一个基本图形的研究应用与拓展
《几何图形》参考教案
《几何图形》参考教案一、教学目标：知识与技能：1. 能够识别和理解基本的二维几何图形，如三角形、矩形、圆形等。
2. 能够掌握二维几何图形的性质和特征。
3. 能够运用二维几何图形进行简单的几何推理和计算。
过程与方法：1. 能够通过观察、描述和分析实际物体和图形，培养空间想象能力。
2. 能够运用几何图形的性质和特征，解决实际问题。
情感态度价值观：1. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
2. 培养学生的观察能力和创新意识。
二、教学重点与难点：重点：1. 基本二维几何图形的识别和理解。
2. 二维几何图形的性质和特征的掌握。
难点：1. 二维几何图形在实际问题中的应用。
2. 空间想象能力的培养。
三、教学方法与手段：教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、描述和分析实际物体和图形，培养空间想象能力。
2. 采用案例教学法，通过实际问题，引导学生运用几何图形的性质和特征进行解决。
教学手段：1. 利用多媒体课件，展示实际物体和图形，帮助学生直观地理解二维几何图形。
2. 利用几何画板等软件工具，让学生进行实际操作，加深对二维几何图形性质和特征的理解。
四、教学过程：1. 导入：通过展示实际物体和图形，引导学生观察和描述，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：讲解基本二维几何图形的性质和特征，让学生理解并掌握。
3. 案例分析：通过实际问题，让学生运用几何图形的性质和特征进行解决，巩固所学知识。
4. 练习与讨论：布置练习题，让学生进行实际操作，引导学生进行小组讨论，互相交流学习心得。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，让学生反思自己的学习过程，提出问题并进行解答。
五、课后作业：1. 完成练习册上的相关题目。
2. 观察生活中的二维几何图形，描述并分析其性质和特征，下节课分享。
3. 选择一个实际问题，运用二维几何图形进行解决，写成小论文，下节课进行交流。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及小组讨论的表现，评价学生的学习态度和合作能力。
《丰富的图形世界》教案
《丰富的图形世界》教案一、教学目标1. 让学生了解和认识各种基本的二维图形和三维图形。
2. 培养学生观察、描述和分类图形的能力。
3. 培养学生运用图形进行创新和解决问题的能力。
二、教学内容1. 基本二维图形：三角形、四边形、五边形、六边形等。
2. 基本三维图形：立方体、长方体、圆柱体、圆锥体等。
3. 图形分类和归纳。
三、教学重点与难点1. 重点：让学生掌握基本二维图形和三维图形的特征。
2. 难点：培养学生对图形的创新思维和解决问题的能力。
四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生通过观察、触摸和操作实物图形，加深对图形的认识。
2. 采用分组讨论法，培养学生团队合作精神，提高学生描述和分类图形的能力。
3. 采用案例分析法，引导学生运用图形解决实际问题。
五、教学准备1. 实物图形：三角形、四边形、五边形、六边形、立方体、长方体、圆柱体、圆锥体等。
2. 教学课件：图形世界的相关图片和动画。
3. 练习题：关于二维图形和三维图形的识别和分类。
六、教学过程1. 导入新课：通过展示一个丰富的图形世界图片，引发学生的好奇心，激发学习兴趣。
2. 知识讲解：介绍基本二维图形和三维图形的特征，通过实物展示和课件动画相结合的方式，让学生直观地了解图形的性质。
3. 实践操作：让学生分组讨论，每组选择一种图形进行观察和研究，描述图形的特征，并归纳出图形的性质。
4. 案例分析：教师展示一些实际问题，引导学生运用图形知识解决问题，培养学生的实践能力。
5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调二维图形和三维图形的特征及应用。
七、作业布置1. 请学生绘制一幅包含多种图形的画，并描述这些图形的特征。
2. 选择一个实际问题，运用图形知识解决，并将解题过程和答案写下来。
八、课后反思教师在课后对课堂教学进行反思，分析教学过程中的优点和不足，针对性地调整教学方法，以提高教学效果。
九、章节测试设计一份关于二维图形和三维图形的测试题，测试学生对本章节知识的掌握程度。
数学人教版九年级上册二次函数专题复习——基本图形“三垂直”应用与拓展
教学设计二次函数复习专题基本图形“三垂直”应用与拓展一、教学目标1、知识与技能：掌握基本图形“三垂直”的性质，学会从复杂图形中分解出基本图形，学会在平面直角坐标系中构造基本图形。
2、过程与方法：经历基本图形“三垂直”性质的探究，合作交流，在二次函数的背景下应用基本图形“三垂直”的性质。
3、情感态度与价值观：培养学生的转化思想、方程思想、数形结合思想。
二、教学重点、难点1、重点：在平面直角坐标系中，构造相似三角形2、难点：在平面直角坐标系中，构造相似三角形，利用基本图形“三垂直”的性质，解决二次函数问题。
三、教学过程（一）导入复习资讯：近几年各地中考中多次出现了利用两个相似(全等）的直角三角形构成的基本图形（三垂直）编制的考题，压轴题多与基本图形（三垂直）有关，运用基本图形及其拓展变式图形解决问题，已成为高频考点之一．中考再现：（2016嘉兴舟山卷压轴题）在平面直角坐标系中，点P是抛物线y=x2在第一象限内的点．连接OP，过点O作OP 的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m.（2）用含m的代数式表示点Q的坐标观察图形，在平面直角坐标系中，除了抛物线，还有什么常见的图形？（二）探究合作归纳：三个垂足在同一条直线上——简称“三垂直”图形如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则△ABP≌△CPDC，请说明理由。
AB P D归纳：三垂直+一组对应边相等变式训练：如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D ，P 是BD 上一点，，AP ⊥PC ，则△ABP ∽△PDC ，请说明理由。
基本图形“三垂直”变式图形（三）例题讲解中考再现：（2016嘉兴舟山卷压轴题）在平面直角坐标系中，点P 是抛物线x y 2=在第一象限内的点．连接 OP ，过点O 作OP 的垂线交抛物线于另一点Q ．连接PQ ，交y 轴于点M ．作PA 丄x 轴于点A ，QB 丄x 轴于点B ．设点P 的横坐标为m.（2）用含m 的代数式表示点Q 的坐标友情提醒：善于从复杂图中分解出基本图形，将会助你快速解题！中考再现：（2015金华丽水卷第23题）如图,在直角坐标系中，点A 是抛物线 x y 2= 在第二象限内的点，连接OA ，过点O 作OB ⊥OA ，交抛物线于点B ，以OA 、OB 为边构造矩形AOBC ．(2)如图当点A 的横坐标为 时，求点B 的坐标P A B CD P A B CP解题关键：构造基本图形中考再现（2015吉林卷第24题）如图，在平面直角坐标系中，点P 是双曲线 xy 8 在第一象限内的点。
高中数学学习中的知识点拓展与延伸
高中数学学习中的知识点拓展与延伸在高中数学学习中，我们通常会接触到各种知识点和概念，这些知识点虽然在课本中有详细的介绍，但往往只涉及到基本的内容。
为了更好地理解和应用数学知识，我们可以进行知识点的拓展与延伸。
本文将就高中数学学习中的知识点进行拓展与延伸，帮助读者更好地掌握这些知识。
一、数列与函数的拓展数列和函数是高中数学学习中的重要内容，我们可以从以下几个方面进行拓展和延伸。
1.1 数列的通项公式的推导通常情况下，在数列的学习中，我们只会给出数列的前几项，然后通过观察找出数列的规律，得到数列的通项公式。
但是，在实际问题中，我们有时候需要给定数列的通项公式，然后根据这个公式求解其他相关问题。
因此，我们可以探索数列通项公式的推导方法，从而更好地理解数列的性质和规律。
1.2 函数的图像与性质函数的图像是函数学习中的重要内容，我们可以通过利用计算机绘制函数的图像，观察函数在不同定义域上的变化趋势，进一步理解函数的性质。
同时，我们还可以研究函数的极值、最值等性质，从而深入探究函数的特点和规律。
二、几何图形的拓展几何学是数学中的一个重要分支，学习几何图形的性质和变换是高中数学中的基础内容，我们可以在此基础上进行以下拓展与延伸。
2.1 不规则图形的性质我们通常学习的几何图形大多是规则的，例如正方形、圆形等。
但是实际问题中，我们也会遇到不规则图形，如五角星、溜冰鞋形等。
对于这些不规则图形，我们可以研究它们的性质和特点，比如对称性、边长之间的关系等，从而深入理解几何图形的性质。
2.2 空间几何的应用除了平面几何，空间几何也是数学学习中的内容之一。
我们可以拓展学习空间几何的知识，例如研究三维几何图形的性质和变换，以及它们在现实生活中的应用。
例如，我们可以研究立方体在建筑设计中的应用，从而将数学的知识与实际问题相结合。
三、微积分的拓展微积分是高中数学的重点和难点之一，我们可以在学习微积分的基础上进行以下拓展与延伸。
3.1 曲线的长度与曲面的面积在微积分学习中，我们通常学习了曲线的弧长和曲面的面积的计算方法。
[一线,模型,初中]“一线三等角”模型在初中数学中的应用
![[一线,模型,初中]“一线三等角”模型在初中数学中的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/16e8df11bb4cf7ec4bfed0b4.png)
“一线三等角”模型在初中数学中的应用相似三角形在初中几何的教学中发挥着不可小觑的作用，在中考考题中常有涉及和渗透，笔者在初三的教学中发现掌握相似三角形的基本图形，对培养学生分析问题和解决问题的能力有一定的促进作用。
本文以相似三角形中的“一线三等角”这一基本图形为载体，研究这一基本图形背景下的相关题型，并进行了收集与整理，希望对学生灵活应用这一模型有所帮助。
一、弄清基本模型定义和解题原理二、应用举例1.在“动点问题”中的应用例1：如图2，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，设BM的长为x cm，CN的长为y cm.求点M在BC上的运动过程中y的最大值。
分析：由图可知∠B=∠C=∠AMN=90°，Rt△ABM与Rt△MCN成“一线三等角”模型，所以Rt△ABM∽Rt△MCN，从而，所以，.所以y的最大值为。
【变式】如“例1”的条件，将问题改为“当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2.”分析：四边形ABCN的面积为，BC，AB的长都为1，是定值，只有CN在变化，要使四边形ABCN的面积最大，则CN最大，即转化为“例1”的问题.2.与反比例函数联手例2：（2015?孝感）如图3，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上.若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（）A.-4B.4C.-2D.2分析：看到反比例函数图像上的点A，并且要求的点B也在反比例函数图像上，从而联想反比例函数解析式中“k”的几何意义解决问题.过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D.根据“一线三等角”模型，很容易得到△ACO∽△ODB，从而==4，然后用反比例函数解析式中“k”的几何意义即可.3.在“直角三角形存在性问题”中的应用点的存在性问题始终是中考考查的热点和难点，对学生的思维能力和模型思想等基本数学素养有着较高的要求，所以一直困扰着学生.数学解题研究中一直很关注一题多解的研究，多一种解决问题的方法，能让学生步入考场有更多的选择，直角三角形的存在性问题多数教师在讲解的时候是引导学生利用解析式法“”和勾股定理解决.笔者在教学中发现，利用“一线三等角”模型解决直角三角形的存在性问题也是一种通用方法，即便这个点在抛物线上也能使用（当点在抛物线上时，利用勾股定理会出现四次情形，初中学生无法解决），能为学生解决这类问题提供了一种新的选择。
专题 勾股定理证明中几种基本图形的拓展应用
专题 勾股定理证明中几种基本图形的拓展应用一、勾股数1.如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5，则,,,A B C D 四个小正方形的面积之和等于 .2.如图，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AB =，分别以,AC BC 为直径作半圆，面积分别记为12,S S ，则12S S +等于 .3.如图，已知ABC ∆为直角三角形，分别以直角边,AC BC 为直径作半圆AmC 和BnC ，以AB 为直径作半圆ACB ，记两个月牙形阴影部分的面积之和为1S ，ABC ∆的面积为2S ，则1S 与2S 的大小关系为 . 4.如图，以Rt ABC ∆的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边3AB =，则图中阴影部分的面积为 .5.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形ABCD ，正方形CEFG ，正方形KHIJ ，正方形JLMN 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形ROPQ 的面积是 .二、弦图6.如图是“赵爽弦图”，其中ABH ∆，BCG ∆，CDF ∆和DAE ∆是四个全等的直角三角形， 四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理.设,,AD c AE a DE b ===，取10,2c a b =-=.(1)求正方形EFGH 的面积以及四个直角三角形的面积和;(2)求2()a b +的值.7. (1)如图①是《赵爽弦图》.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积.(2)现有一张长为6.5 cm ，宽为2 cm 的纸片，如图②，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形. (要求:先在图②中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据)8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”后人称其为“赵爽弦图”(如图①).图②是弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，若12310S S S ++=，求2S 的值.第8题图 9. 如图①，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形.① ② ③第9题图(1)拼成的正方形的面积是多少?(2)在如图②的33⨯方格图中，画出一个面积为5的正方形; (3)如图③，请你把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形，在原图上用虚线画出剪拼示意图.参考答案一、勾股数1. 502. 2π3.12S S =4.925. 47 二、弦图6.(1) 4EFGH S =正方形四个直角三角形的面积和为 96.(2) 2()196a b +=7. (1)小正方形的面积为1(2)如图所示8. 2103S =9. (1)拼成正方形的面积为5(2)如图①所示(3)如图②所示。
由一个基本图形的衍生所想到的 —— “相似三角形性质应用的专题研究课”课堂实录与评析.doc
由一个基本图形的衍生所想到的……—— “相似三角形性质应用的专题研究课”课堂实录与评析1 引言解综合题的关键在于思路.一道综合题,往往可以分解成若干个基本问题(基本图形).分解好了,解题思路的形成也就水到渠成.因此,基本图形(基本方法)的重要性就凸显出来.但如何才能让学生对此有深刻的体验与感悟呢?2011年4月,浙江省教育厅“百人千场”数学学科送教下乡活动在浙江磐安县安文初中举行.笔者以此为设计思路,执教了一节“相似三角形性质应用的专题研究课”,受到了与会教师和送教专家的好评.现将课堂教学实录与点评整理如下,供各位同仁参考.2 教学实录2.1 原题呈现,感知模型引例 如图1所示,有一块锐角三角形余料ABC,它的边BC=12cm ,高线AD=8cm ,现要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在AB,AC 上.问加工成的正方形边长为多少cm ?（学生经过几分钟的思考,基本都可以得出答案）生1:设正方形的边长为x cm .∵PN ∥BC,∴△APN ∽△ABC,∴PN AE BC AD =(相似三角形的对应高之比等于相似比) 即8812x x -=,得8.4=x ,∴正方形的边长为4.8cm . 师:回答的很好,是否还有其它建立等量关系的方法?生2:我用面积法.设正方形的边长为x mm .由S △ABC = S △APN + S 正方形PQMN + S △PBQ + S △MNC 得,12821)8(21)12(212⨯⨯=-++-x x x x x ,解得8.4=x ,∴正方形的边长为4.8cm . 师:真棒!对于数学问题,我们常常可以尝试从不同的途径进行思考.一题多解,有助于拓展我们的思维,开阔我们的视野.当然,希望同学们结合下面的变化图,思考这个基本图形的本质是什么?[点评]通过课本典型例题的复现与解决,为学生运用基础知识,感知基本模型营造了和谐的氛围,间接的消除了学生上公开课的紧张感,使学生能轻松的投入到学习过程之中.而引导思考解决问题的不同策略,既有效发展了学生思维的灵活性,也意在消除学生的思维定势.2.2 适度变化,理解模型例1 已知△ABC 中,BC=12,BC 边上的高AD=8,(1) 若并排放置的2个相等的小正方形组成的矩形,内接于△ABC(如图2),则小正方形的边长为多少? 并排放置3个小正方形呢?(有了与前面问题的类比,学生很快就举手了)生3:作AD ⊥BC 于D(如图3),设正方形边长为x ,则PN=2x ,AE=8x -.由△APN ∽△ABC 可得,247x =. 类似的,并排放置3个小正方形时,小正方形的边长为924. (2)如图4,若并排放置小正方形有n 个,则这时小正方形的边长又为多少?（部分学生马上举手示意）生4:小正方形的边长为2423n +. 师:你是怎么得到的呢？生4:看到前面的答案分别是245,247,249,就猜想内接n 个时,边长应为2423n +. 师:很好!通过数据的变化特点去发现规律,是数学归纳的重要方式.但合理的猜想仍需要严密的推理证实,同学们能证明吗？生4:设正方形边长为x ,则PN=nx .由相似得8812x nx -=,∴2423x n =+,故猜想正确. 师:太棒了.观察分析、尝试猜想、推理证明是学习数学的基本方法,同学们平时要经常加以运用.下面让我们把问题更一般化.例2 如图5,已知△ABC 中,BC=12,BC 边上的高AD=8,四边形PQMN 为△ABC 的内接矩形.(1)设PQ=x ,你能求出PN 的长吗?(用含x 的代数式表示）生5:还是采用上面的方法.由相似得8812x PN -=,解得1223+-=x PN (2)记矩形PQMN 的面积为S,求S 的最大面积.生5:S=PQ ·PN=x x 12232+-(0＜x ＜8),则当42=-=a b x 时,max 24S =. 师:由上述解答可以清晰的发现,在这个基本图形中,因PN ∥BC,故有△APN ∽△ABC,于是由性质可知PN 与AE 之间便存在等量关系,从而PQ(ED)与PN 之间也存在等量关系.若这两者之间自身还存在数量关系,就可利用方程模型求解.[点评]这两个变式,看似变化不多,难度不大,却使学生进一步体验到基本图形与基础知识的重要性,初步理解了基本图形所蕴含的本质,突出了本课的主题.而从特殊到一般,从类比到猜想,从方程到函数模型等数学思想方法的有机渗透,则较好实现了数学教学中知识与方法,过程与结果的和谐统一,润物无声.2.3 动中求静,应用模型例3 如图6,在锐角△ABC 中,BC=12,△ABC 的面积为48,D ,E 分别是边AB ,AC 上的两个动点（D 不与A ,B 重合）,且保持DE ∥BC ,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(1)当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时,求正方形DEFG 的边长. 图4 图 5图 6F G E D CB A师:请同学们画出图形,并求解.生6(黑板上画出图7后):就是原题呈现的情况,这时边长应为4.8.（下面的学生纷纷表示赞同） 师:我发现同学们对这个基本图形印象深刻!好,请继续看下面的问题.(2)设DE =x ,△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于 x 的函数关系式及x 的取值范围,并求出y 的最大值. 师:请同学们思考,随着DE 的运动,重叠部分会有哪些变化,（一位学生上黑板画出了图8-1和8-2）生7:有两种不同的情况,所以要进行分类讨论.师:很好!那应该如何分类？生7:以边GF 所在位置进行分类,有边GF 在△ABC 内部和△ABC 外部两种,以边GF 在BC 上为临界.师:回答的真好!那就请同学们来解决这个问题,并思考与前面问题之间的联系.生8:①当正方形DEFG 在△ABC 内部(含边界)时,0 4.8x <≤,此时y 就是正方形DEFG 的面积,即2y x =,最大值为24.823.04=;②当边GF 在正方形外部时,就是例2的情况,此时4.812x <<,过A 作AP ⊥BC 于P,交DE 于H,由△ADE ∽△ABC 可得,PH=x 328-, ∴x x x x y 832)328(2+-=-=,当62=-=ab x 时,y 有最大值,且最大值为24. 因24＞23.04,所以重叠部分的最大面积为24.师:看来,熟悉了基本图形确实能使我们在解题时如虎添翼.那么,这个基本图形还可以作哪些变化呢,让我们继续加以体会.[点评]由静到动,看似一小步,实则是多数学生数学学习过程中的一大难点.但王老师在教学中没有直接展开讲解,而是先让学生动手实践来感知图形的变化特点,从而产生了分类解决的方法,于是难点突破就变得顺理成章,也为后续问题的解决奠定了方法基础.同时,在前后问题的比较中也让学生进一步体会到基本模型的应用价值,强化了本课主题.2.4 深化模型,提高认知例4 如图9,锐角△ABC 中,BC=12,AH ⊥BC 点H,且AH=8,点D 为AB 的任意一点,过点D 作DE ∥BC,交AC 于点E,AH 于F.设AF 为x (0＜x ＜8)以DE 为折线将△ADE 翻折,所得△DE A '与梯形DBCE 重叠部分的面积记为 y (点A 的对称点A '落在AH 所在直线上）.请问,当x 取何值时,y 的值最大?最大值是多少？ 师:请仔细理解题意,并思考随着DE 的运动,重叠部分图形有哪些变化,分界点在哪里,C B 图 8-2图 8-1CB 图 9A A能画出来吗?生9:有两种情形.一种如图9,重叠部分是三角形;另一种如图10,重叠部分为梯形,DE 是三角形的中位线时分界.师:看来,理解了图形的变化规律也就掌握了分类的方法.但是如何来求这个梯形的面积呢?前面的基本图形还适用吗?生10:适用.用两次基本图,即用△ADE ∽ABC 求DE,用△'''E D A ∽△DE A '求''E D . (见学生都表示理解了)师:那下面就请大家具体的求一下吧.(过了一会)生10:当0＜x ≤4时,y 就是△ADE 的面积,由相似知DE=x 23,所以243x y =,故当4=x 时,y 有最大值12.当4＜x ＜8时,利用△'''E D A ∽△DE A '可得F A H A DE E D ''''=,即xx x x E D )8(5.1''--=,∴123''-=x E D . 则482449)8)(12323(212-+-=--+=x x x x x y ,故当316=x 时,y 有最大值16. 因16＞12,所以当8=x 时,重叠部分的最大面积为16.师:这么繁琐的数据计算居然没有一点问题,这位同学的运算能力真强.但老师还是想请大家再思考下,是否有直接计算面积的方法呢?生11:用面积比与相似比的关系呀!由△'''E D A ∽△DE A '得22''')82(43x x x S E D A -=∆, 所以2''')4(3-=∆x S E D A ,于是482449)4(343222-+-=--=x x x x y .…… 师:这位同学的知识掌握得很全面,这也说明根据目标来选择方法可以使我们少走弯路. 下面让我们再用几何画板演示一下动态的变化过程,希望能加深大家的理解(过程略).[点评]从矩形面积过渡到梯形面积的计算,就不仅仅是模仿运用了,它能有效促进学生的抽象能力,模型识别能力与迁移能力的提高,提升了思维的深度,也使学生在图形的变化过程中感悟了万变不离其宗的道理,而问题解决过程中的方法优化,则强化了学生的目标意识与思维监控能力.而最后几何画板工具的使用,既给学生的几何直觉以有力的支撑,又关注了数学学习中的“弱势群体”,体现了王老师面向全体的教学理念.2.5 归纳小结,反思提高请同学们就本节课的学习情况进行一下回顾与总结.……师:同学们都说得很好,把这些发言归纳起来,主要是:运用性质“相似三角形的对应高之比等于相似比”,可以解决了一类长度(面积)而在具体的解决问题过程中,我们还运用了从特殊到一般,类比、猜想、归纳,分类讨论等数学基本思想方法.通过学习,我们对基本模型的重要性想必有了更新的认识,希望同学们在今后的学习中勤于观察,善于比较,提炼本质,有效运用.唯有如此,才能真正提高数学学习的效率,才能有效发展思维能力.3 总评对基本图形(基本方法)的感悟、理解与运用,主要靠学生在平时的学习过程中,通过有意识的观察思考、实践比较、分析提炼、有效运用等才能得以实现,这也正是衡量学生数学能力与数学素养的重要依据.但这样的工作能否以专题研究课的形式予以强化与指导,王老师的这节课给我们带来了可供借鉴的研究样本.3.1 谋篇布局,构思精巧高效的课堂源自于有效的教学设计.纵观本节课,王老师以“相似三角形对应高之比等于相似比”这一重要性质的应用为主要认知线索,以教材中的范例(求三角形的内接正方形边长)为原型,并精心选择了与此相关联的四个变式问题展开研究,层层深入,变化有度,衔接自然.其中,从水平变式到垂直变式的渐变,突出了过程体验,强化了对基本图形的本质理解.而从几何到代数的综合,从方程到函数模型的构建,从静态图形到动态图形的变化,从图形的平移到折叠变换,则能使学生完善认知网络,丰富图形认知,促进方法理解,提高思维能力.这样的设计,较好地遵循了学生的学习规律,为达成本课的学习目标创设了适切的载体,也有利于促进学生主动的学习,彰显了教师的教学智慧.3.2 方法为先,思维为本数学不仅仅是一种重要的“工具”和“方法”,更重要的是一种思维模式.因此,增强学生的数学概括和抽象能力,提升其思维能力是数学教学的重要任务.就本课而言,较好的体现了这一点.一是学生亲历了问题的发生与发展过程,对基本图形本质及其作用的理解是在充分的体验过程中得以逐步领悟的,这些数学思维活动留给学生的感受是非常深刻的,对于学生今后深入理解图形性质,关注图形之间联系,从复杂图形中分离基本图形,提高图形分析能力等都会带来积极的影响;二是在具体解决问题的过程中,有机的渗透从特殊到一般,分类讨论,数形结合,方程及函数等思想方法,让学生在必要的观察、猜想、类比、推理与交流中感悟这些思想方法的概括与内化过程,对于唤醒学生的认知内驱力,促进他们的思维发展,进而形成有效的思维策略有着显著的效果,也充分体现了数学教育的价值.3.3 过程流畅,氛围和谐在课堂上可以看到,在以变式生成的问题串的科学引领下,伴随着问题解决过程中不断的成功体验,以及教师适时的激励评价,激发了学生积极的情感体验与学习热情,使得绝大多数学生都被卷入到积极的数学思维活动中来,这种和谐学习氛围的创设,极大提高了学生的自主学习能力与主动参与意识.而本课中问题的思路基本都是学生提出,方法由学生补充,解答由学生完成,而教师则退居幕后,仅在思维展开的疑难处,思路形成的困惑点及时介入、点拨指导.这种教与学的方式,看似平淡,却于无深处有惊雷,真实体现了数学学习的基本规律与数学思维方式的基本特点,也较好贯彻了“学为主体、教为主导”的教学理念.3.4 值得思考的问题教学永远是一门遗憾的艺术,没有最好,只有更好.从这个意义上讲,下面几个问题或许值得我们深思.3.4.1 更好理解变式教学的内涵.设计变式的目的,意在更好促进学生感悟数学方法,理解数学本质.就本课而言,让学生感悟、提炼基本图形的本质,并迁移运用应是教学的核心目标,为此,设计从引例到例2的三个变式,就是承载此目标的工具.但在教学中我们遗憾的看到,这里的提炼与概括都是教师帮助完成的.从教学行为分析,主要是老师担心学生讲不好而怕耽误时间,因为后面2个例题的安排显然是本课的重头戏.而从学生角度分析,虽然三个系列变式彼此相关,但要从中提炼本质,恐怕也还是有一定难度的.因此,是否可以考虑把这三个例题整合成引例的三个系列问题,即从求内接正方形边长→求两邻边长存在等量关系的内接矩形边长(如PQ:PN=2:5)→变任意内接矩形(用几何画板演示),问这些矩形中是否最大面积的矩形?这样就能使问题之间更连贯,内在结构更紧密,层次之间更清晰,也更符合学生的认知规律.从而也就有利于学生领悟图形本质,也能为后续学习留出必要的时间与空间.3.4.2 正确把握铺垫的意义.在学生的认知障碍点、思维困惑处进行适当的铺垫,其目的在于为学生搭建“思维的脚手架”,从而为教师引导学生自主探究、突破教学难点提供一条思维通道.因此,设置铺垫必须认真考虑学生原有的认知起点与认知能力.从这个意义上讲,本课设置的一些铺垫就值得商榷.如例2中为求矩形的最大面积,先设计了用x表示PN的长.这样的设计过于直白,同时也把本题蕴藏的教育功能(模型意识,关系意识等)异化成机械的运算操练,这显然不是编制本题的用意所在.实际上,求内接矩形的最大面积,自然会引发学生联想函数模型,而要构建函数模型,自然也能想到用x表示PN的长.同样,例3中先求临界状态时正方形边长的设计,有为求而求的嫌疑.从逻辑上讲,要求重叠部分的图形面积,首先要思考图形的形状是否有变化,若无变化,该如何求?若有变化,则必须考虑有哪几类变化,分界点分别在哪里?这样的引导,才能赋予学生一般有用的思维策略,也是数学教学的本质所在.故此,正确认识铺垫的意义,才能科学合理的进行问题设计,也能更好促进学生的思维发展. 另外,本课教学中教师若能更大胆一些,在适当的引领与启发下放手让学生参与问题变式的引申或改编,或许能激发学生更为浓厚的学习兴趣与更强的主体参与意识,从而亦使教学效果更加优化.当然,这也是一个非常值得研究的课题.作者简介:[1]王宝金.1981年11月出生,浙江绍兴人,现为浙江绍兴县柯岩中学数学教研组长.主要从事初中数学课堂教学研究.联系电话:[2]张宏政.1968年3月出生,浙江定海人,现为浙江舟山南海实验初中教学管理处主任,是舟山市学科带头人,曾在省级以上数学期刊发表学术文章30多篇,参编竞赛书籍多本.主要从事初中数学教学研究.联系电话:。
图形的运用与实践教案
作为教育工作者，我们常常需要设计一些有趣而又富有实践意义的课程，以满足学生对于知识的探索和追求。
而在设计课程的过程中，图形设计便是一个不可或缺的元素。
在图形的运用和实践教案中，我们可以激发学生的创造力和兴趣，同时也可以开发学生的各种技能，将理论知识与应用技巧相结合，以达到教育的目的。
一、课程内容和目标本次课程旨在引导学生学习和掌握图形的基础知识和技能，同时让学生进行实践操作，培养他们的观察能力和操作能力。
课程的具体目标如下：1.了解图形设计相关的基础知识和技能；2.进行实际操作，形成基本的图形设计能力；3.培养学生的观察能力和创造力，能够解决实际问题。
二、课程计划与教学步骤1.导入环节：引导学生认识图形和其作用环节，教师可以通过介绍图形与生活中的应用，引导学生认识图形的作用和重要性。
同时，也可以让学生进行开放性的讨论，探讨图形的定义和种类等问题。
2.知识讲授：讲解图形设计的基础知识环节，教师可以讲解图形设计相关的基础知识，包括图形的定义、种类和应用等。
同时，还可以讲解关于色彩、形状、尺寸等方面的设计技巧。
3.实践操作：进行图形设计练习环节，教师可以让学生进行实践操作，进行基本的图形设计练习。
例如，利用各种工具绘制几何图形、平面图形、抽象图形等。
同时，还可以让学生进行自由设计，根据自己的想法进行创作。
4.综合应用：应用图形进行实际问题解决环节，教师可以引导学生根据实际问题进行图形设计应用，并通过图形的应用解决问题。
例如，制作商标、海报、名片等。
5.总结回顾：总结本次课程环节，教师可以进行课程总结，评价学生的学习成果和表现，并给予反馈。
同时，也可以展示学生的实际作品，让学生分享和交流对于图形设计的认识和想法。
三、教学方法1.分组教学法在实践操作环节中，可以采用分组教学法，让学生进行小组合作，分组完成任务，通过相互交流和协作，提高学生的实践能力和创造力。
2.案例教学法在讲解图形设计知识和技巧时，可以采用案例教学法，通过展示具体的案例，让学生学习和掌握相关的知识和技能，同时也可以启发学生的思维和创造力。
以图促教，以图促学：“一图一课”的教学案例
案例赏析２０２３年１０月下半月㊀㊀㊀以图促教,以图促学: 一图一课 的教学案例◉江苏省南通市崇川初级中学㊀蔡㊀勇㊀㊀本研究尝试一节课选取一个图形,以这个图形为起点,通过层层剖析前后知识的联系,不断丰富知识的建构,达到训练某一类题型或者学习某一项知识者某一项数学方法的目的．这样的课型条理清晰,在抽丝剥茧的深入挖掘中,学生的思维能得到深度锻炼,提升对数学本质的认识．下面将几个不同课型的教学案例与大家分享．１发展内涵型课例这类课型是以图形为起点展开教学的,图形是该课知识的主干,在此主干的基础上不断地丰富和完善 枝叶 ,让知识之树 枝繁叶茂 ．这样的教学方式通常有利于体现知识之间的联系,由一个知识点向外延伸,也能不断挖掘知识的深度,强化学生思维的深刻性．案例１㊀复习直角三角形图１(１)猜一猜:如图１,在әA B C 中,øC 是直角,你能想到哪些结论?(２)试一试:如图１,在әA B C 中,øC 是直角,A B 的长度是１０,你能计算出әA B C 的面积吗?(３)编一编:如图１,在әA B C 中,øC 是直角,A B 的长度是１０,添加一个条件,并计算әA B C 的面积．回头望:①你是怎样想到添加这个条件的?②选择一道其他同学添加条件的题,并评价这道题．图２(４)想一想:如图２,在әA B C中,øC 是直角,A B 的长度是１０,B C 的长度是６,若A B 边上有一个动点D ,你有什么想法呢?(５)如图２,在әA B C 中,øC是直角,A B 的长度是１０,B C 的长度是６,若A B 边上有一个动点D ,那么你能计算线段C D 的取值范围吗?①你认为解决这道题的突破点在哪里②应该用什么方法进行突破呢?③猜一猜老师的命题意图是什么(６)进一步猜想:我们还可以研究动点D 的哪些特殊位置?感悟升华:在问题的引导下,学生从数学知识㊁思想㊁方法等方面进行总结．思路评析:问题串的设计层层递进㊁环环相扣,题目内涵多样丰富,使学生在动静结合㊁自主解题与开放编题中思维不断深化,拓宽了思维的宽度,刺激学生从多角度进行思考．２阶梯型课例在教学设计中通常从学生已有的知识经验入手,由易到难,由浅入深,增强学生学习的信心,通过层层递进,最后理解问题的本质和内涵,这类课型可以概括为阶梯型．案例２㊀从日历中学知识(１)初步了解能说一说你对日历的了解吗?你知道日历中有哪些知识吗(２)研究日历第一层次规律:横向㊁纵向和斜向之间的相邻数之间有什么规律吗?相邻两个数的和最大是多少?第二层次规律:日历中相邻的三个数之间有什么规律?(如图３,横向㊁纵向和斜向．)相邻的三个数的和与４２之间有数量关系吗?与１５呢?图３第三层次规律:日历中相邻的四个数之间有什么规律?(横向㊁纵向和斜向．)相邻的四个数的和与４２之间有数量关系吗?与１５呢?第四层次规律:在日历中用方框框中的四个数的和可以等于４１或者４２吗?请说明你的理由;如果不０３Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年１０月下半月㊀案例赏析㊀㊀㊀㊀能,你能举出一个例子吗?用正方形框框出９个数,如图４．图４①图４中框出的９个数的和有什么规律吗?(试着寻找与方框中间的数之间的关系．)②这样的关系具有普遍性吗?思考一下其他地方这样的方框是否也有同样的规律?试着用代数关系式来表示．③这个关系是否对每一个月的日历都成立?④请你用代数式表示其他这样的方框中９个数之间的关系?⑤这样的９个数的和又有怎样的规律呢能不能等于４２或９９第五层次规律:其他类型图案(如图５)．图５(３)小组讨论小组合作:在日历表中设计方框,寻找规律．(４)知识应用①根据规律思考:若今天周一,那么再过９０天是周几?②根据上述寻找日历表中规律的方法,你还能找到其他规律吗?(５)小结:顺口溜说起日历表,规律随便找;横向相差一,纵向差个七;标记可代替,关系莫忘记;虽然变化多,其实有统一．思路评析:课堂教学要避免 打一枪换一个地方 ,到处留有问题,但是都没有深入解决,导致学生摸不清思路．建议以一个问题为起点,进行深度挖掘,夯实学生的知识建构．３基础图形抽离识别型课例几何图形千变万化,但是万变不离其宗．一些复杂的图形都是在基本图形的基础上变化而来的,这些基本图形构成了综合性问题的基础,使知识之间进行有效的链接．因此识别出基本图形是突破综合性几何问题的关键,体现数学化归思想．案例３㊀认识基本数学模型(１)基本图形的辨别:如图６,已知øB A C的角平分线是A D,A D上有一点E,E F平行于A C,并与A B 相交于点F,请问你可以得到什么结论?图６㊀㊀㊀图７(２)矩形A B C D中通过翻折得到如图７所示的图形,你能从中得到哪些结论?(３)试一试,做一做,编一编:从图８~１４的复杂图形中识别出基本图形,并通过添加条件进行证明或者解答．图８㊀图９㊀图１０图１１㊀㊀㊀㊀图１２图１３㊀㊀㊀图１４(４)课后拓展:从图１５与图１６中选择一个基本图形进行拓展研究．图１５㊀㊀㊀图１６综上,以图形为中心的课型设计虽然不适用于所有课型,但是对于单元复习或者阶段性关联知识的学习可以起到非常好的推进作用．教师平时要注意用心积累㊁钻研教学,不断提高自己的能力,这样才能在课堂设计中发挥出更多的潜力和智慧,促进高效课堂的实现．Z１３Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
一个经典图形“双垂图”的研究
课例研究新教师教学双垂图是我们平时学习中经常碰到的图形，如果能领悟其精髓，那么就可以解决与之联系的许多问题。
对于中考试卷中圆综合题及压轴题的图形，往往涉及双垂图这一基本图形，在平时的教学中加强对双垂图的研究，并进行强化练习，总结相关结论，使学生不断积累经验，应用基本图形去发现问题、理解问题并解决问题。
本文从双垂图的基本结论、图形应用两个方面，对初中几何中经典双垂图图形进行了广泛、深度的研究。
一、基本结论如图所示，在Rt ΔABC ，CD 是AB 上的高，此图为著名的“双垂直图形”，简称“双垂图”。
这是一个应用非常广泛的图形，有着十分丰富内涵。
常用结论如下：结论1：图中直角三角形。
Rt ΔABC 、Rt ΔACD 、Rt ΔBCD 。
结论2：图中相等的角（直角除外）。
∠A=∠BCD 、∠B=∠ACD结论3：根据等面积法，确定线段AC 、BC 、AB 、CD 之间的关系。
AC•BC=AB•CD结论4：射影定理。
过去的教材中曾从中归纳出射影定理的三个结论。
现根据《义务教育数学课程标准（2011）年版》，教材中不再出现射影定理，但是它的结论仍有着广泛的应用，只不过在使用时先通过证明三角形相似便可以获得解决。
文字语言：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
几何语言：CD 2=AD•BD AC 2=AD•AB BC 2=BD•AB 二、图形应用例1.如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D 。
若AC ＝5，BC ＝2，则tan ∠ACD 的值为（ ）解题步骤：解：由题意得∠ACD+∠A=90° ∠A +∠B=90°∴∠ACD=∠B= ∴tan ∠设计目的：根据双垂图中的基本结论1和基本结论2，来快速求出三角函数值，节约时间，灵活应用，体会双垂图在解直角三角形中的应用。
二次函数复习专题——基本图形“三垂直”应用与拓展
m m2
1
1
转化思想 方程思想
4
2
m2 2 m 0
m1 0 (不符合题意，舍去) m2 2
B2,4
数形结合思想
解题关键：构造基本图形
中考再现（2015吉林卷第24题）
如图，在平面直角坐标系中，点P是双曲线 y 8 在第
一象限内的点。
x
（2）P(x,y)在反比例函数图象上,
资讯：
近几年各地中考中多次出现了利用两个相似 (全等）的直角三角形构成的基本图形（三垂 直）编制的考题，压轴题多与基本图形（三垂 直）有关，运用基本图形及其拓展变式图形解 决问题，已成为高频考点之一．
中考再现：（2016嘉兴舟山卷压轴题）
在平面直角坐标系中，点P是抛物线y=x2在第一象限内 的点．连接 OP，过点O作OP的垂线交抛物线于另一点 Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点 B．设点P的横坐标为m.
请说明理由。
AB BD CD BD
C C
2A 90 1C 90
AP PC
A
A
12 90 1 A 2 C
B
22
11
B
PP
DD
或 ABP PDC 90
△ABP∽△PDC
三垂直
三角形相似
C C
A
A
2
1
2
1
B
P
D
（2）用含m的代数式表示点Q的坐标
C
A
B
P
D
三个垂足在同一条直线上——简称“三垂直”图形
八 年 级 上 册 第 十 二 章 全 等 三 角 形 习 题
八 年 级 下 册 第 十 七 章 勾 股 定 理 习 题
基本图形的应用和拓展的教学设计
亡 角
基本 图形 的应用和拓展 的教 学设计
文／ 广 州 市越 秀 区育 才 实验 学校 严 肇 宏
一
、
引 入 基本 图 形
点 Ｄ在边 Ｂ Ｃ 的 延 长 线 上 ， 且 Ａ Ｃ Ｅ＝ ／Ｂ ＝ Ｄ＝ ９ ０ 。 ． 则原题 中
Ｂ Ｃ边 上 的一 点 ，Ｄ 为 Ａ Ｃ上 一 点 ，
请 学 生观 察 图形 的特 点 ，想 一 想 和 前 面 的 图 形有 没有 联 系 （ 图形
Ｃ ／ ｒ ｔ ｃ ． ２ 、 ／ ｃ ｍ
Ｂ ＼ ／ ｃ ｍ Ｄ ． ２ 、 ／ ｃ ｍ
请 学 生 观 察 图形 的 特 点 ，想 一
想 和 前 面 的 基 本 图 形 有 没 有 联 系 （ 基 本 图 形 与 圆 的综 合 ） ，然 后 思 考 如何 利 用 其 中 的基 本 图形 ． 二 、基 本 图 形 变 化 引 申 变 式 一 ：Ａ
Ｂ
Ｃ Ｄ： ４ ｃ ｍ． 以 Ｂ Ｃ上一
分别是 Ｂ Ｃ、Ｃ Ｄ上 的两 个 动 点 ， 当
图２
请 学 生 思 考 上 面 问 题 中 的 等 边
三角形 是否还存 在． 学 生 ：不 存 在 ． 教 师 ：两 个 三 角 形 还 相 似 吗 ？ 学 生 ：相 似 ，注 意 题 目 中所 附 加 的 特 殊角度 （ ６ ０ 。 ）． 解 决 问题 后 总 结 特 殊 角 度 相 似 情 况 下 图形 的特 点 和 结 论 ． 变 式 四 ：推 Ａ 广 到 一 般 情 况 ． （ 安 徽 省 中考 题 ）
删 掉 原 题 中 的
与正方 形 、函数的综合 ） ；然 后 思 考如何利用其中的基本图形． 变 式 二 ：弱 化原 题 中的 “ 两 边相 等 ”和 “ 直 角 ”条 件 ．（ 呼 和 浩 特 中 考 题 ） 如 图 ５ ， 在 等 边 △Ａ Ｂ Ｃ 中 ， Ｐ为 图５
从一道中考题谈一个基本图形
因为 ＬＡ Ｅ Ｃ ＝９ ０ 。 ， Ｂ Ｆ Ｃ ＝９ ０ 。 ， 所以 Ｅ Ｍ ＝
１ １
Ｆ ＝ Ａ Ｇ ＝ ＋ ａ ｓ ； ② ＝ Ｍ Ｅ ； ③整 个图 形是
‘
ｃ ， 刚 ＝ ÷ ｃ ． 因为 Ｄ为 Ａ 中点， 所以 Ｄ Ｎ＝
’
轴对称 图形 ； ④ ＬＤ Ａ Ｂ＝Ｌ Ｄ Ｍ Ｂ ．
给予证 明．
Ｂ
ＬＢ ＭＨ＋ Ｆ Ｍ Ｄ＝Ｌ Ｂ Ｍ Ｈ＋ Ｇ Ｂ Ｍ＝ＬＦ Ｈ Ｂ＝ ９ ０ 。 ．
Ｄ
Ｃ
图５ 、
－ ： 图６ ｌ
Ｄ 分别 以 Ａ Ｃ Ａ
． ． ．
耷 Ａ Ａ Ｃ Ｄ外 作声角三角 形Ａ Ｂ Ｃ ’
Ｊ
分析 （ １ ） ｒ 观 察． 图 形可 知， Ｂ Ｍ， Ｄ Ｍ 分 别 是 Ｒ ｔ ＡＣ Ｄ Ｅ和 Ｒ ｔ ＡＣ Ｂ Ｅ 的中 线 所ｔ 以； ． Ｂ Ｍ ＝Ｄ Ｍ＃
具有怎样 的数量和位置关系？请给出证明过程 ； ●类 比探究 ： 在任意 Ａ Ａ Ｂ Ｃ中， 分别以Ａ Ｂ和Ａ Ｃ 为斜边 ， 向 ＡＡ Ｂ Ｃ的内侧作等腰直角三角形 ， 如图３
所示 ， 是Ｂ Ｃ 的 中点 ， 连 接 ＭＤ 和 Ｍ Ｅ， 试 判 断
ＡＭＥ Ｄ 的形 状．
所以 Ｄ Ｅ ＝Ｄ Ｆ， ＭＥ Ｄ＝ Ｎ ＤＦ ．所 以 Ｇ Ｄ 日＝
，
‘
Ｄ Ｎ， 刚 ＝ＭＤ， 四边 形 ＭＤ Ｎ Ｃ 为 平 行 四 边 形． 所 以 厶Ｃ ＭＤ ＝ ＬＣ ＮＤ． 厶ＭＧ Ｄ＝ Ｇ Ｄ Ｎ ． 为 ＬＥ ＭＣ ＝
厶Ｆ Ｎ Ｃ ＝９ ０ ｏ ． 跃＼ ＬＥ ＭＣ ＋ 厶Ｃ ＭＤ ＝ 厶Ｆ ＮＣ ＋ Ｃ ＮＤ， 即 Ｅ ＝ Ｖ Ｄ， 所 以 ＡＥ ＭＤ ＡＤ Ⅳ
初中数学中的立体几何与空间几何
初中数学中的立体几何与空间几何立体几何和空间几何是初中数学中的重要内容之一。
通过学习这两个部分，学生可以深入了解三维空间中的图形特点和性质，培养几何思维和空间想象能力。
本文将从基本概念、图形分类、性质和应用等方面，介绍初中数学中的立体几何与空间几何知识。
一、基本概念立体几何是研究三维空间中的图形的学科，包括点、直线、平面以及由它们衍生的图形。
而空间几何则是研究空间中的几何性质和变换的学科，它是立体几何的延伸和拓展。
二、图形分类在立体几何中，常见的图形包括立方体、正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球体等。
这些图形都有各自的特点和性质，通过学习它们的属性可以更好地理解和应用。
三、性质研究在研究立体几何和空间几何时，我们常常关注图形的性质。
比如，立方体的六个面都是正方形，且相邻面是相等的；棱柱的底面和顶面是相等的，并且由直线和曲线连结而成；圆锥的底面是圆形，侧面由一个顶点和无数的直线段组成等等。
通过深入研究各个图形的性质，我们能够更好地理解它们的特点和规律。
四、应用领域立体几何和空间几何的知识在日常生活中有广泛的应用。
比如，在建筑设计中，需要根据建筑物的形状和结构原理进行规划和布局；在机械制造中，常常需要根据物体的形状和尺寸进行工艺设计和加工；在地理学中，通过研究地球的形状和地理要素的空间分布，可以获得地理信息等等。
立体几何与空间几何的知识在这些领域都具有重要的应用意义。
五、拓展学习除了学习立体几何和空间几何的基础知识外，学生还可以进一步拓展学习，探索更深层次的数学和几何问题。
比如，学习平行四边形的性质可以引申到学习向量的概念；学习三棱锥的表面积和体积计算可以应用到解决实际问题等等。
通过不断拓展学习，可以更好地应用数学知识解决实际问题。
综上所述，初中数学中的立体几何与空间几何是一门有趣且实用的学科。
通过学习它们，学生可以培养几何思维和空间想象力，提高数学素养和解决实际问题的能力。
希望通过本文的介绍，能够加深大家对立体几何与空间几何的理解，并激发对数学的兴趣和热爱。
一个基本图形的探究与应用
每 一 类 数 学 问题 都 能找 到它 的基 本 图形 ．如 果 能 对 基 本 图形 进 行 探究 与开 发 、 申与 挖 掘 ， 现 其 规 律 ， 引 发 总结 其 方 法 ， 揭 示 其 有 价 值 的结 论 ． 样 做 不 仅 能 产 生 触 类 旁 通 、 一 反 三 这 举 的效 果 ， 而且 能 开 阔 学 生 的思 路 ， 培养 学 生 的 发 散 思维 ． 原 题 呈 现 。 远 流 长 源 原 型 题 ： 图 １ 点 Ｂ、 、 在 一 条 直 如 ， ＣＤ 线 ｍ上 ， Ａ 且 Ｂ上ｍ， Ｅ上ｍ， Ｃ上Ｃ 垂 Ｄ Ａ Ｅ， 足分 别 为 Ｂ Ｄ、 ！ ＝ Ｅ， 、 Ｃ，Ｉ ￣ Ｃ ＡＣ
一
形 的 “ 子 ” 我 们 把 满 足 “ Ｂ ＝ＬＣ Ｅ 影 ， ＬＡ Ｃ Ｄ ＝ＬＡ Ｅ＝ ０ ， Ｃ Ｃ ９。Ａ ＝ Ｃ ” 一 条 件 的 两 个 全 等 三 角形 。 “ Ｂ ￣ Ａ Ｃ Ｅ 称 之 为 Ｅ这 即 ＡＡ Ｃ Ｄ ” 基本 图形 ， 还可 以改 变 条 件 ， 原 图进 行 变 化 和 拓 展 ． 把 在 上 题 中 ， 果 将 直 线ｍ绕 点 Ｃ 转 一 定 的角 度 ， 直 线ｍ 如 旋 当 与Ａ Ｅ有 一 个 交 点 时 ． 问题 的 结 论 、 导 推 方法 会 有 何 变 化 呢 ？ 变化 题 ： 图２ Ａ Ｅ ９ 。 且 Ａ ＝ 如 ， Ｃ ＝０ ， Ｃ Ｃ Ｅ，直 线 ｍ 过 点 Ｃ， Ｂ上ｍ，Ｄ上ｍ， 经 Ａ Ｂ 证
２１ 第 ２ 试 周 ０年 ９ １ 期考 刊
一
个 基 本 图 形 的 探 究 与 应 用
刘 志
（ 苏 省 淮 阴 中学 ， 苏 淮 安 江 江 ２３０ ） ２０ １
一个基本图形的拓展与运用——2012年宁波市中考数学第18题赏析
最小 则删 最小 ．此时Ａ ２ ＬＥ Ｈ＝ Ｄ＝ ， Ｏ
１
Ｄ
Ｃ
ＬＥ Ｆ 鲋 Ｃ ６ 。所 以Ｅ Ｏ Ｏ＝ ＝０ ， Ｈ＝ Ｅ・
ｓ ＬＥ Ｈ １ ＿ ／ ｉ ｎ Ｏ ： ｘｘ－ Ｙ
１
图２
２
Ｆ 所 以 ＬＧ ＬＡ Ｇ， ， ： Ｆ 即Ａ
图５
ｘ３－ ／
：＿
１
，
由垂径定理可知Ｅ ２ ： ／ ， 删 、 了 故
ＡＧ， Ｅ ＡＦ Ｅ ． Ｇ ＱＡ 中一弦 ， Ｇ 圆直径时最大 ， 故Ａ ＋ ＝ Ｇ而Ｅ 是 当Ｅ 为 此ｍ 与Ａ 重合． 当Ｒ、或 ａ 、为定 值时 ， 由结 论 １ 知第 三个量 的值确定 ， 都可
答案 为、 了 ． ／
点评 ： 题 是 中考 卷 填 空 题 的 最 后 一题 ， 由动 点产 生的 几 本 是
题 的 解 答 中 就 运 用基 本 图 形 分 析 法 ． 因此 教 学 中加 强 学 生 在
复 杂 、 化 的 图 形 中 对基 本 图形 的 识 别 、 本 图形 性 质 与 作 用 的 变 基
掌 握 能 力．
二、 提炼 与探 究基 本 图形 。 拓展 思维 能力
基本 图形是组成一个几何 问题 图 形 的最简单 、 重要 、 最 最基 本的 但又 是具 有特定的性质 的图形．在历年 的 中考试题 中，植根于基 本图形 的试题 屡见 不鲜． 因此 ， 教师重 视对基本 图形 的挖 掘 、 究 ， 探 有助 于学 生理 解 和掌 握基础 知识与技 能 、 培养数学 思想方 法 、 展思维与能力．０ ２ 宁波 市中 发 ２ １年 考数学第 １ 题集 三角形 、 、 点 、 ８ 圆 动 最 值等 知识 于 一身 ， 气势 宏 大 ， 众 多 让
由一个基本图形所展开来复习课[论文]
![由一个基本图形所展开来复习课[论文]](https://img.taocdn.com/s3/m/6dad022fccbff121dd368312.png)
由一个基本图形所展开来的复习课摘要：如何提高四十五分钟的复习课的教学教育的效率，尽量在有限的时间里，出色地完成教学任务，是我们多年来一直追求的目标，对此笔者围绕由一个基本图形进行一题多变谈谈自己的一些看法。
关键词：线索；挖掘；猜想；追问；联系中图分类号：g632 文献标识码：b 文章编号：1002-7661（2013）10-137-02为了提高学生的成绩，许多老师采用“题海战术”，复习课上拿来大量的练习而不加选择和分析就给学生做，然后就是讲解。
这样的数学课学生觉得索然无味，课堂效率低下，更可怕的是学生从此对数学产生厌烦。
如何让课变得有事半功倍的效果，请看本文提供给大家的一些想法。
在《几何图形的复习》课中，我呈现以等腰三角形为基本图形的一个题目：【原题】如图，在rt△abc中，∠abc=900 ，∠a =450，你能得到什么结论？学生很快回答：ab=cb ∠a=∠c=450增加条件：e、f为ac上的点，且∠ebf=450求证：ef2=ae2+cf2刚给出问题，就有学生甲说：“好像是勾股定理的样子。
”学生不经意的一句话其实已经指明了方向，我马上抓住这个想法问：“甲同学的勾股定理思路很有新意，大家可以研究一下。
”马上又有同学乙提出疑问：可是ae ee cf在同一直线啊？我又问：题目中给出∠bac=900 ∠eaf=450有利用价值吗？学生丙说：∠ebf= ∠abc我再问：还有ab=ac怎么用，思考一阵后，又有学生丁说把△abe 绕点a逆时针旋转900与△afc拼成后，有∠dcf=900证出△aef与△adf全等后，得证。
一阵掌声后，我再问：“还可以怎么证呢？”甲同学再次说：“△abe沿ae翻折，△afc沿af翻折，形成以ef 为斜边的直角三角形，得证。
”教室里再次响起了掌声！回顾整个问题，抓住勾股定理这一灵感，紧紧追问，突破难点，提高学生的综合分析问题，解决问题的能力[变式] 如图，把等腰直角三角形补成正方形abcd，而e，f分别为ad和cd上的两个动点，且∠ebf总为450，连结ef，你还有什么发现？分析：该题目中的条件与原题比较哪些没变，指出900和450；还有ab=cb。
一个可以发挥的基本图形
一
个
可
以
发
挥
的
基
本
图
形
吕学 良
（ 锡 市 仓 下 中学 ， 无 江苏 无 锡
课 后 习 题 是 一 座 蕴 藏 含 量 十分 丰 富 的 矿 山 ，只 要 你 去 开 发 就 会 挖 到 意 想 不 到 的 矿 物 。 观 近 几 年 各 地 中考 试 题 ， 有 纵 虽 不 少 创 新 和 改 革 ， 大 部 分 试 题 的原 型 还 是 取 自课 后 习 题 。 但 例 如 ｌ △Ａ Ｄ、 Ｅ 都 是 等 ： Ｂ ＡＡ Ｃ 边 三 角形 。求 证 ： Ｅ Ｄ Ｂ ＝ Ｃ。 本 题 是 八 年 级 上 册 ｌ ．的第 八 ４３ 题 。 将 原 题 图 中 的任 意 角改 成 直 现 角 ， 他 条 件 不 变 ， 就 成 了 ２ ０ 其 这 ０７ 年 的 黄 冈 市 中考 题 。 所 以 ， 们 复 我 习 时 需 改 变 传 统 的 那 种 “ 多 取 以 胜． 以量 取 巧 ” 的做 法 ， 入 挖 掘 课 深 本 素 材 切 实 减 轻 学 生 负 担 的 同 时 ．又 在 轻 松 愉 悦 的 氛 围 中培 养 学 生 思 维 的 灵 活 性 、 阔性 、 刻 性 。 笔 者 在 此 主 要 结 合 课 广 深 本 的一 个 基 本 图 形 来 “ 图 发 挥 ” 借 。
和必要性。 这 一 环 节 的 设 计 教 师 要 注 意 的是 ：设 计 的 问 题 指 向要 明
４２ 想 与 证 明 ．猜
ＬＤＢＦ Ｃ ＋ＬＡＢ ＋ ＢＦ Ｄ＝１ ０ 。 ８ 。 Ｄ＋ Ａ＋ ＡＢＤ＝ ８ 。 １０ 。
Ａ
Ｂ
Ｃ
基本图形资料
基本图形在我们日常生活和工作中，基本图形是非常常见并且重要的概念。
无论是在建筑设计、数学教学，还是在艺术创作中，基本图形都扮演着重要的角色。
从简单的点、线到复杂的多边形等，基本图形构成了我们周围的大部分事物。
本文将探讨几种最常见的基本图形及其在不同领域的应用。
点点是最基础的图形之一，它通常被用来表示空间中的位置。
在几何学中，点被定义为没有长度、宽度和高度的零维对象。
点在数学中也有着重要的作用，它们可以被用来定义线、面等更复杂的图形。
线线是由无数个点相连而成的。
在几何学中，线被定义为一组无限延伸的点构成的对象。
线可以是直线、曲线等不同形状，而线的长度则可以通过两点之间的距离来定义。
面面是由线围成的区域，可以是闭合的也可以是开放的。
在平面几何中，面通常被用来表示二维空间内的形状，如矩形、三角形等。
面具有面积这一属性，可以通过不同的方法进行计算。
圆圆是一个特殊的面，它由一个圆心和所有到圆心的距离相等的点组成。
圆在几何学和工程学中有着广泛的应用，例如在建筑设计中常见的弧形结构、机械工程中的齿轮等都是基于圆的属性设计的。
矩形矩形是一个四边形，其中对角线相等且相互平行。
在几何学和建筑设计中，矩形是十分常见的图形，因为它具有简单的特性且易于计算。
三角形三角形是一个有三条边和三个角的多边形。
在几何学中，三角形是研究的重点之一，因为它是所有多边形中最简单的形状之一。
三角形的性质和定理在数学教育中也有着重要的作用。
总结基本图形是我们日常生活和工作中不可或缺的一部分，它们构成了我们周围大部分事物的基础。
从简单的点和线到复杂的三角形和圆，基本图形在各个领域都有着重要的应用。
通过对基本图形的研究和理解，我们可以更深入地了解世界，发现事物背后的规律和美感。
愿每个人都能从基本图形中找到灵感，创造出更加美好的未来。
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小小三角板，蕴含大乾坤
——特殊三角形专题复习课
舟山南海实验初中 张宏政（316021）
1 学习目标
①通过对一幅三角板的研究，梳理特殊三角形的相关知识，形成良好的认知结构；
②通过对三角板系列变式问题的研究与解决，归纳提炼几何解题的基本思想方法；
③通过类比、引申、一般化（特殊）等思想的渗透，让学生充分体验到几何问题的来龙去脉，感悟问题设计的基本策略，激发几何学习的兴趣。
2 学习重点与难点
梳理与巩固特殊三角形的相关知识，归纳思考几何解题的一般方法是本课的重点；难点是通过问题设计策略的引导，让学生会自主发现问题、提出问题，并解决问题。
3 教学设计
（图1）
3.1 提出问题，解决问题
问题：如图1，已知△ABC中，∠ACB=Rt∠，∠B=30°，
AC=3，CD⊥AB于D，∠CAB的平分线AE交CD于F，
你能提出哪些结论,并尝试解决它？
[设计意图]给出这样一个低起点的结论开放性问题，旨在给全体学生都留下一个探索的空间，也便于活跃课堂学习氛围，让学生能迅速进入到学习状态，同时，通过小组合作，分享智慧，让同学们初步积累发现几何问题的基本经验。
3.2 寻求变化,积累经验
变式1：若把问题1中的△ABC改为一般的直角三角形，不妨设
AC=3，BC=4，其它条件不变，那么上面同学们提出的结论，哪些需要
修正？
[设计意图]数学问题哪里来的,从特殊到一般是一条非常重要的策略.这样的变式既要帮助学生梳理了特殊三角形的基础知识,归纳几何解题的一些重要方法,还能让学生自主的发现问题，并解决问题.
3.3 变换方式，体验策略
变式2：如图2，已知D为等腰ABC斜边AB的中点,另一块
（图2）
直角三角板的直角顶点绕D旋转,且两条直角边分别与边BC、AC
相交于E、F两点。
请你提出问题，并解决它?
[设计意图]设计本道题，一是介绍问题生成的第三种策略——叠加，二是让学生在相对复杂的背景中从变换的角度理解图形的本质，并提高学生的运用知识及解决问题的能力，借以完善认知体系，领会特殊到一般，变与不变等思想方法。
(图3)
尝试不同的叠加方式进行研究。
变式3：：已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,若把另一块等腰
直角△CDE如图3放置,使点B恰落在斜边DE上，则AB，BD,BE
之间有什么数量关系？
（图4）
变式4：已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,若把另一块等腰
直角三角板如图3放置，若夹45 °的两边分别交AB于D,E两点，
则AD，DE，BE又有何数量关系,证明你的猜想？
[设计意图]引入上述问题，一方面旨在加深学生对叠加方式设计问题的进一步理解，另一方面，使学生感受特殊化思想也是思考问题、研究问题的基本方法。
同时，在解决条件（或结论）分散的几何问题时，让学会明确用图形变换的方法添加辅助线，是有效聚焦题中条
件，并得以解决几何问题的重要策略。
（图5）
3.4 类比问题，感受方法
变式5：如图5，在等边三角形的一个顶点C放置一个30°的角，与AB分别交于D,E两点。
试探究：AD,DE,BE的数量关系。
[设计意图]让学生领悟到，类比也是揭示事物联系，发现问题的重要手段。
3.5 归纳提炼，交流想法
（1）下面请同学们谈谈本节课学习后的体会！
（2）老师总结。