特殊的平行四边形试题及答案
特殊平行四边形专题含答案
特殊平行四边形专题一．解答题（共20小题）1．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G，求证：BE⊥AF．2．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．3．已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．4．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠ADB＝90°，E是AB的中点，F是BD的中点，连接EF并延长交DC于点G，连接BG．（1）求证：△BEF≌△DGF；（2）证明四边形DEBG是菱形．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．6．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．7．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．8．如图，四边形ABCD中，已知AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝CD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，已知AB＝3，AD＝4，求△AEO的面积．9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC．求证：四边形AEBO是菱形．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO ＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝1，求△OEC的面积．11．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．12．如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．（1）求证：DE平分∠AEC；（2）若AD＝，求出DG的长．13．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝______；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．15．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，OE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AD＝DE＝4，求OE的长．17．菱形ABCD中，AD＝6，AE⊥BC，垂足为E，F为AB边中点，DF⊥EF．（1）直接写出结果：EF＝_______；（2）求证：∠ADF＝∠EDF；（3）求DE的长．18．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°．点E、点F分别是OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、F A．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB＝3，求矩形AECF的面积．19．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为BC边的中点，连接EF，DF．（1）求证：EF＝DF；（2）若BC＝6．求△DEF的周长；（3）在（2）的条件下，若EC＝BF，求四边形EFDA的面积．20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．特殊平行四边形专题参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G，求证：BE⊥AF．解：∵四边形形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，又∵DE＝CF，∴AE＝DF，∴在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS）．∴∠ABE＝∠DAF，∵∠DAF+∠BAG＝90°，∴∠ABE+∠BAG＝90°，∴∠AGB＝90°，∴BE⊥AF．2．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FDC＝∠DCF＝45°，∵∠E＝90°，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，∴四边形DFCE是矩形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是正方形．3．已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CE＝DF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AE⊥BF，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：∵菱形ABEF的周长为16，∴AB＝BE＝4，AB∥EF，∴∠ABE＝180°﹣∠BEF＝180°﹣120°＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4．4．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠ADB＝90°，E是AB的中点，F是BD的中点，连接EF并延长交DC于点G，连接BG．（1）求证：△BEF≌△DGF；（2）证明四边形DEBG是菱形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠FEB＝∠FGD，∠FBE＝∠FDG，∵F是BD的中点，∴BF＝DF，在△BEF和△DGF中，，∴△BEF≌△DGF（AAS）；（2）由（1）得：△BEF≌△DGF，∴BE＝DG，∵BE∥DG，∴四边形DEBG是平行四边形，∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，∴DE＝AB＝BE，∴四边形DEBG是菱形．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠DAE＝∠BAE＝∠BCF＝∠DCF＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，同理可得△BFC≌△DFC，可得BF＝DF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE＝BF，∴BE＝BF＝DE＝DF，∴四边形BEDF是菱形．6．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．解：（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）∵在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．7．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．解：（1）证明：∵正方形，∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠BF A＝90°＝∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE，AE＝BF，∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形不能是平行四边形．8．如图，四边形ABCD中，已知AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝CD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，已知AB＝3，AD＝4，求△AEO 的面积．（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAC＝90°，∵AB＝3，AD＝4，∴BD＝5，∵S△ABD＝AB•AD＝BD•AE，∴3×4＝5AE，∴AE＝，∵AC＝BD＝5，∴AO＝AC＝，∵AE⊥BD，∴OE＝＝＝，∴△AEO的面积＝＝．9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC．求证：四边形AEBO是菱形．证明：∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴OA＝OB，∴四边形AEBO是菱形．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO ＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝1，求△OEC的面积．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝1，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴BF＝FC，∴OF＝CD＝，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°，在Rt△EDC中，EC＝CD＝1，∴△OEC的面积＝•EC•OF＝．11．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DO＝BO，∴∠EDO＝∠FBO，又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BO＝DO，EF⊥BD，∴ED＝EB，∴四边形BFDE是菱形，根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长＝．12．如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．（1）求证：DE平分∠AEC；（2）若AD＝，求出DG的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥DC，∠ABC＝90°，∵BC＝BE，∴CE＝BC，∵AB＝BC，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED，∴∠AED＝∠DEC，∴DE平分∠AEC；（2）∵BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠BEC＝45°，∵DF⊥CE，∴∠CDF＝45°，∴DF＝CF，∴CD＝DF，∵AB＝CD，AB＝，BC＝BE，∴BE＝DF＝CF＝BC，∵∠ADC＝90°，∴∠FDG＝45°，∴∠BEF＝∠EDF，∵BC＝CF，∠BCF＝45°，∴∠CBF＝∠CFB＝67.5°，∴∠EBF＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠DFG＝180°﹣67.5°﹣90°＝22.5°，∴∠EBF＝∠DFG，在△DFG和△EBF中，∴△DFG≌△EBF（ASA），∴DG＝EF，∵EF＝CE﹣CF＝AB﹣BC＝，∴DG＝2．13．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝5；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．解：（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，∴AG＝＝＝5；故答案为：5；（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝＝；（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝，由勾股定理得：KG＝＝，∴CE＝KG＝，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，同理得：DE＝；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝GK＝，∴DE＝5+＝，综上，DE的长是或．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．（1）证明：∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°．15．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，OE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AD＝DE＝4，求OE的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵DE＝CD，∴DE＝AB，∴四边形ABDE是平行四边形．（2）∵AD＝DE＝4，∠ADE＝90°，∴AE＝4，∴BD＝AE＝4．在Rt△BAD中，O为BD中点，∴AO＝BD＝2．∵AD＝CD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠EAO＝∠OAD+∠DAE＝45°+45°＝90°，∴OE＝2．17．菱形ABCD中，AD＝6，AE⊥BC，垂足为E，F为AB边中点，DF⊥EF．（1）直接写出结果：EF＝3；（2）求证：∠ADF＝∠EDF；（3）求DE的长．解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵AD＝6，F为AB边中点，∴EF＝AB＝AD＝3．故答案为：3；（2）延长EF交DA于G，∵AD∥BC，∴∠G＝∠FEB，∠GAB＝∠B，∵AF＝BF，∴△AGF≌△BEF（AAS），∴GF＝EF，∵DF⊥EF，∴DG＝DE，∴∠ADF＝∠EDF；（3）设BE＝x，则AG＝x，则DE＝DG＝6+x，∵AE2＝AB2﹣BE2＝62﹣x2，AE2＝DE2﹣AD2＝（x+6）2﹣62，∴62﹣x2＝（x+6）2﹣62，解得x＝﹣3±3，∴BE＝﹣3+3，∴DE═﹣3+3+6═3+3．18．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°．点E、点F分别是OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、F A．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB＝3，求矩形AECF的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵点E、点F分别是OB、OD的中点，∴OE＝OB，OF＝OD，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥AB，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝OB＝OE，∴AC＝EF，∴四边形AECF为矩形；（2）解：由（1）得：OA＝OE＝OC＝OF，∠AOB＝60°，∠ABO＝30°，∴△OAE是等边三角形，∠OF A＝∠OAF＝30°＝∠ABO，∴AE＝OA，AF＝AB＝3，∵AC⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴AE＝OA＝AB＝，∴矩形AECF的面积＝AF×AE＝3．19．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为BC边的中点，连接EF，DF．（1）求证：EF＝DF；（2）若BC＝6．求△DEF的周长；（3）在（2）的条件下，若EC＝BF，求四边形EFDA的面积．（1）证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵BF＝CF，∴DF＝EF＝BC．（2）解：∵FE＝FB＝FC＝FD，∴∠FBE＝∠FEB，∠FCD＝∠FDC，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BFE+∠DFC＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝120°，∴∠EFD＝60°，∵EF＝DF，∴△EFD是等边三角形，∵EF＝BC＝3，∴△DEF使得周长为9．（3）∵EC＝BF，BF＝CF，∴EC＝BC，∴cos∠BCE＝，∴∠ECB＝45°，∵BC＝6，∴EB＝EC＝3，∵∠A＝60°，∠AEC＝90°，∴AE＝×3＝，∴AB＝BE+AE＝3+，在Rt△ADB中，∵∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝，∴S四边形EFDA＝S△EDF+S△ADE＝×32+×××＝3+．20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．解：在正方形ABCD中，AB＝CD＝CD＝AD，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE＝BF．。
初中数学特殊的平行四边形50题(含答案)
特殊的平行四边形练习题（50题）菱形、矩形、正方形一、单选题（共18题；共36分）1.下列条件中，能判定一个四边形为矩形的条件是( )A. 对角线互相平分的四边形B. 对角线相等且平分的四边形C. 对角线相等的四边形D. 对角线相等且互相垂直的四边形【答案】B【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故B符合题意；C、对角线相等的四边形不是矩形，故C不符合题意；D、对角线相等且互相垂直的四边形不是矩形，故D不符合题意.故答案为：B.【分析】根据矩形的判定方法，逐项进行判断，即可求解2.如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH= c ，则下列各式中正确的是（）A. a > b > cB. a =b =cC. c > a > bD. b > c > a【答案】B【解析】【解答】解：连接OA、OD、OM，如图所示：则OA=OD=OM，∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，∴OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，∴a=b=c；故答案为：B.【分析】连接OA、OD、OM，则OA=OD=OM，由矩形的对角线相等得出OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，再由同圆的半径相等即可得出a=b=c.3.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是( )A. 1B. 2C.D.【答案】 D【解析】【解答】解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∵AE=BE=AB=1，∴DE⊥AB，在Rt△ADE中，DE=，∴ PE+PB的最小值是.故答案为：D.【分析】连接DE交AC于P，连接BD，BP，根据菱形的性质得出B、D关于AC对称，得出DE就是PE+PB 的最小值，根据等边三角形的判定与性质得出DE⊥AB，再根据勾股定理求出DE的长，即可求解.4.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（）A. 4B. 2C.D.【答案】B【解析】【解答】解：设正方形的边长为xcm，根据题意得：x2+x2=22，∴x2=2，∴正方形的面积=x2=2（cm2）.故答案为：B.【分析】设正方形的边长为xcm，利用勾股定理列出方程，求出x2=2，即可求出正方形的面积为2.5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A. 72B. 24C. 48D. 96【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=4，∴BD=8，∵OA=6，∴AC=12，∴菱形ABCD的面积= AC•BD＝×12×8＝48．故答案为：C．【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．6.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC等于( )A. 73°B. 56°C. 68°D. 146°【答案】A【解析】【解答】如图，∵∠CBD=34°，∴∠CBE=180°﹣∠CBD=146°，由折叠的性质可得∠ABC=∠ABE= ∠CBE=73°.故答案为：A【分析】根据补角的知识可求出∠CBE，从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE= ∠CBE，可得出∠ABC的度数.7.如图，已知矩形AOBC的顶点O(0，0)，A（0，3），B(4，0)，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为（）A. (4，1)B. (4，)C. (4，)D. (4，)【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0），∴OB＝4，OA＝BC＝3，∠OBC＝90°，∴OC＝＝5，作GH⊥OC于H，如图，由题意可知：OG平分∠BOC，∵GB⊥OB，GH⊥OC，∴GB＝GH，设GB＝GH＝x，由S△OBC＝×3×4＝×5×x+ ×4×x，解得：x＝，∴G（4，）.故答案为：B.【分析】根据勾股定理可得OC的长，作GH⊥OC于H，根据角平分线的性质可得GB＝GH，然后利用面积法求出GB即可.8.如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝6时，PQ的值是( )A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【解答】解：由图象可知：AE＝3，BE＝4，在Rt ABE中，∠AEB＝90°AB= =5当x＝6时，点P在BE上，如图,此时PE=4-(7-x)=x-3=6-3=3∵∠AEB＝90°, PQ⊥CD∴∠AEB=∠PQE=90°,在矩形ABCD中，AB//CD∴∠QEP=∠ABE∴PQE BAE, ∴=∴=∴PQ=故答案为：B.【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5,当x＝6时，点P在BE上，先求出PE的长，再根据△ PQE ∽△ BAE，求出PQ的长.9.如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）A. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位B. 向左平移个单位，再向上平移1个单位C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位【答案】 D【解析】【解答】解：因为B（1,1）由勾股定理可得OB=,所以OA=OB，而AB<OA.故以AB为对角线，OB//AC，由O（0,0）移到点B（1,1）需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，由平移的性质可得由A（,0）移到点C需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，故选D.【分析】根据平移的性质可得OB//AC，平移A到C，有两种平移的方法可使O，A，B，C四点构成的四边形是平行四边形；而OA=OB>AB，故当OA，OB为边时O，A，B，C四点构成的四边形是菱形，故点A平移到C的运动与点O平移到B的相同.10.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠AEF的度数等于（）A. 25ºB. 50ºC. 100ºD. 115º【答案】 D【解析】解析:∵把矩形ABCD沿EF对折，∴AD∥BC，∠BFE=∠2，∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，∴∠BFE==65°，∵∠AEF+∠BFE=180°，∴∠AEF=115°．故选D11.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A. ②③B. ③④C. ①②④D. ②③④【答案】 D【解析】【解答】∵AB＝1，AD＝，∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1．∴△OAB，△OCD为正三角形．AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．∴BF＝AB＝1，BF＝BO＝1．∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，∴∠CAH＝45°﹣30°＝15°．∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性质）∴∠AHC＝15°，∴CA＝CH由正三角形上的高的性质可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，∴BE＝3ED．所以正确的是②③④.故选D．【分析】这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质．12.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB 上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A. （3，1）B. （3，）C. （3，）D. （3，2）【答案】B【解析】【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y= ，∴点E坐标（3，）故选：B．【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．13.如图，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）．A. 3B. 4C. 5D.【答案】C【解析】【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM==5，故DN+MN的最小值是5．故选C．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键．14.将矩形OABC如图放置，O为原点．若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（）A. （4，2）B. （2，4）C. （，3）D. （3，）【答案】 D【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，过点C作CM⊥x轴于点M，∵∠EAO+∠AOE=90°,∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO，∴∠AEO∽△COM，∴=，∵∠BAN+∠OAN=90°,∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中∴△ABN≌△OCM(AAS)，∴BN=CM，∵点A(−1,2),点B的纵坐标是，∴BN= ，∴CM= ，∴MO==2CM=3，∴点C的坐标是：(3, ).故选：D.【分析】次题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.15.如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 D【解析】【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠C=90°=∠ACB，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB= FB•FG= S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选：D．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB= FB•FG= S四边形CEFG，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M 为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（）A. 5B.C.D.【答案】B【解析】【解答】设BE=x，则CE=6-x，∵四边形ABCD矩形，AB=4，∴AB=CD=4，∠C=∠B=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，又∵F是AB的中点，∴BF=2，又∵EF⊥ED，∴∠FED=90°，∴∠FEB+∠DEC=90°，∴∠FEB=∠CDE，∴△BFE∽△CED，∴=，∴=，∴（x-2）（x-4）=0，∴x=2，或x=4，①当x=2时，∴EF=2，DE=4，DF=2，∴AM=ME=，∴AE===2,②当x=4时，∴EF=2，DE=2，DF=2，∴AM=ME=，∴AE==2,AE==4,∴x=4不合题意，舍去故答案为：B.【分析】设BE=x，则CE=6-x，由矩形性质得出AB=CD=4，∠C=∠B=90°，又由EF⊥ED，根据同角的余角相等可得出∠FEB=∠CDE；由相似三角形的判定得出△BFE∽△CED，再根据相似三角形的性质得出=，由此列出方程从而求出x=2或x=4，分情况讨论：①当x=2时，由勾股定理算出AE===2,②当x=4时，由勾股定理算出AE==2,AE==4,故x=4不合题意，舍去.17.如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．18.如图,P是正方形ABCD内一点，∠APB=135，BP=1，AP=，求PC的值（）A. B. 3 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，由勾股定理求解.如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′，点C的对应点C′与点A重合.根据旋转的性质可得AP′=PC，BP′=BP，△PBP′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，然后由∠APB=135,可得出∠APP′=90°，再利用勾股定理列式计算求出.故选B.二、填空题（共15题；共16分）19.如图所示，△ABC为边长为4的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边的正方形ADEF的面积为________。
中考数学复习《特殊的平行四边形》专题练习(含答案)
三、解答题
31. (2018·湘西州)如图，在矩形 中， 是 的中点，连接 .
(1)求证: ;
(2)若 ，求 的周长.
32. (2018连云港)如图，在矩形 中， 是 的中点，延长 交于点 ，连接 .
(1)求证:四边形 是平行四边形;
A. B. C. D.
二、填空题
13. (2018·株洲)如图，矩形 的对角线 与 相交点 ， 分别为 的中点，则 的长度为.
14.(2018·成都)如图，在矩形 中，按以下步骤作图:①分别以点 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ;②作直线 交 于点 .若 ，则矩形的对角线 的长为.
38. (2018·乌鲁木齐)如图，在四边形 中， ， 是 的中点， ， ， 于点 .
(1)求证:四边形 是菱形;
(2)若 ，求 的长.
39. (2018·广安)如图，四边形 是正方形， 为 上一点，连接 ，延长 至点 ，使得 ，过点 作 ，垂足为 ，求证: .
40. (2018·盐城)如图，在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 满足 ，连接 .
(2)在(1)的条件下，连接 ，求 的度数.
36.(2018·娄底)如图，在四边形 中，对角线 相交于点 ，且
，过点 作 ，分别交 于点 .
(1)求证: ;
(2)判断四边形 的形状，并说明理由.
37. (2018·南京)如图，在四边形 中， ， . 是四边形 内一点，且 .求证:
(1) ;
(2)四边形 是菱形.
9. (2018·宿迁)如图，菱形 的对角线 相交于点 ， 为边 的中点.若菱
特殊平行四边形(习题及答案)
12. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 是菱形吗？为什么？ 【思路分析】 ①读题标注： ②梳理思路： 要证四边形 ABCD 是菱形，根据题目中已有的条件选择判定 定理：_____________________________________________． 【过程书写】
7. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O， 则下列结论不正确的是（ ） A．当 AB=BC 时，四边形 ABCD 是菱形 B．当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形 C．当 OA=OB 时，四边形 ABCD 是矩形 D．当∠ABD=∠CBD 时，四边形 ABCD 是矩形
如图在正方形abcd中对角线acbd相交于点o则图中的等腰三角形共有a4个b6个c8个d10个aadbdbcc第5题图第7题图6
特殊平行四边形（习题）
例题示范
例 1：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB， BF∥CE，CF∥BE． 求证：四边形 BECF 是正方形．
【思路分析】 ①读题标注：
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
5. 符合下列条件之一的四边形不一定是菱形的是（ ） A．四条边都相等 B．两组邻边分别相等 C．对角线互相垂直平分 D．两条对角线分别平分一组对角
6. 下列命题错误的是（ ） A．矩形的对角线相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．平行四边形的对边相等 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
13. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，对角线 BD 平分∠ABC． P 是 BD 上一点，过点 P 作 PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为 点 M，N． （1）求证：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，求证：四边形 MPND 是正方形．
初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析
初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是（）A．10B．12C．15D．20【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长=3AB=15．2.如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（）A．20B．24C．28D．40【答案】A【解析】据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．3.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2【答案】B【解析】设菱形的对角线分别为8x和6x，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知（4x）2+（3x）2=25，解得x=1，故菱形的对角线分别为8cm和6cm，所以菱形的面积=×8×6=24cm2．4.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（）A．16 B．12 C．24 D．20【答案】B【解析】根据矩形性质求出AO=BO=4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案．5.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】∵AC=2AB，∴∠BAC=60°，OA=OB，∴△OAB是正三角形，∴∠AOB的大小是60°．故选C．6.如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【解析】利用角平分线的性质定理可得AC边上的高．进而求得所求三角形的面积．7.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【解析】先根据正方形的四边相等即对角线相等且互相平分的性质，可得AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB，再根据等腰三角形的定义即可得出图中的等腰三角形的个数．8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）A．BE=AF B．∠DAF=∠BEC C．∠AFB+∠BEC="90°" D．AG⊥BE【答案】C【解析】∵ABCD是正方形，∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC．∵BF=CE，∴△ABF≌△BCE．∴AF=BE（第一个正确）．∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC（第三个错误）．∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠BFA=90°，∴∠DAF=∠BEC（第二个正确）．∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°．∴∠CBE+∠AFB=90°．∴AG⊥BE（第四个正确）．所以不正确的是C，故选C．9.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形【答案】C【解析】A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误；B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到，四边形ABCD是菱形，故此选项错误；C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，∴BO=DO，AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两条对角线AC与BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误．10.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【答案】B【解析】由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．11.如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形【答案】C【解析】由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠ADF，∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D正确．12.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_______度．【答案】65【解析】因为AB=AD，∠BAD=80°，可求∠ABD=50°；又BE=BO，所以∠BEO=∠BOE，根据三角形内角和定理求解．13.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是______．【答案】12【解析】易知四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则S△POF=S△AOE．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．14.如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABCnOn的面积为_______．【答案】【解析】后面的每一个平行四边形都与第一个矩形ABCD同底不同高，而第n个平行四边形的高是矩形ABCD的，所以平行四边形ABCn On的面积为．15.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_______．【答案】AC=BD或AB⊥BC【解析】∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件_______时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）【答案】AC=BC【解析】由已知可得四边形的四个角都为直角，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可知添加条件为AC=BC时，能说明CE=CF，即此四边形是正方形．17.如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．计算：∠PBA=∠PCQ=30°．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形．∴∠ABC=∠BCD=90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形．∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°．∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°．∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°．∴∠PBA=∠PCQ=30°．【解析】因为矩形的内角是直角，等边三角形的内角是60∘，所以根据这两个特殊角可以计算角的度数．18.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【解析】若要证明四边形BEDF是菱形，只需要证明四边形BEDF是平行四边形即可，而DE∥BF，只需要证明DE=BF即可判定四边形BEDF是平行四边形，证明DE=BF可通过证明△OED≌△OFB．19.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．(1) 证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2) 若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3) 在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由．【答案】解：(1) ∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC．∴∠BAC =∠DAC．∵ AB=AD，∠BAF =∠DAF，AF=AF．∴△ABF≌△ADF．∴∠AFB=∠AFD．又∵∠CFE =∠AFB，∴∠AFD=∠CFE．∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．(2) ∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD．又∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD．∴∠DAC=∠ACD．∴AD=CD，∵AB="AD" ， CB=CD，∴AB=CB=CD=AD．∴四边形ABCD是菱形．(3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD．理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF．又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF．∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC =∠DEF=90°．∴∠EFD =∠BCD．【解析】(1)利用已知条件和公共边，证得△ABC≌△ADC，即可证明∠BAC=∠DAC；再证明△ABF≌△ADF，得到∠AFB=∠AFD，再利用对顶角相等，易知结论；(2)有平行线的性质和(1)中结论，易知∠DAC=∠ACD，所以AD=CD，进而证得AB=CB=CD=AD，即可证明结论；(3)当BE⊥CD时，有(2)可知BC="CD" ，∠BCF=∠DCF，利用△BCF≌△DCF证得∠CBF=∠CDF，再利用等角的余角相等即可证明结论∠EFD =∠BCD．20.已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．【答案】解：（1）答：四边形ABCD是菱形．证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN，∴两个矩形全等，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AD=AB=BC=CD=5，∵BE=3，∴AE=4，∴DE=5+4=9，∴矩形BEDG的面积为：3×9=27．【解析】（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC=CD得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可．。
中考数学专题复习《特殊平行四边形综合题》测试卷(附带答案)
中考数学专题复习《特殊平行四边形综合题》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 在平行四边形ABCD 中 AB AD ≠ ()0180A αα∠=︒<<︒ 点E F G H 分别是AB BC CD DA 的中点 连接EF FG GH HE 当α从锐角逐渐增大到钝角的过程中 四边形EFGH 的形状的变化依次为（ ）A ．平行四边形→菱形→平行四边形B ．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形D ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形 2．如图 平行四边形ABCD 中 16AB = 12AD = 60A ∠=︒E 是边AD 上一点 且8AE =F 是边AB 上的一个动点 将线段EF 绕点E 逆时针旋转60︒ 得到EG 连接BG CG 则BG CG +的最小值是（ ）.A ．4B ．415C ．421D 373．图1是一张菱形纸片ABCD 点,EF 是边,AB CD 上的点．将该菱形纸片沿EF 折叠得到图2 BC 的对应边B C ''恰好落在直线AD 上．已知60,6B AB ∠=︒= 则四边形AEFC '的周长为（ ）A ．24B ．21C ．15D ．124．如图 在矩形ABCD 中 8AB = 6BC = 点H 是AC 的中点 沿对角线AC 把矩形剪开得到两个三角形 固定ABC 不动 将ACD 沿AC 方向平移 （A '始终在线段AC 上）得到A C D '''△ 连接HD ' 设平移的距离为x 当HD '长度最小时 平移的距离x 的值为（ ）A ．710B ．185C ．75D ．2455．如图 Rt ABC △中 90C ∠=︒ 30A ∠=︒ 9AC = D 为AB 中点 以DB 为对角线长作边长为3的菱形DFBE 现将菱形DFBE 绕点D 顺时针旋转一周 旋转过程中当BF 所在直线经过点A 时 点A 到菱形对角线交点O 之间的距离为（ ）A B C D 6．中国结寓意团圆 美满 以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴 小陶家有一个菱形中国结装饰．测得8cm,6cm BD AC ==．则该菱形的面积为（ ）A ．224cmB ．248cmC ．210cmD ．212cm7．如图 在矩形ABCD 中 点O M 分别是,AC AD 的中点 3,5OM OB == 则AD 的长为（ ）A ．12B ．10C ．9D ．88．如图 已知正方形ABCD 和正方形BEFG 且A B E 三点在一条直线上 连接CE 以CE 为边构造正方形CPQE PQ ，交AB 于点M 连接CM 设APM BCM αβ∠=∠=，．若点Q B F 三点共线 tan tan n αβ= 则n 的值为（ ）A ．12 B ．23 C ．35 D ．67二 填空题9．如图 矩形ABCD 中 BE BF 将ABC ∠三等分 连接EF ．若90BEF ∠=︒ 则:AB BC 的比值为 ．10．如图 四边形ABCD 是边长为6的正方形 点E 在直线BC 上 若2BE = 连接AE 过点A 作AF AE ⊥ 交直线CD 于点F 连接EF 点H 是EF 的中点 连接BH 则BH = ．11．如图 在平行四边形ABCD 中 对角线AC BD 、相交于点O 在不添加任何辅助线的情况下 请你添加一个条件 使平行四边形ABCD 是菱形．12．如图 在矩形ABCD 中 2AB = 对角线AC 与BD 交于点O 且120AOD ∠=︒ DE OC ∥ CE OD ∥ 则四边形OCED 的周长为 ．13．如图 在菱形ABCD 中 2BD BC == 点E 是BC 的中点 点P 是对角线AC 上的动点 连接PB PE 则PB PE +的最小值是 ．三 解答题14．如图 在菱形ABCD 中 连接AC 过B 作BE BA ⊥交AC 于点E 过D 作DF DC ⊥交AC 于点F ．(1)求证：ADF CBE △≌△(2)若12AD = 60DAB ∠=︒ 求EF 的长．15．已知：在梯形ABCD 中 AD BC ∥ 90ABC ∠=︒ 6AB = :1:3BC AD = O 是AC 的中点 过点O 作OE OB ⊥ 交BC 的延长线于点E ．(1)当BC EC =时 求证：AB OE =(2)设BC a = 用含a 的代数式表示线段BE 的长 并写出a 的取值范围(3)连结OD DE 当DOE 是以DE 为直角边的直角三角形时 求BC 的长．16．如图 平行四边形ABCD 中 点E 是对角线AC 上一点 连接BE DE ， 且BE DE =．(1)求证：四边形ABCD 是菱形(2)若5AB = tan 2BAC ∠= 求四边形ABCD 的面积．17．已知：矩形ABCD 中 动点M 在BC 边上（不与点B C 、重合） MN AM ⊥交CD 于点N 连接DM ．(1)如图1 若DM 平分ADC ∠ 求证：BM CN =(2)如图2 若2,3AB BC == 动点M 在移动过程中 设BM 的长为,x CN 的长为y ①则y 与x 之间的函数关系式为______①线段CN 的最大值为______．18．如图1 正方形ABCD 和正方形QMNP M 是正方形ABCD 的对称中心 MN 交AB 于F QM 交AD 于E ．(1)猜想：ME 与MF 的数量关系为______(2)如图2 若将原题中的“正方形”改为“菱形” 且NMQ ABC 其它条件不变 探索线段ME 与线段MF 的数量关系 并说明理由(3)如图3 若将原题中的“正方形”改为“矩形” 且:1:2AB BC = 其它条件不变 直接写出：线段ME 与线段MF 的数量关系为______．参考答案：1．A2．C3．C4．C5．D6．A7．D8．B93：10．24211．AC BD ⊥12．8133①点E 是BC 的中点14．（1）解：①菱形ABCD①ADC CBA ∠=∠ AD BC = DAC BCA ∠=∠①BE BA ⊥ DF DC ⊥①90CDF ABE ∠=∠=︒①ADC CDF CBA ABE ∠-∠=∠-∠ 即：ADF CBE ∠=∠①()ASA ADF CBE ≌（2）解：①60DAB ∠=︒ 12AD = ①11603022BAE BAD ∠=∠=⨯︒=︒ 12AB CD AD === 33123AC AB ===①cos30ABAE===︒同理FC=BE CE==AC AE CE∴=+=①EF AE FC AC=+-==故答案为：15．（1）证明：90ABC∠=︒O是AC的中点OB OC∴=OBC OCB∴∠=∠OE BC⊥90BOEBC EC=CO BC∴=BC BO∴=90ABC BOE∠=∠=︒()ASAABC EOB∴≌AB EO∴=（2）解：OBC OCB∠=∠ABC BOE∠=∠ABC EOB∴∽∴BC ACOB BE=BC a=6AB=AC∴∴1a=236(06)2aBE aa+∴=<<（3）解：设BC a=则3AD a=①当90OED∠=︒时延长BO交AD于点G90BOE =︒∠BOE OED ∴∠=∠∴BG ED ∥//BE AD∴四边形BGDE 是平行四边形 BE DG ∴=BC AD ∥ ∴BCCOAG AO =BC AG a ∴== ∴23632a a a a +=-23a ∴= ①当90ODE ∠=︒时 分别过点O E 作OM AD ⊥ EN AD ⊥ 垂足分别为MNOMD DNE ∴∠=∠ MOD EDN ∠=∠OMD DNE ∴∽ ∴OMMDDN EN = 1122AM CB a ==52MD a ∴=2236365322a a DN AN AD a a a +-=-=-=∴253236562aa a=-a ∴=．综上所述BC 的长为 16．（1）证明：如图 连接BD 交AC 于O①平行四边形ABCD①BO DO =①BO DO = OE OE = BE DE = ①()SSS BOE DOE ≌①BEO DEO ∠=∠①AE AE = BEA DEA ∠=∠ BE DE = ①()SAS BEA DEA ≌①AB AD =①四边形ABCD 是菱形（2）解：①tan 2BAC ∠= ①2BO AO= 即2BO AO = ①四边形ABCD 是菱形①AC BD ⊥ 22AC AO BD BO ==，由勾股定理得 AB =解得 2AO =①48AC BD ==， ①1162ABCD S AC BD =⨯=四边形 ①四边形ABCD 的面积为16． 17．（1）解：在矩形ABCD 中 ,90AB CD B C ADC =∠=∠=∠=︒ DM 平分ADC ∠1452CDM ADC ∴∠=∠=︒ 45CDM CMD ∴∠=∠=︒CM CD AB ∴==90,BAM AMB MN AM ∠+∠=︒⊥90AMB CMN ∴∠+∠=︒BAM CMN ∴∠=∠()ABM MCN ASA ∴≌BM CN ∴=（2）解：①设BM 的长为,x CN 的长为y 则3MC x =- 由（1）得 ,,90BAM CMN AB CD B C ∠=∠=∠=∠=︒ ABM MCN ∴∽AB BM MC CN∴= 23x x y∴=- 213(03)22y x x x ∴=-+<< 故答案为：213(03)22y x x x =-+<< ①当32x =时 y 有最大值 最大值为98． 即线段CN 的最大值为98． 故答案为：98． 18．（1）解：①正方形ABCD 和正方形QMNP①90AMD EMF ∠=∠=︒ ,45DM AM ADM FAM =∠=∠=︒ DME AMF ∴∠=∠()ASA MDE MAF ∴≌ME MF ∴=．故答案为：相等．（2）解：过点M 作MH AD ⊥于H MG AB ⊥于G ．①M 是菱形ABCD 的对称中心 ①M 是菱形ABCD 对角线的交点 ①AM 平分BAD ∠①MH MG =．①QMN B ∠=∠①180EMF BAD ∠+∠=︒． 又90MHA MGF ∠=∠=︒ ①180HMG BAD ∠+∠=︒ ①EMF HMG ∠=∠①EMH FMG ∠=∠． ①MHE MGF ∠=∠①()ASA MHE MGF ≌ ①ME MF =．（3）解：过点M 作MH AD ⊥于HMG AB ⊥于G ．①QMN ABC ∠=∠①90BAD EMF ∠=∠=︒． 又①90MHA MGA ∠=∠=︒ ①90HMG ∠=︒．①EMF HMG ∠=∠①EMH FMG ∠=∠．①MHE MGF ∠=∠①MHE MGF △△∽①ME MH MF MG=．又①M是矩形ABCD的对称中心①M是矩形ABCD对角线的交点．又①MG AB⊥①MG BC∥且12MG BC=．同理可得12 MH AB=①2ME MF=．。
第一章 特殊平行四边形 单元测试(含答案)
第一章特殊平行四边形一、选择题1. 下列四边形对角线相等但不一定垂直的是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2. 平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是( )A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD3. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，若AC=4，BD=6，则菱形ABCD的周长为( )A．16B．24C．413D．8134. 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为( )D．34 A．5B．4C．3425. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为( )A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm6. 如图，点P是矩形ABCD的边上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A．4.8B．5C．6D．7.27. 如图，点E是正方形ABCD中CD上的一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90∘到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为16，DE=1，则EF的长是( )A．4B．5C．217D．348. 如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G，若AB=4，BC=3，则线段EG的长度是( )A．32B．158C．52D．39. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别为边AD，BC上的点，且EF=5，点G，H 分别边AB，CD上的点，连接GH交EF于点P．若∠EPH=45∘，则线段GH的长为( )A．5B．2103C．253D．710. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为( )A．732B．4C．5D．92二、填空题11. 菱形的对角线长为6和8，则菱形的高为．12. 如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件，就能保证四边形EFGH是矩形．13. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠BDC=34∘，则∠ECA=．14. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为．15. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，折叠矩形ABCD，使点B与点D重合，则BF的长为．16. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60∘，点E是边AB的中点，点P在对角线AC上移动．则PB+PE的最小值是．三、解答题17. 已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．(1) 求证：四边形AODE是矩形．(2) 若AB=6，∠BCD=120∘，求四边形AODE的面积．18. 如图，在正方形ABCD中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE．(1) 若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长．(2) 求证：EF+EG=2CE．19. 在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．EF过点O且与ABCD分别相交于点E，F．(1) 如图①，求证：OE=OF；(2) 如图②，若EF⊥DB，垂足为O，求证：四边形BEDF是菱形．20. 回答下列问题．(1) 提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH．(2) 类比探究：如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG 于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由．21. 如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点G，H在对角线AC上，EF与AC相交于点O，AG=CH，BE=DF．(1) 求证：四边形EGFH是平行四边形．(2) 当EG=EH时，连接AF．①求证：AF=FC．②若DC=8，AD=4，求AE的长．答案一、选择题1. B2. B3. C4. D5. D6. A7. D8. B9. B10. D二、填空题11. 24512. AC⊥BD13. 2214. 615. 25816. 3三、解答题17.(1) 因为DE∥AC，AE∥BD，所以四边形AODE是平行四边形，因为在菱形ABCD中，AC⊥BD，所以∠AOD=90∘，所以四边形AODE是矩形．(2) 因为∠BCD=120∘，AB∥CD，所以∠ABC=180∘−120∘=60∘，因为AB=BC，所以△ABC是等边三角形，所以OA=12×6=3，OB=32×6=33，因为四边形ABCD是菱形，所以OD=OB=33，所以四边形AODE的面积=OA⋅OD=3×33=93．18.(1) ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG=∠DCB=∠DCF=90∘，BC=DC，∵BE⊥DF，∴∠CBG+∠F=∠CDF+∠F，∴∠CBG=∠CDF，在△CBG和△CDF中，{∠BCG=∠DCF=90∘,BC=CD,∠CBG=∠CDF,∴△CBG≌△CDF(ASA)，∴BG=DF=4，∴在Rt△BCG中，CG2+BC2=BG2，∴CG=42−32=7．(2) 过点C作CM⊥CE交BE于点M，∵△CBG≌△CDF，∴CG=CF，∠F=∠CGB，∵∠MCG+∠DCE=∠ECF+∠DCE=90∘，∴∠MCG=∠ECF，在 △MCG 和 △ECF 中，{∠MCG =∠ECF,CG =CF,∠F =∠CGB,∴△MCG ≌△ECF (ASA)，∴MG =EF ，CM =CE ，∴△CME 是等腰直角三角形，∴ME =2CE ，又 ∵ME =MG +EG =EF +EG ， ∴EF +EG =2CE ．19.(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB =OD ，AB ∥CD ，∴∠EBO =∠FDO ，在 △OBE 与 △ODF 中，{∠EBO =∠FDO,OB =OD,∠BOE =∠DOF, ∴△OBE ≌△ODF (ASA)，∴OE =OF ；(2) ∵OB =OD ，OE =OF ， ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形， ∵EF ⊥BD ，∴ 四边形 BEDF 是菱形．20.(1) ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB =DA ，∠ABE =90∘=∠DAH ， ∴∠HAO +∠OAD =90∘，∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD=90∘，∴∠HAO=∠ADO，在△ABE和△DAH中，{∠BAE=∠HDA,AB=AD,∠B=∠HAD,∴△ABE≌△DAH(ASA)，∴AE=DH．(2) EF=GH，理由：将PE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH，∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，根据（1）的结论得AM=DN，∴EF=GH．21.(1) ∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠FCH=∠EAG，又∵CD=AB，BE=DF，∴CF=AE，且CH=AG，∠FCH=∠EAG，∴△AEG≌△CFH(SAS)，∴GE=FH，∠CHF=∠AGE，∴∠FHG=∠EGH，∴FH∥GE，∴四边形EGFH是平行四边形．(2) ①连接AF，∵EG=EH，四边形EGFH是平行四边形，∴四边形GFHE为菱形，∴EF垂直平分GH，又∵AG=CH，∴EF垂直平分AC，∴AF=CF=AE．②设AE=x，则FC=AF=x，DF=8−x，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，∴42+(8−x)2=x2，解得x=5，∴AE=5．。
初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析
初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1. (2011福建莆田)如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．(1)求证：DB＝CF；(2)如果AC＝BC，试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．【答案】见解析【解析】(1)证明：∵CF∥AB，∴∠DAE＝∠CFE．又∵DE＝CE，∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF．∵AD＝DB，∴DB＝CF．(2)四边形BDCF是矩形．证明：由(1)知DB＝CF，又DB∥CF，∴四边形BDCF为平行四边形．∵AC＝BC，AD＝DB，∴CD⊥AB．∴四边形BDCF是矩形．2.矩形ABCD中，点O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为20cm，则AB的长为()A．1cmB．2cmC．cmD．cm【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC．又∵O是BC的中点，∴BO＝CO，∴△ABO≌△DCO，∴AO＝DO．∵∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∴∠BAO＝∠AOB＝45°，∴AB＝OB．设AB＝xcm，则BC＝2xcm，∴2(x＋2x)＝20，解得，故选D．3. (2014重庆)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】在矩形ABCD中，OA＝OB＝OC＝OD，所以∠OBC＝∠OCB＝30°，所以∠AOB＝∠OCB＋∠OBC＝60°．4.(2014四川巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF．(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是________，并证明；(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．【答案】见解析【解析】(1)添加条件：BE∥CF(答案不唯一)．证明：如图，∵BE∥CF，∴∠1＝∠2．∵点H是边BC的中点，∴BH＝CH．又∵∠3＝∠4，∴△BEH≌△CFH．(2)当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形，理由如下：连接BF，CE．∵△BEH≌△CFH．∴EH＝FH，又BH＝CH，∴四边形BFCE是平行四边形．又∵BH＝EH，∴EF＝BC，∴四边形BFCE是矩形．5.已知在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为矩形，添加的条件可以是________．(只填一个即可)【答案】∠A＝90°(答案不唯一)【解析】由可知，该四边形是平行四边形，根据矩形的定义，只要加上条件“一个角是直角”即可，故填∠A＝90°，或∠B＝90°，或∠C＝90°，或∠D＝90°．6.如图所示，在□ABCD中，点E，F分别为BC边上的点，且BE＝CF，AF＝DE求证：□ABCD是矩形．【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．∵BE＝CF，∴BF＝CE．又∵AF＝DE，∴△ABF≌△DCE．∴∠B＝∠C．又∵∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°．∴□ABCD是矩形．【解析】已知四边形ABCD是平行四边形，欲证它是矩形，只需证一角是直角即可，由题意易知△ABF≌△DCE，而∠B＋∠C＝180°，因此有∠B＝∠C＝90°，问题迎刃而解．7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使顶点B与顶点D重合，折痕为EF．若，AD＝3，则△DEF的周长为________．【答案】6【解析】∵沿EF折叠后，点B与点D重合，点A在点A′的位置，∴A′E＝AE，，BF＝DF．∵四边形ABCD为矩形，∴，BC＝AD＝3，∠C＝∠A＝90°．在Rt△DCF中，设CF＝x，则DF＝BF＝3－x，由勾股定理得，解得x＝1，∴DF＝3－x＝3－1＝2．同理，DE＝2．连接BD，交EF于点O，则点B与点D关于EF称，∴，BD⊥EF．在Rt△EDO中，，由DE＝DF，BD⊥EF，得EO＝OF＝1，∴EF＝2，∴△DEF的周长为DE＋DF＋EF＝2＋2＋2＝6．8.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD、BC于点E、F，AB＝2，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】矩形ABCD的面积＝AB·BC＝2×4＝8，图中阴影部分面积的和等于矩形面积的一半，故选C．9.如图，在矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF＝15°，求∠DOC与∠COF的度数．【答案】75°【解析】解：∵DF平分∠ADC，∴∠FDC＝45°．又∵∠BDF＝15°，∴∠BDC＝45°＋15°＝60°．又∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC＝BO＝OD，∴△DOC是等边三角形．∴∠DOC＝60°．在Rt△DCF中，∠FDC＝45°，∴CF＝CD＝OC，∴∠COF＝∠CFO．又∵∠OCF＝90°－∠OCD＝90°－60°＝30°，∴∠COF＝75°．10.（2013湖南邵阳）如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件________，使四边形ABCD为矩形．【答案】∠B＝90°（答案不唯一）【解析】∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，∴AB＝CD，∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．当∠B＝90°时，平行四边形ABCD为矩形，∴添加的条件为∠B＝90°．11.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()A．AB＝CDB．AD＝BCC．∠AOB＝45°D．∠ABC＝90°【答案】D【解析】因为四边形ABCD的对角线互相平分，所以四边形ABCD为平行四边形，A、B两选项为平行四边形具有的性质，C选项添加后也不是矩形，根据矩形的定义知D正确．故选D．12.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A．对角相等B．对角线互相平分C．一组对边平行另一组对边相等D．对角线相等【答案】D【解析】矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．13.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．(1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由：(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．(提示：旋转前后，图形中对应的角和对应的边分别相等)【答案】见解析【解析】(1)DE⊥FG，理由如下：由题意得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°．∴∠BDE＋∠BED＝90°．∴∠GFE＋∠BED＝90°．∴∠FHE＝90°．∴DE⊥FG．(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE，∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°．∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE．∴四边形CBEG是正方形．14.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( )A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【解析】在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，所以等腰三角形有△ABC，△ADC，△ABD，△CBD，△OAB，△OBC，△OCD，△OAD．15.下列命题错误的是( )A．有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形B．有一组邻边相等的矩形是正方形C．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形D ．有一个角是直角的菱形是正方形【答案】A【解析】由定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，A 不正确，故选A ．16. 如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 也是正方形A′B′C′O 的一个顶点，两个正方形的边长都等于1，当正方形A′B′C′O 绕顶点O 转动时，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？并说明理由．【答案】两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终为．理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°． ∵四边形A′B′C′O 是正方形， ∴∠EOF ＝90°，∴∠BOC ＝∠EOF ． ∴∠BOC －∠BOF ＝∠EOF －∠BOF ，即∠COF ＝∠BOE ．∴△BOE ≌△COF(ASA)，∴S △BOE ＝S △COF ．∴重叠部分面积等于S △BOC ．∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1，∴，即两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终为．【解析】正方形的两条对角线分正方形为四个全等的等腰直角三角形．通过证△BOE ≌△COF ，得．17. 如图，将矩形ABCD 中的△AOB 沿着BC 的方向平移线段AD 长的距离．（1）画出△AOB 平移后的图形．（2）设（1）中O 点平移后的对应点为E ，试判断四边形CODE 的形状，并说明理由．（3）当四边形ABCD 是什么四边形时，（2）中的四边形CODE 是正方形？并说明你的理由．【答案】（1）平移后的图形如图．（2）四边形CODE 是菱形．理由如下：∵△AOB 平移后得到△DEC ， ∴DE ∥AC ，CE ∥BD ． ∵四边形ABCD 是矩形，∴，，且AC＝BD，∵OC＝OD，∴四边形CODE是菱形．（3）当四边形ABCD是正方形时，（2）中的四边形CODE是正方形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∴菱形CODE是正方形．【解析】在图形移动过程中，图形的大小、形状不变，可得四边形CODE是菱形．当AC⊥BD 时，四边形CODE是正方形，此时四边形ABCD是正方形．18.（2013江苏南京）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD 上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB．（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°．又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN．∴四边形MPND是正方形．19.（2013济宁）如图中图（1），在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF＝BE．（2）如图中图（2），在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．【答案】（1）证明：如图（1），在正方形ABCD中，AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴BE＝AF．（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图（2），过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则BE＝NQ，AF＝MP．只需证BE＝AF即可．与（1）的情况完全相同．【解析】（1）根据正方形的性质可得AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，再根据同角的余角相等求∠ABE＝∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的性质证明即可；（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后解法与（1）相同．20.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下面能判断这个四边形是正方形的是（）A．AD⊥CD，AC＝BDB．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【解析】对角线相等、互相平分且垂直的四边形是正方形．21.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A、C作l的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为________．【答案】【解析】由题意，知△BFC≌△AEB，∴CF＝BE，∴．22. 已知，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A ．∠D ＝90°B ．AB ＝CDC ．AD ＝BCD ．BC ＝CD【答案】D【解析】由∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°可判定为矩形，根据正方形的定义，再添加条件“一组邻边相等”即可判定为正方形，故选D ．23. (2014福建福州)如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为( )A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】由已知得AB ＝AE ，∠BAE ＝150°，∴∠ABF ＝15°，∴∠BFC ＝∠ABF ＋∠BAF ＝15°＋45°＝60°．24. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是________．【答案】1【解析】由题意可知△DEO ≌△BFO ，∴S △DEO ＝S △BFO ，∴．25. 如图所示，在菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，AB ＝4cm ．那么，菱形ABCD的面积是________，对角线BD的长是________．【答案】cm2；cm【解析】在菱形ABCD中，由AE垂直平分BC可知△ABC是正三角形，故BC＝AC＝4cm，由勾股定理可知cm，∴菱形ABCD的面积是(cm2)，同时菱形的面积还等于两条对角线乘积的一半，∴对角线BD的长为(cm)．26.如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，并且BD＝4，AC＝6，．(1)AC与BD有什么位置关系？为什么？(2)四边形ABCD是菱形吗？为什么？【答案】见解析【解析】(1)AC⊥BD，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，．在△OBC中，OC2＋OB2＝9＋4＝13＝BC2，∴△OBC为直角三角形，即OC⊥OB，∴AC⊥BD．(2)四边形ABCD是菱形，理由如下：∵AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形．27.(2012山西)如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )A．cmB．cmC．cmD．cm【答案】D【解析】由菱形的性质知菱形边长为(cm)，所以，得cm，故选D．28. (2013山东潍坊)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件________，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)【答案】本题答案不唯一，如OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC等【解析】根据对角线互相垂直平分可添加OA＝OC；或添加AD＝BC或AB＝DC或AD∥BC或AB∥DC或AB＝BC或AD＝DC，由三角形全等得到AO＝CO，再由对角线互相垂直平分得到四边形ABCD是菱形．29.如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，求证：四边形AFCE是菱形．【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠CAE＝∠ACF又∵∠AOE＝∠COF，OA＝OC，∴△AOE≌△COF．∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵EF⊥AC．∴四边形AFCE是菱形．【解析】要证四边形AFCE是菱形，首先要证四边形AFCE是平行四边形．30.如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝10．(1)求∠ABC的度数；(2)求对角线AC的长度；(3)求菱形ABCD的面积．【答案】(1)连接BD，交AC于点O，如图．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．∵E是AB的中点，且DE⊥AB，∴AD＝BD．∴△ABD是等边三角形．∴∠ABD＝60°．∴∠ABC＝60°×2＝120°．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分．∴．∴在Rt△AOB中，，∴．(3)．【解析】(1)连接BD，与AC相交于点O，可证△ABD是等边三角形，所以∠ABD＝60°，可得∠ABC的度数；(2)在Rt△OAB中，由勾股定理可求出OA的长，则AC＝2OA；(3)根据菱形的面积公式可求其面积．。
2023年中考数学 几何专题：特殊的平行四边形(含答案)
2023中考数学 几何专题：特殊的平行四边形（含答案）例1 矩形的性质（1）如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α=∠________度．（2）矩形边长为10和15，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）A ．6和9B ．5和10C ．4和11D ．7和8（3） 如图，矩形ABCD中，120AOD BC ∠=︒=，，则下列结论：①AOB △是等边三角形②130∠=︒③3cm AB =④6cm AC =⑤2ABCD S =矩形．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．②③④⑤D ．①②③④⑤(4) 如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点，AE BD ⊥，垂足为E．若2OD OE AE =，则DE 的长为________．【答案】（1）30；（2）B ；（3）D ；（4）3例2 矩形模型 （1）如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE BD ⊥，垂足为E ，:3:1DAE BAE ∠∠=，则EAC ∠的度数为_______．α60°lm DCBAO 1DC BA第14题图E OCBDAA B（2）如图所示，矩形ABCD 内一点P 到A 、B 、C 的长分别是2、3、4，则PD 的长为_______．（3）已知，如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，如果3AB =，4AD =，那么PE+PF=_______．【答案】（1）45︒；（2（3）125例3 矩形的判定（1）在四边形ABCD 中，AB DC =，AD BC =．请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形．你添加的条件是________．（写出一种即可）【答案】AC BD =或AB BC ⊥或90ABC =︒∠（答案不唯一）（2）如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于点M ，若MA=MC ，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN 是矩形．证明：∵CN ∥AB ， ∴∠DAC=∠NCA ， 在△AMD 和△CMN 中，∵∠DAC ＝∠NCA ，MA ＝MC ，∠AMD ＝∠CMN ∴△AMD ≌△CMN （ASA ）， ∴AD=CN ． 又∵AD ∥CN ，∴四边形ADCN 是平行四边形． 又∵∠BAN=90度，∴四边形ADCN 是矩形．（3）如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分PDCBAABCDPEF线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．【答案】∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB CD ∥，AD BC ∥∵AQ 、BN 分别是DAB ∠、ABC ∠的平分线 ∴180BAD ABC ∠+∠=︒ ∴90QPN ∠=︒同理90PQM QMN MNP ∠=∠=∠=︒ ∴四边形PQMN 是矩形．例4 （1）如图，已知菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若6AC =，4BD =，则菱形ABCD 的周长是（ ）A ．24B ．16C．D．（2）如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm 和8cm ，则这个菱形的高DE 为（ ） A ．2.4cmB ．4.8cmC ．5cmD ．9.6cm（3）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，则△DEF 的周长为_______（4）如图，把菱形ABCD 沿AH 折叠，使B 点落在BC 上的E 点处，若70B =︒∠，则AED ∠的大小为（ ）NMQPDCBAODC BAA ．60︒B ．55︒C ．65︒D ．70︒ （5）如图，在菱形ABCD 中，80BAD ∠=︒，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，点F 为垂足，连接DE ，则CDE ∠=（ ）A ．80︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒（6）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点P 是对角线AC 上的一个动点，点E 是AB 边上的中点，则PB PE +的最小值为（ ）A ．2B．C． D ．4【答案】（1）C ；（2）B ；（3）（4）B ；（5）D ；（6）B能力提升例5 菱形的判定（1）已知：如图，平行四边形的对角线、相交于点，且，，求证：平行四边形是菱形；ABCDEHFABCDEABCD AC BD O 10AB =5AO =BO =ABCD【答案】∵在中，,， ∴ ∴是直角三角形∴平行四边形是菱形．AOB △10AB =5AO=BO =222AB AO BO =+AOB △AC BD ⊥ABCD（2）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD 于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．【答案】∵∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，DE ⊥AB ， ∴DC=DE ，∠CAD=∠EAD ，∠CDF+∠CAD=90°， ∵CH 是AB 边上的高， ∴CH ⊥AB ，∴CH ∥DE ，∠AFH+∠EAD=90°， ∴∠CDF=∠AFH ， ∵∠CFD=∠AFH ， ∴∠CDF=∠CFD ， ∴CF=DC ， ∴CF=DE ，∴四边形CDEF 是平行四边形， ∴四边形CDEF 是菱形．例6 （1）如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上任意一点，过E 作EF ⊥BC 于F ，作EG ⊥CD 于G ，若正方形ABCD 的周长为m ，则四边形EFCG 的周长为（2）如图，AC 为正方形ABCD 的对角线，E 为AC 上一点，联结EB ，ED ，当126BED ∠=°时，EDA ∠的度数为（ ）A ．54°B ．27°C ．36°D ．18°(3)已知正方形ABCD ，以AB 为边构造等边ABP ∆，那么DCP ∠=HF DECBAEDCB A【答案】（1）2m；（2）D ；（3）15°或75° 例7 下列说法不正确的是（ ） A ．有一个角是直角的菱形是正方形 B ．两条对角线相等的菱形是正方形 C ．对角线互相垂直的矩形是正方形D ．四条边都相等的四边形是正方形【答案】D练1 （1）如图，矩形ABCD 中，3AB =，两条对角线AC 、BD 所夹的钝角为120︒，则对角线BD 的长为________(2) 矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 ．【答案】（1）6 ；（2）10cm练2 （1）下列说法不能判定四边形是矩形的是（ ） A ．三个角是直角的四边形 B ．四个角都相等的四边形 C ．对角线相等的平行四边形 D ．对角线垂直且相等的四边形 【答案】D（2）已知：如图，M 为▱ABCD 的AD 边上的中点，且MB=MC ， 求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ．∵AM=DM ，MB=MC ， ∴△ABM ≌△DCM ． ∴∠A=∠D ． ∵AB ∥CD ，∴∠A+∠D=180°． ∴∠A=90°．∴▱ABCD 是矩形．练3 （1）如图：在菱形ABCD 中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为_______；BC 上的高为_____（2）菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较长的对角线的长度为 【答案】（1）5、245；（2）练4 如图．矩形的对角线相交于点．，． ⑴ 求证：四边形是菱形；⑵ 若，菱形的面积为ABCD 的面积．【答案】⑴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是矩形∴（矩形对角线相等且互相平分）∴四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）⑵ABCD S练5 四边形ABCD 是正方形，延长BC 至E ，使CE AC =，连结AE 交CD 于F ，那么AFC ∠的度数为________．【答案】112.5°ABCD O DE AC ∥CE BD ∥OCED 30ACB ∠=︒OCED OEDC BADE AC ∥CE BD ∥OCED ABCD OC OD =OCED 12OCD OCED S S =△菱形FED CBA。
平行四边形及特殊平行四边形含答案
平行四边形、菱形、矩形、正方形测试题一、选择题(每题3分，共30分)。
1．平行四边形ABCD 中，∠A=50°，则∠D=（ ）A. 40°B. 50°C. 130°D. 不能确定2．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）A. 一组对边相等B. 对角线互相平分C. 一组对角相等D. 对角线互相垂直3．在平行四边形ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，若AB=4，BC=7，OE=3，则四边形EFCD 周长是（ ）A ．14 B. 11 C. 10 D. 174．菱形具有的性质而矩形不一定有的是( )A ． 对角相等且互补B ． 对角线互相平分C ． 一组对边平行另一组相等D ． 对角线互相垂直5．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（ ）A ．6cm ，8cm B. 3cm ，4cm C. 12cm ，16cm D. 24cm ，32cm6．如图在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，则以下说法错误的是( )A ．AB=21ADB ．AC=BDC ． 90===∠=∠CDA BCD ABC DABD ．AO=OC=BO=OD7．如图5连结正方形各边上的中点，得到的新四边形是 ( ) A ．矩形 B.正方形 C.菱形 D.平行四边形8. 一矩形两对角线之间的夹角有一个是600, 且这角所对的边长5cm,则对角线长为( )A. 5 cmB. 10cmC. 52cmD. 无法确定 9. 当矩形的对角线互相垂直时, 矩形变成( )A. 菱形B. 等腰梯形C. 正方形D. 无法确定.10.如图所示，在 ABCD 中，E 、F 分别AB 、CD 的中点，连结DE 、EF 、BF ，则图中平行四边形共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个二、填空题（每题3分，共24分 ）11．□ABCD 中, AB ：BC=1：2，周长为24cm, 则AB=_____cm, AD=_____cm. 12．已知：四边形ABCD 中，AB ＝CD ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加__________，（只需填一个你认为正确的条件即可）你判断的理由是：_____________________________。
初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析
初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC=50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】C【解析】首先根据菱形的菱形的每一条对角线平分一组对角可得∠BAD的度数，再根据菱形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质可得∠ABC+∠BAD=180°，再代入所求的∠BAD的度数即可算出答案．2.如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（）A．20B．24C．28D．40【答案】A【解析】据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm【答案】C【解析】由折叠可知，∠BAE=∠B1AE，∴∠BAE=∠B1AE=45°，又∵∠B=45°，∴∠AEB=45°，∴BE=AB=4，∴CE=BC－BE=8－6=2．故选C．4.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】∵AC=2AB，∴∠BAC=60°，OA=OB，∴△OAB是正三角形，∴∠AOB的大小是60°．故选C．5.如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【解析】利用角平分线的性质定理可得AC边上的高．进而求得所求三角形的面积．6.如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为（）A．5cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】D【解析】∵ABCD为矩形，∴AO=OC．∵EF⊥AC，∴AE=EC．∴△CDE的周长=CD+DE+EC=CD+DE+AE=CD+AD=10（cm）．7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=5，则四边形CODE的周长是（）A．5 B．7 C．9 D．10【答案】D【解析】根据矩形性质求出OC=OD，根据菱形判定得出四边形DECO是菱形，求出OD=OC=EC=DE=，即可求出答案．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB∥CD，且AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF【答案】D【解析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．10.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE=4cm，则点P到BC的距离是______cm．【答案】4【解析】根据菱形的性质，BD是∠ABC的平分线，再根据角平分线的性质即可得到点P到BC的距离．11.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是______．【答案】12【解析】易知四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则S△POF=S△AOE．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是______．【答案】18【解析】求出∠CDB=∠DAE，∠C=∠ADE=90°，AD=DC，证△ADE≌△DCB，推出DE=BC，得出平行四边形DEBC，推出BE=DC，根据勾股定理求出DC，即可得出答案．13.如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是_______cm．【答案】48【解析】∵OA=OC，EF⊥AC，∴AE=CE，∵矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD），∵DE+CD+CE=24，∴矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD）=48cm．14.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_______．【答案】AC=BD或AB⊥BC【解析】∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【解析】若要证明四边形BEDF是菱形，只需要证明四边形BEDF是平行四边形即可，而DE∥BF，只需要证明DE=BF即可判定四边形BEDF是平行四边形，证明DE=BF可通过证明△OED≌△OFB．16.如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠GCA的平分线于点F．（1）说明 EO=FO．（2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论．（3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？【答案】解：（1）∵MN∥BC，∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∵CE，CF分别为∠BOC，∥GOC的角平分线，∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，∴OC=OE，OC=OF，∴OE=OF，（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，理由：∵O点为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，OC=OE=OF，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形，（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，理由：∵O点为AC的中点时，四边形AECF是矩形，∴AC=EF，∵AC⊥BC，MN∥BC，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．【解析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通过等量代换即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可确定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF；（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，根据矩形的判定定理（对角线相等且互相平分的四边形为矩形），结合（1）所推出的结论，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可确定四边形AECF为矩形；（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，根据（2）所推出的结论，由AC⊥BC，MN∥BC，确定AC⊥EF，即可推出结论．17.已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．【答案】解：（1）答：四边形ABCD是菱形．证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN，∴两个矩形全等，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AD=AB=BC=CD=5，∵BE=3，∴AE=4，∴DE=5+4=9，∴矩形BEDG的面积为：3×9=27．【解析】（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC=CD得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可．18.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴ND∥AM．∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME．又∵点E是AD边的中点，∴DE=AE．∴ΔNDE≌ΔMAE，∴ND=MA，∴四边形AMND是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．（2）当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵AM=1=AD，∴∠ADM=30°∵∠DAM=60°，∴∠AMD=90°，∴平行四边形AMDN是矩形．【解析】（1）由四边形ABCD为菱形，可以说明ΔNDE≌ΔMAE，得到ND=MA和ND∥AM，推出四边形AMND是平行四边形．（2）若四边形AMDN为矩形，则∠AMD为直角，此时AM=1．19.如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC．E，F分别为AB，CD的中点，∴BE=AB，DF=CD，∴BE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形在△ABD中，E是AB的中点，∴AE=BE=AB=AD，而∠DAB=60°，∴△AED是等边三角形，即DE=AE=AD，故DE=BE．∴平行四边形DEBF是菱形．（2）解：四边形AGBD是矩形，理由如下：∵AD∥BC且AG∥DB，∴四边形AGBD是平行四边形．由（1）的证明知AD=DE=AE=BE，∴∠ADE=∠DEA=60°，∠EDB=∠DBE=30°．故∠ADB=90°．∴平行四边形AGBD是矩形．【解析】（1）利用平行四边形的性质证得△AED是等边三角形，从而证得DE=BE，问题得证；（2）利用平行四边形的性质证得∠ADB=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形．20.已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF．（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．【答案】（1）证明：在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD．又∵D是AC的中点，∴AD=CD．∵∠ADF=∠CDE，∴△ADF≌△CDE．∴AF=CE．（2）解：若AC=EF，则四边形AFCE是矩形．证明：由（1）知：AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形．【解析】（1）可通过全等三角形来证明简单的线段相等．△ADF和△CDE中，已知了AD=CD，∠ADF=∠CDE，AF∥BE，因此不难得出两三角形全等，进而可得出AF=CE．（2）需先证明四边形AFCE是平行四边形，那么对角线相等的平行四边形是矩形．。
18.2特殊的平行四边形课时训练(含答案)
2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4B．4.5C．8D．9
3．顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是（）
A．矩形B．平行四边形C．菱形D．正方形
4．已知矩形 ，下列条件中不能判定这个矩形是正方形的是（ ）
参考答案
1．C
2．B
3．A
4．B
5．C
6．D
7．A
8．B
9．B
10．A
11．9.6
12．24°
13．3
14．24
15．40
16． 或
17．（1）见解析；（2）AC=2AB，理由见解析；（3）当AN=EN且∠ENA=90°时，四边形MECN是正方形．
18．见解析
19．（1）见解析；（2）见解析
20．（1） ，见解析；（2）见解析
（1）求证：四边形 是正方形．
（2） 是 上一点， ，垂足为 ， 与 相交于点 ，求证： ．
20．已知：如图，在梯形 中， ∥ ，点 、 在边 上， ∥ ， ∥ ，且四边形 是平行四边形．
（1）试判断线段 与 的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
பைடு நூலகம்（2）现有三个论断：
① ；
② 90°；
③ ．
请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形 是菱形．
A． ；B． ；C． ；D． ．
7．如图， ABE、 BCF、 CDG、 DAH是四个全等的直角三角形，其中，AE＝5，AB＝13，则EG的长是（ ）
A．7 B．6 C．7D．7
8．如图，在 中， ， ， ， 是 的中点，则 中最短边的长为（）
特殊平行四边形习题(含答案)
特殊平行四边形一、选择题1.如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则∠ABC的周长等于( )A.20B.15C.10D.5答案 B ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,AB∠CD,∴∠B+∠BCD=180°,∴∠B=180°-∠BCD=180°-120°=60°,∴∠ABC是等边三角形,故∠ABC的周长=3AB=15.2.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )A.AB=CDB.AD=BCC.AC=BDD.AB=BC答案 C 可添加AC=BD,∵四边形ABCD的对角线互相平分,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形,故选C.3.已知:如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∠DC交BC于点E,AD=6cm,则OE 的长为( )12A.6 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm答案 C 因为菱形的四条边相等且对角线互相垂直平分,所以可以由OE ∠DC 证得点E 是BC 的中点,此时利用三角形的中位线或直角三角形斜边上中线的性质都可以求得OE 的长为3 cm.4.如图,在菱形ABCD 中,AB=8,点E 、F 分别在AB 、AD 上,且AE=AF,过点E 作EG ∠AD 交CD 于点G,过点F 作FH ∠AB 交BC 于点H,EG 与FH 交于点O.当四边形AEOF 与四边形CGOH 的周长之差为12时,AE 的值为( )A.6.5B.6C.5.5D.5 答案 C 设AE=x,则EB=8-x,∵四边形ABCD 是菱形,AE=AF,EG ∠AD,FH ∠AB, ∴四边形AEOF 和四边形OHCG 都是菱形. ∵四边形AEOF 与四边形CGOH 的周长之差为12, ∴4x -4(8-x)=12,解得x=5.5.故选C.5.如图,将一个长为10 cm,宽为8 cm 的矩形纸片先按照从左向右对折,再按照从下向上的方向对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下(如图1-4-5①),再打开,得到如图1-4-5②所示的小菱形的面积为( )A.10 cm 2B.20 cm 2C.40 cm 2D.80 cm 2答案 A 由题意可得AC=5 cm, BD=4 cm,故小菱形的面积为12×4×5=10(cm 2).故选A. 6.如图,正方形ABCD 中,E 、F 是对角线AC 上两点,连接BE 、BF 、DE 、DF,则添加下列条3件:①∠ABE=∠CBF;②AE=CF;③AB=AF;④BE=BF.可以判定四边形BEDF 是菱形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 答案 C 连接BD,交AC 于点O,在正方形ABCD 中,AB=BC,∠BAC=∠ACB,AC ∠BD,OB=OD,① 在∠ABE 与∠CBF 中,{∠BAE =∠FCB,AB =BC,∠ABE =∠CBF,∴∠ABE ∠∠CBF(ASA),∴AE=CF,∵OA=OC,∴OE=OF,又∵AC ∠BD,∴四边形BEDF 是菱形,故①正确.②正方形ABCD 中,OA=OB=OC=OD,∵AE=CF,∴OE=OF,又EF ∠BD,BO=OD,∴四边形BEDF 是菱形,故②正确.③由AB=AF 不能推出四边形BEDF 其他边的关系,故不能判定它是菱形,故③错误.④在正方形ABCD 中,OA=OC=OB=OD,AC ∠BD,∵BE=BF,EF ∠BD,∴OE=OF,∴四边形BEDF 是菱形,故④正确.故选C. 7.如图所示,在菱形ABCD 中,BE ∠AD,BF ∠CD,E 、F 为垂足,AE=ED,则∠EBF 等于( )A.75°B.60°C.50°D.45°答案 B 连接BD.因为BE ∠AD,AE=ED,所以AB=BD.又因为AB=AD,所以∠ABD 是等边三角形,所以∠A=60°,所以∠ADC=120°.在四边形BEDF中,∠EBF=360°-∠BED-∠BFD-∠ADC=360°-90°-90°-120°=60°,故选B.8.如图所示,矩形纸片ABCD 中,AB=6 cm, BC=8 cm,现将其沿EF 对折,使得点C 与点A 重合,则AF 长为( )4A .258 cm B.254 cm C.252 cm D.8 cm答案 B 设AF=x cm,则D'F=DF=(8-x)cm,在Rt ∠AFD'中,(8-x)2+62=x 2,解得x=254.9.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60° 答案 D 画出所剪的图形示意图如图.∵四边形ABCD 是菱形,∴∠ABD=12∠ABC,∠BAC=12∠BAD,AD ∠BC,∵∠BAD=120°,∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°, ∴∠ABD=30°,∠BAC=60°.∴剪口与第二次折痕所成的角的度数应为30°或60°.故选D.10.如图,E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点,且CE=DF,AE 、BF 相交于点O,下列结论:(1)AE=BF;(2)AE ∠BF;(3)AO=OE;(4)S ∠AOB =S 四边形DEOF ,其中正确的有( )5A.4个B.3个C.2个D.1个 答案 B ∵四边形ABCD 为正方形,∴AB=AD=DC,∠D=∠BAD=90°, ∵CE=DF,∴DE=AF,∴∠DEA ∠∠AFB,∴AE=BF,∠DEA=∠AFB,又∠DEA+∠DAE=90°,∴∠AFB+∠DAE=90°,∴∠AOF=90°,即AE ∠BF. 由∠DEA ∠∠AFB 得S ∠DEA =S ∠AFB ,∴S ∠DEA -S ∠AOF =S ∠AFB -S ∠AOF ,∴S ∠AOB =S 四边形DEOF , 所以正确的是(1)(2)(4),共3个,故选B. 二、填空题11.如图,菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O,不添加任何辅助线,请添加一个条件 ,使四边形ABCD 是正方形(填一个即可).答案 AC=BD(答案不唯一)12.如图,O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是AD 的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM 的周长为 .答案 20解析 在Rt ∠ABC 中,由勾股定理易得AC=13,由矩形的性质得AO=BO=12AC=132,而OM 是∠ACD 的中位线,所以OM=12CD=52,所以四边形ABOM 的周长为AB+BO+OM+AM=5+132+52+6=20.13.如图,已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD= .答案2解析∵在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,AO=1,∴AO=CO=BO=DO=1,∴BD=2.14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为.答案3√3解析∵AE垂直平分OB,AB=3,∴AB=AO=3,∵四边形ABCD是矩形,∴BO=AO=3,∴BD=2BO=6,∴AD=√BD2-AB2=√62-32=3√3.15.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是(写出一个即可).答案CB=BF(或BE∠CF或∠EBF=60°或BD=BF等,答案不唯一)解析由已知得CB∠EF,CB=EF,∴四边形CBFE是平行四边形.因此可以添加CB=BF;BE∠CF;∠EBF=60°;BD=BF等,都能说明四边形CBFE是菱形.16.如图,正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴,y轴上,BC是菱形BDCE的对角线,若∠D=60°,BC=2,则点D的坐标是.67答案 (2+√3,1)解析 过点D 作DF ∠x 轴,垂足为F,在正方形ABCO 中,∠BCO=90°,所以∠BCF=90°,在菱形BDCE 中,BD=DC,又因为∠D=60°,所以∠BCD 是等边三角形,因为BC=2,所以CD=2,又∠BCD=60°,所以∠DCF=30°,在Rt ∠DCF 中,因为∠DCF=30°,CD=2,所以DF=12CD=1,由勾股定理得CF=√3,所以OF=OC+CF=2+√3,所以点D 的坐标为(2+√3,1).17.如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2,正方形AECF 的面积为50 cm 2,则菱形的边长为 cm.答案 13解析 连接BE,EF,FD,AC,∵菱形、正方形为轴对称图形,对角线所在直线是其对称轴,∴B,E,F,D 在同一条直线上, ∵S 正方形AECF =12AC ·EF=12AC 2=50 cm 2, ∴AC=10 cm,∵S 菱形ABCD =12AC ·BD=120 cm 2, ∴BD=24 cm. 设AC,BD的交点为O,由菱形的性质可得AC ∠BD,AO=5 cm,OB=12cm,∴AB=√OA 2+OB 2=√52+122=13 cm.18.如图,在菱形ABCD 中,∠BAD=120°,点E 、F 分别在边AB 、BC 上,∠BEF 与∠GEF 关于直线EF8对称,点B 的对称点是点G,且点G 在边AD 上.若EG ∠AC,AB=6√2,则FG 的长为 .答案 3√6解析 设AC 与EG 相交于点O, ∵四边形ABCD 是菱形,∠BAD=120°, ∴∠EAC=∠DAC=60°,∠B=60°,AB=BC. ∴∠ABC 是等边三角形.又∵AB=6√2,∴∠ABC 的面积为18√3. ∴菱形ABCD 的面积为36√3, ∵EG ∠AC,∴∠AOE=∠AOG=90°. ∴∠AGE=90°-60°=30°.∵∠BEF 与∠GEF 关于直线EF 对称,点B 的对称点是点G, ∴∠EGF=∠B=60°,∴∠AGF=∠EGF+∠AGE=90°. ∴FG ∠AD, ∴FG=S 菱形ABCD AD =√36√2=3√6.三、解答题19.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O,过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E.(1)证明:四边形ACDE 是平行四边形;(2)若AC=8,BD=6,求∠ADE 的周长.答案(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∠CD,AC∠BD,∴AE∠CD,∠AOB=90°,又∵DE∠BD,即∠EDB=90°,∴∠AOB=∠EDB.∴DE∠AC.∴四边形ACDE是平行四边形.(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,∴AO=4,DO=3,∴AD=CD=√AO2+DO2=5.又∵四边形ACDE是平行四边形,∴AE=CD=5,DE=AC=8.∴∠ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.20.如图,在∠ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,E是AD的中点,过点A作AF∠BC交BE的延长线于F,连接CF.(1)求证:AD=AF;(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.答案(1)证明:∵AF∠BC,∴∠EAF=∠EDB,∵E是AD的中点,∴AE=DE,在∠AEF和∠DEB中,{∠EAF=∠EDB, AE=DE,∠AEF=∠DEB,9∴∠AEF∠∠DEB(ASA),∴AF=BD,∵在∠ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,∴AD=BD=DC=12BC,∴AD=AF.(2)四边形ADCF是正方形.∵AF=BD=DC,AF∠BC,∴四边形ADCF是平行四边形,∵AB=AC,AD是中线,∴AD∠BC,∵AD=AF,∴四边形ADCF是正方形.21.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边AB、BC上,∠ADE=∠CDF.(1)求证:AE=CF;(2)连接DB交EF于点O,延长OB至点G,使OG=OD,连接EG、FG,判断四边形DEGF是否为菱形,并说明理由.答案(1)证明:在正方形ABCD中,AD=CD,∠A=∠C=90°,在∠ADE和∠CDF中,{∠ADE=∠CDF, AD=CD,∠A=∠C=90°,∴∠ADE∠∠CDF(ASA),∴AE=CF.(2)四边形DEGF是菱形.理由如下:在正方形ABCD中,AB=BC,∵AE=CF,1011∴AB -AE=BC-CF,即BE=BF,∴BD 垂直平分EF,∴OE=OF,又∵OG=OD,∴四边形DEGF 为平行四边形,∵∠ADE ∠∠CDF,∴DE=DF,∴四边形DEGF 是菱形.22.如图,AB ∠CD,点E 、F 分别在AB 、CD 上,连接EF.∠AEF 、∠CFE 的平分线交于点G,∠BEF 、∠DFE 的平分线交于点H.(1)求证:四边形EGFH 是矩形;(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索.过G 作MN ∠EF,分别交AB 、CD 于点M 、N,过H 作PQ ∠EF,分别交AB 、CD 于点P 、Q,得到四边形MNQP.此时,他猜想四边形MNQP 是菱形.请在下列框图中补全他的证明思路.答案 (1)证明:∵EH 平分∠BEF,∴∠FEH=12∠BEF.∵FH 平分∠DFE,∴∠EFH=12∠DFE.12∵AB ∠CD,∴∠BEF+∠DFE=180°,∴∠FEH+∠EFH=12(∠BEF+∠DFE)=12×180°=90°,又∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°,∴∠EHF=180°-(∠FEH+∠EFH)=180°-90°=90°.同理可证,∠EGF=90°.∵EG 平分∠AEF,∴∠FEG=12∠AEF.∵EH 平分∠BEF,∴∠FEH=12∠BEF.∵点A 、E 、B 在同一条直线上,∴∠AEB=180°,即∠AEF+∠BEF=180°.∴∠FEG+∠FEH=12(∠AEF+∠BEF)=12×180°=90°,即∠GEH=90°.∴四边形EGFH 是矩形.(2)本题答案不唯一,下面答案供参考.例如,FG 平分∠CFE;GE=FH;∠GME=∠FQH;∠GEF=∠EFH.23.已知E,F 分别为正方形ABCD 的边BC,CD 上的点,AF,DE 相交于点G,当E,F 分别为边BC,CD 的中点时,有:①AF=DE;②AF ∠DE 成立.试探究下列问题:(1)如图①,若点E 不是边BC 的中点,F 不是边CD 的中点,且CE=DF,上述结论①,②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”,不需要证明)(2)如图②,若点E,F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上,且CE=DF,此时,上述结论①,②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;(3)如图③,在(2)的基础上,连接AE 和EF,若点M,N,P,Q 分别为AE,EF,FD,AD 的中点,请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并证明你的结论.13答案 (1)成立.(2)仍然成立.证明:∵四边形ABCD 为正方形,∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°.在∠ADF 和∠DCE 中,{DF =CE,∠ADF =∠DCE =90°,AD =DC,∴∠ADF ∠∠DCE(SAS),∴AF=DE,∠FAD=∠EDC,∵∠ADG+∠EDC=90°,∴∠ADG+∠DAF=90°,∴∠AGD=90°,即AF ∠DE.(3)四边形MNPQ 是正方形.证明:如图,设MQ,DE 分别交AF 于点G,O,PQ 交DE 于点H,∵点M,N,P,Q 分别为AE,EF,FD,AD 的中点,∴MQ=PN=12DE,PQ=MN=12AF,MQ ∠DE,PQ ∠AF,∴四边形OHQG是平行四边形,∵AF=DE,∴MQ=PQ=PN=MN,∴四边形MNPQ是菱形,∵AF∠DE,∴∠AOD=90°,∴∠HQG=∠AOD=90°,∴四边形MNPQ是正方形.14。
(完整版)特殊的平行四边形试题及答案
l l g st he r b ei n ga rgo 9 cm B. 5 cm 和10 cm C. 4 cm 和11 cm D. 7 cm 和8 cm 5.如图，在矩形中，分别为边的中点若，，则图中阴影部分的面积为（ B A .3 .6 D .8如图，在菱形中，，∠，则对角线等于（.20 B .15 若正方形的对角线长为2 cm ，则这个正方形的面积为（ B ）.4 .2 . .矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ C ）.对角线互相平分对角线互相垂直....图14图图，使，则∠. 14.如图，矩形的两条对角线交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，连接，已知△的周长为24 cm ，则矩形的周长是48cm.15.已知，在四边形ABCD 中，∠，若添加一个条件即可判定该四边第题图6题an dAl l th i ng si nt he i r b i rf rs 形是正方形，那么这个条件可以是____________.16.已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积为____96_____.17.如图，在矩形ABCD 中，对角线与相交于点O ，且，则BD 的长为____4____cm ，BC 的长为_______cm.三、解答题（共66分）19.（8分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 外角的平分线，已知∠BAC =∠ACD .（1）求证：△ABC ≌△CDA ；（2）若∠B =60°，求证：四边形ABCD 是菱形.证明：（1）∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠ACB ，∴ ∠FAC =∠B +∠ACB =2∠BCA .∵ AD 平分∠FAC ，∴ ∠FAC =2∠CAD ，∴ ∠CAD =∠ACB .在△ABC 和△CDA 中，∠BAC ＝∠DCA ，AC ＝AC ，∠DAC ＝∠ACB ，∴ △ABC ≌△CDA .（2）∵ ∠FAC =2∠ACB ，∠FAC =2∠DAC ，∴ ∠DAC =∠ACB ，∴ AD ∥BC .∵ ∠BAC =∠ACD ，∴ AB ∥CD ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形.∵ ∠B =60°，AB =AC ，∴ △ABC 是等边三角形，∴ AB =BC ，∴ 平行四边形ABCD 是菱形.图19图图图20图图20.（8分）如图，在□ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连接AE 、BD 且AE =AB .（1）求证：∠ABE =∠EAD ；（2）若∠AEB =2∠ADB ，求证：四边形ABCD 是菱形.证明：（1）在□ABCD 中，AD ∥BC ，∴ ∠AEB =∠EAD .∵ AE =AB ，∴ ∠ABE =∠AEB ，∴ ∠ABE =∠EAD .（2）∵ AD ∥BC ，∴ ∠ADB =∠DBE .∵ ∠ABE =∠AEB ，∠AEB =2∠ADB ，∴ ∠ABE =2∠ADB ，∴ ∠ABD =∠ABE -∠DBE =2∠ADB -∠ADB =∠ADB ，∴ AB =AD .又∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ 四边形ABCD 是菱形.图22图图an dAl l h i ng she i r b ei 由勾股定理得+BF x=，即=.23.（8分）如图，在矩形中，相交于点，平分，交于点.，求∠的度数. 平分，所以.又知，所以因为，所以△为等边三角形，所以因为，所以△为等腰直角三角形，所以．所以，，所以=75图23图图图24图图已知：如图，在四边形中，∥，平分∠，，为的b ego od f o rs 试说明：互相垂直平分如图，连接∵图25图图图△中，是的中点，所以是t△的斜边所以，所以．因为平分，所以，所以所以∥.，所以四边形是平行四边形．又，所以平行四边形是菱形，所以互相垂直平分．。
特殊的平行四边形专项练习(含答案)
特殊的平行四边形（含答案）一、选择题（本大题共49小题，共147.0分）1.一个菱形的周长是20cm，两条对角线长的比是4︰3，则这个菱形的面积是()A. 12cm2B. 96cm2C. 48cm2D. 24cm22.若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数之比是()A. 3:1B. 4:1C. 5:1D. 6:13.如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点，且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点，且∠AOG=30°.①DC=3OG；②OG=12BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE=16S矩形ABCD.则结论正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 14.如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为()A. 仅甲正确B. 仅乙正确C. 甲、乙均正确D. 甲、乙均错误5.如图，在菱形ABCD中，∠A=130°，连接BD，∠DBC等于()A. 25°B. 35°C. 50°D. 65°6.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为()A. 5cmB. 4.8cmC. 4.6cmD. 4cm7.如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为()A. 36°B. 27°C. 18°D. 9°8.如图，四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，AH⊥BC于H，则AH等于()A. 4B. 5C. 245D. 4859.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A. 两组对边分别相等B. 两条对角线相等C. 四个内角都是直角D. 每一条对角线平分一组对角10.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于()A. 60°B. 50°C. 30°D. 20°11.如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD=30°，∠BEC=90°，EF=4cm，则矩形的面积为()．A. 16cm2B. 8√3cm2C. 16√3cm2D. 32cm212.如图，正方形ABCD中，BE=FC，CF=2FD，AE，BF交于点G，连接AF，给出下列结论：①AE⊥BF;②AE=BF;③BG=43GE;④S四边形CEGF=S▵ABG．其中正确的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13.在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB，AC于E、F两点，下列说法错误的是()A. 四边形AEDF是平行四边形B. 若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形C. 若BD=CD，则四边形AEDF是正方形D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形14.如图，在矩形ABCD中，AB>BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中的矩形共有()A. 5个B. 8个C. 9个D. 11个15.如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是()A. 邻边相等的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 两个全等的直角三角形构成正方形D. 轴对称图形是正方形16.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 对角线互相垂直平分且相等17.如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四条边的中点，连结EG与FH，交点为O，则图中的菱形共有()A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个18.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60∘，则花坛对角线AC的长等于()A. 6√3米B. 6米C. 3√3米D. 3米19.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF=CF；④∠EFC=2∠CFD.其中正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个20.如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的12，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的()A. 12B. 14C. 16D. 1821.如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．对于以上两种作法，可以做出的判定是()A. 甲正确，乙错误B. 甲、乙均正确C. 乙正确，甲错误D. 甲、乙均错误22.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB︰AD的比为()时，四边形MENF是正方形．A. 1︰1B. 1︰2C. 2︰3D. 1︰423.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72∘，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是()A. 108∘B. 72∘C. 90∘D. 100∘24.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE.请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是()A. 小青B. 小何C. 小夏D. 小雨25.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为()A. (√3,−1)B. (2,−1)C. (1,−√3)D. (−1,√3)26.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是()A. 1和1B. 1和2C. 2和1D. 2和227.四边形ABCD的对角线AC，BD，下面给出的三个条件中，选取两个，能使四边形ABCD是矩形，①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC=BD，则正确的选法是()A. ①②B. ①③C. ②③D. 以上都可以28.如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是()A. 2.5B. 3C. 4D. 529.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=2，EC=4，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG.现在有如下四个结论：①∠EAG=45°；②FG=FC；③FC//AG；④S△GFC=3.6.其中结论正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 430.在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC=4，BD=8，则菱形ABCD的面积是()A. 12B. 16C. 24D. 3231.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′.若∠D′AB=30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是()A. 1B. 12C. √22D. √3232.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为()A. 8B. 12C. 16D. 3233.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2√3,2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点(不与原点重合)，连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D.下列结论：①OA=BC=2√3；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2=7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为(2√33,0)．其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个34.如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，DF⊥AE于F，若EF=CE=1，AB=3，则线段AF的长为()A. 2√5B. 4C. √10D. 3√235.如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为()A. 2√5B. 3√3C. 3√5D. 6√336.如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=()A. 13B. 10C. 12D. 537.下列说法正确的是()A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形38.如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是()A. 130°B. 120°C. 110°D. 100°39.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为()A. 4：1B. 5：1C. 6：1D. 7：140.已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是()A. OA=OC，OB=ODB. 当AB=CD时，四边形ABCD是菱形C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形41.下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是()A. 由②推出③，由③推出①B. 由①推出②，由②推出③C. 由③推出①，由①推出②D. 由①推出③，由③推出②42.菱形不具备的性质是()A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形C. 对角线互相垂直D. 对角线一定相等43.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为()A. 485B. 325C. 245D. 12544.下列说法正确的有几个()①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个45.在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为()A. 4B. 6C. 8D. 1046.如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为()A. 2√2−2B. √3−1C. 2−√2D. √2−147.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC=6，BD=8.则线段OH的长为()A. 125B. 52C. 3D. 548.如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE//AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为()A. 4B. 5C. √342D. √3449.菱形的对角线不一定具有的性质是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 每一条对角线平分一组对角D. 相等二、填空题（本大题共21小题，共63.0分）50.如图，将两条宽度都为6的纸片重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________．51.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为边AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于________．52.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是______．53.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______．54.菱形的面积是24，一条对角线长是6，则菱形的边长是______．55.如图，四边形ABCD为菱形，四边形AOBE为矩形，O，C，D三点的坐标为(0,0)，(2,0)，(0,1)，则点E的坐标为______．56.如图，在菱形ABCD中，AB=18cm，∠A=60°，点E以2cm/s的速度沿AB边由A向B匀速运动，同时点F以4cm/s的速度沿CB边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当△DEF为等边三角形时，t的值为______．57.如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(A、C都落在G点)，若GF=4，EG=6，则DG的长为______．58.已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E为BD上一点，OE=1，连接AE，∠AOB=60°，AB=2，则AE的长为______．59.菱形ABCD中，∠A=60°，AB=9，点P是菱形ABCD内一点，PB=PD=3√3，则AP的长为______．60.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是(0,4)，则直线AC的表达式是______．61.如图，将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE.若∠D=70°，则∠AEF=______．62.如图，已知点P(2,0)，Q(8,0)，A是x轴正半轴上一动点，以OA为一边在第一象限内作正方形OABC，当PB+BQ取最小值时，点B的坐标是______．63.已知正方形ABCD，以∠BAE为顶角，边AB为腰作等腰△ABE，连接DE，则∠DEB=______．64.一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为______ cm2．65.菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6，则它的面积为______．66.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD=2BE，∠DAE=∠DEA，EO=1，则线段AE的长为______．67.如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2019的坐标为______．68.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，P是BC边上的一点，作PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E、F，求EF的最小值是______．69.如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为______．70.若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为______．三、解答题（本大题共19小题，共152.0分）71.如图，在▵ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．72.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长DE至点F，使EF=DE，连接CF．(1)求证：四边形DBCF是平行四边形；(2)探究：当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，并说明理由．73.如图1，直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ.设运动时间为t秒．(1)AM=______，AP=______.(用含t的代数式表示)(2)当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值；(3)如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC=______．74.如图，在长方形纸片ABCD中，AD//BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF．(1)求证：BE=BF．(2)若∠ABE=18°，求∠BFE的度数．(3)若AB=4，AD=8，求AE的长．75.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．(1)四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由．(2)当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论．(3)四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？76.如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，若CF=3，CE=4，求AP的长．77.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交cm，求AD．DC于点F，AF=25478.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，且BE=DF．求证：▱ABCD是菱形．CE．79.如图，AE=AC，点B是CE的中点，且AD//CE，AD=12(1)若AE=25，CE=14，求△ACE的面积；(2)求证：四边形ABCD是矩形．80.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)在点M移动过程中：①当四边形AMDN成矩形时，求此时AM的长；②当四边形AMDN成菱形时，求此时AM的长．81.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．(1)如图1，求证：△BCP≌△DCQ；(2)如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图2，求证：BE⊥DQ；②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．82.如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求证：(1)∠BOD=∠C；(2)四边形OBCD是菱形．83.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD=10，EC=4，求OE的长度．84.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF，连接AE，CF．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．85.如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知，OA=2，OC=4，点D为x轴上一动点，以BD为一边在BD右侧作正方形BDEF．(1)若点D与点A重合，请直接写出点E的坐标；(2)若点D在OA的延长线上，且EA=EB，求点E的坐标；(3)若OE=2√17，求点E的坐标．86.如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF为菱形；(2)如果∠A=90°，∠C=30°，BD=6，求菱形BEDF的面积．87.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，OC=3．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；QC是否存在最小值？若存在，求岀(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+12这个最小值；若不存在，请说明理由．88.如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．89.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE//AC，AE//BD．(1)求证：四边形AODE是矩形；(2)若AB=2，DE=1，求四边形AODE的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求解．【解答】解：设菱形的对角线长分别为8x cm和6x cm，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知(4x)2+(3x)2=25，解得x=1，故菱形的对角线长分别为8cm和6cm，×8×6=24(cm2).所以菱形的面积为122.【答案】C【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键．先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°，∵AE=1，AE⊥BC，∴AE=1AB，2∴∠B=30°，∴∠DAB=150°，∴∠DAB：∠B=5：1；故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，设出AE、OG，然后用a表示出相关的边更容易理解，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG= AG=GE=12AE，再根据等边对等角可得∠OAG=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE=60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出③正确；设AE=2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，从而判断出①正确，②错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确．【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，∴OG=AG=GE=12AE，∵∠AOG=30°，∴∠OAG=∠AOG=30°，∠GOE=90°−∠AOG=90°−30°=60°，∴△OGE是等边三角形，故③正确；设AE=2a，则OE=OG=a，由勾股定理得，AO=√AE2−OE2=√(2a)2−a2=√3a，∵O为AC中点，∴AC=2AO=2√3a，∴BC=12AC=12×2√3a=√3a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=√(2√3a)2−(√3a)2=3a，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=3a，∴DC=3OG，故①正确；∵OG=a,12BC=√32a，∴OG≠12BC，故②错误；∵S△AOE=12a⋅√3a=√32a2，S ABCD=3a⋅√3a=3√3a2，∴S△AOE=16S ABCD，故④正确；综上所述，结论正确是①③④共3个．故选B．4.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形)；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”)．【解答】解：甲的作法正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠DAC=∠ACB，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，在△AOE和△COF中，{∠EAO =∠FCO AO =CO ∠AOE =∠COF, ∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE =CF ，又∵AE//CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形；乙的作法正确；∵AD//BC ，∴∠1=∠2，∠6=∠7，∵BF 平分∠ABC ，AE 平分∠BAD ，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∴∠1=∠3，∠5=∠7，∴AB =AF ，AB =BE ，∴AF =BE∵AF//BE ，且AF =BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB =AF ，∴平行四边形ABEF 是菱形；故选C ．5.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质，正确应用菱形的性质是解题关键．直接利用菱形的性质得出∠ABC 的度数，进而得出∠DBC 的度数．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠A=130°，∴∠ABC=180°−130°=50°，∴∠DBC=12∠ABC=25°．故选：A．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR= AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，由题意知，AD//BC，AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽，∴AR=AS．∵AR⋅BC=AS⋅CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．在Rt△AOB中，OA=12AC=3cm，OB=12BD=4cm，∴AB=√OA2+OB2=√32+42=5cm．故选A．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角的互余关系，熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键，解答此题由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD，求出∠EDC=36°，再由角的互余关系求出∠ODC，即可得出∠BDE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=12AC，OD=12BD，AC=BD，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ADE：∠EDC=3：2，∴∠EDC=25×90°=36°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠ODC=∠OCD=90°−36°=54°，∴∠BDE=∠ODC−∠EDC=54°−36°=18°．故选C．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，∴CO=12AC=6，BO=12BD=8，CO⊥BO，∴BC=√BO2+CO2=√62+82=10，∴S菱形ABCD =12AC⋅BD=12×16×12=96，∵S菱形ABCD=BC×AH，∴BC×AH=96，∴AH=9610=485．故选D．9.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质和平行四边形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．【解答】解：A.两组对角分别相等，两者均有此性质，故此选项不正确；B.两条对角线相等，两者均没有此性质，故此选项不正确；C.四个内角都是直角，两者均不具有此性质，故此选项不正确；D.每一条对角线平分一组对角，菱形具有而一般平行四边形不具有此性质，故此选项正确．故选D．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形性质和判定，线段垂直平分线性质，菱形的性质的应用，注意：菱形的四条边相等，菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角．连接BF，根据菱形性质得出AD=AB，∠DCB=100°，∠DCA= 50°，∠DAC=∠BAC=50°，根据线段垂直平分线得出AF=BF，求出∠FAB=∠FBA= 50°，求出∠AFB=80°，证△DAF≌△BAF，求出∠DFA=∠BFA=80°，根据三角形外角性质求出即可．【解答】解：如图，连接BF．∵在菱形ABCD中，∠BAD=100°，∴∠DAC=∠BAC=50°，∠ADC=∠ABC=180°−100°=80°．∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF．∴∠ABF=∠CAB=50°．在△ADF与△ABF中，∵{AD=AB,∠DAF=∠BAF, AF=AF,∴△ADF≌△ABF(SAS)，∴∠ADF=∠ABF=50°，∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=80°−50°=30°．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定及性质，求出矩形的宽是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC，然后判断出△CEF是等边三角形，过点E作EG⊥CF于G，根据等边三角形的性质及勾股定理求出EG，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：作EG⊥BC于G．∵F是BC中点，∠BEC=90°，∴EF=BF=FC，BC=2EF=2×4=8(cm)，∵∠ECD=30°，∴∠BCE=60°，∴△CEF是等边三角形，∴CE=EF=4cm，∠CEG=30°，∴CG=12CE=2cm，则EG=√CE2−CG2=2√3(cm)，∴矩形的面积=8×2√3=16√3(cm2).故选C．12.【答案】C【解析】【分析】此题考查三角形全等的判定和性质、正方形的性质和勾股定理。
特殊的平行四边形练习及答案
特殊的平行四边形练习及答案1.如图K27-1,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是()图K27-1A.20B.24C.40D.482.下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形;②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;③对角线相等的四边形一定是矩形;④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的个数为()A.4B.3C.2D.13.如图K27-2,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ACB=30°,则∠AOB的大小为()图K27-2A.30°B.60°C.90°D.120°4.如图K27-3,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C与点C'重合.若AB=2,则C'D的长为()图K27-3A.1B.2C.3D.45.如图K27-4,在菱形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD和DA的中点,连接EF,FG,GH 和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是()图K27-4A.AB=√2EFB.AB=2EFC.AB=√3EFD.AB=√5EF6.如图K27-5,正方形ABCD的边长为2,H在CD的延长线上,四边形CEFH也为正方形,则△DBF 的面积为()图K27-5A.4B.√2C.2√2D.27.如图K27-6,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,若点E为边CD的中点,连接AE,过点B作BF⊥AE 于点F,则BF的长为()图K27-6A.3√102 B.3√105C.√105D.3√558.如图K27-7,在正方形ABCD中,AB=3,点M在CD边上,且DM=1,△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称,将△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF,连接EF,则线段EF的长为()图K27-7A.3B.2√3C.√13D.√159.如图K27-8,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为()图K27-8A.1B.√2C.4-2√2D.3√2-410.如图K27-9,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,则C到直线AF的距离是()图K27-9A.3√22 B.√5 C.3√55D.211.如图K27-10,矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为 ()图K27-10A.5√5B.10√5C.10√3D.15√312.已知:如图K27-11,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则∠BED= 度.图K27-1113.菱形ABCD中,∠A=60°,其周长为24 cm,则菱形的面积为cm2.14.如图K27-12,在矩形ABCD中,AD=5,AB=7.点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D'落在∠ABC的平分线上时,DE的长为.图K27-1215.如图K27-13,P是正方形对角线上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥DC于点F.若PE=2,PF=4,则AP= .图K27-1316.如图K27-14,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩形ABCD的边CD上,连接CE,则CE的长是.图K27-1417.问题:将菱形的面积五等分.小红发现只要将菱形周长五等分,再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题.如图K27-15,点O是菱形ABCD的对角线交点,AB=5,下面是小红将菱形ABCD面积五等分的操作与证明思路,请补充完整.图K27-15(1)在AB边上取点E,使AE=4,连接OA,OE;(2)在BC边上取点F,使BF= ,连接OF;(3)在CD边上取点G,使CG= ,连接OG;(4)在DA边上取点H,使DH= ,连接OH.由于AE= + = + = + = .可证S△AOE=S四边形EOFB=S四边形FOGC=S四边形GOHD=S△HOA.18.如图K27-16,在菱形ABCD中,∠BAD=α,点E在对角线BD上.将线段CE绕点C顺时针旋转α,得到CF,连接DF.图K27-16(1)求证:BE=DF;(2)连接AC,若EB=EC,求证:AC⊥CF.19.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法中错误的是()图K27-17参考答案1.A2.C3.B[解析] ∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴OB=OC,∴∠OBC=∠ACB=30°,∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°.故选B.4.B[解析] 在矩形ABCD中,CD=AB.∵矩形ABCD沿对角线BD折叠后点C和点C'重合,∴C'D=CD,∴C'D=AB=2.故选B.5.D[解析] 连接AC,BD交于点O.∵E ,F 分别为AB ,BC 的中点, ∴EF=12AC.∵四边形ABCD 为菱形, ∴AO=12AC ,AC ⊥BD.∴EF=AO.同理:EH=BO.∵EH=2EF ,∴BO=2AO.在Rt △ABO 中,设AO=x ,则BO=2x.∴AB=√x 2+(2x)2=√5x=√5AO. ∴AB=√5EF.故选择D .6.D [解析] 设正方形CEFH 的边长为 a.根据题意得S △DBF=4+a 2-12×4-12a (a-2)-12a (a+2)=2+a 2-12a 2+a-12a 2-a=2.故选D . 7.B [解析] 由题意得△ADE ∽△BFA ,∴AD BF =DE FA,由题意可知AD=3,DE=1,设AF=x (x>0),则BF=3x ,由勾股定理得:AF 2+BF 2=AB 2,即x 2+(3x )2=22,解得x=√105(负值舍去),所以3x=3√105,即BF=3√105,故选B .8.C [解析] 如图,连接BM ,则由题意可得,△ADM ≌△AEM ≌△ABF ,∴∠BAF=∠EAM ,BA=AE ,AF=MA ,∴∠BAF+∠BAE=∠EAM+∠BAE ,即∠EAF=∠BAM ,则在△EAF 和△BAM 中,∵{AE =BA,∠EAF =∠BAM,AF =AM,∴△EAF ≌△BAM ,∴FE=BM ,又∵DM=1,在正方形ABCD 中,AB=3,∴CM=3-1=2,CB=3,∠C=90°,∴BM=2+CM 2=2+22=√13,∴FE=BM=√13,故选C .9.C [解析] 在正方形ABCD 中,∵∠ABD=∠ADB=45°,∠BAE=22.5°,∴∠DAE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°.在△ADE 中,∵∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°,∴∠DAE=∠AED ,∴AD=DE=4. ∵正方形的边长为4,∴BD=4√2, ∴BE=BD-DE=4√2-4.∵EF ⊥AB ,∠ABD=45°,∴△BEF 是等腰直角三角形, ∴EF=√22BE=√22×(4√2-4)=4-2√2.10.C11.B [解析] 作点F 关于CD 的对称点F', 易证四边形EFGH 为平行四边形,△AEH ≌△CGF ,AH=CF=CF'.当H ,G ,F'三点共线时,GH+GF'最小,即GH+GF 最小. 过点F'作F'M ⊥AD ,交AD 延长线于点M.则HM=5,F'M=10,根据勾股定理可求得HF'=5√5,所以GH+GF 的最小值为5√5,即四边形EFGH 周长的最小值为10√5.12.45 [解析] 由题意得,AB=AE ,∠BAD=90°,∠DAE=∠AED=60°.所以∠BAE=150°,∠AEB=15°.所以∠BED=∠AED-∠AEB=60°-15°=45°.13.18√3 [解析] ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=BC=CD=DA ,AC ⊥BD ,∵∠A=60°,∴△ABD 是等边三角形,又周长为24 cm,即BD=AB=6 cm,如图,在Rt △AOB 中,OD=3 cm,∴AO=√AD 2-OD 2=√62-32=3√3(cm),∴AC=2AO=6√3(cm),菱形的面积=12AC ·BD=12×6√3×6=18√3(cm 2).14.53或52 [解析] 如图,连接BD',过点D'作MN ⊥AB ,交AB 于点M ,交CD 于点N ,作D'P ⊥BC交BC 于点P ,则四边形BPD'M 是矩形.∵点D 的对应点D'落在∠ABC 的平分线上, ∴MD'=PD',则四边形BPD'M 是正方形.设MD'=x ,则PD'=BM=x ,∴AM=AB-BM=7-x.由折叠的性质可得AD'=5,∴x 2+(7-x )2=25,解得x=3或x=4.即MD'=3或MD'=4. 在Rt △END'中,设ED'=a.①当MD'=3时,D'N=5-3=2,EN=7-CN-DE=7-3-a=4-a , ∴a 2=22+(4-a )2,解得a=52,即DE=52;②当MD'=4时,D'N=5-4=1,EN=7-CN-DE=7-4-a=3-a , ∴a 2=12+(3-a )2,解得a=53,即DE=53.故答案为52或53.15.2√5 16.3√105[解析] 连接AG ,在Rt △BCG 中,根据勾股定理求出CG=4,所以DG=1,在Rt △ADG 中,根据勾股定理求出AG=√10,再利用△ABG ∽△CBE ,由对应边成比例,可得CE=3√105. 17.解:3 2 1 EB BF FC CG GD DH HA 18.证明:(1)∵四边形ABCD 是菱形,∴BC=DC ,∠BAD=∠BCD=α. ∵∠ECF=α, ∴∠BCD=∠ECF. ∴∠BCE=∠DCF.∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到, ∴CE=CF.在△BEC 和△DFC 中,{BC =DC,∠BCE =∠DCF,CE =CF,∴△BEC ≌△DFC (SAS). ∴BE=DF.(2)∵四边形ABCD 是菱形,∴∠ACB=∠ACD ,AC ⊥BD. ∴∠ACB+∠EBC=90°. ∵EB=EC , ∴∠EBC=∠BCE.由(1)可知∠EBC=∠DCF ,∴∠DCF+∠ACD=∠EBC+∠ACB=90°. ∴∠ACF=90°. ∴AC ⊥CF.19.C。
中考复习特殊的平行四边形试题及答案
特殊的平行四边形A级基础题1．(2013年四川宜宾)矩形具有而菱形不具有的性质是()A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等2．(2013年四川巴中)如图4-3-35，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是()图4-3-35A．24 B．16 C．4 13 D．2 133．(2013年海南)如图4-3-36，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是()新课标第一网A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60°D．∠ACB＝60°图4-3-36图4-3-37图4-3-38图4-3-394．(2013年内蒙古赤峰)如图4-3-37,4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边与S四边形ECDF的大小关系是()形ABDCA．S四边形ABDC＝S四边形ECDF B．S四边形ABDC < S四边形ECDFC．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋1 D．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋25．(2013年四川凉山州)如图4-3-38，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为()A．14 B．15 C．16 D．176．(2013年湖南邵阳)如图4-3-39，将△ABC绕AC的中点O按顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件____________，使四边形ABCD为矩形．7．(2013年宁夏)如图4-3-40，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF＝DC.图4-3-40新- 课-标-第- 一 -网8．如图4-3-41，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC 方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．图4-3-419．(2013年辽宁铁岭)如图4-3-42，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．图4-3-42B级中等题10．(2013年四川南充)如图4-3-43，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是()A．12 B. 24 C. 12 3 D. 16 3图4-3-43图4-3-44图4-3-45 11．(2013年内蒙古呼和浩特)如图4-3-44，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．12．(2013年福建莆田)如图4-3-45，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________．13．(2013年山东青岛)已知：如图4-3-46，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC 的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD∶AB＝__________时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明)．图4-3-46C级拔尖题14．(2013年内蒙古赤峰)如图4-3-47，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t≤ 15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．新课标第一网图4-3-47特殊的平行四边形1．B 2.C 3.B 4.A 5.C6．∠B＝90°或∠BAC＋∠BCA＝90°7．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝90°.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°.∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.又∵AD＝AE，∴△ADF≌△EAB.∴DF＝AB.∴DF＝DC.8．证明：由平移变换的性质，得CF＝AD＝10 cm，DF＝AC，∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，∴AC2＝AB2＋CB2，即AC＝10 cm.∴AC＝DF＝AD＝CF＝10 cm.∴四边形ACFD是菱形．9．(1)证明：∵点O为AB的中点，OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC.即∠ADB＝90°.∴四边形AEBD是矩形．(2)解：当△ABC是等腰直角三角形时，矩形AEBD是正方形．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠CAD＝∠DBA＝45°.∴BD＝AD.由(1)知四边形AEBD是矩形，X Kb 1. C om∴四边形AEBD是正方形．10．D11.1212．5解析：连接BP，交AC于点Q，连接QD.∵点B与点D关于AC对称，∴BP 的长即为PQ＋DQ的最小值，∵CB＝4，DP＝1.∴CP＝3，在Rt△BCP中，BP＝BC2＋CP2＝42＋32＝5.13．(1)证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，又∵M是AD的中点，∴AM＝DM.∴△ABM≌△DCM(SAS)．(2)解：四边形MENF是菱形．证明如下：E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，∴NE∥MF，NE＝MF.∴四边形MENF是平行四边形．由(1)，得BM＝CM，∴ME＝MF.∴四边形MENF是菱形．(3)2∶1解析：当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF是正方形．理由：∵M为AD中点，∴AD＝2AM.∵AD∶AB＝2∶1，∴AM＝AB.∵∠A＝90，∴∠ABM＝∠AMB＝45°.同理∠DMC＝45°，∴∠EMF＝180°－45°－45°＝90°.∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形．14．解：(1)在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF.新课标第一网(2)能．理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF .又∵AE ＝DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形．当AE ＝AD 时，四边形AEFD 是菱形，即60－4t ＝2t .解得t ＝10 s ，∴当t ＝10 s 时，四边形AEFD 为菱形．(3)①当∠DEF ＝90°时，由(2)知EF ∥AD ，∴∠ADE ＝∠DEF ＝90°.∵∠A ＝60°，∴AD ＝AE ·cos60°＝t .又AD ＝60－4t ，即60－4t ＝t ，解得t ＝12 s.②当∠EDF ＝90°时，四边形EBFD 为矩形．在Rt △AED 中，∠A ＝60°，则∠ADE ＝30°.∴AD ＝2AE ，即60－4t ＝4t ，解得t ＝152s. ③若∠EFD ＝90°，则E 与B 重合，D 与A 重合，此种情况不存在．综上所述，当t ＝152s 或t ＝12 s 时，△DEF 为直角三角形．。
中考数学专题训练：特殊平行四边形(附参考答案)
中考数学专题训练：特殊平行四边形（附参考答案）1．如图，在矩形ABCD和△BDE中，点A在BE上．若矩形ABCD的面积为20，△BDE的面积为24，则△ADE的面积为( )A．10 B．12C．14 D．162．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OM⊥AC，交BC于点M，过点M作MN⊥BD，垂足为点N，则OM＋MN的值为( )A．245B．165C．125D．653．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，E是AC 的中点，则BE的长为( )A．2 B．52C．√5D．34．关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )A．四条边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形5．下列选项中能使□ABCD成为菱形的是( )A．AB＝CD B．AB＝BCC．∠BAD＝90°D．AC＝BD6．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC－CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是( )A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形7．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝( )A．2 B．52C．3 D．48．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE，AF，EF.若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为( )A．2 B．3C．4 D．59．如图，将矩形ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为( )A．2 B．4C．5 D．610．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角．顺次添加的条件：①a→c→d ②b→d→c ③a→b→c，则正确的是( )A．仅①B．仅③C．①②D．②③11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是( )A．2 B．√5C．3√22D．12512．如图，已知F，E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于点P，则下列结论成立的是( )A．BE＝12AE B．PC＝PDC．∠EAF＋∠AFD＝90°D．PE＝EC13．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是( )A．1 B．√2C．√3D．214．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为( )A．√6B．√62C．2√2D．2√315．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC和AC的中点，请添加一个条件________________________，使四边形BEFD为矩形．(填一个即可)16．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.若AC＝12，BD＝16，则OE的长为______．17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AD的中点，点FAC，连接EF.若AC＝10，则EF＝______．在对角线AC上，且AF＝1418．如图，E是矩形ABCD边AD上一点，F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为_____．19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为点E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为______．20．如图，菱形ABCD的边长为6 cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移2√3 cm得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，则点E到AC的距离为_____cm.21．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE 的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于______．22．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到正方形AB1C1D1，则阴影部分的面积是_________．23．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于______．24．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是_______.参考答案1．C 2．C 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．B 9．B 10．C 11．D 12．C 13．C 14．B15．AB⊥BC(答案不唯一) 16．10 17．52 18.3 19．12520．221．√19422．2－2√3323．2α 24．8√5。
特殊的平行四边形测试题及答案
特殊的平行四边形测试题及答案特殊的平行四边形测试题一一、填空题1.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是 . 2．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．3．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．4．若在DE ∥BC ，DF ∥AC ，EF ∥AB ，图中共有_______个平行四边形．5若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件(写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．6．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝⒎ 以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 . 8．延长正方形ABCD 的边AB 到E ，使BE ＝AC ，则∠E ＝° 9．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为．10．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是．二、选择题11．如图4在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( ) A ．110° B ．30° C ．50° D ．70° 12．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等 13．平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm14．已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．315．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( ) A ．①③⑤ B ．②③⑤ C ．①②③ D ．①③④⑤（6）EA F DC B H G- 2 -16．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是 ( )A ．88 mmB ．96 mmC ．80 mmD ．84 mm 17、（13甘肃省白银市）如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=，则AEF ∠=（）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°18、（13哈尔滨市）某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形。
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第一章特殊平行四边形检测题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列四边形中，对角线一定不相等的是（ D ）
A.正方形
B.矩形
C.等腰梯
形 D.直角梯形
3.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（ D ）
①平行四边形;②菱形;③等腰梯形;④对角线互相垂直的四边形.
A.①③
B.②③
C.③④
D.②④
4.已知一矩形的两边长分别为10 cm和15 cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ B ）
A.6 cm和9 cm
B. 5 cm和10 cm
C. 4 cm和11
cm D. 7 cm和8 cm
5.如图，在矩形
中，
分别为边
的中点.若
，
，则图中阴影部分的面积为（ B ）
A.3
B.4
C.6
D.8
第6题图
第5题图
6.如图，在菱形
中，
，∠
，则对角线
等于（D ）
A.20
B.15
C.10
D.5
7.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（ B ）
A.4
B.2
C.
D.
8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ C ）
A.每一条对角线平分一组对角
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
A.
B.
C.
D.
（1）（2）
一、填空题（每小题3分，共24分）
11.已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是___6______.
13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使
，则∠BCE的度数是22.5° .
14.如图，矩形
的两条对角线交于点
，过点
作
的垂线
，分别交
，
于点
，
，连接
，已知△
的周长为24 cm，则矩形
的周长是 48 cm.
15.已知，在四边形ABCD中，
，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是___
_________.
16.已知菱形的周长为
，一条对角线长为
，则这个菱形的面积为____96_____.
17.如图，在矩形ABCD中，对角线
与
相交于点O，且
，则BD的长为____4____cm，BC的长为_____
__cm.
三、解答题（共66分）
19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知
∠BAC=∠ACD.
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形.
证明：（1）∵ AB=AC，∴ ∠B=∠ACB，∴ ∠FAC=∠B+∠ACB=2∠BCA.
∵ AD平分∠FAC，∴ ∠FAC=2∠CAD，∴ ∠CAD=∠ACB.
在△ABC和△CDA中，∠BAC＝∠DCA ，AC＝AC，∠DAC＝∠ACB，
∴ △ABC≌△CDA.
（2）∵ ∠FAC=2∠ACB，∠FAC=2∠DAC，∴ ∠DAC=∠ACB，∴ AD∥BC.
∵ ∠BAC=∠ACD，∴ AB∥CD，∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ ∠B=60°，AB=AC，∴ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC，∴ 平行四边形ABCD是菱形.
20.（8分）如图，在□ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD且AE=AB.
（1）求证：∠ABE=∠E AD；
（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形.
证明：（1）在□ABCD中，AD∥BC，∴ ∠AEB=∠EAD.
∵ AE=AB，∴ ∠ABE=∠AEB，∴ ∠ABE=∠EAD.
（2）∵ AD∥BC，∴ ∠ADB=∠DBE.
∵ ∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，∴ ∠ABE=2∠ADB，
∴ ∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB，∴ AB=AD.
又∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ 四边形ABCD是菱形.
22.（8分）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F 分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM. o M
（1）求证：EF=FM；
（2）当AE=1时，求EF的长.
（1）证明：∵ △DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴
∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴ F，C，M三点共线，DE=DM，∠EDM=90°，∴ ∠EDF+∠FDM=90°.
∵ ∠EDF=45°，∴ ∠FDM=∠EDF=45°.
在△DEF和△DMF中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，
∴ △DEF≌△DMF（SAS），∴ EF=MF.
（2）解：设EF=MF=x，∵ AE=CM=1，且BC=3，∴ BM=BC+CM=3+1=4，
∴ BF=BM－MF=BM－EF=4－x.
∵ EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，
由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4－x）2=x2，解得：x=
，即EF=
.
23.（8分）如图，在矩形
中，
相交于点
，
平分
，交
于点
.若
，求∠
的度数.
解：因为
平分
，所以
.
又知
，所以
因为
，所以△
为等边三角形，所以
因为
，
所以△
为等腰直角三角形，所以
．
所以
，
，所以
=75°
24.（8分）如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BC＝
，求AB的长.
25.(8分)已知：如图，在四边形
中，
∥
，
平分∠
，
，
为
的中点.试说明：
互相垂直平分.
解：如图，连接
∵ AB⊥AC，∴ ∠BAC=90°.
因为在Rt△
中，
是
的中点，所以
是Rt△
的斜边BC上的中线，
所以
，所以
．
因为
平分
，所以
，所以
所以
∥
.
又A D∥BC，所以四边形
是平行四边形．
又
，所以平行四边形
是菱形，所以
互相垂直平分．。