线性代数期末复习题 (2)

线性代数

一. 单项选择题

1.设A 、B 均为n 阶方阵，则下列结论正确的是 。 (a)若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 (b)若A ≠0且B ≠0，则AB ≠0

(c)若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵 (d)若AB 是可逆矩阵，则A 和B 都是可逆矩阵

2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵，则()1-⎥⎦

⎤⎢⎣⎡'AB 等于（ ） （a ）()1-'A ()1-'B (b) ()1-'B ()1-'A （c ）()

'-1B )(1'-A （d ）()

'

-1B ()1-'A

3.n m ⨯型线性方程组AX=b,当r(A)=m 时,则方程组 . (a) 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 (d)有解

4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 . (a)A 可逆 (b)A 有n 个特征值

(c) A 的特征多项式无重根 (d) A 有n 个线性无关特征向量 5.A 为n 阶方阵,若02

=A ，则以下说法正确的是 .

(a) A 可逆 (b) A 合同于单位矩阵 (c) A =0 (d) 0=AX 有无穷多解

6．设A ，B ，C 都是n 阶矩阵，且满足关系式ABC E =，其中E 是n 阶单位矩阵， 则必有（ ）

（A ）ACB E = （B ）CBA E = （C ）BAC E = （D ）

BCA E =

7．若233

32

31

232221

131211

==a a a a a a a a a D ，则=------=33

32

3131

2322

212113

1211111434343a a a a a a a a a a a a D （ ） （A ）6- （B ）6 （C ）24 （D ）24- 二、填空题

1.A 为n 阶矩阵，|A|=3，则|AA '|= ,| 1

2A A -*

-|= .

2．设⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300120211A ，则A 的伴随矩阵=*A ； 3．设A ＝⎥

⎦

⎤⎢

⎣⎡--1112，则1

-A ＝ 。

4.3R 中的向量()()12

3,222αβ''==,γβα22=-,则=γ ，|α|= .

5. 设3阶矩阵A 的行列式8||=A ，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为

6.二次型32212

3222143214422),,,(x x x x x x x x x x x f ---+=对应的矩阵是 .

7.已知三维向量空间的一组基为：]1,1,0[],1,0,1[],0,1,1[321===ααα，则向量]0,0,2[=α在这组基下的坐标为： 。

8. 如果二次型31212

322213212232),,(x x x x tx x x x x x f ++++=是正定的，则t 的取值范围

是 。 三、解答题

1. 设X B AX =+，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101111010A ，⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，求X

2. 计算

d

b

d

b c a c a 0

0000000

3.求向量组⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=93916,131,143,1524321αααα的一个极大线性无关组，并将其

他向量用该极大线性无关组线性表出.

4．设线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=-+=+-=-+0

302022321

321321x x x x x x x x x λ, 问λ取何值时方程组有非零解？并求通解,写出其基

础解系.

5. 已知方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++--=+-=++2

321

321321424

k x kx x x x x kx x x

（1）k 为何值时，方程组有唯一解？无穷多解？无解？ （2）在有无穷多解时，求出方程组的通解。

6．已知二次型323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=,利用正交变换化f 为标准形,并写出相应的正交矩阵. 四、证明题

若2240A A E --=,证明A E +可逆,并求1

()A E -+.

答案

一、(1) d (2)a (3) d (4) d (5) d （6）d （7）d

二、(1) 9 ; 1

3-n (2) ⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200130336 （3） ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡2111 （4） ⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛210 ;14 (5) -2 (6) ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----220222021 （7）]1,1,1[- （8）35t >

三、(1) 由X B AX =+得：()A E X B -=-

因为 110101102A E -⎡⎤

⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

， 30A E -=-≠，所以A E -可逆 。 1210332

1()13311033A E -⎡⎤

--⎢⎥⎢

⎥⎢⎥-=-

-⎢⎥

⎢

⎥⎢⎥

-⎢⎥⎣

⎦

，故131()2011X A E B --⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (2) 2)(bc ad -

(3) 321,,ααα ;

32143

8

32317αααα-+-

= (4) 1=λ时有非零解 ; ()T

k X 110= k 取任意数 ()T

110为基础解系

(5) )4)(1(1

1

211

11

-+=--=k k k

k A

(1) 当1-≠k 且4≠k 时，方程组有唯一解;

(2) 当1-=k 时， []→⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111142114111

b A ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡---300083204111 )(])([A r b A r ≠ ，方程组无解；