2011 离散数学考试总复习
离散数学考前综合复习资料
《离散数学》综合复习资料一、判断题1． A 、B 、C 是任意命题公式，如果A ∧C ⇔B ∧C ，一定有A ⇔B 。
（ ）2．设<A ，*>是一个代数系统，且集合A 中元素的个数大于1。
如果该代数系统中存在幺元e 和零元θ，则e ≠θ。
（ ）3． A 、B 、C 为任意集合，已知A ⋃B=A ⋃C ，必须有B=C 。
（ ） 4． 自然数集是可数的。
（ ）5． 命题联结词{⌝，∧，∨}是最小联结词组。
（ ） 6． 有理数集是可数的。
（ ） 7． 交换群必是循环群。
（ ）8． 图G 的邻接矩阵A ，A l 中的i 行j 列表示结点v i 到v j 长度为l 路的数目。
（ ） 二、解答题1．求命题公式⌝(P →Q)的主析取范式。
2．举出A={a,b,c}上的二元关系R 和S 满足：（1）R 既不是自反的又不是反自反的，既是对称的又是反对称的； （2）S 既不是对称的又不是反对称的，是传递的。
3．以下哪些是函数？哪些是入射？哪些是满射？对任意一个双射，写出它们的逆函数。
（1） f: N →Q, f(x) = 1/x（2） f: R ⨯R →R ⨯R, f(x,y)=<y+1,x+1> 4．判断下列代数系统是否是群，并说明理由：(1) <R ，->：实数集关于减法； (2) <I ，+>：整数集关于加法；5.构造一非空偏序集，它存在一子集有上界，但没有最小上界。
它还有一子集，存在最大下界但没有最小元。
6.画一个有欧拉回路，但没有汉密尔顿回路的图。
d ︒ b ︒︒e ︒c︒a7.将下列命题符号化（1）如果张三和李四都不去，她就去。
（（⌝P ∧⌝Q ）→R ） （2）今天要么是晴天，要么是雨天。
（P ∀Q ） 8.设G=<V,E>，V={V1,V2,V3,V4}的邻接矩阵：（1）试画出该图。
（2）V2的入度d -(V2)和出度d +(V2)是多少？（3）利用邻接矩阵的性质求从V1到V2长度为3的路有几条？ 9.将下列命题符号化（1）除非你走否则我留下。
离散数学期末总复习
3．传递性 若 xyz(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z> ∈R), 则称R是A上的传递关系.
6、关系的闭包 设R是非空集合A上的关系, R的自反 （对称或传递）闭包是A上的关系R, 使得 R满足以下条件： （1）R是自反的（对称的或传递的） （2）RR （3）对A上任何包含R的自反（对称或传递） 关系R 有RR. 一般将R的自反闭包记作r(R), 对称闭包 记作s(R), 传递闭包记作t(R).
(p r) (q r )
pr p(qq)r (pqr)(pqr) M0M2 qr (pp)qr (pqr)(pqr) M0M4
A =(p q) ∨r M0M2M4
6. 联结词完备集 设S是一个联结词集合，如果任何 n(n1) 元真值函数都可以由仅含S中的联结 词构成的公式表示，则称S是联结词完备集.
期末考试的题型：
一、选择题：10题*2分
二、填空题：5题*2分 三、计算题：5题*9分
四、证明题：2题*8分
五、综合题：1题:9分
第一部分
1┐p
（1）否定“ ┐”
0 1
p q 0 1 0 1
1 0
p∧q
（2）合取“ ∧ ”
0 0 1 1
0 0 0 1
例如： p, pq, pq, (pq)p(pqr)
范式——析取范式与合取范式的总称
（3）、主析取范式与主合取范式
在含有n个命题变项的简单合取式（简 单析取式）中，若每个命题变项和它的否 定式恰好出现且仅出现一次，而且命题变 项和它的否定式按下标从小到大或按字典 顺序排列，称这样的简单合取式（简单析 取式）为极小项(极大项).
离散数学总复习,西工大离散复习
• 陪集、拉格朗日定理，与有限群相关的数量结果(P208)
• 正规子群，正规子群的陪集（G的同余类）(P210)
• 同态/同构映射与同态/同构（代数系统、半群、独异点、群）
• 同余关系（P183）
• 群同态诱导的等价关系是同余关系，核K是正规子群（P211）
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第六章 代数—群
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代数重点
• 代数结构中特殊元素的识别 • 半群、含幺半群、群、子群的证明方法 • 同态相关的证明
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The End
• 好好复习，考出好成绩！ • 感谢大家一个学期的配合及努力 • 同学们辛苦了~ • PS:欢迎大家在四年后报考我的 研究生
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函数的重点
• 单射函数、满射函数、双射函数的判断 • 函数的运算(合成、逆运算等) • f诱导的等价关系，规范映射
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第六章 代数
知识点
• 代数系统、子代数系统的概念：封闭性； • 特殊的元素：幺元、零元、逆元、等幂元的识别（P172） • 主要的代数系统：广群、半群、独异点、群、子群；代数系 统之间的关系； • 置换群和循环群的定义（P202）
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谓词逻辑的推理方法
• 规则：US、UG、ES、EG、命题逻辑的规则 • 可使用的公式表：命题逻辑的等价式、蕴含式； 谓词逻辑的常用等价式和蕴含式； • 推理方法： 同命题逻辑
8
谓词逻辑重点
• 自然语言的形式化（注意量词如何 加入和论述域） • 谓词逻辑推理方法
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第二章 集合
知识点
1. 集合的基本概念与表示方法，全集与空集 2. 集合的运算:交并补差、环和(对称差)、环积、幂 集 3. 集合的三种关系(包含,相等,真包含)的定义及证明. 4. 归纳法的证明方法 5. 序偶与笛卡尔积；
离散数学 期末复习题
1．设X={a，b，c，d}，R是X上的二元关系，R={<a,a>,<c,a>,<a,c>,<c,c>,<c,b>,<d,c>,<d,a>,<d,b>}。
（1）画出R的关系图；（2）写出R的关系矩阵。
2．设A＝｛1，2，3，4，6，12｝，R为A上整除关系，试画<A，R>的哈斯图，并求A中的最大元，最小元，极大元，极小元。
我夫人过生日，我送一束鲜花给她，除非我工作忙。今天我没有送鲜花给夫人，今天是夫人的生日，由此是否可以推得“今天我工作忙”。
本题 2 页，本页为第 2 页
教务部试题编号：
一、单项选择题
1.下列句子是命题的是( )。
A.下雪了吗? B. 1+1=10。
C.天气真好！D.我正在说谎。
2.设A=｛1，2｝，B=｛a,b｝，下列二元关系R是A到B的函数的是( )；
3．求有向图G＝<V，E>的邻接矩阵，其中V＝｛v1,v2,v3｝，E＝｛(v1,v2), (v2,v3), (v3,v2), (v3,v1)｝。
4. 构造命题公式(┓P∨┓Q)→(P ┓Q)的真值表，并写出其主析取范式。
5.求公式 xP(x)→ yQ(y)的前束范式。
四、应用题
判断下面推理是否正确，并证明你的结论。
A．<F,+>是可换群B．<F, >是可换单元半群
C． 对+是可分配的D．<F, >每个元均有逆元
5 .设有限群（G , *）的阶为7，下列叙述不正确的是( )；
A.有1阶子群B.有7阶子群
C.无真子群D.有真子群
离散数学--总复习
第一部分：集合论知识点：集合关系（∈，⊆,⊂,∉,=）集合运算（并、交、差、对称差、补集、幂集），特殊集合（∅，E，P(A)）集合恒等式（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、德摩根律、补交转换律(A-B=A⋂~B)、德·摩根律~(B⋃C)=~B~⋂C，A-(B⋃C)=(A-B)⋂(A-C)）证明集合包含或相等（根据定义, 通过逻辑等值演算证明、利用已知集合等式或包含式, 通过集合演算证明）1. 证:A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C)证∀x x∈A⋃(B⋂C)⇔ x∈A∨(x∈B∧ x∈C) (并,交的定义)⇔(x∈A∨x∈B)∧(x∈A∨x∈C) (逻辑演算的分配律)⇔x∈(A⋃B)⋂(A⋃C)2. 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证(A-C)-(B-C)= (A ⋂ ~C) ⋂ ~(B ⋂ ~C) (补交转换律)= (A ⋂ ~C) ⋂ (~B ⋃ ~~C) (德摩根律)= (A ⋂ ~C) ⋂ (~B ⋃ C) (双重否定律)= (A ⋂ ~C ⋂ ~B) ⋃(A ⋂ ~C ⋂ C) (分配律)= (A ⋂ ~C ⋂ ~B) ⋃(A ⋂∅) (矛盾律)= A ⋂ ~C ⋂ ~B (零律,同一律)= (A ⋂ ~B) ⋂ ~C (交换律,结合律)= (A – B) – C第二部分：逻辑学命题的定义（凡具有确定真假意义的陈述句均称为命题。
）联结词（⌝、∧、∨、→、↔、↑、↓（公式转化为只含↑、↓的表达形式））例：将p → q化为只含↑的公式p → q ⇔⌝p ∨q⇔⌝(p∧⌝q) ⇔ p↑⌝q⇔p↑⌝( q∧q)⇔ p↑ q↑ q命题符号化(1、王晓虽然聪明，但不用功.2、张辉与王丽都是三好生.3、张辉与王丽是同学.4、除非天冷，小王才穿羽绒服.5、除非小王穿羽绒服，否则天不冷.)等值演算（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、蕴涵等值式A→B⇔⌝A∨B等价等值式A↔B⇔(A→B)∧(B→A)假言易位等值式A→B⇔⌝B→⌝A等价否定等值式A↔B⇔⌝A↔⌝B）证明p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r证p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p⌝∨q)∨r （结合律）⇔⌝(p∧q)∨r （德摩根律）⇔ (p∧q) →r （蕴涵等值式）判断下列公式的类型q⌝∧(p→q)解q⌝∧(p→q)⇔ q⌝∧(⌝p∨q) （蕴涵等值式）⇔ q∧(p⌝∧q) （德摩根律）⇔ p∧(q⌝∧q) （交换律，结合律）⇔ p∧0 （矛盾律）⇔ 0 （零律）该式为矛盾式.命题公式（重言式、矛盾式、可满足式），利用真值表判断，等值演算，范式。
离散数学期末复习总要
离散数学期末复习总要离散数学期末复习各个章节要点纲要（及定理）离散数学定义定理1.3.1命题演算的合式公式规定为：（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
（2）如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。
（3）如果A和B是合式公式，那么（A∨B）、（A∧B）、（A→B）、（A?B）、都是合式公式。
（4）当且仅当有限次地应用（1）（2）（3）所得到的包含命题变元，连接词和圆括号的符号串是合式公式。
1.3.2 设Ai是公式A的一部分，且Ai是一个合式公式，称Ai是A的子公式。
1.3.3 设P为一命题公式，P1,P2,……，Pn为出现在P中的所有命题变元，对P1,P2,……，Pn指定一组真值称为对P的一种指派。
若指定的一种指派，使P的值为真，则称这组指派为成真指派。
若指定的一种指派，使P的值为假，则称这种指派为成假指派。
含n个命题变元的命题公式，共有2n个指派。
1.3.4 给定两个命题公式A和B，设P1,P2,……，Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1,P2,……，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，称A和B是等价的，记做A <=>B。
1.3.5 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为真，则称A为重言式或永真式。
1.3.6 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
1.3.7设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下至少存在一组成真指派，则称A为可满足式。
1.4.1 设X式合式公式A的子公式，若有Y也是一个合式公式，且X<=>Y，如果将Ａ中的Ｘ用Ｙ置换，得到公式Ｂ，则A<=>B。
1.4.2 设A，B为两个命题公式，A<=>B，当且仅当A ←→B为一个重言式。
P=>Q称做P蕴含Q或蕴含式，又称永真条件式。
蕴含式有下列性质：（1）对任意公式A，又A=>A；（2）对任意公式A，B和C，若A=>B，B=>C，则A=>C；（3）对任意公式A，B和C，若A=>B，A=>C，则A=>(B∧C); （4）对任意公式A，B和C，若A=>C，B=>C，则A∨B=>C.1.4.3设P，Q为任意两个命题公式，P<=>Q的充分必要条件式P=>Q,，Q=>P。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
离散数学复习整理
百度文库离散数学复习整理离散数学复习整理离散数学复习整理函数***重点掌握：单射、满射、双射函数的概念一、函数的概念（和数学里面函数的概念差不多）A为函数f的定义域，记为domf=A；f(A)为函数f的值域，记为ranf。
|f|=|A|f(x)表示一个变值，f代表一个集合，因此f≠f(x)。
⨯|A||B||A|从A到B的不同的关系有2个；但从A到B的不同的函数却仅有|B|个。
(个数差别) 每一个函数的基数都为|A|个(|f|=|A|)，但关系的基数却为从零一直到|A|×|B|。
二、特殊函数单射：对任意x,x∈A，如果x≠x，有f(x)≠f(x)，则称f为从A到B的单射（不同的x对应121212不同的y)；满射：如果ranf＝B，则称f为从A到B的满射；（B的定义域都能通过函数f(x)求到）双射：若f是满射且是单射，则称f为从A到B的双射。
若A＝B，则称f为A上的函数；当A上的函数f是双射时，称f为一个变换。
定理：8.2.1设A，B是有限集合，且|A|=|B|，f是A到B的函数，则f是单射当且仅当f是满射。
典型(自然)映射：设R是集合A上的一个等价关系，g：A→A/R称为A对商集A/R的典型(自然) 映射，其定义为g(a)＝[a]，a∈A.R恒等函数：如果A=B，且对任意x∈A，都有f(x)=x，则称f为A上的恒等函数，记为I。
A常值函数：如果∃b∈B，且对任意x∈A，都有f(x)=b，则称f为常值函数。
上取整函数：对有理数x，f(x)为大于等于x的最小的整数，则称f(x)为上取整函数(强取整函数)，记为f(x)= ；下取整函数：对有理数x，f(x)为小于等于x的最大的整数，则称f(x)为下取整函数(弱取整函数)，记为f(x)= ；三、函数的复合运算不满足交换律，但满足结合律1.函数f和g可以复合⇔ranf⊆domg；2.dom(fog)=domf，ran(fog)⊆rang；3.对任意x∈A，有fog(x)=g(f(x))。
《离散数学》总复习
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二、重点和难点
1、掌握元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系。 2、运用集合运算的基本定律去化简集合表达式或证明集合等 式。
3、掌握二元关系的五个性质和二元关系的运算。
4、等价关系的证明、等价类的求解，偏序关系的特定元素的 求解。
5、函数的性质，求复合函数和逆函数。
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6、设Ｘ为集合，证明＜ ρ(X), ∩ ＞与＜ ρ(X), ∪ ＞是同构的。 证：对任意的Sρ(X), 设 f(S)=～S （1）来证f是个同态映射，即证：f(S1∩S2) = f(S1)∪f(S2) ） f(S1∩S2) ＝ ~(S1∩S2) ＝ ~S1∪~S2 ＝ f(S1)∪f(S2) （2）来证f是个双射函数 任取S1, S2ρ(X), 且S1 ≠ S2, f(S1)=～S1, f(S2)=～S2 因为S1 ≠ S2，所以， ～S1 ≠ ～S2，即f(S1) ≠ f(S2)。故f是单 射的；又因为f是ρ(X)到ρ(X)的自身的映射，故f是满射的。即 f为双射。
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8、环和域的定义。 9、子环的定义及其判定方法。 10、格的定义及其性质。
11、特殊的格：分配格、有界格、有补格、有补分配格。
12、布尔代数及其性质。
二、重点和难点
1、代数系统的定义及特异元素，如何证明两个代数系统同态 与同构。
2、循环群的定义及其性质。 3、子群的定义及其判定方法。 4、格的定义及其性质。
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2、证明推理： (PQ)(RS), (QP)R, R PQ 证： ① R P ② (QP)R P ③ (QP) T,①,②,I ④ R S T,①,I ⑤ (PQ)(RS) P ⑥ P Q T,④,⑤,I ⑦ P Q T,③,⑥,I
离散数学总复习-知识点
离散数学总复习第1章命题逻辑一、命题的判断例：1、仁者无敌！2、x+y<23、如果雪是红的，那么地球是月亮的卫星。
4、我正在说谎。
二、命题符号化例：1、蓝色和黄色可以调成绿色。
2、付明和杨进都是运动员。
3、刘易斯是百米游泳冠军或百米跨栏冠军。
4、李飞现在在宿舍或在图书馆。
5、只要天不下雨，我就步行上学校。
6、只有天不下雨，我才步行上学校。
7、并非只要你努力了，就一定成功。
三、主范式1、会等值演算；2、主合取和主析取范式的相互转换。
例：求命题公式P∨Q的主析取范式和主合取范式。
3、根据主范式进行方案的选择例1：某科研所要从3名科研骨干A,B,C中挑选1-2名出国进修，由于工作需要，选派需同时满足条件：（1）若A去，则C同去；（2）只有C不去，B才去；（3）只要C不去，则A或B就可以去。
问有哪些选派方案？例2：甲、乙、丙、丁四人有且仅有两个人参加比赛，下列四个条件均要满足：（1）甲和乙有且只有一人参加；（2）丙参加，则丁必参加；（3）乙和丁至多有一人参加；（4）丁不参加，甲也不会参加。
问哪两个人参加了比赛？四、简单的推理例1：如果明天天气好我们就去爬长城。
明天天气好。
所以我们去爬长城。
例3：课后习题16第2章谓词逻辑一、谓词逻辑中的命题符号化例：1、所有运动员都是强壮的2、并非每个实数都是有理数3、有些实数是有理数二、量词的辖域，约束变元换名、自由变元代替例：1、∀x(P(x)∨∃yR(x,y))→Q(x)2、∀x(P(x,z)∨∃yR(x,y))→Q(x)中量词的辖域，重名情况，改名等三、命题逻辑永真式的任何代换实例必是谓词逻辑的永真式。
同样，命题逻辑永假式的任何代换实例必是谓词逻辑的永假式。
例：1、(∀xP(x)→∃xQ(x))↔(⌝∀xP(x)∨∃xQ(x))2、(∀xP(x)→∃xQ(x))∧(∃xQ(x))→∀zR(z)))→(∀xP(x) →∀zR(z))1-2是永真式（重言式）3、⌝(∀xF(x) ∃yG(y)) ∧ ∃yG(y) 永假式（矛盾式）四、消量词例：个体域D={1,2}，对∀x∀y(P(x)→Q(y))消量词五、简单的前束范式会判断即可。
《离散数学》期末复习
《离散数学》期末复习《离散数学》期末复习内容：第一章~第七章题型：一、选择题（20%，每题2分）二．填空题（20%，每题2分）三、计算题（20%，每题5分）四、证明题（20%，每题5分）五、判断题（20%，每题2分）第1章数学语言与证明方法1.1 常用的数学符号1.计算常用的数学符号式子1.2 集合及其表示法1.用列举法和描述法表示集合2.判断元素与集合的关系(属于和不属于)3.判断集合之间的包含与相等关系，空集(E)，全集(?)4.计算集合的幂集5.求集合的运算：并、交、相对补、对称差、绝对补6.用文氏图表示集合的运算7.证明集合包含或相等方法一：根据定义, 通过逻辑等值演算证明方法二：利用已知集合等式或包含式, 通过集合演算证明1.3 证明方法概述1、用如下各式方法对命题进行证明。
直接证明法：A→B为真间接证明法：“A→B为真” ?“ ?B→ ?A为真”归谬法(反证法)：A∧?B→0为真穷举法：A1→B, A2→B,…, A k→B 均为真构造证明法：在A为真的条件下, 构造出具有这种性质的客体B ?空证明法：“A恒为假” ?“A→B为真”平凡证明法：“B恒为真” ?“A→B为真”数学归纳法：第2章命题逻辑2.1 命题逻辑基本概念1、判断句子是否为命题、将命题符号化、求命题的真值（0或1）。
命题的定义和联结词(?, ∧, ∨, →, ?)2、判断命题公式的类型赋值或解释.成真赋值,成假赋值；重言式(永真式)、矛盾式(永假式)、可满足式:。
2.2 命题逻辑等值演算1、用真值表判断两个命题公式是否等值2、用等值演算证明两个命题公式是否等值3、证明联结词集合是否为联结词完备集2.3 范式1、求命题公式的析取范式与合取范式2、求命题公式的主析取范式与主合取范式（两种主范式的转换）3、应用主析取范式分析和解决实际问题2.4 命题逻辑推理理论1、用直接法、附加前提、归谬法、归结证明法等推理规则证明推理有效第3章一阶逻辑3.1 一阶逻辑基本概念1、用谓词公式符号命题（正确使用量词）2、求谓词公式的真值、判断谓词公式的类型3.2 一阶逻辑等值演算1、证明谓词公式的等值式2、求谓词公式的前束范式第4章关系4.1 关系的定义及其表示1、计算有序对、笛卡儿积2、计算给定关系的集合3、用关系图和关系矩阵表示关系4.2 关系的运算1、计算关系的定义域、关系的值域2、计算关系的逆关系、复合关系和幂关系3、证明关系运算满足的式子4.3 关系的性质1、判断关系是否为自反、反自反、对称、反对称、传递的2、判断关系运算与性质的关系3、计算关系自反闭包、对称闭包和传递闭包4.4 等价关系与偏序关系1、判断关系是否为等价关系2、计算等价关系的等价类和商集3、计算集合的划分4、判断关系是否为偏序关系5、画出偏序集的哈期图6、求偏序集的最大元、最小元、极小元、极大元、上界、下界、上确界、下确界7、求偏序集的拓扑排序第5章函数1.判断关系是否为函数2.求函数的像和完全原像3.判断函数是否为满射、单射、双射4.构建集合之间的双射函数5.求复合函数6.判断函数的满射、单射、双射的性质与函数复合运算之间的关系7.判断函数的反函数是否存在，若存在求反函数第6章图1.指出无向图的阶数、边数、各顶点的度数、最大度、最小度2.指出有向图的阶数、边数、各顶点的出度和入度、最大出度、最大入度、最小出度最小入出度3.根据握手定理顶点数、边数等4.指出图的平行边、环、弧立点、悬挂顶点和悬挂边5.判断给定的度数列能否构成无向图6.判断图是否为简单图、完全图、正则图、圈图、轮图、方体图7.求给定图的补图、生成子图、导出子图8.判断两个图是否同构6.2 图的连通性1.求图中给定顶点通路、回路的距离2.计算无向图的连通度、点割集、割点、边割集、割边3.判断有向图的类型：强连通图、单向连通图、弱连通图6.3 图的矩阵表示1.计算无向图的关联矩阵2.计算有向无环图的关联矩阵3.计算有向图的邻接矩阵4.计算有向图的可达矩阵5.计算图的给定长度的通路数、回路数6.4 几种特殊的图1、判断无向图是否为二部图、欧拉图、哈密顿图第7章树及其应用7.1 无向树1.判断一个无向图是否为树2.计算无向树的树叶、树枝、顶点数、顶点度数之间的关系3.给定无向树的度数列，画出非同构的无向树4.求生成树对应的基本回路系统和基本割集系统5.求最小生成树7.2 根树及其应用1.判断一个有向图是否为根树2.求根树的树根、树叶、内点、树高3.求最优树4.判断一个符号串集合是否为前缀码5.求最佳前缀码6.用三种方法遍历根树。
离散考试复习题题
第一部分：数理逻辑1 下列语句是命题的是( ）：A.15能被3整除，3是偶数吗？B.明年5月1日是晴天C.2X+3>0D.我在说谎.2下列叙述中有( ）个命题(1)离散数学是计算机科学系的一门必修课 (2) 地球外的星球上也有人(3) 我正在说谎. (4)请不要吸烟A.1个B.2个C. 3个D. 4个3 下列语句中不是．．命题的只有（）A．这个语句是假的。
B．1+1=1.0C．飞碟来自地球外的星球。
D．凡石头都可练成金。
4 设p：我很累，q：我去学习，命题：“除非我很累，否则我就去学习”的符号化正确的是A．┐p∧q B．┐p→qC．┐p→┐q D．p→┐q5 令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）A. p∧┐q B．p∨┐qC. p∧q D．p→┐q6使用逻辑连接词将下列复合命题符合化：（1）如果天不下雪且我有时间，我就进城；（2）我进城的必要条件是我有时间；（3）天不下雪或我不进城；（4）我进城当且仅当我有时间且天不下雪。
7判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”11. 将下列命题符号化(1)2或3是素数.(2)4或6是素数.(3)小元元只能拿一个苹果或一个梨.(4)王晓红生于1975年或1976年.8命题公式q ∧(p ∨┐q)的成真赋值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿9命题公式p ∨(┐p →(q ∨(┐q →r)))的成假赋值是＿＿＿＿＿＿＿＿10 命题公式(p →(q ∧r))∧(┐p →(┐q ∧┐r))的成真赋值是＿＿＿11 命题公式p →(p ∧(q →r))的成假赋值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿12..下列命题公式中是重言式的为（ ）A.q q)p (∧→⌝B. r q p ∧∧)(C.)()(q p q p ⌝∧∨∧D.p p q p ↔→→))((13 命题公式“q p q p →⌝∧∨)(”，是__________。
淮海工学院2011-2012-2离散数学期末复习题答案 (2)
在Z上不可结合． 9、设Z为整数集合，“∗”定义为：a∗b=2ab，问其在Z上封闭吗？可交 换吗？可结合吗？ 答：①整数乘法运算在Z上封闭，
②a,bZ，a∗b=2ab=2ba=b∗a，其在Z上可交换； ③a,b,cZ，(a∗b)∗c=2(2ab)∗c=4abc=2a×2bc=2a(b∗c)=a∗(b∗c) ，其在Z 上可结合． 10、设无向图有条边，已知有个度顶点，其余顶点的度数均小于，问 中至少有多少个顶点？ 答：设中度数小于的顶点有个，则由欧拉定理知， 度数小于3 的顶点度数之和为6，故当其余的顶点度数都为2时，G的顶 点最少， 即G中至少有9个顶点. 11、n取怎样的值，无向完全图Kn有一条欧拉回路? 答： n为奇数，v∈V，deg(v)=n-1为偶数， 所以，当n是大于或等于3的奇数时，Kn有欧拉回路.
C、a*b=a+ab D、a*b=max(a,b)
31、任意具有多个等幂元的半群，它（A ）
A、不能构成群B、不一定能构成群 C、能构成群 D、能构成阿贝尔
群
32、下列命题正确的是（ B ） A、简单回路必为基本回路 B、基本回路必为简单回路 C、简单回路必不是基本回路 D、基本回路必不是简单回路 33、欧拉回路是（ B ） A、路径 B、简单回路 C、既是基本回路也是简单回路 D、既非基本回 路也非简单回路 34、哈密尔顿回路是（ C ） A、路径 B、简单回路 C、既是基本回路也是简单回路 D、既非基本回 路也非简单回路 35、在任何有向图中，下列命题正确的是（ C ） A、任意顶点的入度与出度都相等 B、任意顶点的入度与出度都不相 等 C、所有顶点的入度之和与出度之和都相等 D、所有顶点的入度之和与
离散数学期末考试复习资料
《离散数学》课程综合复习资料一、判断题1．R1，R2是集合A上的二元关系，若R1和R2都是反自反的，则R1R2也是反自反的。
答案：√2．对任意集合A，A。
答案：×3．设<G,*>是一个群，B是G的非空子集，如果B是一个有限集，则<B,*>必定是<G,*>的子群。
答案：×4．A、B、C为任意集合，已知A⋂B=A⋂C，必须有B=C。
答案：×5．对于任意一个集合A，空集。
答案：√6．设E为全集，对任意集合A，A。
答案：×7．设A、B为任意两个集合，A答案：×8．R是集合A上的二元关系，若R是自反的，则R c也是自反的。
答案：√9．对于任意一个集合A，空集。
答案：×图是平面图。
10．K3,3答案：×11．“你去图书馆吗？”是一个命题。
答案：×12．如果有限集合A有n个元素，则其幂集p(A)有2n个元素。
答案：×13．群中可以有零元。
14．集合A的一个划分确定A的元素间的一个等价关系。
答案：√15．含有幺元的半群为独异点。
答案：√二、基本题1．将下列命题符号化：（1）只要不下雨，他就骑自行车上班。
（2）他或者骑自行车上班，或者乘公共汽车上班。
（3）有些大学生运动员是国家选手。
答案：（1）（⌝P→ Q）（2）（Q ∇ R 或 (Q∧⌝R)∨(⌝Q∧R)）（3）（(∃x)(P(x)∧Q(x))）2．求命题公式P∧(P→Q)的主析取范式。
答案：原式⇔P∧(⌝P∨Q)⇔(P∧⌝P) ∨ (P∧Q)⇔T∨ (P∧Q)⇔P∧Q3．求⌝(P→Q)的主合取范式。
答案：原式⇔⌝(⌝P∨Q)⇔⌝(⌝P∨Q)⇔P∧⌝Q⇔(P∨(⌝Q ∧Q))∧(⌝Q∨(⌝P∧P))⇔(P∨⌝Q)∧(P∨Q)∧(⌝P∨⌝Q)∧(P∨⌝Q)⇔(P∨⌝Q)∧(P∨Q)∧(⌝P∨⌝Q)4．设A={3,4}，试构成集合P(A)⨯A。
《离散数学》期末复习提要汇总
《离散数学》期末复习提要课程的主要内容1、集合论部分（集合的基本概念和运算、二元关系和函数）；2、数理逻辑部分（命题逻辑、谓词逻辑）；3、图论部分（图的基本概念、特殊的图，树及其性质）。
一、各章复习要求与重点第一章命题逻辑[复习知识点]１、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题２、命题公式与解释，真值表，公式分类（永真、矛盾、可满足），公式的等价３、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式４、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）５、全功能集６、推理理论本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、推理理论[复习要求]１、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
２、理解公式与解释的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等价式化简其他公式，公式在解释下的真值。
３、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
４、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。
掌握24个重要等值式。
５、掌握推理理论，会写出推理的证明，掌握附加前提证明法和归谬发。
[本章重点习题]习题P31-36: 1.1,1.7-1.9,1.12,1.18,1.19，1.15 [疑难解析]1、公式恒真性的判定判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。
具体方法有两种，一是真值表法，对于任给一个公式，主要列出该公式的真值表，观察真值表的最后一列是否全为1（或全为0），就可以判定该公式是否恒真（或恒假），若不全为0，则为可满足的。
二是推导法，即利用基本等价式推导出结果为1，或者利用恒真（恒假）判定定理：公式G 是恒真的（恒假的）当且仅当等价于它的合取范式（析取范式）中，每个子句（短语）均至少包含一个原子及其否定。
全国2011-7-2014-4自学考试离散数学试题
全国2011年7月自学考试离散数学试题课程代码：02324一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
三、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）四、证明题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）五、综合应用题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）全国2012年4月自学考试离散数学试题课程代码：02324全国2012年7月自学考试离散数学试题课程代码：02324一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设P :他看电影，Q :他学习，将命题“他在学习或在看电影”符号化正确的是（ ） A.P →Q B.P ∧Q C.P ∨QD.Q →⌝P2.下列命题公式不是．．永真式的是( ) A.()P Q P →→ B.()P Q →∨P C.P ⌝∨()Q P →D.()P Q P →→ 3.下列等价式正确的是（ ） A.()()()()x A x x A x ⌝∀⇔∀⌝ B.()()()(())A x B x x A B x →∃⇔∃→ C.()(())()()x A x B x A x B ∀→⇔∀→D.()(())()()x A x B x A x B ∃→⇔∃→ 4.设A(x):x 是鸟，B(x):x 会飞，命题“有的鸟不会飞”符号化为（ ） A.()(()x A x ⌝∃∧())B x B.()(()x A x ⌝∀∧())B x C.()(()())x A x B x ⌝∃→D.()(()())x A x B x ⌝∀→5.设X ={,{},{,}}a a ∅∅，则下列陈述正确的是（ ） A.a X ∈ B.{,}a X ∅⊆ C.{{,}}a X ∅⊆D.{}X ∅∈6.设A B B =,则有（ ） A.A B A = B.A B -=∅ C.A B B =D.A B ⊆ 7.设A =｛a ,{b , c }｝,则其幂集P （A ）的元素总个数为（ ） A.3 B.4 C.6D.88.在整数集Z 上，下列定义的运算满足结合律的是（ ） A.1a b b *=+ B.1a b a *=- C.1a b ab *=-D.1a b a b *=++9.设<G ，*>是群，则下列陈述不正确．．．的是（ ） A.11()a a --= B.111()ab a b ---= C.n m n m a a a +=D.11()n n a ba a b a --=10.设:,:f X Y g Y Z →→是函数，则下列陈述正确的是（ ） A.若f 不是入射的，则g f 不是入射的B.若g 是入射的，则g f 也是入射的C.若f 是入射的，则g f 也是入射的D.若g f 不是入射的，则f 也不是入射的11.设简单图G 所有结点的度数之和为36，由G 的边数为（ ） A.6 B.9 C.12D.1812.下列无向图不一定．．．是树的是（ ） A.结点数比边数多1的连通图 B.每对结点之间都有通路的图 C.无回路但添加一条边则有回路的图D.无回路的连通图 13.设R 1,R 2是A 上的两个关系，s 为对称闭包，t 为传递闭包，则下列描述正确的是（ ） A.1212()()()s R R s R s R = B.1212()()()t R R t R t R = C.1212()()()s R R s R s R =D.1212()()()t R R t R t R =14.下列必为欧拉图的是（ ） A.有回路的连通图B.不可以一笔画的图C.有1个奇数度结点的连通图D.无奇数度结点的连通图 15.设X =｛0｝，下列关于代数系统<P (X )，>的陈述正确的是（ ） A.0是幺元 B.∅是幺元 C.｛0｝是幺元D.没有幺元二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
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1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。
2.证明3. 证明以下蕴涵关系成立：4. 写出下列式子的主析取范式：5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →⌝r, s →t, ⌝s →r, ⌝t ⇒ q6. 用反证法证明：p →(⌝(r ∧s)→⌝q), p, ⌝s ⇒ ⌝q7. 请将下列命题符号化：所有鱼都生活在水中。
8. 请将下列命题符号化：存在着不是有理数的实数。
9. 请将下列命题符号化：尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。
10. 请将下列命题符号化：对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。
11. 请将下列命题符号化：每个人都要参加一些课外活动。
12. 请将下列命题符号化：某些人对某些药物过敏。
13. 求)())()((y yR y Q x P y ∀→→∃的对偶式:14. 求下列谓词公式的前束范式：15. 证明：16. 用反证法证明：⌝∀x(P(x)∧Q(x)) , ∀xP(x) ⇒ ⌝∀xQ(x)17. 证明：前提： ∀x(C(x)→W(x)∧R(x)), ∃x(C(x)∧Q(x)).结论： ∃x(Q(x)∧R(x)).)()(Q P Q P Q P ⌝∧⌝∨∧⇔↔)()(R P Q P ∨∧∧⌝),,()),(),((u y x uQ z y P z x zP y x ∃→∧∃∀∀QQ P P ⇒∨∧⌝)(18. 判断：下列命题是否正确？19. 列出下列集合的元素⏹(1) {x|x∈N∧∃t(t∈{2,3}∧x=2t)}⏹(2) {x|x∈N∧∃t∃s(t∈{0,1}∧s∈{3,4}∧t<x<s)}⏹(3){x|x∈N∧∀t(t整除2→x≠t)}20.S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={2,4,5,6,8}B={1,4,5,9}，C={x|x∈Z+, 2≤x≤5}21. 一个学校有507，292，312和344个学生分别选择了A,B,C,D四门课程。
有14人选了A和B，213人选了A和D，211人选了B和C ，43人选了C和D。
没有学生同时选择A和C，也没有学生同时选择B和D。
问共有多少学生在这四门课程中选了课？22. 分别求下列集合的幂集(1) Ø (2){Ø} (3){1,{Ø,1}}23.A={0,1},B={1,2},C={3,4,5},求A×B, B×A, A×B×C, A2, C2 .24.⏹ 1. 设A={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}},下列选项正确的是（）⏹ A. 1∈A B. {1,2,3} A C. {{4,5}} A D. Ø∈A⏹ 2. 设A={x|x3 –x=0}, B={x|x2 – 4<0,x∈z},C={x|y=2x-1},D={x|x+y=5, xy=6}则有（）⏹ A. A=B B. A=C C. C=D D. C=A25. 求关系的定义域和值域：设A = {2，4，6，8}，R是A上的小于关系，即当a, b∈A且a< b时，（a, b）∈R，求R及D( R ),C( R )26. 设A = {a, b, c, d },求A上的恒等关系。
27. 设A = {1,2,3,4,5}, R是A上的小于等于关系, 即当a ≤ b时, (a, b) ∈R。
求R的关系矩阵和关系图。
28. X={a,b,c}，Y={1,2}，关系R={(a,1),(b,2),(c,1)} S={(a,1),(b,1),(c,1)}求R∪S、R∩S和R的补29. 设A={1，2，3}，B ={a, b, c, d},C ={x, y, z}，R是A到B的二元关系，R = {(1, a), (1, b), (2,b), (3, c)}，S是B到C的二元关系，S = {(a, x), (b, x), (b, y), (b, z)}。
求复合关系RοS的关系矩阵.30.31. 设A = {a,b,c}，R 是A 上的二元关系， R = {(a,a), (b,b), (a,b), (a,c), (c,a)}， 问：R 是自反的吗？是反自反的吗？是对称的吗？是反对称的吗？是可传递的吗？32.⏹ 设A={1,2,3}，分析A 上的下述5个关系具有哪些性质：⏹ L={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>}⏹ N={<1,3>,<2,3>}⏹ S={<1,2>,<2,1>,<1,3>}⏹ G={<1,1>,<1,2>,<2,3>}33. 设A = {a, b, c, d}，A 上的关系，R = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, d)}求r(R)、s(R)、t(R)34. A={a,b,c}, R={(a,b),(b,c),(c,a)}，求r(R), S(R)和t(R)35. A={1,2,3,4}，R={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)},判断R 是否是等价的。
36. 判断下列关系是否为等价关系？(1) A={a,b,c,d}， R={(a,a),(b,a),(b,b),(c,c),(d,d),(d,c)}(2) A={1,2,3,4}，R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(2,3),(3,3),(4,4),(3,2)}37. A={1,2,3,4}在幂集ρ(A)上定义的二元关系如下：R={(S,T)|S,T ∈ρ(A)，|S|=|T|}，写出商集ρ(A)/R 。
38. 设集合X={2166，243，375，648，455}X 中的关系R 为： R={(x,y)|x,y ∈X ，并且x 和y 中有相同数字}问：R 是不是相容关系？39. A = {1，2，3，4，5，6，8，10，12，16，24}，R 是A 上的整除关系，请画出Ｒ的哈斯图。
40. 已知偏序集<A,R>的哈斯图如图所示, 试求出集合A 和关系R 的表达式. 求 A 的极小元、最小元、极大元、最大元. 设 B ＝{b,c,d}, 求 B 的下界、上界、最大下界、最小上界.41. 以下关系矩阵所代表的关系是什么关系？⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡=011101M答案：42. 设集合A = {1，2，3，4，5，6，8，10，12，16，24}，R是A上的整除关系，请问关系R是否是偏序关系？是否是全序关系？画出Ｒ的哈斯图，并根据图求集合A的极大极小元、最大最小元，设B={2，3，4}，求集合B的上界、最小上界、下界、最大下界。
43. 找出如下哈斯图中的子集{a,b,c}、{j,h}和{a,c,d,f}的上界和下界。
44. 判断下列关系是否是映射？是否是单射？是否是满射？45. X={x1,x2,x3}, Y={y1,y2}, Z={z1,z2}f:X→Y，g:Y→Z，求h= g◦f46.下列哪些关系可以构成函数（映射）？a. f={(x,y)|x,y∈N, x+y<10}b. f={(x,y)|x,y∈R, x2=y}47.判断下列函数是单射、满射或双射？a. f:N→N, f(x)=x+2;b. f:N→N, f(x)=x (mod 2);c. f:N→ρ(N), f(x)={x};48. f-1∘f = ？，f∘f-1= ？49.构造下列函数的反函数：1.f(x)=sinx2.f(x)=x2 , x∈(-∞，0)3.A={1,2,3},B={a,b,c},f:A→B, f={(1,a),(2,c),(3,b)}50.51.已知x={a,b,c },Y={1,2,3,4} f:X→Y如图所示, 试构造函数g:Y→X,使得g·f=Ix52.请给出图中各点的度数，以及图的最大度数和最小度数。
53. 请给出图中各点的出度和入，以及图的最大出度和最小入度。
54. (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数序列吗?55. 已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于等于2, 问G至少有多少个顶点?56. 下面无向图中有几个顶点？(1) 16条边，每个顶点都是2度顶点(2) 21条边，3个4度顶点，其余的都是3度顶点(3) 35条边，每个顶点的度数至少为3的图最多有几个顶点？57. 确定下列各图的出度、入度和度数58. 判断下列图是否同构59. 下图中，1. 写出{a,d,e}的导出子图2. 画出它的一个生成子图3. 边集{e4,e7,e6}的导出子图60. 试画出以下两个图的并图、交图和环和。
61. 判断下列各图是否是连通图：62. 指出下列有向图的连通性63. 求下列图的强连通分支64.（1）{e5}、{e2 、e3}、{e6}、{e4}是否是下图的边割集？（2）{v5}、{v2 、v4}、{v3}、{v1 、v2}、{v2 、v3}是否是下图的点割集？65. 求出下图的全部割点和桥v466. 下列图是否是树？如果是，找出树的分枝结点和树叶。
67. 设一棵树T有2个度数为2的结点，1个度数为3的结点，3个度数为4的结点，求T有几片树叶。
68. 已知无向树T有5片树叶, 2度与3度顶点各1个, 其余顶点的度数均为4. 求T的阶数n。
69. 求下列树的树根、树叶、树高、内点、分枝点、各个结点的层数70. 求下列树的树高、内点数、分枝点树、几叉树？71. 下列树是不是完全二叉树？是不是满二叉树？72. 求下列二叉树的前序、中序、后序遍历73. 求下列二叉树的前序、中序、后序遍历74. 构造下列数的排序二叉树：15, 3, 1, 6, 18, 7, 10, 2075. 求树叶权为4，2，3，5，1的最优树。
76. 求带权图的最小生成树。
77. 求下图的邻接矩阵a g。