2019-2020年高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数优化训练北师大版必修

2019-2020年高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数优化训练北师大版必修5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.月球围绕着地球转，月球到地球的距离y 随时间的变化是周期性的吗？ 解析：由月球的运动规律,可知是周期性变化.2.走路时，我们的手臂自然地随步伐周期性地摆动，那么，手臂的周期摆动满足什么规律呢？ 解：如图所示，以ON 代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到OP 位置，设θ=∠PON 为摆动的幅角，而y 为P 点离开直线ON 的水平距离，r 为手臂的长度，根据初中平面几何知识可知y=rsin θ.3.列举自然界中存在的周期性现象.答案：自然界中存在的周期现象有：太阳的东升西落；月亮的圆缺；春、夏、秋、冬的变化等.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列函数中函数值y 随x 的变化而周期性变化的是（ ）①f(x)=x ②f(x)=2x③f(x)=1 ④f(x)=A.①②B.③C.③④D.①②③④解：①f(x+T)=x+T≠x，T≠0;②f(x+T)=2x+T ≠2x=f(x)；③f(x+T)=1=f (x)；④设T 是任意一个有理数，那么当x 是有理数时，x+T 也是有理数；当x 为无理数时，x+T 也是无理数，就是说f(x)与f(x+T)或者都等于1或者都等于0，因此在两种情况下，都有f(x+T)=f(x). 答案：C2.今天是星期一，158天后的那一天是星期几? 解：∵158=7×22+4，而今天是星期一, ∴158天后的那一天是星期五.3.我们选定风车轮边缘上一点A ，点A 到地面的距离y 随时间t 的变化是周期性的吗？ 答案：是周期性的.4.已知f(x)是奇函数，且满足f(x+1)=，若f(-1)=1，（1）求证：f(x+4)=f(x)；（2）求f(-3).（1）证明：∵f(x+2)=)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++， ∴f(x+4)==f(x).（2）解：∵f(x)是奇函数，∴f(-3)=f(-3+4)=f(1)=-f(-1)=-1.5.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+3)=f(x),f(1)=-1,求f(11)的值. 解：由f(x)为奇函数，得f(-x)=-f(x)，f(-1)=-f(1).又f(x+3)=f(x)，故f(11)=f(3×4-1)=f(-1)=1. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.下列现象是周期现象的有（ ）①太阳的东升西落 ②月亮的圆缺 ③太阳表面的太阳黑子活动 ④心脏的收缩与舒张 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：D2.有以下现象：①鸟类的迁徙；②单摆的简谐振动；③交流电的电压变化规律；④化学元素的性质.其中是周期现象的有____________. 答案：①②③④3.已知f(x+1)=-f(x),求证：f(x+2)=f(x).证明：f(x+2)=f ［(x+1)+1］=-f(x+1)=-［-f(x)］=f(x). 4.已知f(x+2)=,求证：f(x+4)=f(x). 证明：f(x+4)=f ［(x+2)+2］=)(11)2(1x f x f --=+-=f(x). 5.求证：若函数y=f(x)(x∈R )的图像关于x=a 对称，且关于x=b 对称，则f ［x+2(b-a)］=f(x). 证明：设x 是任意一个实数，因为函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，故f(a+x)=f(a-x).同理，f(b+x)=f(b-x).于是f[x+2(b-a)]=f[b+(b+x-2a)]=f[b-(b+x-2a)]=f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),即f ［x+2(b-a)］=f(x).6.设f(x)是定义在R 上的函数，且f(x+2)=f(x),f(x)为偶函数，在区间［2,3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x∈［1,2］时，f(x)的解析式.解：令x∈[-3，-2]，则-x∈[2，3]，从而f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x),即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈[-3,-2].令x∈[1，2]，则x-4∈[-3，-2]，有f(x-4)=f(x)=-2(x-1)2+4.即当x∈[1，2]时，f(x)=-2(x-1)2+4.7.设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图像关于x=1对称，对任意的x 1，x 2∈［0,］,都有f(x 1+x 2)=f(x 1)·f(x 2). （1）设f(1)=2，求； （2）证明f(x+2)=f(x).（1）解：由f(x 1+x 2)=f(x 1)·f(x 2),x 1,x 2∈[0,]知f(x)=f()·f()≥0,x∈[0,1]，故2=2. ∴.f()=f(+)=[f()]2=,即f(）=.（2）证明：由y=f(x)关于直线x=1对称，得 f(x)=f(1+1-x)，f(x)=f(2-x).又f(-x)=f(x)，故f(-x)=f(2-x)，即f(x)=f(2+x).8.我们选定自行车车轮边缘上一点A ，车轮的中心记为O ，OA 与竖直方向的夹角记为α，当自行车沿直线做匀速运动时，变量α随时间t 的变化是周期性的吗？ 解：由其运动规律可知是周期性的.2019-2020年高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数1课时训练含解析新人教A 版必修课时目标 1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)定义.2.熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号.3.掌握诱导公式(一)及其应用．1．任意角三角函数的定义设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值________，即：sin(α＋k ·2π)＝______，cos(α＋k ·2π)＝________， tan(α＋k ·2π)＝________，其中k ∈Z .一、选择题1．sin 780°等于( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－122．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－333．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3 D．55．已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域是( )A ．{－3，－1,1,3}B ．{－3，－1}C ．{1,3}D ．{－1,3}6．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4二、填空题7．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝______.8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________． 9．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.三、解答题11．求下列各式的值．(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 174π； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.12．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．能力提升13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ14．已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值．1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积． 3．诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．§1.2 任意角的三角函数 1．2.1 任意角的三角函数(一)答案知识梳理 1.y r x ryx3.相等 sin α cos α tan α作业设计 1．A 2.B3．C [∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0， ∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角．]4．A [r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35.∴b ＝3.]5．D [若x 为第一象限角，则f (x )＝3；若x 为第二、三、四象限，则f (x )＝－1.∴函数f (x )的值域为{－1,3}．]6．D [由任意角三角函数的定义，tan θ＝y x ＝cos 34πsin 34π＝－2222＝－1.∵sin 34π>0，cos 34π<0，∴点P 在第四象限．∴θ＝74π.故选D.]7．－7138．－2<a ≤3 解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0， ∴－2<a ≤3. 9．负号解析 ∵π2<2<π，∴sin 2>0，∵π2<3<π，∴cos 3<0，∵π<4<32π，∴tan 4>0. ∴sin 2cos 3tan 4<0. 10．2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0， n ＝3m .∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.11．解 (1)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋－4×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180°＝－1＋1＋1－1＝0. 12．解 sin α＝y3＋y2＝34y . 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.当y ≠0时，由y 3＋y 2＝3y 4，解得y ＝±213. 当y ＝213时，P ⎝⎛⎭⎪⎫－3，213，r ＝433. ∴cos α＝－34，tan α＝－73.当y ＝－213时，P (－3，－213)，r ＝433， ∴cos α＝－34，tan α＝73.13．C [∵θ为第一象限角，∴2k π<θ<2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<θ2<k π＋π4，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<2n π＋π4(n ∈Z )．∴θ2为第一象限角， ∴sin θ2>0，cos θ2>0，tan θ2>0.当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π<θ2<2n π＋54π (n ∈Z )．∴θ2为第三象限角， ∴sin θ2<0，cos θ2<0，tan θ2>0，从而tan θ2>0，而4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z ，cos 2θ有可能取负值．]14．解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a ，∴r ＝－15a 2＋8a 2＝17|a | (a ≠0)． (1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815.(2)若a <0，则r ＝－17a ，于是sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815.。