高等数学讲义课件第3节泰勒公式

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第三节泰勒公式39页PPT

Q
(n n

1
)
(
)

f (n1) ( )
(n 1) !
(在x0与x之间 )
Pn(n1)(x)0,Rn(n1)(x) f(n1)(x)
Rn(x)f(n(n 1)1()!)(xx0)n1
Qn(n1)(x)(n1)!
(在x0与x之间 )
证毕！
上页下页返回结束
p8(x)比 p2(x)在更大的范围内更接近余弦函数.
上页下页返回结束
(1) 若f(x)在x0连续 , 则有 xl im x0 f(x)f(x0) 由极限和无穷小量间的关系
f(x)f(x0)
f(x)f(x0)
用常数代替函数误差太大
(2) 若f(x)在x0可导 , 由微分有
f(x 0 x ) f(x 0 ) f(x 0 ) x
余项公式
Rn(x)f(n (n 1)1())!(xx0)n1
① 称为 f ( x)的 n 阶泰勒公式
②
（
.
在
x
0与x
之间）
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
证明: Pn(x) R n(x)f(x)P n(x)
上页下页返回结束
余其项中f ( ：x R ) n (x Pf n)(( xx ) 0 f() n ( n 1f )1( )( x )!0 () x x f x( (0x n )n 0 )n) ( !1 x0f)②(2(（x !x0 )(x 在x0)xn x0与0)R2 xn之(x间①) ）
f(x)coxs
p1(x)
y1
y=1
令：p8(0)f(0),求出a0 1
p8 (0)f(0) a1 0

泰勒公式课件98855

(nR n(1n)) (2n()nRn(xn0)()x00)
Rn(n1)( )
(n 1) !
(在 x0与 x n之)间 ,
即
(R xnR(xnx)(0x))nf(1(nn 1R1 )(()n(nn!)1(1)x() !)x0)n1.
例1 求函f(数 x)1按 (x1)的幂展开 x
拉格日型n余阶项泰的勒.公式解 f(n)(x)(x1n)n1n!, f(n1)(x)(1)nxn 1 (n 21).!
f(nn)(!x0)(xx0)nRn(x),
其中 Rn(x)f((nn 11)()!)(xx0)n1(在 x0与 x之)间 .
带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式
证令 R n (x ) f(x ) p n (x )则,有
Rn(x0)Rn (x0) R n (n )(x 0)0 , 且 R n (n＋ 1)(x)f(n＋ 1)(x).( pn (n1)(x)0)
3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的
适用范围.
例2 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 106.
解在 e x 的麦克劳林公式中令 x = 1 , 得
e 1 11 1e (0 1 ).
2! n ! (n 1 )! 由于 0ee3,欲使
Rn(1)
(n
3 1)
!106,
Rn(x)f((nn 11)()!)(xx0)n1 (在 x0与 x之)间 .
当 x 0 的在某 f(n 1 ) 邻 (x ) M ( 域常 )时 ,内数有 Rn(x)(nM 1)!xx0n1.
显 R n ( x ) 然 o ( x ( x 0 ) n )( x x 0 ).
2 泰勒公式的特例 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为拉格朗日中值定理

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用第三节泰勒公式

§3. 泰勒(Taylor)公式一,问题的提出
1.设 f ( x ) 在 x0 处连续,则有
f ( x ) ≈ f ( x0 )
[ f ( x ) = f ( x0 ) + α ]
仅仅是无穷小
2.设 f ( x ) 在 x0 处可导,则有
f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′( x 0 )( x x 0 )
五,小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y= x
y = sin x
五,小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y= x
y = sin x
o
x y= x 3!
3
五,小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y= x
y = sin x
o
x3 x5 y= x + 3! 5!
x3 y= x 3!
x
x2 x3 思 ∵ e x = 1 + x + + + o( x 3 ) 2! 3! 考 x3 题 sin x = x + o( x 3 ) 3!
解 e x sin x x (1 + x ) = 答 ∴ lim 3 x →0 x
x2 x3 x3 3 3 1 + x + + + o( x ) x + o( x ) x (1 + x ) 2! 3! 3! lim x →0 x3 x3 x3 + o( x 3 ) 1 = lim 2! 3! 3 = . x →0 x 3
y = 1+ x
o o
不足: 1,精确度不高; 2,误差不能估计. 问题: 寻找函数 P ( x ) ,使得 f ( x ) ≈ P ( x )

高等数学课件3-3泰勒公式

n
n 1
Rn( 2 ) n( n 1)( 2 x0 )
( 2在x0与1之间)
如此下去,经过( n 1) 次后,得
Rn ( x ) ( x x0 )
n1

R
n 1!
( 在 x0与 n之间 ,也在 x 0 与 x 之间)
$3-3Taylor公式 9
( n1 ) n
$3-3Taylor公式 2
例如, 当 x 很小时, e 1 x , ln( 1 x ) x
x
ye
ye
x
x
y x
y ln(1 x )
y 1 x
o o
$3-3Taylor公式 3
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 问题:
寻找函数 P ( x ) ,使得 f ( x ) P ( x ) ,
两函数 Rn ( x ) 及 ( x x 0 )
n1
在以 x 0 及 x 为
端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
Rn ( x ) ( x x0 )
n1

Rn ( x ) Rn ( x0 ) ( x x0 )
n1
0 ( 1 在 x 0 与 x 之间 )

R n ( 1 ) ( n 1 )( 1 x 0 )
f
(4)
(0) 0,
… ，
f
(n)
( 0 ) 依次取 0，，， 1 . 1 0 -
若令n=2m,则
sin x x x
3

x
5

x
7
m 1 … ( 1)
x
2 m 1
3!
5!
7!

高等数学方明亮32泰勒公式.ppt

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在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
由此得近似公式
若在f (fx公)(式x)成f(立xf0(的)0)区f间(fx上0()0()xfx(nx1)0f()2x()!0)fxM22(x!,0则) (x有误fx(0nn差))!(20估)计xn式
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
2024年9月27日星期五
4
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泰勒中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
2024年9月27日星期五
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f (x0),
1 2!
f
( x0 ) ,
,
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn
(x)
f
( x0
)
f
(x0 1f
n!
)(x x0 ) (n) (x0 )(x
1
2! f x0 )n
(
x0
)(x
x0
)2
2024年9月27日星期五
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2. 余项估计
令 Rn (x) f (x) pn (x)(称为余项) , 则有

D3_3泰勒公式(PPT)-文档资料

称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 例1. 求 y ln cos x 在 x 处的带有拉格朗日余项的2阶 4 泰勒公式. 解: 要求到3阶导数
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结束
1 2 f ln ln 2, 2 4 2
2
f x tan x f 1 4
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
x 的一次多项式
y
y f ( x)
p1 ( x)
特点:
f ( x0 ) f ( x0 )
O
x0 x
x
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结束
为了提高精确度，我们考虑用n次多项式来近似 f ( x)
pn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) 2 an ( x x0 ) n f x a0 f ( x0 ), 要求满足
3 5
f
(k )
f 0 1,
f 0 0, f 0 1,
π (0) sin k 2 4 f 0 0,

2 m 1 x x x sin x x (1) m1 R2m ( x) (2m 1) ! 3! 5!
f x sec x f 2, f x 2sec2 x tan x 4 2 1 ln cos x ln 2 x x 4 2 4 3 1 2 sec tan x 3 4
f ( x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2! f (3) ( ) ( x x0 )3 3!

高等数学(第二版)上册课件：泰勒公式

分析
近 1.若在 x0点相交
似程
Pn (x) f (x0)
度越
2.若有相同的切线
来
越好
Pn' (x) f ' (x0)
3.若弯曲方向相同
Pn'' (x) f '' (x0 )
y
y f (x)
0 x0
x
（1）求 n 次近似多项式
Pn (x0) f (x0)
p'n (x0 )
f
' n
所以
f (x) 8 10(x 1) 9(x 1)2 6(x 1)3 (x 1)4
【例3.3.4】求 f (x) ex2 的带有佩亚诺余项麦克劳林展开式
解
因为 ex 1 x x2 xn o(xn1)
2!
n!
用 x2代替公式中的 x，即得
ex2 1 x2 x4 x2n o(x2n2 )
2!
n!
【例3.3.1】求 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式
解由于 f ' (x) f ''(x) f (n) (x) ex，
所以 f '(0) f ''(0) f (n) (0) 1 ，
取拉格朗日余项，得麦克劳林展开式为
ex 1 x x2 xn e x xn1
则误差 R(x)= f (x) P(x)
设函数 f (x)在含有 x0 的开区间 (a, b) 内具有直到 (n+1) 阶导数，P(x) 为
多项式函数
pn(x)
a 1
(x
x0
)
a2
(x
x0
)2
an(x x0)n

考研高数总复习泰勒公式(讲义)PPT课件

即，泰勒公式是一阶微分近似式和拉氏公式的推广
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
Foil 10
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x 2 f (n) (0) x n
误差 Rn ( x) f ( x) P:
1.若在 x 0 点相交
近
似程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度越
2.若有相同的切线
来越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
y
o
皮亚诺形式的余项
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
Foil 9
注意:
1. 当n 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(在x
与
0
x之
间)
当 n=1 时，略去余项,得到一阶微分近似式
f (x) f (x0 ) f '(x)(x x0 )
注意到 f ( x ) (n1) e x
代入公式,得
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
2!
n! (n 1)!
Foil 13
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn ( x)
ex x n1 (n 1)!

3,3泰勒公式-52页PPT精品文档

f ( x0) +
f ( x0 )( x - x0 ) +
f
( x0 2!
)
(x
-
x0 )2
+
+
f
(n) ( x0 n!
)
(x
-
x0 )n
+
Rn
(
x)
其中 Rn( x) =
f (n+1)( ) ( x
(n + 1)!
-
x0 )n+1(
在
x0与
x之间).
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泰勒公式
证明: 由假设 , R n ( x )在 ( a ,b )内具有直到 ( n + 1 ) 阶
L+f(nn )(!x0)(x-x0)n=kn=0 f(kk)(!x0)(x-x0)k
称f为 (x)按 (x-x0)的幂展 n次近开似多的项式 .
f(x)=kn =0f(kk )(!x0)(x-x0)k+R n(x)
称f为 (x)按 (x-x0)的幂展 n阶泰开勒公的式.
R n(x)=fn (n + + 1)1 (!)(x-x 0)n + 1(在 x 0 与 x 之 )间
x
以直代曲
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ( x 0 ) x - ( x 0 ) + o ( x - x 0 )
例如 ,当 x很小时 ,ex1+x,ln1+ (x)x
（如下图）
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泰勒公式
以直代曲
y = ex
y = ex
y=x
y=1+x

泰勒公式ppt课件精选全文完整版

令n=2m，于是有
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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18
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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10
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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16
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2

高等数学(外)课件-泰勒公式

f (n1) ( )
(n 1)!
(x
x0 )n1 ,
(
在
x0
与
x
之间).
證畢
高等数学
6
注 ① 特别地，当n 0时, 有
f ( x) f ( x0 ) f ( )(x x0 ) ( 在 x0 与 x 之间)
因此, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.
② 由3式，用Pnx近似表示f x时的误差为Rnx ,
高等数学
2
對於 pnx a0 a1x x0 a2x x0 2 anx x0 n ⑴
假設 Pnx0 f x0 , Pn x0 f x0 , Pn x0 f x0 ,
, Pnn x0 f nx0 , 則有
a0
f x0 , a1
f x0 ,a2
1 2!
f x0 ,
an
x0
1 2!
f x0 x
x0 2
1 n!
f
nx0 x
x0 n
xLeabharlann x0n高等数学
P2
8
③ 在⑶式中，若取 x0 0, 令 x (0 1), 則有
麥克勞林(Maclaurin)公式
f x f 0 f 0x 1 f 0x2 1 f n0xn
2!
n!
1
f n1 x x n1
n!
x n1
所以 f 0 1, f 0 1, f 0 2!, , f n 0 (1)nn!
於是得 1 1 x x2 x3 1 x
1n
xn
1n1 1 xn1
(0
1)
高等数学
13
內容小結
1. 泰勒公式
f x
f x0
f x0 x

2024年高等数学竞赛讲义3第三部分中值定理与泰勒公式

第一节中值定理中值定理是微积分中的重要定理，它揭示了函数在一些区间上的平均变化率与其在该区间上一些点的瞬时变化率之间的关系。

中值定理一般有以下几种形式：1.罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。

罗尔中值定理的几何意义是，如果一条曲线在两个端点处的斜率相等，那么在这之间必然存在一点，其切线的斜率为0。

2.拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

拉格朗日中值定理的几何意义是，如果一条曲线在两个端点处的斜率相差不大于整个区间的平均变化率，那么在这之间必然存在一点，其切线的斜率等于整个区间的平均变化率。

3.柯西中值定理：若函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点c，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)=[f'(c)/g'(c)]。

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它使得两个函数在一些点上的变化率可以完全不一样。

4.罗尔中值定理（三角函数形式）：若函数f(x)在(0,π/2)上连续，在(0,π/2)内可导，并且f(0)=f(π/2)=0，则在(0,π/2)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。

这个定理的几何意义是，如果一条曲线在两个端点处的斜率都为0，则在这之间必然存在一个点，其切线的斜率也为0。

中值定理在微积分中具有非常广泛的应用，它可以用来证明一些重要的定理，例如费马定理和柯西-施瓦茨不等式等。

第二节泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要工具，它通过将函数在一些点处展开成无限项的幂级数，来近似表示函数在附近的取值。

一般来说，对于任意可导的函数f(x)，在一些点a处，可以将f(x)在a的一些邻域内展开成泰勒级数的形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数，f''(a)表示二阶导数，以此类推。

3.3 泰勒公式

答案
2
2 4

cos( ) 2+2

+1
cos = 1 − + − ⋯ + (−1)
+ (−1)

,
2! 4!
(2)!
(2 + 2) !
(0 < < 1)
第三节泰勒公式
第三章微分中值定理与导数的应用
例3 求() = ln( 1 + )的阶麦克劳林公式.
解
∵
∴
() (0) = (−1)−1 ( − 1)!,
称为函数()在0 处(或按( − 0 )的幂展开)的次泰勒多项式.

() (0 )
(2) () = ෍
( − 0 ) + () ≈ ()
!
=0
∎佩亚诺余项 () = (( − 0 ) ) 不能具体估算出误差的大小.
+1 ( )
∎拉格朗日余项 () =
″ ( )
( − 0 )2 , 在0 与之间.
产生的误差为 1 () =
2!
第三节泰勒公式
第三节泰勒公式
第三章微分中值定理与导数的应用
第三章微分中值定理与导数的应用
(3)当 = 0时, 拉格朗日余项的泰勒公式变成拉格朗日中值公式
() = (0 ) + ′ ( )( − 0 )
′
2
() = (0) + (0) +
+ ⋯+
+ ( )
2!
!
称为麦克劳林（Maclaurin）公式.
第三节泰勒公式
第三节泰勒公式
第三章微分中值定理与导数的应用

高等数学第三章第三节泰勒公式课件.ppt

当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
泰勒中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
பைடு நூலகம்
x0
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( )
2 (!
(x x0 )2
在 x0 与x
之间)
误差
( 在 x0 与x 之间) d f
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 )
ex , ln(1 x), sin x, cos x, (1 x)
3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算
(2) 利用多项式逼近函数 , 例如 sin x
(3) 其他应用
求极限.
思考与练习
计算
解: ex2 1 x2 1 x4 o(x4 ) 2!
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x
若在f (公x) 式成f (立x0的) 区f间(x上0 )(
x f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (x有误fx(0nn差))!(20估) 计xn式

《函数的Taylor公式》课件

多变量的taylor公式在多元微积分、偏微分方程等领域有广泛的应用，如求解多变量优化问题、分析多变量函数的性质等。
分段的taylor公式
分段的taylor公式定义
01
对于分段定义的函数，其taylor公式是在每个分段内展开函数的
一种方法，需要考虑分段点处的连续性和导数。
分段的taylor公式的收敛性
02
taylor公式的推导
一次taylor公式
总结词：线性逼近
详细描述：一次taylor公式可以将一个函数在某一点的值近似为其在该点处的导数值与自变量增量的线性组合，即 f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)。
二次taylor公式
总结词
二次多项式逼近
详细描述
二次taylor公式在某一点的值近似为该点处的二阶导数与自变量增量的二次多项式，即 f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)+12!f″(a)(x−a)2。
近似计算误差估计
taylor公式还可以提供近似计算的误差估计，帮助我们了解近似值的精度。
函数性质的研究
研究函数的局部行为
taylor公式可以用来研究函数在某一点的局部行为，例如求函数的极值点或拐点。
函数展开与收敛性
taylor公式可以用来研究函数的展开和收敛性，从而深入了解函数的性质。
函数的分析和计算非常有用。
适用范围广：Taylor公式适用于各种类型的函数，包括连续可导的函数。
局限性
收敛性：Taylor公式的收敛速度可能很慢，需要足够多的项才能达到所需的精度。
区间限制：Taylor公式只在一定区间内收敛，超出这个区间公式就不再成立。
taylor公式的进一步研究

高等数学同济7版精品智能课件-第3章-第3节-泰勒公式

第三节泰勒公式
于是提出如下的问题：
设函数 f (x) 在含有 x0 的开区间内具有直到 (n + 1) 阶导数，试找出一个关于 (x – x0) 的 n 次多项式
pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n 来近似表达 f (x)，要求
f (x) pn (x) o((x x0 )n ) ,
第三节泰勒公式
一、泰勒中值定理二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用
第三节泰勒公式
一、泰勒中值定理
1. 问题的提出
在微分的应用中已经知道，当 |x – x0| 很小时，有近似计算公式
f (x) f (x0) + f (x0)(x – x0) . 在上述近似计算公式的右边是一个 x – x0 的一次多项式，因此其实质是用一个一次多项式来表达一个较复杂的函数. 这种近似表达存在以下不足之处：
x0
)n
.
n 阶泰勒多项式
下面的定理将证明该多项式的确是所要找的 n 次多项式.
第三节泰勒公式
2. 泰勒(Taylor)中值定理
泰勒中值定理如果函数 f (x) 在含有 x0 的某个开
区间 (a , b) 内具有直到 n + 1 阶的导数，则对任一 x
(a
,
b)
，有
f
(x)
f
(x0 )
f
所以
f (k) (0) 1 (k 0 , 1, 2 , , n).
例2 求出函数 f (x) = sin x 的 n 阶麦克劳林公式..
于是解可ex 得因1为sxinfx1(n)x(x2x)31!sxin3 1x51x!nxn5