【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.2.3空间向量与空间角课件 新人教A版选修2-1

【即时练】 已知点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),则平面ABC与平面xOy所 成锐二面角的余弦值为 .
【解析】AB＝(－1，2，0)， AC ＝(－1，0，3)．设平面ABC
的法向量为n＝(x，y，z)．
x 2y 0， 由n· AB ＝0，n·AC ＝0知 x 3z 0. 令x＝2，则y＝1，z＝ 2 . 3 2 所以平面ABC的一个法向量为n＝(2，1， )．平面xOy的一个 3
【解析】分别以BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 如图, 设AB=1,则B(0，0，0)，E( F(0，0，
1 ，0，0)， 2
1 )，C1(0，1，1)， 2 1 所以 EF＝( 1 ， 0， )， 2 2
BC1＝(0，1，1)．
cos〈EF ， BC1〉＝
EF BC1 EF BC1
)
B. 3 10 10 C. 10 10 D. 3 5
(2)在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶 点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC ＝2，∠VDC＝θ.当θ＝ 时，求异面直线AC与VD所成角的余
3
弦值．
【解题探究】1.题(1)中如何建立空间直角坐标系?异面直线 D1C与BE所对应的方向向量分别是多少? 2.题(2)中在坐标系中如何确定点A,C,V,D的坐标?
向量求法 设二面角α-l -β为θ,平面α,β
范围
二面角
的法向量分别为n1,n2,则|cosθ|=
n1 n 2 |cos<n1,n2>| |n ||n |. ____________= 1 2
[0,π] _______
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相 等.( )
类型二
直线与平面所成的角
【典例2】 (1)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面 ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值 等于(
A. 1 3
)
B. 2 3 C. 3 3 D. 2 3
(2)(2013·湖南高考)如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.
21 42
|u1 u 2| 21 . |u1||u 2| 42
【要点探究】 知识点 向量法求空间角
1.两条异面直线所成的角的两个关注点 (1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值, 而对应的方向向量的夹角可能为钝角.
,故两直线的方向向量 (2)范围:异面直线所成的角θ∈ (0， ] 2
(2)错误.二面角的范围为[0,π],两向量所成角的范围为
[0,π],虽然范围一致,但两向量所成的角与二面角不一定一致,
因平面的法向量的指向有两个,两向量所成的角与二面角所成
的角同为直角、锐角、钝角时才相等.
(3)错误.当直线与平面垂直时所成角为 .
2
答案:(1)× (2)×
(3)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
夹角α的余弦值为负时,应取其绝对值.
2.对直线与平面所成角的两点说明 (1)互余关系:若直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量和 平面的法向量夹角为φ,则其关系为sinθ=|cosφ|. (2)对应关系:若直线l(方向向量为a)与平面α(法向量为n)所 成的角为θ,
-<a,n>; 2 当<a,n>∈ ( ，] 时,θ=<a,n>- . 2 2
3
【自主解答】(1)选B.以A为原点，AB，AD，AA1 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐 标系，设AB＝1，则B(1，0，0)，D(0，1，0)， C(1，1，0)，因为AA1＝2AB，所以E(0，0，1)， D1(0，1，2)，所以 BE ＝(－1，0，1)，CD1 ＝(－1，0，2)， 所以 cos〈BE， CD1〉＝
则O(0，0，0)，O1(0，1， 3 )，A( 3 ，0，0)，A1( 3 ，1，
＝OB －OA1＝ － 3， 1 ，－ 3 ， 3 )，B(0，2，0)，所以 A1B O1A＝OA－OO1＝ 3，－，－ 1 3．




所以 cos〈A1B， O1A〉
( 3， 1 ， 3) ( 3， 1 ， 3) 1 ＝－ . 7 7 7 A1B | O1A | 所以异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为 1 . 7 ＝ A1B O1A ＝
系.
设AB＝t，则相关各点的坐标为：A(0，0，0)，B(t，0，0)， B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)， D1(0，3，3)． 从而 B1D ＝(－t，3，－3)， AC ＝(t，1，0)， BD ＝(－t，3， 0)．
第3课时 空间向量与空间角
问题 引航
1.异面直线所成的角,直线与平面所成的角,平面与平
面所成角的范围分别是多少? 2.如何应用向量法求空间三种角?
空间三种角的向量求法 角的分类 向量求法 设两异面直线所成的角为θ,它们 范围
(0， ] 2 ______
异面直线
所成的角
的方向向量为a,b,则cosθ=
(1)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平
面所成的二面角的大小为
.
(2)若直线的方向向量为u1=(1,1,1),平面的法向量为 u2=(2,2,2),则直线与平面所成角的正弦值为 .
(3)若直线l1的方向向量为u1=(1,3,2),直线l2的方向向量为 u2=(2,-1,1),则两直线所成的角的余弦值为 .
法向量为 OC ＝(0，0，3)．由此易求出所求二面角的余弦值 为 2． 答案：2
7 7
【题型示范】 类型一 异面直线所成的角
【典例1】 (1)(2014·天津高二检测)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2AB,E是AA1的中点,则异面直线D1C与BE所成角的余弦值 为(
A. 1 5
n B1C1 | . sinθ=|cos<n, B1C1 >|= | n | B1C1 |
【自主解答】(1)选B.如图,设A1在平面ABC内的射影为O,以O 为坐标原点,OA,OA1分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系, 如图．设△ABC边长为1，则 A(
5 3 1 6 所以 AB1＝－ ( ，， )． 6 2 3 3 3 1 6 ， 0，， 0) B1 (－ ，， )， 3 2 2 3
①证明:AC⊥B1D; ②求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
【解题探究】1.题(1)中可利用哪个条件建立空间直角坐标系? 2.题(2)中可借助题目中的哪些条件建立空间直角坐标系?直线 B1C1与平面ACD1所成角的正弦值用向量如何表示?
【探究提示】1.可利用侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC 内的射影为△ABC的中心,建立空间直角坐标系. 2.利用AB,AD,AA1两两垂直可以建立空间直角坐标系.设n是平 面ACD1的一个法向量,则直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值
键是利用三垂线定理找二面角;
二证:找到对应角后利用异面直线所成角,线面所成角,面面所
成角的定义证明对应角就是所求角;
三求:一般来说是通过解三角形求解.要注意异面直线所成角, 直线与平面所成角,二面角的范围.
【微思考】 (1)若二面角α-l-β的两个半平面的法向量分别为n1,n2,则二 面角的平面角与两法向量夹角<n1,n2>的关系. 提示:相等或互补 (2)利用向量法求空间角时,关键需找到哪些量? 提示:关键要找到直线的方向向量与平面的法向量.
|a b | |cos<a,b>| a b ___________=_____.
直线与平 面所成的 角
设直线l与平面α所成的角为θ,l的 方向向量为a,平面α的法向量为n,
|a n | a n 则sinθ=___________=_______. |cos<a,n>|
______
[0， ] 2
角的分类
(2)若向量n1,n2分别为二面角的两半平面的法向量,则二面角
n1 n 2 . ( 的平面角的余弦值为cos<n1,n2>= |n1||n 2| ( (3)直线与平面所成角的范围为 (0， ) ). 2
)
【解析】(1)错误.两异面直线所成的角的范围为 (0， ] ,两直线
2
的方向向量所成角的范围为[0,π].
当<a,n>∈ [0， ] 时,θ=
2
3.二面角范围的辨别 若二面角为θ,两平面的法向量夹角为α,则|cosθ|=|cosα|, 需分辨角θ是锐角还是钝角,可由图形观察得出,也可由法向量 特征得出.
4.“一作,二证,三求”计算空间角
一作:即作辅助线找到对应角如异面直线夹角关键是通过平移
法求解,线面角的关键是作出斜线在平面上的射影,二面角的关
(2)向量法. ①方法:利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角θ转化为 两直线的方向向量所成的角φ,若求出的两向量的夹角为钝角, 则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角,即cosθ=|cosφ|. ②关注点:求角时,常与一些向量的计算联系在一起,如向量的 坐标运算、数量积运算及模的运算.
【变式训练】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面 ABC,AB=BC=AA1, ∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则 直线EF和BC1所成角的大小是 .
BE CD1 3 3 10 ＝ ＝ . 10 | BE || CD1 | 2 5
(2)AC＝BC＝2，D是AB的中点， 所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(1，1，0)．
当θ＝
时，在Rt△VCD中，CD＝ 2， 3
故V(0，0， 6 )． 所以 AC ＝(－2，0，0)，VD ＝(1，1， － 6 )．
【探究提示】1.以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x
轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，则异面直线BE
与D1C的方向向量分别为 BE ＝(－1，0，1)，CD1 ＝(－1，0，2).
2.由AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，
B(0，2，0)，D(1，1，0)．再结合θ＝ 可得V(0，0， 6 ).
mn 1 2 ＝ ＝ ， 【解析】(1)cos<m,n>= mn 2 2
所以<m,n>=45°.所以二面角为45°或135°. 答案:45°或135° (2)因为u1=(1,1,1)与u2=(2,2,2)共线易得直线与平面垂直, 则直线与平面所成的角的正弦值为1. 答案:1
(3)因为u1·u2=(1,3,2)·(2,-1,1)=1, |u1||u2|= 1 9 4 4 1 1 84 wenku.baidu.com2 21 ， 则两直线所成的角的余弦值为|cos<u1,u2>|= 答案:
平面ABC的法向量n＝(0，0，1)， 则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为
sin α＝|cos〈AB1 ，n〉|＝
6 2 3 ＝ . 3 75 1 6 36 4 9
(2)①易知,AB,AD,AA1两两垂直.如图,以A为坐标原
点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标
2 2 ＝－ . 4 AC | VD | 2 2 2 所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为 2 . 4
所以 cos〈AC， VD〉＝
AC VD
＝
【方法技巧】求异面直线夹角的两种方法 (1)几何法. ①方法：解决此类问题，关键是通过平移法求解 .过某一点作 平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角 形求解.主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时， 要注意异面直线所成角的范围. ②关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如 等腰(边)三角形的性质、中位线的性质及勾股定理、余弦定理 及有关推论.
＝
1 2 2 2 2
1 ＝ ， 2
所以直线EF和BC1所成角的大小为60°. 答案：60°
【补偿训练】如图所示,三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平
面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA= 3 ,求异
面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,