静态稳定性
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ห้องสมุดไป่ตู้
考虑非线性微分方程，即
px=h(x)
(4-1)
它可以视为在描述电力系统暂态过程的方程
px f ( x, y)
g(
x,
y)
0
中消去y后得出的微分方程。显然，
对于给定的稳态运行情况，系统的状态为已知
常量，将它表示为x0，于是有
h(x0)＝0
(4-2)
式(4-2)说明，x0相当于式(4-1)的一个特解，称 x0为系统的无扰运动。式(4-1)的其它解可以通 过x0表示为
(2)形成网络方程的Y矩阵。 (3) 计算A阵相关的各矩阵。 (4) 应用QR算法计算矩阵A的全部特征值，从而判 断所给定的稳态运行情况的静态稳定性。
QR算法是计算矩阵全部特征值的有效算法，在一 般大、中型计算机中都有标准库程序供用户调用。
（2） 坐标变换 ①发电机电压和电流的d、q轴分量转换成全系统
统一的同步旋转坐标参考轴x、y下的相应分量。 或②将网络方程中发电机电压和电流的x、y分量分别 转换成各自的d、q分量。 （3）负荷电流和电压关系的线性化方程 负荷大都采用 静态模型，需将其功率与电压之间的关系转换为负荷 电流偏差与节点偏差之间的线性化关系。
x(t)＝x0+Dx(t) (4-3)
在t=0时刻，x(t)与x0之差Dx(0)称为对稳态运行
情况(即无扰运动)的初始扰动，或简称扰动。
当然，x(t)应满足微分方程式(4-1)，即有
p(x0+Dx)=pDx=h(x0+Dx) (4-4)
将上式在x0附近展开成泰勒级数，并应用式
(4-2)，得 p(Dx)=ADx+hR(Dx)
小，Dx将最终趋于零而使系统回到扰动前的稳态运行情况；
✓ 否则，不管扰动如何微小，矩阵A正实部特征值的存在， 将使系统在扰动作用下开始出现非周期性增大或增幅振荡 的分量。
✓ 这便是前面所介绍的关于电力系统静态稳定性定义的正确 理解。至于临界情况下是否稳定，对于电力系统来说并无 重要价值，一般将它视为静态稳定的极限情况。由于所考 虑的扰动限于足够小的情况，因此电力系统静态稳定性又
➢ 对于大规模的电力系统，尤其在分析电力系统低 频振荡问题时，发电机及励磁系统需要采用比较 精确的数学模型，在这种情况下，矩阵A的阶数 可能高达一千阶以上。为此，80年代以来提出了 一类限于计算一部分对稳定性判别起关键影响的 特征值，并充分利用矩阵的稀疏性或采用其它技 巧的分析方法。这类方法中，有的已获得实际应 用，有的尚处于研究和发展中。
（4）两端直流输电系统方程
2、网络方程式
I=YU 3、全系统线性化微分方程组的形成
对于纯交流系统，可得线性化微分方程组：
p(Dx)=ADx
(4-86)
其中：
A AG BG YGG DG YGLYLL1YLG 1CG
4、静态稳定分析程序的组成 纯交流系统
(1)对所给定的系统稳态运行情况进行潮流计算， 求出各发电机节点和各负荷节点的电压、电流和 功率稳态值。
的特征值，则无扰运动的稳定性将取决于高次项
hR(Dx) ，这种情况称为临界情况。
矩阵A的特征值与式(4-7)的特征方程，即
det(lI-A)=0 (4-9)
的根(即特征根)相对应。对于定常线性微分方程式(47)，每一个特征根将对应于一个自由分量:
➢ 正实特征根lsi>0对应于按指数规律 es it 增长的分量；
二、静态稳定性的全特征值分析法
在国外，应用QR算法分析多机系统静态稳定的 研究开始于60年代末期，国内则始于70年代中 期。目前这类分析方法和计算程序已经相当成 熟，但各个程序所考虑的元件种类及其数学模 型和形成A阵的过程各有不同。具体原理如下。
1、各元件方程的线性化 ⑴ ①同步发电机方程
②励磁系统和原动机及其调速系统
➢ 负实特征根lsi <0则对应于按指数规律衰减的分量。 ➢ 一对共轭复特征根lsi ±jwi常称为一个振荡模式，它对应
于按角频率wi呈周期性变化的分量，其振幅决定于es it 。
si>0对应于增幅振荡， si <0对应于衰减振荡。
✓ 这样，按照渐近稳定性的定义和定理，对于给定的电力系 统稳态运行情况x0，如果是渐近稳定的，则只要扰动足够
常称为小干扰稳定性。
于是，电力系统静态稳定分析的一般过程可 归结为： (1)计算给定稳态运行情况下各变量的稳态值。 (2)对描述暂态过程的方程式，在稳态值附近进 行线性化。 (3)形成矩阵A，并根据其特征值的性质判断稳定 性。
✓ 关于判断A阵特征值的性质，目前所采用的主要 方法有以下两类。
➢ 一种是应用计算矩阵全部特征值的QR算法，求出 A阵的所有特征值。但这种方法需要存储矩阵的全 部元素，占计算机内存量大，而且其计算量约与 矩阵阶数的三次方成正比，计算速度缓慢。特别 是在目前的计算机精度下，当矩阵高达数百阶(例 如400~500阶)时，将可能产生显著的计算误差， 或甚至不能得出计算结果。因此，这种方法一般 适用于中等规模的电力系统。
现在，不加证明，引出一个判断渐近稳定性的
定理：
① 对于微分方程式(4-1)，如果首次近似方程式(4-7) 中系数矩阵A的全部特征值都具有负实部，则无扰
运动x(t)＝x0为渐近稳定，而与高次项hR(Dx)无关。
② 如果矩阵A至少具有一个实部为正的特征值，则
无扰运动是不稳定的，并且也与hR(Dx)无关。 ③ 如果矩阵A不具有正实部特征值但具有实部为零
电力系统静态稳定性分析
主要参考教材：电力系统分析，下册
西安交通大学 夏道止 主编
一、 概 述
我们前面介绍过定义：“静态稳 定是指电力系统受到小干扰后，不发生 自发振荡和非周期性失步，自动恢复到 起始运行状态的能力。”
从理论上来说，电力系统的静态 稳定性相当于一般动力学系统在李雅普 诺夫意义下的渐近稳定性。下面将结合 电力系统具体情况介绍有关的理论。
(4-5)
其中
式中：A为常数方阵；hR(Dx)为展开式中包含Dx
二次方及以上各项所组成的向量，称为高次项。
将
p(Dx)=ADx
（4-7）
称为微分方程式(4-4)的首次近似方程，或称线性
化方程。
如果对于足够小的初始扰动Dx(0) ，式(4-4)
的全部解均满足
limDx(t) 0
t
（4-8）
则称无扰运动x(t)=x0为渐近稳定。
考虑非线性微分方程，即
px=h(x)
(4-1)
它可以视为在描述电力系统暂态过程的方程
px f ( x, y)
g(
x,
y)
0
中消去y后得出的微分方程。显然，
对于给定的稳态运行情况，系统的状态为已知
常量，将它表示为x0，于是有
h(x0)＝0
(4-2)
式(4-2)说明，x0相当于式(4-1)的一个特解，称 x0为系统的无扰运动。式(4-1)的其它解可以通 过x0表示为
(2)形成网络方程的Y矩阵。 (3) 计算A阵相关的各矩阵。 (4) 应用QR算法计算矩阵A的全部特征值，从而判 断所给定的稳态运行情况的静态稳定性。
QR算法是计算矩阵全部特征值的有效算法，在一 般大、中型计算机中都有标准库程序供用户调用。
（2） 坐标变换 ①发电机电压和电流的d、q轴分量转换成全系统
统一的同步旋转坐标参考轴x、y下的相应分量。 或②将网络方程中发电机电压和电流的x、y分量分别 转换成各自的d、q分量。 （3）负荷电流和电压关系的线性化方程 负荷大都采用 静态模型，需将其功率与电压之间的关系转换为负荷 电流偏差与节点偏差之间的线性化关系。
x(t)＝x0+Dx(t) (4-3)
在t=0时刻，x(t)与x0之差Dx(0)称为对稳态运行
情况(即无扰运动)的初始扰动，或简称扰动。
当然，x(t)应满足微分方程式(4-1)，即有
p(x0+Dx)=pDx=h(x0+Dx) (4-4)
将上式在x0附近展开成泰勒级数，并应用式
(4-2)，得 p(Dx)=ADx+hR(Dx)
小，Dx将最终趋于零而使系统回到扰动前的稳态运行情况；
✓ 否则，不管扰动如何微小，矩阵A正实部特征值的存在， 将使系统在扰动作用下开始出现非周期性增大或增幅振荡 的分量。
✓ 这便是前面所介绍的关于电力系统静态稳定性定义的正确 理解。至于临界情况下是否稳定，对于电力系统来说并无 重要价值，一般将它视为静态稳定的极限情况。由于所考 虑的扰动限于足够小的情况，因此电力系统静态稳定性又
➢ 对于大规模的电力系统，尤其在分析电力系统低 频振荡问题时，发电机及励磁系统需要采用比较 精确的数学模型，在这种情况下，矩阵A的阶数 可能高达一千阶以上。为此，80年代以来提出了 一类限于计算一部分对稳定性判别起关键影响的 特征值，并充分利用矩阵的稀疏性或采用其它技 巧的分析方法。这类方法中，有的已获得实际应 用，有的尚处于研究和发展中。
（4）两端直流输电系统方程
2、网络方程式
I=YU 3、全系统线性化微分方程组的形成
对于纯交流系统，可得线性化微分方程组：
p(Dx)=ADx
(4-86)
其中：
A AG BG YGG DG YGLYLL1YLG 1CG
4、静态稳定分析程序的组成 纯交流系统
(1)对所给定的系统稳态运行情况进行潮流计算， 求出各发电机节点和各负荷节点的电压、电流和 功率稳态值。
的特征值，则无扰运动的稳定性将取决于高次项
hR(Dx) ，这种情况称为临界情况。
矩阵A的特征值与式(4-7)的特征方程，即
det(lI-A)=0 (4-9)
的根(即特征根)相对应。对于定常线性微分方程式(47)，每一个特征根将对应于一个自由分量:
➢ 正实特征根lsi>0对应于按指数规律 es it 增长的分量；
二、静态稳定性的全特征值分析法
在国外，应用QR算法分析多机系统静态稳定的 研究开始于60年代末期，国内则始于70年代中 期。目前这类分析方法和计算程序已经相当成 熟，但各个程序所考虑的元件种类及其数学模 型和形成A阵的过程各有不同。具体原理如下。
1、各元件方程的线性化 ⑴ ①同步发电机方程
②励磁系统和原动机及其调速系统
➢ 负实特征根lsi <0则对应于按指数规律衰减的分量。 ➢ 一对共轭复特征根lsi ±jwi常称为一个振荡模式，它对应
于按角频率wi呈周期性变化的分量，其振幅决定于es it 。
si>0对应于增幅振荡， si <0对应于衰减振荡。
✓ 这样，按照渐近稳定性的定义和定理，对于给定的电力系 统稳态运行情况x0，如果是渐近稳定的，则只要扰动足够
常称为小干扰稳定性。
于是，电力系统静态稳定分析的一般过程可 归结为： (1)计算给定稳态运行情况下各变量的稳态值。 (2)对描述暂态过程的方程式，在稳态值附近进 行线性化。 (3)形成矩阵A，并根据其特征值的性质判断稳定 性。
✓ 关于判断A阵特征值的性质，目前所采用的主要 方法有以下两类。
➢ 一种是应用计算矩阵全部特征值的QR算法，求出 A阵的所有特征值。但这种方法需要存储矩阵的全 部元素，占计算机内存量大，而且其计算量约与 矩阵阶数的三次方成正比，计算速度缓慢。特别 是在目前的计算机精度下，当矩阵高达数百阶(例 如400~500阶)时，将可能产生显著的计算误差， 或甚至不能得出计算结果。因此，这种方法一般 适用于中等规模的电力系统。
现在，不加证明，引出一个判断渐近稳定性的
定理：
① 对于微分方程式(4-1)，如果首次近似方程式(4-7) 中系数矩阵A的全部特征值都具有负实部，则无扰
运动x(t)＝x0为渐近稳定，而与高次项hR(Dx)无关。
② 如果矩阵A至少具有一个实部为正的特征值，则
无扰运动是不稳定的，并且也与hR(Dx)无关。 ③ 如果矩阵A不具有正实部特征值但具有实部为零
电力系统静态稳定性分析
主要参考教材：电力系统分析，下册
西安交通大学 夏道止 主编
一、 概 述
我们前面介绍过定义：“静态稳 定是指电力系统受到小干扰后，不发生 自发振荡和非周期性失步，自动恢复到 起始运行状态的能力。”
从理论上来说，电力系统的静态 稳定性相当于一般动力学系统在李雅普 诺夫意义下的渐近稳定性。下面将结合 电力系统具体情况介绍有关的理论。
(4-5)
其中
式中：A为常数方阵；hR(Dx)为展开式中包含Dx
二次方及以上各项所组成的向量，称为高次项。
将
p(Dx)=ADx
（4-7）
称为微分方程式(4-4)的首次近似方程，或称线性
化方程。
如果对于足够小的初始扰动Dx(0) ，式(4-4)
的全部解均满足
limDx(t) 0
t
（4-8）
则称无扰运动x(t)=x0为渐近稳定。