特殊的平行四边形试题及答案
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第一章特殊平行四边形检测题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列四边形中，对角线一定不相等的是（ D ）
A.正方形
B.矩形
C.等腰梯
形 D.直角梯形
3.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（ D ）
①平行四边形;②菱形;③等腰梯形;④对角线互相垂直的四边形.
A.①③
B.②③
C.③④
D.②④
4.已知一矩形的两边长分别为10 cm和15 cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ B ）
A.6 cm和9 cm
B. 5 cm和10 cm
C. 4 cm和11
cm D. 7 cm和8 cm
5.如图，在矩形
中，
分别为边
的中点.若
，
，则图中阴影部分的面积为（ B ）
A.3
B.4
C.6
D.8
第6题图
第5题图
6.如图，在菱形
中，
，∠
，则对角线
等于（D ）
A.20
B.15
C.10
D.5
7.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（ B ）
A.4
B.2
C.
D.
8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ C ）
A.每一条对角线平分一组对角
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
A.
B.
C.
D.
（1）（2）
一、填空题（每小题3分，共24分）
11.已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是___6______.
13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使
，则∠BCE的度数是22.5° .
14.如图，矩形
的两条对角线交于点
，过点
作
的垂线
，分别交
，
于点
，
，连接
，已知△
的周长为24 cm，则矩形
的周长是 48 cm.
15.已知，在四边形ABCD中，
，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是___
_________.
16.已知菱形的周长为
，一条对角线长为
，则这个菱形的面积为____96_____.
17.如图，在矩形ABCD中，对角线
与
相交于点O，且
，则BD的长为____4____cm，BC的长为_____
__cm.
三、解答题（共66分）
19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知
∠BAC=∠ACD.
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形.
证明：（1）∵ AB=AC，∴ ∠B=∠ACB，∴ ∠FAC=∠B+∠ACB=2∠BCA.
∵ AD平分∠FAC，∴ ∠FAC=2∠CAD，∴ ∠CAD=∠ACB.
在△ABC和△CDA中，∠BAC＝∠DCA ，AC＝AC，∠DAC＝∠ACB，
∴ △ABC≌△CDA.
（2）∵ ∠FAC=2∠ACB，∠FAC=2∠DAC，∴ ∠DAC=∠ACB，∴ AD∥BC.
∵ ∠BAC=∠ACD，∴ AB∥CD，∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ ∠B=60°，AB=AC，∴ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC，∴ 平行四边形ABCD是菱形.
20.（8分）如图，在□ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD且AE=AB.
（1）求证：∠ABE=∠E AD；
（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形.
证明：（1）在□ABCD中，AD∥BC，∴ ∠AEB=∠EAD.
∵ AE=AB，∴ ∠ABE=∠AEB，∴ ∠ABE=∠EAD.
（2）∵ AD∥BC，∴ ∠ADB=∠DBE.
∵ ∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，∴ ∠ABE=2∠ADB，
∴ ∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB，∴ AB=AD.
又∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ 四边形ABCD是菱形.
22.（8分）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F 分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM. o M
（1）求证：EF=FM；
（2）当AE=1时，求EF的长.
（1）证明：∵ △DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴
∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴ F，C，M三点共线，DE=DM，∠EDM=90°，∴ ∠EDF+∠FDM=90°.
∵ ∠EDF=45°，∴ ∠FDM=∠EDF=45°.
在△DEF和△DMF中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，
∴ △DEF≌△DMF（SAS），∴ EF=MF.
（2）解：设EF=MF=x，∵ AE=CM=1，且BC=3，∴ BM=BC+CM=3+1=4，
∴ BF=BM－MF=BM－EF=4－x.
∵ EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，