江苏省镇江市镇江一中2020届高三期初考试数学试卷(原卷版)

江苏省镇江市镇江一中2020届高三期初考试

数学试卷 2019．9

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知集合A ＝{}2x x <，B ＝{﹣2，0，1，2}，则A

B ＝ ． 2．已知i 是虚数单位，则复数212i (2i)2i

++-对应的点在第 象限． 3．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm 2）分别为：9.4，9.2，10.0，10.6，10.8，则这组样本数据的方差为 ．

4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ．

5．在区间[﹣1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2

＋y 2＝9相交”发生的概率为 ．

6．已知函数ln 20()0

x x f x x a x ->⎧=⎨+≤⎩，，，若(())f f e ＝2a ，则实数a ＝

． 第4题 7．若实数x ，y ∈R ，则命题p ：69x y xy +>⎧⎨

>⎩是命题q ：33x y >⎧⎨>⎩的 条件．（填“充分不

8．已知函数1(12)31()21

x a x a x f x x --+<⎧=⎨≥⎩，，的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ． 9．若a ＝21.4，b ＝80.2，c ＝2log 41

()2-，则a ，b ，c 的大小关系是 （用“＞”连接）．

10．已知函数()f x 是定义在[2﹣a ，3]上的偶函数，在[0，3]上单调递减，且2()5

a

f m --＞2(22)f m m -+-，则实数m 的取值范围是 ．

11．已知P 是曲线211ln 42y x x =

-上的动点，Q 是直线324y x =-上的动点，则PQ 的最小值为 ．

12．若正实数m ，n ，满足226m n m n

+++=，则mn 的取值范围为 ． 13．若关于x 的方程222(1)1+40x x x ax ---=恰有4个不同的正根，则实数a 的取值范围是 ．

14．设()f x '和()g x '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()f x '·

()g x '＜0在区间I 上恒成立，则称()f x 和()g x 在区间I 上单调性相反．若函数31()2(0)3

f x x ax a =

->与()g x

=

2x 2bx +在区间(a ，b )上单调性相反，则b ﹣a 的最大值为 ．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分14分）

己知集合A ＝{}2320x x x -+≤，集合B 为函数22y x x a =-+的值域，集合C ＝{

x }240x ax --≤．命题p ：A B ≠∅，命题q ：A ⊆C ．

（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；

（2）若命题p 且q 为真命题，求实数a 的取值范围．

16．（本小题满分14分） 已知函数2()(0)1

x f x x x =>+． （1）求证：函数()f x 在(0，+∞)上为增函数；

（2）设2()log ()g x f x =，求函数()g x 的值域；

（3）若奇函数()h x 满足x ＞0时()()h x f x =，当x ∈[2，3]时，(log )a h x -的最小值为43

-

，求实数a 的值．

17．（本小题满分14分） 已知函数1()212

x x f x =+-． （1）解关于x 的不等式()(2)f x f x ≥；

（2）若对任意x ∈R ，不等式[()1](2)12k f x f x +<+恒成立，求实数k 的取值范围．

18．（本小题满分16分）

设函数()(1)()f x x x x a =--(a ∈R)，()f x 的取得极值时两个对应点为A(α，()f α)，B(β，()f β)，线段AB 的中点为M ．

（1）如果函数()f x 为奇函数，求实数a 的值，并求此时()f α·()f β的值；

（2）如果M 点在第四象限，求实数a 的取值范围．

19．（本小题满分16分）

下图1是一座斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图2所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60 m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21：4，且点P 对两塔顶的视角为135°．

（1）求两索塔之间桥面AC 的长度；

（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问：两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．

20．（本小题满分16分）

已知函数()x

f x e =，()

g x ax b =+，a ，b ∈R ． （1）若(1)0g -

=，且函数()g x 的图象是函数()f x 图象的一条切线，求实数a 的值； （2）若不等式2

()f x x m >+对任意x ∈(0，+∞)恒成立，求实数m 的取值范围；

（3）若对任意实数a ，函数()()()F x f x g x =-在(0，+∞)上总有零点，求实数b 的取值范围．