）因为∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°（已知）所以x - 45 =y -z （等式性质）即x -y +z = 45 ．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质以及辅助线的添加，注意观察角度间的关系．。
七年级下第五章平行线判定和性质
平行线判定和性质一、重点和难点：重点：平行线的概念、平行公理、平行线的判定和平行线的性质。
难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。
二、例题：这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。
解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。
上述类型题目大致可分为两大类。
一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。
其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。
另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。
例1．已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正。
（1）∵∠1和∠2是内错角，∴∠1=∠2，（2）∵AD//BC，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）（3）∵∠1=∠2，∴AB//CD（两直线平行，内错角相等）分析：根据“三线八角”的概念，对（1），（2）可从内错角的条件入手；对（3）考虑平行线的判定和性质。
解：（1）因为没有直线CD//AB的条件，不能得出内错角∠1，∠2相等的结论。
（2）因为∠1，∠2不是AD，BC被AC所截得的内错角，所以得不出∠1=∠2的结论，应改为：∵CD//AB，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）（3）理由填错了，应改为：∵∠１＝∠2，∴CD//AB （内错角相等，两直线平行）例2．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试问EF是否与GH平行？分析：要判断EF与GH是否平行，只要能找到与EF，GH有关的一对角（同位，内错，同旁内角都可以）相等或互补即可。
解：∵∠1=∠2（已知）又∵∠CGE=∠2（对顶角相等）∴∠1=∠CGE（等量代换）又∵∠3=∠4（已知）∴∠3+∠1=∠4+∠CGE（等量加等量，其和相等）即∠MEF=∠EGH，∴EF//GH（同位角相等，两直线平行）。
人教版七年级下数学 小专题 平行线的性质与判定(含解析)
小专题(一)平行线的性质与判定1．填写推理理由：如图，CD∥EF，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠ACB.证明：∵CD∥EF，∴∠DCB＝∠2( )．∵∠1＝∠2，∴∠DCB＝∠1( )．∴GD∥CB( )．∴∠3＝∠ACB( )．2．如图，已知EAB是直线，AD∥BC，AD平分∠EAC，试判定∠B与∠C的大小关系，并说明理由．3．如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E，求证：∠1＝∠2.4．已知：如图，AD∥EF，∠1＝∠2.求证：AB∥DG.5．(蓟县期中)已知：如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝100°，OK平分∠DOH，求∠KOH的度数．6．如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．7．如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上，若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．8．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝130°，∠FEC＝15°，求∠ACF的度数．9．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3.请问：AD平分∠BAC吗？若平分，请说明理由．10．已知：如图，直线EF分别交AB，CD于点E，F，且∠AEF＝66°，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.(1)求∠PEF的度数；(2)若已知直线AB∥CD，求∠P的度数．12．(萧山区月考)如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，直线l3上有一点P.(1)如图1，若P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化，并说明理由；(2)若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与点C，D不重合，如图2和3)，试直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD 之间的关系，不必写理由．小专题(一)平行线的性质与判定1．填写推理理由：如图，CD∥EF，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠ACB.证明：∵CD∥EF，∴∠DCB＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2，∴∠DCB＝∠1(等量代换)．∴GD∥CB(内错角相等，两直线平行)．∴∠3＝∠ACB(两直线平行，同位角相等)．2．如图，已知EAB是直线，AD∥BC，AD平分∠EAC，试判定∠B与∠C的大小关系，并说明理由．解：∠B＝∠C.理由：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C.∴∠B＝∠C.3．如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E，求证：∠1＝∠2.证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC.∵∠A＝∠E，∴∠EBC＝∠E.∴DE∥AB.∴∠1＝∠2.4．已知：如图，AD∥EF，∠1＝∠2.求证：AB∥DG.证明：∵AD ∥EF ， ∴∠1＝∠BAD. ∵∠1＝∠2， ∴∠BAD ＝∠2. ∴AB ∥DG .5．(蓟县期中)已知：如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝100°，OK 平分∠DOH ，求∠KOH 的度数．解：∵∠1＋∠2＝180°，∴AB ∥CD.∴∠GOD ＝∠3＝100°.∴∠DOH ＝180°－∠GOD ＝180°－100°＝80°. 又∵OK 平分∠DOH ，∴∠KOH ＝12∠DOH ＝12×80°＝40°.6．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线，CM ⊥CN ，求∠BCM 的度数．解：∵AB ∥CD ， ∴∠BCE ＋∠B ＝180°. ∵∠B ＝40°，∴∠BCE ＝180°－40°＝140°. ∵CN 是∠BCE 的平分线，∴∠BCN ＝12∠BCE ＝12×140°＝70°.∵CM ⊥CN ，∴∠BCM ＝90°－70°＝20°.7．如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上，若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．解：∵AD∥BC，∠EFG＝55°，∴∠2＝∠GED，∠1＋∠GED＝180°，∠DEF＝∠EFG＝55°.由折叠知∠GEF＝∠DEF＝55°.∴∠GED＝110°.∴∠1＝180°－∠GED＝70°，∠2＝110°.8．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝130°，∠FEC＝15°，求∠ACF的度数．解：∵AD∥BC，∴∠ACB＋∠DAC＝180°.又∵∠DAC＝130°，∴∠ACB＝50°.∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC.∴∠BCE＝∠FEC＝15°.又∵CE平分∠BCF，∴∠BCF＝2∠BCE＝30°.∴∠ACF＝∠ACB－∠BCF＝20°.9．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3.请问：AD平分∠BAC吗？若平分，请说明理由．解：AD平分∠BAC.理由：∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴∠ADC＝∠EGC＝90°.∴∠3＝∠2，∠E＝∠1.∵∠3＝∠E，∴∠1＝∠2，即AD平分∠BAC.10．如图所示，已知∠ABC＝80°，∠BCD＝40°，∠CDE＝140°，试确定AB与DE的位置关系，并说明理由．解：AB∥DE.理由：过点C作FG∥AB，∴∠BCG＝∠ABC＝80°.又∠BCD＝40°，∴∠DCG＝∠BCG－∠BCD＝40°.∵∠CDE＝140°，∴∠CDE＋∠DCG＝180°.∴DE∥FG.∴AB∥DE.11．如图，直线l1，l2均被直线l3，l4所截，且l3与l4相交，给定以下三个条件：①l1⊥l3；②∠1＝∠2；③∠2＋∠3＝90°.请从这三个条件中选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并进行证明．解：已知：l1⊥l3，∠1＝∠2.求证：∠2＋∠3＝90°.证明：∵∠1＝∠2，∴l1∥l2.∵l1⊥l3，∴l2⊥l3.∴∠3＋∠4＝90°.∵∠4＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.12．已知：如图，直线EF分别交AB，CD于点E，F，且∠AEF＝66°，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.(1)求∠PEF 的度数；(2)若已知直线AB ∥CD ，求∠P 的度数． 解：(1)∵∠AEF ＝66°，∴∠BEF ＝180°－∠AEF ＝180°－66°＝114°. 又∵EP 平分∠BEF ，∴∠PEF ＝∠PEB ＝12∠BEF ＝57°.(2)过点P 作PQ ∥AB. ∴∠EPQ ＝∠PEB ＝57°. ∵AB ∥CD ，∴PQ ∥CD ，∠DFE ＝∠AEF ＝66°. ∴∠FPQ ＝∠PFO. ∵FP 平分∠DFE ， ∴∠PFD ＝12∠DFE ＝33°.∴∠FPQ ＝33°.∴∠EPF ＝∠EPQ ＋∠FPQ ＝57°＋33°＝90°.13．(萧山区月考)如图，已知直线l 1∥l 2，直线l 3和直线l 1，l 2交于点C 和D ，直线l 3上有一点P.(1)如图1，若P 点在C ，D 之间运动时，问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系是否发生变化，并说明理由； (2)若点P 在C ，D 两点的外侧运动时(P 点与点C ，D 不重合，如图2和3)，试直接写出∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系，不必写理由．解：(1)当P 点在C ，D 之间运动时， ∠APB ＝∠PAC ＋∠PBD. 理由：过点P 作PE ∥l 1， ∵l 1∥l 2，∴PE ∥l 2∥l 1.∴∠PAC ＝∠APE ，∠PBD ＝∠BPE.∴∠APB ＝∠APE ＋∠BPE ＝∠PAC ＋∠PBD.(2)当点P 在C ，D 两点的外侧运动时，在l 2下方时，则∠PAC ＝∠PBD ＋∠APB ； 在l 1上方时，则∠PBD ＝∠PAC ＋∠APB.。
数学七年级下学期第2讲 平行线的判定(1)
第2讲平行线的判定（核心考点讲与练）一、平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.考点一：平行公理及推论【例题1】（2019春•余姚市期末）已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是（）A．如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c B．如果b∥a，c∥a，那么b∥c C．如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c D．如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c【变式训练1】（2018春•杭州期中）下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与c的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是．【变式训练2】（2020春•椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？考点二：平行线的判定【例题2】（2021秋•平阳县期中）如图，下列条件中①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°，能判断AD∥BC的是（）A．①③④B．①②④C．①③D．①②③④【变式训练1】（2021秋•余姚市期中）木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM ＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（）A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°【变式训练2】（2021春•拱墅区期末）如图，已知∠F+∠FGD＝90°（其中∠F＞∠FGD），添加一个以下条件：①∠F+∠FEA＝180°；②∠F+∠FGC＝180°；③∠FEB+2∠FGD＝90°；④∠FGC﹣∠F＝90°．能证明AB ∥CD的是（）A．①B．②C．③D．④【变式训练3】（2021春•萧山区期末）如图，下列条件中能判断AD∥BC的是（）①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°．A．①③④B．①②④C．①③D．①②③④【变式训练4】（2021春•怀安县期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°【变式训练5】（2021•下城区一模）如图，直角三角形ABC的顶点A在直线m上，分别度量：①∠1，∠2，∠C；②∠2，∠3，∠B；③∠3，∠4，∠C；④∠1，∠2，∠3．可判断直线m与直线n是否平行的是（）A．①B．②C．③D．④【例题3】（2021春•椒江区期末）如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转度．【变式训练1】（2021春•鄞州区期中）如图，下列条件中：①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠BCD，能判定AD∥BC的是．【变式训练2】（2020秋•婺城区校级期末）如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有．（填序号）【变式训练3】（2021春•奉化区校级期末）如图，点E在AD的延长线上，下列四个条件：①∠1＝∠2；②∠C+∠ABC＝180°；③∠C＝∠CDE；④∠3＝∠4，能判断AB∥CD的是（填序号）．【变式训练4】（2021•柳南区校级模拟）如图把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则当∠2＝度时，a∥b．【例题4】（2021春•槐荫区期末）点B，E分别在AC，DF上，BD，CE分别交AF于点G，H，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．求证：AC∥DF．【变式训练1】（2021春•乾安县期末）已知：如图，直线l分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂直于l，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．【变式训练2】（2020春•岱岳区期末）将一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）求∠EFC的度数．【变式训练3】（2020春•麻城市校级月考）根据要求完成下面的填空：如图，直线AB，CD被EF所截，若已知∠1＝∠2，说明AB∥CD的理由．解：根据得∠2＝∠3又因为∠1＝∠2，所以∠＝∠，根据得：∥．【变式训练4】（2020秋•温州月考）已知：如图，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD．求证：CE∥AB．【变式训练5】（2019春•秀洲区期中）如图，如果∠1+∠3＝180°，那么AB与CD平行吗，请说明理由．类型一、平行公理及推论【例题5】在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
7.4 平行线的判定-2021春冀教版七年级数学下册课件
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
平行线的判定定理
练一练：如图，已知∠1=30°，∠2或 ∠3满足条件 _∠__2_＝__1_5_0_或__∠__3_＝__3_0_°_，则a//b. c a 3 2 1 b
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
CONTENTS
3
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
E
Hale Waihona Puke 3 14B2
D
能得到什么结论？（ 等式的性质 ）.
∴ ∠2=∠3（ 等量代换 ）.
F
∴ AB∥CD （同位角相等，两直线平行）.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
平行线的判定定理
归纳：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么
这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 应用格式： ∵∠1+∠2=180°(已知)
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
平行线的判定定理
试一试：命题2 已知：如图，直线AB，CD被EF所截，
∠4+∠2=180°，对AB∥CD说明理由. 理由：
∵∠4+∠2=180°（ 已知 ），
A
∠4+∠3=180°（ 平角定义 ），
通过命题2，我们∴ ∠2=180°－∠4，∠3=180°－∠4 C
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）
1
a
2 b
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
平行线的判定定理
归纳：平行四边形的判定定理 内错角相等， 两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
平行线的判定定理
例 已知：如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=60°，∠2=120°.
平行线的判定课件PPT
3)在同一平面内，两条不重合的直线位置关系只有 ___2__种，即__相__交__和__平__行___。
例：已知直线AB和直线外一点P，过点P画一 放 二、贴 A
推平行线法
B
三、推
四、画
过点P能否再画一条直线与AB平行？
A C E
∵ AB//EF, CD//EF
B D F
(已知）
∴ AB//CD（如果两条直线都平行于 第三条直线,那么这两条直 线也互相平行）
探究（: 1）画一条直线 a，再画两条直线
b、C分别与直线a垂直。
（2）、观察直线 b、C是否平行？
b C
如果两条直线都垂直于 第三条直线,那么这两条 直线互相平行.
b
c
解：这两条直线平行。
a
1
2
∵ b⊥a c ⊥a
∴∠1=∠2 = 90 °
∴b ∥ c（同位角相等，两直线平行）
结论：垂直于同一条直线的两条直线互相（
）
平行
同位角相等, 两直线平行
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行 如果两条直线都与第三条直线平行，那 么这两条直线也互相平行
在同一平面内，垂直于同一条直线的 两条直线互相平行
两直线平行 位置关系
数量关系
体验成功——达标检测
E
必做题：
1、如果∠A +∠B =180°，那么根据同旁内
AE 角互补，两直线平行，可得_____∥_____；
如果 +∠B =180°，那么根据同旁内角 互补，∠两C直线平行，可得AB∥EC。
BC A
C B
16 a
2024年初中七年级数学下册同步讲义第03课 平行线的判定(学生版)
第03课平行线的判定课程标准1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系；2.掌握平行公理及其推论；3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.知识点01 平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是；二是；三是，三者缺一不可；不在同一平面内的两条直线，如果没有交点，但是也可能不平行，需要注意；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有和两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.目标导航知识精讲知识点02 平行公理及推论1．平行公理：经过一点，一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也．注意：(1)平行公理特别强调“”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫.知识点02 直线平行的判定判定方法1：同位角，两直线.如上图，几何语言：∵∴（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角，两直线.如上图，几何语言：∵∴（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角，两直线.如上图，几何语言：∵∴（同旁内角互补，两直线平行）注意：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.能力拓展考法01 平行线【典例1】在同一平面内，两条直线的位置关系是（）A．平行和垂直B．平行和相交C．垂直和相交D．平行、垂直和相交【即学即练】下列说法正确的是()A．经过一点有无数条直线与已知直线平行B．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行D．以上说法都不正确【即学即练】下列结论正确的是（）A．不相交的直线互相平行B．不相交的线段互相平行C．不相交的射线互相平行D．有公共端点的直线一定不平行【即学即练】若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是( )A．平行公理B．等量代换C．等式的性质D．平行于同一条直线的两条直线平行【即学即练】已知直线AB及一点P，要过点P作一直线与AB平行，那么这样的直线( ) A．有且只有一条B．有两条C．不存在D．不存在或者只有一条【即学即练】下列说法正确的是（）A．同一平面内不相交的两线段必平行B．同一平面内不相交的两射线必平行C．同一平面内不相交的一条线段与一条直线必平行D．同一平面内不相交的两条直线必平行【即学即练】如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（）A ．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C ．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行考法02 平行线的判定【典例2】如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）A ．同位角相等，两直线平行B ．内错角相等，两直线平行C ．两直线平行，同位角相等D ．两直线平行，内错角相等【典例3】在同一平面内，a 、b 、c 是直线，下列说法正确的是（ ）A ．若a∥b ，b∥c 则 a∥cB ．若a∥b ，b∥c ，则a∥cC ．若a∥b ，b∥c ，则a∥cD ．若a∥b ，b∥c ，则a∥c【即学即练】如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ）A ．∥∥1＝∥3，∥AB∥CD （内错角相等，两直线平行）B ．∥AB∥CD ，∥∥1＝∥3（两直线平行，内错角相等）C ．∥AD∥BC ，∥∥BAD+∥ABC ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）D ．∥∥DAM ＝∥CBM ，∥AB∥CD （两直线平行，同位角相等）【即学即练】如图，下列条件：13241804523623∠=∠∠+∠=∠=∠∠=∠∠=∠+∠①，②，③，④，⑤中能判断直线12l l 的有( )A．5个B．4个C．3个D．2个【即学即练】如图，下列条件中，能判断直线a∥b的有（）个．①∥1＝∥4；②∥3＝∥5；③∥2+∥5＝180°；④∥2+∥4＝180°A．1B．2C．3D．4【即学即练】如图，下列说法错误的是( )A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∥1＝∥2，则a∥c C．若∥3＝∥2，则b∥c D．若∥3＋∥5＝180°，则a∥c【即学即练】一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度数是（）A．第一次右拐50°，第二次左拐130°B．第一次左拐50°，第二次右拐50°C．第一次左拐50°，第二次左拐130°D．第一次右拐50°，第二次右拐50°【即学即练】如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（）A ．∥1=∥2B ．∥2=∥3C ．∥3=∥5D ．∥3+∥4=180°【典例4】如图，已知∥1=∥2，其中能判定AB∥CD 的是（ ）A ．B ．C ．D ．【即学即练】如图，下列条件中，能判断AB∥CD 的是( )A ．∥FEC ＝∥EFBB ．∥BFC+∥C ＝180° C ．∥BEF ＝∥EFCD ．∥C ＝∥BFD【即学即练】如图，下列条件中能得到AB∥CD 的是( )A ．12∠∠=B ．23∠∠=C ．14∠∠=D ．34∠∠=【即学即练】如图，下列条件：①12∠=∠：②180BAD ADC ∠+∠=︒；③ABC ADC ∠=∠；④34∠=∠，其中能判定AB CD ∥的有( )A ．1个B ．2个C ．4个D ．3个考法03 平行判定的几何语言【典例5】结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∥____________，∥a∥b．【典例6】如图所示：(1)若∥1=∥B，则_____∥_____，理由是；(2)若∥3=∥5，则_____∥_____，理由是；(3)若∥2=∥4，则_____∥_____，理由是；(4)若∥1=∥D，则_____∥_____，理由是；(5)若∥B+∥BCD=180°，_____∥_____，理由是；【即学即练】如图，AC平分∥DAB，∥1＝∥2，试说明AB∥CD.证明：∥AC平分∥DAB()，∥∥1＝∥____()，又∥∥1＝∥2()，∥∥2＝∥____()，∥AB∥____()．【即学即练】如图，已知∥1＝∥3，∥2+∥3＝180°，请说明AB与DE平行的理由．解：将∥2的邻补角记作∥4，则∥2+∥4＝°（）因为∥2+∥3＝180° （）所以∥3＝∥4（）因为 （ ）所以∥1＝∥4（ ）所以AB //DE （ ）【即学即练】如图，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据．(1)∥1=∥2，________________________．(2)∥A=∥3，________________________．(3)∥ABC+∥C=180°，________________________．【即学即练】完成下面的证明：已知：如图，BE 平分ABD DE ∠,平分BDC ∠，且90a β∠+∠=．求证：//AB CD ，证明：BE 平分ABD ∠(已知)2ABD a ∴∠=∠（ ） DE 平分BDC ∠(已知)BDC ∴∠=（ ）(222)ABD BDC a a ββ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠（ ）90a β∠+∠=(已知)ABD BDC ∴∠+∠=（）//AB CD∴（）题组A 基础过关练1．下列说法不正确的是（）A．过任意一点可作已知直线的一条平行线B．在同一平面内两条不相交的直线是平行线C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短2．已知直线a、b、c在同一平面内，则下列说法错误的是()A．如果a∥b，b∥c，那么a∥cB．a∥b，c∥b，那么a∥cC．如果a与b相交，b与c相交，那么a与c一定相交D．如果a与b相交，b与c不相交，那么a与c一定相交3．如下图，下列条件中：①∥B+∥BCD=180°；②∥1=∥2；③∥3=∥4；④∥B=∥5，能判定AB∥CD的条件为（）A．①②③④B．①②④C．①③④D．①②③4．如图，点E在射线AB上，要AD//BC，只需（）A．∥A=∥CBE B．∥A=∥C C．∥C=∥CBE D．∥A+∥D= 180°5．如图，直线,a b被直线c所截，下列条件中不能判定a//b的是（）分层提分A ．25∠=∠B ．45∠=∠C ．35180∠+∠=︒D ．12180∠+∠=︒6．下列说法不正确的是（ ）A ．同一平面上的两条直线不平行就相交B ．同位角相等，两直线平行C ．过直线外一点只有一条直线与已知直线平行D ．同位角互补，两直线平行 7．如图，由∥1＝∥2，则可得出（ ）A ．AB ∥CD B ．AD ∥BC C ．AD ∥BC 且 AB ∥CD D ．∥3＝∥4题组B 能力提升练1．如图是利用直尺和三角板过已知直线l 外一点P 作直线l 的平行线的方法，其理由是__________．2．小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC ，DF 在同一条直线上，可以得到________//________，依据是________．3．如图，∥1=120°，∥2=45°，若使b∥c ，则可将直线b 绕点A 逆时针旋转_________度.4．如图, 已知: CDE是直线, ∥1＝130°, ∥A＝50°, 则___∥__.理由是_______________.5．如图，条件__（填写所有正确的序号）一定能判定AB∥CD．①∥B+∥BCD=180°；②∥1=∥2；③∥3=∥4；④∥B=∥5．6．已知：如图AB∥BC，BC∥CD且∥1＝∥2，试说明：BE//CF．解：∥AB∥BC，BC∥CD（已知）∥________＝________＝90°（___）∥∥1＝∥2（已知）∥________＝________（等式性质）∥BE//CF（____________）题组C 培优拔尖练1．已知：如图，直线AB，CD被直线GH所截，∥1＝112°，∥2＝68°，求证：AB//CD．完成下面的证明．证明：∥AB被直线GH所截，∥1＝112°，∥∥1＝∥＝112°∥∥2＝68°，∥∥2+∥3＝，∥AB//（）（填推理的依据）2．已知：如图：∥1=∥2，∥3+∥4= 180°；确定直线a，c的位置关系，并说明理由；解：a c；理由：∥∥1=∥2（）,∥ a // ( )；∥ ∥3+∥4= 180°（）,∥ c // ( )；∥ a // ,c // ,∥ // ( )；3．如图，已知CD∥DA，DA∥AB，∥1=∥4．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．证明：∥_________（___________）∥∥CDA=90°，∥DAB=90°（_________）．∥∥4+∥3=90°，∥2+∥1=90°．又∥∥1=∥4，∥_____（_____），∥DF∥AE（______）．4．如图，已知BC平分∥ACD，且∥1＝∥2，求证：AB∥CD．5．如图，已知∥A ＝∥EDF ，∥C ＝∥F ．求证：BC ∥EF ．6．已知：如图，1C ∠=∠，2∠和D ∠互余，1∠和D ∠互余，求证：//AB CD ．7．已知：如图，在∥ABC 中，CD ∥AB 于点D ，E 是AC 上一点且∥1+∥2＝90°．求证：DE ∥BC ．。
2021年湘教版七年级数学下册第四章《 平行线的判定》公开课课件(共22张PPT).ppt
探究
两条直线被第三条直线所截,能否利用内错角
来判定两条直线平行呢?
如图4-31,直线 AB,CD被直线EF所截,
∠2与∠3是内错角.
A
E 1B
已知∠2=∠3,
3
又因为∠3=∠1（对顶角相等）, C
2
D
所以∠1=∠2.
F
所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行) . 图 4-31
结论
平行线的判定方法2 两条直线被第三条直线所截,如果内错
∠C= 43o ,则
（1）当 ∠1=
时,直线l ∥BC;
（2）当 ∠2=
时,直线l ∥BC.
A 12
l
B 75o
43o C
（第1题图）
练习 1. 如图,点A在直线l上 ,如果∠B= 75o ,
∠C= 43o ,则 （1）当 ∠1= 75o 时,直线l ∥BC; （2）当 ∠2= 43o 时,直线l ∥BC.
过点N 作直线PQ∥AB, P 则 ENQα.由于αβ , C 因此ENQβ ,从而射线NQ A 与射线ND重合,于是直线PQ与 直线CD重合.因此CD∥AB.
E
D
N
Q
M
B
F
图 4-27
结论
平行线的判定方法1 两条直线被第三条直线所截,如果同位
角相等,那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等,两直线平行.
AD
所以AD∥EF
(内错角相等,两直线平行). E
F
B
C
（第2题图）
练习 2.如图,∠ADE=∠DEF, ∠EFC+∠C = 180o ,
试问AD与 BC平行吗？为什么？
解 因为∠ADE=∠DEF, 所以AD∥EF
七年级数学-第02讲 平行线(解析版)
2021-2022学年七年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列第2章相交线与平行线第02讲平行线【考点梳理】考点:1：平行线1.平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
2.平行公理推论:①平行于同一直线的两条直线互相平行。
3.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
考点2：平行线的判定1.同位角相等，两直线平行。
2.内错角相等，两直线平行。
3.同旁内角互补，两直线平行。
考点3：平行线的性质1.两条直线平行，同位角相等。
2.两条直线平行，内错角相等。
3.两条直线平行，同旁内角互补。
【题型归纳】题型一：平行线的判定1．（2021·湖南平江·七年级期末）下列说法中，正确的是（）A．过一点有无数条直线与已知直线平行B．同位角相等C．相等的角是对顶角D．平行于同一条直线的两条直线平行【答案】D【分析】根据平行公理，对顶角的定义以及平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；B、正确的说法是两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项错误；C、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；D、根据平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行，故该选项正确．故选：D．【点睛】平行公理以及对顶角的定义，正确理解定理是关键．2．（2019·四川·德阳五中七年级阶段练习）下列命题中，是真命题的是()A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．若a//b，b//c，则a//c D．同旁内角相等，两直线平行【答案】C【分析】根据平行线的性质对A进行判断；根据平行线的判定对B、C、D进行判断．【详解】A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以A选项错误；B、在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以B选项错误；C、a∥b，b∥c，则a∥c，所以C选项正确；D、同旁内角互补，两直线平行，所以D选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查了平行公理及推论和平行线的判定及性质．3．（2020·贵州·思南县张家寨初级中学七年级期末）下列四个说法中，正确的是（）A．相等的角是对顶角B．平移不改变图形的形状和大小，但改变直线的方向C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等D．两直线相交形成的四个角相等，则这两条直线互相垂直【答案】D【分析】根据对顶角的概念、平移的性质、平行线的性质以及垂直的概念进行判断．【详解】A.相等的角不一定是对顶角，而对顶角必定相等，故A错误；B.平移不改变图形的形状和大小，也不改变直线的方向，故B错误；C.两条直线被第三条直线所截，内错角不一定相等，故C错误；D.两直线相交形成的四个角相等，则这四个角都是90°，即这两条直线互相垂直，故D正确．故选D．【点睛】本题考查了平移的性质、对顶角、平行线以及垂直的定义，解题时注意：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．4．（2021·全国·七年级专题练习）在同一平面内，a、b、c是直线，下列说法正确的是（）A．若a∥b，b∥c则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．若a∥b，b⊥c，则a∥c D．若a∥b，b∥c，则a⊥c【答案】A【分析】根据线段垂直平分线上的定义，平行公理以及平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A.在同一平面内,若a∥b,b∥c,则a∥c正确，故本选项正确；B.在同一平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c，故本选项错误；C.在同一平面内,若a∥b，b⊥c，则a⊥c，故本选项错误；D.在同一平面内,若a∥b,b∥c,则a∥c，故本选项错误．故选：A．5．（2019·山西·九年级专题练习）如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，不能判断直线a、b平行的是（）A．14∠=∠∠=∠B．23C．14180∠+∠=D．13180∠+∠=【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可.【详解】解：A.∠1=∠4可以判定a，b平行，故本选项错误；B.∠2=∠3，可以判定a，b平行，故本选项错误；C.∠1+∠4=180°，不能判断直线a、b平行，故本选项正确；D.∠1+∠3=180°，可以判定a，b平行，故本选项错误.故选C.【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行.错因分析容易题，失分原因：①未掌握补角、对顶角的性质；②未掌握平行线的判定方法.题型二：平行线的性质6．（2021·福建石狮·七年级期末）已知∠α的两边分别平行于∠β的两边．若∠α＝60°，则∠β的大小为（）A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°【答案】D【分析】根据题意画图如图（1），根据平行线性质两直线平行，同位角相等，即可得出∠α＝∠1＝∠β，即可得出答案，如图（2）根据平行线性质，两直线平行，同旁内角互补，∠α+∠2＝180°，再根据两直线平行，内错角相等，∠2＝∠β，即可得出答案．【详解】解：如图1，∵a∥b，∴∠1＝∠α，∵c∥d，∴∠β＝∠1＝∠α＝60°；如图（2），∵a∥b，∴∠α+∠2＝180°，∴∠2＝∠β，∴∠β+∠α＝180°，∵∠α＝60°，∴∠β＝120°．综上，∠β＝60°或120°．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质进行计算是解决本题的关键．7．（2022·全国·七年级）一副含30°，45°角的直角三角板按如图所示放置，已知DE//BC，则∠ABE 的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°【答案】B【分析】由题意可得∠BED=30°，∠ABC=45°，根据平行线的性质可得∠CBE=∠BED=30°，再结合∠ABE =∠ABC-∠CBE即可求解．【详解】由题意得：∠BED=30°，∠ABC=45°，DE //BC ，∴∠CBE =∠BED =30°，∴∠ABE =∠ABC -∠CBE=45°-30°=15°故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．8．（2021·广东·珠海市紫荆中学桃园校区七年级期中）直线//AB CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点E ，F ，EG EF ⊥．若155∠=︒，则2∠的度数为（）A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．55︒【答案】B【分析】由对顶角相等得∠DFE =55°，然后利用平行线的性质，得到∠BEF =125°，即可求出2∠的度数．【详解】解：由题意，根据对顶角相等，则155DFE ∠=∠=︒，∵//AB CD ，∴180DFE BEF ∠+∠=︒，∴18055125BEF ∠=︒-︒=︒，∵EG EF ⊥，∴90FEG ∠=︒，∴21259035∠=︒-︒=︒；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握平行线的性质，正确的求出125BEF ∠=︒．9．（2021·贵州播州·八年级期末）一副三角板按如图所示放置，BC//DF ，则∠ACF 的度数为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°【答案】B【分析】根据题意和图形，利用平行线的性质，可以得到∠BCF 的度数，再根据角的和差关系即可得到∠ACF 的度数．【详解】解：∵BC //DF ，∴∠BCF ＝∠DFC ＝30°，∴∠ACF ＝∠ACB ﹣∠BCF ＝45°-30°＝15°．故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．（2021·湖北青山·七年级期中）如图，直线//EF MN ，点A ，B 分别是EF ，MN 上的动点，点G 在MN 上，ACB m ∠=︒，AGB ∠和CBN ∠的角平分线交于点D ，若52D ∠=︒，则m 的值为（）．A ．70B ．74C ．76D ．80【答案】C【分析】先由平行线的性质得到∠ACB ＝∠5＋∠1＋∠2，再由三角形内角和定理和角平分线的定义求出m 即可．【详解】解：过C作CH∥MN，∴∠6＝∠5，∠7＝∠1＋∠2，∵∠ACB＝∠6＋∠7，∴∠ACB＝∠5＋∠1＋∠2，∵∠D＝52°，∴∠1＋∠5＋∠3＝180°−52°＝128°，由题意可得GD为∠AGB的角平分线，BD为∠CBN的角平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴m°＝∠1＋∠2＋∠5＝2∠1＋∠5，∠4＝∠1＋∠D＝∠1＋52°，∴∠3＝∠4＝∠1＋52°，∴∠1＋∠5＋∠3＝∠1＋∠5＋∠1＋52°＝2∠1＋∠5＋52°＝m°＋52°，∴m°＋52°=128°，∴m°＝76°．故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，关键是对知识的掌握和灵活运用．题型三：平行线的综合11．（2021·河南安阳·七年级期中）如图，直线12//l l，23216∠+∠=°，则1∠的度数为（）A．216︒B．36︒C．44︒D．18︒【答案】B【分析】记∠1顶点为A ，∠2顶点为B ，∠3顶点为C ，过点B 作BD ∥l 1，由平行线的性质可得∠3+∠DBC =180°，∠ABD +(180°－∠1)=180°，由此得到∠3+∠2+(180°－∠1)=360°，再结合已知条件即可求出结果．【详解】如图，过点B 作BD ∥l 1，∵12//l l ，∴BD ∥l 1∥l 2，∴∠3+∠DBC =180°，∠ABD +(180°－∠1)=180°，∴∠3+∠DBC +∠ABD +(180°－∠1)=360°，即∠3+∠2+(180°－∠1)=360°，又∵∠2+∠3=216°，∴216°+(180°－∠1)=360°，∴∠1=36°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线性质是解题的关键．12．（2021·广东增城·七年级期末）如图，165∠=︒，65B ∠=︒，80C ∠=︒，则2∠的度数为（）A ．65°B ．80°C ．115°D ．100°【答案】D【分析】判定DE //BC ，然后再根据两直线平行、同旁内角互补解答即可．【详解】解：∵165∠=︒，65B ∠=︒∴∠1=∠B∴DE //BC∴∠2+∠C =180°∵80C ∠=︒∴∠2=180°-∠C =100°．故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据题意证得DE //BC 是解答本题的关键．13．（2021·四川江油·七年级期中）直线12//l l ，125A ∠=︒，85B ∠=︒，115∠=︒，则2∠=（）A ．15°B ．25°C ．35D ．20°【答案】A【分析】分别过A 、B 作直线1l 的平行线AD 、BC ，根据平行线的性质即可完成．【详解】分别过A 、B 作直线1l ∥AD 、1l ∥BC ，如图所示，则AD ∥BC∵1l ∥2l ∴2l ∥BC∴∠CBF =∠2∵1l ∥AD∴∠EAD =∠1=15゜∴∠DAB =∠EAB -∠EAD =125゜-15゜=110゜∵AD ∥BC∴∠DAB +∠ABC =180゜∴∠ABC =180゜-∠DAB =180゜-110゜=70゜∴∠CBF =∠ABF -∠ABC =85゜-70゜=15゜∴∠2=15゜故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定等知识，关键是作两条平行线．14．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，//AB CD ，点,E F 在AC 边上，已知70,130CED BFC ∠=︒∠=︒，则B D ∠+∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】C【分析】取,ED FB 的交点为点G ，过点G 作平行于CD 的线MN ，利用两直线平行的性质，找到角之间的关系，通过等量代换即可求解．【详解】解：取,ED FB 的交点为点G ，过点G 作平行于CD 的线MN ，如下图：根据题意：70,130CED BFC ∠=︒∠=︒，50EFG ∴∠=︒，180507060EGF ∴∠=︒-︒-︒=︒，////MN CD AB ，,B BGN D DGN ∴∠=∠∠=∠，B D BGN DGN BGD ∴∠+∠=∠+∠=∠，,ED BF 相交于点G ，60EGF BGD ∴∠=∠=︒，60B D ∴∠+∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解．15．（2021·全国·七年级专题练习）如图，已知AB //DF ，DE 和AC 分别平分∠CDF 和∠BAE ，若∠DEA ＝46°，∠ACD ＝56°，则∠CDF 的度数为（）A ．42°B ．43°C ．44°D ．45°【答案】C【分析】过点C 作CN //AB ，过点E 作EM //AB ，根据平行线的性质及角平分线的特点得到角度的数量关系56°＝∠BAC +2∠FDE ，46°＝∠FDE +2∠BAC ，从而求出∠FDE ＝22°，故可得到∠CDF 的度数．【详解】解：过点C作CN//AB，过点E作EM//AB，∵FD//AB，CN//AB，EM//AB，∴AB//CN//EM//FD∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB．∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB，∠ACD＝∠BAC+∠FDC．又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC∴56°＝∠BAC+2∠FDE①，46°＝∠FDE+2∠BAC②．①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°，∴∠BAC+∠FDE＝34°③．①﹣③，得∠FDE＝22°．∴∠CDF＝2∠FDE＝44°．故选：C．【点睛】此题主要考查平行线间的角度求解，解题的关键是熟知平行线与角平分线的性质．【双基达标】1．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学七年级期中）下列说法：①和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③同位角相等；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】【分析】根据举反例可判断①，根据垂线的定义可判断②，根据举反例可判断③，根据平行线的基本事实可判断④．【详解】解：①如图∠AOC=∠2=150°，∠BOC=∠1=30°，满足∠1+∠2=180°，射线OC是两角的共用边，但∠1与∠2不是邻补角，故①不正确；②在同一个面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②不正确；③如图直线a、b被直线c所截，∠1与∠2是同位角，但∠1＞∠2，故③不正确；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是基本事实，故④正确；其中正确的有④一共1个．故选择B．【点睛】本题考查基本概念的理解，掌握基本概念是解题关键．2．（2021·全国·七年级专题练习）若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是（）．A．平行的性质B．等量代换C．平行于同一直线的两条直线平行．D．以上都不对【答案】C【解析】【分析】根据平行公理的推论进行判断即可．【详解】解：直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是平行于同一直线的两条直线平行，故选：C．【点睛】本题考查了平行公理的推论，解题关键是明确平行于同一直线的两条直线平行．3．（2022·全国·七年级）下列说法正确的个数是（）．（1）两条直线不相交就平行；（2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（4）平行于同一直线的两条直线互相平行；（5）两直线的位置关系只有相交、平行与垂直．A．0B．1C．2D．4【答案】B【解析】【分析】（1）（5），根据同一平面内，两直线的位置关系只有相交和平行进行判断即可；（2），根据平行线的定义进行判断即可；（3）（4），根据平行线的公理以及公理的推论进行判断即可．【详解】(1)应该是在同一平面内，两直线不相交就平行，故错误；(2)在同一平面内，两条平行的直线没有交点，故错误；(3)应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；(4)平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理的推论，故正确；(5)应为在同一平面内，两直线的位置关系只有相交与平行，故错误，所以只有（4）一项正确，故选：B．【点睛】本题是一道有关两直线位置关系的题目，涉及同一平面内两直线的位置关系以及平行线的知识，掌握这些概念和定理是解题的关键．4．（2022·广东禅城·八年级期末）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠A=41°，则∠C的度数为（）A．139°B．141°C．131°D．129°【答案】A【解析】【分析】如图，根据AE CF，得到∠CGB=41°，根据AB CD，即可得到∠C=139°．．【详解】解：如图，∵AE CF，∴∠A=∠CGB=41°，∵AB CD，∴∠C=180°-∠CGB=139°．故选：A【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题关键．5．（2022·吉林南关·七年级期末）如图，直尺的一条边经过直角三角尺的直角顶点且平分直角，它的对边恰巧经过60°角的顶点．则∠1的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】D【解析】【分析】由AC平分∠BAD，∠BAD=90°，得到∠BAC=45°，再由BD∥AC，得到∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，由此求解即可．【详解】解：∵AC平分∠BAD，∠BAD=90°，∴∠BAC=45°∵BD∥AC，∴∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，∵∠CBD=∠ABD+∠ABC=45°+60°=105°，∴∠1=75°，故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．6．（2021·内蒙古·通辽市科尔沁区教体局教研室七年级期末）现有下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若//b c ，//a c ，则//b a ；④若140∠=︒，2∠的两边与1∠的两边分别平行，则240∠=︒或140︒；⑤若b c ⊥，a c ⊥，则//b a ．其中正确的是_______（填写序号）．【答案】③④【解析】【分析】根据平行线的判定与性质，平行公理及推论进行逐一判断即可．【详解】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①错误；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；若b ∥c ，a ∥c ，则b ∥a ，故③正确；若∠1=40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2=40°或140°，故④正确；若在同一平面内，b ⊥c ，a ⊥c ，则b ∥a ，故⑤错误．所以其中正确的是③④．故答案为：③④．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．7．（2021·全国·七年级课时练习）如图，在条件：①A ACE ∠=∠；②A ECD ∠=∠；③B BCA ∠=∠；④B ACE ∠=∠中，能判断//AB CE 的条件是___．【答案】①【解析】【分析】根据平行线的判定定理解答．【详解】A ACE ∠=∠ ，//AB CE ∴．（内错角相等，两直线平行）由②A ECD ∠=∠；③B BCA ∠=∠；④B ACE ∠=∠，都不能判断//AB CE ，故答案为：①．【点睛】此题考查平行线的判定定理，熟记判定定理是解题的关键．8．（2022·辽宁铁西·八年级期末）如图，AB ∥CD ∥EF ，若∠ABC ＝125°，∠CEF ＝105°，则∠BCE 的度数为_____．【答案】50°##50度【解析】【分析】由AB ∥CD ∥EF ，得到∠BCD =∠ABC =125°，∠CEF +∠ECD =180°，则∠ECD =180°-∠CEF =75°，由此即可得到答案．【详解】解：∵AB ∥CD ∥EF ，∴∠BCD =∠ABC =125°，∠CEF +∠ECD =180°，∴∠ECD =180°-∠CEF =75°，∴∠BCE =∠BCD -∠ECD =50°，故答案为：50°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．9．（2022·辽宁浑南·八年级期末）已知：如图，直线MN HQ ∥，直线MN 交EF ，PO 于点A ，B ，直线HQ 交EF ，PO 于点D ，C ，DG 与OP 交于点G ，若1103∠=︒，277∠=︒，396∠=︒．（1）求证：EF OP ∥；（2）请直接写出CDG ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）19︒【解析】【分析】（1）根据1103∠=︒可得77∠=︒ABC ，，再根据内错角相等两直线平行即可得证；（2）根据两直线平行的性质可得103∠=︒FDC ，从而可得84∠=︒FDG ，再由∠=∠-∠CDG FDC FDG 即可求解．【详解】解：（1）∵1103∠=︒，∴77∠=︒ABC ，∵277∠=︒，∴2ABC ∠=∠，∴EF OP ∥；（2）∵MN HQ ∥，EF OP ∥，∴1103∠=∠=∠=︒FDC FAB ，3180∠+∠=︒FDG ，∵396∠=︒，∴180********∠=︒-∠=︒-︒=︒FDG ，∴1038419∠=∠-∠=︒-︒=︒CDG FDC FDG ．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的判定及性质，利用数形结合的思想进行求解．10．（2021·黑龙江龙凤·七年级期中）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合下图，试探索这两个角的关系，并证明你的结论．（1）如图1，AB ∥EF ，BC ∥DE ，1∠与2∠的关系是_____．（2）如图2，AB ∥EF ，BC ∥DE ，1∠与2∠的关系是________________．（3）经过上述证明，我们可以得到一个结论：（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30︒，则这两个角分别是多少度？【答案】（1）12∠=∠；（2）12180∠+∠=︒；（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；（4）这两个角分别是30°，30°或70︒，110︒．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；（2）根据平行线的性质以及对顶角的性质求解即可；（3）结合已知条件以及（1）（2）的结论求解即可；（4）设其中一个角为x ︒，根据（3）的结论，列方程求解即可．【详解】解：（1）∵AB EF∥∴13∠=∠又∵BC DE∥∴23∠∠=∴12∠=∠；故答案为12∠=∠（2）∵AB EF∥∴13∠=∠又∵BC DE∥∴24180∠+∠=︒又∵43∠=∠∴12180∠+∠=︒；故答案为12180∠+∠=︒（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．（4）解：设其中一个角为x ︒，列方程得230x x =-或230180x x +-=，故30x =或70x =，所以23030x -=或110，答：这两个角分别是30°，30°或70︒，110︒．【点睛】此题考查了平行线的性质，涉及了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握平行线的性质，得出结论，列方程求解即可．【高分突破】1．（2021·陕西凤翔·七年级期末）下列说法中正确的个数为（）①不相交的两条直线叫做平行线；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】本题从平行线的定义及平行公理入手，对选项逐一分析即可．【详解】解：①不相交的两条直线叫做平行线必须是在同一个平面内才能成立，故错误．②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是正确的．③平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确．④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交是正确的．正确的说法共3个故选：C ．【点睛】本题考查平行线的定义及平行公理，正确理解概念是解题关键．2．（2020·浙江浙江·七年级阶段练习）如图，直线a ，b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：（1）15∠=∠；（2）17∠=∠；（3）23180∠+∠=︒；（4）47∠=∠，其中能判定//a b 的条件的序号是（）A ．（1），（2）B ．（1），（3）C ．（1），（4）D ．（3），（4）【答案】A【解析】【分析】由同位角相等，两直线平行判断（1），由1=31=7,∠∠∠∠，得到37,∠=∠再利用同位角相等，两直线平行判断（2），由23∠∠，是邻补角，不能判定两直线平行，可判断（3），47∠∠，不是同位角，也不是内错角，不能判定两直线平行，可判断（4）．【详解】解：1=5∠∠ ，//,a b ∴故（1）可判定；1=31=7,∠∠∠∠ ，3=7∴∠∠，//,a b ∴故（2）可判定；23180∠+∠=︒，不能判定//,a b 故（3）不能判定；47∠=∠，不能判定//,a b 故（4）不能判定．故选：.A 【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．3．（2020·贵州·贵定县第二中学七年级期中）下列说法正确的是（）A．a、b、c是直线，若a b⊥r r，//b c，则//a cB．a、b、c是直线，若a b⊥r r，b c⊥，则a c⊥C．a、b、c是直线，若//a b，b c⊥，则//a cD．a、b、c是直线，若//a b，//b c，则//a c【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，从而可做出判断．【详解】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：根据所画图形可知：D正确．故选：D【点睛】本题主要考查了平行线的判定，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．4．（2022·辽宁铁西·八年级期末）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝28°，则∠2＝（）A．62°B．58°C．52°D．48°【答案】A【解析】【分析】过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等）即可求解．【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，∵直尺的两边互相平行，∠=∠=︒，∴3128∠=︒-∠=︒，∴490362∠=∠=︒，∴2462故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2021·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，有A，B，C三个地点，且∠ABC＝90°，B 地在A地的北偏东43°方向，那么C地在B地的（）方向．A．南偏东47°B．南偏西43°C．北偏东43°D．北偏西47°【答案】D【解析】【分析】根据方向角的概念，和平行线的性质求解．【详解】解：如图：∵AF∥DE，∴∠ABE＝∠FAB＝43°，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠CBD＝180°﹣90°﹣43°＝47°，∴C地在B地的北偏西47°的方向上．故选：D．【点睛】本题主要考查了方位角，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．6．（2021·全国·七年级专题练习）小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是________．【答案】平行【解析】【分析】根据平行线的推论：平行于同一直线的两条直线互相平行，进行解答即可．【详解】解：小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是：平行，故答案为：平行．【点睛】本题考查了平行线的推论，熟知平行于同一直线的两条直线互相平行是解本题的关键．7．（2021·山东梁山·七年级期中）下列命题：①相等的角是对顶角；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④同角或等角的余角相等，其中假命题是___（填序号）．【答案】①【解析】【分析】根据对顶角的性质、垂线的性质、平行公理的推论和余角的性质，分析、判断各小题的正确与否，再作选择．【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，原说法错误；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确；③平行于同一条直线的两条直线互相平行，原说法正确；④同角或等角的余角相等，原说法正确．故答案为：①．【点睛】本题考查了对顶角的性质、垂线的性质、余角的性质、平行公里等知识；熟练掌握相关的性质是解题的关键．8．（2021·吉林宽城·七年级期末）如图，直线m ∥n ．若140∠=︒，230∠=︒，则3∠的大小为_____度．【答案】70【解析】【分析】如图（见解析），过点B 作AB m ，再根据平行线的性质可得140,230ABC ABD ∠=∠=︒∠=∠=︒，然后根据角的和差即可得．【详解】，解：如图，过点B作AB m∴∠=∠=︒，ABC140，m n∴ ，AB n∴∠=∠=︒，ABD230∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，3403070ABC ABD故答案为：70．【点睛】本题考查了平行线的性质与推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．9．（2022·吉林长春·七年级期末）小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E作EF∥AB则有∠BEF＝∠B∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠FED＝∠D∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：（1）直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．（2）拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．【答案】（1）55°；（2）当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC+∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD；【解析】【分析】（1）过点P作PG∥l1，可得∠APG=∠PAC=15°，由l1∥l2，可得PG∥l2，则∠BPG=∠PBD=40°，即可得到∠APB=∠APG+∠BPG=55°；（2）分当P在线段CD上时；当P在DC延长线上时；当P在CD延长线上时，三种情况讨论求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点P作PG∥l1，∴∠APG=∠PAC=15°，∵l1∥l2，∴PG∥l2，∴∠BPG=∠PBD=40°，∴∠APB=∠APG+∠BPG=55°；（2）由（1）可得当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC+∠PBD；如图1所示，当P在DC延长线上时，过点P作PG∥l1，∴∠APG=∠PAC，∵l1∥l2，∴PG∥l2，∴∠BPG=∠PBD=40°，∴∠APB =∠BPG -∠APG =∠PBD -∠PAC ；如图2所示，当P 在CD 延长线上时，过点P 作PG ∥l 1，∴∠APG =∠PAC ，∵l 1∥l 2，∴PG ∥l 2，∴∠BPG =∠PBD =40°，∴∠APB =∠APG -∠BPG =∠PAC -∠PBD ；∴综上所述，当P 在线段CD 上时，∠APB =∠PAC +∠PBD ；当P 在DC 延长线上时，∠APB =∠PBD -∠PAC ；当P 在CD 延长线上时，∠APB =∠PAC -∠PBD ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．10．（2021·浙江长兴·七年级期末）如图1，在三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，直线a 与边AC ，AB 分别交于,D E 两点，直线b 与边,BC AC 分别交于,F G 两点，且//a b ．（1）若44AED ∠=︒，求BFG ∠的度数；（2）如图2，P 为边AB 上一点，连结PF ，若180PFG BFG ∠+∠=︒，请你探索PFG ∠与AED ∠的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若DEB m ∠=，延长AB 交直线b 于点Q ，在射线DC 上有一动点P ，连结,PE PQ ，请直接写出PEQ ∠，EPQ ∠，PQF ∠的数量关系（用含m 的式子表示）．【答案】（1）134°；（2）∠AED+∠PFG=90°，理由见解析；（3）∠PEQ+∠EPQ－∠PQF=m或∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m【解析】【分析】（1）如图1，过点B作直线BH∥a，根据平行线的性质可得∠ABH=∠AED=44°，∠CBH+∠BFG=180°，求出∠CBH=90°－∠ABH=46°，即可求解；（2）如图2，过点B作直线BH∥a，则由平行线的性质可得∠ABH=∠AED，∠CBH+∠BFG=180°，则可以得到∠CBH=∠PFG，即可推出∠AED+∠PFG=90°；（3）分当P在DG和在DG的延长线上，两种情况，利用平行线的性质进行求解即可．【详解】解：（1）如图1，过点B作直线BH∥a，∴∠ABH=∠AED=44°，∵∠ABC=90°，∴∠CBH=90°－∠ABH=46°，∵BH∥a，a∥b，∴BH∥b，∴∠CBH+∠BFG=180°，∴∠BFG=180°－∠CBH=134°（2）∠AED+∠PFG=90°，理由如下：如图2，过点B作直线BH∥a，由（1）得，BH∥a∥b，∴∠ABH=∠AED，又∠CBH+∠ABH=90°，∴∠CBH+∠AED=90°，∵∠CBH+∠BFG=180°，又∠PFG+∠BFG=180°，∴∠CBH=∠PFG，∴∠AED+∠PFG=90°．（3）∠PEQ+∠EPQ－∠PQF=m或∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m，理由如下：如图所示，当P在DG上时，过点P作PH∥a，同（1）原理可以得到PH∥b，∴∠DEP=∠HPE，∠PQF=∠HPQ，∵∠DEB=∠DEP+∠PEQ，∠EPQ=∠EPH+∠HPQ，∴∠DEB=∠PEQ+∠EPH=∠PEQ+∠EPQ-∠HPQ=∠PEQ+∠EPQ-∠PQF，∴∠PEQ+∠EPQ－∠PQF=m；如图所示：当P在DG的延长线上时，过点P作PH∥a，同（1）原理可以得到PH∥b，∴∠DEP=∠HPE，∠PQF=∠HPQ，∵∠DEB=∠DEP+∠PEQ，∠EPQ=∠EPH-∠HPQ，∴∠DEB=∠PEQ+∠EPH=∠PEQ+∠EPQ+∠HPQ=∠PEQ+∠EPQ+∠PQF，∴∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m；∴∠PEQ+∠EPQ－∠PQF=m或∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解．。
《平行线的判定》七年级初一数学下册PPT课件
观察∠1与∠2，你发现了什么？
c
P
b
a
P
A
b
1
B
a
2
平行线的画法 ：一放、二靠、三推、四画。
平行线判定方法1
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简写为：同位角相等，两直线平行。
几何描述：
c
∵ ∠1=∠2（已知）
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）
b
A
1
B
a
2
情景思考
你能说出木工用角尺画平行线的道理吗？
平行线性质1
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
c
简写为：两直线平行，同位角相等。
几何描述：
b
A
1
∵ a∥b （已知）
∴ ∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）
B
a
2
探索与思考
如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角之间有什么关系呢?
c
如图，已知a∥b ，试证明∠1与∠3之间的关系.
∵ a∥b（已知）
∴ ∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）
而∠2=∠3 （对顶角相等）
∴ ∠1=∠3（等量代换）
b
A
1
3
B
a
2
平行线性质2
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
c
简写为：两直线平行，内错角相等。
几何描述：
∵ a∥b （已知）
∴ ∠1=∠2 （两直线平行，内错角相等）
b
A
1
2
B
a
探索与思考
如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角之间有什么关系呢?
课堂互动
人教版七年级下数学课件平行线的判定
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拓展点二 平行线的判定方法的综合运用 例2 如图,∠α=∠A,∠β=∠B.证明MN与CD平行.
分析:证明MN∥CD的思路有很多. (1)∠NMD=∠α.(2)∠NMD+∠MDC=180°.(3)∠AMN=∠ADC.(4)平 行公理的推论等.同时一种思路有可能有多种变式.本题根据题目 条件和图形特点,可选择的思路是:由∠A=∠α推出AB∥DC,由 ∠β=∠B推出AB∥MN,最后根据平行公理的推论得到MN∥CD.
教材习题答案
知识点一
知识点二
知识点三
例1 如图,已知∠AED=60°,∠2=30°,EF平分∠AED,可以判断 EF∥BD吗?为什么?
分析:本题可通过证直线EF与BD的内错角∠1和∠2相等,来得出 EF∥BD的结论.
解:EF∥BD.理由如下:
∵∠AED=60°,EF平分∠AED, ∴∠FED=∠1=30°. 又∵∠2=30°, ∴∠1=∠2. ∴EF∥BD(内错角相等,两直线平行).
知识点一
知识点二
知识点三
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综合知识拓展
教材习题答案
知识点二 平行线的判定方法2 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线 平行.简单地说,内错角相等,两直线平行. 名师解读 符号语言为:因为∠2=∠3,所以l1∥l2(内错角相等,两直 线平行).
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教材习题答案
5.解:可以根据“同旁内角互补,两直线平行”,分别量出一对同旁内 角,看它们是否互补.也可以在上面画一条截线,利用平行线的判定 方法,测出相应的角度进行判断.
6.解:a∥b,c∥d,e⊥b,e⊥a. 7.解:(1)AB∥CD(同位角相等,两直线平行);(2)AD∥BC(内错角相 等,两直线平行);(3)AD∥EF(同旁内角互补,两直线平行). 8.学生课后独立完成. 9.解:a∥b,d∥e,f∥g,a⊥d,b⊥d,a⊥e,b⊥e,g⊥h,f⊥h. 10.解:通过度量图中的∠2,∠3,∠4,∠5等于90°,都可以说明平安大 街与长安街是互相平行的. 11.解:A1B1∥AB,AA1⊥AB,A1D1⊥C1D1,AD∥BC. 12.∠1=∠3时,a∥b.根据“同位角相等,两直线平行”. ∠2+∠3=180°时,a∥b.根据“同旁内角互补,两直线平行”.
初一数学最新课件-平行线的判定 精品
1、什么叫平行线？
2、根据下列演示，指出 同位角、内错角、同旁内角 3、经过一点画已知直线的
平行线的画法
4、想一想：你能否直接用平行线的 定义来判断两直线是否平行？
平行线的判定公理
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行。 简单说成：同位角相等，两直线平行。
格推 式理
1= A （已知）
A
B
1
-B--C---//--A---D-
（同位角相等，两直线平行）
D
C
七嘴八舌说一说
cห้องสมุดไป่ตู้
如图：（1）由1= 2， 可推出a//b吗？为什么？
3 答：可以推出a//b。 根据同位角相等，两直线平行
（2）由3= 2，可推出a//b吗？ 如何推出？写出你的推理过程
解： 1=3(已知） 3= 2（对顶角相等）
1= 2 a//b(同位角相等，两直线平行）
a
2
b
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第五章 相交线与平行线
5.2 平行线及其判定
5.2.2 平行线的判定（1）
位角注相两意等条两观,直直察那线我线!么被们平这如第能行两三得何的条条到方直刚角画直一法线才板线个平吗的起平所判？画着行行截法什定. 中么,线如，作果？三用同?
b
．P
2
∠1与∠2具有什么
样的位置关系？
a 1
3. 爱岗敬业，教书育人。为师者，一言一行都会对学生产生深远的影响，特别是师 范类学生，自己的形象会对他们日后的教学方式、工作态度产生潜移默化的影响。所 以，作为师范要时刻谨记我们面对不是眼前的这一名学生，而是他们背后的几代人。所 以对于自己的爱岗敬业提出了更高的要求，应该以近乎完美的苛刻标准来要求自己，评 判自己的工作，塑造自己形象，要做一个甘于物质清贫而精神富足的人。
应用练习
1.如图,如果∠3=∠7，那么 ___a__∥__b___，理由是
__同__位__角__相__等，两直线平行 ；如果∠5=∠3，那么
____a_∥_b____，理由是__内__错__角__相__等，两直线平行 ； 如果∠2+∠5= ___18_0__°，那么 a∥ b ,理由是
__同__旁__内__角__互补，两直线平行 .
平行线的判定方法1
两条直线被第三条直线所截 ,如 果同位角相等, 那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等,两直线平行.
推理
格式
E
∠1=∠2，
AB∥CD.
2
C
D
1
A
B
(同位角相等，两直线平行) F
理解运用
1.如图,哪两个角相等能判 定直线AB∥CD?
3
A
B
1
2
4
C
D
理解运用
2.如果∠231 =∠542 , 能判定哪 两条直线平行?
补∠）1 ，=∠3（同角的补角相等）. A
3
D
2
1
B
AB∥CD(同位角相等，两直线平行).
F
平行线的判定方法3
两条直线被第三条直线所截 ,如 果同旁内角互补, 那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补,两直线平行.
推理
格式
E
∠1+∠2=180°， C
AB∥CD.
A
D
2 1
B
(同旁内角互补，两直线平行) F
B
F
AB∥CD (同位角相等，两直线平行).
平行线的判定方法2
两条直线被第三条直线所截 ,如 果内错角相等, 那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等,两直线平行.
推理
格式
E
∠1=∠2，
AB∥CD.
C
D
2
1
A
B
(内错角相等，两直线平行) F
探究2
如图，已知∠1+∠2=180°，AB与 CD平行吗？为什么？
2. 学高为师，身正为范。不但要有崇高的师德，还要有深厚而扎实的专业知识。要 做一名让学生崇拜的师者，就要不断的更新知识结构，拓宽知识视野，自己不断的钻研 学习，加强对教材的驾御能力才能提高自己的教学方法，才能在学生心目中树立起较高 的威信。因此，必须树立起终身学习的观念，不断的更新知识、总结经验，取他人之长 来补己之短，才能使自己更加有竞争力和教育教学的能力，才能以己为范，引导学生保 持对知识的惊异与敏锐。
直
线
所 截
同旁内角互补，两直线平行.
布置作业
作业： 1. 习题5.2 第4、5、7题. 2.选做题：习题5.2 第8题.
---------------------------------- 赠予 ----------------------------------
名师心得
1. 因材施教，注重创新。所讲授的每门课程应结合不同专业、不同知识背景的学生 来调整讲授的内容和方法。不仅重视知识的传授，更要重视学生学习能力、分析和解决 问题能力的培养，因为这些才是学生终生学习的根本。 注重教学创新，不仅体现在教学 模式、教学方法方面，更主要的是体现在内容的创新与扩充、实践环节的同步改革上。
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应用练习
2.如图, 如果∠2=∠6，那么 AD ∥ BC ，如果
∠3+∠4+∠5+∠6=180°，那么_A_D_∥_B_C___，如果 ∠7=_∠__B_A_D ，那么AD∥BC，如果∠7= ∠BCD ， 那么AB∥CD.
A
D
6
5
1 2
B7
4 3
C
应用练习
3.如图所示，直线 a ，b 被直线 c 所截，现给
E
∠1 +∠2=180°（已知）， C
D
∠2 +∠3=180°（邻补角互
32
补∠）1 ，=∠3（同角的补角相等）. A
1
B
AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
F
探究2
如图，已知∠1+∠2=180°，AB与 CD平行吗？为什么？
E
∠1 +∠2=180°（已知）， C
∠2 +∠3=180°（邻补角互
出下列四个条件：①∠1=∠5；②∠1=∠7； ③∠2+∠3=180°；④∠4=∠7.其中能说明
a ∥ b 的条件序号为（ A ）
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
41 32 65 78
应用练习
4. 打开课本第15、16页，做练习第1、2题.
两
条
直 同位角相等，两直线平行.
线
被
第
三 条
内错角相等，两直线平行.
E
G
1 A
3 2 C
F
B 4 5
D
H
2021年提分拉升尖子班 数学七年级下册 专题精讲
打开课本第1道理吗？
如图，已知∠1=∠2，AB与CD平行
吗？为什么？
E
C
∠1 =∠2（已知），
3 D
2
∠2 =∠3（对顶角相
∠等1）=，∠3.
A
1